VILCA YAÑEZ KEVIN CATILLO IZQUIERDO LUIS MIGUEL

Muelles de torsión

  Parámetros físicos

d (diámetro del hilo): Este parámetro describe el espesor del hilo empleado para fabricar el muelle.

Db (Árbol): Este parámetro describe el diámetro máximo del árbol de un muelle para aplicaciones industriales. La tolerancia de este parámetro es de (+-)2%(indicativo).

Di (diámetro interior): diámetro interior de un muelle. Puede calcularse restando dos veces el diámetro del hilo al diámetro exterior del muelle. El diámetro interior de un muelle de torsión disminuye hasta el diámetro del árbol mientras se encuentra en funcionamiento. La tolerancia de este parámetro es de (+-)2%(indicativo).

De (diámetro exterior): Diámetro exterior de un muelle. Puede calcularse sumando dos veces el diámetro del hilo al diámetro interior del muelle. El diámetro exterior de los muelles de torsión disminuye mientras se encuentra en funcionamiento. La tolerancia de este parámetro es de (+-)2% con una tolerancia de (+-) 0.1 mm

L0 (Longitud libre): ATENCIÓN: la longitud libre disminuye con el muelle en funcionamiento. La tolerancia de este parámetro es de (+-)2%(indicativo).

Ls (Longitud de la rama): Se trata de la distancia desde el eje central de la espira hasta el extremo de la rama del muelle de torsión. La tolerancia de este parámetro es de (+-)2%(indicativo).

An (Ángulo máximo): Rotación máxima aceptable del muelle medida en grados. La tolerancia de este parámetro es de (+-)15 (indicativo).

Fn (Fuerza máxima): Fuerza máxima aceptable en el extremo de la rama del muelle de torsión. La tolerancia de este parámetro es de (+-)15%(indicativo).

Mn (Momento máximo): Momento máximo aceptable (Newton * mm). La tolerancia de este parámetro es de (+-)15%(indicativo).

R (Índice de rigidez): Este parámetro determina la resistencia de un muelle durante su funcionamiento. Se mide en Newton * mm/ grado. La tolerancia de este parámetro es de (+-)15%(indicativo).

A1 & F1 & M1: (ángulo en momento o fuerza) La siguiente ecuación calcula el ángulo como función de un momento: A1 = M1/R. Para calcular el momento a partir de la fuerza, se emplea la siguiente ecuación: M = F*Ls

Posición de la rama Hay 4 tipos de posición de la rama en los muelles de torsión: 0, 90 ,180 o 270 grados (véase la imagen anterior).

Sentido de la hélice: un bobinado a la derecha permite un movimiento en el sentido contrario al de las agujas del reloj. un bobinado a la derecha permite un movimiento en el sentido de las agujas del reloj. Ambos tipos están disponibles en todos los tamaños.

Número de referencia: Todos los muelles están identificados por un número único:tipo. (De * 10) . (d * 100) . (N * 100) . Para los muelles con movimiento a la derecha, el tipo de una letra "D". Para los muelles con movimiento a la izquierda, el tipo de una letra "G". "N" designa el número de espiras. Ejemplo: D.028.020.0350es un muelle de torsión con movimiento a la derecha y un diámetro exterior de 2,8 mm producido por un hilo de acero inoxidable de 0,9 mm formado por 3,5 espiras.

Resorte de torsión

La barra de torsión es un ejemplo de resorte de torsión. Además sobre la barra ejerce un esfuerzo claramente de torsión.

Un resorte de torsión es un resorte que trabaja a torsión o girando, eso es, mediante la elasticidad es capaz de almacenar energía mecánica cuando es girado y puede devolverla cuando se libera en forma de giro.1 La cantidad de fuerza que libera es proporcional a la cantidad total que sea girado. Existen dos tipos: La barra de torsión es una barra recta y rígida de metal o goma que se gira absorbiendo la fuerza mediante tensión cortante alrededor de su eje al ejercer un esfuerzo de torsión en uno de sus extremos. De este tipo deriva otro más delicado llamado la fibra de torsión que consiste en una fibra de cristal, cuarzo fundido o seda en tensión, que es retorcido sobre su eje y que se usa en aparatos sensibles. El otro tipo es el resorte helicoidal de torsión, que se compone de un hilo metálico o de cable enrollado en forma de hélice sobre el cual se ejercen momentos flectores en los extremos. Aunque la hélice completa pueda considerarse como un tornillo sometido a torsión, en realidad el hilo no está sometido a torsión por lo que la terminología puede resultar confusa.

Coeficiente de torsión

Mientras que el resorte no alcance su límite elástico, el resorte de torsión debe obedecer la forma angular de la ley de Hooke:2

Donde   es el esfuerzo de torsión ejercido por el resorte en newton-metros, y   es el ángulo de giro desde la posición de equilibrio en radianes.   es una constante con unidades de newton-metros/radianes, que se le llama el coeficiente de torsión, módulo elástico de torsión, ratio o simplemente constante elástica del muelle, igual al esfuerzo de torsión requerido para girar el resorte un ángulo de 1 radián. Este coeficiente es análogo al coeficiente elástico lineal. El signo negativo indica que la dirección del resorte es contraria a la dirección del giro.

La energía U, en julios, almacenada en el resorte de torsión es:

Momento torsorSe denomina momento torsor a la componente paralela al eje longitudinal del momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal del prisma mecánico.El momento torsor puede aparecer cuando se someten estos elementos a la acción de un momento de fuerza o torque paralelo al eje del prisma o cuando otro prisma mecánico perpendicular que está flexionado interseca al prisma mecánico original. La relación entre el momento torsor y el campo de tensiones sobre la sección transversal   de un prisma mecánico viene dada por:

Puede obtenerse una fórmula más directa de cálculo introduciendo la tensión tangencial   y el momento torsor resulta ser entonces:

Una sección de un elemento estructural está solicitada a Torsión cuando el Momento resultante de las fuerzas interiores tiene la componente Mx = T

zT x

G

yFig..8.1.a

Criterios de signos para los Momentos Torsores

T>0 → si su sentido es el de la normal saliente de la sección

T<0 → si su sentido es contrario al de la normal saliente en la sección

Fig..8.1.b

En este tema se estudiarán elementos estructurales en los que todas sus secciones estén solicitadas

xnT xTn

xnT xTn

a TorsiónDiagramas de Momentos TorsoresAl igual que ocurre con los diagramas correspondientes de la Tracción-Compresión y de la Flexión, los diagramas de Momentos Torsores indicarán el Momento Torsor correspondiente a cada sección del elemento estructural.Se desarrollará uno de estos diagramas a través de un ejemplo:

Tramo L 1

= M1

L1 L2

T T = M1

Tramo L 2

M3Fig..8.2 T = - M3

M3Mext = M3Mint= M3

n

MintnM1 Mext = M1

M3M2M1

-x

M1

+

DEFORMACION

La deformación se define como el cambio de forma de un cuerpo, el cual se debe al esfuerzo, al cambio térmico, al cambio de humedad o a otras causas. En conjunción con el esfuerzo directo, la deformación se supone como un cambio lineal y se mide en unidades de longitud. En los ensayos de torsión se acostumbra medir la deformación cómo un ángulo de entre dos secciones especificadas.

Cuando la deformación se define como el cambio por unidad de longitud en una dimensión lineal de un cuerpo, el cual va acompañado por un cambio de esfuerzo, se denomina deformación unitaria debida a un esfuerzo. Es una razón o número no dimensional, y es, por lo tanto, la misma sin importar las unidades expresadas, su cálculo se puede realizar mediante la siguiente expresión:

 = e / L (14)

Donde,

: es la deformación unitaria

e : es la deformación

L: es la longitud del elemento

TRABAJO DE DEFORMACIÓNLa energía o trabajo de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación.

Energía de deformación reversible e irreversible

Cuando un sólido se deforma parte aumenta su energía interna, este aumento de energía puede ocasionar cambios termodinámicos reversibles y/o cambios termodinámicos irreversibles. Por tanto la energía de deformación admite la siguiente descomposición:

Donde el primer sumando es la energía invertida en provocar sólo transformaciones reversibles comúnmente llamada energía potencial elástica. El segundo sumando representa la energía invertida en diversos procesos irreversibles como: plastificar, fisurar o romper, etc. el sólido.

En el caso general de un sólido isótropo elástico, durante un proceso de deformación reversible a temperatura constante, los incrementos de energía potencial elástica w, de energía interna u y de energía libre de Helmholtz f = u + Ts por unidad de volumen son iguales:

De hecho la energía libre de Helmholtz f por unidad de volumen está relacionada con las componentes εij del tensor deformación mediante la siguiente relación:

Y la conexión entre tensiores y deformaciones viene dada por relaciones termodinámicas, en concreto, si derivamos la energía libre de Helmholtz respecto a las componentes de deformación, llegamos a las ecuaciones de Hooke-Lamé en función de los coeficientes de Lamé:

Energía potencial elástica

La energía de deformación Edef o energía potencial elástica para un sólido deformable viene dada por el producto las componentes del tensor tensión y tensor deformación. Si además la deformación ocurre dentro del límite elástico, la energía de deformación viene dada por:

Donde:

, son las componentes del tensor tensión.

, son respectivamente los módulos de elasticidad longitudinal y transversal.Descomposición de la energía elástica

La energía de deformación se puede descomponer además en una energía de deformación volumétrica o trabajo invertido en comprimir o expandir una determinada porción del sólido y energía de distorsión o trabajo invertido en cambiar la forma del cuerpo (sin alterar el volumen):

Donde cada uno de los sumandos viene dado por:

Donde hemos hecho intervernir el módulo de compresibilidad K, que es la constante elástica que da cuenta de los cambios del volumen de un cuerpo bajo presión uniforme. Y hemos reexpresado la energía de distorsión en términos de las tres tensiones principales.

Función densidad de energía de deformaciónArtículo principal: Función densidad de energía de deformación

En un material o modelo hiperelástico la relación entre tensiones y deformaciones es derivable a partir de una función potencial que es una función de las componentes del tensor de deformación. Es más dicha función refleja directamente el tipo de simetría u anisotropía que presenta un material, así el grupo de simetría del material coincide con el conjunto de transformaciones de simetría que dejan invariantes la función densidad de energía de deformación. La relación básica entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones vía la función densidad energía de deformación es:

Energía de deformación elástica en vigas y pilares

Cuando un prisma mecánico como una viga o un pilar se encuentra sometido a un esfuerzo normal, de torsión, de flexión se producen tensiones y deformación relacionadas por la ley de Hooke. Existen métodos de cálculo de estructuras, en que al ocurrir una deformación, se efectúa un trabajo (similar a un resorte), por lo que es posible realizar el cálculo de deformaciones, con base al trabajo realizado por la deformación. A este método se le conoce como método energético.

Si se usa un sistema de coordenadas en que el eje Bari céntrico de la barra coincide con el eje X y los ejes Y y Z con las direcciones principales de inercia de la sección, la energía de deformación por unidad de volumen de una barra recta (viga o pilar) sometida a extensión, torsión, flexión y cortante, viene dada por:

Donde   son las energías debidas únicamente a la extensión, la flexión impura y la torsión tomadas aisladamente. El término   aparece sólo en piezas asimétricas donde el centro de cortante no coincide con el centro de gravedad. Las expresiones de estos términos de la energía de deformación cuando existen simultáneamente flexión y torsión son:

Dónde:

 Es el vector de desplazamientos de los puntos del eje de la pieza.

 Son los giros de los puntos de eje de la pieza, alrededor de los tres ejes y el giro de alabeo.

 son las características geométricas de la sección: el área transversal, el momento de inercia en Y, el momento de inercia en Z, el momento de torsión y

el momento de alabeo, además   es un parámetro adimensional relacionado con los anteriores (ver prisma mecánico).

, son las coordenadas del centro de cortante.

Como puede verse para piezas con dos planos de simetría el término de acoplamiento flexión-torsión se anula y la energía de deformación es simplemente la suma de las energías de deformación asociadas a la extensión, flexión y torsión. A continuación desarrollamos los casos particulares de esta fórmula substituyendo las derivadas de los desplazamientos en función de los esfuerzos internos.

Energía de deformación bajo esfuerzo axial

Si una barra o prisma mecánico de longitud L, área transversal A y compuesto de un material con módulo de Young E, se encuentra sujeto a una carga axial siendo el esfuerzo normal o axial N y se tienen en cuenta las relaciones entre tensión normal σ = N/A se obtiene:

Si el elemento tiene un área transversal y una carga axial constantes:

Energía de deformación bajo esfuerzo cortante

De forma semejante se obtiene la energía de deformación por esfuerzo cortante:

Energía de deformación bajo flexión pura

Si el elemento se encuentra bajo un momento flector, el esfuerzo normal viene dado por:

Tomando el elemento diferencial de volumen como   y teniendo en cuenta

que  , entonces la energía viene dada por la expresión:

PROBLEMAS PROPUETOS Y RESUELOS

En la ménsula de la figura de sección maciza circular se pide:1) Diagrama de momentos torsores2) Dimensionamiento a resistencia de la sección empleando el criterio de Von Misses3) Diagrama de giros de torsión

Datos: fy = 275 N/mm2; G = 81000 N/mm2 ; coeficiente de minoración del material: M =1,1 coeficiente de mayoración de cargas: =1,5

sección

A 1 m 1 m

Cálculo del Momento de empotramiento. Ecuaciones de equilibrio:

T 0

TA 8 4 12 kN.m

Diagramas de esfuerzos: T (kN.m)

tramo 0 x 1:T 12 kN

.m tramo 1 x 2 :

T 4 kN .m

x (rad) 12

0,02760,0368

Dimensionamiento a resistencia:

Sección más solicitada: tramo 0-x-1 T = 12 kN.m

Punto más solicitado: los del borde de la sección circular

max

max

max

* 0

max

* * * * * 2

* * T

(caso sec c .circular) T T

T T

12.10 .1, 5

max W W I .R3 .R3

t o o

RR 2 2

.R4

2

TA4 kN.m8 kN.m

4-x

-

x

.R4

2 .R4

2 .R4

2 .R4

2

3

Von Misses: co

f yd

sustituyendo valores:

2

275 co

1,1

Criterio elástico de dimensionamiento:

T * T

f W . yd 12.106.1, 5

W

275

. 1,1 W 124707, 66 mm3

el ,d T ,el T ,el T ,el

W (caso de sección circular)=W

I0

.R 124707, 66 mm3

T ,el o R 2 R 42, 98 mm ≃ 43 mm ¡el mismo resultado que con Von Misses!

Diagramas de giros a torsión:

I (caso sec c.circular) I

.R

4 .4, 34

537 cm4

t o 2 2

tramo 0 x 1:

S TAX 12.103.x

(como

0) XA X A A X G.It 81000.106.537.108

x 0 x 0 x 1 x 0, 0276 rad

tramo 1 x 2 :

S TAX 12.103.1 4.103.( x 1)

(como

0) XA X A A X G.It 81000.106.537.108

x 1 x 0, 029 rad x 2 x 0, 0369 rad

*2 3. *2

R 43 mm

3

2

.R3

12.106.1, 5 3.

3

*2 3. *2 *2 3. *2 *2 3. *2 *2 3. *2

3333

8.2.-En la barra de la figura se pide calcular:1) Diagramas de momentos torsores

2) Diagramas de giros de torsión Datos: G, It

Ecuaciones de equilibrio: T 0

TA TB T0 T0

(1)

1 ecuación de equilibrio y 2 incógnitas: TA y TB → viga hiper-estática

Viga isostática equivalente:

condición:

B 0 (2)

Desarrollemos la ecuación (2):

BA B A

STAB

S TAB

G.It

pero A 0 (empotramiento) y B 0 (ecuación 2)

B

BA 0 G.I S TAB 0 T .dx 0

siendo :

0 x L / 3 : t A

T TA

L / 3 x 2 L / 3 : 2 L / 3 x L :

T TA To

T TA 2.To

conlocual sustituyendo :

B L / 3 2 L / 3 L

T .dx

(TA ).dx

(TA To ).dx

(TA 2To ).dx 0

A 0 L / 3 2 L / 3

L L LTA . (TA Mo ). (TA 2.Mo ). 0 (2)

3 3 3

L/3L/3L/3

TBTA

ToTo

L/3L/3L/3

TBTA

ToTo

resolviendo el sistema deecuaciones (1) y (2) :

TA To

TB To

o

ToT

T0

x

To L /3GIt

tramo 0 x L / 3 :

T To

TAX

(como 0)

S

To .x

XA X A A X G.It G.It

x 0

0x L / 3

To .LX X

tramo L / 3 x 2.L / 3 :

T To To 0

3.G.It

( 0)

S TAX To .L

cteXA X A A X

tramo 2.L / 3 x L :

T To To To To

G.I t 3.G.It

S TAX To.

L T .( x

2.L )

XA X A ( A 0) X

3 3

x 2.L / 3

X

To .L 3.G.It

G.It

x L

G.It

X 0

L/3L/3L/3

ToTo

ToTo

x-

x-

+

3

8.5.-La sección de una viga está sometida a un momento torsor de valor: T = 7,5 kN.m. Se pide:

1) Dimensionar a resistencia dicha sección empleando el criterio de Von Misses2) Calcular las tensiones en los puntos 1 y 2 indicados en la figura3) Calcular el ángulo de torsión unitario

Datos: G = 81000 N/mm2, fy = 275 N/mm2 ; coeficiente de minoración del material: M =1,1 coeficiente de may1o,4ratción de cargas: =1,35

h

aplicandoVon Mises : co

* 6

(como 0) *.

f yd

siendo :

* T

Wt6

7, 5.10 .1,

35Wt

sustituyendo :

7, 5.10 .1, 35

.Wt

275

1,1

Wt 70,148.103 mm tablas perfil 100 / 80 / 6

h 100 mmb 80 mmt 6 mmaplicandocriterioelástico (en este caso coincidiría con el plástico, pues al ser el espesor cte,

todos los puntos alcanzan la fy a la vez) :

T * T

f W . yd 7, 5.106.1, 35

W

275

. 1,1 W 70,148.103 mm3

el ,d T ,el T ,el T ,el

tablas perfil 100 / 80 / 6 ¡el mismo resultado que con Von Misses!

Observación: Si no se tuviesen los valores de WT se podría ir tanteando perfiles tubulares rectangulares y calculando el WT correspondiente, a partir de su fórmula:

WT 2.tmin .Am 2.t.hm .bm 2.t.(h t).(b t)los valores de h, b y t los iríamos sacando de las tablas de los perfiles que fuésemos tanteandoAm =(area encerrada por la línea media)=hm .bm =(h t).(b t)

*2 3. *2 3

3

b

y5 cm

2 b

z

a5 cmt1

T

t

3

*2 3. *2 *2 3. *2 *2 3. *2 *2 3. *2 3333

3333

3333

62) T 7, 5.10 a 2.ta .Am 2.6.6956.103

T 2.tb.Am

7,5.106

2.6.6956

89,95 N / mm2

siendo : t t 6 mm

A b .h

(806).(1006) 6956 mm2

a b m m m

3)

T

G.It

7,5.106

8,1.104.3456138

2 2 2 2

siendo : It 4.Am

siti

4.(bm .hm )

2.hm 2. bm t t

4.(80 6) .(100 6)

2. (100 6) 2.

(80 6)

6 6

3456138 mm4

89, 95 N / mm 2

0,0000268 rad / mm

b

x

b b b b

89, 95 N / mm 289, 95 N / mm 289, 95 N / mm 289, 95 N / mm 2

xxxx 0,0000268 rad / mm 0,0000268 rad / mm 0,0000268 rad / mm 0,0000268 rad / mm

8.6.-En la viga de la figura se pide:1) Momento torsor máximo que se podrá aplicar para que el giro de la sección B

respecto de A no supere los 6º2) Para el momento torsor obtenido en el apartado anterior, calcular la tensión

máximaDatos: G = 81000 N/mm2

M M 0,4 cm

A B

1,5 m10 cm

0,4 cm

10 cm

6º 6. 2.

360 0,105 radtramo 0 x 1, 5 : T

M cte

S TAB

1,5

M .dx

(como

0)

0 0,105 sustituyendo :BA B A A B G.It G.It

M .1, 581000.106.0,148.108 0,105

siendo I . 1

. s .t3 1. 1

.(9, 8.0, 43 9, 8.0, 43 ) 0,148 cm4

t 3 i i 32)

T

M

Wt Wt

siendo W

. 1 . s .t 2 1.

1 .(9,8.0,42 9,8.0,42 ) 1,045 cm3

t 3 i i 3

y

maxz

M

max

8, 4.103

8 N / mm2

1, 045.103

max

M 8, 4 N.m 0, 0084 kN.m

8, 4.103

8 N / mm2

1, 045.103

8, 4.103

8 N / mm2

1, 045.103

8, 4.103

8 N / mm2

1, 045.103

8, 4.103

8 N / mm2

1, 045.103

max

max

max

max