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Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuesta Temporal: Método Clásico

1 de 33(Versión Mayo-2010)

RESPUESTA TEMPORAL – METODO CLASICO 1. Respuesta natural o solución general de la ecuación homogénea Es la que corresponde a excitaciones nulas. Sin embargo habrá respuesta por existir energía almacenada en los inductores L o capacitores C. Como

,)(

)(

)(

)()(

te

tr

pD

pNpT == y si e(t) = 0:

,)().(0)().( trpDtepN ==

y como r(t) ≠ 0 (así debe presumirse):

0.)( =+= Ln

n papD (ecuación característica) que posee las raíces si, con lo que la respuesta natural es:

∑= tsi

ieKtr..)(

(se verifica desarrollando: D(p) . rn(t)). 2. Polos y ceros

L

L

L

L

)..(

)..(

...

...

)(

)()(

1011

1

011

1

spa

spb

apapapa

bpbpbpb

pD

pNpT

n

am

nn

nn

mm

mm

−

−=

++++

++++==

−−

−−

donde sa, sb,....son las raíces de N(p) = 0; s1,s2,........ son la raíces de D(p) = 0. Las sa, sb,........; s1, s2,........en general son complejos, por lo tanto el operador p será complejo, lo que implica que T(p) → 0 para p = sa, sb,........ (ceros); T(p) → ∞ para p = s1, s2,........ (polos). En circuitos pasivos estables los polos estarán en el semiplano izquierdo (componente real negativo) pues ello conduce a respuestas naturales decrecientes. Los polos con componentes imaginarias implican la existencia de coeficientes complejos conjugadas (Å y Å*). En efecto, si dos raíces de D(p) = 0 son complejas conjugadas, se demuestra que los coeficientes de la respuesta natural también lo son:



Figura N°1

−−=

+−=

+ kkk

kkk

js

js

ωα

ωα

1

resulta

==

=−

+*

1 .

.

AeAA

eAA

k

k

jkk

jkk

θ

θ

En efecto, su suma debe ser real:

)cos(..2).(...)( .)()(..1

. 1k

tk

tjtjtk

tsk

tsk teAeeeAeAeAtr kkkkkk θωαθωθωα +=+=+= −+−+−

++

2.1. Ejemplo De la Figura N°2 se tiene:

==

=++

dt

duCii

udt

diLiR

cc

c

.

0..

derivando la primera ecuación diferencial y multiplicándola por C tendremos:

0dt

du.C

dt

id.LC

dt

diC.R c

2

2

=++

la ecuación característica de esta ecuación diferencial será:

⇒=++ 0iiLCpRCpi 2 01LCpRCp 2 =++

⇒−±−

=LC

LCRCRCp

2

4)( 2

⇒−

±=

LCL

R

L

Rp

1

22

220

22,1 ωαα −±−=p

,41.2

8

2===

L

Rα 5

04,0.1

1

.

10 ===

CLω



34544 2220

22,1 jp ±−=−±−=−±−= ωαα

Ω

Figura N°2

+==

+=

)...()(

..)(

21

21

2211

21

tptpc

tptpc

epAepACdt

duCti

eAeAtu

+==

+==

).(0)0(

)0(

2211

210

pApACi

AAUuc

si, como en este caso se cumple:

220 αω >

entonces

pjjp ωααωαωαα ±−=−±−=−±−= 220

20

22,1

ppp

pj

jj

jU

pp

pA

ω

α

ωαωα

ωα

22

10

21

21 −=

+++−

−−=

−=⇒

finalmente:

00021

21 ).

3

2

2

1().

22

1( UjUjU

pp

pA

p

−=−=−

=⇒ω

α

∗=+=+=−

=⇒ 100021

12 ).

3

2

2

1().

22

1( AUjUjU

pp

pA

pω

α

como θjeAA .11 = entonces:

°−=−=−= 1,53)3

4arctg()arctg(

pω

αθ



1.8333,0.3

2

2

10

22

1 =

+

= UA

( )°−=°−=⇒ −− 1,533cos..67,1)1,533cos(..833,0.2 44 teteu tt

c

segTP

P 23

22≅==

π

ω

π

seg25,04

11==

α

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

t

Uc(t)

Figura N°3

3. Respuesta completa de sistemas: transitorios y leyes de conmutación En circuitos: conexiones y desconexiones de ramas activas y pasivas, cortocircuitos, cambios de conexiones, variaciones repentinas de parámetros, etc. Estos cambios, genéricamente CONMUTACIONES, producen fenómenos transitorios que se terminan al cabo de un cierto tiempo (teóricamente infinitamente grande) después de la conmutación. 3.1. Leyes de conmutación - En cualquier rama con inductor, la corriente y el flujo conservan en la conmutación los valores que tenían antes de que se produjera, empezando a variar precisamente a partir de esos valores. Si hubiese un salto de corriente, implicaría que.

∞===0

)0(t

Ldt

diLu

y no se cumpliría la 2° ley de Kirchoff. - En cualquier rama la tensión y la carga en un capacitor conservan los valores que tenían antes de que se produjera la conmutación y , empiezan a variar precisamente a partir de esos valores.



Si hubiese un salto de tensión, implicaría que.

∞===0

)0(t

cC

dt

duCi

y no se cumpliría la 2° ley de Kirchoff, en las caídas de tensión producidas por esa corriente. Desde el punto de vista energético iL y uC tampoco pueden variar a saltos pues

2.2

1LL iL=ω y 2.

2

1CC uC=ω también lo harían, requiriendo potencias infinitas, lo cual no

existe. En este capítulo, se estudiarán transitorios en circuitos lineales. Se excluye el fenómeno de Arco Eléctrico y se supone conmutación instantánea. 3.2. Respuesta forzada y respuesta natural: Se había visto que, en forma general, la transferencia o transmitancia de un sistema podía caracterizarse como:

)(

)(

...

...

)(

)()(

01

01

te

tr

apapa

bpbpb

pD

pNpT

n

n

m

m =+⋅++⋅

+⋅++⋅==

y )()().()().( tftepNpDtr f ==

permitía hallar la respuesta forzada mediante la solución particular de la ecuación diferencial no homogénea (con término independiente). La respuesta natural, en cambio, que corresponde a una excitación nula, surge de hallar la solución a la ecuación diferencial homogénea, sin término independiente:

0)( =te

0)().()().(

0

== tepNpDtrn

En un sistema excitado en el que acontece una conmutación, la respuesta surge de la superposición de ambas, dando lugar a la respuesta completa r(t):

)()()( trtrtr nf +=

La respuesta natural se hace cargo de la diferencia entre el estado inicial y el permanente. En realidad, físicamente sólo existe la respuesta total, y la descomposición en componentes forzadas y naturales es un artificio que facilita el cálculo de los procesos transitorios en circuitos lineales.



Esta descomposición responde a la regla que rige la resolución de ecuaciones diferenciales no homogéneas lineales, cuya solución general es igual a la suma de la solución particular de la ecuación no homogénea (repuesta forzada) y de la solución general de la ecuación homogénea (repuesta natural). Esta última debe contener en su expresión las constantes de integración, cuyo número es igual al orden de la ecuación diferencial dada. La respuesta completa es la solución general de la ecuación diferencial no homogénea. Si tomamos como ejemplo la conexión de un lazo con R, L y C y una fuente u(t), que constituye la excitación, mientras que la corriente en el lazo i(t) es la respuesta que nos interesa, resulta:

Figura N°4

∫++= dttiCdt

tdiLtiRtu ).(

1)()(.)(

donde i(t) es la respuesta completa

)()()( tititi nf +=

Una vez extinguidos los efectos de la conmutación (cierre de la llave) se llega al régimen forzado (o estacionario o permanente si se tratase de excitación en CA o CC, pero no se puede llamar “régimen estacionario” si se trata de una excitación, por ejemplo, exponencial), con if(t) como respuesta forzada:

∫++= dttiCdt

tdiLtiRtu f

f

f ).(1)(

)(.)(

La diferencia entre las dos, durante el transitorio de conexión, es la respuesta natural:

)()()( tititi fn −=

∫++= dttiCdt

tdiLtiR n

nn ).(

1)()(.0

Partiendo de las leyes de la conmutación, es fácil hallar los valores de la corriente inicial en la inductancia iLn(0) y de la tensión inicial en el capacitor uCn(0), necesarios para determinar las constantes de integración.



Supongamos que antes de la conmutación el circuito estuviera en un régimen tal que existieran condiciones iniciales

)0( −Li y )0( −

cu Estas se llaman “condiciones iniciales”(C.I.) independientes. En algunos casos no son todas independientes: si hay cortes con sólo inductores o lazos con sólo capacitores, el número de CI independientes será igual a: N° capacitores + N° inductores - N° cortes inductivos - N° bucles capacitivos Inmediatamente luego de la conmutación:

)0()0()0()0()0( +++−+ ⇒+== LnLfLnLL iiiii

)0()0()0()0()0( +++−+ ⇒+== CnCfCnCC uuuuu

En el caso particular de que las condiciones iniciales independientes sean cero, resulta:

)0()0( ++ −= LfLn ii

)0()0( ++ −= CfCn uu

Las formas posibles de la respuesta en este circuito serie pueden ser diversas, dependiendo de la forma de las raíces de la ecuación característica, las C.I, el tipo de excitación (CC o CA) y, en este último caso, la fase de la misma en el instante de la conmutación. Por ejemplo, para la aplicación de una tensión continua a un lazo RLC, con raíces reales p1 y p2 de su ecuación característica, con CI nulas, la respuesta da como resultado:

( ) )()(..)( 2112

21

tutuepeppp

UUtu CnCf

tptpC +=−

−+=

( ) )()(

)( 21

21

tieeppL

Uti Ln

tptpL =−

−=

( ) )(..)(

)( 2121

21

tuepeppp

Utu Ln

tptpL =−

−=

Comentario [d1]: rev 6-5-07 se eliminó frase



Figura N°5

Veremos en otro capítulo cómo existen otras formas de descomponer la respuesta completa. Por ejemplo, al analizar la solución mediante la integral de convolución, puede descomponerse la respuesta en:

)()()( 21 trtrtr += , con: r1(t): Respuesta a circuito desexcitado o a entrada cero (pero con CI distintas de cero) r2(t): Respuesta a estado cero (excitado, pero con CI nulas) 4. Condiciones Iniciales – Fuentes Equivalentes Las condiciones iniciales independientes pueden reemplazarse por generadores equivalentes que permiten encarar el calculo como si se tratase de circuitos relajados. Esto es necesario para la aplicación de algunos programas digitales. 4.1. Caso 1: Inductancias con CI

dt

diLuL .= , ver figura N°6 (a)

relajadoL

t

L

t

LL

t

L ithL

dtudtdt

d

Ldtudtu

Ldtu

Li +=

+=

+== ∫∫∫∫∫ ∞−∞−

)(...1

..1

.1 0

000

0 0 λλλ

relajadoLithii += )(.0 , que equivale la rama mostrada en la figura N°6(b).

También puede reemplazarse la condición inicial por una fuente de tensión impulsiva:

[ ])(.)(.)(..

)(.000

0 ttLithiLpdt

thidL δλδ ===

ó )(.)(.)](..[ 000 tutLidt

diLthii

dt

dL

dt

diL L

LL δλδ +=+=+=

)(.0 tdt

diLuL δλ−=∴ , ver figura N°6 (c)



λ0 .δ

Figura N°6 4.2. Caso 2: Capacitores con CI

0 .

δ

Figura N°7

dt

duCi C

C .= , ver figura N°7 (a)

+=

+== ∫∫∫∫∫ ∞−∞−∞−

dtidtdt

dq

Cdtidti

Cdti

Cu

t

C

t

CC

t

CC ..1

..1

.1

0

0

0

0

∫∫∫ +=+=

+=

t

relajadoCCC

t

C

Q

C uthudtiC

thC

Qdtidq

Cu

0 00

00)(..

1)(..

1 0

que equivale la rama mostrada en la figura N°7 (b) También:

[ ] )t(.Qi)t(h.uudt

dC

dt

duCi 0C0CC

relajadoCδ−=−== , ver figura N°7 (c)

4.3. Dos casos especiales

Vamos ahora a exponer dos casos especiales que requieren un tratamiento cuidadoso para calcular las condiciones iniciales luego de la conmutación: 1) conexión de capacitores en paralelo y 2) conexión de inductores en serie.

Comentario [d2]: rev 29-4-

08 se mantiene relajadoCdu



En algunas redes o circuitos reales, los procesos transitorios pueden consistir en 2 etapas de duraciones fuertemente diferentes. La duración de la primera etapa puede llegar a ser de una millonésima de la duración de la segunda etapa. Durante la primera etapa, las corrientes a través de las inductancias y las tensiones a través de los capacitores varían tan rápidamente (casi como un salto) que si t=0+ se tomara como el momento en que termina la 1ª etapa, puede parecer que al pasar de t=0- a t=0+ en unos pocos microsegundos, las reglas de conmutación no se cumplen (al despreciar la resistencia de los conductores, el arco en el interruptor y la radiación electromagnética). Recordemos que las reglas de la conmutación imponían que las variables de estado no pueden variar a saltos, por lo que tanto las corrientes en los inductores como las tensiones en los capacitores deben conservarse desde t=0- hasta t=0+. Veamos los problemas que implican estos casos especiales por separado y al final veremos cómo tratarlos. 4.3.1. Capacitores en paralelo Para mostrar cómo puede ser violada la regla de conmutación de tensiones (uC(0-)=uC(0+)) al despreciar la primera etapa, consideremos el proceso transitorio que se genera el en circuito de la Figura N°8, en donde las CI son

EuC =− )0(1

0)0(2

=−Cu

Figura N°8

Cuando se cierra la llave, la primera etapa se desarrollaría del siguiente modo: una alta corriente circulará por los capacitores, resultando en una casi instantánea ecualización de tensiones sobre los capacitores a un valor menor a E. En la segunda etapa, los capacitores se cargarán de manera relativamente lenta (comparado con la 1ª etapa). La duración total del transitorio estará prácticamente determinada por la 2ª etapa, que es la más lenta. Entonces, cuando terminó la 1ª etapa en t=0+ se tendrá:

EuC <+ )0(1

EuC <+ )0(2

violándose aparentemente la regla que hemos venido usando hasta ahora (uC(0-)=uC(0+)) . 4.3.2. Inductores en serie



Figura N°9

Veamos el circuito de la Figura.N°9. Al abrir la llave rápidamente, por ejemplo en 10-5 segundos, resulta que la resistencia de la rama en dónde se encuentra la llave aumentará en un salto velozmente, mientras que la corriente i1 en esa rama caerá casi instantáneamente a cero, y las corrientes en las otras ramas, también deberán variar en forma casi de salto (por ley de Kirchoff de corrientes). Entonces, en un tiempo de 10-5 segundos (desde t=0- a t=0+) las corrientes en las inductancias variarán rápidamente dando como resultado que:

)0()0( +− ≠ ii )0()0( 22+− ≠ ii

Violándose nuevamente en forma aparente las reglas de conmutación(iL(0

-)=iL(0+)) .

4.3.3. Explicación del fenómeno La violación de las reglas de conmutación al pasar de t=0- a t=0+ se produjo debido a que hemos despreciado los procesos que tienen lugar durante la 1ª etapa del transitorio y su dependencia con el tiempo. Si la 1ª etapa del transitorio se toma en cuenta, las reglas de conmutación seguirían siendo válidas. Para poder calcular el transitorio directamente en la 2ª etapa, omitiendo el análisis de los procesos que tienen lugar durante la primera como hemos hecho en los puntos anteriores, uno debe primero reconciliarse con el hecho de que al pasar de t=0- a t=0+

(tomando 0+ como inicio de la segunda etapa), las reglas de conmutación que hemos usado hasta ahora deben ser reformuladas para que sea posible calcular las corrientes en las inductancias y las tensiones en los capacitores en t=0+, en términos de las corrientes y las tensiones en t=0-. A estas condiciones de conmutación reformuladas se las llama “reglas de conmutación generalizadas” y son las que se explican a continuación. 4.4. Reglas de conmutación generalizadas 4.4.1. Primera Regla: ley de conservación del flujo El flujo total a lo largo de un camino cerrado en un circuito eléctrico es constante a lo largo del tiempo. Esto se deduce de la ley de Kirchoff de tensiones aplicada a un conjunto de bobinas que forman un lazo cerrado:

∑ ∑ =Φ

⇒= 00dt

dv mm



La suma de la derivada de los flujos es nula y entonces la suma de los flujos es una constante. En consecuencia el flujo total en cualquier instante ФT(t) es igual al flujo en el instante inicial ФT(0).

∑∑ Φ=⇒Φ=Φ=Φ )0()0()()( TmmTTm iLtt

Por lo tanto si se conoce el flujo total en algun instante, puede obtenerse la relación entre las corrientes que circulan por bobinas independientes. El signo de cada flujo dependerá de la referencia de tensión que se haya elegido. 4.4.2. Segunda Regla: ley de conservación de la carga En un circuito eléctrico la carga total permanece constante a lo largo del tiempo. Aplicando la primera ley de Kirchhoff a un nodo al que concurren solamente capacitores:

∑ ∑ =⇒= 00dt

dqi nn

Por lo tanto la suma de las cargas es una constante que se puede calcular fácilmente si se conoce el estado inicial del circuito.

∑∑ =⇒== )0()0()()( TnnTTn qvCqtqtq

Por lo tanto si se conoce la carga total en algún instante, puede obtenerse la distribución de tensiones en cada capacitor. El signo de cada carga dependerá de la referencia de corriente que se haya elegido (entrante o saliente del nodo). Finalmente, notemos que la energía total en los campos magnéticos y eléctricos en t=0+ es siempre menor que la energía total en t=0-, ya que parte de la energía almacenada se perderá en forma de calor en las resistencias, en la formación de una descarga (chispa) en la llave y por radiación electromagnética a los alrededores. 4.4.3. Ejemplo del primer caso:

Figura N°10 Figura N°11 Para la respuesta natural tenemos:

τ

t

n eAu−

= . τ

t

n eBi−

= .. con )(.

2121

21 CCRR

RR+

+=τ



21

2.)0(1 RR

REuC

+=− 0)0(

2=−

Cu )0()0(21

++ = CC uu

⇒ hay discontinuidad. Entonces se plantea:

+++=+=

dt

duCC

R

uRuiRuE )(.. 21

211

dt

duRCCu

R

RRE 121

2

21 ).(. +++

=

τ

t

eKEu−

+=⇒ . , pero como u(0+) es desconocida, se replantea con:

)( 211 QQdt

dRuE ++=

donde debe ser continuo Q1 + Q2, o sea

)0()0()0()0( 2121++−− +=+ QQQQ

y, como Q2(0

-) es nula

211 ).0().0().0(211

CuCuCu CCC++− +=⇒

A partir de plantear la conservación de la carga total en los capacitores conectados a un nodo en el circuito post-conmutación 4.4.4. Ejemplo del segundo caso

Ω Ω

Figura N°12

Se abre la llave en t = 0.

AR

Ei 12

5

60)0(

11 ===− 0)0(2 =−i )0()0( 21

++ = ii lo cual es imposible.

Esta condición se expresa mejor considerando el flujo concatenado en la malla [1]:



)().( 2121 λλ +++=dt

diRRu , que es una aplicación directa de la ley de Faraday

21]1[ λλλ +=⇒ , debe ser continuo en todo lazo cerrado del circuito que quede después

de la conmutación, o sea:

)0(.)0(.)0(.)0(.)0()0( 22112211]1[]1[++−−+− +=+⇒=⇒ iLiLiLiLλλ

ALL

iLiLii 10

1,05,0

0.1,012.5,0)0(.)0(.)0()0(

21

221121 =

+

+=

+

+==

−−++ (Es un promedio ponderado)

segRR

LLyAi f 05,0

75

1,05,05

75

60

21

21 =+

+=

+

+==

+= τ

05,0.55510)0(

t

eiAi−

+ +=⇒+==

05,0

212121 .5.).().(

tt

eAeARR

Ei

dt

diLLiRRE

−−

+=++

=⇒+++= τ

Hay un salto energético y de f.e.m. infinito en cada una ( pero opuestas ).

JW 3612.5,02

1)0( 2 ==−

JW 3010.1,02

110.5,0

2

1)0( 22 =+=+ (bajó)

Sobre la llave aparece u = ∞ y hay arco, con una R, donde se disipa calor (diferencias de energía anteriores).

Figura N°13

5. Circuitos acoplados



5.1. Apertura de una llave

Figura N°14 De la Figura N°14, se deduce que:

+=

+=

dt

diR

dt

diRE

λ

λ

22

11

.0

.

λ debe ser continuo.

ℜ

+=+= 21

21

FFλλλ

⇒ F1 + F2 debe ser continuo, donde ℜ se tomó el mismo para ambos circuitos suponiendo que no hay flujo disperso. Entonces

⇒ F(0-) = F(0+), o sea:

)0(.)0(.)0(.)0(. 22112211−−++ +=+ iNiNiNiN

0)0(1 =+i ,

11 )0(

R

Ei =− , 0)0(2 =−

i

12

12 )0(

R

E

N

Ni =⇒ +

Si no hay flujo disperso toda la energía magnética pasa a 2, e I1 pasa a valer 0 (es el caso del ruptor de automóvil).



Figura N°15

5.2. Cierre de una llave Si el sistema esta desexcitado originalmente:

=

=−

−

0)0(

0)0(

2

1

i

i

entonces:

0)0()0( ==− +WW Pero:

[ ] [ ]MLLiiLiLiMiiLiLiW −−+=++= 2121

2

2211212221

21 .....

2

1...

2

1.

2

1

Como hay un acoplamiento perfecto:

0.. 21 =−MLL

[ ]1

2

1

2

2

12211

)0(

)0(0).0().0(

N

N

L

L

i

iLiLi −=−=⇒=+⇒

+

+++

(forma en que se distribuyen las corrientes)

pues siendo nulo el flujo inicial se cumple:

0)0(.)0(. 2211 =+ ++ iNiN Cuando el acoplamiento no es perfecto, y como M y L son mayores que 0, la única posibilidad para que se cumpla con la ley de conservación de la energía (W=0) es que sea I1(0

+) = I2(0+) = 0.



6. Cierre y apertura de llaves. Corriente de cortocircuito y tensión de restablecimiento

6.1. Cierre Se quiere hallar la corriente al cerrar la llave (cortocircuito) t < 0

Figura N°16

Para hallar icc, se agrega uo en oposición. Pero icc se puede hallar por superposición: t > 0

Figura N°17

Donde:

+− += iiiCC entonces += iiCC O sea, para hallar i se pasiva el circuito y se aplica -uo. Equivale a reemplazar el circuito por Eth y Zth (Figura N°20). 6.2. Apertura Es un caso dual al anterior (tensión de restablecimiento). t<0

Figura N°18



t>0:

Figura N°19

⇒+=+= ++− uuuu 0 Para hallar u se pasiva y se aplica opuesta a i. Equivale a aplicar el teorema de Norton (figura N°21) o sea, para hallar la tensión de restablecimiento se pasiva el circuito y se aplica una fuente de corriente contraria a la i original.

Figura N°20

Figura N°21

7. Transitorios en Circuitos Mallados Se verá la metodología de cálculo a través de un circuito:

Figura N° 22

Se quiere hallar las corrientes en todas las ramas y las tensiones en todos los elementos.

Comentario [d3]: rev 6-5-07, se agrega número de fig 22 y 23 y se corren los subsiguientes)



a) Se hallan las tensiones y corrientes forzadas, antes y después de la conmutación por los métodos conocidos.

b) Se determinan las corrientes y tensiones libres formando la ecuación característica (con el interruptor cerrado). Eligiendo el método de las mallas:

++++−=

−++=

∫

∫

dtiCdt

diLiRRiR

iRdtiC

iRR

nn

nn

nnn

.1

)(.0

..1

)(0

22

2223213

2311

131

con la nomenclatura de mallas:

+++=

−+=

∫

∫

dtiCdt

diLiRiR

iRdtiC

iR

nn

nn

nnn

.1

.0

..1

0

222

222222121

212111

111

La solución de este sistema para cualquiera de las corrientes in1 ó in2 se representa en general bajo la suma de funciones exponenciales, cada uno de cuyos pares con iguales exponentes debe satisfacer a dichas ecuaciones. Por lo tanto, para cualquiera de los pares:

ptn eAi ´.1 =

ptn eAi ´´.2 =

Resulta

11 ´. n

ptn piepAdt

di==

22 ´´. n

ptn piepAdt

di==

∫ ==p

ieA

pdti npt

n1

1 ´.1

.

∫ ==p

ieA

pdti npt

n2

2 ´´.1

.

Sustituyendo

+++=

++=

222

2222121

212111

11

)1

(.0

.)1

(0

nn

nn

ipC

pLRiR

iRipC

R

Comentario [d4]: rev 6-5-07, se cambia R2 por R3 en la primera ecuación



El sistema de dos ecuaciones homogéneas con dos incógnitas tiene solución distinta de cero si el determinante del sistema es igual a cero:

01

1

)(

22222221

1211

11

=

++

+

=∆

pCpLRR

RpC

R

p

Es la ecuación característica del sistema y es de tercer grado. Algebraicamente se obtienen las raíces p1, p2 y p3, que se supondrán reales y distintas:

tptptpn eAeAeAi 321 ... 3211 ++=

c) La corriente transitoria en la rama 1 será por ejemplo

tptptpfnf eAeAeAiiii 321 ... 3211111 +++=+=

Hay que determinar las constantes A1, A2 y A3. Para ello se deriva 2 veces la ecuación anterior y se sustituye t=0:

(*)

+++=

+++=

+++=

32

322

212

111

33221111

32111

)0´´()0´´(

)0´()0´(

)0()0(

ApApApii

ApApApii

AAAii

f

f

f

Al se conocidos los valores de la corriente forzada if1 y de sus derivadas para t=0, como también las raíces p1, p2 y p3 pueden hallarse A1, A2 y A3 si se conocen los valores de la corriente transitoria i1 y de sus derivadas i´1 e i´2 para t=0. d) Para calcularlas se escriben las ecuaciones de la primera y segunda ley de Kirchoff

para las corrientes transitorias en las ramas

−++=−++=

++=++=

+=

∫

∫

3322

2222332

2222

3311

1133111

321

.1

...0

.1

...

iRdtiCdt

diLiRiRu

dt

diLiR

iRdtiC

iRiRuiRE

iii

c

c

Por las leyes de la conmutación se conocen i2(0), uc1(0) y uc2(0) y de las primeras ecuaciones se hallan i1(0) e i2(0). Luego se derivan las primeras ecuaciones y se escribe nuevamente el sistema



−++=

++=

+=

3322

222

33

1

111

321

0 iRudt

diLiR

dt

diR

C

i

dt

diR

dt

dEdt

di

dt

di

dt

di

c

Para t=0, considerando que se conocen los valores iniciales de todas las corrientes, como también E´(0) y uc2(0) se hallan los valores iniciales de las derivadas primeras de todas la corrientes i1´(0), i2´(0) e i3´(0). Derivando nuevamente el sistema

−++=

++=

+=

dt

diR

C

i

dt

idL

dt

diR

dt

idR

dt

di

Cdt

idR

dt

Ed

dt

id

dt

id

dt

id

33

2

222

2

22

2

23

2

31

121

2

12

2

23

2

22

2

21

2

0

1

Analizando para t=0 y conociendo los valores iniciales de todas las corrientes y de sus derivadas primeras se hallan los valores iniciales de todas las corrientes i1´´(0), i2´´(0), i3´´(0). Ahora pueden sacarse A1, A2 y A3 del sistema (*). Para una ecuación diferencial de orden n, para hallar las n constantes de integración será necesario determinar los valores iniciales de la magnitud y de sus n-1 derivadas. Con ecuaciones similares se determinan las constates para la corriente i2, aunque puede salir de aplicar las ecuaciones de Kirchoff una vez conocida i1. 8. Uso de las variables de estado En un capítulo anterior de la materia se introdujo el concepto de variable de estado como aquella que define la energía almacenada en los elementos del sistema (tensión en capacitores, corriente en inductores, fuerza en resortes y velocidad en las masas). También se vio cómo seleccionar y operar con las ecuaciones de un circuito para obtener un sistema de ecuaciones diferenciales en variables de estado, que resulta en un número de ecuaciones diferenciales de primer orden igual a la cantidad de acumuladores de energía (independientes). Esto presenta grandes ventajas en el análisis de transitorios por tratarse de un planteamiento ordenado que tiende a disminuir probables errores en redes complejas y porque la teoría de la solución de este tipo de ecuaciones está ampliamente desarrollada, existiendo en la mayoría de los centros de cálculo digital las subrutinas necesarias para su solución.



Más rigurosamente, las VE son el conjunto más pequeño de variables del sistema (circuito, red, sistema electromecánico) que son linealmente independientes entre si tal que, conociendo estas VE en t0, junto con las excitación del sistema, determinan completamente el valor de todas las variables del sistema para t≥t0. En palabras de Ogata (Ingeniería de Control Moderno, 1998): “Las variables de estado de un sistema dinámico son las que forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico. Si se necesitan al menos n variables x1, x2, . . . , xn, para describir por completo el comportamiento de un sistema dinámico (por lo cual una vez que se proporciona la entrada para t≥ t0 y se especifica el estado inicial en t = t0, el estado futuro del sistema se determina por completo), tales n variables son un conjunto de variables de estado. Observe que las variables de estado no necesitan ser cantidades medibles u observables físicamente. Las variables que no representan cantidades físicas y aquellas que no son medibles ni observables pueden seleccionarse como variables de estado. Tal libertad al elegir las variables de estado es una ventaja de los métodos de espacio de estados. Sin embargo, en la práctica es conveniente elegir cantidades que se midan con facilidad para las variables de estado” En Teoría de circuitos, es habitual elegir los elementos almacenadores de energía como VE ya que ellas tienen la información directa de las Condiciones Iniciales iL(0) y uC(0), pero no necesariamente deben ser estas las VE. Podría ser cualquier conjunto no linealmente dependiente, tal que podamos, por combinación lineal, obtener cualquiera de las otras variables del sistema. La representación del sistema en el “espacio de estados” o en “Variables de Estado” se logra si podemos escribir el siguiente conjunto de ecuaciones:

[ ] ]].[[]].[[ UBxAxp +=

[ ] ]].[[]].[[ UDxCy += Donde x: Vector de estados (vector de variables de estado) y: Vector de variables de salida u: Vector de entrada A: Matriz del sistema B: Matriz de entrada C: Matriz de salida D: Matriz de transmisión directa La matriz de variables de salida representa todas las variables en cuya respuesta temporal estemos interesados y resulten de una combinación lineal de las variables de



estado elegidas y de la excitación. El número de variables de salida depende de nuestra elección. A modo de ejercicio, resolveremos a mano un caso sencillo. Sea el circuito de la siguiente figura:

Ω

Ω

Ω

Figura N° 23

Las C.I se suponen nulas. Entonces:

+=+

+=

=++=

dt

diLiRuiR

iiidt

duiuiRiRU

LLLCCC

LC

CCCCC

..

,..

−−+=

+++=

CCCLLL

CCCL

uRCpuLpiRi

uRRCpuRiU

0

)(

+−−=

+−−=+

++

−+

−=

CCC

LL

L

LC

C

L

C

C

C

C

uL

puL

CRi

L

Rpi

UiuRRC

Ui

RRC

Ru

RRCpu

1

555)()()(

1

C

C

L

C

C

C

CL

LL u

LRRC

Ui

RRC

Ru

RRCL

CRi

L

Rpi

1

)()()(

1+

++

+−

+−−−=

C

C

CL

C

CC

C

CL

LL u

LRR

U

L

Ri

RR

R

L

Ru

RRL

Ri

L

Rpi

1

)()()(

1+

++

+−

+−−=

)()(

11

)( C

C

C

C

C

L

C

CLL

RR

U

L

Ru

RRL

R

Li

RR

R

L

R

L

Rpi

++

+−+

+−−=

Uuipi CLL 5,02

11

2

11 +

−+

−−=

−−−=

++−=

Uiupu

Uuipi

LCC

CLL

555

5,05,05,1



Ui

u

pi

pu

L

C

L

C .5,0

5.

5,15,0

55

+

−

−−=

[ ] ]].[[]].[[ UBxAxp +=

Si designamos como nuestras variables de salida a i(t) e iC(t)

LCLC iCpuiii +=+=

CC Cpui = Entonces:

Ui

u

Cp

Cp

i

i

D

L

C

Cy

C

.0

0.

0

1

+

=

43421

Siguiendo con el cálculo de las variables de estado: [ ] ].[].[][]1[

1

1 UBApx

M

444 3444 21−

−−= (*)

][][][ nf xxx +=

[xn] para excitación cero:

0].[][][][1

][ 1 ==∆⇒∆

=− UMAdjxMAdjM t

n

t

para que no sea una solución trivial: 0=∆ . De aquí se obtiene la ecuación característica con n raíces pk (n variables de estado). Para obtener [xf] se ensayan soluciones de “igual forma” que el segundo miembro de la ecuación diferencial. También, pueden obtenerse directamente de (*) poniendo p=0 si es corriente continua o p=jω si es corriente alterna (con [x], [U] fasores). Queda:

∑+= tp

kfkeAxx .

Para resolver las constantes:

∑+=+= kfnf Axxxx )0()0()0()0(

x(0) debe conocerse por condiciones físicas y hay n incógnitas por ecuación. Por lo tanto se requieren (n-1) ecuaciones adicionales que se obtienen por derivaciones sucesivas.

Comentario [d5]: rev 6-5-07, se elimina exponente -1 de delta en el denominador

Comentario [d6]: rev 6-5-07, se cambia X por x



[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑+==

−

kk pAfxUMx )0(´)0´()0´( 1

y así hasta la derivada n-1; la primera derivada es la expresión canónica. En el ejercicio:

Up

p

pp

Up

pAdj

ppU

p

p

Up

p

i

u

l

c

.5,0

5

55,0

55,1

105,6

1

.5,0

5.

5,15

5,05.

5,2)5,1)(5(

1.

5,0

5

5,15,0

55

.5,0

5

5,15,0

55

0

0

2

1

1

+

−+

++=

=

+

−+

+++=

+−

+

−

−−−

=

−

−

Componentes forzadas:

=

−=

=

=5,1

5,13.

5,0

5

55,0

55,1

10

1

0pL

c

Lf

cf

i

u

i

u

(también sale del circuito) Componentes naturales:

tptp

LfL

tptp

cfc

eBeBii

eAeAuu

21

21

21

21

++=

++=

con ucf=1,5 V e iLf=1,5 A

4

5,210

2

5,6

2

5,6

2

405,65,60

105,6

2

122

2,1

2

−=

−=−

±−=

−±−=⇒=∆

++=∆

p

ppde

pp

AecuacionesdesistemaBBi

AAu

L

c

++==

++==

21

21

5,10)0(

5,10)0(

De la ecuación canónica:

+

++

=

+

−

−−=

2211

2211

)0('

)0('3.

5,0

5

)0(

)0(

5,15,0

55

)0(

)0(

pBpB

pApA

i

u

i

u

ip

up

Lf

cf

L

c

L

c condición circuital

Donde uc(0)=0, iL(0)=0, u’cf=0, i’Lf=0



BecuacionesdesistemaBBpi

AApu

L

c

−−==

−−==

21

21

45,25,1)0(

45,215)0(

De los sistemas de ecuaciones A y B se deduce que: A1= 6; A2= -7,5; B1= -3; B2= 1,5 Entonces:

tt

L

tt

c

eei

eeu45,2

45,2

5,135,1

5,765,1−−

−−

+−=

−+=

8.1. Uso de las variables de estado para el cálculo digital Las variables de estado son “funciones derivadas” que definen el estado energético de los elementos que almacenan energía como el capacitor, el inductor, la masa, etc., en un instante dado:

2.2

1CC uCW = 2.

2

1LL iLW = 2.

2

1vmWm =

Como W(0-) = W(0+) (de lo contrario necesitaría potencia infinita) implica que uc(0

-) = uc(0+), etc, que son las condiciones convenientes a imponer “en cero”.

La resolución de la forma canónica de un sistema en V.E. puede resolverse fácilmente por computadora:

)](].[[)](].[[)]([)]([

][ tuBtXAT

tXTtXX +=

−+≅&

con T = ∆t y con intervalos: tk = k . ∆t ; t+T= (k + 1) ∆t resultará entonces despejando:

Figura N°24

[X(k+1)] = T . [A] + [1] . [X(k)] + T . [B] . [u(k)] donde T debe ser pequeño respecto de la menor constante de tiempo o período del circuito.



9. Ejemplos resueltos 9.1. Ejemplo N°1 Calcular i(t) cuando se conmuta, siendo )30.1000sen(.42,141 °+= tu Solución:

τ

t

lf ekiii−

+=+= .0 msR

L2==τ

Condiciones iniciales:

Ω

Figura N°25

°=⇒==== 4,63210

20tg ϕ

ωϕ

R

L

R

X L

)4,6330.1000sen(.2010

42,141)0(

22°−°+

+= ti

para t = 0:

KAi =−=°−°= 48,3)4,6330sen(.32,6)0(

ϕ

Figura N°26



τ

t

eti−

−= .48,3)( con msT 28,61000

22===

π

ω

π

9.2. Ejemplo N°2 Dado un circuito RLC paralelo, nos interesa calcular la respuesta temporal en Variables de estado. Del circuito tenemos:

CLR iiiti ++=)(

Figura N°27

Figura N°28 Las variables de estado son:

∫=⇒=== dtuL

idt

diLuuu LL

LLC .

1.

entonces conviene resolver primero para iL:

LL

LLC

L ipR

LLCp

dt

idLCi

dt

di

R

L

dt

duCi

R

ui ).1(.. 2

2

++=++=++=



22

2,12 1

2

1

2

10

11

−

±=⇒=++

LCRCRCp

LCp

RCp

Si reescribimos la ecuación cuadrática con RC2

1=α y

LC

10 =ω tenemos:

02 02 =++ ωαpp 2

02

2,1 ωαα −±−⇒ p

Es igual al caso de RLC serie, salvo la expresión de α. La resistencia crítica se puede obtener de:

LCRC

11=

C

LRC 2

1=⇒

⇒ la repuesta será aperiódica si R < Rc, y será oscilatorio si R > Rc.

Es un caso dual al caso de RLC serie.

Si nos interesa la solución para caso No crítico (R≠Rc) las respuestas buscadas tendrán la forma:

+==

++=+=

tptpL

tptp

LnLfL

eBpeApdt

diLu

eBeAiiii

.2

.1

..

121

21

...

..

Con las CI iL(0), u(0) correspondientes podrán obtenerse las ctes. A y B. 9.3. Ejemplo N°3 Si el problema fuera como el siguiente donde se busca: i = ic + iL, su solución es inmediata:

Comentario [d7]: 4-5-08 se cambia fuente de ca a cc



Figura N°29

τC =

τL =

Figura N°30

10. Excitaciones y respuestas multivariables en variables de estado (VE) En el ejemplo de la Figura 31, r(t) = uRL, no es una VE, pero involucra una VE: uL= Lpi. Luego, si T(p) contiene a p es porque existe una variable de estado; análogamente si contiene pn existen n variables de estado. Si hay m excitaciones e(t) habrá que sumar efectos, y además se podrán hallar varias respuestas. En efecto, el circuito se podrá resolver a través de sus VE mediante su ecuación general:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] n mcon )( 1 ≤+=

mxnxmnxn tuBXAXp [4] ya que si fuera m>n se reducirá el número de fuentes mediante traslados, etc. Las q respuestas buscadas “y” serán, en general, una combinación lineal de las V.E. y las excitaciones:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ])(tuDXCy qxmqxn += [5]

10.1. Ejemplo Nº4 En el circuito dado se desean hallar uRL e iCG.

Figura N°31

uRL



Hay 2 excitaciones, 2 V.E. y 2 respuestas

+

−

−−=

−+=

++=

)(

)(

10

01

1

1 ó

)(

)(

ti

tu

C

L

u

i

CG

C

LLR

u

ip

iCpuuGti

upiLiRtu

B

C

L

A

C

L

LCC

CLL

4342144 344 21

Se buscan:

+=

+=

CCG

LRL

uCpGi

iLpRu

)(

)( ó

+

+

+=

)(

)(

00

00

0

0

ti

tu

u

i

CpG

LpR

i

u

D

C

L

C

CG

RL

43421444 3444 21

Resolución: de [4], como p[x] = p [1] [X] , donde [1] es la matriz unidad, ∴ [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]7 ..)1(.

5

6 ..1

1

1

uHuDBApCy

pory

uBApX

=+−=

−=

−

−

Aplicado al ejemplo se llega fácil a:

⋅

+⋅

+

+

+−

+⋅

+

∆=

+

+⋅

+=∆

+

−

+

∆=

)(

)(1

1

)(

)(

11

111

ti

tu

L

Rp

C

Gp

L

CGp

C

LRp

C

Gp

L

Rp

i

u

LCC

Gp

L

Rpcon

ti

tu

L

Rp

CLC

LCC

Gp

L

u

i

CG

RL

C

L

Si se deseara hallar )(ti

uRL con 0)( =tu , se tendrá:

⋅

⋅=

⋅

=

)(

)(

)(

0

tid

tib

tidc

ba

i

u

H

CG

RL

43421o sea: b

ti

uRL =)(

(o sea, un “casillero” de [ ]H ).

Este método interesa en los sistemas de orden superior, que son los de ingeniería. En muchos casos las matrices son sólo números (sin p).



11. Bibliografía -Analisis básico de Circuitos Eléctricos, de Brenner-Javid -Principios de Electrotecnia Tomo II, de Netushil-Strajov -Applied Electricity for Engineers, de Bessonov



12. INDICE

RESPUESTA TEMPORAL – METODO CLASICO ....................................................................................................1

1. RESPUESTA NATURAL O SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN HOMOGÉNEA.........................1

2. POLOS Y CEROS...................................................................................................................................................1

2.1. EJEMPLO ...........................................................................................................................................................2

3. RESPUESTA COMPLETA DE SISTEMAS: TRANSITORIOS Y LEYES DE CONMUTACIÓN ...............4

3.1. LEYES DE CONMUTACIÓN .................................................................................................................................4

3.2. RESPUESTA FORZADA Y RESPUESTA NATURAL: .................................................................................................5

4. CONDICIONES INICIALES – FUENTES EQUIVALENTES ..........................................................................8

4.1. CASO 1: INDUCTANCIAS CON CI........................................................................................................................8

4.2. CASO 2: CAPACITORES CON CI .........................................................................................................................9

4.3. DOS CASOS ESPECIALES ....................................................................................................................................9

4.3.1. Capacitores en paralelo ............................................................................................................................10

4.3.2. Inductores en serie ....................................................................................................................................10

4.3.3. Explicación del fenómeno .........................................................................................................................11

4.4. REGLAS DE CONMUTACIÓN GENERALIZADAS ..................................................................................................11

4.4.1. Primera Regla: ley de conservación del flujo ...........................................................................................11

4.4.2. Segunda Regla: ley de conservación de la carga .....................................................................................12

4.4.3. Ejemplo del primer caso: ..........................................................................................................................12

4.4.4. Ejemplo del segundo caso.........................................................................................................................13

5. CIRCUITOS ACOPLADOS.................................................................................................................................14

5.1. APERTURA DE UNA LLAVE ..............................................................................................................................15

5.2. CIERRE DE UNA LLAVE ....................................................................................................................................16

6. CIERRE Y APERTURA DE LLAVES. CORRIENTE DE CORTOCIRCUITO Y TENSIÓN DE RESTABLECIMIENTO ................................................................................................................................................17

6.1. CIERRE............................................................................................................................................................17

6.2. APERTURA ......................................................................................................................................................17

7. TRANSITORIOS EN CIRCUITOS MALLADOS.............................................................................................18

8. USO DE LAS VARIABLES DE ESTADO..........................................................................................................21

8.1. USO DE LAS VARIABLES DE ESTADO PARA EL CÁLCULO DIGITAL .....................................................................26

9. EJEMPLOS RESUELTOS...................................................................................................................................27

9.1. EJEMPLO N°1..................................................................................................................................................27

9.2. EJEMPLO N°2..................................................................................................................................................28

9.3. EJEMPLO N°3..................................................................................................................................................29

10. EXCITACIONES Y RESPUESTAS MULTIVARIABLES EN VARIABLES DE ESTADO (VE) ...............30

10.1. EJEMPLO Nº4 ..................................................................................................................................................30

11. BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................................................32

12. INDICE...................................................................................................................................................................33

respuesta temporal – metodo clasico 1. …materias.fi.uba.ar/6509/respuesta temporal-met...

Documents