7.1 INTEGRACION POR PARTES

∫ udv=uv−∫ vdu

Se aplica cuando se presenten integrales que involucran producto de potencias xn con funciones trascendentales (exponenciales logarítmicas y trigonométricas). Generalmente el exponente n se relaciona con las veces que es necesario hacer la integración por partes.

Al seleccionar la variable u se suele tomar a xn para que al derivarla reduzca su grado y en cuanto a dv será el resto de la integral que usualmente es fácil de integrar.

Ejemplo 7.1.1

∫ x2 sen5 x dx

Para este caso u=x2 ;du=2xdx y dv=sen5 xdx ;v=−15cos 5x

∫ x2 sen5 x dx=−15

x2

cos5 x+ 25∫ xcos 5x dx

En el segundo miembro de la igualdad u=x ;du=dx y dv=cos5 xdx ;v=15sen5 x

∫ x2 sen5 x dx=−15

x2

cos5 x+ 25 [ x cos5 x−15∫ sen5 x dx ]

∫ x2 sen5 x dx=−15

x2

cos5 x+ 25xcos 5x+ 1

25cos 5x+C

Existen casos en que la integral original debe ser modificada para poderla hacer por partes

Ejemplo 7.1.2

∫ x3√1+x2dxPara alguien que ya ha visto el curso completo de técnicas de integración lo más seguro es que abordará esta integral como un caso de sustitución trigonométrica. Pero en estas circunstancias como la piden por partes se modifica a la siguiente forma:

∫ x2 (x √1+x2 )dx

Así u=x2 ;du=2xdx y dv=(x √1+x2 )dx; v=13

(1+x2 )32

∫ x2 (x √1+x2 )dx=13x2 (1+x2 )

32−13∫2 x (1+x2 )

32 dx

∫ x2 (x √1+x2 )dx=13x2 (1+x2 )

32− 215

(1+x2 )52+C

7.2 ALGUNAS INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

Antes de empezar es útil saber que existen las siguientes identidades trigonométricas que ayudan a resolver integrales trigonométricas

a) Identidades de ángulo doble

sen2x=2 senx cos x ;cos 2x=cos2 x−se n2 x ; tan2 x=¿ 2 tan x

1−tan2 x¿

b) Identidades de ángulo medio

sen2 x=1−cos2 x2

;cos2 x=¿ 1+cos2 x2

¿

c) Identidades de suma y resta de ángulos

sen ( x± y )=sen x cos y± cos x sen y

cos (x ± y )=cos x cos y∓sen x sen y

tan (x ± y )= tan x± tan y1∓ tan x tan y

d) Identidades de producto de senos y cosenos de ángulos diferentes

sen xcos y=12

[sen (x− y )+sen (x+ y) ]

sen x sen y=12

[cos (x− y )−cos (x+ y) ]

cos x cos y=12

[cos ( x− y )+cos (x+ y) ]

e) Identidades pitagóricas

sen2 x+cos2 x=11+ tan2 x=sec 2 x1+cot2 x=csc2 x

Existen integrales que combinan productos de:

senm xcosn x secmx tann x cscmx cotn x

Siendo m yn∈ z≥1 que dependiendo si son pares o impares existen unas estrategias para su solución.

Cuando el coseno tiene exponente impar, aísle un coseno y exprese lo demás en termino de seno y haga u=sen xEjemplo7.2.1

∫ cos3 x

sen4 xdx

Como el coseno es impar aplicamos la sugerencia

¿∫ cos2 xcos xsen4 x

dx

Ahora se expresa el resto de los factores en términos de seno

¿∫ (1−sen2 x)cos xsen4 x

dx

Ahora se hace el siguiente cambio de variable:

u=senx du=cos x dx

Entonces la integral queda así:

¿∫ (1−u2 )u4

du

¿∫u−4du−∫u−2du

¿ u−3

−3−u−1

−1+C

¿−13 ( 1u3 )+( 1u )+C

¿−13 ( 1

sen3 x )+( 1senx )+C

∫ cos3 x

sen4 xdx=−1

3csc3 x+csc x+C

Si el seno tiene exponente impar se aísla un seno y exprese lo demás en términos de coseno y haga u=cos x

Ejemplo 7.2.2

∫ sen5ucos4udu

Como el seno es impar se utiliza la sugerencia planteada

∫cos4u(se n2u)2 senudu=∫cos4u(1−cos2u)2 senu du

z=cos udz=−senudu

La integral queda:

−∫ z4 (1−z2 )2dz=−¿∫ ( z4−2 z6+z8 )dz ¿

∫ (2 z6−z4−z8 )dz=2 z7

7− z5

5− z9

9+C

∫ sen5ucos4udu=¿2 cos7u7

− cos5u5

− cos9u9

+C ¿

Si la secante tiene exponente par, aísle un factor cuadrático de la secante y exprese lo demás en términos de tangente y haga u=tan x

Ejemplo 7.2.3

∫√tanx sec4 xdx

Como el exponente de la secante es par se utiliza la sugerencia planteada

∫ ( tan x )12 sec 2 x sec2 xdx

Ahora se expresa la primera secante cuadrática en función de tangentes

Recordemos que sec2 x=1+ tan2 x

∫ ( tan x )12 (1+ tan2 x ) sec2 xdx

Ahora hacemos cambio de variable: u=tanx du=sec2 xdx

∫ (u )12 (1+u2 )du

∫ (u )12du+∫ (u )

52du

23u32+ 27u72+C

∫√tanx sec4 xdx=23

(tanx )32+27

(tanx )72+C

Si la tangente tiene exponente impar se aísla un producto secante-tangente y lo demás se expresa en términos de secante y haga u=sec x

Ejemplo 7.2.4

∫ tan3 x sec3 x dx

Como el exponente de la tangente es impar se utiliza la sugerencia planteada

∫ tan2 x sec2 x sec x tanx dx

Recordemos que:tan2 x=sec2 x−1

∫ ( sec2 x−1 ) sec2 x sec x tan x dx

Luegou=sec x Entonces du=sec x tan xdx

La integral queda entonces:

∫ (u2−1 )u2du

Luego ∫ tan3 x sec3 x dx=u5

5−u3

3+C

Finalmente:

∫ tan3 x sec3 x dx= sec5 x5

− sec3 x3

+C

Sustitución Diferencial Grafica asociada

x=a tan θ

x=a senθ

dx=asec2θdθ

dx=acosθdθ

x

aθ

xa

θ

7.3 SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

Esta estrategia se aplica al presentarse integrales que involucran los siguientes radicales

√ x2+a2; √a2−x2;√ x2−a2 Y similares

Ejemplo 7.3.1

∫ dx

(9+x2 )32

Como en el denominador aparece el caso x2+a2 se utilizax=√9 tan θ=3 tan θentoncesdx=3 sec2θEl triángulo asociado al caso es:

Al sustituir dx=3 sec2θ y x=3 tanθ en la integrar original y utilizando la identidad pitagórica

1+ tan2 x=sec2 x se tiene

∫ 3 sec2θdθ

3 ( sec2θ )32

=∫ sec 2θdθsec3θ

=¿∫ dθsecθ

=∫ cosθdθ=senθ=√x2+93

+C ¿

3

θ

x

√ x2+9

x=a sec θ

Ejemplo 7.3.2

∫ x2dx

√9−25 x2

Como en el denominador se presenta el caso a2−x2

Pero antes se reordena los términos del denominador

15∫ x2dx

√ 925−x2

x=35senθentoncesdx=3

5cosθdθ

El triángulo asociado con el caso es:

Al hacer las sustituciones respectivas y utilizar la identidad pitagórica 1−se n2 x=cos2 x

15∫

925

se n2θ35cos θdθ

35cosθ

=9125∫ sen2θdθ=

9125∫

12

(1−cos2θ )dθ

9250 [ 12 θ−14 sen2θ]= 9

500θ− 9500

senθ cosθ

9500

arcsen5x3

− 9500

5 x3

5√ 925− x2

3= 9500

arcsen (5 x3 )− 120 √ 925−x2+C

Ejemplo 7.3.3

∫ dx

√ x2−6 x−16

Primero se debe completar el cuadrado de la expresión del denominador así:

√ 925−x2

θ

x

35

∫ dx

√ x2−6 x+9−16−9=∫ dx

√ ( x−3 )2−25

Si z=x−3entonces dz=dx luego :

∫ dz

√ z2−25Como el denominador es de la forma x2−a2 se utiliza:

z=5 secθentonces dz=5 sec θ tan θdθ y el triángulo asociadoal casoes :

Al hacer los remplazos respectivos y utilizar la identidad pitagórica sec2 x−1=tan2 x se tiene:

∫ 5 sec θ tanθdθ5 tan θ=∫ sec θdθen este caso semultiplica y divide por sec θ+ tanθ así :

∫ sec θsecθ+ tan θsecθ+ tan θ

dθ=¿∫ sec2θ+sec θ tan θsecθ+ tan θ

dθ ¿

Se recomienda usar u=sec θ+ tan θEntonces du=( secθ tan θ+sec 2θ )dθ

Entonces se tiene:

∫ duu

=ln|sec θ+ tan θ|+C=ln|z5 + √z2−255 |+C

∫ dx

√ x2−6 x−16=ln|x−35 + √(x−3)2−25

5 |+C=ln|x−35 + √x2−6 x−165 |+C

7.4 FRACCIONES PARCIALES

Son aquellas que presentan expresiones racionales de la forma P ( x )Q ( x )

conQ ( x )≠0 siendo P(x) y

Q(x) polinomios de tal forma que el grado del denominador siempre sea mayor que el grado del polinomio del numerador

5

θ

√ x2−25

z

Caso 1 El denominador presenta factores lineales de la forma (x−a¿ no repetidos

Ejemplo 7.4.1

∫ 4 x2+5x3−10 x2−96 x

dx

Factorizando el denominador se tiene:

∫ 4 x2+5x ( x−16 ) (x+6 )

dx=¿∫ Axdx+∫ B

x−16dx+∫ C

x+6dx¿

Ahora se calculan los valores de A, B y C

Ax

+ Bx−16

+ Cx+6

=A (x−16 ) (x+6 )+Bx (x+6 )+Cx(x−16)

x (x−16 ) ( x+6 )= 4 x2+5x ( x−16 ) (x+6 )

Si x=0 en los numeradores de las dos últimas igualdades se tiene:

−96 A=5 A=−596

Si x=16 se tiene:

352B=1029B=1029352

Si x=−6 se tiene:

132C=149C=149132

Ahora se resuelven las integrales con los valores encontrados para A, B y C

∫−596x

dx+∫1029352x−16

dx+∫149132x+6

dx

∫ 4 x2+5x3−10 x2−96 x

dx=−596ln ( x )+ 1029

352ln (x−16 )+149

132ln ( x+6 )+C

Caso 2 El denominador presenta factores lineales de la forma (x−a¿ repetidos

Ejemplo 7.4.2

∫ 2x+5dx( x+5 ) (x−3 )2

Esta integral debe ser equivalente a:

∫ Ax+5

dx+∫ Bx−3

dx+∫ C

( x−3 )2dx

Se determinan los valores de A, B y C

A (x−3 )2+B ( x+5 ) ( x−3 )+C (x+5)( x+5 ) ( x−3 )2

= 2x+5( x+5 ) (x−3 )2

Si x=−564 A=−5 A=−564

Si x=38C=11C=118

Si x=09 (−564 )+B (−15 )+ 118

(5 )=2 (0 )+5 B= 564

∫−564x+5

dx+∫564x−3

dx+∫118

( x−3 )2dx

∫ 2x+5dx( x+5 ) (x−3 )2

=−564ln ( x+5 )+ 5

64ln ( x−3 )−11

81

( x−3 )+C

Caso 3 El denominador presenta factores cuadráticos irreducibles no repetidos

Ejemplo 7.4.3

∫ x+4x4+9 x2

dx

Factorizando el denominador se obtiene:

∫ x+4x4+9 x2

dx=∫ x+4x2 (x2+9 )

dx

Siendo x2→factor lineal repetido y x2+9→un factor cuadrático irreducible

Entonces:

∫ x+4x2 (x2+9 )

dx=¿ Ax

+ B

x2+Cx+D

x2+9¿

Operando la suma de fracciones algebraicas se tiene:

x+4x2 (x2+9 )

=Ax (x2+9 )+B ( x2+9 )+(Cx+D ) x2

x2 (x2+9 )

Al hacer las multiplicaciones de monomio por polinomios en el numerador del lado derecho de la igualdad se tiene:

x+4x2 (x2+9 )

= A x3+9 Ax+B x2+9B+C x3+D x2

x2 (x2+9 )

Ahora se igualan los numeradores de la igualdad

x+4=( A+C ) x3+ (B+D ) x2+9 Ax+9B

Al igualar término a término se presentan las siguientes ecuaciones:

A+C=0 ECUACION 1

B+D=0 ECUACION 2

9 A=1 ECUACION 3

9 B=4 ECUACION 4

Al solucionar este sistema se tiene: {A=1

9

B=49

C=−19

D=−49

Finalmente la descomposición en fracciones parciales queda:

x+4x2 (x2+9 )

=

19x

+

49

x2−

19x+ 49

x2+9

La integral se expresa así:

19∫

dxx

+ 49∫

dx

x2−19∫

x dx

(x2+9 )+ 49∫

dx

x2+1

Al integrar directamente se tiene:

19ln x− 4

9 ( 1x )−19× 12 ln ( x2+9 )−¿ 49×13arctan

x3+C ¿

∫ x+4x4+9 x2

dx=19ln x−4

9 ( 1x )− 118ln (x2+9 )−¿ 4

27arctan

x3+C ¿

Caso 4 El denominador presenta factores cuadráticos irreducibles repetidos

Ejemplo 7.4.4

∫ 18

( x−1 ) (x2+5 )2dx

∫ 18

( x−1 ) (x2+5 )2dx=∫ A

(x−1)dx+∫ Bx+C

x2+5dx+∫ Dx+E

(x2+5 )2dx

Ahora se calculan los valores de A, B, C, D, y E

Ax−1

+Bx+Cx2+5

+Dx+E

(x2+5 )2=A (x2+5 )2+(Bx+C ) ( x−1 ) ( x2+5 )+(Dx+E)(x−1)

( x−1 ) (x2+5 )2

Si x=1 36 A=18 A=12

Organizando el numerador se tiene:

A+B=0

10 A+5 B−C+D=0

25 A−5C−E=18

−B+C=0

5C−5B+E−D=0

Al solucionar el sistema de ecuaciones se tiene:

A=12

B=−12

C=−12

D=−3E=−3

Las integrales a resolver son:

∫12

(x−1)dx+∫

−12

x−12

x2+5dx+∫−3 x−3

(x2+5 )2dx

∫12

(x−1)dx−

12∫

x

x2+5dx−

12∫

1

x2+5dx−3∫ x

(x2+5 )2dx−3∫ 1

(x2+5 )2dx

¿ 12ln ( x−1 )− 1

4ln ( x2+5 )− 1

2√5arctan( x

√5 )+ 32 1

(x2+5 )−3(sust trig )

Para la sustitución trigonométrica se tiene: x=√5 tan θdx=√5 sec2θdθ

El triángulo asociado con el caso es:

sust trig=−3√525

∫ cos3θ sen θdθ=3√5100

(cosθ)4=3√5100

cos (arccos( 1

√x2+5 ))4

sust trig=3√5100 ( 1

(x2+5 )2 )Finalmente:

√ x2+5

1

θ

√5

¿ 12ln ( x−1 )− 1

4ln ( x2+5 )− 1

2√5arctan( x

√5 )+ 32 1(x2+5 )

+ 3√5100 ( 1

(x2+5 )2 )+CEjemplo 7.4.5

Realizaremos un ejercicio en el cual el grado del polinomio del numerador es mayor o igual al del denominador.

∫ x3−2 x2−4x3−2 x2

dx

Primero se realiza la división polinomica y el la fracción se expresará como la suma del polinomio cociente y el residuo dividido entre el polinomio divisor, es decir:

P ( x )Q ( x )

=C ( x )+ R ( x )Q ( x )

Siendo C(x) = el polinomio cociente y R(x) el residuo

x3−2x2−4x3−2x2

=1− 4x3−2 x2

∫ x3−2 x2−4x3−2 x2

dx=∫1dx−∫ 4x3−2 x2

dx=x−4∫ dxx2 ( x−2 )

=x−4D

La segunda integral presenta factores lineales repetidos y no repetidos

D=∫ dx

x2 ( x−2 )=∫ [ Ax + B

x2+ Cx−2 ]dx

Al hallar los valores de A, B y C con los procedimientos explicados anteriormente se tiene

D=∫ [ −14x +

−12

x2+

14

x−2 ]dx=¿−14ln x+

12 x

+14ln(¿ x−2)+C ¿¿

Finalmente: ∫ x3−2 x2−4x3−2 x2

dx=x+ ln x−2x+ ln (x−2 )+C

7.8 INTEGTRALES IMPROPIAS

Son aquellas integrales definidas que presentan límites aparentemente indeterminados

Caso 1 INTEGRALES CON LIMITES INFINITOS

Subtipo 1.1 El límite superior es infinito

∫a

∞

f ( x )dx=limt→∞

∫a

t

f ( x )dx

Ejemplo 7.8.1.1.1

Halle la integral de ∫1

∞1

x2+xdx=lim

t→∞∫1

t1

x2+xdx

Resolviendo la integral se tiene por fracciones parciales se tiene:

limt →∞

∫1

t1xdx−¿∫

1

t1

x+1dx=lim

t→∞{ [ ln t−ln (t+1 ) ]−[ ln 1−ln 2 ] }=ln( lim

tt+1t→∞

)+ ln 2¿

¿ ln (lim

tt

tt+ 1t

t→∞

)+ ln 2=ln 1+ln 2=ln 2Subtipo 1.2 El límite inferior es infinito

∫−∞

b

f ( x )dx= limt →−∞

∫t

b

f ( x )dx

Ejemplo 7.8.1.1.2

Halle la integral de

∫−∞

o

x e2xdx= limt→−∞

∫t

0

x e2x dx

Resolviendo la integral por partes se tiene:

∫ x e2xdx

Siendo u=xdu=dx dv=e2x dx v= e2x

2

∫ x e2xdx=12x e2x−1

2∫e2x dx=12xe2x− 1

4e2x

∫−∞

o

x e2xdx= limt→−∞ [0−14−12 t e2 t+ 14 e2 t]=−1

4−12limt→−∞ [ t

e−2 t ]+ 14 ( 1∞ )Después de aplicar L´hopital

∫−∞

o

x e2xdx=¿−14−12limt→−∞ [ 1

−2e−2 t ]=−14

− 1∞

=−14

−0=−14

¿

Subtipo 1.3 Los límites son infinitos

∫−∞

∞

f ( x )dx= limt →−∞

∫t

c

f ( x )dx+ limt→∞

∫c

t

f ( x )dx

Siendo c cualquier número real.

Ejemplo 7.8.1.1.3

Hallar la integral de

∫−∞

∞x2

9+x6dx

∫−∞

∞x2

9+x6dx= lim

t→−∞∫t

0x2

9+x6dx+ lim

t →∞∫0

tx2

9+ x6dx

Resolvamos la integral por sustitución trigonométrica

∫ x2

9+x6dx

El triángulo asociado con este caso es:

3

θ

x3

√ x6+9 x3=3 tanθ

3 x2dx=3 sec2θ dθ

Entonces la integral queda:

∫ x2

9+x6dx=∫ sec2θ

9+9 tan2θdθ=1

9∫ dθ=1

9θ

Luego:

limt→−∞ [ 19 (0 )−1

9tan−1 t

3

3 ]+ limt →∞ [ 19 tan−1 t3

3−19(0)]

−19 (−π

2 )+ 19 ( π2 )= π18

+ π18

= π9

A TENER EN CUENTA:

∫1

∞1x p dx escovergente si p>1 y es divergente si p≤1

Caso 2. INTEGRALES CON DISCONTINUIDADES

Subtipo 2.1 Integrales cuyo límite superior hace discontinua al integrando

Si f ( x ) es discontinuaenb entonces∫a

b

f ( x )dx= limt→b−¿∫

a

t

f (x )dx

¿¿

Ejemplo 7.8.2.1.1

Hallar la integral de:

∫2

31

√3−xdx

∫2

31

√3−xdx=lim ¿

t→3−¿∫2

t1

√3−xdx¿¿

lim ¿t→3−¿ [−2 (3−t )

12−(−2) (3−2)

12 ]=[0+2]=2¿

¿

Subtipo 2.2 Integrales cuyo límite inferior hace discontinua al integrando

Si f ( x ) es discontinuaen aentonces∫a

b

f ( x )dx= limt→a+¿∫

t

b

f ( x )dx

¿¿

Ejemplo 7.8.2.2.1

Hallar la integral de:

∫0

2

x2 ln xdx

∫0

2

x2 ln xdx=lim ¿t→0+¿∫

t

2

x2 ln xdx¿¿

La integral se resuelve por partes

∫ x2 ln xdx u=ln x du=1xdxdv=x2dx v= x3

3

∫ x2 ln xdx= x3

3ln x−∫ x2

3dx= x3

3ln x− x3

9

Entonces

∫0

2

x2 ln xdx=lim ¿t→0+¿[ 233 ln2−2

3

9−t3

3ln t+

t3

9 ]=83 ln2−89−¿ lim ¿t →0+¿t3

3ln t ¿ ¿¿

¿¿

¿ 83ln2−8

9−¿ lim ¿

t→0+¿ ln t3t3

¿¿¿

Aplicando L´hopital al tercer término se tiene:

∫0

2

x2 ln xdx=83ln 2−8

9−lim ¿

t→0+¿

1t

−9t4

=83ln 2−8

9−lim ¿ t→0+ ¿(−9 t3)=¿ ¿

¿¿¿¿

∫0

2

x2 ln xdx=83ln 2−8

9−0=8

3ln2−8

9

Subtipo 2.3 Integrales que poseen un valor dentro de los límites de integración tal que el integrando es discontinuo

Sia<c<b y elintegrando esdiscontinuo en centonces :

∫a

b

f ( x )dx=¿∫a

c

f ( x )dx+∫c

b

f (x )dx ¿

Ejemplo 7.8.2.3.1

Hallar la integral de:

∫0

91

3√ x−1dx

Como en x = 1 el integrando es discontinuo se tiene:

∫0

91

3√ x−1dx=∫

0

11

3√ x−1dx+∫

1

91

3√x−1dx

La integral se resuelve fácilmente por sustitución simple y queda 323√ ( x−1 )2

¿ lim ¿t→ 1−¿[ 32 3√( t−1)2− 3

23√ (0−1)2 ]+lim ¿

t →1+¿ [ 32 3√ (9−1)2−32

3√ (t−1)2]¿ ¿¿¿

¿0−32+32

(8 )23=

−32

+6=92

8.1 LONGITUD DE CURVA

Si una función es continua en un intervalo [a ,b ] su longitud se puede determinar con las expresiones:

L=∫a

b

√1+( dydx )2

dx si y=f (x )

O bien

L=∫c

d

√1+( dxdy )2

dy si x=f ( y )

Ejemplo 8.1.1

Hallar la longitud de la curva y= X3

3+ 14 x

en elintervalo1≤x ≤2

dydx

=x2− 14 x2

=4 x2−14 x2

( dydx )2

=( 4 x2−14 x2 )2

=16 x8−8x4+116 x4

a b

c

d

( dydx )2

+1=16 x8−8 x4+1

16 x4+1=

16 x8−8 x4+1+16 x4

16 x4=16 x8+8x 4+1

16 x4=

(4 x4+1 )2

16 x4

√( dydx )2

+1=√ (4 x4+1 )2

16 x4=4 x4+14 x2

=x2+14x−2

Luego:

L=∫a

b

√1+( dydx )2

dx=∫1

2

x2+ 14x−2dx=[ x33 − 1

4 x ]21=[ 83−18−13 + 14 ]=5924

Ejemplo 8.1.2

Hallar la longitud de la curva x=13√ y ( y−3 ) enel intervalo1≤ y ≤9

dxdy

=16y

−12 ( y−3 )+ 1

3y12=16y

−12 [ y−3+2 y ]=1

6y

−12 [3 y−3 ]= y−1

2 y12

( dxdy )2

=( y−12 y12 )

2

= y2−2 y+14 y

( dxdy )2

+1= y2−2 y+14 y

+1= y2−2 y+1+4 y4 y

= y2+2 y+14 y

=( y+1 )2

4 y

√( dxdy )2

+1=√ ( y+1 )2

4 y= y+1

2 y12

=12y12+ 12y

−12

Luego:

L=∫c

d

√1+( dxdy )2

dy=∫1

912y12+ 12y

−12 dy=¿ [13 y

32+ y

12 ]91=13 (9 )

32+(9 )

12−13−1=32

3¿

8.2 AREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCION

Si se hace girar la recta y = k alrededor del eje x en el intervalo cerrado x∈ [a ,b ] se obtendrá un cilindro cuya superficie no plana (la de revolución) está determinada por la LONGITUD de la circunferencia y el ancho del intervalo es decir: 2πr (b−a ) , siendor el radio.

De manera similar si una función continua en un intervalo cerrado se hace girar en torno a un eje determinado, el área de su superficie de revolución se calcula con las siguientes expresiones:

Si gira en torno al eje x:

S=∫ 2πydsds=√1+( dydx )2

dx ó ds=√1+( dxdy )2

dy

Si gira en torno al eje y:

S=∫ 2πxdsds=√1+( dydx )2

dx ó ds=√1+( dxdy )2

dy

Ejemplo 8.2.1

Halle el área de la superficie que se obtiene al girar y=√1+4 x en torno al eje x en el intervalo x∈ [1,5 ]

S=∫ 2πydscomo y=f ( x )ds=√1+( dydx )2

dx

y=√1+4 x dy= 2

√1+4 xdx

Entonces:

( dydx )2

= 41+4 x

( dydx )2

+1=4 x+51+4 x

S=∫1

5

2πyds=∫1

5

2π √1+4 x √ 4 x+51+4 xdx=∫

1

5

2 π √4 x+5dx=¿ [2 π ( 14 )( 23 ) (4 x+5 )32 ]51¿

S= π3

[2532−932 ]=π3

[125−27 ]=983π

Ejemplo 8.2.2

Halle el área de la superficie que se obtiene al girar x=13

( y2+2 )32 en torno al eje x en el

intervalo y∈ [1,2 ]

S=∫ 2πydscomo x=f ( y )ds=√1+( dxdy )2

dy

x=13

( y2+2 )32dx= y ( y2+2 )

12 dy

( dxdy )2

= y2 ( y2+2 )= y4+2 y2

( dxdy )2

+1= y4+2 y2+1=( y2+1 )2

√( dxdy )2

+1= y2+1

Luego:

S=∫1

2

2πy ( y2+1 )dy=2π∫1

2

( y3+ y )dy=2π [ y44 + y2

2 ]21=2π [4+2−14−12 ]=212 π

Ejemplo 8.2.3

Halle el área de la superficie que se obtiene al girar y= 3√x en torno al eje y en el intervalo y∈ [1,2 ]

S=∫ 2πxdscomo y=f ( x )ds=√1+( dydx )2

dx

y=x13 dy=1

3x

−23 dx

dydx

=13x

−23

( dydx )2

=19x

−43

( dydx )2

+1=19x

−43 +1=

9 x43+1

9x43

Al remplazar los valores de y del intervalo en la función se obtienen los respectivos valores del intervalo de las x

S=∫1

3√2

2πx √ 9 x43+1

9 x43

dx

Como esta integral es muy complicada es mejor expresar a x en función de y así:

x= y3dx=3 y2dy

dxdy

=3 y2luego( dxdy )2

+1=9 y4+1

Entonces:

S=∫1

2

2πx √( dxdy )2

+1dy=2π∫1

2

y3√9 y 4+1dy

Esta integral es directa:

S=[2π ( 136 )( 23 ) (9 y4+1 )32]21= 1

27π [14532−10 32 ]≅ 63,5 π

Ejemplo 8.2.3

Halle el área de la superficie que se obtiene al girar x=√a2− y2 en torno al eje y en el intervalo

y∈[0 , a2 ]S=∫ 2πxdscomo x=f ( y )ds=√1+( dxdy )

2

dy

x=(a2− y2 )12 dx= y (a2− y2 )

−12 dy

dxdy

= y

(a2− y2 )12

( dxdy )2

+1= y2

a2− y2+1= a2

a2− y2

√( dxdy )2

+1=√ a2

a2− y2= a

√a2− y2

S=∫ 2πxds=2π∫0

a2

√a2− y2a

√a2− y2dy=2π∫

0

a2

ady=2π [ay ]a20=2π [ a22 −0]=π a2

10.1 CURVAS PARAMETRICAS

La posición de una partícula en el plano cartesiano está determinada por sus coordenadas (x,y).

Supongamos que dichas coordenadas dependen de una tercera variable, como por ejemplo el tiempo a la que denominaremos t, entonces se obtienen ecuaciones paramétricas para ambas coordenadas así:

x=f ( t ) y=f (t)

Entonces se puede trazar una curva en función del parámetro t

Ejemplo 10.1.1

Esquematice la curva usando las ecuaciones paramétricas e indique con una flecha la dirección en que se incrementa el parámetro.

x=t 2+ t y=t 2−t−2≤ t ≤2

Hallemos los puntos de corte con los ejes cartesianos

Si x = 0 t 2+ t=0 ,t ( t+1 )=0 ; t=0 y t=−1

Si y = 0 t 2−t=0 , t ( t−1 )=0; t=0 y t=1

Estos valores de t son importantes al hacer la tabulación

t x y-2 2 6

-1,5 0,75 3,75-1 0 2

-0,5 -0,25 0,750 0 0

0,5 0,75 -0,251 2 0

1,5 3,75 0,752 6 2

Ejemplo 10.1.2

x

y

Esquematice la curva usando las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro convirtiéndola en coordenadas rectangulares

x=e t−1 y=e2t

Como se sabe el valor de t para ambas coordenadas no tiene restricción

t x y-4 -0,98 0-3 -0,95 0,002-2 -0,86 0,018-1 -0,63 0,140 0 11 1,72 7,392 6,39 54,63 19,09 403,4

Para convertir a coordenadas cartesianas se despeja a e tde la primera ecuacion

e t=x+1elevandoal cuadrado setiene

e2 t=x2+2 x+1 y se remplazaen laecuacion parametricade y así :

y=x2+2 x+1

Lo cual corresponde a una parábola, sin embargo solo toma valores positivos para la y como lo indica la gráfica ya que e2 tnuncaserá negativo

Ejemplo 10.1.3

Si a y b so números fijos, halla las ecuaciones paramétricas para la curva que consiste de todos las posibles posiciones del punto P en la figura, usando el ángulo θ como parámetro. Luego elimine el parámetro e identifique la curva.

x

y

De la figura se deduce que:

x=a cosθ y=b senθ

xa=cosθ y

b=senθ

( xa )2

=cos2θ ( yb )2

=se n2θ

x2

a2=cos2θ y2

b2=se n2θ

Si se suman estas dos últimas expresiones se tiene:

x2

a2+ y2

b2=cos2θ+se n2θ

x2

a2+ y2

b2=1

Esta ecuación corresponde a una Elipse

10.2 CACULO CON CURVAS PARAMETRICAS

Con las ecuaciones paramétricas se pueden obtener:

Tangentes

m=dydx

=dydt

∙dtdx

=

dydtdxdt

Áreas

A=∫ g (t ) f ´ (t )dt

Longitudes de arcos

L=∫√( dxdt )2

+( dydt )2

dt

b

Pθ

a

Áreas de superficies de revolución respecto al eje x

S=2πy∫ √( dxdt )2

+( dydt )2

dt

Ejemplo 10.2.1

Halle la ecuación de la recta tangente a la curva x=sen3θ y=cos3θ

Si θ=π6

m=

dydθdxdθ

dxdθ

=3cosθ sen2θ dydθ

=−3 senθ cos2θ

m=−3 senθ cos2θ3cosθ sen2θ

=−cot θ

Como θ=π6

entonces

m=−cot π6=−√3

La ecuación de la recta es de la forma y− yo=m(x−xo)

Para θ=π6

xo=se n3π6yo=cos

3 π6

xo=18yo=

3√38

La ecuación de la recta tangente es:

y−3√38

=−√3(x−18 )Ejemplo 10.2.2

Hallar la longitud de arco de la curva planteada en el intervalo 0≤ t ≤1

x=t sent y=t cos t

dxdt

=sent+t cos t dydt

=cos t−t sent

( dxdt )2

=se n2t+2 t sent cost+t 2cos2t

( dydt )2

=cos2 t−2tsen t cos t+t 2 sen2t

( dxdt )2

+( dydt )2

=1+t2

Entonces:

L=∫√( dxdt )2

+( dydt )2

dt

L=∫0

1

√1+t 2dt

Esta integral se resuelve con sustitución trigonométrica y su triangulo asociado es el siguiente:

t=tanθ dt=sec2θdθ

L=∫ sec θdθ=ln|sec θ+ tan θ|= [ln|√1+t 2|+ t ]10=ln|√2+1|

1

θ

t

√ t2+1

10.3 COORDENADAS POLARES

Es un sistema de coordenadas introducido por Newton y es muy conveniente en muchos propósitos. En este sistema un punto se representa utilizando dos parámetros que son r y θ

Siendo r la distancia que va desde el POLO hasta al punto de estudio P y θ el ángulo positivo medido desde el EJE POLAR hasta el radio r

Veamos la siguiente gráfica para comprender el concepto de como representar un punto en el plano polar

Entonces cada punto se expresa en función del radio y del ángulo

Existen casos en que el radio es negativo y para dicho caso el punto queda sobre la misma línea que incluye al radio pero en el cuadrante opuesto. Así si por ejemplo un punto tiene coordenadas

(5 , π3 ) entonces su punto opuesto es (−5 , 23 π) vea la siguiente gráfica:

P(r , θ)

poloeje polar

r

θ

23π

P1(5 , π3 )5

P2(−5 , 23 π)

π3

Conexión entre coordenadas polares y rectangulares

Es fácil deducir aplicando trigonometría básica que la relación es la siguiente:

x=r cosθ y=r senθ

x2+ y2=r2 tan θ= yx

Se puede definir la tangente de la curva como:

m=

dydθdxdθ

=( drdθ senθ+r cosθ)( drdθ cos θ−r senθ)

Ejemplo 10.3.1

Identifique la curva dada su ecuación polar

r=tan θ sec θ

Al rescribir se tiene:

r= yx∙rx

Dividiendo por r se tiene:

y=x2

La cual corresponde a una parábola con su eje de simetría x = 0 que abre hacia arriba

Ejemplo 10.3.2

Halle la ecuación polar a partir de su ecuación cartesiana

xy=4

Esta ecuación corresponde a una hipérbola con asíntota vertical x = 0 y asíntota horizontal y = 0

Al rescribir se tiene:

r cosθ ∙ r senθ=4

Mejor aún:

r2= 4senθcosθ

= 8sen2θ

Ejemplo 10.3.3

Esquematice la curva con la ecuación polar dada

r=1−cosθ

El dominio de la curva es −2π ≤θ≤2π Los valores de θ donde r es nulo corresponden a 1−cosθ=0 luego cosθ=1 ,

θ=0 y2 π

Los valores der donde la gráfica corta al eje y corresponde a θ=π2y32π entonces:

r=1−cos π2=1 yr=1−cos 3

2π=1

Los cortes con el eje y son entonces: (1 , π2 ) y (1 , 32 π ) Cálculo donde la tangente a la curva es horizontal y vertical:

Como drdθ

=senθ entonces:

m=

dydθdxdθ

=( drdθ senθ+r cosθ)( drdθ cos θ−r senθ)

= sen2θ+r cosθsenθ cosθ−r senθ

Para que la pendiente sea horizontal m = 0, entonces:

sen2θ+r cosθ=0

sen2θ+(1−cosθ ) cosθ=0

sen2θ+cosθ−cos2θ=0

Pasando todo a coseno se tiene:

2cos2θ−cosθ−1=0

Que es una ecuación que se factoriza como:

(2cosθ−2 ) (2cosθ+1 )=0

cosθ=1θ=0 y 2π

cosθ=−12θ=23π y

43π

Para que la pendiente sea vertical el denominador en la expresión de la tangente debe ser cero, entonces:

senθ cosθ−r senθ=0

senθ cosθ−(1−cosθ)senθ=0

2 senθ cosθ−senθ=0

senθ ¿

senθ=0θ=0 , π y2π

cosθ=12θ= π3y53π

A continuación se muestra la gráfica completa con las tangentes

Ejemplo 10.3.4

Esquematice la gráfica de la curva r=1−2 senθ

El dominio de la curva es −2π ≤θ≤2π

x

y

Los valores de θ donde r es nulo corresponden a 1−2 senθ=0 luego senθ=12

y

θ=π6y56π

Los valores der donde la gráfica corta al eje y corresponde a θ=π2y32π entonces:

r=1−2 sen π2=−1 yr=1−2 sen 3

2π=3

Los cortes con el eje y son entonces: (−1 , π2 ) y (3 , 32 π ) Cálculo donde la tangente a la curva es horizontal y vertical:

Como drdθ

=senθ entonces:

m=

dydθdxdθ

=( drdθ senθ+r cosθ)( drdθ cos θ−r senθ)

=−2cos θ senθ+(1−2 senθ)cosθ

−2cos2θ−(1−2 senθ) senθ

Para que la pendiente sea horizontal m = 0, entonces:

−2cosθ senθ+(1−2 senθ ) cosθ=0

−4 senθ cos θ+cosθ=0

cosθ (¿−4 senθ+1)=0¿

cosθ=0θ=π2y32π

senθ=14θ≈0,08 π y0,92 π

Para que la pendiente sea vertical el denominador debe ser cero

−2cos2θ−(1−2 senθ ) senθ=0

−2cos2θ+2 se n2θ−senθ=0

4 se n2θ−senθ−2=0

Esta ecuación cuadrática no se puede factorizar y al aplicar la ecuación general de segundo grado se obtiene:

senθ=1+√338

y senθ=1−√338

Que le corresponden respectivamente las siguientes parejas de ángulos:

θ≈0,32π con 0,68π y 1,2π con1,8π

A continuación se muestra la gráfica con todas sus pendientes

Ejemplo 10.3.5

Esquematice la gráfica de la curva r=1+2cos 2θ

El dominio de la curva es −2π ≤θ≤2π

Los valores de θ donde r es nulo corresponden a 1+2cos2θ=0 luego cos2θ=−12

y

θ=23π y

13π

Los valores der donde la gráfica corta al eje y corresponde a θ=π2y32π entonces:

r=1+2cos 2 π2=−1 yr=1+2cos2 3

2π=−1

Los cortes con el eje y son entonces: (−1 , π2 ) y (−1 , 32 π)

x

y

Los valores de donde la gráfica corta al eje x corresponde a θ=0 y π

r=1+2cos 2 (0 )=3 y r=1+2cos (2 π )=3

Los cortes con los ejes x son entonces: (3 ,0 ) y (3 , π )

A continuación se muestra su gráfica:

10.4 AREA Y LONGITUDES DE ARCO EN POLARES

10.4.1 Área en coordenadas polares

Se calcula con las expresiones:

A=12∫θa

θb

[ f (θ ) ]2dθ parauna curva

A=12∫θa

θb

( [ f (θ)]2−[g (θ)]2 )dθentre doscurvas

x

y

Ejemplo 10.4.1.1

Hallar el área de la región que está limitada por la curva dada en el intervalo especificado

r=e−θ4 π2≤θ≤ π

A=12∫θa

θb

[ f (θ ) ]2dθ=12∫π2

π

e(−θ4 )

2

dθ=12∫π2

π

e(−12 θ )

dθ

A=−14

[ e−12θ ] ππ2=14

[e−12 ( π2 )

−e−12

(π ) ]=14

[e−π4 −e

π2 ]

Ejemplo 10.4.1.2

Hallar el área de la región que está sombreada

r=1+cosθ

El área a calcular es:

A=12∫0

π

[1+cos θ ]2dθ=12∫0

π

(1+2cosθ+cos2θ )dθ

A=12∫0

π

( 32+2cosθ+12cos2θ)dθ=12 ( 32 θ+2 senθ+ 14 sen2θ)π0

A=12 ( 32 π )=34 π

Ejemplo 10.4.1.3

Halle el área por dentro del lazo grande y por fuera del lazo pequeño de la curva r=12+cosθ

Por simetría el área es el doble de la sección comprendida entre la diferencia de áreas de

0hasta23π y

23π hasta π es decir:

A=2{12∫023π

[ 12+cos θ]2

dθ−1 /2∫23π

π

[ 12+cosθ]2

dθ}A={∫( 14 +cosθ+cos2θ)dθ}=∫( 34 +cos θ+

12cos2θ)dθ

A=34θ+senθ+ 1

4sen2θ

A=[ 12 π +sen( 23 π )+ 14 sen( 43 π )]−[ 34 π+0+0−12π−sen( 23 π )+ 14 sen( 43 π )]

A=12π+ 12π−3

4π+2 sen( 23 π )+12 sen ( 43 π)

A=14π+√3−1

4√3

A=14π+ 34

√3=14

(π+3 √3 )

10.4.2 longitud de arco

Se calcula con la expresión

L=∫θ1

θ2 √r2+( drdθ )2

dθ

Ejemplo 10.4.2.1

Halle la longitud exacta de la curva polar r=5θ en el intervalo 0≤θ≤2 π

drdθ

=5θ ln 5

( drdθ )2

=(5θ ln 5 )2=52θ ( ln 5 )2

L=∫0

2π

√52θ+52θ ( ln5 )2dθ

L=∫0

2π

5θ√1+ (ln 5 )2dθ

L=√1+( ln5 )2∫0

2π

5θdθ=√1+(ln 5 )2

ln 5{52 π−1 }

11.1 SUCESIONES

Una sucesión es una lista de números escrita en un orden definido. También se puede definir como una función cuyo dominio son los enteros positivos.

Una sucesión puede ser denotada como:

{an }=a1 ,a2 , a3 ,………,an

Siendo a1 el primer término de la sucesión cuando n = 1, {an } representa el termino enésimo que es la regla general que determina como se generan cada uno de los términos de la sucesión

Límite de una sucesión

Este se determina cuando n tiende a infinito. En el caso que el límite exista se dice que la sucesión es convergente de lo contrario la sucesión es divergente.

Límite de una sucesión de la forma {an }=r n

Es convergente si y solo si −1<r ≤1 de lo contario es divergente

Si es convergente el límite es 1 si r = 1 y es cero si -1 < r < 1

Ejemplo 11.1.1

Halle los cinco primeros términos de cada sucesión e indique si es o no convergente

a) {an }=3+5n2

n+n2

b) {bn }=3n−2

5n

c) {cn }=n2 e−n

Solución:

a) {an }=3+5n2

n+n2=4 , 23

6,4 ,8320

,6415

,

limn→∞

3+5n2

n+n2=¿limn→∞

3n2

+ 5n2

n2

n

n2+ n

2

n2

=51=5¿

La sucesión es convergente

b) {bn }=3n−2

5n= 115

,125

,3125

,9625

,27125

limn→∞

3n−2

5n=limn→∞

1

9∙( 35 )

n

=19limn→∞ ( 35 )

n

=19∙0=0

Note que ( 35 )n

es de la forma rn y35esta enel rango−1<r<1

La sucesión es convergente

c) {cn }=n2 e−n=1e,4

e2,9

e3,16

e4,25

e5

lim n→∞

n2 e−n=lim n→∞

n2

enaplicando L ´ Hopital se tiene

lim2n

enn→∞

=lim 2

enn→∞

= 2∞

=0

La sucesión es convergente

11.2 SERIES

Una serie corresponde con la suma de los términos de una sucesión y se denota como

Sn=∑i=1

n

{ai }=a1+a2+a3+…+an

1. Suma de la Serie geométrica de la forma ar n−1 Es convergente si |r|<1 y su suma es igual a:

∑n=1

∞

arn−1=¿ a1−r

¿

Es divergente si |r|≥1

2. La suma de la serie armónica 1n

es divergente

∑n=1

∞1n=1+ 1

2+ 13+¿noexiste

3. Prueba de divergencia:

Si el límite al infinito de una sucesión no existe o es diferente de cero, entonces la serie es divergente

4. Teorema

Si una serie es convergente entonces el límite al infinito de su sucesión tiende a cero

Este teorema no opera necesariamente a la inversa

Ejemplo 11.2.1

Halle la suma delos 10 primeros términos de la serie indicada, grafique en un mismo plano la sucesión y la serie e indique si las gráficas muestran convergencia o divergencia y averigua si es o no convergente.

∑n=1

∞12

(−5 )n

Tabla de valores de la sucesión y la serie

n {an }= 12

(−5 )n∑n=1

∞12

(−5 )n

1 -2,4 -2,42 0,48 -1,923 -0,096 -2,0164 0,0192 -1,99685 -0,00384 -2,000646 0,000768 -1,9998727 -0,0001536 -2,00002568 0,00003072 -1,999994889 -6,144E-06 -2,00000102

10 1,2288E-06 -1,9999998

A continuación se muestran ambos gráficos en un solo plano

Notándose que la sucesión tiende a cero cuando los valores de n son cada vez más grandes, esto quiere decir que al parecer es una sucesión convergente.

En cuanto a la serie se puede notar que la suma tiende al parecer a 2

0 2 4 6 8 10 12

-2.6-2.4-2.2

-2-1.8-1.6-1.4-1.2

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

sucesión serie

Confirmación analítica:

Para la sucesión

limn→∞

12(−5 )n

=se rescribe como limn→∞

12(−15 )n

y como r=−15entonces

al pertenecer al intervalo−1<r<1 la sucesióntiende acero y converge

Para la sucesión

∑n=1

∞12

(−5 )nse rescribe como∑

n=1

∞

12(−15 )n

∙(−15 )

−1

(−15 )−1=∑

n=1

∞

(−125 )(−15 )n−1

La cual corresponde con una serie geométrica en la que r=−15

, a=−125

y|−15 |<1luego :Esconvergente y su sumaes

a1−r

∑n=1

∞

(−125 )(−15 )n−1

=

−125

1−(−15 )=

−125

1+15

=−2

Ejemplo 11.2.2

Halle la suma delos 10 primeros términos de la serie indicada, grafique en un mismo plano la sucesión y la serie e indique si las gráficas muestran convergencia o divergencia y averigua si es o no convergente.

∑n=1

∞

( 1√n− 1√n+1 )

Tabla de valores de la sucesión y la serie

n {an }=( 1√n− 1

√n+1 )∑n=1

∞

( 1√n− 1√n+1 )

1 0,29289322 0,292893222 0,12975651 0,422649733 0,07735027 0,54 0,0527864 0,55278645 0,03896531 0,591751716 0,03028382 0,622035537 0,02441108 0,646446618 0,02022006 0,666666679 0,01710557 0,68377223

10 0,01471642 0,69848866

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

sucesión serie

Como puede notarse la sucesión tiende a cero es decir al parecer converge y la suma de la serie parece también converger

Confirmación analítica:

Para la sucesión

limn→∞ ( 1√n− 1

√n+1 )= 1∞

− 1∞

=0−0=0

Para la serie

Al hallar la suma se tiene:

(1− 1

√2 )+( 1√2− 1

√3 )+( 1√3− 1

√4 )+( 1√4− 1

√5 )+…Se nota que solo quedará el primer término del primer paréntesis. Entonces la serie converge y su suma es 1.

Ejemplo 11.2.3

Determine si converge o no cada una de las siguientes series. En caso de convergencia halle la suma.

a¿2+0,5+0,125+0,03125+…

b¿∑n=1

∞

6 (0,9 )n−1

c ¿∑n=1

∞10n

(−9 )n−1

d ¿∑n=1

∞ (−3 )n−1

4n

Solución:

a) Esta es un serie geométrica que se puede escribir como:

2+ 12+ 18+ 132

+. . .La razón es 14y a=2

La suma es

∑n=1

∞

2 ( 14 )n−1

= a1−r

= 2

1−14

=83

b¿∑n=1

∞

6 (0,9 )n−1= 61−0,9

=60

c ¿∑n=1

∞10n

(−9 )n−1=∑

n=1

∞ (10 )n

(−9 )n (−9 )−1=∑

n=1

∞

(−9 )(−109 )n

∙(−109 )

−1

(−109 )−1

¿∑n=1

∞

(10 )(−109 )n−1

r=−109

pero r noesta en elintrevalo−1<r<1

Entonces la serie diverge

d ¿∑n=1

∞ (−3 )n−1

4n=¿∑

n=1

∞ (−3 )n (−3 )−1

4n=∑

n=1

∞

(−13 )(−34 )n

=∑n=1

∞

(−13 )(−34 )n

∙(−34 )

−1

(−34 )−1 ¿

∑n=1

∞

( 14 )(−34 )n−1

como|−34 |<1entonces la sumaes14

1−(−34 )=

14

1+34

=17

Ejemplo 11.2.4

Exprese la siguiente serie como una suma telescópica y determine si convergente o no. Si es convergente halle la suma.

∑n=1

∞3

n (n+3 )

Como se debe expresar como una suma telescópica se transforma en una suma de fracciones parciales con denominadores con factores simples no repetidos así:

∑n=1

∞3

n (n+3 )=∑

n=1

∞An

+ Bn+3

Los valores de A y B son respectivamente 1 y -1

∑n=1

∞1n− 1n+3

al desarrollar la suma setiene :

(1−14 )+( 12−15 )+( 13−16 )+( 14−17 )+( 15−18 )+( 16−19 )+( 17− 1

10 )+( 18− 111)+…

De la suma se nota que los elementos que quedan son:

∑n=1

∞1n− 1n+3

=1+ 12+ 13=116

Ejemplo 11.2.5

Exprese el número como una razón de enteros

7 ,12345

Se expresa el número como una suma de números racionales

7+ 12.345105

+12.3451010

+ 12.3451015

Al resolverlo todo se tiene:

7 ,12345=237.44633.333

NOTAS ADICIONALES REFERENTES A DERIVE

Para averiguar los valores de una sucesión se utiliza el comando ≔El cual es para asignación de vectores y matricesEjemplo: ingrese la siguiente sucesión dada y averigua los 8 primeros términos y la suma de estos.

an=3n2+5n2

Se digita así a(n)≔(3n^2 +5)/(n^2) Para ver los 8 términos se digita así vector(a(n),n,8) luego oprima el botón = Para saber la suma se digita así sum(vector(a(n),n,8))

Para descomponer una fracción en parciales, solo basta introducir la fracción original en el editor y oprimir el botón Simplificar (en la parte superior) aparece un submenú selecciones la opción Expandir e inmediatamente se abre una ventana y seleccione Racional y luego Expandir

Para dividir dos polinomios y hallar su cociente se utilizan las instrucciones quotient y remainder de la siguiente forma

Se introducen los polinomios a dividir y luego se dan las instrucciones Ejemplo

Hallar el cociente y el residuo de dividir x4−2x3+5 x+1entre x3+2 x

Se digita polinomio dividendo al cual le denomino pp≔x^4-2x^3+5x+1

Se digita el polinomio divisor al cual le denomino qq≔x^3+2x

Ahora se utilizan las instrucciones mencionadas

[quotient(p,q),remainder(p,q)] y se oprime el botón igual en la parte superior