RESUMEN CAPTULO N2: TEORA DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

2.1. Solicitaciones externas y comportamiento de sistemas estructurales: Se estudia sistemas estructurales en reposo ante solitaciones externas como:

Cargas estticas Movimientos de los apoyos de la estructura Cambios de temperatura

El comportamiento o respuesta a observar es:

Distribucin de esfuerzos y resultantes (fuerzas internas) Deformaciones unitarias y desplazamientos

2.2. Esfuerzo en un punto:

Se tiene una fuerza infinitesimal F que acta en un rea similar A, esta fuerza puede descomponerse en una normal y otra paralela llamadas normal y cortante que producen los siguientes esfuerzos:

F/A = esfuerzo promedio Fn/A = esfuerzo normal promedio

Fs/A = esfuerzo cortante promedio

El concepto de esfuerzo en un punto est dado por:

() = lim

Llamado vector esfuerzo, mientras que tambin podemos definir a:

() = lim

() = lim

Llamados vector de esfuerzo normal y vector de esfuerzo cortante. 2.3. Notacin de esfuerzos: Elemento diferencial = paraleleppedo de lados dx, dy y dz; en cada cara acta una componente de esfuerzo normal y la componente de esfuerzo cortante se descompone en dos.

ij = componente del esfuerzo actuando en la cara i, orientado en la direccin j

El arreglo de las 9 componentes se llama TENSOR DE ESFUERZOS:

=

2.4. Esfuerzos en una direccin arbitraria: Para cualquier plano del paraleleppedo rectangular se cumple que la resultante en cada cara es igual a:

= (,, ) = (, , ) = (, , )

Luego podemos tener un esfuerzo arbitrario P en un plano P cualquiera y su normal N correspondiente a ese plano:

El vector normal estar definido por:

= ( ,, ) = (cos , cos , cos ) Finalmente el vector arbitrario se define como:

El esfuerzo normal y el esfuerzo cortante en el plano P sern iguales a:

2.5. Transformacin de esfuerzos, esfuerzos principales y otras propiedades: Ahora necesitamos conocer el valor del nuevo tensor de esfuerzos para un sistema x-y-z nuevo que pasa tambin por el punto de origen O y son mutuamente ortogonales. Cosenos directores del nuevo sistema X,Y,Z:

Luego los esfuerzos normales sern igual a:

Los esfuerzos cortantes sern igual a:

Finalmete se obtiene una ecuacin matricial como:

Esfuerzos Principales:

Sea el mismo plano P, para hallar el esfuerzo normal mximo en el mismo sistema anterior, se debe cumplir que el esfuerzo cortante es cero en ese plano y el esfuerzo total coincide con el esfuerzo normal, entonces:

Luego tenemos:

Se tiene una ecuacin cbica:

Donde el valor de cada una de las INVARIANTES es igual a:

Las tres invariantes vienen a ser constantes para un determinado estado de esfuerzos.

Si las invariantes se calculan usando los tres ejes principales, entonces se puede escribir:

Otra manera de clculo de esfuerzos principales es a travs de esfuerzo distorsionante o desviador Td:

Direcciones Principales:

Esfuerzo Cortante Mximo:

Las direcciones de las normales a los planos de los esfuerzos cortantes mximos son:

Esfuerzos Octaedrales u Octadricos: Ser necesario conocer los esfuerzos normales y cortantes en los planos octadricos ya que las normales a dichos planos hacen ngulos iguales con los ejes principales. Los cosenos directores de los ngulos son iguales en valor absoluto, luego:

+ + = 13 Los ngulos asociados son:

= = = 54.45

El esfuerzo normal octadrico es:

El esfuerzo cortante octadrico es:

Se pueden calcular los esfuerzos octadricos en base a las invariantes:

Ahora en base al sistema convencional de x-y-z:

Esfuerzo Medio y Esfuerzo Desviador: Se define el esfuerzo medio como:

Luego tenemos:

El tensor medio de esfuerzos representa a un estado de esfuerzos uniforme en las tres direcciones y se asocia al cambio de dimensiones del cuerpo (volumen) sin variar la forma original. Mientras que el tensor desviador est asociado con el cambio de forma (distorsin) del cuerpo. Si tenemos en funcin a ejes principales se expresa:

Las invariantes de estos esfuerzos sern:

Estado Plano de Esfuerzos:

Como las cargas actan solamente en los bordes y no en las caras de la placa, asimismo como la placa es muy delgada podemos asumir lo siguiente:

Si queremos transformar los esfuerzos a un nuevo sistema x-y, los cosenos directores sern:

Las componentes de este sistema rotado sern:

Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo en estado plano de esfuerzos: Los esfuerzos principales o esfuerzos normales mximos sern:

El ngulo de los ejes principales ser:

El esfuerzo cortante mximo ser:

Cuyo ngulo es:

Crculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos: Se tiene:

Donde los esfuerzos normales son las abscisas y los esfuerzos cortantes son las ordenadas.

Sea tambin:

Los esfuerzos principales se hallaran como:

Y el ngulo de giro se obtiene como:

Para una rotacin cualquiera se tiene que:

Para el esfuerzo cortante mximo se tiene: