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Resolver problemas matemáticos: hacia la Olimpiada Cordobesa de Matemática

CLASE 3:ABORDAJE Y RESOLUCIÓN DE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS: MOMENTO DE

CONFRONTACIÓN

VALIDACIÓN A CARGO DE LOS ESTUDIANTES

Introducción

El propósito formativo que orienta la propuesta de esta clase es propiciar la reflexiónpara la toma de decisiones

acerca de la intervención docente en el momento de confrontación. Además, eleje de trabajo será el análisis críticode

losmodos que emplean los estudiantes para determinar la validez de los resultados obtenidos y de los razonamientos

utilizados.

Si, como estrategia central de enseñanza, los estudiantes son enfrentados a un trabajo con problemas y deben “hacerse cargo” de la resolución, tendrán que controlar su producción para asegurase de que su respuesta a la pregunta planteada y el procedimiento utilizado para obtenerla son válidos, es decir, deben responsabilizarse matemáticamente de sus producciones. Esto implica que los alumnos deben involucrarse en la elaboración de pruebas.

Chemello y Crippa, 2011, p.63.

MOMENTO DE CONFRONTACIÓN DE RESULTADOS, DE PROCEDIMIENTOS Y DE ARGUMENTOS

EMPLEADOS

En el apartado Abordaje y resolución de situaciones problemáticas del Fascículo 4: Matemática. Educación

Inicial, Primaria y Secundaria. Serie MEJORA EN LOS APRENDIZAJES DE LENGUA, MATEMÁTICA Y

CIENCIAS,p. 4, se expresa:

- Momento de confrontación

Posteriormente al trabajo con el problema, se da lugar una instancia de debate, que se podrá organizar en

función de respuestas similares, procedimientos más económicos para arribar al contenido que se quiere

abordar, dando la posibilidad de que todos los procedimientos que circulen sean tenidos en cuenta. De esta

manera, el “error” de los estudiantes es motivo de reflexión para toda la clase. Durante el debate el docente

interviene:

Como moderador en el debate, para promover el análisis acerca de la veracidad o falsedad de un enunciado

matemático; por ejemplo: da la palabra, toma notas, reflexiona en voz alta, pide que el estudiante fundamente.




Para que los estudiantes se apropien de las reglas del debate: un contraejemplo es suficiente para probar

que un enunciado matemático es falso y, además, con ejemplos o con dibujos geométricos no alcanza para

probar que es verdadero: el estudiante para debatir deberá apoyarse en propiedades y definiciones matemáticas.

Para instalar el lenguaje matemático para la comunicación; por ejemplo, reponiendo los términos técnicos

específicos, pidiendo a los estudiantes que reformulen una frase coloquial.

ACTIVIDAD 1

Les proponemos:

1. Observar la intervención de la profesora Melania entre el minuto

36:32 y el 43:03 de la filmación de clase de segundo año del Ciclo

Básico de la Educación Secundaria.Podrá acceder a la filmación a

través del siguiente link:

http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-

CBA/publicaciones/MatematicaAtacalar/2015/Olimpiadas.php

2. Realizar un listado de intervenciones docentes durante el momento de

confrontación de resultados, de procedimientos y de argumentos empleadosen la resolución del problema“En

búsqueda del tesoro de los Castillo”.

3. Retomar las consideraciones planteadas anteriormente acerca de la intervención docente en el momento de

confrontación y explicitar la intencionalidad de las intervenciones docentes detalladas en el listado anterior.

VALIDACIÓN A CARGO DE LOS ESTUDIANTES

Carnelli, Falsetti, Formica y Rodríguez (2008) hacen referencia al significado de la validación:

En el ámbito de la Matemática científica, la validación es una actividad que se considera fundamental y transversal a cualquier contenido matemático. La validación de un conocimiento va asociada a la “prueba o demostración matemática”…. Se parte de axiomas, que son los enunciados que se asumen verdaderos sin demostración y se derivan proposiciones que han sido ya deducidas de los axiomas por reglas tautológicas (p. 26)

No se espera que el estudiante realice ese tipo de validación, pero sí que sea capaz de elaborar razones para

justificar las acciones realizadas y sostener “por qué un enunciado es o no verdadero, un procedimiento es o no

correcto o un razonamiento es o no válido” (Carnelli y otros, 2008, p. 26).

En el apartado Resolver problemas en el Nivel Secundario de la secciónORIENTACIONES PARA LA

ENSEÑANZAdelespacio curricular Matemáticadel Diseño Curricular Ciclo Básico de la Educación Secundaria2011-

2015,p.45, se expresa:

Los estudiantes deberán tener múltiples ocasiones de plantear, explorar y resolver problemas, como así también de reflexionar en torno a ellos, progresando hacia el uso de razonamientos matemáticos y

http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-CBA/publicaciones/MatematicaAtacalar/2015/Olimpiadas.php

http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-CBA/publicaciones/MatematicaAtacalar/2015/Olimpiadas.php




reconociendo los límites de las argumentaciones empíricas. Será tarea del docente, entonces, gestionar este tránsito, logrando que el estudiante se apoye en elaboraciones ya realizadas en la escuela y las modifique –o abandone- para construir el sentido del conocimiento al que se apunta.

Es fundamental dar al estudiante la oportunidad de poner en juego las actividades propias de esta ciencia; poder

hacerse cargo de sus producciones; advertir que la matemática le brinda herramientas para validar lo realizado y

comunicarlo utilizando un lenguaje específico que le es propio. Para ello, se deberán generar condiciones para que

los estudiantes utilicen los conocimientos matemáticos como medio para constatar la verdad o falsedad de una

afirmación.

En la Educación Secundaria, el docente continuará el trabajo sobre la validación iniciado en Segundo Ciclo de la

Educación Primaria. Al respecto, en Argentina, Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, (2007)

se señala:

En Segundo Ciclo, es importante también que los alumnos comiencen a analizar el nivel de generalidad que tienen las respuestas a los problemas que resuelven. Así, comprobar que se pueden obtener dos triángulos iguales plegando un cuadrado de papel glasé no es suficiente para afirmar que las diagonales de cualquier cuadrado son congruentes. Asimismo, habrá que descubrir y explicitar que algunas afirmaciones son verdaderas en un campo numérico, o para un conjunto de figuras, y no lo son para otros. Por ejemplo, el producto de una multiplicación es mayor que cualquiera de sus factores, siempre que se opera con números naturales, pero esto no es cierto si, por ejemplo, los factores son números racionales menores que 1 (p. 24) El debate del conjunto de la clase dará por válida o no una respuesta, y llevará a la modificación de los procedimientos que conducen a errores. En un comienzo, las razones que los alumnos den al debatir se apoyarán en ejemplos, comprobaciones con materiales como plegar papeles o tomar medidas, entre otros casos, para luego avanzar hacia el uso de propiedades(p.26)

Las consideraciones planteadas acerca de la validación trasladan el debate hacia el trabajo matemático que se debe

sostener en el aula: buscar soluciones, elaborar conjeturas, generalizar, probar, comunicar resultados, formular

nuevos problemas. Enseñar a validar debe formar parte de la enseñanza de la matemática. Por ello, cobra especial

relevancia una gestión de la clase que posibilite que los estudiantes se apropien de diferentes formar de validar.

Lo expuesto implica que los estudiantes deben involucrarse en la elaboración de pruebas, uno de los aspectos del

proceso de validación.

Prueba: es una explicación aceptada por una comunidad en un momento dado (lo que exige determinar un sistema

de validación común entre los interlocutores).




Las pruebas1 producidas por los estudiantes –igualque las producidas en la historia de la Matemática- son de

naturaleza muy diversa. Desde el punto de vista de la actividad matemática, Balacheff (2000) identifica dos tipos de

pruebas: pruebas pragmáticas y pruebas intelectuales.

En las pruebas pragmáticas, la justificación de lo realizado se funda en propiedades usadas

implícitamente y que se comprueban mediante la acción, implica un saber hacer y se acude a un

lenguaje familiar.

En las pruebas intelectuales, la justificación de la actividad se basa en conocer la verdad alejándose

de la acción ya que se apoyan en formulaciones de las propiedades en juego y de sus relaciones. El

lenguaje pasa a ser funcional, despersonalizado, descontextualizado y destemporalizado.

Se muestran algunos ejemplos de tipos de pruebas frente al problema:

¿La suma de dos múltiplos de 7 es múltiplo de 7?2

Estudiante 1:

Estudiante 2:

1Es importante aclarar queBalacheff explicita que las pruebas son diferentes de las demostraciones. Una demostración es una serie de enunciados organizados según reglas determinadas. 2Las producciones de los estudiantes fueron extraídas de Ministère de l'ÉducationNationale (2009). Raisonnement et démonstration (pp. 7 y 8).

Es verdadero. Un múltiplo de 7 es 7+7+7+………Entonces 7+7+7+…+7+7+7….es múltiplo

de 7.

Es verdadero. Ejemplos:…..




Estudiante 3:

En los diferentes procedimientos producidos por los estudiantes, ellos acuden a diferentes tipos de pruebas para

validar sus afirmaciones.

El estudiante 1 utiliza una “prueba pragmática” ya que se basa en varios ejemplos para indicar que el

enunciado es verdadero. La prueba está asociada al cálculo de sumas y divisiones.

Los estudiantes 2 y 3 emplean “pruebas intelectuales” ya que recurren a argumentos que no se apoyan en

una acción material.

El estudiante 2 recurre a la suma para expresar el significado de múltiplo de un número y generaliza considerando

que todos los múltiplos de 7 se obtienen como sumas de 7.

El estudiante 3 acude al lenguaje algebraico para expresar los múltiplos de 7 y usa propiedades para elaborar su

conclusión.

Los estudiantes validan sus afirmaciones usando distintos tipos de pruebas: “pragmáticas” e “intelectuales”. Luego,

en la puesta en común, dichas afirmaciones serán sometidas a la consideración de los otros estudiantes, que

deberán desarrollar la capacidad de aceptarlas, rechazarlas u oponer otras aserciones.

La validación es un proceso que funciona en paralelo a la resolución, ya que al buscar la respuesta a un problema

planteado, se inicia un momento en el que se trata de saber si el resultado obtenido conviene al problema (una fase

de validación), y también en el momento de la resolución hay un control de la resolución que se va realizando (se va

anticipando una validación). Es por ello que, en la enseñanza, es necesario tomar conciencia de las prácticas que se

utilizan en este proceso y realizar un análisis de las pruebas utilizadas.

Es verdadero.

7 x X es múltiplo de 7

7 x Y es múltiplo de 7

(7 x X) + (7 x Y) es la suma de dos múltiplos de 7. Hice la distributiva y obtuve 7 x (X + Y).

7 x (X + Y) es múltiplo de 7 porque es 7 por un número.




Es fundamental que el docente plantee actividades para que los estudiantes pongan en práctica la validaciónen

matemática, haciendo evolucionar los modos naturales de validar hacia modos másacordes a la cultura matemática

(pasando de procedimientos pragmáticos aprocedimientos más avanzados- sin llegar a la formalización total-).

Balacheff (1987) destaca3:

La evolución de las pruebas pragmáticas hacia las pruebas intelectuales y la demostración, no está solamentemarcada por una evolución de las características lingüísticas, sino también por la del estatuto y de la naturaleza del conocimiento. ….. El pasaje de las pruebas pragmáticas a las pruebas intelectuales, en especial a la demostración, se apoya así sobre tres polos que interactúan fuertemente: - el polo de los conocimientos: naturaleza de los conocimientos de los alumnos (según Vergnaud, 1984). - el polo lingüístico o de la formulación. - el polo de la validación, o de los tipos de racionalidad que subyacen a las pruebas producidas.

“Gestionar un avance en la producción de pruebas intelectuales por parte de los alumnos no significa un abandono

total de prácticas empíricas en la clase de matemática” (Chemello y Crippa, 2011, p.66).

ACTIVIDAD2

Les proponemos:

1. Analizar los procedimientos desarrollados por tres estudiantes en la resolución de un mismo problema. Para ello

poner el foco en:saberes puestos en juego por los estudiantes,tipo y grado de avance de la prueba.

En búsqueda de la medida de los ángulos

Se construye el triángulo ABC. Se traza la altura correspondiente al lado AC, que corta a ese lado en el punto D. Así

se obtienen los triángulos ADB y CDB.

El triángulo CDB es isósceles. En el triángulo ADB, el ángulo A mide el doble que el ángulo B.

¿Cuánto miden los ángulos del triángulo ABC?

3Citado en Pensar en la enseñanza de las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos en la capacitación . Clase Nº 15 del Módulo 4: Ciclo de Formación de Capacitadores de Áreas Curriculares.




Estudiante 1




Estudiante 2




Estudiante 3




2. Realizar la lectura del siguiente material textual:

Gobierno de Córdoba. Ministerio de Educación. Secretaría de Estado de Educación. Subsecretaría de Estado de

Promoción de Igualdad y Calidad Educativa (2014). Pensamiento crítico y creativo en el marco de la resolución

de situaciones problemáticas. En Matemática. Educación Inicial, Primaria y Secundaria. Serie MEJORA EN LOS

APRENDIZAJES DE LENGUA, MATEMÁTICA Y CIENCIAS. Fascículo 4. (pp. 26-28)Córdoba, Argentina: Autor.

Podrán acceder a través del siguiente link:

http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-CBA/Prioridades/fas%204%20final.pdf

3. Realizar un listado de estrategias de intervención docente que podría trasladar a su práctica para dar lugar a que

los estudiantes confronten los resultados, los procedimientos y los argumentos empleados.

4.

Para quienes presentan las actividades en forma individual:

Seleccionar uno de los problemas que se presentan a continuación y proponer cinco intervenciones docentes que

permitan instalar procesos de validación en los estudiantes.

Para quienes presentan las actividades en forma grupal:

Seleccionar dos de los problemas que se presentan a continuación y proponer seisintervenciones docentes que

permitan instalar procesos de validación en los estudiantes.

PRIMER AÑO

Compra de televisor en oferta

Lucas y Natalia ingresan a un negocio de productos eléctricos para averiguar el precio de un televisor LED de 32

pulgadas. Encuentran uno en oferta, pero sólo queda una unidad disponible. Reservan ese televisor, con una seña

de $500. Informan al vendedor que pagarán el 60% del valor del televisor con tarjeta de crédito y lo que falta con

efectivo, el día que retiren el televisor. Si pagan $3300 pesos con tarjeta de crédito, ¿cuánto dinero entregan el día

que retiran el televisor?

http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-CBA/Prioridades/fas%204%20final.pdf




TERCER AÑO

Costo de viajes en remis

La distribuidora de envases descartables Todo plástico realiza la entrega a domicilio de los pedidos superiores a

$500. Hoy tuvo que llamar a una empresa de remis para poder brindar ese servicio. La empresa de remises

cobra una suma fija (bajada de bandera) y un valor por cada 100 metros recorridos.

Por dos viajes, la empresa de remises presentó este detalle:

Distancia recorrida Precio a pagar

Primer viaje 3 km $35,70

Segundo viaje 6,5 km $60,20

¿Cuánto deberá pagar la distribuidora Todo plástico por un viaje de 8 km, si contrata a la misma empresa de

remises?

CUARTO AÑO

Un triángulo a partir de otro

Se construye el triángulo equilátero ABC de 6 cm de lado. Luego se trazan tres rectas, de esta manera:

por el vértice A, la perpendicular al lado AB;

por el vértice B, la perpendicular al lado BC;

por el vértice C, la perpendicular al lado CA.

Esas tres rectas determinan un nuevo triángulo. ¿Qué clase de triángulo es? ¿Cuánto miden los lados de este

nuevo triángulo?

SEGUNDO AÑO

Nueva sección de la revista escolar

Seis estudiantes de segundo año se han sumado al grupo encargado de la revista escolar. Tres de ellos se ocuparán

de la nueva sección Recomendados para ver y escuchar: uno se dedicará a la música; otro, a las películas y el

tercero, a las series de televisión.

¿De cuántas maneras distintas pueden elegirse los estudiantes que se dedicarán a la nueva sección de la revista

escolar?




A modo de cierre…

Determinar si lo realizado es válido es un aspecto central para el desarrollo de la autonomía del estudiante en el

trabajo matemático, ya que si se acostumbra a analizar la razonabilidad de los resultados a los que ha llegado, podrá

estar en mejores condiciones para enfrentar nuevos aprendizajes.

Decidir respecto de la resolución y la validación por parte de los estudiantes es central, a la hora de pensar en la

construcción de conocimientos que se intenta movilizar. Si la validación es externa –a cargo del docente - el trabajo

del estudiante finaliza con la resolución o la respuesta. Por el contrario, a lo largo de los ejemplos que hemos

considerado, vimos cómo mantener la incertidumbre acerca de la validez de las respuestas promoviendo que sean

los estudiantes los que se inserten en la búsqueda de las justificaciones.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Argentina, Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología de la Nación. Consejo Federal de Cultura y Educación (2007). Las situaciones de enseñanza. En Serie Cuadernos para el aula Matemática 5. Buenos Aires: Autor.

Argentina, Ministerio de Educación de la Nación (2011). Pensar en la enseñanza de las propiedades de las

figuras y los cuerpos geométricos en la capacitación. Clase Nº 15 del Módulo 4: Ciclo de Formación de

Capacitadores de Áreas Curriculares. Buenos Aires: Autor.

Balacheff, N. (2000). Pruebas Pragmáticas y Pruebas Intelectuales. En Procesos de prueba en los alumnos de

Matemáticas. Colombia: Una empresa docente.

Carnelli G., Falsetti M., Formica A. y Rodríguez M. (2008). Un estudio del aprendizaje de validación matemática

a nivel pre-universitario en relación con distintas interacciones en el aula. En Suma (58) pp. 25-40.

Chemello, G y Crippa, A. (2011). Enseñar a demostrar: ¿una tarea posible? EnEnseñar Matemáticas en la

Escuela Media. Buenos Aires: Biblos.

Gobierno de Córdoba. Ministerio de Educación. Secretaría de Educación. Subsecretaría de Promoción de

Igualdad y Calidad Educativa (2011). Diseño Curricular Ciclo Básico de la Educación Secundaria. 2011-2015.

Córdoba, Argentina: Autor.

Gobierno de Córdoba. Ministerio de Educación. Secretaría de Estado de Educación. Subsecretaría de Estado

de Promoción de Igualdad y Calidad Educativa (2014). Fascículo 4:Una propuesta desde el desarrollo de

capacidades fundamentales. Matemática. Educación Inicial, Primaria y Secundaria. En Serie MEJORA EN LOS

APRENDIZAJES DE LENGUA, MATEMÁTICA Y CIENCIAS. Córdoba, Argentina: Autor.

Ministère de l'ÉducationNationale (2009). Raisonnementet demonstration. Paris: Éduscol.




Gobierno de Córdoba

Ministerio de Educación

Secretaría de Educación


Área de Políticas Pedagógicas y Curriculares

Desarrollo Curricular

Autores

Sandra Molinolo y Laura Vélez.

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