RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Mg. James Wilfredo Huamán Gora

PARA

REFLEXIONAR

Analizamos los planteamientos de George Polya (1945)

“Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de

todo problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea

puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a

poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios,

se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo.

Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una

afición para el trabajo intelectual e imprimirle una huella imperecedera en la

mente y en el carácter”

“Sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes

problemas, hay, en la solución de todo problema, un poco de

descubrimiento»; pero que, si se resuelve un problema y llega a excitar

nuestra curiosidad, este género de experiencia, a una determinada edad,

puede determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar, tanto en el espíritu

como en el carácter, una huella que durará toda una vida”.

George Polya ("Cómo plantear y resolver problemas")

ASPECTOS

TEÓRICOS

DEL PROBLEMA

1. PROBLEMA

1.1. Definición

Un problema, según Isabel Echenique (2005), es una situación que una

persona o un grupo de personas quiere o necesita resolver y para la cual no

dispone, en principio, de un camino rápido y directo que le lleve a la solución;

consecuentemente eso produce un “bloqueo”.

Un problema conlleva

siempre un grado de dificultad

apreciable, es un reto que debe

ser adecuado al nivel de

formación de la persona o

personas que se enfrentan a él.

Si la dificultad es muy elevada en

comparación con su formación

matemática, desistirán

rápidamente al tomar consciencia

de la frustración que la actividad

les produce. Por el contrario, si es

demasiado fácil y su resolución

no presenta especial dificultad ya

que desde el principio ven

claramente cuál debe ser el

proceso a seguir para llegar al

resultado final, esta actividad no será un problema para ellos sino un simple

ejercicio.

Además, los problemas no se resuelven con la aplicación de una regla o

receta conocida a priori. Exigen al resolutor sumergirse en su interior para

navegar entre los conocimientos matemáticos que posee y rescatar de entre

ellos los que pueden serle útiles para aplicar en el proceso de resolución.

Puede servirse de experiencias anteriores que hagan referencia a situaciones

parecidas, para rememorar cuál fue el camino o vía seguida, en caso de poder

volver a utilizarlos en esta nueva situación.

Los problemas pueden tener una o varias soluciones y en muchos casos

existen diferentes maneras de llegar a ellas. Es frecuente manifestar cierto

nivel de satisfacción al descubrir el camino que le conduce al resultado final

como fruto de la investigación llevada a cabo. El tiempo que se dedica a la

resolución de un problema es bastante mayor que el que lleva la realización de

un ejercicio.

Un problema debe representar un reto adecuado a las capacidades de

quien intenta resolverlo. Debe tener interés en sí mismo, estimular el deseo de

proponerlo a otras personas; no debe ser un problema con trampa o un

acertijo, ni dejar bloqueado inicialmente a quien lo ha de resolver.

1.2. Componentes

Los problemas tienen cuatro elementos estructurales: 1) las metas, 2) los

datos, 3) las restricciones y 4) los métodos (Mayer, 1983).

Las metas son los resultados que se desean alcanzar. Los datos son los

elementos para analizar la situación problemática. Las restricciones son

factores que “limitan” el camino para alcanzar la solución. Las operaciones son

procedimientos para a ejecutar para resolver el problema.

1.3. Diferencia entre un problema y un ejercicio

Los ejercicios son situaciones que no implican una actividad intensa de

pensamiento para su resolución. Su realización no exige grandes esfuerzos.

Generalmente tienen una sola solución. Son actividades de entrenamiento, de

aplicación mecánica de contenidos o algoritmos aprendidos o memorizados.

Hacer ejercicios en serie puede provocar aburrimiento, ya que

generalmente son repetitivos y pueden resultar poco interesantes. Son un tipo

de actividades muy abundantes en los libros de texto. Como docentes no

debemos abusar de su realización, sino seleccionar cuidadosamente aquellos

que nos resultan más útiles para evaluar el grado de comprensión de los

conceptos y la adquisición de algoritmos matemáticos.

Distinguir entre el ejercicio y el problema nos ayudará a comprender, que

el reto actual es desarrollar los procesos del pensamiento más que la mera

transferencia de contenidos matemáticos. “La matemática es, sobre todo, saber

hacer” (Miguel De Guzmán). Veamos el siguiente cuadro:

EJERCICIOS PROBLEMAS

Se ve claramente qué hay que hacer. Suponen un reto.

La finalidad es la aplicación mecánica de algoritmos.

La finalidad es ahondar en los conocimientos y experiencias que se poseen, para rescatar aquellos que son útiles para llegar a la solución esperada.

Se resuelven en un tiempo relativamente corto.

Requieren más tiempo para su resolución.

No se establecen lazos especiales entre el ejercicio y la persona que lo resuelve.

La persona que se implica en la resolución lo hace emocionalmente. El bloqueo inicial, debido a que la situación le desconcierta, dará paso a la voluntariedad y perseverancia por encontrar la solución y, por último, al grado de satisfacción una vez que ésta se ha conseguido.

Generalmente tienen una sola solución. Pueden tener una o más soluciones y las vías para llegar a ellas pueden ser variadas.

Son muy numerosos en los libros de texto.

Suelen ser “escasos” en los libros de texto.

1.4. Tipos de problemas

1.4.1. Problemas aritméticos

Son aquellos que, en su enunciado,

presentan datos en forma de cantidades y

establecen entre ellos relaciones de tipo

cuantitativo, cuyas preguntas hacen

referencia a la determinación de una o

varias cantidades o a sus relaciones, y que

necesitan la realización de operaciones

aritméticas para su resolución.

Se clasifican en problemas aritméticos

de primer, segundo o tercer nivel teniendo

en cuenta el número de operaciones que es

necesario utilizar para su resolución, así

como la naturaleza de los datos que en

ellos aparecen.

A. Problemas aritméticos de primer nivel

Podrían llamarse también de un solo paso, ya que es necesaria la

aplicación de una sola operación para su resolución. Se dividen en problemas o

situaciones aditivo-sustractivas y multiplicación-división.

a) Problemas aditivo – sustractivos

Son aquellos que se resuelven por medio de la adición o la sustracción.

Según la situación planteada en el enunciado pueden ser:

o Problemas de cambio

Se identifican porque en el texto del enunciado incluyen una secuencia

temporal, muchas veces manifestada a través de los tiempos verbales

utilizados. Parten de una cantidad inicial (Ci), la cual se ve modificada en el

tiempo, para dar lugar a otra cantidad final (Cf). Vergnaud llama a estas

situaciones, problemas ETE: estado - transformación - estado.

De las tres cantidades que deben aparecer en el problema: Ci,

modificación y Cf, dos de ellas serán datos y la otra será la incógnita, de donde

se pueden deducir en principio tres casuísticas para esta tipología de

problemas. Teniendo en cuenta además que la modificación que actúa sobre la

cantidad inicial puede producir un aumento o una disminución se duplicará

finalmente el número de casos. El siguiente cuadro puede servir para expresar

de forma más clara todas las posibilidades que podrían darse en los problemas

de cambio.

Ejemplo caso 3: El día lunes pesé las arrobas de papa que tenía en el

almacén familiar y eran 20 arrobas (Ci). Hoy es domingo, último día de la

semana y tengo 38 arrobas. (Cf). ¿Cuántas arrobas de papa he incrementado

en mi almacén familiar?

Problemas Ci Modificación Cf Análisis de resultados

Operación Ci crece Ci decrece

Cambio 1 x x ? x +

Cambio 2 x x ? x -

Cambio 3 x ? x x -

Cambio 4 x ? x x -

Cambio 5 ? x x x -

Cambio 6 ? x x x +

El signo (x) representa a los datos dados en el enunciado y el signo (?)

representa a la incógnita que se debe calcular.

o Problemas de combinación

En su enunciado se describe una relación entre conjuntos (P1) y (P2) que

unidos forman el todo (T). La pregunta del problema hace referencia a la

determinación de una de las partes (P1) o (P2) o del todo (T). Por tanto el

cuadro que resume las posibilidades ofrecidas por este tipo de problemas es el

siguiente:

Ejemplo caso 2: A una sesión de cine asistieron 153 personas (P1). Si la sala

tiene 185 butacas (T), ¿cuántos asientos se encontraban vacíos?

Problemas P1 P2 T Operación

Combinar 1 x x ? +

Combinar 2 x ? x -

Combinar 3 ? x x -

o Problemas de comparación

Son problemas en los que, a través de un comparativo de superioridad

(más que…) o de inferioridad (menos que…), se establece una relación de

comparación entre dos cantidades. La información aportada por el enunciado

está en relación con la cantidad de referencia (Cr), la cantidad comparada (Cc)

o bien la diferencia (D) entre ambas cantidades. Del mismo modo que en los

problemas de cambio, de las tres cantidades que deben aparecer en el

problema: (Cr), (D) y (Cc), dos de ellas serán datos y la otra será la incógnita,

de donde pueden deducirse en principio tres casos posibles dentro de este tipo

de problemas.

Además como el sentido de la comparación puede efectuarse en

términos de más que… o menos que… se duplica la casuística anterior. El

siguiente cuadro puede servir para expresar de forma más clara todas las

posibilidades que podrían darse en los problemas de comparación.

Ejemplo caso 5: María y Javier están haciendo una colección de figuritas de

animales. María tiene 187 figuritas (Cc), tiene 46 más que Javier (D). ¿Cuántas

figuritas tiene Javier?

Problema Cr D Cc Más que Menos que Operación

Comparar 1 x x ? x +

Comparar 2 x x ? x -

Comparar 3 x ? x x -

Comparar 4 x ? x x -

Comparar 5 ? x x x -

Comparar 6 ? x x x +

o Problemas de igualación

En su enunciado incluyen un comparativo de igualdad (tantos como… ,

igual que… ). Son situaciones en las que se da al mismo tiempo un problema

de cambio y otro de comparación. Dicho de otro modo, una de las cantidades

(cantidad de referencia Cr) debe modificarse o se modifica creciendo o

disminuyendo (D) para llegar a ser igual a la otra cantidad (cantidad

comparada Cc).

En el texto del problema se da información referida a las cantidades (Cr),

(D), y (Cc), dos de las cuales aparecerán como datos y la tercera como

incógnita a calcular. De nuevo pueden considerarse a partir de esta

información tres casos de problemas, pero teniendo en cuenta que el sentido

de cambio puede ser aumentando o disminuyendo dependiendo de la relación

entre las cantidades Cr y Cc eso duplica el número de posibilidades.

Ejemplo caso 3: Daniel tiene 56 libros de cuentos (Cc). Alberto tiene 25 (Cr).

¿Cuántos libros más debe tener Alberto para tener los mismos que Daniel?

b) Problemas de multiplicación – división

Se resuelven a través de una multiplicación o una división. Según la

situación planteada en el enunciado pueden ser:

o Problemas de repartos equitativos o de grupos iguales

Son aquellas situaciones en las que una cantidad debe repartirse entre

un cierto número de grupos, de modo que cada grupo reciba el mismo número

de elementos. En el enunciado se hará referencia a tres informaciones: la

cantidad a repartir, el número de grupos a formar o el número de elementos

por cada grupo. Dos de estas constituirán los datos y una tercera será la

incógnita a calcular.

Ejemplo caso 3: En clase hay 18 alumnos. Después de repartir una bolsa

grande de caramelos entre todos los alumnos, a cada uno le ha correspondido

8 caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía la bolsa?

Problemas Cr D Cc Cr crece Cr decrece Operación

Igualar 1 x x ? x +

Igualar 2 x x ? x -

Igualar 3 x ? x x -

Igualar 4 x ? x x -

Igualar 5 ? x x x -

Igualar 6 ? x x x +

Problemas Cantidad a repartir

Nº de Grupos Elementos por grupo

Operación

REP 1 x x ? :

REP 2 x ? x :

REP 3 ? x x x

o Problemas de factor N o de comparación multiplicativa

Son muy similares a las situaciones aditivas de comparación. En ellos

intervienen dos cantidades del mismo tipo las cuales se comparan (cantidad

referente Cr y cantidad comparada Cc) para establecer entre ellas una razón o

factor (F). Se caracterizan también porque en el enunciado se incluyen

cuantificadores del tipo "… veces más que …" "… veces menos que …"

De las tres informaciones a las que se alude en el enunciado (Cr), (Cc) y

(F), dos de ellas aparecerán como datos y una tercera será la incógnita. De

aquí surgirían tres posibles tipos de problemas. Ahora bien, al considerar que

la comparación establecida entre las cantidades puede ser en términos de

"veces más que" o "veces menos que", eso duplica el número de posibilidades.

Ejemplo caso 2: Unos zapatos cuestan 72 soles (Cr). Un balón de baloncesto

cuesta 8 veces menos (F). ¿Cuánto cuesta el balón?

Problemas Cr F Cc "n veces

más" "n veces menos"

Operación

Factor 1 x x ? x x

Factor 2 x x ? x :

Factor 3 x ? x x :

Factor 4 x ? x x :

Factor 5 ? x x x :

Factor 6 ? x x x x

o Problemas de razón o de tasa

Este tipo de problemas incluye en el enunciado informaciones que hacen

referencia a medidas de tres magnitudes diferentes. Una de ellas, la llamada

magnitud intensiva o tasa, (Ci), resulta de relacionar las otras dos (una de las

magnitudes dadas en el problema res- pecto a la unidad de la otra magnitud ej.

km/h, soles/kilo,…) que a su vez se llaman extensivas (Ce1 y Ce).

Ejemplo caso 2: Por un jamón entero hemos pagado S/. 152 (Ce). Si el precio

de esa clase de jamón es de S/. 19 kilo (Ci), ¿cuántos kilos pesa el jamón que

hemos comprado?

Problema Ce1 Ci = Ce/Ce1 Ce Operación

Razón 1 x x ? x

Razón 2 ? x x :

Razón 3 x ? x :

Ci = Ce/Ce1 = Cantidad inicial = cantidad extensiva entre cantidad extensiva

inicial

o Problemas de producto cartesiano

Se trata de combinar de todas las formas posibles (T), los objetos de un

tipo (C1) con los objetos de otro tipo (C2).

C1 C2 T Operación

Cartesiano 1 x x ? x

Cartesiano 2 ? x x :

Cartesiano 3 x ? x :

Ejemplo caso 2 o 3: Combinando mis pantalones y camisas me puedo vestir

de 24 formas diferentes (T). Tengo 4 pantalones (C1 ó C2). ¿Cuántas camisas

tengo?

B. Problemas aritméticos de segundo nivel

También llamados problemas combinados. Para su resolución es

necesario realizar varias operaciones (dos o más) en un cierto orden. Son más

complejos que los de primer nivel puesto que supone establecer unas

relaciones más complejas entre los datos aportados por el enunciado. Dentro

de esta tipología podría hablarse de diferentes clasificaciones según el criterio

seguido. Así, por ejemplo, atendiendo a la estructura del enunciado pueden

ser:

a) Problemas combinados fraccionados

Son aquellos en los que en el enunciado aparecen varias preguntas

encadenadas, las cuales ofrecen al resolutor el plan para responder a la última

pregunta, que es propiamente la finalidad del problema.

Ejemplo: Una señora lleva en una ch’uspa S/ 300. Entra a feria artesanal y

compra 3 pantalones de bayeta que le cuestan S/ 50 cada uno y 2 camisetas a

S/ 15 la unidad.

¿Cuánto dinero valen los tres pantalones?

¿Cuánto paga por las camisetas?

¿Cuánto dinero gasta la señora en la feria?

¿Cuánto dinero le quedará en la ch’uspa al salir?

b) Problemas combinados compactos

Resultan bastante más complejos que los fraccionados ya que en ellos

aparece sola mente una pregunta al final del enunciado. En este caso el

resolutor debe relacionar los datos aportados, de un modo estratégico y

concebir el plan que le llevará hasta la solución del

problema.

Ejemplo: La combi de mi padre consume 6 litros

de gasolina cada 100 kilómetros. Cuando salió de

casa antes de iniciar un viaje, el tanque estaba

lleno y caben 57 litros. Después de andar 750 km,

¿qué distancia podría recorrer todavía sin volver a

echar gasolina?

c) Problemas combinados puros

Son aquellos en los que los pasos

intermedios a realizar para resolver el problema

pertenecen todos al mismo campo operativo-conceptual. Es decir se aplican

bien sumas y/o restas, o bien multiplicaciones y/o divisiones.

Problema: Para celebrar la conclusión de nuestros estudios de educación

primaria hemos realizado un viaje de promoción. En el Bus fuimos 25

estudiantes. Si hemos pagado en total de s/ 225 nuevos soles, ¿cuánto nos ha

costado a cada estudiante el viaje de promoción?

d) Problemas combinados mixtos

En su resolución intervienen distintas operaciones pertenecientes a

campos conceptuales diferentes.

Problema: En un almacén había 127 sacos de cebada. Cada saco pesaba 60

kilos. Si sacaron 8 viajes de carro de 12 sacos cada uno. ¿Cuántos kilos de

cebada quedaron en el almacén?

e) Problemas combinados directos

Son aquellos en los que los datos expresados en el enunciado están

dados en el mismo orden en el que deben ser utilizados al resolver el

problema.

Ejemplo: En un concurso escolar ganamos S/ 1200,00. Para celebrarlo

compramos libros de lectura para la clase por valor de S/ 192,00. Después

hicimos una excursión en la que gastamos S/ 900,00. El resto del dinero lo

utilizamos en hacer una merienda. ¿Cuánto dinero costó la merienda?

f) Problemas combinados indirectos

Se caracterizan porque la persona que resuelve el problema debe

reordenar los datos en función de la pregunta formulada en el enunciado, y

combinarlos de forma que le permitan elaborar el plan que le llevará a la

solución.

Ejemplo: Un cilindro contenía 112 litros de agua. Con ella se llenaron 3

bidones iguales y 2 garrafas de 15 litros cada una. En el cilindro quedaron

todavía 7 litros de agua. ¿Cuál era la capacidad de cada bidón?

C. Problemas aritméticos de tercer nivel

Son aquellos en los que los datos del enunciado vienen dados en forma

de números decimales, fraccionarios o porcentuales. La situación planteada es

similar a las de primer o segundo nivel, la dificultad añadida está precisamente

en el tipo de números en los que se expresan los datos.

Ejemplo 1: Un comerciante vendió las 350 botellas de aceite que había

comprado. Pagó por cada botella S/ 1,10. En la venta ganó S/ 140,00. ¿A cómo

vendió cada botella?

Ejemplo 2: En un hotel que tiene 60 habitaciones, sólo 3 están vacías. ¿Qué

porcentaje de habitaciones tiene ocupadas el hotel?

Ejemplo 3: Una pieza de ¾ de kilo de carne de ternera cuesta S/ 4,00.

¿Cuánto pagaremos por 2 kilos de esa misma carne?

1.4.2. Problemas geométricos

Con ellos se trabajan diversos contenidos y conceptos de ámbito

geométrico, diferentes formas y elementos, figuras bidimensionales y

tridimensionales, orientación y visión espacial, los giros, etc. El componente

aritmético pasa a un segundo plano y cobra importancia todo lo relacionado

con aspectos geométricos. Estos problemas se inician en educación primaria;

pero, luego su tratamiento continúa en secundaria. Es importante que los niños

y niñas alumnos adquieran una buena base para que vayan ampliando sus

conocimientos en cursos posteriores.

Ejemplo: Juntando las piezas 1 y 2 se han hecho varias construcciones.

Encuentra las dos piezas en cada construcción y luego píntalas.

1.4.3. Problemas de razonamiento lógico

Son problemas que permiten desarrollar destrezas para afrontar

situaciones con un componente lógico.

A. Problemas numéricos

Los criptogramas, líneas u otras figuras sobre las que hay que colocar

números cumpliendo unas determinadas condiciones, aquellos en los que se

dan unas pistas para que a partir de ellas se determine el número o números

que las cumplen.

Ejemplo: Acaba este cuadrado numérico para que sea mágico, es decir, tienes

que conseguir que cada fila, cada columna y las dos diagonales sumen lo

mismo

B. Problemas de balanzas de dos brazos

Problemas gráficos en los que una vez representadas algunas "pesadas"

realizadas, se trata de averiguar otras equivalencias en función de los objetos

utilizados.

Ejemplo: Observa la balanza y deduce el peso de la jarra

C. Problemas de enigmas

Aunque no tienen por qué ser propiamente matemáticos, mantienen la

mente despierta, estimulan la imaginación y desarrollan la facultad de la

inteligencia. Constituyen un ejercicio mental y desarrollan estrategias que

resultan útiles en muchas ocasiones. Son actividades en las que es

fundamental la expresión verbal del proceso seguido para su resolución, ya

que no sólo es importante dar la respuesta sino también hacer partícipes al

resto de compañeros de cómo se ha llegado hasta ella.

Ejemplo: Un grupo de tres personas adultas se desplaza por la selva. Al cabo

de cierto tiempo encuentran un río que deben cruzar, pero no pueden

atravesarlo nadando. Al otro lado ven a dos niños con una pequeña canoa que

se ofrecen a ayudar- les. La canoa es tan pequeña que en cada viaje

solamente caben los dos niños o una persona adulta. ¿Serías capaz de

ayudarles a resolver este problema?

D. Problemas de análisis de proposiciones

Son actividades que desarrollan la capacidad para articular

7 A B

C D E

14 8 10

argumentaciones y dar explicaciones. Exigen utilizar el lenguaje con precisión.

Ejemplo: Escribe VERDADERO o FALSO, detrás de las siguientes

condicionales:

Si sumo dos números impares, entonces el resultado es par.

Si hace sol, entonces no hay nubes.

Si no es puneño, entonces no es aimara.

Si el resultado de un producto es par, entonces los dos números son pares.

Si soy propietario de una combi, entonces tengo el carné de conducir.

Si apruebo el examen, entonces he sacado un cinco.

Tener 6 años es condición necesaria y suficiente para estudiar 1º grado de educación primaria.

Saber hablar quechua es condición necesaria y suficiente para dar clase de quechua.

1.4.4. Problemas de recuento sistemático

Son problemas que tienen varias soluciones y es preciso encontrarlas

todas. Pueden ser de ámbito numérico o geométrico. Conviene ser sistemático

en la búsqueda de posibles soluciones para llegar al final con la certeza de

haberlas hallado todas.

Ejemplo: ¿Cuántos rectángulos, cuadrados y triángulos puedes ver en los

dibujos?

1.4.5. Problemas de razonamiento inductivo

Consisten en enunciar propiedades numéricas o geométricas a partir del

descubrimiento de regularidades. Intervienen dos variables y es necesario

expresar la dependencia entre ellas.

Ejemplo 1: En las siguientes series, calcula el valor del término que ocupa el

lugar 50: 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; …………..... 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; ………….....

Ejemplo 2: Para ver una obra de teatro por cada 2 entradas que se compren,

regalan otra. Rellena la tabla teniendo en cuenta la oferta:

Pagó 2 3 5 6 … 10 …

Llevó 3 4 … … 21

1.4.6. Problemas de azar y probabilidades

Son situaciones planteadas en muchos casos a través de juegos o de

situaciones en las que siguiendo una metodología de tipo manipulativa y

participativa por parte de los niños y niñas, éstos pueden descubrir la viabilidad

o no de algunas opciones presentadas, así como la mayor o menor posibilidad

de ganar en el juego. A partir de este tipo de experiencias se pueden hacer

predicciones con cierta "base científica" o pensar en posibles apuestas a

realizar ante determinadas situaciones.

Ejemplo: En una bolsa de tela hay bolas de diferentes colores. En total son 10

bolas. Se han hecho 1500 extracciones anotando cada vez el color de la bola y

devolviéndola después a la bolsa. El resultado es el siguiente:

Color de bola Número de veces que ha salido

Rojo 510

Verde 275

Blanco 185

Amarillo 530

¿De qué colores crees que son las bolas de la bolsa?

¿Cuántas bolas te parece que habrá de cada color?

¿Pudiera ocurrir que alguna de las bolas de la bolsa fuera azul?

Si haces el experimento 10 veces, ¿cuántas veces crees que saldrá la bola

verde? Haz la experiencia.

TEORÍA

DE LA

RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS

2. Resolución de problemas

2.1. Definición

Según Dijkstra (1991), la resolución de problemas es un proceso

cognoscitivo complejo que involucra conocimiento almacenado en la memoria

a corto y a largo plazo.

La resolución de

problemas consiste en

un conjunto de

actividades mentales y

conductuales, a la vez

que implica también

factores de naturaleza

cognoscitiva, afectiva y

motivacional. Por

ejemplo, si en un

problema dado

debemos transformar

mentalmente metros en centímetros, esta actividad sería de tipo cognoscitiva.

Si se nos pregunta cuán seguros estamos que nuestra solución al problema

sea correcta, tal actividad sería de tipo afectiva, mientras que resolver el

problema, con papel y lápiz, siguiendo un algoritmo hasta alcanzar su solución,

podría servir para ilustrar una actividad de tipo psicomotriz.

2.2. Enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas

Una modalidad de aprendizaje de las matemáticas es la que se lleva a

cabo a través de la resolución de problemas de forma activa, como fruto de

variadas reflexiones sobre los contenidos conceptuales y procedimentales que

se poseen, para retomar en cada momento aquello que puede ser útil.

Puesto que los problemas matemáticos son las actividades más

complejas que se le proponen en las aulas, es necesario ser consecuentes en

su tratamiento. Enseñar a resolver problemas figura entre las intenciones

educativas del currículo escolar. No basta con que pongamos problemas

matemáticos para que los niños y niñas los resuelvan. Es necesario que les

demos un tratamiento adecuado, analizando

estrategias y técnicas de resolución,

"verbalizando" el pensamiento y contrastándolo

con el de otras personas. Debemos enseñarles

procesos de resolución a través de buenos

modelos, con ejemplos adecuados, dedicar un

espacio en el horario escolar y conseguir un clima

propicio en el aula que favorezca la adquisición

de las correspondientes destrezas y hábitos. Es

cierto que cada problema tiene unas

peculiaridades concretas, sin embargo hay un

proceso común a la mayor parte de ellos que es el método de resolución y en

la enseñanza del mismo es precisamente donde debemos insistir.

La escuela es el lugar donde los niños y niñas deben aprender a resolver

problemas y, si no dedicamos a ello el tiempo que la actividad requiere,

difícilmente se logrará en años posteriores. Como Polya dijo: "la resolución de

problemas es un arte práctico, como nadar o tocar el piano. De la misma forma

que es necesario introducirse en el agua para aprender a nadar, para aprender

a resolver problemas, los alumnos han de invertir mucho tiempo enfrentándose

a ellos". Poco a poco irán interiorizando estrategias y sugerencias de

aplicación, en la medida en que las utilizan para resolver diferentes

situaciones.

En educación primaria deben asentarse las bases que contribuirán a que

los niños y niñas sean capaces de enfrentarse con un mayor porcentaje de

éxito a este tipo de actividades. Un buen resolutor de problemas se va

formando poco a poco y se identifica por que dispone de:

Un buen bagaje de conocimientos matemáticos claros, estructurados

e interconectados que le permiten enfrentarse a las diferentes

situaciones.

Un método de resolución acompañado de una serie de estrategias

para poder hacer uso de ellas durante el proceso.

Una actitud positiva al aceptar el reto que se le propone. Es

perseverante y disfruta resolviendo problemas.

Esto no nos debe llevar a creer que el buen resolutor es capaz de

resolver correctamente cualquier problema matemático que se le presente. Sin

embargo, sí que cuenta con unos buenos procedimientos de los que hará uso

al enfrentarse a la resolución de la situación-problema.

2.3. Características de la enseñanza de la resolución de problemas

Considerar las características de la enseñanza de la resolución de

problemas en la perspectiva tradicional y el aprendizaje basado en la

resolución de problemas nos ayudará a tomar conciencia de la necesidad de

un cambio de actitud frente a nuestra práctica docente.

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

En un proceso de aprendizaje tradicional:

En un proceso de aprendizaje basado en la resolución de problemas:

Los profesores asumen el rol de expertos o autoridades formales.

Los profesores tienen el rol de facilitadores, tutores, guías, coaprendices, maestros o asesores.

Los profesores transmiten información a los niños y niñas.

Los niños y niñas toman la responsabilidad de aprender y crear alianzas entre estudiante y profesor.

Los profesores organizan el contenido en exposiciones.

Los profesores diseñan el desarrollo de las sesiones de matemática basadas en problemas abiertos.

Los profesores incrementan la motivación de los estudiantes presentando problemas reales.

Los profesores buscan mejorar la iniciativa de los estudiantes y motivarlos.

Los estudiantes son vistos como “recipientes vacíos” o receptores pasivos de información.

Los estudiantes son vistos como sujetos que pueden aprender por cuenta propia.

Las exposiciones de los profesores son basadas en comunicación unidireccional; la información es transmitida a un grupo de estudiantes.

Los estudiantes trabajan en equipos para resolver problemas, adquieren y aplican el conocimiento en una variedad de contextos. Los alumnos localizan recursos y los profesores los guían en este proceso.

• Los estudiantes trabajan por separado.

Los estudiantes conformados en pequeños grupos interactúan con los profesores quienes les ofrecen retroalimentación.

2.4. Bloqueos en la resolución de problemas

En la resolución de problemas se presentan bloqueos de carácter

afectivo, cognoscitivo, cultural y ambiental, y es conveniente desbloquear con

la aplicación de las siguientes pautas sugeridas:

BLOQUEOS DE ORIGEN PAUTAS PARA SUPERAR LOS

BLOQUEOS

AFECTIVO

Apatía, pereza mental por el comienzo.

Miedos al fracaso, a la equivocación, al ridículo.

Ansiedades.

Promover a que los niños y niñas piensen siempre en las distintas formas de comenzar una tarea.

El inicio puede tener carácter provisional.

Los errores y equivocaciones permiten enseñar las formas adecuadas de proceder.

Aminorar la hiperactividad cuando nos percata- mos de estar empujados a ella.

tendencia que te arrastra.

COGNOSCITIVO

Dificultades en la percepción del problema.

Incapacidad de desglosar el problema.

Visión estereotipada.

Examinar cómo otros se enfrentan con actividades parecidas y compara procedimientos.

Tratar de descomponer en partes más sencillas. Establece prioridades.

Permanecer abierto a lo extraño.

CULTURALES Y AMBIENTALES

La sabiduría popular dice:

“Busca la respuesta correcta”

“Esto no es lógico”

“Hay que ser práctico”, etc.

“Mi mano sabe”, “mis ojos son mis pies”, etc. No se entiende este ejemplo, si se mantiene requiere explicación.

Buscar varias respuestas, no contentarse con la primera respuesta,.

Dejarse llevar por ideas imaginativas y creativas.

Cultivar, en lo posible, la actitud lógica.

Matematizar las múltiples interrelaciones de tu entorno natural y cultural.

2.5. Procesos o pasos para la resolución de problemas

El modelo más clásico, pero aún vigente, de las fases por las que

atraviesa la resolución de problemas matemáticos es el descrito por Polya.

Para él la resolución de problemas es un proceso que consta de cuatro fases:

• Comprensión del problema

• Planificación

• Ejecución del plan

• Supervisión

Este modelo ha inspirado la gran mayoría de los modelos de resolución

de problemas que se han elaborado posteriormente. En el cuadro siguiente se

puede observar que, pese a las diferencias terminológicas y de precisión del

análisis, los modelos de resolución de problemas que han seguido al de Polya

guardan estrechos vínculos.

MODELOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Autores 1ª fase 2ª fase 3ª fase 4ª fase

Polya

(1945)

Comprensión del problema

Planificación

Ejecución del plan

Supervisión

Percepción de

símbolos escritos

Decodificación

de símbolos

escritos

Formulación del

significado

general de las

oraciones

Determinación

de lo que hay

que buscar

Examen de los

datos

relevantes

Análisis de las

relaciones

entre los datos

Formulación de

los datos

mediante la

notación

matemática

Ejecución de

los cálculos

matemáticos

Verificación de

las respuestas

Dunlap y

McKnight (1980)

Traducción del

mensaje general

en un mensaje

matemático

Elección de las

operaciones

matemáticas

Estimación de

las respuestas

Decodificación

de los

resultados para

que tengan

sentido técnico

Formulación de

los resultados

técnicos como

respuestas a la

cuestiones

iniciales

Gagné

(1983) Traducción verbal de las situaciones

descritas al lenguaje matemático

Fase central de

cálculo

Validación de la

solución

- Lectura del

problema

- Hipótesis - Cálculo - Verificación

Montague

(1988) - Paráfrasis

- Visualización

- Enunciado del

problema

- Estimación

Schoenfeld

(1979) - Análisis

- Exploración

- Diseño

-Implementación

-Verificación

Uprichard,

Phillips & Soriano (1984)

- Lectura

- Análisis

- Representación

- Estimación

- Traducción

- Planificación

- Cálculo - Monitorización

- Verificación - Verificación

Mayer (1991)

- Traducción - Integración

-Ejecución

Garofalo y

Lester (1985)

- Orientación

- Organización

-Ejecución

-Verificación

MODELOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Autores 1ª fase 2ª fase 3ª fase 4ª fase

Glass y Holyak (1986)

- Comprensión o

representación del

problema

- Planificación -Ejecución del plan

-Evaluación de los resultados

Brandsford

y Stein (1984)

- Identificación - Definición

- Exploración

- Actuación

- Observación - Aprendizaje

APLICAMOS

LO QUE

POLYA DICE

2.5.1. Comprensión del problema

Comprender el problema significa, el reconocimiento de la existencia de

un problema y de la necesidad de resolverlo. Para ello, es necesario definir e

identificar el problema.

La definición del problema consiste en la decodificación de los símbolos

escritos y en la conversión del enunciado matemático en una representación

mental.

Para lograr la correcta comprensión del problema, deben ser capaces de

identificar los datos relevantes de los que no lo son, para lo cual podemos

utilizar las siguientes estrategias:

1. Realizamos la lectura del problema, ésta debe realizarse de forma

progresiva:

Lectura en voz alta por parte de uno o varios niños o niñas, primero del

planteamiento y luego de la pregunta.

La lectura irá acompañada de preguntas del docente en busca de la

comprensión del mismo, estas preguntas nunca deben contener en sí la

respuesta. Ejemplo. “de que va…”, “que nos cuenta…”, “de qué cosas

habla…” “de quién habla…”, “qué les ha pasado…”, etc.

En tanto no exista una comprensión del texto, se repetirá sucesivamente

la lectura, por otros niños y niñas, de un grupo determinado de ellos o

del grupo entero, al objeto de que la dispersión de pensamiento se

vayan concentrando en su comprensión.

Después de leerlo con pausa y reflexionando, es importante intentar

responder a las siguientes preguntas:

¿Entiendes todo lo que se dice?

¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?

¿Distingues cuáles son los datos?

¿Sabes a qué quieres llegar?

¿Tenemos toda la información que necesitamos?

¿Hay información que no necesitemos?

¿Es un problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

2. Subrayaremos con lápiz rojo los datos del problema y en azul la pregunta,

al objeto de separar los datos de las preguntas.

3. Los niños y niñas explicarán, con sus propias palabras, el enunciado a un

compañero: señalando cuál es la pregunta del problema, indicando los

datos que hacen falta para resolver el problema y separando los datos

relevantes de los que no lo son.

4. Cuando el problema contenga más de una operación, es necesario que lo

separe en cada una de sus partes, para resolver cada una de ellas en

relación con las restantes partes y con el enunciado total de problema.

5. Otras estrategias que podemos realizar son:

Escribir de modo esquemático el contenido de cada frase del enunciado.

Reproducir el texto utilizando frases cortas y sencillas.

Decir en voz alta el enunciado, recalcando las palabras clave.

Asegurarnos que conoce lo que queremos encontrar: los datos y las

relaciones entre los datos.

Asegurarnos que comprende de dónde partimos y qué queremos, así

como las operaciones posibles para llegar del estado inicial al estado

final.

En resumen, buscamos no solo la capacidad de análisis de la información

que aparece en el enunciado, sino también la “autoevaluación” que hace de su

conocimiento de la tarea, del nivel de dificultad y de las posibilidades de éxito.

Todo ello es comprender el problema.

Representación “real” y gráfica del problema

Es aconsejable que a los niños y niñas

se les planteen situaciones problemáticas

teatralizadas (juegos de roles y/o juegos

dramáticos), con la manipulación de objetos

para que ellos los puedan representar de

distintas formas.

Luego, se debe efectuar la

representación mediante diagramas,

gráficos o dibujos, con la finalidad de

aumentar el nivel de comprensión del

problema, así como para la resolución de problemas; más aún en los casos

que la redacción del mismo resulte especialmente difícil.

Un recurso didáctico que da muy buenos resultados es la utilización de

programas informáticos que a través del juego les planteen situaciones

problemáticas. Este recurso tiene la ventaja, aparte de que el recurso en sí ya

es motivador, que presenta de forma gráfica y en movimiento los problemas, y

es este último aspecto, “el movimiento”, el mejor recurso que podemos usar,

ya que ven directamente cómo se desarrolla el planteamiento del problema.

Una vez superada esta fase es aconsejable continuar mediante la

representación gráfica de los datos del problema y en aquellos casos que la

representación gráfica venga impresa en el libro de texto, pararnos a analizar

los dibujos.

2.5.2. Elaboración del plan de acción

Esta fase consiste en la planificación de la solución. Se trata ahora de

diseñar el esquema de acción a seguir, lo que supone identificar las metas y

las posibles submetas cuando tratamos de problemas en los que debemos

realizar operaciones intermedias; examinar las diversas estrategias generales

que podemos aplicar y elegir las acciones que se llevarán a cabo.

En este punto vamos a trazar un plan de acción. Para ello, podemos

utilizar diferentes estrategias, como las siguientes:

Utilizar palabras clave que mediante la asociación directa con la

operación (juntar/unir con sumar, quitar/separar con restar) se les irán

familiarizando poco a poco y les permitirá reconocer la operación a

realizar en situaciones similares. Ejemplo: “¿Qué tenemos que hacer

juntar o quitar? (unir/separar)”.

Si se duda entre posibles operaciones, efectuamos una estimación y

mediante el ensayo y error

llevamos a cabo todas las

posibilidades y vemos que

solución se ajusta al resultado

más lógico y esperado.

Recordar un problema

conocido de estructura análoga al

que tengamos y tratar de

resolverlo.

Resolver un problema similar más simple o equivalente, simplemente

cambiando el tema del que trate el problema.

Si la numeración de los datos es muy alta, resolverlo con números más

sencillos y utilizar el modelo empleado para resolver el problema original.

Identificar las posibles submetas que pueda englobar un problema de

varias operaciones. Esto supone la división del problema en partes, cada

una de las cuales es imprescindible para llegar a la solución final:

El docente debe plantear preguntas con la finalidad de ayudarle en su

camino hacia encontrar la solución, como por ejemplo:

¿Cuál es el problema?

¿Qué estás haciendo?

¿Por qué estás haciendo esto?

¿Qué estamos tratando de hacer aquí?

¿Cómo te ayuda lo que estás haciendo para alcanzar la solución?

¿Qué información nos dan?

2.5.3. Ejecución del plan de acción

Una vez configurado el plan, el paso siguiente es hacer que se ponga en

marcha el plan, llevando a cabo las estrategias que eligió previamente. Para

ello, conviene que se tome el tiempo necesario para resolver el problema. En

caso de dificultad debe solicitar ayuda para que el docente le sugiera como

avanzar en la resolución del problema.

Igualmente aquí el papel del docente será de guía mediante preguntas

del tipo: ¿estamos siguiendo los pasos que decidimos?, ¿cuál es la operación

matemática que debemos elegir?, ¿necesitamos un nuevo plan?, etc.

En esta fase uno de los mayores problemas con las que se encuentra el

niño o niña es la traducción simbólica, en términos numéricos, de las ideas

lógicas que ya ha realizado. Son capaces de resolverlo mentalmente, pero no

con los algoritmos matemáticos necesarios. En este caso habrá que reforzar el

significado de los distintos significados de las operaciones aritméticas y los

verbos de acción y/o palabras clave que nos llevan a ellas.

Muchas veces en esta etapa de la resolución de problemas se pueden

producir atascos, en los cuales no se debe tener miedo a volver a empezar

desde el principio, o dejar para otro momento, suele suceder que un comienzo

fresco o una nueva estrategia nos lleve al éxito.

2.5.4. Comprobación de la respuesta

Esta fase es la de verificación, de mirar hacia atrás, recorrer los pasos

que se han seguido para la resolución del problema con objeto de detectar

posibles errores o deficiencias. Sobre todo si se ha cometido un error debemos

comprobar las decisiones tomadas (análisis de la información, ejecución de los

cálculos, etc.) y de los resultados del plan ejecutado (exactitud de la respuesta,

correspondencia con el enunciado que la originó, etc.).

Es muy común por parte del alumnado, que una vez realizadas las

operaciones:

Den por terminado el problema sin que exista una respuesta escrita a

la pregunta que planteaba el problema.

Dar una respuesta escrita numérica pero sin acompañarla de la

aclaración que del significado al dato.

No realicen una reflexión de los resultados obtenidos que refuercen el

proceso realizado.

No se inmutan ante respuestas absurdas, ya que no realizan una

correspondencia entre la solución alcanzada y el enunciado del

problema que le permita comprobar el dato obtenido. (Ejemplo: que el

resultado del problema de que la edad de Manolito sea de 120 años)

El docente de forma dirigida puede realizar las siguientes preguntas:

¿El resultado obtenido tiene lógica?

¿El dato responde a la pregunta planteada?

¿Utiliza todos los datos importantes?

¿Cuadra con las estimaciones y predicciones razonables realizadas?

¿Es posible encontrar una solución más sencilla?

¿Se puede resolver el problema de un modo diferente?

¿Es posible utilizar la estrategia empleada para resolver otros

problemas?

Otra manera de mejorar los procesos de autocontrol del alumno es

enseñarle a realizar estimaciones de los problemas que resuelve para

compararlos con los resultados que obtiene y, de esta forma, modificar o no el

proceso de resolución seguido. Así mismo, cuando las estimaciones no

cuadre, les plantearemos preguntas del tipo: ¿qué fue lo que funcionó?, ¿qué

podríamos hacer de manera distinta la próxima vez?,…

¡Ahora les toca a ustedes poner en práctica lo aprendido…!

DISEÑO DE SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº_6

I. DATOS INFORMATIVOS 1.1. Institución Educativa :

1.2. Profesora de aula :

1.3. Grado y Sección : 1er. Grado “A”

1.4. Nombre de la Unidad Didáctica : Trabajamos con responsabilidad e higiene para elaborar nuestras cometas

1.5. Tema transversal : Educación para la convivencia en una cultura de paz.

1.6. Valor : Responsabilidad

1.7. Área : Matemática

1.8. Fecha : 2011-08-31

1.9. Duración : 5 horas

1.10. Nombre de la actividad de aprendizaje : Resolvemos problemas de adición.

II. SELECCIÓN DE CAPACIDADES Y ACTITUDES

ÁR

EA

OR

GA

NIZ

A-

DO

R CAPACIDAD HABILIDAD

PROCESOS

COGNITIVOS CONOCIMIENTO

SISTEMA DE EVALUACIÓN

CRITERIOS E INDICADORES

TÉCNICAS E INSTRUMENTOS

MA

TE

MÁ

TIC

A

NÚ

ME

RO

, RE

LA

CIO

NE

S Y

OP

ER

AC

ION

ES

Resuelve problemas

de adición de

números naturales

menores de 10.

Resuelve

problema

s

Comprende

Planifica

Ejecuta

Verifica

Adición de

números

naturales

Número, relaciones y

operaciones

1) Comprende el problema a resolver utilizando los títeres.

2) Planifica las estrategias para resolver problemas.

3) Ejecuta las estrategias planificadas utilizando el material base 10.

4) Verifica los resultados en relación a los pasos seguidos.

OBSERVA-

CIÓN: lista de

cotejo:

ACTITUD: Muestra autonomía y confianza al efectuar cálculos de adición.

III. SECUENCIA DIDÁCTICA

SECUENCIA ESTRATEGIAS Y ACTIVIDADES

MATERIALES Y

RECURSOS

EDUCATIVOS

TEMPORA-

LIZACIÓN

INICIO 1. Participan en las actividades rutinarias de desestrezamienjto, oxigenación, desinhibición y recreación.

Motivación –saberes previos – expectativa - conflicto cognitivo.

2. Comentan acerca de mamá y de las diversas acciones que realizan todos los días: realizar compras.

3. Observan el problema siguiente: July compra cuatro caramelos. Karina

compra tres caramelos. ¿Cuántos caramelos compraron entre las dos?

4. Responden estas interrogantes: ¿Son capaces de resolver problemas?

¿Cómo se resuelve un problema?

5. Se enteran de la capacidad a desarrollar.

6. Se proponen a resolver problemas.

Tarjetas metaplan

10 min

SECUENCIA ESTRATEGIAS Y ACTIVIDADES

MATERIALES Y

RECURSOS

EDUCATIVOS

TEMPORA-

LIZACIÓN

PROCESO

Construcción del conocimiento – sistematización.

7. Observan nuevamente el problema 8. Luego de observar, responden a las interrogantes: ¿qué es un problema?

¿cómo se resuelve un problema? ¿qué elementos tiene un problema?

9. Se agrupan de 4, reciben un problema. Siguiendo los procesos de Polya,

resuelven el problema.

10. Observan, leen y comprenden el problema.

11. Escenifican el problema.

12. Identifican los datos del problema, luego de comprenderlos.

13. Exploran las posibles estrategias y alternativas para hallar la solución.

14. Proponen procesos para hallar la solución del problema planteado. Elaboran

el plan de acción.

15. Ponen en práctica el plan de acción para hallar el resultado.

16. Hallan el resultado, utilizando el material base 10.

17. Evalúan si el problema fue solucionado correctamente.

18. Comunican el proceso seguido y los resultados obtenidos

19. Nuevamente, resuelven otros problemas, siguiendo los mismos procesos. 20. Copian en sus cuadernos un problema resuelto.

Papelotes

Plumones

Libro de Matemática 1

del MED

80 min

CIERRE

Aplicación – evaluación (metacognición) – extensión o generalización.

21. Desarrollan 2 problemas propuestos en la pág. 50 y 51 del libro de

matemática 1 del MED.

22. Participan en la evaluación: resuelven cada uno un problema.

23. En casa: resuelven dos problemas propuestos por la docente.

24. Responden a las interrogantes: ¿qué aprendí? ¿cómo aprendí? ¿para qué aprendí? ¿qué capacidad desarrollé? ¿cómo lo hice? ¿nos servirá en nuestra vida diaria? ¿qué no aprendimos?

Hoja de tarea

Tarjetas metaplan

Cuaderno de trabajo

del MED

30 min

IV. Matriz de evaluación

CAPACIDADES INDICADORES PESO ÍTEMS INSTRUMENTO

Resuelve problemas

de adición de números

naturales menores de

10.

Comprende el problema a resolver

utilizando los títeres.

30 3 Observación. Lista de

cotejo

Planifica las estrategias para resolver

problemas.

40 4

Ejecuta las estrategias planificadas

utilizando el material base 10.

10 1

Verifica los resultados en relación a los

pasos seguidos.

20 2

V. BIBLIOGRAFÍA MINISTERIO DE EDUCACIÓN (2008), Diseño Curricular Nacional. Lima – Perú: MED.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN (2010), Matemática 1. Lima – Perú: MED

VI. ANEXOS:

Lista de cotejo para evaluar la resolución de problemas

ASPECTOS

NIÑOS Y NIÑAS

ÍTEMS

TO

TA

L

SI

NO

Comprensión del

problema

Entiende qué es lo que se quiere hallar.

Reconoce los datos del problema.

Hace una representación gráfica.

Estrategias de

solución

Relaciona el problema con otros problemas similares resueltos anteriormente.

Propone una forma de solución.

Organiza los pasos a seguir.

Se adelanta a una posible respuesta.

Desarrollo de la

estrategia

seleccionada

Ejecuta los pasos de acuerdo a lo planificado. Realiza los cálculos pertinentes

Verificación de

los resultados

Resuelve el problema de modo diferente y compara los resultados, verificando que el resultado es coherente con las condiciones del problema.

Verifica cada uno de los pasos seguidos y comunica los procesos seguidos y los resultados a sus compañeros.

TOTAL SI

NO

Valoración 0 – 3 = C 4 – 5 = B 6 – 8 = A 9 – 10 = AD

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Página 33