resumen ejecutivo

UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPÁNCURSO: HIDROLOGIATEMA: METODOS ESTADISTICOS

METODOS ESTADÍSTICOS.

Integrantes: Córdova Saavedra Luis Richard. Trigoso tejada Luis Humberto.Curso: HidrologíaDocente: Mgs. Ing° Arbulú ramos José.Fecha: 14 de Junio del 2012-------------------------------------DESCRIPCION

Los métodos estadísticos, se basan en considerar que el caudal máximo anual, es una variable aleatoria que tiene una cierta distribución. Para utilizarlos se requiere tener como datos, el registro de caudales máximos anuales, cuanto mayor sea el tamaño del registro, mayor será también la aproximación del cálculo de caudal de diseño, el cual se calcula para un determinado periodo de retorno.

Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseño, se cuenta con pocos años de registro por lo que la curva de distribución de probabilidades de los caudales máximos, se tiene que prolongar en su extremo si se requiere inferir un caudal con un periodo de retorno mayor al tamaño del registro. El problema se origina en que existen muchos tipos de distribuciones que se apegan a los datos, y sin embargo, difieren en los extremos. Esto ha dado lugar a diversos métodos estadísticos, dependiendo del tipo de distribución que considere.

A continuación se explican los métodos de:

Gumbel Nash Levediev Log Pearson Tipo III

. MÉTODO DE GUMBEL.

Para calcular el caudal máximo para un periodo de retorno determinado se usa la ecuación:

Qmax=Qm−σQσ N

(Y N−lnT )…1

Siendo:

σ Q=√∑i=1N

Qi2−N Qm

2

N−1

…2

Donde:

Qmax=¿Caudal máximo para un periodo de retorno determinado,

en m3/s.

N= número de años de registro.

Qi =Caudales máximos anuales registrados, en m3/s.

Qm=∑i=1

N

Qi

N

, Caudal promedio, en m3/s

T= Periodo de retorno.

σ N , Y N=¿Constantes función de N, tabla 6.13 (Variables

reducidas)

σ Q= Desviación estándar de los caudales.

Para calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual

puede variar Qmax dependiendo del registro disponible se hace lo

siguiente:

1. Si ф=1-1/T varía entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la fórmula:

∆Q=±√Nα σ m

σQσ N √N

…3

Donde:

N= número de años de registro

√Nα σm=constante en función de ф, tabla 6.14.

σ N= Constantes función de N, tabla 6.13

σ Q= Desviación estándar de los caudales (ecuación 2)

Docente: mgs. Ing° Arbulú ramos José del Carmen página 1


Tabla 6.13. Valores de Y N y σ N en función de N.

Tabla 6.14 Valores de √Nα σm en función de ф.

2. Si ф>0.90, el intervalo se calcula como:

∆Q=±1.14 σQσ N

… 4

La zona de ф comprendida entre 0.8 y 0.9 se considera la transición,

donde ∆Q es proporcional al cálculo con las ecuaciones 3 y 4,

dependiendo del valor de ф.

El caudal máximo de diseño para un cierto periodo de retorno, será igual al caudal máximo con la ecuación (1), más el intervalo de confianza, calculado con (3) ó (4).

Qd=Qmax+∆Q…5

EJEMPLO DEL METODO DE GUMBEL.

Se tiene el registro de caudales máximos de 30 años para la estación 9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.15.

En este río se desea construir una presa de almacenamiento.

Calcular el caudal de diseño para el vertedor de demasías, para períodos de retorno 50 y 100 años respectivamente.

Año(1) Caudal m3/s(2) Año(1) Caudal m3/s(2)

1970 1660 1985 563

1971 917 1986 520

1972 3800 1987 360

1973 1410 1988 367

1974 2280 1989 658



1975 618 1990 824

1976 683 1991 850

1977 934 1992 1230

1978 779 1993 522

1979 921 1994 581

1980 876 1995 557

1981 740 1996 818

1982 1120 1997 1030

1983 610 1998 418

1984 1150 1999 953

SOLUCIÓN.

Año(1) Caudal m3/s(2) Q2(M3/S)

1970 1660 2755600

1971 917 840889

1972 3800 14440000

1973 1410 1988100

1974 2280 5198400

1975 618 381924

1976 683 466489

1977 934 872356

1978 779 606841

1979 921 848241

1980 876 767376

1981 740 547600

1982 1120 1254400

1983 610 372100

1984 1150 1322500

1985 563 316969

1986 520 270400

1987 360 129600

1988 367 134689

1989 658 432964

1990 824 678976

1991 850 722500

1992 1230 1512900

1993 522 272484

1994 581 337561

1995 557 310249

1996 818 669124

1997 1030 1060900

1998 418 174724

1999 953 908209

SUMATORIA 28749 40595065

Paso 1.

Calcular el caudal promedio.

Qm=∑i=1

N Qi

N

Qm=2874930

=958.30m3/s Qm2=958.302=¿

918338.89

Paso 2.

Cálculo de la Desviación estándar de los caudales.σ Q

σ Q=√∑i=1N

Qi2−N Qm

2

N−1

σ Q=√ 40595065−30(918338.89)30−1=670.6893

Paso 3.

Cálculo de los coeficientes σN, YN

Paso 4.


σN 1.11238YN 0.53622


Cálculo del Caudal Máximo.

Qmax=Qm−σQσ N

(Y N−lnT )

Para los periodos de retorno de 50 y 100 años.

Para T=50

Qmax=958.3−670.68931.11238

(0.53622−ln 50)

Qmax=2993.68m3/s

Para T=100

Qmax=958.3−670.68931.11238

(0.53622−ln 100)

Qmax=3411.60 m3/s.

Paso 5.

Cálculo de ф.

ф=1-1/T

Para T=50años

ф=1-1/50=0.98

Para T=100años

T=1-1/100=0.99

Paso 6.

Cálculo del intervalo de confianza. Como en ambos casos vemos que ф es mayor que 0.90, Utilizaremos la ecuación:

∆Q=±1.14 σQσ N

∆Q=± 1.14∗670.68931.11238

=687.34 m3/s

Paso 7.

Cálculo del caudal de diseño.

Qd=Qmax+∆Q

Para T=50

Qd=2993.68+687.34

Qd=3681.02m3/ s

Para T=100

Qd=3411.60+687.34

Qd=4098.94m3 /s

MÉTODO DE NASH

Nash considera que el valor del caudal para un determinado periodo de retorno se puede calcular con la ecuación:

Qmax=a+b loglogT

T+1…6

Donde:

a ,b= constantes en función del registro de caudales máximos anuales.

Qmax=caudal máximo para un periodo de retorno determinado, en

m3/s

T =periodo de retorno, en años.

Los parámetros a y b se estiman utilizando el método de mínimos

cuadrados, con la ecuación lineal: Q=a+bX , utilizando las

siguientes ecuaciones:

a=Qm−b Xm…7

b=∑i=1

N

X iQ i−N XmQm

∑i=1

N

X i2−N Xm

2

…8

Siendo:

X i=loglogT

T +1…9

Donde:



N= número de años de registro

Qi=caudales máximos anuales registrados, en m3/s

Qm=∑i=1

N Qi

N, Caudal medio, en m3/s.

X i= constante para cada caudal registrado, en función de su

periodo de retorno correspondiente.

X m=∑i=1

N X i

N, valor medio de las X s

Para calcular los valores de X i correspondientes a los Qi se

ordenan estos en forma decreciente, asignándole a cada uno

número de orden mi; al Qi máximo le corresponderá el valor 1, al

inmediato siguiente 2, etc. Entonces, el valor del periodo de retorno

para Qi se calculará utilizando la formula de Weibull con la

ecuación:

T=N +1mi

…10

Finalmente el valor de X i se obtiene sustituyendo el valor (10) en

(9).

El valor dentro del cual puede variar el Qmax calculado por la

ecuación (6), se obtiene como:

∆Q=±2√ SqqN 2(N−1)

+(X−Xm)2

1N−2

∗1

Sxx (Sqq−S xq2

Sxx )…11Siendo:

Sxx=N∑ x i2−(∑ x i )

2

Sqq=N∑Q i2−(∑Qi )

2

Sxq=N∑Qi x i−¿ (∑Qi ) (∑ xi )¿

De la ecuación (11), se ve que ∆Qsolo varía con X, la cual se

calcula de la ecuación (9), sustituyendo el valor del periodo de

retorno para el cual se calculó el Qmax. Todos los demás términos

que intervienen en la ecuación (11) se obtienen de los datos.

El caudal máximo de diseño correspondiente a un determinado periodo de retorno será igual al caudal máximo obtenido de la

ecuación (6), más el intervalo de confianza calculado según la ecuación (11), es decir:

Qd=Qmax+∆Q

EJEMPLO DEL METODO DE NASH

Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseño utilizando el método de Nash para periodo de retorno de 50 y 100 años.

Solución:

1.- Ordenando en forma descendente, los valores de los caudales de la columna 2, de la tabla 6.15 se obtiene la tabla 6.16

2.- Cálculos Preliminares

m (1)

Caudal m3/s(2

) T (3)T/(T-1)

(4) X (5) Q*X (6) Q2 (7) X2 (8)

1 3800 31.0000 1.0333-

1.8465-

7016.61 144400003.409

5

2 2280 15.5000 1.0690-

1.5381-

3506.97 51984002.365

9

3 1660 10.3333 1.1071-

1.3545-

2248.54 27556001.834

8

4 1410 7.7500 1.1481-

1.2219-

1722.83 19881001.493

0

5 1230 6.2000 1.1923-

1.1170-

1373.88 15129001.247

6

6 1150 5.1667 1.2400-

1.0296-

1183.99 13225001.060

0

7 1120 4.4286 1.2917-

0.9541-

1068.58 12544000.910

3

8 1030 3.8750 1.3478-

0.8873 -913.90 10609000.787

3

9 953 3.4444 1.4091-

0.8270 -788.12 9082090.683

9

10 934 3.1000 1.4762-

0.7717 -720.81 8723560.595

6

11 921 2.8182 1.5500-

0.7205 -663.57 8482410.519

1

12 917 2.5833 1.6316-

0.6724 -616.61 8408890.452

1

13 876 2.3846 1.7222-

0.6269 -549.19 7673760.393

0

14 850 2.2143 1.8235-

0.5835 -495.98 7225000.340

5

15 824 2.0667 1.9375-

0.5418 -446.40 6789760.293

5

16 818 1.9375 2.0667-

0.5013 -410.08 6691240.251

3

17 779 1.8235 2.2143-

0.4619 -359.81 6068410.213

3

18 740 1.7222 2.3846-

0.4232 -313.15 5476000.179

1

19 683 1.6316 2.5833 - -262.90 466489 0.148


T=(1+m)/nX= log logT

T−1

Qmax=a+bloglogT

T +1


0.3849 2

20 658 1.5500 2.8182-

0.3468 -228.21 4329640.120

3

21 618 1.4762 3.1000-

0.3086 -190.71 3819240.095

2

22 610 1.4091 3.4444-

0.2699 -164.66 3721000.072

9

23 581 1.3478 3.8750-

0.2304 -133.88 3375610.053

1

24 563 1.2917 4.4286-

0.1896 -106.74 3169690.035

9

25 557 1.2400 5.1667-

0.1468 -81.76 3102490.021

5

26 522 1.1923 6.2000-

0.1011 -52.75 2724840.010

2

27 520 1.1481 7.7500-

0.0510 -26.49 2704000.002

6

28 418 1.107110.333

3 0.0061 2.57 1747240.000

0

29 367 1.069015.500

0 0.0757 27.77 1346890.005

7

30 360 1.033331.000

0 0.1736 62.49 1296000.030

1SUMATORIA 28749

-17.8528

-25554.28 40595065

17.6256

3.- Calculo del Qm y Xm

Qm= 958.30 m3/s.

Xm= -0.5951

4.- Calculo de los Parámetros a y b;

b= -1206.30

a= 240.44

5.- Calculo del Caudal Máximo.

T= 50 años Qmax=2721.568

4 m3/s.

T= 100 años Qmax=3087.354

4 m3/s.

6.- Calculo de las desviaciones estándar y covarianza

Sxx= 210.0451

Sqq= 391346949

Sxq= -253378.0648

7.- Calculo del Intervalo de Confianza

El valor de X se calcula para cada periodo de retorno

T= 50 años X= -2.0568

T= 100 años X= -2.3600

T= 50 años ∆Q=429.542

6 m3/s.

T= 100 años ∆Q=491.460

1 m3/s.

8.- Calculo del Caudal de Diseño.

T= 50 años Qd= 3151.11 m3/s.

T= 100 años Qd= 3578.81 m3/s.

MÉTODO DE LEVEDIEV.

Este método está basado en suponer que los caudales máximos anuales son variables aleatorias Pearson tipo III. El caudal de diseño se obtiene a partir de la fórmula:

Qd=Qmax+∆Q…12

Donde:

Qmax=Qm (K C v+1 )…13

Y


b=∑i=1

N

X iQ i−N XmQm

∑i=1

N

X i2−N Xm

2

Qmax=a+bloglogT

T +1

Sxx=N∑ x i2−(∑ x i )

2

Sqq=N∑Q i2−(∑Qi )

2

Sxq=N∑Qi x i−¿ (∑Qi ) (∑ xi )¿

a=Qm−b Xm

∆Q=±2√ SqqN 2(N−1)

+(X−Xm)2

1N−2

∗1

Sxx (Sqq−S xq2

Sxx )X= log logT

T−1

Qd=Qmax+∆Q


∆Q=±A ErQmax

√N…14

Los términos que aparecen en las ecuaciones anteriores tienen el siguiente significado.

A=Coeficiente que varía de 0.7 a 1.5, dependiendo del número de años del registro. Cuantos más años de registro haya, menor será el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40años, se toma el valor de 0.7.

C s= coeficiente de asimetría, se calcula como:

C s=∑i=1

N

( Qi

Qm

−1)3

N C v3 …15

Por otra parte, Levediev recomienda tomar los siguientes valores:

C s=2C v Para avenidas producidas por deshielo.

C s=3C v Para avenidas producidas por tormentas.

C s=5C v Para avenidas producidas por tormentas en cuencas

ciclónicas.

Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuación (15), se escoge el mayor

C v= coeficiente de variación, que se obtiene de la ecuación:

C v=√∑i=1N

( Qi

Qm

−1)2

N…16

Er=coeficiente que depende de los valores de C v(ecuacion16) y

de la probabilidad P=1/T, su valor se encuentra de la figura 6.3

N= Años de observación.

∆Q=intervalo de confianza, en m3/s

Qd=caudal de diseño, en m3/s

Qi=caudales máximos anuales observados, en m3/s

Qm=caudal promedio, en m3/s, el cual se obtiene de:

Qm=∑i=1

N

Qi

N…17

Qmax=Caudal máximo probable obtenido para un periodo de

retorno determinado, en m3/s.

Figura 6.3 Valores de Er en función de C v y p.

K=coeficiente que depende de la probabilidad P=1/T, expresada en porcentaje de que se repita el caudal de diseño y del coeficiente de

asimetría C s(tabla 6.17)



EJEMPLO DEL MÉTODO DE LEVEDIEV.

Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseño utilizando el método de Levediev para periodo de retorno de 50 y 100 años.

SOLUCION1.- Obtención del Caudal Medio

Qm= 958.30 m3/seg

2.- Cálculos Previos

AÑO

Q (m3/seg)

1970 1660 0.7322 0.5362 0.3926

1971 917 -0.0431 0.0019 -0.0001

1972 3800 2.9654 8.7933 26.0754

1973 1410 0.4714 0.2222 0.1047

1974 2280 1.3792 1.9022 2.6236

1975 618 -0.3551 0.1261 -0.0448

1976 683 -0.2873 0.0825 -0.0237

1977 934 -0.0254 0.0006 0.0000

1978 779 -0.1871 0.0350 -0.0065

1979 921 -0.0389 0.0015 -0.0001

1980 876 -0.0859 0.0074 -0.0006

1981 740 -0.2278 0.0519 -0.0118

1982 1120 0.1687 0.0285 0.0048

1983 610 -0.3635 0.1321 -0.0480

1984 1150 0.2000 0.0400 0.0080

1985 563 -0.4125 0.1702 -0.0702

1986 520 -0.4574 0.2092 -0.0957

1987 360 -0.6243 0.3898 -0.2434

1988 367 -0.6170 0.3807 -0.2349

1989 658 -0.3134 0.0982 -0.0308

1990 824 -0.1401 0.0196 -0.0028

1991 850 -0.1130 0.0128 -0.0014

1992 1230 0.2835 0.0804 0.0228

1993 522 -0.4553 0.2073 -0.0944

1994 581 -0.3937 0.1550 -0.0610

1995 557 -0.4188 0.1754 -0.0734

1996 818 -0.1464 0.0214 -0.0031


QQm

-1 ( QQm

−1)2

( QQm

−1)3

Qm=∑i=1

N Qi

N


1997 1030 0.0748 0.0056 0.0004

1998 418 -0.5638 0.3179 -0.1792

1999 953 -0.0055 0.0000 0.0000SUMATORI

A 28749 14.2049 28.0063

PROMEDIO 958.30

N= 30

3.- Calculo del coeficiente de Variación Cv.

Cv= 0.6881

4.- Determinación del Coeficiente de Asimetría Cs.

Cs= 2.8652Por otra parte, Levediev recomienda tomar los siguientes valores:

Para avenidas producidas por deshielo.

Para avenidas producidas por tormentas.

Para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclónicas.Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuación (15), se escoge el mayor.

Consideramos que las avenidas es producida por tormentas

Cs= 2.0643

De los dos coeficientes de asimetría se selecciona el mayor

Cs= 2.8652

5.- Obtención del coeficiente K

Nos vamos a la tabla con la probabilidad y coeficiente de asimetría y encontramos K.

Periodo de Retornoprobabilida

d CsK

T= 50 años 2.00% 2.8652 3.12

T= 100 años 1.00% 2.8652 3.98

6.- Calculo de Er Coeficiente que depende del coeficiente de variación (Cv).

Nos vamos al grafico y con la probabilidad y el Cv y encontramos el Er.

Periodo de Retornoprobabilida

d CvEr

T= 50 años 2.00% 0.6881 0.95

T= 100 años 1.00% 0.6881 1.02

7.- Calculo del Caudal Máximo

Periodo de Retorno Qmax unidadT= 50 años 3015.68 m3/seg

T= 100 años 3582.78 m3/seg

8.- Calculo del Intervalo de Confianza

A=Coeficiente que varía de 0.7 a 1.5, dependiendo del número de años del registro. Cuantos más años de registro haya, menor será el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40años, se toma el valor de 0.7.

A= 0.85

Periodo de Retorno ∆𝑸 unidadT= 50 años 444.60 m3/seg

T= 100 años 567.12 m3/seg

9.- Calculo del Caudal de Diseño

Periodo de Retorno Qd unidad

T= 50 años 3460.28 m3/seg


C v=√∑i=1N

( Qi

Qm

−1)2

N

C s=∑i=1

N

( Qi

Qm

−1)3

N C v3

P= 1T

Qmax=Qm (K C v+1 )

∆Q=±A ErQmax

√N

Qd=Qmax+∆Q


T= 100 años 4149.90 m3/seg

MÉTODO LOG PEARSON TIPO III

Distribución estándar para análisis de frecuencia de caudales máximos anuales en los Estados Unidos (Benson 1968).

La transformación Qd = Log QT se usa para reducir la asimetría; en caso de que la asimetría para esta situación valga cero la distribución log Pearson III se reduce a una log normal.

Qd=logQT

Siendo:

logQT=LogQ+K σ LogQ

LogQ=∑ logQi/N

Donde:

QT= Máxima avenida correspondiente al periodo de retorno T.

LogQ= promedio de los logaritmos de la serie Qi, siendo:

K = factor de frecuencia correspondiente a un T dado.

σ Log Q = desviación estándar de los logaritmos de la serie Qi, cuya fórmula es:

σ logQ=[∑( logQi−LogQ)2/ (N−1)]1/2

Este factor se obtiene de cuadro mediante el Coeficiente de Sesgo (Cs).

El Coeficiente de sesgo, se calcula mediante la fórmula:

Cs logQ=N∑ ( logQi−logQi )

3

(N−1 )(N−2)(σ logQ)3

Valores de K Método de Log Pearson Tipo III



EJEMPLO DEL MÉTODO DE LOG PEARSON TIPO III

Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseño utilizando el método de Log - Pearson III, para periodo de retorno de 50 y 100 años.

SOLUCION

1.- Cálculos Previos

mCAUDAL (m3/seg)

log Q

1 3800 3.5798 0.4387 0.2906

2 2280 3.3579 0.1941 0.0855

3 1660 3.2201 0.0916 0.0277

4 1410 3.1492 0.0537 0.0125

5 1230 3.0899 0.0298 0.0051

6 1150 3.0607 0.0205 0.0029

7 1120 3.0492 0.0174 0.0023

8 1030 3.0128 0.0091 0.0009

9 953 2.9791 0.0038 0.0002

10 934 2.9703 0.0028 0.0001

11 921 2.9643 0.0022 0.0001

12 917 2.9624 0.0020 0.0001

13 876 2.9425 0.0006 0.0000

14 850 2.9294 0.0001 0.0000

15 824 2.9159 0.0000 0.0000

16 818 2.9128 0.0000 0.0000

17 779 2.8915 0.0007 0.0000

18 740 2.8692 0.0023 -0.0001

19 683 2.8344 0.0069 -0.0006

20 658 2.8182 0.0098 -0.0010

21 618 2.7910 0.0160 -0.0020

22 610 2.7853 0.0174 -0.0023

23 581 2.7642 0.0235 -0.0036

24 563 2.7505 0.0279 -0.0046

25 557 2.7459 0.0294 -0.0050

26 522 2.7177 0.0399 -0.0080

27 520 2.7160 0.0406 -0.0082

28 418 2.6212 0.0878 -0.0260

29 367 2.5647 0.1244 -0.0439

30 360 2.5563 0.1304 -0.047128749 87.5225 1.4235 0.2757

2.- Calculo del promedio de los logaritmos de la serie Qi, siendo:

N= 30

2.9174 m3/seg

3.- Calculo de Desviación estándar de los logaritmos de la serie Qi, cuya fórmula es (𝝈 𝑳𝒐𝒈 𝑸)

σ Log Q= 0.2216

4.- Calculo del Coeficiente de sesgo (Sc)

Cs logQ 0.9366

5.- Calculo de K (factor de frecuencia correspondiente a un T dado).

Periodo de Retorno Probabilidad K

T= 50 años 2.00% 2.5138

T= 100 años 1.00% 2.9804

6.- Calculo del Caudal de Diseño

Periodo de Retorno Qd unidad

T= 50 años 3.4744 2980.93 m3/seg

T= 100 años 3.5777 3782.21 m3/seg

AHORA DETERMINAS EL CAUDAL DE DISEÑO HACIENDO LA GRAFICA DE TODOS LOS DATOS OBTENIDOS DE CADA METO Y LO COMPARAMOS CON LOS CAUDALES D REGISTRO Y OBTENEMOS


( logQi−LogQ )2( logQi−LogQ)3

LogQ=

logQT

LogQ=∑ logQi/N

σ logQ=[∑( logQi−LogQ)2/ (N−1)]1/2

Cs logQ=N∑ ( logQi−logQi )

3

(N−1 )(N−2)(σ logQ)3

P¿(1/T )*100

logQT=LogQ+K σ LogQ

Qd=logQT


0.00500.00

1000.001500.002000.002500.003000.003500.004000.00

GUMBEL Linear (GUMBEL)NASH Linear (NASH)LEVEDIEV Linear (LEVEDIEV)LOG - PEARSON III Linear (LOG -

PEARSON III)REGISTRO

TIEMPO (AÑOS)

CAUD

AL (M

3/SE

G)

En el gráfico T vs. Q, se observa que la distribución que más se acerca a la distribución registrada, es la distribución por el Método de Levediev, por lo cual asumiremos esta distribución para calcular el Qd.

CAUDAL DE DISEÑO

T (años) Qd (m3/s)

50 3460.28

100 4149.90

BIBLIOGRAFÍA

Villón Bejar, Máximo: hidrología. Segunda Edición: editorial Villón, Febrero del 2002. Lima-Perú

http://docs.google.com/viewer? a=v&q=cache:QFuPMyK8k50J:intranet.catie.ac.cr/intranet/posgrado/Hidro2006/Presentaciones/Capitulo%25206b.ppt

http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/climatologia- aplicada-a-la-ingenieria-y-medioambiente/contenidos/tema-7/METODO-DE-GUMBEL.pdf


http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/climatologia-aplicada-a-la-ingenieria-y-medioambiente/contenidos/tema-7/METODO-DE-GUMBEL.pdf



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