CUARTO RESUMEN DE RESISTENCIA DE MATERIALES

El procedimiento general que se sigue en todos los casos de distribución no uniforme de esfuerzos se puede resumir en los siguientes puntos:

1. Del examen de las deformaciones elásticas que produce un determinado tipo de carga, y la aplicación de la Ley de Hooke, se determinan unas relaciones entre los esfuerzos en los distintos puntos de la sección, de manera que sean compatibles con las deformaciones. Tales relaciones se denominan: Ecuaciones de compatibilidad.

2. Aplicando las condiciones de equilibrio en el diagrama de cuerpo libre correspondiente a una porción del cuerpo, se obtienen otras relaciones entre los esfuerzos. Dichas relaciones, deducidas de la consideración del equilibrio entre las fuerzas exteriores aplicadas y las fuerzas resistentes interiores en una sección de exploración, se llaman: Ecuaciones de equilibrio.

3. Comprobación de que la solución del sistema de ecuaciones de los puntos 1 y 2 satisface las condiciones de carga en la superficie del cuerpo. En otras palabras: se han de verificar las condiciones de frontera impuestas.

Para deducir las fórmulas de la torsión se debe establecer una serie de hipótesis que puedan demostrarse matemáticamente y, algunas de ellas, comprobarse experimentalmente. Las dos primeras de las hipótesis corresponden a secciones circulares:

1. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.2. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. (combarse, curvarse)3. La proyección sobre una sección transversal, de una línea radial de una sección, permanece radial

después de la torsión.4. El árbol (eje, barra) está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos

perpendiculares a su eje.5. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad. (siempre en la región elástica)

En la siguiente figura se muestran dos proyecciones de un árbol circular macizo. Al aplicar un momento torsionante T a los extremos del árbol, una generatriz (línea que genera) cualquiera, como AB, en la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce formando una hélice AC, al tiempo que la sección en B gira un cierto ángulo respecto de la sección A.

A C

B T

Si se considera una fibra cualquiera a una distancia del eje del árbol, por la hipótesis 3, el radio de dicha fibra también gira el mismo ángulo , produciéndose una deformación tangencial , igual al arco de círculo S, cuya longitud es

S = = En estas condiciones, la distorsión es:

γ= δL= ρφ

Ly el esfuerzo cortante, de acuerdo a la Ley de Hooke:

τ=Gγ=(GφL ) ρ

Esta última expresión se suele llamar ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados por ella son compatibles con las deformaciones elásticas.

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La interpretación de esta ecuación nos indica que la distribución de esfuerzos a lo largo de cualquier radio varía linealmente con la distancia al centro de la sección. El esfuerzo cortante máximo (max) tiene lugar en las fibras exteriores.Construyendo el diagrama de cuerpo libre de la sección transversal, se verá que un elemento diferencial de área de esta sección estará sometida a una fuerza resistente dP = dA, ya que al ser diferencial se puede admitir que el esfuerzo es constante dentro de cada elemento. La misión de estas fuerzas resistentes es oponerse al momento torsionante aplicado T y han de tener la misma dirección perpendicular al radio para producir el máximo efecto.Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estático, se aplica la condición M = 0, lo cual quiere decir que el par torsor resistente ha de ser igual al momento torsionante aplicado. El par resistente T es la suma de los momentos respecto al centro de todas las fuerzas diferenciales dP:

T=∫ ρ dP=∫ ρ( τ dA )y sustituyendo el valor de :

T =

GφL ∫ ρ2 dA

Pero la integral es el momento polar de inercia J de la sección recta, por lo que:

T =

GφL

J o bien: =

TLJG

debe estar en radianes, T en N-m , L en m, J en m4 y G en N/m2. Si se desea expresar el ángulo en grados, se debe multiplicar el segundo miembro de la ecuación resultante por 57.3 gra/rad (como resultado de 180 o/ rad)Sustituyendo el valor de G/L en la ecuación de compatibilidad, por su equivalente T/J dado por la ecuación de equilibrio, se obtiene:

=Tρ

Jque es la fórmula de la torsión. Para calcular el máximo esfuerzo cortante, que es la expresión más utilizada en la práctica, se sustituye por el radio r del árbol; es decir:

=

TrJ

Nota: Al haber aplicado la Ley de Hooke en la deducción de esta fórmula, los esfuerzos no deben sobrepasar el límite de proporcionalidad.

Una fórmula suficientemente aproximada para determinar el esfuerzo cortante máximo en una barra de sección rectangular es:

=

T

ab2 (3+1 . 8ba )

en donde a es el lado mayor y b es el lado menor del rectángulo

D d

D

J =

π r4

2=π d4

32 J =

π (R4−r 4)2

= π32

(D4−d4 )

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Si consideramos los valores del momento polar de inercia para secciones circulares y los sustituimos en la fórmula de la torsión, se obtienen las siguientes formas:

Eje macizo: max =

2 T

π r3=16 T

π d3

Eje hueco: max =

2TR

π (R4−r 4)=16 TD

π (D4−d4 )En muchas aplicaciones prácticas, los árboles se utilizan para trasmitir potencia (), la cual podemos relacionar con una velocidad angular constante () y un par constante T mediante:

= Tdonde está medida en radianes por unidad de tiempo. Si el árbol gira a una frecuencia de f revoluciones por unidad de tiempo, = 2 f, y se tiene:

= T2Fo bien:

T =

Φ2π f

Que es el momento torsionante trasmitido.Si la potencia la medimos en watts (Nm/s) y la frecuencia en revoluciones por segundo (rev/s), la ecuación anterior medirá el momento torsionante en N-m. Sustituyendo esta ecuación en las anteriores, podemos determinar el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de giro.

PROBLEMA. Un árbol macizo de un tren de laminación tiene que trasmitir una potencia de 20 KW a 2 rev/s. Determinar su diámetro de manera que el esfuerzo cortante máximo no exceda de 40 MN/m 2 y que el ángulo de torsión, en una longitud de 3m, sea como máximo de 6o. G = 83 GN/m2

SOLUCIÓN: Es un ejemplo de diseño de un elemento de máquina en el que se ha de tener en cuenta tanto la resistencia como la rigidez.Primero se determina el momento torsionante a que está sometido el árbol:

T =

Φ2 π f =

20 x 103 KNm/s2 π (2 rev/s )

= 1591. 55 N-m

Para satisfacer la condición de resistencia, aplicamos la ecuación de cortante máximo en ejes macizos:

=

16T

π d3; d3 = 202.6 x 10-6 m3 ; d = 58.7 mm

A partir de la ecuación de torsión, al despejar el momento polar de inercia, se deduce el diámetro necesario que satisface la condición de rigidez:

J =

TLφ G

x 57 .3

Y sustituyendo el valor del momento polar de inercia:

π d4

32=

1591. 5 5 (3)(57 . 3)6(83 x 109)

de donde: d4 = 5.59 x 10-6 m4 = 5.59 x 10-4 mm4 y por tanto d = 48.6 mm

Por lo que el primer diámetro calculado (58.7 mm) satisface las dos condiciones: resistencia y rigidez.

Nota: No hice todos los despejes para que se entretengan buscando de dónde sale cada resultado.

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MOMENTO POLAR DE INERCIA DE ÁREAS GEOMÉTRICAS SIMPLES

h J =

bh (b2+h2)12

b

J = 0.503 r4

D d

D

J =

π r4

2=π d4

32 J =

π (R4−r 4)2

= π32

(D4−d4 )

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