resumen de expo sic ion de flujo de fluidos

5/11/2018 Resumen de Expo Sic Ion de Flujo de Fluidos - slidepdf.com

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CONSERVACION DE MOMENTO EN FLUIDO EN ESTADO ESTABLE

La transferencia de momento en un fluido incluye el estudio del movimiento de los fluidosas como de las fuerzas que producen dicho movimiento.

A partir de la segunda ley de Newton del movimiento, se sabe que la fuerza se relacionadirectamente con la rapidez de cambio del momento de un sistema.

Excluyendo a las fuerzas de acción a distancia, tales como gravedad, se puede demostrarque las que actúan sobre un fluido, como la presión y el esfuerzo cortante, son elresultado de una transferencia microscópica (molecular) de momento.

LEYES FISICAS FUNDAMENTALES:

Hay tres leyes físicas fundamentales que, a excepción de los fenómenos relativistas ynucleares, se aplican a todos y cada uno de los flujos, independientemente de lanaturaleza del fluido que se esté considerando.

1.- Ley de la conservación del materia Ecuación de continuidad

2.- Segunda Ley de Newton del movimiento Teorema de momento

3.- Primera ley de la termodinámica Ecuación de la energía

Existen dos formas diferentes de representar campos en la mecánica de fluidos, larepresentación de lagrange y la de Euler. La diferencia entre ambos enfoques esta en laforma de identificar la posición en el campo.

En el enfoque lagrangiano se describen las variables físicas para un elemento particularde dicho fluido a moverse a lo largo del flujo. En la notación lagrangiana las coordenadas(x,y,z) son variables dependientes.

El elemento del fluido se identifica por medio de suposición en el campo en un tiempoarbitrario, usualmente t=0. El campo de velocidad en este caso, se escribe en formafuncional, de la siguiente manera: V=V(a,b,c,t) de las coordenadas, a,b,c se refiere a laposición inicial del elemento del fluido.



En el enfoque Euleriano nos da el valor de la variable de un fluido en un punto y en untiempo determinado. El campo de velocidad den forma funcional, se escribe de lasiguiente manera: V=V(x,y,z,t) donde x,y,z,t son todas ellas variables independientes enun punto particular y en un tiempo dado.

Si el flujo en todos los puntos del fluido es independiente del tiempo, se llama flujopermanente.

Si el flujo en un punto varía con el tiempo se le llama flujo no permanente.

La segunda de las leyes físicas fundamentales en las que están basados los análisis delflujo de fluidos en la segunda ley de newton de movimiento. Basándonos en la segundaley de Newton encontramos relaciones integrales tanto para el movimiento lineal comopara el momento angular y tomaremos en cuenta las aplicaciones de estas expresiones osituaciones físicas.

La segunda Ley de Newton del movimiento se puede enunciar e la siguiente manera:

“La rapidez de cambio de momento de un sistema es igual a la fuerza neta que acta sobre

el sistema y ocurre en la dirección de la fuerza neta”

Este enunciado se divide en dos partes muy importantes: La primera que esta leypertenece a un sistema específico y la segunda, que consta de dirección y magnitud, de

manera que es una expresión vectorial.

Para poder aplicar esta ley será necesario darle una forma nueva para poder aplicarlo aun volumen de control que contenga diferentes partículas de fluido (esto es un sistemadiferente) al ser examinado en diferentes ocasiones.

En la figura observemos el volumen de control situado en un campo de flujo de un fluido.El sistema bajo estudio es el material que ocupa el volumen de control en el tiempo t, ysu posición aparece, tanto en el tiempo t como en el tiempo t + Δt.



Con relación puede observarse que:

La región 1 está ocupada por el sistema solamente con el tiempo t.

La región 2 está ocupada por el sistema en el tiempo t +Δt.

La región 3 es común al sistema en t y en t + Δt.

Para tal situación la ley de newton se escribiría en la forma:

Donde los símbolos F, m, y v tienen un significado usual y P representa el momento linealtotal del sistema.

La segunda ley de newton, se puede escribir con palabras de la siguiente ecuación, parala conservación del momento lineal con respecto a un volumen de control.

+-

Suma de lasfuerzas que actúansobre el volumende control

Rapidez delmomento quesale delvolumen decontrol

Rapidez delmomento queentra alvolumen decontrol

Rapidez deacumulación demomentodentro delvolumen de

=



Volumen de control

El estudio de un fluido en movimiento pasa por la definición de sistema en estudio, paraello se define la región del espacio que esta ocupada por el fluido. En este espacio sedefinen las características termodinámicas, dinamicas y energéticas del fluido.

El volumen de control esta limitado por una superficie cerrada, superficie de control,atravez de la cual se realizan los procesos de intercambio de energía y masa con elentorno.

El volumen de control esta formado por un tubo de corriente cerrado por dos superficieslaterales.

Una vez seleccionados el volumen y la superfice de control para nuestro sistema, seanalizan en ellos la siguientes características:

Volumen de control

Propiedades termodinámicas del fluido en su interior:

Energía interna

Temperatura Entalpia Presión

Superficie de control

Intercambio de flujos:

Energía Q y W Caudales de entrada Distribución de velocidades



Teorema del transporte de Reynolds (TTR)

El TTR es una herramienta que nos permite relacionar las fuerzas que provocan elmovimiento del fluido con los parámetros que definen este movimiento.

TTR.

La evolución temporal de un parámetro arbitrario del fluido, evaluado en el interior de unvolumen de control (VC) con una superficie de control (SC) esta definido por la siguienteexpresión:

Teorema de transporte de Reynolds (TTR). Regimen estacionario.

En regimen estable, no hay dependencia temporal de las variables del fluido:

En estas condiciones el TTR tiene la expresión:

En el caso de fluidos incompresibles, densidad constante:

Considerando valores promedios de los parámetros del fluido sobre las superficies deentrada y salida:



Conservación de la masa.Aplicación del TTR al parámetro =M, masa del sistema.

Variación total de la masa del sistema:

Flujo de masa en la superficie de entrada:

Flujo neto de masa a través de la superficie de control:

Conservación de la masa. Ecuación de continuidad.

Si hay generación ni pérdida de masa en el interior del volumen de control:

La masa por unidad de tiempo que pasa por la superficie de entrada es igual a la queatraviesa la superficie de salida.

El caudal que atraviesa la superficie de salida de la superficie de control es igual que elque atraviesa la superficie de entrada.

Conservación del momento.

Ley de Newton de la mecánica:

Aplicando el TTR al momento lineal del fluido transportado:



DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN UN FLUJO LAMINAR

Vamos a estudiar como se pueden calcular los perfiles de velocidad laminar en algunossistemas geométricamente sencillos. Para estos cálculos se hace uso de la definición deviscosidad y del concepto de un balance de cantidad de movimiento.Es preciso conocer la velocidad máxima, la velocidad media, y el esfuerzo cortante en una

superficie. Estas magnitudes pueden deducirse fácilmente una vez que se conocen losperfiles de velocidad.

El tema que se discute se estudia aplicando balances de cantidad de movimiento a unadelgada “envoltura” de fluido. Para el flujo rectilíneo en estado estacionario, el balance decantidad de movimiento es:

El problema de la película descendente, que se estudia, proporciona información sobre elpapel que juegan las fuerzas de gravedad y sobre la utilización de las coordenadascartesianas; se indica también cómo puede llegarse a la solución en el caso de que laviscosidad sea una función de la posición.



Como ejemplo, consideremos una superficie plana inclinada, como la mostrada en lafigura. Estas películas se han estudiado en relación con torres de pared mojada,experiencias de evaporación y absorción de gases y aplicación de capas de pintura arollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido son constantes y seconsidera una región de longitud L, suficientemente alejada de los extremos de la pared,de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están incluidas en L; es decir,que en esta región el componente Vz, de la velocidad es independiente de z.

Comenzamos aplicando un balance de cantidad de movimiento z sobre un sistema deespesor ∆x, limitado por los planos z = 0 y z = L, y que se extiende hasta una distancia W en la dirección y. (Fig. 2.2-2.). Los distintos componentes del balance de cantidad demovimiento son por tanto:



Substituyendo estos términos en el balance de cantidad de movimiento de la Ec.1 seobtiene:

Como ʋʑ, valen lo mismo para z = 0 y z = L, para cada valor de x, los términos tercero ycuarto se anulan entre sí. Dividiendo la ecuación 6 por LW∆x y tomando el límite cuando∆x tiende hacia cero:

El primer miembro de esta ecuación es por definición la derivada primera de Txz conrespecto a x. Por tanto, la Ec. 7 puede escribirse así:



QUE ES LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA LA DENSIDAD DE FLUJO DECANTIDAD DE MOVIMIENTO Txz. Al integrarla se obtiene:

La constante de integración puede evaluarse aplicando la condición, límitecorrespondiente a la interfase líquido-gas (1):

C.L. 1: para x = 0, Txz = 0

Donde su substitución en la Ec. 9 conduce a C.I = 0.Por lo tanto, la, distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento es:

Si el fluido es newtoniano, ya sabemos que la densidad de flujo de cantidad demovimiento está relacionada con el gradiente de velocidad mediante la expresión:

Substituyendo este valor de Txz en la Ec. 11 se obtiene la siguiente ecuación diferencialpara la distribución de velocidad:

Que puede integrarse para obtener:

La constante de integración se evalúa a partir de la condición límite correspondiente:C.I. 2: para x = δ vz = 0



Substituyendo esta condición límite en la Ec. 14 se obtiene que:C2 = (pg cos β/2μ)δ²

Por consiguiente, la DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD es:

Resulta, por tanto, que el perfil de velocidad es parabólico.

Una vez que se ha obtenido el perfil de velocidad, pueden calcularse las siguientesmagnitudes:

La VELOCIDAD MÁXIMA Vzmax. Es evidentemente la velocidad para x = 0, por lo tanto:

La VELOCIDAD MEDIA <vz> en una sección transversal de la película, se obtienemediante el cálculo siguiente:

La velocidad volumétrica de flujo Q se obtiene a partir de la velocidad media, o por

integración de la distribución de velocidad:



El ESPESOR DE LA PELÍCULA Δ puede expresarse en función de la velocidad media,de la velocidad volumétrica de flujo, o la velocidad de flujo de masa por unidad de anchurade La pared. (T =gδ<vz>):

El COMPONENTE-z de la fuerza F del fluido sobre la superficie (20) se obtieneintegrando la densidad de flujo de cantidad de movimiento sobre la interface fluido-solido:

Es evidente que esto corresponde exactamente al COMPONENTE-z del peso de todo elfluido, contenido en la película.

Los anteriores resultados analíticos son solo validos cuando la película desciende en flujolaminar con líneas de corriente rectas.



Estas condiciones se cumplen para flujo lento de películas viscosas delgadas.

Experimentalmente se ha encontrado que al aumentar la velocidad Vz, de la película; alaumentar su espesor, y al disminuir la viscosidad “cinemática” , varíagradualmente la naturaleza del flujo.

Durante este cambio gradual se pueden observar tres tipos distintos de flujo, más omenos estables:

a) laminar con líneas de corriente rectasb) flujo laminar con ondulacionesc) flujo turbulento



FLUJO LAMINAR PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA PARA FLUJO ENTUBERÍAS;PÉRDIDA DE ALTURA

En esta exposición consideraremos en detalle la termodinámica del flujo laminar,permanente e incompresible a través de tuberías. Como resultado se llega a una ecuación

unidimensional consistente con el trabajo anterior menos formal.Considérese un flujo permanente, laminar e incompresible a través de una tubería recta yhorizontal, como se muestra en la siguiente figura:

Claramente éste es un caso de flujo paralelo. Se ha establecido que para flujos paralelosy horizontales la presión debe ser uniforme en una sección exceptuando la variaciónhidrostática. Además se ha demostrado, a partir de la ecuación de continuidad, que elperfil de velocidad del flujo no debe cambiar en la dirección de éste.Examinaremos ahora el flujo en la tubería entre las secciones 1 y 2 de la figura anterior.Considérese que este flujo está compuesto totalmente por tubos de corriente, uno de loscuales se muestra. Considérense las áreas en los extremos de un tubo de corriente. Estoselementos de área se conocerán como elementos correspondientes de área. Debido aque el perfil de velocidad no cambia para flujo paralelo, V²/2 tiene el mismo valor enelementos correspondientes de área. También existe un cambio en elevación nulo, y₂-y1

entre elementos correspondientes de área. Finalmente, para el flujo en tuberías puedesuponerse que la energía interna u es constante a través de una sección transversal.Ahora, la primera ley de la termodinámica para el volumen de control compuesto por laregión interior de la tubería entre las secciones 1 y 2 y, por consiguiente, incluidos todoslos tubos de corriente encerrados, puede expresarse como:

Donde se ha utilizado p/ρ en lugar de pv. Esta ecuación puede rescribirse como:



La primera y la última expresiones entre paréntesis en el integrando claramente son cero,al considerar los elementos de área correspondientes de las secciones 1 y 2 de cada tubode corriente. Nótese que las contribuciones hidrostáticas de presión se cancelan en loselementos correspondientes de área de los tubos de corriente, dejando una presiónuniforme que se denotará simplemente como p, yp2 para las secciones respectivas. Lasdos expresiones restantes son constantes en la integración a través de la sección

transversal de la tubería. Luego, se tiene:

Dividiendo por el flujo de masa, dmldt, luego de reordenar los términos, se obtiene:

En situaciones prácticas cuando se transporta un fluido, cualquier incremento en laenergía interna tiene poco uso debido a que a menudo se pierde en almacenamientossubsecuentes, y la contribución de calor hacia los alrededores, en particular hacia laatmósfera, suele no ser económicamente conveniente. Por consiguiente, estos términosse agrupan y la combinación se conoce como pérdida de altura se denota como Luego:

h=

La pérdida de altura también se define como /g que es la pérdida de presión debida a lafricción por unidad de peso (en lugar de por unidad de masa). La dimensión se simplifica a

longitud L en este caso y es una forma de “altura”, Esta pérdida de altura se denota como. Luego’,

=

La definición H, tiene la ventaja de una dimensión simple, que es una longitud, la clase demedida dada directamente por manómetros.Muchos ingenieros utilizan esta ecuación en conjunto con los términos de altura:

altura de energía cinética /2g, altura de energía potencial y y altura de presión Δp/γ Sin embargo, la pérdida de altura H, definida en esta forma 110 es una cantidad únicapara un flujo particular; debido a que se basa en peso, depende de la localización del flujodentro de cualquier campo gravitacional. Por otro lado, h, permite que la pérdida de alturasea la misma para flujos idénticos en la Tierra o en un vehículo espacial distante.La caída en la presión se debe ahora a una altura de elevación y a la pérdida de alturacausada por la fricción.Es importante notar que la pérdida de altura depende del perfil develocidad, del tipo de fluido y, algunas veces, de la rugosidad de la superficie de latubería. Luego, para la pérdida de altura la inclinación de la tubería no tiene importancia.Por consiguiente, la pérdida de altura puede determinarse independientemente de laorientación de la tubería, es decir, aún es la pérdida de presión debida a la friccióndividida por ρ. La primera ley de la termodinámica puede escribirse así:



(

) (

)

Con frecuencia esta ecuación se conoce como ecuación de Bernoulli modificada y puedeaplicarse a cualquier serie de tubos rectos interconectados mediante diferentes clases deaccesorios conectores. En esta ecuación la densidad se mantiene constante, pero setiene en cuenta para los cambios en la energía interna y la transferencia de calor.¿Cuándo es útil este modelo para representar situaciones físicas? Considérense tuberíasque transportan líquidos como agua o aceite a lo largo de distancias relativamentegrandes. Los líquidos tienden a permanecer a una temperatura constante cercana a la delos alrededores durante estos viajes largos y, en consecuencia, aun con grandes cambiosen la presión, la densidad permanece esencialmente constante. A pesar de que la tasa detransferencia de calor puede ser muy baja para cualquier tramo pequeño de la tubería,hay que tener en cuenta que dQldm es la transferencia total de calor para una unidad demasa de fluido que se mueve a lo largo de la distancia completa entre las secciones 1 y 2de la tubería. De esa manera, aunque puede presentarse unapequeña diferencia de temperatura entre los alrededores del fluido, la transferencia decalor acumulada por unidad de masa a lo largo de grandes distancias puede serconsiderable. Además, los cambios en la energía interna debidos al cambio de presión y acualquier pequeña diferencia de temperatura, también deben tenerse en cuenta en eltérmino de pérdida de altura. Por consiguiente, la pérdida de altura puede tener un valormuy grande.

Luego, puede verse que en tales casos no existe inconsistencia al hablar de flujosincompresibles con pérdidas de altura considerables. Con frecuencia, ingenierosquímicos, deben considerar tuberías largas que transportan líquidos, y para esosproblemas las ecuaciones presentadas en esta sección son más útiles.

Antes de pasar a los problemas, debe hacerse énfasis en la diferencia entre hidrostática yflujo permanente. En los siguientes cálculos será determinante distinguir con claridadestas condiciones. En hidrostática las partículas del fluido deben permanecerestacionarias con respecto a alguna referencia inercial. En flujo permanente las partículasde fluido que pasan por un punto fijo en una referencia deben mantener todas suspropiedades y variables cinemáticas constantes con respecto al tiempo en ese punto. Enesta condición las párticulas pueden acelerarse en un punto. No obstante, cada partículaen ese punto debe tener la misma aceleración en cualquier instante. De esa manera, almirar un flujo desde un embalse grande hacia una tubería.



El flujo es permanente si la altura de la superficie libre se mantiene constante. Aquí no setiene un estado hidrostático debido a que las partículas de fluido se aceleran a medidaque se aproximan a la entrada de la tubería.

Ejemplo 9.1. Un tubo capilar con diámetro interno de 6 mm conecta el tanque cerrado A yel tanque abierto B, como se muestra en la figura siguiente. El líquido en A, en B y en el

tubo capilar CD es agua con un peso específico de 9,780 N/m3 y una viscosidad de0.0008 kg/ms. La presión manométrica = 34.5 kPa ¿En qué dirección fluirá elagua? ¿Cuál es el caudal q? No tenga en cuenta las pérdidas en C y en D.Para determinar la dirección del flujo primero se supone que todos los fluidos sonestacionarios, como resultado de un tapón localizado en la posición D del tubo capilar.Ahora se calculan las presiones hidrostáticas a cada lado del tapón. Por las condicionesdel agua del tanque A se tiene:

=34500 =44280



Por el otro lado del tapón se tiene:

[ ] =

Entonces el agua debe fluir desde el tanque A hacia el tanque B en ausencia del tapón.



Flujo Capilar

Cuando un fluido humectante se mueve dentro de un tubo capilar bajo flujo laminar oviscoso (debido al efecto de la caída de presión entre dos puntos), el perfil de distribuciónde la velocidad del fluido es parabólico, con una velocidad máxima en el eje del tubo yuna velocidad mínima en la pared.

En este sistema, el flujo puede ser visualizado como una serie de superficies parabólicasconcéntricas moviéndose a diferentes velocidades y, por consiguiente, ejerciendo fuerzasviscosas entre sí, que pueden ser expresadas por la siguiente relación:

Por lo tanto, la fuerza viscosa sobre un tubo o cilindro de radio r es:

La fuerza de desplazamiento sobre este mismo tubo es la presión diferencial que actúasobre el área:

Si el fluido no se acelera, la suma de la fuerza desplazante y de retardo viscoso será iguala cero:

Si despejamos dv , e integramos la ecuación nos queda:



La constante de integración C1, puede ser evaluada considerando v = 0 a r = ro . Con loque se obtiene la siguiente expresión para la velocidad:

Esta expresión da la velocidad de cualquier superficie cilíndrica e indica que la velocidad

varía parabólicamente desde un máximo en el centro a cero en las paredes.

La tasa volumétrica de flujo a través de un elemento de espesor dr es dq=vdA, donde dA= 2πdr. Luego la tasa de flujo total a través del tubo es:

Esta expresión se denomina Ley de Poiseuille para flujo laminar de líquido a través detubos capilares.

Ejemplo: La rata de flujo de un fluido de 0.015 poises a través de un capilar de 0.10 cm de

radio, 25 cm de largo y bajo una presión diferencial de 300 dinas por cm2 es:



FLUJO REPTANTE ALREDEDOR DE UNA ESFERA SÓLIDA

Les explicare el movimiento de los fluidos cuando en ellos están sumergidos cuerpossólidos y rígidos. A continuación les daré un ejemplo de las coordenadas esféricas cuandose considera que un flujo es muy lento, el flujo es incompresible que se encuentraalrededor de una esfera sólida (que tiene bien definida su forma).Una esfera tiene radio

que se representa con la (R) y diámetro que se representa con la letra (D), el fluido tieneuna viscosidad que se representa con (MIU) y la densidad con la letra ( p) que asciendeverticalmente hacia la esfera con una velocidad uniforme (v∞) a lo largo del eje z negativo. Se ha encontrado que para un flujo muy lento, la distribución de presión y loscomponentes de la velocidad están expresados en coordenadas esféricas que son lassiguientes:

Las coordenadas anteriores son solamente validas para el flujo reptante en que estesistema tiene lugar cuando el número de Reynolds es inferior a próximamente (0.1).Ahora calculemos la fuerza neta que el fluido ejerce sobre la esfera. Esta fuerza se

calcula integrando la fuerza normal y la fuerza tangencial sobre la superficie de la esfera.



INTEGRACION DE LA FUERZA NORMAL

En cada punto de la superficie esférica existe una presión sobre el solido queactúa perpendicularmente a la superficie. El componente z de esta presión es:

Esta región local se multiplica por el área de la superficie sobre la que actúa y se integra sobre la superficie esférica para obtener la fuerza resultante en ladirección z:

La distribución de presión en la superficie de la esfera es:

Esta expresión se substituye en la integral de la Ecu 2.5. la integral que contiene

P0 se anula, la de –ρgR cosӨ da la fuerza de flotación del fluido sobre el solido yla integral en que interviene la velocidad da la resistencia de forma. Por lo tantoqueda finalmente.

cos p

dd sen R2

2

0 0

2c os d d sen R pF Rr n

cos2

3cos

0 R

gR pP Rr

Rg RF n 23

4 3



INTEGRACIÓN DE LA FUERZA TANGENCIAL

Sacar la fuerza resultante en dirección z

Distribución del esfuerzo cortante en la superficie de la esfera

Sustituyendo esta expresión en la integral, se obtiene la resistencia de fricción

Por lo tanto, la fuerza total F del fluido sobre la esfera

O bien:

El primer término del segundo miembro de la ecuación representa el empuje y elsegundo resulta como consecuencia del movimiento del fluido alrededor de laesfera. Para posteriores consideraciones, es conveniente designar estos dostérminos por Fs. (fuerza que se ejerce aunque el fluido este en reposo y Fk (fuerzaque resulta del movimiento del fluido ósea la contribución cinética).

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