resoluciones de los alumnos
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128 x 1 + 74 = 202, entonces 202 es un número que en la división por 128 tiene resto 74.
Si sumamos 202 + 54 = 256, tenemos el siguiente múltiplo de 128.
Si sumamos 256 + 32 = 288 tenemos uno de los números que estamos buscando, para obtenerlo sumamos al dividendo, 54 + 32 = 86
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128 -74= 54; si sumamos 54 obtenemos un múltiplo de 128, es decir el resto de la división será 0 y el cociente aumenta en 1 porque agregamos otro “ grupo” de 128.
Si sumamos 54+32= 86 obtenemos un número que en la división por 128 tiene resto 32 porque excede en 32 a un múltiplo de 128.
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Para que quede resto 32 resto
74 – 42 = 32
si sumamos -42 + 128 = 86 obtenemos un número que sumado al dividendo dado tiene en la división por 128 resto 32.
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Dividendo = divisor x cociente + resto D = 128 x c + 74 D + 86 = 128 x c + 74+54+32 D + 86 = 128 x c + 128 + 32 D + 86 = 128 x ( c+1) + 32;
entonces D + 86 es un número que supera en 32 a un múltiplo de 128.
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¿Cada cuantos números hay un múltiplo de 128?
¿Cada cuántos números, hay un número que en la división por 128 tiene resto 32?
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Si sumamos 86 al dividendo obtenemos un números que en la división por 128 tiene un cociente (c + 1) y un resto 32.
Si sumamos nuevamente 128 , tendremos un número que en la división por 128 tiene cociente (c+2) y resto 32, y así siguiendo.
Podemos sumar entonces números de la forma 86 + 128 n al dividendo para obtener números que en la división por 128 tengan resto 32.
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a) Sabiendo que 7051= 28 x 251 + 23, explicar cómo se pueden encontrar el cociente y el resto de
7051 : 28 y de 7051 : 251, sin hacer las cuentas de dividir.
b) Sabiendo que 308502 = 1228 x 251 + 274, explicar cómo se pueden encontrar el cociente y el resto de 308502 : 1228 y de 308502 : 251, sin hacer las cuentas de dividir.
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308502 = 1228 x 251 + 251 + 23 = (1228 +1) x 251 + 23 = 1229 x 251 +23
Entonces, en 308502 :1228 , cociente 251 y resto 274 y en 308502 : 251, cociente 1229 y resto 23
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Dar si es posible los valores de b para los cuales el número que resulte al hacer 6b+6 sea múltiplo de 2, de 3, de 4 y de 6.
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Siempre es múltiplo de 6, se puede escribir como 6 por un número natural (b+1). Por ser múltiplo de 6 es múltiplo de 2 y de 3.
Se puede pensar a como 2(3(b+1)); 2 por “algo”
o como 3(2(b+1)), 3 por “algo”
Analizamos para qué valores de b; es múltiplo de 4.
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Valores que damos a b
Valores que toma 6b+6
0 6x0+6=6
1 6x1+6= 12
2 6x2+6= 18
3 6x3+6= 24
4 6x4+6= 30
5 6x5+6= 36
6 6x6+6= 42
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Parece que si b es impar el número de la forma resulta múltiplo de 4
Si b impar, se puede escribir como 2a+1
Resulta entonces 6(2a+1)+6 = 12a+ 6+ 6=
12 a + 12= 4(3a+3) que es múltiplo de 4
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Si b par e igual a 2a
Resulta 6(2a)+6 = 12a + 6
no es múltiplo de 4
Entonces resulta que sólo los b impares permiten generar números de la forma 6b + 6 que sean múltiplos de 4.
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En cada grupo de 6 hay un grupo de 4 y sobran 2 y cada dos grupos de 6 se pueden formar 3 grupos de 4.
Parece que el número de grupos de 6 debe ser par para que puedan reagruparse de a 4 sin que sobre ninguno.