CAPITULO 3: La Derivada Ejercicios Propuestos 3.1

1) a) 2.5 b) 2.3 c) 2.1 d) ( )´ 2 2f =

2) ( ) 1´ 32

f =

3) a) ( )´ 3f x = b) ( )´ 2f x = − c) ( )´ 2 2f x x= + d) ( )´ 4 1f x x= − +

e) ( ) 2´ 6f x x= f) ( ) 23

23)´( 23 −+−= xxf

Ejercicios Propuestos 3.2

1) ( )´ 1 2f = 2) No existe 3) No existe 4) 6=a , 4−=b

5) 3=a , 1−=b 6) Rccbca ∈∧−=∧−= 232

Ejercicios Propuestos 3.3

1) a) ( ) 234

3

2´ 3 xf x x ex

−= + −

b) ( ) 4 2´ 5 3 4f x x x x= + +

c) ( ) ( ) ( )´ 2 cos 1 cos 1f x x x x x senx x senx= + − − − + −

d) ( ) ( )22

2 2

cos 11´x xxf x

x senx xsen x+−

= −

e) ( ) ( )( )( )2

1 1 cos´

1

xe x senx x xf x

senx

⎡ + + − ⎤⎣ ⎦=+

f) ( ) ( )´ 2 ln 12

xxef x x x= ⎡ + + ⎤⎣ ⎦

2) 4 1y x= +

3) 1334

y x= − +

4) 2 1y x= + ; 2 9y x= − + 5) 12 81y x= + ; 12 44y x= − 6) ( )9,3P

7) 53 8) !50

9) 4910

Ejercicios Propuestos 3.4

1. a) ( )2

1´2 2

xf xx x

−=

− + b) ( )

( )3

2´

2 3xf x

x−

=−

c) ( )( )

2

22

4´1

x

x

ef xe

=+

d) ( )( ) ( )

312 22 2

2´1 1

xf xx x

=− +

e) ( )2

2

cos cos2 2 2´ 3cos2 cos 2senx x x senxsen xf x

x x+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f) ( ) ( ) ( )2´

1 ln 1xf x

x x=

+ + g) ( )

( )22

8´4

f xx x

=−

3. ( ) ( )x

exxgfx

2cos1

4sin)´(2

2cos1 2

+

−=

+

4. a) 4 b) 8− c) 2 d) -10 e) 6− 5. 16

Ejercicios Propuestos 3.5

1. a) ( )[ ] ( ) ( ) ( )242224

4cos1216sin48cos xxxxx

dxd

−+=

b) ( ) ( )

( )32

2

2

12cos2sin2

1 xxxx

xxxsen

dxd

+

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+πππππ

c) [ ] xxxn

nxenexe

dxd

+=

d) ( )

( ) 14!5

45

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− nn

xxn

xD

e) ( )

( ) 11!2

11

+−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−+

nn

xxn

xxD entonces

( )( )31

30

1!302

11

xxxDx

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−+

f) [ ] ( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

+−=

+

++

paresnsixxxn

imparesnsixxxnxx

dxd

n

n

n

n

;sincos1

;cossin1sin

1

1

2

21

entonces

[ ] xxxnxxdxd cossin35sin35

35−−=

2. ( )( )42

2

1212

11

xx

xdxdx

dxd

+

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

3. ( )!nan

4. 1332)( 23 −+−= xxxxp

Ejercicios Propuestos 3.6

1. a) 3´ yyx

= − b) ( )

´1

yyx y

= −+

c) 2

´1

xy

xy

y eyxye

= −+

d) 2´sec tan sec

yyy y y x

=+ −

e) ( )

2´2

yyx y

= −+

3. 58

53 +−= xy 4. 2y x= − 5. 2+−= xy

6. 2+−= xy 7. 0=x 8. 32y x=

9. ( )1,1 10. 3

42

64948´´

yxxyy −

= 11. 3

13

43

1´´yx

y =

12. ´´ 3y = −

Ejercicios Propuestos 3.7

1. a) )tan(´ ty = b) ( )11´ 2 +

+=

ttty

2. axy 24 π−+= 3. 13 −= xy 4. 8

4183 += xy

5. xy 5= 6. a) ´́ cosy t= , b) ´́ ´ cosy t=

Ejercicios Propuestos 3.8

1. 22 −= xy 2. 83 +−= xy 3. 223 +−= xy

4. ( )23

33123312

23 3 −=−

−+ xy

Ejercicios Propuestos 3.9

1. 161 2. 1

5 3. 32 4. 3

5. 5 5 0x y− + = 6. 11 9 0x y− − = 7. ( ) 0122 =+−+ aayax 8. 3

9. a) 1

1

1arcsin´

22 +−

−+=

xx

xxy b) ( )2´ xarctgy =

c) 5cos3

4´+

=x

y d) ( )( ) ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++

+= +

23

2

1

cos3´3

senxx

xxey senxxarctg

Ejercicios Propuestos 3.10

1. a) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

++

−

+=

4csccsc

23

cossec

315

4csc

1sec´ 3

332

3

35

xctgxxx

xsenxxtgx

x

tgxxy

b) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+−

−−−

−

−= 3

3

253

3 24 3

41520

1324

43

4

14cos´xxx

xxxtg

xxx

xxxy

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

2

22

2

33 22 32

132

323

2

1

212

1´ x

xx

xearcsen

xx

xxx

eearcsen

xex

y

d) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

xxxy xx 1ln3ln3´ 3

e) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= n

xnnxy xn ln´

f)

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

xxxx

xxxx

x

xyy

424222

2cos1cosarccos

1

sin1sinarcsin

1cossinarctan2

arccos)arcsin(sin

ln1

arctan2´

g) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−++++=

xx

xxxx

ee

xeexxey22

2sec2

21arcsin

sec21arcsinlntansec1arcsin´

h) ( )[ ] ( ) ( )( )

( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=

x

xxxx

xxxy x

3cos1

3sinlnln3sin33sin3sinln

3cosarctan3cos33sinln´2

3cosarctan

i) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )yxyyxyyxyxyx

yxyyxxy+−+++++

+−+=

2ln

2´ 2222

22

j) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++= 2

222

1

21ln1´x

xxxyx

2. ( ) 012ln =+− yx

3. 02 =−+ yx

4. 14

Misceláneos 1. a) V b) V c) F d) V e) V f) V g) V h) V i) F j) F k) F l) F m) V n) F o) V p) F q) F r) F s) F t) V u) V v) F w) F

2. a) ( ) ( )

( ) ( ) yxeyxyyx

eyxxxyyyyx

yx

sinsin22

sin22cos´ 22

22

cos222

cos222

++−

++−=

+

+

b) ( ) ( )( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

++=

1ln21ln1´ 2

2ln2

xxx

xxxy

x

c) ( )( ) ( )( )

( )( )( )xx

xxx

exex

xeexexy332

3332

coscoslnsin

sin3coslncoslncos´++

−++=

d)

yy

yy

yx

y1arctan

12

1´2

2

3−

++

=

e) ( )1lnln´ ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= xxe

xexexy xx

xxe xx

f) ( )

xx

xxxx

xxy+

++−

+=

4

sin122

cos´

g) 2946´

xy

−=

h)⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+++

++= x

x

x ee

xxxx

e

xxy

141

11

arctan11

31

21

arctan12´ 224

32

i) ( ) ( )2arctan 2

4

2´ sin 3 ln sin 3 3arctan cot 31

x xy x x x an xx

⎡ ⎤= +⎢ ⎥+⎣ ⎦

j) 2

arctan

2 1arctan2

ln1

1´2

xex

xxy

x

++

−=

k) ( )

222´

yxyxxyxy++

−=

l) ( )xxxx eeexey 22tan sectansec´ +=

m) ( )

yxyyx

yxy

xy

+++

+−

=ln

2

´

3. )´()(2 xfxf 4. Rccdbca ∈∧+=∧=∧= 112

5. 322 +−= xy

6. ( )[ ]2

)1( efgDx =

7. xy = ∧ xy −= 8. 56 +−= xy

9. f es derivable en ( ) ( ) ( )2,11,00,1 ∪∪− 10. 38 =∨−= kk

11. 3

23 1d y t

dx= − −

12. 81

13

3−=

=tdxyd

13. 3a = − , 4b = − , 1c =

14. 32

32 −= xy

15. 23

21 += xy

16. ( )32

2

sincos2

ttedxyd

t −=

17. 22 −= πdxdy

18. 272)1´( =f

19. 3

222 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−= axy

20. Rcbca ∈∧=∧+= 11

21 1+= xy 22. 66 −= xy

23. 23

21 +−= xy

24. 13 −= xy

25. De )(xF tenemos ( ) ( )xfxxfxxF cos´sincoscos)´( 2−=

y como ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) )(cos´sincoscos)´( 2 xFxfxxfxxF =−−−−−=−

Por tanto )´(xF es PAR 26. 7−=k

27. ( )

( )5150

50

1!502

11

xxx

dxd

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+−

28. 3+−= xy

29. 41−−= xy

30. ( )15141 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −fdxd