MATEMÁTICAS II

ANÁLISIS: Continuidad y Derivabilidad

• CONTINUIDAD

Una función es continua en un punto si existe el límite en él y coincide con el

valor que toma la función en ese punto.

)()( afxfaxencontinuaf límax

=⇔=→

Esta definición implica que se cumplen las siguientes condiciones:

Existe el límite de la función en x = a.

Existe f(a)

)()( afxflímax

=→

Diremos que una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en

él (por ejemplo los límites laterales son distintos), o existiendo, no coincide con el valor

de la función en el mismo.

• DERIVABILIDAD

Se define la derivad de la función f en el punto a como el límite, si existe, dado

por:

h

afhaflímh

)()(

0

−+→

o bien, ax

afxflím

ax −−

→

)()(

En la práctica, para calcular derivadas se recurre a las reglas de derivación (ver

cuadro que se adjunta en el libro)

Relación entre continuidad y derivabilidad

f derivable en x = a ⇒ f es continua en x = a

Ecuación de la recta tangente

)()()( 000 xxxfxfy −⋅′=−

Regla de L´Hôpital

Se puede aplicar sólo en las indeterminaciones del tipo: 0

0ó

∞∞

. El teorema

dice lo siguiente:

Si existe )(́

)(́

xg

xflím

ax→, tanto si es finito o infinito, entonces:

)(́

)(́

)(

)(

xg

xf

xg

xflímlím

axax →→=

Observación: Los tipos ∞⋅0 ó ∞−∞ se pueden reducir a uno de los tipos 0

0ó ∞∞

, transformando

adecuadamente las expresiones.

• Representación de funciones

MATEMÁTICAS II

1) Dominio: Conjunto donde se define la función. Para calcularlo:

a) Si la función es racional (fracción) se iguala el denominador a 0.

b) Si la función es irracional (aparece √) se estudia cuando el radicando (lo

que aparece dentro de la raíz) es negativo.

2) Cortes con los ejes

a) EJE X: y = 0

b) EJE Y: x = 0

3) Asíntotas:

a) Verticales : Los valores que “dan problemas” en el dominio. Estudiar

límites laterales en esos puntos para observar la posición con respecto a la asíntota.

b) Horizontales : Se estudia )(xflímx ∞→ .

c) Oblicuas : y = mx + n ; siendo

x

xfm lím

ax

)(→

=

xmxfn límax

⋅−=→

)(

4) Monotonía y curvatura

Calcular la primera derivada de la función e igualarla a cero ( )0)(́ =xf

Si f `(x) = 0 entonces se tienen los posibles máximos o mínimos.

a) Monotonía: se estudia el signo de la primera derivada:

Si 0)(́ ≤xf en un intervalo entonces la función es decreciente en ese intervalo.

Si 0)(́ ≥xf en un intervalo entonces la función es creciente en ese intervalo.

b) Curvatura: estudiar la segunda derivada en los puntos en los que 0)(́ =xf

Si 0)(́ =af y 0)´́ ( <af se tiene que x = a es un máximo.

Si 0)(́ =af y 0)´́ ( >af se tiene que x = a es un mínimo.

Si 0)´́ ( =af y 0)´́ (́ ≠af se tiene que x = a es un punto de

inflexión.

5) Esbozo de la gráfica

Representar la función utilizando todos los datos obtenidos anteriormente.