resÚmenes de matemÁticas iiuna vez mÁs desconozco si todos ellos sÓn de licencia libre, asÍ que...

RESÚMENES DE MATEMÁTICAS IICurso 2014/2015

José Jaime Noguera - IES JOSEP IBORRA

J.J. Noguera

AVISO: PARA ELABORAR ESTOS APUNTES HE UTILIZADO IMÁGENES DE IN-TERNET SIN REVISAR SI SON LIBRES O NO. SI ALGÚN AUTOR DETECTA UNAIMAGEN CON COPYRIGHT Y DESEA QUE SEA ELIMINADA, PUEDE ENVIAR-MEUN E-MAIL A [email protected] Y LA ELIMINARÉ SIN NIGÚN PROBLEMA.

EL ÍNDICE SE AJUSTA AL LIBRO DE TEXTO DEL CURSO (ANAYA), AUNQUELAS EXPLICACIONES SON BASTANTE DIFERENTES. TAMBIÉN SE HAN UTILIZA-DO RECURSOS QUE HE ENCONTRADO POR INTERNET, COMO EL LIBRO (LI-BRE) http://www.alfonsogonzalez.es/, TABLAS, Y OTROS RECURSOS. UNA VEZ MÁSDESCONOZCO SI TODOS ELLOS SÓN DE LICENCIA LIBRE, ASÍ QUE SI ALGO DE-BE SER ELIMINADO SE ME PUEDE COMUNICAR AL E-MAIL ARRIBA INDICADO.GRACIAS.

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Índice general

1. MATRICES 71.1. Definiciones, nomenclatura y tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Propiedades de las operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Ejercicios de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. DETERMINANTES 132.1. Cálculo de determinantes de orden 2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Propiedades de los determinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Menor complementario y adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Determinantes de orden cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5. Dependencia e independencia lineal de vectores mediante determinantes . . . 152.6. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.7. Ejercicios de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. RESOLUCÓN DE SISTEMAS 233.1. Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1. Resolución de sistemas por Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Discusión de sistemas dependientes de parámetros por Gauss . . . . . . . . . 24

3.2.1. Forma matricial del método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.2. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss . . . . . . . 25

3.3. Resolución de sistemas mediante determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.1. Forma matricial de un sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 253.3.2. Teorema de Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.3. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.4. Sistemas homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.5. Discusión de sistemas mediante determinantes . . . . . . . . . . . . . 27

3.4. Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.1. Cálculo mediante determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.2. Cálculo mediante Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.3. Resolución de sistemas mediante matriz inversa . . . . . . . . . . . . 28

3.5. Ejercicios de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. VECTORES EN EL ESPACIO 314.1. Definiciones, nomenclatura y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.1. Producto de un vector por un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.2. Suma y resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3

J.J. Noguera ÍNDICE GENERAL

4.1.3. Vector unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.4. Propiedades de las operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . 324.1.5. Combinación lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.6. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.7. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.8. Coordenadas de un vetor respecto de una base . . . . . . . . . . . . . 334.1.9. Operaciones con coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.1. Resumen de las aplicaciones del producto escalar . . . . . . . . . . . 35

4.3. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4. Producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS 395.1. Sistema de referencia en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2. Aplicaciones de los vectores a problemas geométricos . . . . . . . . . . . . . 39

5.2.1. Coordenas del vector que une dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2.2. Comprobar que tres puntos están sobre la misma recta . . . . . . . . 405.2.3. Punto medio de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.4. Simétrico de un punto respecto a otro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3. Ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3.1. Ecuación vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3.2. Ecuaciones paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3.3. Ecuación en forma continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3.4. Ecuación en forma implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.4. Posiciones relativas de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.4.1. Mediante vectores directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.4.2. Mediante rangos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.5. Ecuaciones del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5.1. Ecuacion vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.5.2. Ecuaciones paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.5.3. Ecuación implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.5.4. Ecuación del plano conociendo un punto y un vector normal . . . . . 44

5.6. Posición relativa de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.7. Posición relativa de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.8. Ejercicios puntos-rectas-planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6. PROBLEMAS MÉTRICOS 496.1. Ángulos entre rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2. Distancias entre puntos, rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2.1. Entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2.2. Distancias de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2.3. Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2.4. Distancia de una recta a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2.5. Distancia entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2.6. Distancia entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.3. Medidas de áreas y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4


6.4. Lugares geométricos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7. LÍMITES Y CONTINUIDAD 557.1. Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.2. Límite de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.2.1. Límite finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.2.2. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.2.3. Límites en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.2.4. Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.3. Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.3.1. Tipos de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.3.2. Teoremas de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8. DERIVADAS 618.1. Tasa de Variacion Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.2. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.2.1. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.2.2. Derivabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.2.3. Función derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.2.4. Reglas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.2.5. Derivabilidad de una función definida a trozos . . . . . . . . . . . . . 638.2.6. Derivada de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.2.7. Derivada de una función implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.2.8. Derivación logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.2.9. Diferencial de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9. APLICACIONES DE LA DERIVADA 659.1. Recta tangente y normal a la gráfica de una función en un punto . . . . . . . 659.2. Información a partir de la primera derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.2.1. Máximos y mínimos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.3. Información a partir de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.4. Regla de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.5. Teoremas de derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.6. Representación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10.CÁLCULO DE PRIMITIVAS 7110.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.2. Integrales Inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.3. Casos que podemos transformar a inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.4. Integración POR PARTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.5. Integración por cambio de variable (o por sustitución) . . . . . . . . . . . . . 7410.6. Integración por descomposición en fracciones simples . . . . . . . . . . . . . 75

10.6.1. Sólo hay raíces reales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.6.2. Hay raíces reales múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.6.3. Hay raíces complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5


11.LA INTEGRAL DEFINIDA 7911.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.2. Teoremas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8011.3. Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8011.4. Volumen de un cuerpo de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

12.ANEXOS 85

6

Capítulo 1

MATRICES

1.1. Definiciones, nomenclatura y tipos de matrices

Una matriz es una caja numérica rectangular: A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

... . . . ...am1 am2 . . . amn

, donde

m es el número de filas.

n es el número de columnas.

aij es el elemento o término que está en la fila i y en la columna j.

La dimensión es m× n.

En ocasiones se resume la nomenclatura, llamando a la anterior matriz como A = (aij)m,n.

TIPOS DE MATRICES

Nula : todos los elementos son 0.

Matriz fila Por ejemplo A = (1, 45).

Matriz columna Por ejemplo:

A =

713

Traspuesta : La traspuesta de A = (aij)m,n es At = (aji)n,m (También se denota como A′).

Ejemplo: A =

3 0 5 21 −3 7 −83 9 1 4

⇒ At =

3 1 30 −3 95 7 12 −8 4

.

IMPORTANTE: se cumple (At)t = A.

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J.J. Noguera CAPÍTULO 1. MATRICES

Cuadrada Una matriz es cuadrada si n = m.

Ejemplo: A =

3 0 51 −2 73 9 1

Los elementos aij que cumplen que i = j forman la dia-

gonal principal. En nuestro ejemplo (3,−2, 1).

Dentro de este tipo de matrices también podemos encontrar:

Triangular superior: A =

3 2 50 −3 70 0 1

Se cumple que aij = 0 si i > j.

Triangular inferior: A =

3 0 01 −3 03 9 1

Se cumple que aij = 0 si i < j.

Diagonal: A =

2 0 00 −3 00 0 1

Se cumple que aij = 0 si i 6= j.

Identidad A =

1 0 00 1 00 0 1

Se cumple que aij = 0 si i 6= j y aij = 1 si i = j.

Simétrica: cumple que At = A.

1.2. Operaciones con matrices

SUMA DE DOS MATRICES. Sólo pueden sumarse matrices de la misma dimensión, encuyo caso se suma elemento a elemento.

EJEMPLO:

(2 4 −30 5 6

)+

(−2 0 53 9 7

)=

(0 4 23 14 13

).

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRTIZ. Se multiplica dicho núme-ro por cada término de la matriz.

EJEMPLO: 5 ·

2 4 −30 5 64 −5 1

=

10 20 −150 25 3020 −25 5

.

PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA. Debentener el mismo número de términos. Se multiplica término a término y se suman losresultados.

EJEMPLO:(

2 4 −3 1)·

1−307

= 2 · 1 + 4 · (−3) + (−3) · 0 + 1 · 7 = −3.

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J.J. Noguera 1.3. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES

PRODUCTO DE DOS MATRICES. Sólo pueden multiplicarse si el número de colum-nas de la primera coincide con el número de filas de la segunda. En ese caso el productoes otra matriz que se obtiene multiplicando cada vector fila de la primera por cadavector columna de la segunda.

EJEMPLO:(

2 4 −30 5 6

)·

−1 50 37 8

= Pueden multiplicarse ya que (2× 3)(3× 2) = (2× 2)

=

(2 · (−1) + 4 · 0 + (−3) · 7 2 · 5 + 4 · 3 + (−3) · 80 · (−1) + 5 · 0 + 6 · 7 0 · 5 + 5 · 3 + 6 · 8

)=

(−23 −242 63

).

1.3. Propiedades de las operaciones con matrices

SUMA DE MATRICESSi A y B son dos matrices de dimensión m× n, se cumplen las propiedades:

Asociativa: (A+B) + C = A+ (B + C).

Conmutativa: A+B = B + A.

Elemento neutro: A + 0m,n = 0m,n + A = A, donde 0m,n es la matriz nula de dimensiónm× n.

Toda matriz tiene opuesta: La opuesta de A es −A = (−1)·A → A+(−A) = (−A)+A =0m,n

PRODUCTO DE UN NÚMERO Y UNA MATRIZSi a y b son números reales y A y B son matrices de dimensión (m × n) se cumplen las

propiedades:

Asociativa: a · (b · A) = (a · b) · A.

Distributiva I: (a+ b) · A = a · A+ b · A.

Distributiva II: a · (A+B) = a · A+ a ·B.

Producto por el número 1: 1 · A = A.

PRODUCTO DE MATRICESSi A, B y C son matrices de dimensión (m × n), (n × p) y (p × q) respectivamente, se

cumple la propiedad ASOCIATIVA (A ·B) ·C = A · (B ·C), pero NO SE CUMPLE LACONMUTATIVA (A ·B) 6= (B · A).

En el caso de matrices cuadradas n×n, se cumplen además las propiedades distributivas:A · (B + C) = A · B + A · C , (B + C) · A = B · A + C · A; y la del elemento neutro:A · In = In · A = A, siendo In la MATRIZ UNIDAD o IDENTIDAD. Dicha matriz esde dimensión n × n y es una matriz diagonal formada por unos en la diagonal principal (yceros en el resto).

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1.4. Ejercicios de matrices

1. Dadas las matrices:

A =

2 4 −30 5 64 −5 1

, B =

1 −3 05 2 79 −1 1

, C =

4 3−4 07 −6

, D =

(1 −2 0

)

calcula, si es posible:

a) A · Cb) A+ C

c) C ·Dd) D · Ce) A · B +Bt

f ) (A+B) · Cg) D ·Dt

h) Dt ·D

2. Calcula x, y, z, t para que se cumpla:

(3 14 −2

)·(

x yz t

)=

(19 1032 10

).

3. Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta:

A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.

B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.

C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.

En el pueblo en el que viven hay dos fruterias, F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1,5e/kg, las manzanas 1 e/kg, y las naranjas 2 e/kg. En F2, las peras cuestan 1,8 e/kg,las manzanas 0,8 e/kg, y las naranjas 2 e/kg.

a) Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) quequiere comprar cada persona (A, B, C).

b) Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada una de las dosfruterías.

c) Obtén una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede reflejado lo quese gastaría cada persona haciendo su compra en cada una de las dos fruterías.

4. Si la matriz A =

(1 2

−3 4

)satisface la igualdad A2 + xA+ yI = 0, halla los valores

numéricos de x e y.

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J.J. Noguera 1.4. EJERCICIOS DE MATRICES

5. Hallar las matrices X e Y que verifiquen:

2X − 3Y =

(1 54 2

)

X − Y =

(1 03 6

)

6. Hallar la matriz X2 + Y t, donde X e Y son las matrices que satisfacen el siguientesistema:

5X + 3Y =

(2 0

−4 15

)

3X + 2Y =

(1 −1

−2 9

)

7. En una pastelería elaboran tres tipos de postres: A, B y C, utilizando leche, huevos yazúcar (entre otros ingredientes) en las cantidades que se indican:

A: 3/4 de litro de leche, 100 g de azúcar y 4 huevos.

B: 3/4 de litro de leche, 112 g de azúcar y 7 huevos.

C: 1 litro de leche y 200 g de azúcar.

El precio al que se compran cada uno de los tres ingredientes es de 0,6 euros el litro deleche, 1 euro el kg de azúcar, y 1,2 euros la docena de huevos. Obtén matricialmente elgasto que supone cada uno de estos tres postres (teniendo en cuenta solamente los tresingredientes indicados).

8. Halla los valores de m para los cuales X =

(m 00 2

)verifique X2 − 5

2X + I = 0.

9. Calcula An sabiendo que: A =

1 0 00 2 00 0 3

.

10. Calcula An sabiendo que: A =

1 0 10 1 00 0 1

.

11. Dada la matriz A =

3 0 83 −1 6

−2 0 −5

comprueba que (A + I)2 = 0 y expresa X2

como combinación lineal de A e I.

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12. Tres familias, A, B, y C, van a ir de vacaciones a una ciudad en la que hay tres hoteles,H1, H2 y H3. La familia A necesita 2 habitaciones dobles y una sencilla, la familia Bnecesita 3 habitaciones dobles y una sencilla, y la familia C necesita 1 habitación dobley dos sencillas. En el hotel H1, el precio de la habitación doble es de 84 e/día, y el dela habitación sencilla es de 45 e/día. En H2, la habitación doble cuesta 86 e/día, y lasencilla cuesta 43 e/día. En H3, la doble cuesta 85 e/día, y la sencilla 44 e/día.

a) Escribe en forma de matriz el número de habitaciones (dobles o sencillas) quenecesita cada una de las tres familias.

b) Expresa matricialmente el precio de cada tipo de habitación en cada uno de lostres hoteles.

c) Obtén, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la que se refleje elgasto diario que tendría cada una de las tres familias en cada uno de los treshoteles.

13. Dada A =

(2 01 0

), determina las condiciones que debe cumplir una matriz X para

que cumpla que AX = XA.

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Capítulo 2

DETERMINANTES

2.1. Cálculo de determinantes de orden 2 y 3

El determinante de una matriz A se denota por det(A), o |A|.Si A es de orden 2, su determinante se calcula como sigue:

∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11 · a22 − a21 · a12.

Si A es de orden 3, su determinate se calcula:∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣= a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

−a13 · a22 · a31 − a12 · a21 · a33 − a11 · a23 · a32.

Para recordar esto hay una técnica mnemotécnica conocida como regla de Sarrus queconsiste en agrupar los sumandos positivos y negativos. Aunque hay varias maneras de re-presentarlo una posibilidad es la siguiente:

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

+ + +

− − −

2.2. Propiedades de los determinates

1. |A| =∣∣At∣∣.

2. Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna de 0’s su determinante es 0.

13

J.J. Noguera CAPÍTULO 2. DETERMINANTES

3. Si permutamos dos filas o columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambiade signo.

4. Si una matriz tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es 0.

5. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una fila o columna deuna matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número.

6. Si una matriz tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante es 0.

7. Si a una fila (o columna) le sumamos una combinación lineal1 de otra u otras filas (ocolumnas) paralelas, su determinante no varía.

8. Si una fila (o columna) es combinación lineal de otra u otras filas ( o columnas) paralelas,su determinante es 0. El recíproco también es cierto.

9. |A ·B| = |A| · |B|.

2.3. Menor complementario y adjunto

Menor de una matriz . Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, loselementos en los que se cruzan forman una submatriz de orden r. El determinantede dicha submatriz se denomina menor de orden r de la matriz inicial. Por ejemplo:

Si A =

333 0 555 21 −3 7 −8333 9 111 4

, un menor de orden 2 puede ser

∣∣∣∣∣3 53 1

∣∣∣∣∣ .

Menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada . El menor com-plementario del elemento aij de una matriz A de orden n consiste en tomar eldeterminante de la submatriz A que surge al eliminar la fila y la columna a lasque aij pertenece. Se denota αij.

Adjunto de un elemento de una matriz cuadrada . El adjunto del elemento aijes Aij = (−1)i+j · αij. Por ejemplo:

Si A =

2 0 51 −3 7−2 9 3

→ A23 = (−1)2+3 · α23 = (−1)2+3 ·

∣∣∣∣∣2 0−2 9

∣∣∣∣∣ = −18.

2.4. Determinantes de orden cualquiera

Para reducir el número de operaciones necesarias para calcular un determinante, se recurrea desarrollarlo por los elementos de una fila o columna. El determinante de una matrizpuede obtenerse multiplicando los elementos de una fila (o columna) por sus respectivosadjuntos y sumar el resultado. Por ejemplo:

1El vector ~u es combinación lineal de los vectores ~v1, ~v2, . . . , ~vn si podemos encontrar los números reales

a1, a2, . . . , an que cumplan ~u = a1~v1 + a2~v2 + · · ·+ an~vn.

14

J.J. Noguera2.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES MEDIANTE

DETERMINANTES

∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣= a21A21 + a22A22 + a23A23.

En el anterior ejemplo hemos tomado la segunda fila, pero podríamos haber tomadocualquier otra fila o columna.

Además dado que podemos sumar a filas (o columnas) combinaciones lineales del restode filas (o columnas) sin que el valor del determinante varíe, podemos intentar anular loselementos de una fila o columna excepto uno, para así simplificar los cálculos.

2.5. Dependencia e independencia lineal de vectores me-diante determinantes

Recordar que un conjunto de vectores ~v1, ~v2, . . . , ~vn son linealmente dependientes(L.D) si alguno de ellos puede ponerse como combinación lineal de los demás. Si esto noes posible se dirá que son linealmente independientes (L.I.).

Por ejemplo (2,−3, 7), (5,−2, 5), (−2, 13,−3), (2, 4, 0) son L.D. ya que

(−2, 13,−3) = 1 · (2,−3, 7)− 2 · (5,−2, 5) + 3(2, 4, 0).

Propiedad 2.5.1 |A| = 0 ⇔ las filas (o columnas) de A son L.D.

O dicho de otro modo:

|A| 6= 0 ⇔ las filas (o columnas) de A son L.I.

Por ejemplo para comprobar si los vectores (1,-2,4) (0,2,-1) y (4 ,2,-1) son o no L.D.

podemos calcular el determinante

∣∣∣∣∣∣∣

1 −2 40 2 −14 2 −1

∣∣∣∣∣∣∣. Dado que el determinante es -24 concluimos

que dichos vectores son L.I.

2.6. Rango de una matriz

Se define el rango de una matriz como el número de filas (o columnas) L.I.

En una matriz el número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I.

Para simplificar el cálculo del rango de una matriz podemos utilizar determinantes. Así,el rango de una matriz es el máximo orden de sus menores no nulos.

IMPORTANTE: Si una matriz es m× n, como máximo su rango será el mínimo entren y m. Por ejemplo si es 5 × 3 sus posibles rangos serán 1, 2 o 3, pero no más ya que sólotiene 3 columnas.

15


MÉTODO PARA HALLAR EL RANGO DE UNA MATRIZ A PARTIR DESUS MENORES:

1. Buscamos un menor de orden 2 no nulo. Una vez encontrado ya sabemos que las dosfilas a las que pertenece son L.I.

2. Formamos todos los menores que incluyan al menor del paso anterior y todas los posibleselementos de una nueva fila. Si todos los nuevos menores son nulos dicha fila es L.D. yrealizamos lo mismo con otra fila.

3. Si encontramos algún menor de orden 3 no nulo, el rango sería de momento 3 y repeti-ríamos el proceso para orden 4 y posteriores.

Como mejor se entiende esto es con un ejemplo:

A =

1 −2 4 50 2 −1 21 0 3 7

Antes de empezar ya sabemos que como máximo el rango podrá ser 3. Buscamos un

menor de orden 2 no nulo. Por ejemplo

∣∣∣∣∣1 −20 2

∣∣∣∣∣ 6= 0, con lo cual ran(A) ≥ 2, ya que las

2 primeras filas son L.I. Veamos que pasa con la tercera fila. Incluyendo el menor anteriortenemos que comprobar los menores:

∣∣∣∣∣∣∣

1 −2 40 2 −11 0 3

∣∣∣∣∣∣∣= 0 y

∣∣∣∣∣∣∣

1 −2 50 2 21 0 7

∣∣∣∣∣∣∣= 0

Dado que nos han salido ambos nulos, concluimos que el rango es 2. Si alguno de elloshubiese sido no nulo el rango sería 3.

2.7. Ejercicios de determinantes

1. Halla el valor de los determinates:

A =

∣∣∣∣∣∣∣

2 7 01 5 −2−3 1 4

∣∣∣∣∣∣∣B =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 −3 13 1 1 04 0 3 15 2 −2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2. Halla el rango de las matrices:

A =

3 5 16 10 −21 0 14 5 0

B =

2 −1 0 00 0 2 −10 2 −1 02 0 −1 0

16

J.J. Noguera 2.7. EJERCICIOS DE DETERMINANTES

3. Halla el rango de las matrices según el valor del parámetro a:

A =

2 1 01 1 −23 1 a

B =

1 1 11 −a 11 1 a

4. Prueba sin desarrollar (utilizando sólo las propiedades de los determinates):∣∣∣∣∣∣∣

a+ b b+ c c+ ap+ q q + r r + px+ y y + z z + x

∣∣∣∣∣∣∣= 2

∣∣∣∣∣∣∣

a b cp q rx y z

∣∣∣∣∣∣∣

5. Resuelve las ecuaciones:

a)

∣∣∣∣∣1 + x 1− x1− x 1 + x

∣∣∣∣∣ = 12.

b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x 1 0 00 x 1 00 0 x 11 0 0 x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.

c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1x −1 3 2x2 1 9 4x3 −1 27 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.

6. Si A =

a b cd e fg h i

y |A| = 3, encuentra el valor del determinante de

a+ c c+ b 2bd+ f f + e 2eg + i i+ h 2h

.

7. Demuestra que |A−1| = 1|A| .

8. Dadas las matrices A y B de orden 4× 4 con |A| = 3 y |B| = 2, calcula:

a) |A−1|.b) |BtA|.c) |(AB−1)t|.

9. Calcula A−1:

a) A =

1 −1 10 1 12 0 4

b) A =

2 0 11 1 −43 7 −3

17


10. Dada A =

1 1 mm 0 −16 −1 0

:

a) Determina los valores de m para que A admita inversa.

b) Calcula A−1 para m = 3.

11. Dada A =

m −1 43 m 0−1 0 1

:

a) Determina para qué valores de m la matriz A es regular.

b) Calcula A−1 para m = 0.

12. Halla dos raices del polinomio de cuarto grado: P (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x 1 1 11 x x x3 3 x 33 3 3 x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

ALGUNAS SOLUCIONES:

5.c. Resuelve las ecuaciones:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1x −1 3 2x2 1 9 4x3 −1 27 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.

SOLUCIÓN: Aunque hay varias maneras de resolverlo, lo que parece más sencillo es irhaciendo 0’s en la segunda columna:∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1x −1 3 2x2 1 9 4x3 −1 27 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

F2=F2+F1→

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1x+ 1 0 4 3x2 1 9 4x3 −1 27 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

F3=F3−F1→

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1x+ 1 0 4 3x2 − 1 0 8 3x3 −1 27 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

F4=F4+F1→

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1x+ 1 0 4 3x2 − 1 0 8 3x3 + 1 0 28 9

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Desarrollamos por el elemento a12:∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1x+ 1 0 4 3x2 − 1 0 8 3x3 + 1 0 28 9

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 ·A12 = 1 · (−1)1+2 ·

∣∣∣∣∣∣∣

x+ 1 4 3x2 − 1 8 3x3 + 1 28 9

∣∣∣∣∣∣∣= −4 · 3

∣∣∣∣∣∣∣

x+ 1 1 1x2 − 1 2 1x3 + 1 7 3

∣∣∣∣∣∣∣

= −12(6(x+1)+x3+1+7(x2−2)−2(x3+1)−7(x+1)−3(x2−1)) = −12(−x3+4x2−x−6).

Debemos pues resolver −12(−x3 + 4x2 − x − 6) = 0, es decir −x3 + 4x2 − x − 6 = 0.Aplicando Rufinni se obtienen las soluciones x = −1; x = 2; x = 3.

18


6. Si A =

a b cd e fg h i

y |A| = 3, encuentra el valor del determinante de


.

SOLUCIÓN:

∣∣∣∣∣∣∣


∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣

a c+ b 2bd f + e 2eg i+ h 2h

∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣

c c+ b 2bf f + e 2ei i+ h 2h

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣

a c 2bd f 2eg i 2h

∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣

a b 2bd e 2eg h 2h

∣∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸

=0

+

∣∣∣∣∣∣∣

c c 2bf f 2ei i 2h

∣∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸

=0

+

∣∣∣∣∣∣∣

c b 2bf e 2ei h 2h

∣∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸

=0

= 2

∣∣∣∣∣∣∣

a c bd f eg i h

∣∣∣∣∣∣∣= −2

∣∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣∣= −2 · 3 = −6

7. Demuestra que |A−1| = 1|A| .

SOLUCIÓN: Por un lado sabemos que en general |A · B| = |A| · |B|. Por otro lado secumple que A−1 · A = I. Además, como |I| = 1:

|A−1A| = |A−1| · |A| = |I| = 1, luego |A−1| · |A| = 1, es decir |A−1| = 1|A| .

8. Dadas las matrices A y B de orden 4× 4 con |A| = 3 y |B| = 2, calcula:

1. |A−1|. SOLUCIÓN: |A−1| = 1|A| =

13

2. |BtA|. SOLUCIÓN: |BtA| = |Bt||A| = |B||A| = 2 · 3 = 6

3. |(AB−1)t|. SOLUCIÓN: |(AB−1)t| = |AB−1| = |A||B−1| = 3 1|B| =

32

9. Calcula A−1:

1. A =

1 −1 10 1 12 0 4

SOLUCIÓN: |A| = 0, con lo cual no tiene inversa.

2. A =

2 0 11 1 −43 7 −3

SOLUCIÓN: Dado que |A| = 54 la matriz tiene inversa.

Caculando los adjuntos: A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣∣1 −47 −3

∣∣∣∣∣ = 25, A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣∣1 −43 −3

∣∣∣∣∣ =

−9, A13 = (−1)1+3

∣∣∣∣∣1 13 7

∣∣∣∣∣ = 4, A21 = (−1)2+1

∣∣∣∣∣0 17 −3

∣∣∣∣∣ = 7, A22 = (−1)2+2

∣∣∣∣∣2 13 −3

∣∣∣∣∣ =

19


−9, A23 = (−1)2+3

∣∣∣∣∣2 03 7

∣∣∣∣∣−14, A31 = (−1)3+1

∣∣∣∣∣0 11 −4

∣∣∣∣∣ = −1, A32 = (−1)3+2

∣∣∣∣∣2 11 −4

∣∣∣∣∣ =

9, A33 = (−1)1+1

∣∣∣∣∣2 01 1

∣∣∣∣∣ = 2.

Por tanto A−1 = 154

25 7 −1−9 −9 94 −14 2

.

10. Dada A =

1 1 mm 0 −16 −1 0

:

1. Determina los valores de m para que A admita inversa.SOLUCIÓN: A admite inversa si su determinante es distinto de 0. Veamos:∣∣∣∣∣∣∣

1 1 mm 0 −16 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣= 0− 6−m2 − 0− 1− 0 = −m2 − 7.

Igualando a 0, obtenemos 0 = −m2−7 ⇒ m2 = −7 ⇒ m =√−7. Dado que

√−7

no existe, concluimos que A admite inversa para todo número real m.

2. Calcula A−1 para m = 3.SOLUCIÓN: Para m = 3 la matriz A es

1 1 33 0 −16 −1 0

Procediendo como en el ejercicio anterior:

A−1 = 116

1 3 16 18 −103 −7 3

.

11. Dada A =

m −1 43 m 0−1 0 1

:

1. Determina para qué valores de m la matriz A es regular.SOLUCIÓN: A es regular si |A| 6= 0. Calculemos pues el determinante:∣∣∣∣∣∣∣

m −1 43 m 0−1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣= m2 + 0 + 0− (−4m)− (−3)− 0 = m2 + 4m+ 3.

Resolviendo m2+4m+3 = 0, obtenemos x = −1 y x = −3. Por tanto A es regularsi x 6= −1,−3.

2. Calcula A−1 para m = 0.

20


SOLUCIÓN: Para m = 0 la matriz A es

0 −1 43 0 0−1 0 1

.

Procediendo como en el ejercicio anterior se obtiene A−1 =

0 1/3 0−1 4/3 40 1/3 1

.

12. Halla dos raices del polinomio de cuarto grado: P (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x 1 1 11 x x x3 3 x 33 3 3 x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

SOLUCIÓN: Al sustituir x = 1 o x = 3, vemos que el determinate será 0, por tenerdos filas iguales. Por tanto esas son dos raices del polinomio P (x).

21


22

Capítulo 3

RESOLUCÓN DE SISTEMAS

Definición 3.0.1 Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se expresa como:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

...... · · · ... =

...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

, (3.1)

donde

aij se denoniman coeficientes.

xi son las incógnitas.

bj son los términos independientes.

Definición 3.0.2 Una solución del sistema (3.1) consiste en una serie de n números quesustituidos en las incógnitas del sistema hagan que todas las igualdades sean ciertas.

Definición 3.0.3 Dos sistemas son equivalentes si tienen la misma solución.

Definición 3.0.4 Una transormación se dice equivalente si al aplicarla la solución del sis-tema no varía. Entre ellas podemos destacar:

Multiplicar (o dividir) una ecuación por un número distinto de 0.

Sumarle a una ecuación una combinación lineal de las restantes.

Eliminar una ecuación que sea combinación lineal de otras del sistema.

CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS:

S.I. , Sistema Incompatible: el sistema no tiene solución.

S.C.D. , Sistema Compatible Determinado: el sistema tiene una única solución.

S.C.I. , Sistema Compatible Indeterminado: el sistema tiene ∞ soluciones.

23

J.J. Noguera CAPÍTULO 3. RESOLUCÓN DE SISTEMAS

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA PARA SISTEMAS CON 3 INCÓGNITAS: Tenien-do en cuenta que cada ecuación de 3 incógnitas representa un plano en el espacio tridimen-sional:

S.I. : los tres planos no coinciden a la vez (o se cortan entre sí) en ningún punto.

S.C.D. : los tres planos se cortan a la vez en un único punto.

S.C.I. : los tres planos se cortan a la vez en una recta (es decir, en ∞ puntos) .

3.1. Método de Gauss

A partir de ahora nos centraremos en sistemas de 3 incógnitas.

3.1.1. Resolución de sistemas por Gauss

Consiste en aplicar transformaciones equivalentes (Definición 3.0.4) para transfomar elsistema (3.1) en uno escalonado, es decir:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1+ a22x2 + a23x3 = b2

+ a33x3 = b3

. (3.2)

Los sistemas escalonados son muy fáciles de resolver ya que x3 =b3a33

. Este valor se sustituyeen la segunda ecuación, y se obtiene x2 despejando. Finalmente sustituimos x2 y x3 en laprimera ecuación y despejamos x1.

Al realizar este proceso puede también ocurrir:

Hay una ecuación que se convierte en 0 = 0. Dicha ecuación puede eliminarse.

Una ecuación es C.L. de otras. Dicha ecuación puede eliminarse.

Hay más incógnitas que ecuaciones válidas ⇒ el sistema será S.C.I.

Hay alguna ecuación del tipo 0 = n con n un número distinto de 0 ⇒ el sistema seráS.I.

3.2. Discusión de sistemas dependientes de parámetrospor Gauss

Un sistema con parámetros es como (3.1) pero uno, algunos o todos los coeficientes noson números sino letras.

Discutir el sistema consiste es clasificar el sistema según los diferentes valores que puedetomar el parámetro.

(ver ejercicios de clase)

24

J.J. Noguera 3.3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

3.2.1. Forma matricial del método de Gauss

Se basa en expresar el sistema en forma de matriz, evitando tener que escribir las incóg-nitas. Es decir, (3.1) se expresaría:

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...

... · · · . . . ...am1 am2 · · · amn bm

. (3.3)

3.2.2. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

Consiste en aplicar la misma idea del método de Gauss (ir haciendo ceros) aplicando lastransformaciones equivalentes. Al final del proceso, el menor número de filas o columnas nonulas será el rango.

Este método puede ser algo tedioso, ya que no siempre es sencillo saber por dónde conti-nuar en cada paso, así que es más recomendable el método visto en DETERMINANTES.

3.3. Resolución de sistemas mediante determinantes

Para sistemas grandes (por ejemplo con 100 incógnitas) este método no es viable ya quecalcular determinantes es muy costoso, incluso para un ordenador. Pero para sistemas con 3incógnitas, resolverlo por determinates generealmente es más sencillo que mediante Gauss.

Dado que en las PAU sólo saldrán sistemas de 3 incógnitas es preferible resolverlo mediantedeterminates, a menos que el enunciado pida hacerlo por Gauss.

3.3.1. Forma matricial de un sistema de ecuaciones

El sistema (3.1) puede expresarse de forma matricial de la siguiente manera:

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... . . . ...am1 am2 · · · amn

·

x1

x2...xn

=

b1b2...bn

, (3.4)

es decir A ·X = B, donde:

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... . . . ...am1 am2 · · · amn

, X =

x1

x2...xn

, B =

b1b2...bn

. (3.5)

3.3.2. Teorema de Rouché

Dado el sistema (3.1) llamamos:

25


MATRIZ DE COEFICIENTES, A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... . . . ...am1 am2 · · · amn

.

MATRIZ AMPLIADA, A′ =

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...

... · · · . . . ...am1 am2 · · · amn bm

.

Teorema 3.3.1 (De Rouché) El sistema (3.1) tiene solución ⇔ ran(A) = ran(A′).

3.3.3. Regla de Cramer

Vamos a enunciarlo para sistemas de tres ecuaciones, pero sería válido para n ecuaciones.Dado el sistema:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

,

si la matriz de coeficientes tiene determinante no nulo, |A| 6= 0, entonces el sistemaes S.C.D. y su solución es:

x =

∣∣∣∣∣∣∣

b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣|A| y =

∣∣∣∣∣∣∣

a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣∣|A| z =

∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣∣|A| .

SISTEMAS CUALQUIERA: En ocasiones el sitema inicial tendrá m ecuaciones yn incógnitas. Lo que se debe de hacer es:

Si ran(A) 6= ran(A′) el sistema es S.I.

Si ran(A) = ran(A′) = n el sistema es S.C.D.

Si ran(A) = ran(A′) = r < n el sistema es S.C.I. Se debe buscar una submatriz conrango r. Todas las incógnitas (con sus coeficientes) que no pertenezcan a esa submatrizse pasan al miembro derecho y se cambian las incógnitas por parámetros (λ, α, β, . . .).Las filas que no estén en la submatriz se eliminan. Una vez hecho esto se resuelve porCramer. (VER EJEMPLOS DE CLASE)

3.3.4. Sistemas homogéneos

Un sistema homogéneo es aquél que tiene todos los términos independientes nulos:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0

...... . . . ... =

...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0

. (3.6)

26

J.J. Noguera 3.4. MATRIZ INVERSA

Discutir un sistema de este tipo es sencillo ya que:

Si ran(A) = ran(A′) = n, el sistema es S.C.D. y su solución es x1 = x2 = . . . = xn = 0.

Si ran(A) = ran(A′) < n, el sistema es S.C.I.

OJO, el caso S.I. nunca se da, ya que siempre tiene al menos la solución x1 = x2 =. . . = xn = 0.

3.3.5. Discusión de sistemas mediante determinantes

Si sólo nos piden discutir, siempre aplicamos:

Si ran(A) 6= ran(A′) el sistema es S.I.

Si ran(A) = ran(A′) = número de incógnitas el sistema es S.C.D. y se aplica la reglade Cramer.

Si ran(A) = ran(A′) = r < número de incógnitas el sistema es S.C.I.

Y vemos los diferentes casos que se dan según los parámetros.

Si a parte también nos piden resolverlo, para cada caso concreto del parámetro lo resol-vemos por la regla de Cramer.

3.4. Matriz inversa

Definición 3.4.1 Sea una matriz A de dimensión n×n. Se denomina matriz inversa a otramatriz A−1 de dimensión n× n tal que:

A · A−1 = A−1 · A = In

Definición 3.4.2 Si una matriz tiene inversa se dice que es regular.

Propiedad 3.4.1 Una matrix cuadrada A es regular ⇔ |A| 6= 0.

3.4.1. Cálculo mediante determinantes

Sea la matriz:

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.

Si A cumple que |A| 6= 0 (es regular) su inversa puede calcularse como sigue:

A−1 =1

|A|(adj(A)) =1

|A|

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

t

=1

|A|

A11 A21 A31

A12 A22 A32

A13 A23 A33

,

donde Aij es el adjunto del elemento aij.

27


3.4.2. Cálculo mediante Gauss

Si queremos calcular la matriz inversa de A, n×n, podemos crear la matriz (A|In). Vamosaplicando transformaciones a la matriz A hasta conseguir la In. Si aplicamos una a una lasmismas transformaciones a la parte derecha de (A|In) cuando tengamos la identidad en ellado izquierdo, en el lado derecho estará la inversa de A.

Es mejor olvidarse de este método y aplicar el anterior.

3.4.3. Resolución de sistemas mediante matriz inversa

Dado el sistema (3.1) con n = m lo pasamos a su forma matricial, es decir (3.4). Si lamatriz de coeficientes, A cumple que |A| 6= 0 la solución de dicho sistema es X = A−1 ·B:

x1

x2...xn

= A−1 ·

b1b2...bn

. (3.7)

3.5. Ejercicios de sistemas

1. Resuelve por el método de Gauss:

a)2x + 5y + 5z = 11x − 5y + 6z = 29x + y + z = 2

b)3x − 2y + z = 7−x + 3y + 5z = −3x + 4y + 11z = 1

[Solu: a) S.C.D.: x = 1, y = −2, z = 3 ; b) S.C.I.: x = −13−2λ7

, y = −2−16λ7

, z = λ, λ ∈ R]

2. Discute y resuelve por el método de Gauss:

a)x + y + z = 1x + 2y + 3z = 33x + 4y + az = a

b)2x + y − z = 1x − 2y + z = 35x + 5y + 2z = m

[Solu: a) Si a 6= 5 S.C.D: x = 0, y = 0, z = 1. Si a = 5 S.C.I. x = λ− 1, y = 2− 2λ, z =λ, λ ∈ R b) Si m = 10 S.C.I. x = 1 + λ, y = −1 + 3λ, z = 5λ, λ ∈ R; Si m 6= 10 S.I.]

3. Resuelve los problemas:

28

J.J. Noguera 3.5. EJERCICIOS DE SISTEMAS

a) A, B y C son tres amigos. A le dice a B: "si te doy la tercera parte de mi dinero,los tres tendremos la misma cantidad.Çalcula lo que tiene cada uno si entre lostres tienen 60e.

b) Un almacenista dispone de tres tipos de café: el A, de 9,80 e/kg; el B, de 8,75e/kg, y el C, de 9,50 e/kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de 10,5 kga 9,40 e/kg. £Cuántos kilos de cada tipo debe mezclar si tiene que poner del tipoC el doble de lo que ponga del A y del B?

c) Halla un número de tres cifras sabiendo que éstas suman 9; que si al número dadose le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198, yque la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos.

d) Dos amigos invierten 20 000e cada uno. El primero coloca una cantidad A al 4 %de interés; una cantidad B, al 5 %, y el resto, al 6 %, ganando 1 050e de intereses.El otro invierte la misma cantidad A al 5 %; la B, al 6 %, y el resto, al 4 %, ganando950e. Determina las cantidades A, B y C.

e) Para fabricar collares con 50, 75 y 85 perlas, se utilizan en total 17 500 perlas y 240cierres. £Cuántos collares de cada tamaño se han de fabricar si se desean tantoscollares de tamaño mediano como la media aritmética del número de collaresgrandes y pequeños?. Sin la condición anterior, £es posible fabricar el mismonúmero de collares de cada tamaño?

[Solu: a) A 30e, B 10e, C 20e. b) 1,5 kg de A, 2 kg de B y 7 kg de C. c) 432. d) A = 5000e; B = 5 000 e; C = 10 000e. e) Se fabricarán 60 collares pequeños, 80 medianosy 100 grandes. Como 250

36= 80, no es posible fabricar el mismo número de collares de

cada tamaño.]

4. Resuelve por Cramer:

a)x + 2y + z = 9x − y − z = −102x − y + z = 5

b)x + 2y + z = 32x − y + z = −13x + y + 2z = 2

c)−x + 2y − z = 12x − 4y + 2z = 3x + y + z = 2

[Solu: a) S.C.D.: x = 1, y = 1, z = 8 b) S.C.I.: x = 1−3λ5

, y = 7−λ5, z = λ, λ ∈ R. c) S.I.]

5. Discute utilizando el Teorema de Rouché e interprétalos geométricamente.

a)2x + 3y − 5z = −16x − y = 1x + αy − z = 0

29


b)x + ay + 3z = 2x + y − = 12x + 3y + az = 3

[Solu: a) Si α 6= 0 S.C.D. Los tres planos se cortan en un punto. Si α = 0 S.I. Losplanos se cortan dos a dos, pero no se cortan simultaneamente en ningún punto. b) Sia 6= 2 y a 6= −3 S.C.D. Los planos se cortan simultáneamente en un punto. Si a = 2S.C.I.: Los planos se cortan en una recta. Si a = −3 S.I. Los planos se cortan dos a dospero no simultáneamente.]

6. Discute y resuelve utilizando el teorema de Rouché y la regla de Cramer.

a)x + y + z = 03x + 2y + az = 52x + y + z = 3

b)2x − 3y + z = 0x − ky − 3z = 05x + 2y − z = 0

c)x − y + z = mmx + 2y − z = 3m2x + my − 2z = 6

[Solu: a) Si a = 2 S.I. Si a 6= 2 S.C.D.: x = 3a−6a−2

, y = 4−3aa−2

, z = 2a−2

b) Si k 6= −8

S.C.D.: x = y = z = 0. Si x = −8 S.C.D. x = λ19, y = 7λ

19, z = λ, λ ∈ R c) Si

m 6= 3ym 6= −2 S.C.D.: x = 4m+2m+2

, y = 2(m−1)m+2

, z = m − 2. Si m = 3 S.I. Si m = −2

S.C.I.: x = 3− 15λ, y = 4

5λ, z = λ, λ ∈ R]

7. Expresa matricialmete y resuelve utiliando la inversa:

−x − y + 2z = 42x + y − 2z = −3x + y + z = 2

[Solu: x = 1, y = −1, z = 2]

30

Capítulo 4

VECTORES EN EL ESPACIO

4.1. Definiciones, nomenclatura y propiedades

Podemos definir un vector como un segmento orientado sobre una recta. Si tiene origenA y extremo B, el vector viene definido por (ver Figura 12.5):

Módulo : distancia de A a B. Se denota por |−→AB|.

Dirección : recta (y todas sus paralelas) sobre las que están A y B.

Sentido : de A a B.

Dos vectores son iguales si tienen igual módulo, dirección y sentido.También denotamos los vectores como ~u,~v, . . .

Figura 4.1: Definición de vector.

4.1.1. Producto de un vector por un número

El producto de un número k 6= 0 por un vector ~v es otro vector k~v con :

Módulo : |k~v| = |k||~v|.

Dirección : La misma que ~v.

Sentido : Igual que ~v si k es positivo y el contrario a ~v si k es negativo.

El producto 0~v es el vector ~0. Su módulo es 0 y no tiene dirección ni sentido.El vector −1~v se designa por −~v y se llama opuesto de ~v.

31

J.J. Noguera CAPÍTULO 4. VECTORES EN EL ESPACIO

4.1.2. Suma y resta de vectores

El vector ~u+~v es un vector con origen el mismo que ~u y extremo el que surge al situar ~va continuación de ~u.

El vector ~u− ~v se obtiene al sumar al ~u el opuesto de ~v. Ver Figura 4.2.

Figura 4.2: Suma y resta de vectores.

4.1.3. Vector unitario

Los vectores unitarios son los de módulo 1.Para obtener un vector unitario en la misma dirección y sentido de ~u: ~u

|~u| . Si queremosque el sentido sea el contrario: −~u

|~u| .

4.1.4. Propiedades de las operaciones con vectores

Si ~u,~v son vectores y a, b son escalares:

SUMA

Asociativa : (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w).

Conmutativa : ~u+ ~v = ~v + ~u.

Elemento neutro : ~u+~0 = ~u.

Elemento opuesto : ~u+ (−~u) = ~0.

PRODUCTO DE NÚMEROS POR VECTORES

Asociativa : a · (b · ~v) = (a · b) · ~v.

Distributiva I (a+ b) · ~v = a · ~v + b · ~v.

Distributiva II a · (~v + ~w) = (a · ~v) + a · ~w.

Elemento identidad 1 · ~v = ~v.

4.1.5. Combinación lineal de vectores

Dados los vectores ~x1, ~x2, . . . , ~xn y los números a1, a2, . . . , an llamamos combinación lineal(C.L.) de los vectores a la expresión a1~x1 + a2~x2 + . . .+ an~xn.

32

J.J. Noguera 4.1. DEFINICIONES, NOMENCLATURA Y PROPIEDADES

4.1.6. Dependencia e independencia lineal

Un conjunto de vectores es L.D. si alguno de ellos se puede poner como C.L. de los demas.Si eso no es posible, es entonces L.I.

4.1.7. Base

Tres vectores linealmente independientes forman una BASE del espacio tridimensional.Si los tres vectores de una base son perpendiculares entre sí, la base se denomina orto-

gonal. Si además son de módulo 1 la base es ortonormal.

EJEMPLO: Si no se dice lo contrario siempre se utiliza la base canónica (que es ortonor-mal):

B((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

)= (~i,~j,~k).

4.1.8. Coordenadas de un vetor respecto de una base

Dada una base, B(~x, ~y, ~z), cualquier vector puede ponerse de forma única como C.L. delos elementos de la base:

~v = a~x+ b~y + c~z.

A los números a, b, c se los denomina coordenadas de ~v respecto de la base B (ver Figu-ra 12.2).

Para abreviar normalmente se expresa el vector como ~v = (a, b, c) o ~v(a, b, c).

Figura 4.3: Coordenadas de un vector respecto de una base.

EJEMPLO 1: En la base canónica las coordenadas del vector son las propias componentesdel vector. De ahí una de sus ventajas:

(3,−5, 8) = 3(1, 0, 0) + (−5)(0, 1, 0) + 8(0, 0, 1) = 3~i− 5~j + 8~k.

EJEMPLO 2: ~x = (2, 0, 3), ~y = (5,−1, 0), ~z = (0, 2, 1) son L.I. y por tanto forman unabase. Si queremos conocer las coordenadas de ~w = (−4, 4, 10) respecto de la base B(~x, ~y, ~z),debemos resolver el sistema ~w = a~x+ b~y + c~z, es decir:

(−4, 4, 10) = a(2, 0, 3) + b(5,−1, 0) + c(0, 2, 1),

obteniendo a = 3, b = −2, c = 1, con lo cual las coordenadas de ~w = (−4, 4, 10) en la base Bson (3,−2, 1).

A PARTIR DE AHORA TODO SE EXPRESARÁ EN LA BASE CANÓNICA

33


4.1.9. Operaciones con coordenadas

Si ~u(x1, y1, z1) y ~v = (x2, y2, z2):

SUMA: ~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, ).

PRODUCTO POR UN NÚMERO: k~u = (kx1, ky1, kz1).

EJEMPLO: Si ~u(1, 0,−3) y ~v(−2, 5, 4),

2~u− 3~v = 2(1, 0,−3)− 3(−2, 5, 4) = (2, 0,−6) + (6,−15,−12) = (8,−15,−18).

4.2. Producto escalar

Definición 4.2.1 El producto escalar de dos vectores ~u y ~v es el escalar (o número):

~u • ~v = |~u||~v|cos(~u, ~v),

donde ~u, ~v es el ángulo que forman los dos vectores. Además:

Si ~u, ~v es agudo, cos(~u, ~v) > 0 ⇒ ~u • ~v es positivo.

Si ~u, ~v es obtuso, cos(~u, ~v) < 0 ⇒ ~u • ~v es negativo.

Propiedad 4.2.1 El producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y solo si son pe-pendiculares, es decir:

~u 6= ~0 y ~v 6= ~0 ; ~u • ~v ⇐⇒ ~u⊥~v.

PROPIEDADESSi ~u,~v son dos vectores y a es un escalar, se cumple:

Conmutativa : ~u • ~v = ~v • ~u.

Asociativa : a(~u • ~v) = (a~u) • ~v = ~u • (a · ~v).

Distributiva : ~u • (~(v) +~(w)) = ~u • ~v + ~u • ~w.

EXPRESIÓN ANALÍTICA EN UNA BASE ORTONORMALSi las coordenadas de ~u y ~v respecto de una base ortonormal son ~u(x1, y1, z1) y ~v(x2, y2, z2),

entonces:~u • ~v = x1x2 + y1y2 + z1z2.

EJEMPLO: (2,−3, 5) • (−3, 7, 0) = 2 · (−3) + (−3) · 7 + 5 · 0 = −27.

34

J.J. Noguera 4.2. PRODUCTO ESCALAR

4.2.1. Resumen de las aplicaciones del producto escalar

Si tenemos los vectores ~u(x1, y1, z1) y ~v(x2, y2, z2) expresados en una base ortonormal:

Producto escalar de dos vectores

~u • ~v = |~u||~v|cos(~u, ~v) = x1x2 + y1y2 + z1z2.

Módulo de un vector

|~u| =√~u • ~u =

√x21 + y21 + z21 .

Ángulo de dos vectores

cos(~u, ~v) =~u • ~v|~u||~v| =

x1x2 + y1y2 + z1z2√x21 + y21 + z21 ·

√x22 + y22 + z22

.

Proyección de un vector ~u sobre otro ~v (Ver Figura 4.4)

Segmento proyeccion =~u • ~v|~v| =

x1x2 + y1y2 + z1z2√x22 + y22 + z22

.

Vector proyeccion =~u • ~v|~v| ~v =

x1x2 + y1y2 + z1z2√x22 + y22 + z22

(x2, y2, z2).

Criterio de perpendicularidad

~u 6= ~0 y ~v 6= ~0 ; ~u • ~v ⇐⇒ ~u⊥~v.

Figura 4.4: Proyección de ~v sobre ~u.

35


4.3. Producto vectorial

Definición 4.3.1 El producto vectorial de dos vectores ~u y ~v es un nuevo vector ~u×~v definidocomo sigue:

Si ~u y ~v son L.I., ~u× ~v es un vector que tiene:

• Módulo: ~u× ~v = |~u||~v|sen(~u, ~v).• Dirección: perpendicular a ~u y a ~v.

• Sentido: es el sentido que seguiría un sacacorchos si lo movemos desde ~u hacia ~v

por el camino más corto (ver Figura 4.5). O dicho de otro modo , si (~u, ~v) < 180o

hacia ”arriba” y si (~u, ~v) > 180o hacia ”abajo” (tomamos el ángulo en sentidopositivo, es decir contrario al movimiento de las agujas del reloj).

Si ~u y ~v son L.D., ~u× ~v = 0 (ya que el seno del ángulo que forman es 0).

Figura 4.5: IZQUIERDA: regla del sacacorchos. DERECHA: el área del paralelogramo de-terminado por ~u y ~v es |~v|senα = |~u× ~v|

4.3.1. Propiedades

Expresión analítica de ~u× ~v. Si ~u(x1, y1, z1) y ~v(x2, y2, z2):

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kx1 y1 z1x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣y1 z1y2 z2

∣∣∣∣∣~i−

∣∣∣∣∣x1 z1x2 z2

∣∣∣∣∣~j +

∣∣∣∣∣x1 y1x2 y2

∣∣∣∣∣~k

=

∣∣∣∣∣y1 z1y2 z2

∣∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣∣x1 z1x2 z2

∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣x1 y1x2 y2

∣∣∣∣∣

.

El área del paralelogramo definido por los vectores ~u y ~v es |~u× ~v| (ver Figura 4.5).

~u× ~v = −~v × ~u.

~u× ~u = 0.

Para obtener un vector perpendicular a otros dos no alineados debemos calcular elproducto vectorial entre ellos.

36

J.J. Noguera 4.4. PRODUCTO MIXTO

Propiedades de las operaciones. Si ~u, ~v, ~w son vectores y a un escalar (o número):

• No cumple la asociativa (~u× ~v)× ~w 6= ~u× (~v × ~w).

• a(~u× ~v) = (a~u)× ~v = ~u× (a~v).

• Distributiva respecto a la suma: ~u× (~v + ~w) = ~u× ~v + ~u× ~w.

4.4. Producto mixto

Definición 4.4.1 El producto mixto de los vectores ~u, ~v y ~w es

[~u,~v, ~w] = ~u(~v × ~w).

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Figura 4.6: Paralelepípedo definido por tres vectores.

Los tres vectores definen un paralelepípedo (ver Figura 4.6). El módulo del productomixto representa el volumen de dicho paralelepípedo, ya que:

[~u,~v, ~w] = ~u(~v × ~w) = |~u||~v × ~w|cos( ~u,~v × ~w)

= |~v × ~w|︸︷︷︸(∗)

(|~u|cos( ~u,~v × ~w))︸︷︷︸(∗∗)

= VOLUMEN PARALELEPIPEDO

(*) Área de la base del paralelepípedo.(**) Altura del paralelepípedo.

EXPRESIÓN ANALÍTICASi ~u(x1, y1, z1) , ~v(x2, y2, z2) y ~w(x3, y3, z3):

[~u,~v, ~w] =

∣∣∣∣∣∣∣

x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣∣

Nota 4.4.1 Para calcular el volumen del paralelepípedo definido por tres vectores, siempredebemos tomar el módulo, es decir |[~u,~v, ~w]|.

37


38

Capítulo 5

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

5.1. Sistema de referencia en el espacio

Un sistema de referencia en el espacio es un conjunto R = {O, (~i,~j,~k)} donde:

O es un punto fijo que se denomina origen.

(~i,~j,~k) es una base del espacio.

A cada punto P del espacio de le asocia el vector−→OP . Dicho vector tendrá unas coorde-

nadas respecto de la base:−→OP (a, b, c). Conociendo O y sumándole el vector

−→OP obtenemos el

punto P (ver la figura 12.2). A partir de ahora diremos que el punto P es P (a, b, c), cuandoen realidad lo que estamos dando son las coordenadas del vector

−→OP (a, b, c).

5.2. Aplicaciones de los vectores a problemas geométricos

5.2.1. Coordenas del vector que une dos puntos

Si tenemos dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2), las coordenadas del vector que va deA a B son (ver Figura 5.1):

−→AB(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

Figura 5.1: Si A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2), entonces ~AB(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

39

J.J. Noguera CAPÍTULO 5. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

5.2.2. Comprobar que tres puntos están sobre la misma recta

Si tenemos los puntos A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3) y queremos comprobar siestán alineados, es decir, si estan sobre la misma recta, debemos comprobar si

−→AB tiene la

misma dirección que−−→BC. Dado que

−→AB(x2−x1, y2−y1, z2−z1),

−→AB(x3−x2, y3−y2, z3−z2),

para comprobar que tienen la misma dirección tenemos que ver si son proporcionales, es decir(ver Figura 5.2):

x2 − x1

x3 − x2

=y2 − y1y3 − y2

=z2 − z1z3 − z2

Figura 5.2: Para que 3 puntos estén alineados debemos poder trazar una recta que los una.

5.2.3. Punto medio de un segmento

Si tenemos dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2), las coordenadas del punto medio Mdel segmento que los une es:

M

(x1 + x2

2,y1 + y2

2,z1 + z2

2

)

5.2.4. Simétrico de un punto respecto a otro

Para hallar el simétrico A′(xs, ys, zs) de un punto A(x1, y1, z1) respecto a otro B(x2, y2, z2),simplemente debemos darnos cuenta que B será el punto medio del segmento

−−→AA′, es decir

M−−→AA′

(x1 + xs

2,y1 + ys

2,z1 + zs

2

)= B(x2, y2, z2),

con lo cual A′(xs, ys, zs) = (2x2 − x1, 2y2 − y1, 2z2 − z1).

5.3. Ecuaciones de la recta

Una recta vendrá determinada por un punto P que pertenezca a ella y un vector director~d, ver Figura 5.3.

5.3.1. Ecuación vectorial

−−→OX = ~p+ λ~d,

40

J.J. Noguera 5.3. ECUACIONES DE LA RECTA

Figura 5.3: Recta en el espacio.

donde ~p es el vector de un punto P cualquiera de la recta, ~d es un vector director de la recta,y λ ∈ R.

La expresión anterior significa que podemos alcanzar cualquier punto de la recta X su-mándole a P el vector λ~d.

5.3.2. Ecuaciones paramétricas

Si en la ecuación vectorial sustituimos los vectores por coordenadas, obtenemos:

(x, y, z) = (p1, p2, p3) + λ(d1, d2, d3),

es decir:

r :

x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

5.3.3. Ecuación en forma continua

Despejando λ de las ecuaciones paramétricas e igualando, obtenemos la ecuación en formacontinua:

x− p1d1

=x− p2d2

=x− p3d3

.

Observar que los denominadores son el vector director de la recta.

5.3.4. Ecuación en forma implícita

Dado que la ecuación ax + by + cz + d = 0 representa un plano en el espacio, se puedeexpresar una recta como el corte entre dos planos:

r :

{ax+ by + cz + d = 0a′x+ b′y + c′z + d′ = 0

41


5.4. Posiciones relativas de dos rectas

5.4.1. Mediante vectores directores

Supongamos que tenemos la recta r y r′ y que de cada una de ellas conocemos un punto,y un vector director:

r :

{P (p1, p2, p3)~d(d1, d2, d3)

,

r′ :

{P ′(p′1, p

′2, p

′3)

~d′(d′1, d′2, d

′3)

,

Figura 5.4: Posiciones de dos rectas en el espacio.

Para conocer su posición relativa (Figura 5.4):

Si d ‖ d′ (es decir, son proporcionales), debemos ver si son o no la misma recta:

• Si P ∈ r′ −→ son coincidentes.

• Si P 6∈ r′ −→ son paralelas.

Si d 6‖ d′ (es decir, no son proporcionales), debemos ver si se cortan o se cruzan. Paraello vemos si los vectores ~d, ~d′ y

−−→PP ′ son coplanarios (L.D.) o no (L.I.):

• Si

∣∣∣∣∣∣∣

d1 d′1 p1 − p′1d2 d′2 p2 − p′2d3 d′3 p3 − p′3

∣∣∣∣∣∣∣= 0 son L.D. y por tanto se cortan.

42

J.J. Noguera 5.5. ECUACIONES DEL PLANO

• Si

∣∣∣∣∣∣∣

d1 d′1 p1 − p′1d2 d′2 p2 − p′2d3 d′3 p3 − p′3

∣∣∣∣∣∣∣6= 0 son L.I. y por tanto se cruzan.

5.4.2. Mediante rangos

Lo mismo se puede traducir a rangos mediante el esquema de la Figura 5.5:

Figura 5.5: Posiciones entre dos rectas mediante rangos.

5.5. Ecuaciones del plano

Un plano en el espacio viene definido por un punto del plano, P , y por dos vectores delplano no paralelos, ~u y ~v. Ver Figura 5.6.

Figura 5.6: Plano en el espacio.

43


5.5.1. Ecuacion vectorial

π :−−→OX = ~p+ λ~u+ µ~v,

donde ~p es el vector posicion de un punto P del plano (−→OP = ~p), y ~u,~v son dos vectores del

plano L.I.

5.5.2. Ecuaciones paramétricas

Al igual que la recta, si sustituimos en la ecuacion vectorial los vectores por sus coorde-nadas, obtenemos:

(x, y, z) = (p1, p2, p3) + λ(u1, u2, u3) + µ(v1, v2, v3),

es decir:

π :

x = p1 + λu1 + µv1y = p2 + λu2 + µv2z = p3 + λu3 + µv3

5.5.3. Ecuación implícita

Al eliminar los parámetros en las ecuaciones paramétricas obtenemos la ecuación implícita:

π : ax+ by + cz + d = 0.

Para eliminar los parámetros, la foma más eficaz es mediante la ecuación:

π :

∣∣∣∣∣∣∣

u1 v1 x− p1u2 v2 y − p2u3 v3 z − p3

∣∣∣∣∣∣∣= 0

El porqué puede hacerse así es porque lo que queremos resolver es el sistema:

u1λ+ v1µ = x− p1u2λ+ v2µ = y − p2u3λ+ v3µ = z − p3

El sistema tiene tres ecuaciones y dos incógnitas (λ y µ). Para que tenga solución debe serindeterminado, és decir que el rango de la amplida sea 0, y de ahí el igualar el determinatea 0.

5.5.4. Ecuación del plano conociendo un punto y un vector normal

Si conocemos un punto del plano P (p1, p2, p3) y un vector normal (o perpendicular uortogonal) al plano ~n(a, b, c) la ecuación de dicho plano es (ver Figura 5.7):

a(x− p1) + b(y − p2) + c(z − p3) = 0.

44

J.J. Noguera 5.6. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS

Figura 5.7: Vector normal a un plano

El porqué esto es así es porque si X es un punto del plano,−−→PX está en el plano,

es decir es perpendicular a ~n y por tanto si hacemos el producto escalar es 0, es decir:~n · −−→PX = 0 −→ (a, b, c)(x− p1, y − p2, z − p3) = 0 −→ a(x− p1) + b(y − p2) + c(z − p3) = 0.

IMPORTANTE: el recíproco es también cierto, es decir, el vector (a, b, c) es un vectornormal al plano π : ax+ by + cz + d = 0

5.6. Posición relativa de dos planos

Hay 3 posibilidades, ver Figura 5.8. Si tenemos los planos:

π : ax+ by + cz + d = 0,

π′ : a′x+ b′y + c′z + d′ = 0,

podemos estudiar la posición de los vectores normales ~n(a, b, c) y ~n′(a, b, c):

~n ‖ ~n′ (es decir, son proporcionales): hay dos posibilidades, o son el mismo plano o sonparalelos:

• Si (a, b, c, d) es proporcional a (a′, b′, c′, d′), −→ son el mismo plano.

• Si (a, b, c, d) no es proporcional a (a′, b′, c′, d′) −→ son papalelos.

~n 6‖ ~n′ (es decir, no son proporcionales) −→ se cortan en una recta (también se dicensecantes).

También se puede hacer por rangos tal como vimos en el tema de sistemas.

5.7. Posición relativa de recta y plano

Dada la recta

r :

{P (p1, p2, p3)~d(d1, d2, d3)

,

y el planoπ : ax+ by + cz + d = 0,

45


Figura 5.8: Posiciones de dos planos.

tenemos tres posibilidades (ver Figura 5.9). Lo más sencillo es estudiar el vector normal alplano ~n(a, c, b) y el vector director de la recta:

Si ~n 6⊥ ~d (~n • ~d 6= 0) −→ se cortan en un punto.

Si ~n ⊥ ~d (~n • ~d = 0) −→ hay dos posibilidades:

• Si P ∈ π −→ la recta está incluida en el plano.

• Si P 6∈ π −→ la recta es paralela al plano.

Figura 5.9: Posiciones de recta y plano.

5.8. Ejercicios puntos-rectas-planos

1. Comprueba si los puntos A(1,−2, 1), B(2, 3, 0) y C(−1, 0,−4) están alineados.

2. Calcula a y b para que los puntos A(1, 2,−1), B(3, 0,−2) y C(4, a, b) estén alineados.

3. Halla los puntos P y Q tales que ~AQ = 35~AB y ~AP = 2

3~AQ, siendo A(2, 0, 1) y

B(7, 5,−4).

4. Halla el simétrico del punto A(−2, 3, 0) respecto del punto M(1,−1, 2).

5. Halla los diferentes tipos de ecuaciones de la recta que pasa por A(1,−5, 7) y tienecomo vector director ~d(2,−2, 5).

6. Halla los diferentes tipos de ecuaciones de la recta que pasa por A(1,−5, 7) y B(2,−2, 5).

46

J.J. Noguera 5.8. EJERCICIOS PUNTOS-RECTAS-PLANOS

7. Comprueba si el punto P (2,−5, 7) pertenece a la recta del ejercicio anterior.

8. Escribe las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes coordenados.

9. Dada la recta r :

{2x− y + z = 47x− 3y + 2z = 5

, halla las ecuaciones paramétricas.

10. Dadas las rectas r : x−13

= y+22

= z−14

y s : x+2−1

= y−32

= z−23

, estudia su posiciónrelativa.

11. Dadas las rectas r : x−1−1

= y−12

= z−21

y s : x−44

= y−41

= z−52

, estudia su posiciónrelativa.

12. Dadas las rectas r : x2= y − 1 = z+1

3y s :

{x− 2y − 1 = 03y − z = −1

, estudia su posición

relativa.

13. Dadas las rectas r : x−54

= y−31

= z−1

y s : xm

= y−13

= z+3n

, halla m y n para que lasrectas sean paralelas.

14. Halla la ecuación paramétrica e implícita del plano determinado por el punto P (1, 2,−1)y los vectores ~u(1, 0,−3) y ~v(2, 1, 5).

15. Halla la ecuación paramétrica e implícita del plano que contiene los puntos A(1, 2,−1), B(1, 0,−3) y C(2, 1, 5).

16. Halla la ecuación paramétrica e implícita del plano que contiene el punto A(1, 2,−1) ysu vector normal es ~n(2, 1, 5).

17. Halla la ecuación paramétrica e implícita del plano que contiene el punto A(1, 2,−1) yes ortogonal a la recta s : x+2

−1= y−3

2= z−2

3.

18. Halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de los planos OXY , OY Z y OXZ.

19. Halla la posición relativa de los planos π1 : x−3y+4z−11 = 0 y π2 : 4x−12y+16z+40 =0.

20. Halla m y n para que los planos π1 : mx + y − 3z − 1 = 0 y π2 : 2x + ny − z − 3 = 0sean paralelos.

21. Estudia la posición relativa de la recta s : x−23

= y+13

= z−1

y el plano π : 2x−y+3z−8 =0.

22. £Son coplanarios los puntos A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(2, 1, 0), D(−1, 2, 1)? En caso afir-mativo, escribe la ecuación del plano que los contiene.

23. Estudia la posición relativa de los tres planos π1 : x+2y−z−3 = 0, π2 : 3y+2z−1 = 0y π3 : x+ y + z − 2 = 0.

24. Halla la ecuación del plano que determinan el punto A(1, 0, 1) y la recta r :

{x+ y − z + 1 = 02x− y + 2z = 0

47


48

Capítulo 6

PROBLEMAS MÉTRICOS

6.1. Ángulos entre rectas y planos

Sólo necesitamos recordar la definición de ángulo entre dos vectores utilizando el productoescalar. Así pues, si tenemos dos rectas, r y r′ con vectores directores ~d y ~d′ respectivamentey tenemos dos planos, π y π′, con vectores normales n y n′ respectivamente:

Ángulo α entre dos rectas: cosα =|~d • ~d′||~d||~d′|

Ángulo α entre dos planos: cosα =|~n • ~n′||~n||~n′|

Angulo α entre recta y plano: cos(90o − α) =|~d • ~n||~d||~n|

(Ver Figura 6.1)

En todos los casos tomamos α como el ángulo menor que formen las rectas y/o planos (poresta razón tomamos módulos en el numerador).

Figura 6.1: Ángulo β entre la recta r y el plano π.

49

J.J. Noguera CAPÍTULO 6. PROBLEMAS MÉTRICOS

6.2. Distancias entre puntos, rectas y planos

6.2.1. Entre dos puntos

Como ya sabemos, la distancia entre los puntos P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) es:

dist(P1, P2) = |−−→P1P2| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

6.2.2. Distancias de un punto a una recta

Hallar la distancia de un punto P a una recta r equivale a hallar la distancia entre elpunto P y su proyección ortogonal P ′ sobre la recta, es decir:

dist(P, r) = dist(P, P ′) .

La manera más sencilla de hallar dicha distancia es haciendo uso del método del productovectorial:

dist(P, r) =|−→RP × ~d|

|~d|,

donde R es un punto de r y ~d es el vector director de r.La explicación de la fórmula es la siguiente. La distancia buscada coincide con la altura

del paralelogramo formado por−→RP y ~d. Dado que Area = base·altura, |−→RP× ~d| = |~d|·altura.

Por tanto altura = dist(P, r) = |−→RP×~d||~d| .

Hay otras formas de hallar esa distancia. Por ejemplo:

Método constructivo: En primer lugar se halla el plano π perpendicular a r que pasapor P . P ′ es la intersección de dicho plano y la recta, P ′ = π ∩ r, y de ahí calculamosdist(P, r) = dist(P, P ′).

Método del punto genérico: Tomamos un punto cualquiera de la recta definidomediante las ecuaciones paramétricas de r. El punto P ′ coincidirá con R cuando

−→PR

sea ortogonal a r, es decir cuando−→PR • ~d = 0 (siendo ~d el vector director de la recta).

De ahí hallamos P ′ con lo que dist(P, r) = dist(P, P ′).

6.2.3. Distancia de un punto a un plano

La distancia del punto P (x0, y0, z0) al plano π : ax+ by + cz + d = 0 es

dist(P, π) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2

Hay otras formas de calcular dicha distancia, por ejemplo calculando la proyección orto-gonal P ′ del punto P sobre el plano. Con lo que dist(P, π) = dist(P, P ′). Para hallar dichoP ′:

Se halla la recta r perpendicular a π que pase por P .

P ′ = π ∩ r.

50

J.J. Noguera 6.2. DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

6.2.4. Distancia de una recta a un plano

Si la recta corta al plano o está contenida en él la distancia es 0. En caso contrario larecta es paralela al plano, y por tanto sólo tenemos que tomar un punto cualquera de la rectaP y calcular su distancia al plano con la fórmula del apartado anterior:

Si r ‖ π y P ∈ r → dist(r, π) = dist(P, π)

6.2.5. Distancia entre dos planos

Al igual que antes, si se cortan la distancia es 0. En caso contrario son paralelos y seprocede como antes pero tomando un punto cualquiera de uno de los dos planos y calculandola distancia de dicho punto al otro plano:

Si π ‖ π′ y P ∈ π → dist(π, π′) = dist(P, π′)

6.2.6. Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas r y s depende de su posición relativa:

Si las rectas se cortan, la distancia es cero.

Si las rectas son paralelas, la distancia se halla tomando un punto cualquiera de una ycalculando la distancia de ese punto a la otra recta.

Si las rectas se cruzan, la distancia es la existente entre el plano paralelo a r que contienea s y el plano paralelo a s que contiene a r. Ver la Figura 6.2.

Figura 6.2: Distancia entre dos rectas que se cruzan.

En el último caso, lo más sencillo para hallar la distancia entre dos rectas es utilizar elmétodo del producto mixto. La distancia entre las rectas r y s viene dada por la fórmula(Ver Figura 6.3):

dist(r, s) =

∣∣∣∣[~dr, ~ds,

−→PQ]∣∣∣∣

∣∣∣~dr × ~ds

∣∣∣,

donde:

~dr es el vector director de r.

51


~ds es el vector director de s.

P es un punto de r.

Q es un punto de s.

Figura 6.3: Método del producto mixto para hallar la distancia entre dos rectas.

Como en otros apartados hay otros métodos como:

Método del plano paralelo: Se halla el plano π paralelo a s que contiene a r. Conesto: dist(r, s) = dist(s, π).

Método del vector variable: Tomamos un punto R genérico de r que vendrá expre-sado por las ecuaciones paramétricas de r. De igual forma tomamos un punto genérico S

de s (expresado en un parámetro distinto al de R). Formamos el vector−→RS. Resolvemos

el sistema:

−→RS • ~ds = 0−→RS • ~dr = 0

para que−→RS sea perpendicular a ambas rectas a la vez. Al resolverlo, obtenemos dos

valores concretos de los parámetros que al sustituirlos en R y S se obtienen los puntosR0 y S0 para los cuales

−−−→R0S0 es perpendicular a s y a r. Finalmente:

dist(r, s) = dist(R0, S0).

6.3. Medidas de áreas y volúmenes

Como ya sabemos del tema anterior, si tenemos los vectores ~u, ~v y ~w:

Área del paralelogramo determinado por ~u y ~v: A = |~u× ~v|.

Área del triángulo determinado por ~u y ~v: A = 12|~u× ~v|.

Volumen del paralelepípedo determinado por ~u, ~v y ~w: V =∣∣[~u,~v, ~w]

∣∣.

Volumen del tetraedro determinado por ~u, ~v y ~w: V = 16

∣∣[~u,~v, ~w]∣∣.

52

J.J. Noguera 6.4. LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO

Si el ejercicio viene dado en forma de puntos, sólo tenemos que formar los vectores necesariosy aplicar las fórmulas. Por ejemplo el volumen del paralelepípedo determinado por los puntos

A, B, C y D, es∣∣∣∣[−→AB,

−→AC,

−−→AD]∣∣∣∣. Además cualquier otra elección es igualmente válida.

6.4. Lugares geométricos en el espacio

Aunque no es muy probable que salga algún ejercicio sobre esto en las PAU, algunos delos lugares geométricos más importantes son:

PLANO MEDIADOR DE UN SEGMENTO: Es el plano perpendicular a un segmen-to que pasa por su punto medio. Si A y B son los extremos del segmento, el planomediador, es el lugar geométrico de puntos que equidistan de los extremos del segmen-to, es decir: dist(X,A) = dist(X,B) .

PLANO BISECTOR A UN ÁNGULO DIEDRO: Es el plano que divide al ángulodiedro en dos iguales (Ángulo diedro: está definido por dos semiplanos con una aristaen común). Si π y π′ son los planos que forman el ángulo diedro, el plano bisector es elque equidista de ellos: dist(X, π) = dist(X, π′) .

ESFERA: Es el lugar geométrico de puntos del espacio que están a una distancia r del centrode la esfera, C. Si X = (x, y, z) y C = (x0, y0, z0) los puntos X de la esfera deben cumplirque |−−→XC| = 0, es decir, dist(X,C) = r, esto es,

√(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r,

i.e., (x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = r2 .

ELIPSOIDE: Lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F yF ′ es constante, i.e., dist(X,F ) + dist(X,F ′) = c .

HIPERBOLOIDE: Lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos puntosfijos, F y F ′ es constante, i.e., dist(X,F )− dist(X,F ′) = c .

PARABOLOIDE: Lugar geométrico de puntos que equidistan de un punto fijo, F , y deun plano fijo, π, i.e. , dist(X,F ) = dist(X, π) .

53


54

Capítulo 7

LÍMITES Y CONTINUIDAD

7.1. Notaciones

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B de manera que a cadaelemento de A le corresponde un único elemento de B.

A partir de ahora trabajaremos con números reales, con lo cual A ⊂ R o bien A = R.Igualmente B ⊂ R o bien B = R.

Las funciones se representan de la siguiente manera:

f : R −→ R

x −→ y = f(x)

donde

x se denomina variable independiente.

y es la variable dependiente.

Recordar que dos funciones pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. Ademáspueden componerse:

Rf→ R

g→ R

Rg◦f→ R

Ejemplo 7.1.1 Si f(x) = 3x+ 2 y g(x) = x+32x+1

, entonces

(f ◦ g)(x) = f [g(x)] = f

(x+ 3

2x+ 1

)= 3

(x+ 3

2x+ 1

)+ 2 =

7x+ 11

2x+ 1.

7.2. Límite de una función

7.2.1. Límite finito

Para hacernos una idea, se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es l cuandof(x) se acerca a l a medida que x aumenta. Esto se expresa como:

lımx→+∞

f(x) = l.

Propiedades de límites finitos:

55

J.J. Noguera CAPÍTULO 7. LÍMITES Y CONTINUIDAD

1. lımx→+∞

[f(x) + g(x)] = lımx→+∞

f(x) + lımx→+∞

g(x)

2. lımx→+∞

[f(x)− g(x)] = lımx→+∞

f(x)− lımx→+∞

(x)

3. lımx→+∞

[f(x) · g(x)] = lımx→+∞

f(x) · lımx→+∞

g(x)

4. Si lımx→+∞

g(x) 6= 0, lımx→+∞

[f(x)g(x)

]=

lımx→+∞

f(x)

lımx→+∞

g(x)

5. Si f(x) > 0, lımx→+∞

[f(x)g(x)

]=

[lım

x→+∞f(x)

] lımx→+∞

g(x)

6. Si n es impar o (n es impar y f(x) ≥ 0), lımx→+∞

n

√f(x) = n

√lım

x→+∞f(x)

7. Si α > 0 y f(x) > 0, lımx→+∞

[logαf(x)] = logα

[lım

x→+∞f(x)

]

7.2.2. Límites infinitos

Decimos que el límite de una función cuando x tiende a infinito es +∞ si f(x) aumentaa medida que aumenta x. Esto se expresa como:

lımx→+∞

f(x) = +∞

Análogamente lımx→+∞

f(x) = −∞ cuando f(x) disminuye a medida que x aumenta.

Es fácil adivinar ahora lo que significan

lımx→−∞

f(x) = l, lımx→−∞

f(x) = +∞, lımx→−∞

f(x) = −∞,

para cuando x tiende a −∞.

Nota 7.2.1 Siempre podemos transformar un límite a −∞ a +∞ de la siguiente manera:

lımx→−∞

f(x) = lımx→+∞

f(−x)

Ejemplo 7.2.1

lımx→−∞

2x2 − 5x = lımx→+∞

2(−x)2 − 5(−x) = lımx→+∞

2x2 + 5x.

7.2.3. Límites en un punto

Mediante la expresión lımx→a−

f(x) denotamos el límite lateral por la izquierda de a, que

significa a lo que tiende la función cuando nos acercamos a f(x) por la izquierda de a.Tenemos diferentes opciones:

lımx→a−

f(x) = +∞

lımx→a−

f(x) = −∞

56

J.J. Noguera 7.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO

lımx→a+

f(x) = +∞

lımx→a+

f(x) = −∞

lımx→a−

f(x) = l

lımx→a+

f(x) = l

Límite finito en un puntoDecimos que el límite finito en un punto a es l si existen ambos límites laterales por la

izquierda y por la derecha de a y además son l, es decir:

lımx→a

f(x) = l ⇔ lımx→a−

f(x) = l = lımx→a+

f(x)

7.2.4. Cálculo de límites�

�

�

�MIRAR EL ESQUEMA PARA CALCULAR LÍMITES.

7.3. Continuidad en un punto

Definición 7.3.1 Se dice que la función f(x) es continua en el punto a si se cumple quelımx→a

f(x) = f(a).

IMPORTANTE: La definición anterior implica 3 condiciones:

1. La función está definida en a, i.e., ∃f(a).

2. Existe y es finito el límite lımx→a

f(x).

3. lımx→a

f(x) = f(a).

Si no se cumple alguno de los puntos anteriores la función es discontinua. Hay varios tiposde discontinuidad como vemos en el siguiente punto.

7.3.1. Tipos de discontinuidad

EVITABLE: Existe el límite en el punto, es decir lımx→a−

f(x) = l = lımx→a+

f(x), pero no

es igual a f(a) o bien f(a) no existe. Ver Figura 7.1.

INEVITABLE: (o no evitable o esencial) Cuando no existe límite en el punto. A la vezse clasifica en:

• DE PRIMERA ESPECIE (Figura 7.2):

◦ DE SALTO FINITO: Hay límite y es finito tanto por la izquierda como porla derecha, pero no coinciden, es decir lım

x→a−f(x) 6= lım

x→a+f(x).

◦ DE SALTO INFINITO: Uno de los límites laterales es infinito y el otro finito.◦ ASINTÓTICA: Ambos límites laterales son infinitos (positivos o negativos).

57


Figura 7.1: DISCONTINUIDAD EVITABLE: Izquierda: No esta definida la función en elpunto. Derecha: La función esta definida en el punto, pero no coincide con el limite en dichopunto.

Figura 7.2: DISCONTINUIDAD DE PRIMERA ESPECIE: Izquierda: de salto finito. Centro:de salto infinito. Derecha: asintótica.

Figura 7.3: DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA ESPECIE.

• DE SEGUNDA ESPECIE (Figura 7.3): No existe uno de los límites laterales

Nota 7.3.1 Si nos piden estudiar la continuidad de una función debemos estudiar:

Puntos donde se anule el denominador

En funciones que lleven módulo, conviene expresarla por partes para eliminar el módulo.

58

J.J. Noguera 7.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Si la función está definida por partes estudiar los extremos de los intervalos de defini-ción.

7.3.2. Teoremas de continuidad

Teorema 7.3.1 (De Bolzano) Si f(x) es continua en [a, b] y además f(a) ·f(b) < 0 (signof(a) 6= signo f(b)) ⇒ ∃c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0. (Figura 7.4).

Teorema 7.3.2 (De los valores intermedios (Darboux)) Si f(x) es continua en [a, b]⇒ f(x) toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b). (Figura 7.4).

Teorema 7.3.3 (De Weierstrass) Si f(x) es continua en [a, b] ⇒ f(x) tiene un máximoy un mínimo absolutos en [a, b]. (Figura 7.4).

Figura 7.4: Teoremas de continuidad. Izquierda: Bolzano. Centro: Darboux. Derecha: Weiers-trass.

59


60

Capítulo 8

DERIVADAS

8.1. Tasa de Variacion Media

Definición 8.1.1 Llamamos tasa de variación media de la función f(x) en x0 al cocienteincremental:

∆f

h=

f(x0 + h)− f(x0)

h.

Gráficamente es la pendiente de la recta que pasa por(x0, f(x0)

)y(x0 + h, f(x0 + h)

).

(Ver Figura 8.1).

8.2. Derivada

Definición 8.2.1 La derivada de f en x0 de define como el límite (siempre que exista y seafinito):

f ′(x) = lımh→0

∆f

h= lım

h→0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

Geométricamente f ′(x0) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) enel punto de abcisa x0. (Ver Figura 8.1).

Figura 8.1: Izquierda: Tasa de Variación Media. Derecha: Derivada.

61

J.J. Noguera CAPÍTULO 8. DERIVADAS

8.2.1. Derivadas laterales

Definición 8.2.2 Se define la derivada por la izquierda de f en x0:

f ′(x−0 ) = lım

h→0−

∆f

h= lım

h→0−

f(x0 + h)− f(x0)

h.

Definición 8.2.3 Se define la derivada por la derecha de f en x0:

f ′(x+0 ) = lım

h→0+

∆f

h= lım

h→0+

f(x0 + h)− f(x0)

h.

Para que una función sea derivable en un punto x0 debe cumplirse que existan ambasderivadas laterales y que coincidan, es decir:

f ′(x−0 ) = f ′(x+

0 ) = f ′(x0). (8.1)

En caso que la función sea continua en un punto pero las derivadas laterales no coincidanse dice que el punto es anguloso. Ver Figura 8.2.

Figura 8.2: En los puntos m y n la función no es derivable. n se llama punto anguloso.

8.2.2. Derivabilidad y continuidad

Propiedad 8.2.1 Si f(x) es derivable en x0 ⇒ f(x) es continua en x0.

El reciproco no es cierto, es decir:

Propiedad 8.2.2 Si f(x) es continua en x0 6⇒ f(x) es derivable en x0.

Pero lo que sí es cierto es:

Propiedad 8.2.3 Si f(x) NO ES continua en x0 ⇒ f(x) NO ES derivable en x0.

62

J.J. Noguera 8.2. DERIVADA

8.2.3. Función derivada

Definición 8.2.4 Si una función, f , es derivable en todos los puntos de un intervalo I, lafunción

f ′ : I −→ R

x −→ y = f ′(x)

se llama función derivada de f .

Análogamente si f ′ es derivable, su funcion derivada es f ′′ (derivada segunda) y así suce-sivamente podemos definir f ′′′, f IV ,... Otra forma de denotar las derivadas sucesivas es Df ,D2f , D3f ,...

8.2.4. Reglas de derivacion

Para evitar calcular los limites cada vez que tengamos que derivar, podemos aprendernoslos resultados de dichos límites, dando lugar a las tablas de derivación.�

�

�

�VER TABLA DE DERIVACIÓN

8.2.5. Derivabilidad de una función definida a trozos

Para estudiar la derivabilidad de una función definida a trozos, procedemos como sigue:Supongamos que los trozos vienen definidos por:

f(x) =

{f1(x), x ≤ x0

f2(x), x > x0

f(x) es derivable en x0 si cumple dos condiciones:

1. f es continua en x0. (Definición 7.3.1).

2. f es derivable en x0. (Ver (8.1)).

8.2.6. Derivada de la función inversa

Definición 8.2.5 La función inversa de f es otra función f−1 tal que (f−1 ◦ f)(x) = (f ◦f−1)(x) = x, i.e., = f−1(f(x)) = f(f−1)(x) = x.

Para obtener la derivada de la función inversa de f , conociendo f ′, podemos utillizar elresultado:

(f−1)′(x) =1

f ′[f−1(x)].

8.2.7. Derivada de una función implícita

Se aplica a funciones donde la y no está despejada. Lo veremos con un ejemplo. Si que-remos derivar 2y3 + y2x+ x3 = 0 podemos hacer:

2 · 3y2y′ + 2yy′x+ y2 + 3x2 = 0 → (6y2 + 2yx)y′ = −y2 − 3x2 → y′ =−y2 − 3x2

6y2 + 2yx.

63

J.J. Noguera CAPÍTULO 8. DERIVADAS

8.2.8. Derivación logarítmica

Se aplica para cuando las bases y los exponentes son funciones y no podemos aplicarninguna regla que conozcamos.

Por ejemplo para f(x) = xx podemos tomar logaritmos a ambos lados:

lnf(x) = lnxx → lnf(x) = xlnx → f ′(x)

f(x)= lnx+x

1

x→ f ′(x) = f(x)(lnx+1) = xnlnx+xn.

8.2.9. Diferencial de una función.

Sea f(x) una función derivable. El diferencial de una función correspondiente al incre-mento h de la variable independiente, es el producto f ′(x) · h. Se representa por dy.

Geométricamente la diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada dela tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente. Dicho incrementoes distinto de ∆y, aunque dy puede considerarse como una buena aproximación a ∆y (paravalodes pequeños de dx = ∆x. Ver la Figura 8.3.

Por ejemplo si f(x) = 3x5 + 2x+ 3, entonces dy = df(x) = (15x4 + 2)dx.

Figura 8.3: Diferencial de una función, dy.

64

Capítulo 9

APLICACIONES DE LA DERIVADA

9.1. Recta tangente y normal a la gráfica de una funciónen un punto

Propiedad 9.1.1 Si f(x) es derivable en x0, la ecuación de la recta tangente a la gráficade y = f(x) en x0 es:

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0).

Propiedad 9.1.2 Si f(x) es derivable en x0, la ecuación de la recta normal a la gráficade y = f(x) en x0 es:

y = f(x0)−1

f ′(x0)(x− x0).

9.2. Información a partir de la primera derivada

Definición 9.2.1 Se dice que f es creciente en x0 si existe un entorno del punto x0, (x0 −a, x0 + a), tal que:

Si x0 − a < x < x0 ⇒ f(x) < f(x0)

Si x0 < x < x0 + a ⇒ f(x0) < f(x)

Definición 9.2.2 Se dice que f es decreciente en x0 si existe un entorno del punto x0,(x0 − a, x0 + a), tal que:

Si x0 − a < x < x0 ⇒ f(x) > f(x0)

Si x0 < x < x0 + a ⇒ f(x0) > f(x)

Propiedad 9.2.1 Se cumple:

Si f(x) derivable y creciente en x0 ⇒ f ′(x) ≥ 0.

Si f(x) derivable y decreciente en x0 ⇒ f ′(x) ≤ 0.

Teorema 9.2.1 (CRITERIO CRECIMIENTO-DECRECIMIENTO) .

65

J.J. Noguera CAPÍTULO 9. APLICACIONES DE LA DERIVADA

f ′(x0) > 0 ⇒ f es creciente en x0.

f ′(x0) < 0 ⇒ f es decreciente en x0.

Así pues si nos piden estudiar el crecimiento-decrecimiento de una función (que es lomismo que nos pidan estudiar la monotonía) debemos hacer (ver Figura 9.1):

1. Hallar los puntos en los que la derivada de la función se anula. Esto se hace resolviendola equación f ′(x) = 0. Las soluciones de esa ecuación serán x0, x1, x2, . . .

2. Para el primer intervalo, tomar un punto interior, por ejemplo un a tal que −∞ < a <x0 y lo sustituimos en la derivada de la función:

Si f ′(a) > 0 ⇒ la función f(x) es creciente en (−∞, x0).

Si f ′(a) < 0 ⇒ la función f(x) es decreciente en (−∞, x0).

3. Repetir el paso anterior para el resto de intervalos.

Figura 9.1: Crecimiento-decrecimiento según el signo de la derivada.

9.2.1. Máximos y mínimos relativos

Intuitivamente f tiene un máximo relativo en x0 si en los puntos cercanos a x0 se cumpleque f(x) < f(x0). Dicho de forma más rigurosa:

Definición 9.2.3 Se dice que la función f tiene un máximo relativo en x0 si existe unnúmero ε, tal que si x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), entonces f(x) < f(x0)

Análogamente para mínimo:

Definición 9.2.4 Se dice que la función f tiene un mínimo relativo en x0 si existe un númeroε, tal que si x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), entonces f(x) > f(x0)

Teorema 9.2.2 (Condición necesaria de máximo o mínimo relativo) Si f(x) es de-rivable en x0 y tiene un máximo o mínimo relativo en x0, entonces f ′(x0) = 0

66

J.J. Noguera 9.2. INFORMACIÓN A PARTIR DE LA PRIMERA DERIVADA

IMPORTANTE: el recíproco del anterior teorema NO ES CIERTO.

REGLA PRÁCTICA PARA IDENTIFICAR EXTREMOS RELATIVOS:Supongamos que nos piden encontrar los máximos y mínimos de una función (ver figu-

ra 9.2):

1. Resolvemos la ecuación f ′(x) = 0. Obtenemos las soluciones x0, x1, x2, . . . que serán losposibles máximos o mínimos.

2. Para el primer posible máximo o mínimo, x0, estudiamos el signo de f ′ a la izquierday a la derecha. Para ello se coge un valor que esté antes de x0, otro que esté después (sin sobrepasar x1) y se sustituye en f ′(x) para ver el signo. Entonces:

Si f ′ > 0 a la izquierda de x0 y f ′ < 0 a la derecha de x0, la función pasa decreciente a decreciente y por tanto hay un MÁXIMO en x0.

Si f ′ < 0 a la izquierda de x0 y f ′ > 0 a la derecha de x0, la función pasa dedecreciente a creciente y por tanto hay un MÍNIMO en x0.

Si f ′ no cambia de signo a izquierda y derecha de x0, entonces hay un PUNTODE INFLEXIÓN en x0.

3. Repetimos el punto anterior con x1, x2, . . .

Figura 9.2: Máximo y mínimo.

Decimos que un máximo (mínimo) relativo es absoluto en un intervalo si el valor de lafunción en dicho punto es mayor (menor) que el valor de la función en cualquier otro puntode dicho intervalo (ver Figura 9.3). O dicho de forma más rigurosa:

Definición 9.2.5 Decimos que f tiene un máximo absoluto en [a, b] si f(x0) > f(x) paratodo x ∈ [a, b].

Definición 9.2.6 Decimos que f tiene un mínimo absoluto en [a, b] si f(x0) < f(x) paratodo x ∈ [a, b].

IMPORTANTE: Si nos piden hallar los máximos o mínimos absolutos de una fun-ción en un intervalo debemos hallar los máximos o mínimos relativos y debemos incluir losextremos del intervalo como posibles máximos o mínimos absolutos. El máximo o mínimoabsoluto se hallará comparando los valores de la función en dichos puntos (los máximos omínimos relativos más los extremos del intervalo). Esto hay que aplicarlo en problemas deoptimización.

67


Figura 9.3: Máximos y mínimos relativos y absolutos.

9.3. Información a partir de la segunda derivada

Mediante la segunda derivada podremos estudiar la curvatura (concavidad y convexidad)de una función. La Figura 9.4 muestra lo que entendemos por función cóncava o convexa. Ladefinición matemática es como sigue:

Definición 9.3.1 Denotemos y = t(x) a la recta tangente a la curva y = f(x) en x0.Entonces:

Si en las cercanías de x0, f(x) > t(x) entonces la curva es CÓNCAVA en x0.

Si en las cercanías de x0, f(x) < t(x) entonces la curva es CONVEXA en x0.

En otro caso (la curva no está siempre a un lado de la tangente) x0 es un PUNTO DEINFLEXIÓN.

Figura 9.4: Concavidad-convexidad.

Teorema 9.3.1 Curvatura y segunda derivada Si f tiene segunda derivada en x0, se cumpleque:

68

J.J. Noguera 9.4. REGLA DE L’HÔPITAL

f es cóncava en x0 ⇒ f ′ es creciente en x0 ⇒ f ′′(x0) ≥ 0.

f es convexa en x0 ⇒ f ′ es decreciente en x0 ⇒ f ′′(x0) ≤ 0.

f tiene un punto de inflexión en x0 ⇒ f ′′(x0) = 0.

REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR LA CURVATURA

1. Resolvemos la ecuación f ′′(x) = 0, obteniendo x0, x1, x2, . . .

2. Tomamos un punto del primer intervalo que obtenemos, es decir un a ∈ (−∞, x0):

Si f ′′(a) > 0 ⇒ f es cóncava en (−∞, x0).Si f ′′(a) < 0 ⇒ f es convexa en (−∞, x0).

3. Repetimos el paso anterior para los siguientes intervalos.

REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR LOS PUNTOS DE INFLEXIÓNHay dos posibilidades:

x0 será un punto de inflexión si f ′′(x0) = 0 y la función pasa de cóncava a convexa oviceversa.

x0 será un punto de inflexión si f ′′(x0) = 0 y f ′′′(x0) 6= 0

APLICACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA HALLAR MÁXIMOSY MÍNIMOS

Tenemos otra opción para hallar máximos y mínimos. Si f ′(x0) = 0 y existe f ′′(x0),entonces:

f ′′(x0) > 0 ⇒ f tiene un mínimo relativo en x0

f ′′(x0) < 0 ⇒ f tiene un máximo relativo en x0

9.4. Regla de l’Hôpital

La regla de l’Hôpital permite hallar límites para indeterminaciones de fracciones,(00

)o(∞

∞), mediante el proceso de derivar a la vez numerador y denominador:

Teorema 9.4.1 (Regla de l’Hôpital) 1Si lım

x→a

f(x)g(x)

(donde a puede ser un número o +∞ o −∞) es una indeterminación del tipo(00

)o(

±∞±∞

)entonces:

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f ′(x)

g′(x)

Nota 9.4.1 Respecto a la regal de l’Hôpital:

1. El teorema puede aplicarse repetidamente, es decir lımx→a

f(x)g(x)

= lımx→a

f ′(x)g′(x)

= lımx→a

f ′′(x)g′′(x)

= . . .

2. En algunos casos de límites tipo ∞ − ∞ o (1)∞ el teorema puede también aplicarse

transformándo previamente los límites a tipo(00

)o(

±∞±∞

)

69


9.5. Teoremas de derivabilidad

Teorema 9.5.1 (De Rolle) Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y se cumple quef(a) = f(b), entonces existe algún punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Teorema 9.5.2 (De Cauchy o del valor medio) Si f es continua en [a, b] y derivable en(a, b), entonces existe algún punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = f(b)−f(a)

b−a.

Figura 9.5: Teorema de Rolle (izquierda) y de Cauchy o de los valor medio (derecha).

Nota 9.5.1 Algunas de las aplicaciones del teorema del valor medio son:Suponiendo que f es continua en [a, b] y derivable en (a, b):

Si f ′(x) = 0 en todos los puntos de (a, b) ⇒ f es constante en (a, b).

Si f ′(x) > 0 en todos los puntos de (a, b) ⇒ f es creciente en (a, b).

9.6. Representación de funciones�

�

�

�VER EL ESQUEMA PARA REPRESENTAR FUNCIONES

70

Capítulo 10

CÁLCULO DE PRIMITIVAS

10.1. Definiciones

Definición 10.1.1 (Primitiva) F (x) una primitiva de f(x) si F ′(x) = f(x). Esto se ex-presa como sigue: ∫

f(x)dx = F (x),

y se lee la integral indefinida ( o simplemente integral) de f(x) es F (x).

Nota 10.1.1 Observar que una función tiene infinitas primitivas, ya que si F (x) es primitivade f(x), entonces F (x) + k (siendo k una constante) también es primitiva de f(x), ya queal derivar la constante desaparece. Así pues, al integrar siempre añadimos una constante:

∫f(x)dx = F (x) + k.

Propiedad 10.1.1 (Linealidad) Se cumple que:∫ [

af(x) + bg(x)]dx = a

∫f(x)dx+ b

∫g(x)dx.

10.2. Integrales Inmediatas�

�

�

�VER TABLA DE INTEGRALES

10.3. Casos que podemos transformar a inmediatasP (x)Q(x)

con grado de numerador mayor o igual que el denominador: SE DIVIDE.

EJEMPLO:∫

3x3−3x2+5x+2x−2

dx

Dado que DividendoDivisor

= cociente+ RestoDivisor

, entonces∫

3x3−3x2+5x+2x−2

dx =∫(3x2 + 3x+ 11 + 24

x−2)dx = x3 − 3x2

2+ 11x+ 24ln|x− 2|+ k.

(Recordar que si divido por x ± a puedo aplicar Ruffini. En caso contrario se debedividir ”normal”).

71

J.J. Noguera CAPÍTULO 10. CÁLCULO DE PRIMITIVAS

Integrales que pueden transformarse en arctg

EJEMPLO:∫

14+5x2dx. Observamos que no podemos aplicar directamente la fórmula

de la arctg pero se le parece bastante y podemos ”arreglar” las cosas para conseguiraplicar la fórmula:

∫1

4 + 5x2dx =

∫ 14

44+ 5x2

4

dx =1

4

∫1

1 +(√

5x2

)2dx

=1

4

2√5

∫ √52

1 +(√

5x2

)2dx =1

2√5arctg

(√5x

2

)+ k.

Integrales que pueden transformarse en arcsen

EJEMPLO:∫

1√4−5x2

dx

∫1√

4− 5x2dx =

∫ 12√

44− 5x2

4

dx =1

2

∫1√

1−(√

5x2

)2dx

=1

2

2√5

∫ √52√

1−(√

5x2

)2dx =1√5arcsen

(√5x

2

)+ k.

Integrales con senx, cosx ... Hay mucha variedad de casos. Se utilizan diferentes fór-mulas trigonométricas. Vamos a ver dos ejemplos habituales:

EJEMPLO 1:∫cos2xdx

Sabiendo que

1 = sen2x+ cos2x (10.1)cos2x = cos2x− sen2x (10.2)

Sumando (10.1) + (10.2), obtenemos cos2 x = 1+cos2x2

(De igual manera puede compro-barse que sen2 x = 1−cos2x

2pero en este caso restamos (10.1) - (10.2) ):

∫cos2xdx =

∫1 + cos2x

2dx =

∫1

2dx+

1

2

∫cos2xdx =

x

2+

1

4sin2x+ k.

EJEMPLO 2:∫sen3xdx

Se utiliza (10.1):

∫sen3 dx =

∫senx · sen2x dx =

∫senx(1− cos2x)dx

=

∫senx dx+

∫senx · cos2x dx = −cosx− cos3x

3+ k.

72

J.J. Noguera 10.4. INTEGRACIÓN POR PARTES

10.4. Integración POR PARTES

Se puede aplicar esta técnica cuando tengamos un producto de dos funciones:∫

u · dv = u · v −∫

v · du

Para recordar esta fórmula hay varias reglas mnemotécticas:

Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme

Sentado Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme

Susana Un Día Vio Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme

...

La idea es elegir una u que al derivarla no se complique más, y una dv que sea fácil deintegrar. Para hacer esta elección puede ser útil otra regla, ALPES. La u que debemos elegirviene dada por el siguiente orden:

A : arcsen, arccos, arctg, etc.

L : logaritmo

P : polinomio (o cociente de polinomios)

E : exponencial

S : sen, cos, tg, etc.

Esto funciona en la mayoría de casos. Pero otra opción es probar aleatoriamente y sivemos que la integral se complica más cambimos nuestra elección y volvemos a empezar.

EJEMPLO 1:∫xexdx

Observamos que no es inmediata, pero sí es el producto de dos funciones, x (polinomio)y ex (exponencial). Según la regla ALPES, la que debemos elegir como u es la x. Entonces:

∫xexdx =

u = x

derivando−→ du = dx

dv = exdxintegrando−→ v = ex

= x · ex −

∫exdx = xex − ex + k = (x− 1)ex + k.

EJEMPLO 2:∫arctg x dx

∫arctg x dx =

[u = arctg x → du = 1

1+x2dx

dv = dx → v = x

]

= arctg x · x−∫

x1

1 + x2dx = x arctg x− 1

2ln|1 + x2|+ k.

EJEMPLO 3:∫x2cos x dx

73


∫x2cos xdx =

[u = x2 → du = 2xdx

dv = cos xdx → v = sen x

]= x2sen x−

∫sen x · 2xdx

= x2sen x−[

u = 2x → du = 2dxdv = sen xdx → v = −cosx

]

= x2sen x−(2x(−cos x)−

∫(−cos x)2dx

)

= x2sen x− (2x(−cos x) + 2sen x) + k

= x2sen x+ 2xcos x− 2senx+ k.

EJEMPLO 4:∫excos x dx

∫excos xdx =

[u = ex → du = exdx

dv = cos xdx → v = sen x

]= exsen x−

∫sen x · exdx

= exsen x−[

u = ex → du = exdxdv = sen xdx → v = −cos x

]

= exsen x+ excosx−∫

cos x exdx

Observamos que obtenemos de nuevo la integral inicial. Aunque no lo parezca, son buenasnoticias, ya que llamando a I =

∫excos xdx, tenemos que:

I = exsen x+ excos x− I

I + I = exsen x+ excos x

2I = exsen x+ excos x

I =exsen x+ excos x

2

Con lo que∫excos x = ex(sen x+cos x)

2+ k

10.5. Integración por cambio de variable (o por sustitu-ción)

Se basa en cambiar la variable para que quede algo más sencillo. Se usa sobre todo paracuando hay radicales, donde ya hay unos cambios preestablecidos. Pero en selectivo no sepide conocer todos estos cambios, así que haremos sólo un ejemplo:∫

x√(x+ 1)dx

Haciendo el cambio x+ 1 = t2, tenemos que x = t2 − 1 .Si derivamos ambos lados: dx = 2t dt.Por tanto:

74

J.J. Noguera10.6. INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES

∫x√(x+ 1)dx =

∫(t2−1)t2t dt =

∫2t4−2t2 dt =

2t5

5−2t3

3=︸︷︷︸

t=√x+1

2√(x+ 1)5

5−2√

(x+ 1)3

3+K.

10.6. Integración por descomposición en fracciones sim-ples

Este método se aplica cuando debemos resolver la integral∫

P (x)Q(x)

dx donde P (x) y Q(x)son polinomios. Antes de empezar debemos comprobar:

grado(P (x)) < grado(Q(x)), ya que de lo contrario se divide P (x) entre Q(x).

P ′(x) 6= Q(x), ya que de lo contrario es inmediata (es logarítmica)

Q(x) puede factorizarse, es decir, tiene por lo menos una raíz real.

Además sabemos que hay un acuerdo para que en las PAU sólo salga como muchogrado(Q(x))=3 y en este último caso Q(x) debe tener una raíz entera.

Veamos un ejemplo de cada caso que podemos encontrarnos al factorizar el denominador:

10.6.1. Sólo hay raíces reales simples∫

2x+1x2−3x+2

dx

1. Factorizamos el denominador y obtenemos

x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2)

2. Descomponemos en fracciones simples, es decir, buscamos A y B que cumplan

2x+ 1

x2 − 3x+ 2=

A

x− 1+

B

x− 2

3. Determinamos A y B. Para ello operamos:

2x+ 1

x2 − 3x+ 2=

A(x− 2) +B(x− 1)

(x− 1)(x− 2)

Eliminamos el denominador y nos queda

2x+ 1 = A(x− 2) +B(x− 1)

Le damos valores a la x y resolvemos las ecuaciones o el sistema que obtenemos. Lomás sencillo es darles los valores de las raices, es decir:

x = 1 ⇒ 3 = −A ⇒ A = −3

x = 2 ⇒ 5 = B

Con esto obtenemos∫

2x+ 1

x2 − 3x+ 2dx =

∫ −3

x− 1dx+

∫5

x− 2dx = −3ln|x− 1|+ 5ln|x− 2|+ C

75


10.6.2. Hay raíces reales múltiples∫

3x+5x3−x2−x+1

dx


x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1)(x− 1)2

2. Descomponemos en fracciones simples:

3x+ 5

x3 − x2 − x+ 1=

A

x+ 1+

B

x− 1+

C

(x− 1)2

3. Determinamos A, B y C. Para ello operamos:

3x+ 5

x3 − x2 − x+ 1=

A(x− 1)2 +B(x+ 1)(x− 1) + C(x+ 1)

(x+ 1)(x− 1)2


3x+ 5 = A(x− 1)2 +B(x+ 1)(x− 1) + C(x+ 1)

Le damos valores a la x y resolvemos las ecuaciones o el sistema que obtenemos:

x = −1 ⇒ 2 = 4A ⇒ A =1

2x = 1 ⇒ 8 = 2B + 2C

x = 0 ⇒ 5 = A−B + C

Resolviendo el sistema obtenemos B = −12

y C = 4. Por tanto:

∫3x+ 5

x3 − x2 − x+ 1dx =

∫ 12

x+ 1dx+

∫ −12

x− 1+

∫4

(x− 1)2dx

=1

2

∫1

x+ 1dx− 1

2

∫1

x− 1dx+ 4

∫(x− 1)−2dx

= −1

2ln|x+ 1| − 1

2ln|x− 1|+ 4

(x− 1)−1

−1+ C

=︸︷︷︸opcional

ln|x+ 1| 12 + ln|x− 1|− 1

2 − 4

(x− 1)+ C

= ln

∣∣∣∣x+ 1

x− 1

∣∣∣∣1

2

− 4

(x− 1)+ C = ln

√∣∣∣∣x+ 1

x− 1

∣∣∣∣−4

(x− 1)+ C

10.6.3. Hay raíces complejas∫

1x3+1

dx

76

J.J. Noguera10.6. INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES


x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1)

La ecuación x2 − x + 1 = 0 no tiene soluciones reales (sale la raíz negativa). Cuandopasa esto se dice que hay raíces complejas porque las soluciones son números complejos.Aunque no sepamos muy bien esto qué significa, da igual. En selectividad si apareceesto será una situación similar a la de este ejemplo. Un polinomio de grado 3 que alfactorizarlo me sale una raiz entera y lo que queda es un polinimio de grado 2 que yano puedo descomponerlo más.

2. Descomponemos en fracciones simples:

1

x3 + 1=

A

x+ 1+

Mx+N

x2 − x+ 1

3. Determinamos A, M y N . Para ello operamos:

1

x3 + 1=

A(x2 − x+ 1) + (Mx+N)(x+ 1)

(x+ 1)(x2 − x+ 1)


1 = A(x2 − x+ 1) + (Mx+N)(x+ 1)

Le damos valores a la x y resolvemos las ecuaciones o el sistema que obtenemos. Ledamos el valor de la raiz y otros dos valores a nuestro gusto:

x = −1 ⇒ 1 = 3A ⇒ A =1

3x = 0 ⇒ 1 = A+N

x = 1 ⇒ 1 = A+ 2(M +N)

Resolviendo el sistema obtenemos M = −13

y N = 23. Por tanto:

∫1

x3 + 1dx =

∫ 13

x+ 1dx+

∫ −13x+ 2

3

x2 − x+ 1dx

=1

3

∫1

x+ 1dx− 1

3

∫x

x2 − x+ 1dx+

2

3

∫1

x2 − x+ 1dx (10.3)

La primera integral es sencilla, es un logaritmo

1

3

∫1

x+ 1dx =

1

3ln|x+ 1|+ k

La segunda integral también se puede poner como logaritmo (una parte):

− 1

3

∫x

x2 − x+ 1dx = − 1

3 · 2

∫2x

x2 − x+ 1dx = − 1

3 · 2

∫2x− 1 + 1

x2 − x+ 1dx

= −1

6

[∫2x− 1

x2 − x+ 1dx

∫1

x2 − x+ 1dx

]

= −1

6ln|x2 − x+ 1| − 1

6

∫1

x2 − x+ 1dx (10.4)

77


Sólo nos falta resolver∫

1x2−x+1

dx que aparece tanto en (10.3) como en (10.4). Sale detipo arctg. Primero debemos poner el denominador como un cuadrado + algo:

x2 − x+ 1 =

(x− 1

2

)2

+3

4

Así pues, tengo que arreglar ∫1(

x− 12

)2+ 3

4

dx

para conseguir una arctg.

4343

∫1(

x− 12

)2+ 3

4

dx =43

1

∫1(

2√3x− 2√

312

)2+ 4

334

dx

=432√3

∫ 2√3(

2√3x− 1√

3

)2+ 1

dx

=2√3

3arctg

(2x− 1√

3

)+ k

Total:∫

1

x3 + 1dx =

1

3ln|x+ 1| − 1

6ln|x2 − x+ 1| − 1

6

∫1

x2 − x+ 1dx+

2

3

∫1

x2 − x+ 1dx

=1

3ln|x+ 1| − 1

6ln|x2 − x+ 1|+ 3

6

∫1

x2 − x+ 1dx

=1

3ln|x+ 1| − 1

6ln|x2 − x+ 1|+ 3

6

2√3

3arctg

(2x− 1√

3

)+ k

=1

3ln|x+ 1| − 1

6ln|x2 − x+ 1|+

√3

3arctg

((2x− 1)

√3

3

)+ k.

Ejercicios Integrales Racionales

1.∫

2x+3(x−2)(x+5)

dx SOL: ln|x− 2|+ ln|x+ 5|+ C

2.∫

1(x−1)(x+3)2

dx SOL: 116ln|x−1

x+3|+ 1

4(x+3)+ C

3.∫

3x−2x2−4

dx SOL: ln|x− 2|+ 2ln|x+ 2|+ C

4.∫

2x2+7x−1x3+x2−x−1

dx SOL: 2ln|x− 1| − 3x+1

+ C

5.∫

6x2+12x+6x3+x2−x−1

dx SOL: 6ln|x− 1|+ C

6.∫

2x3+x−1x2−5x

dx SOL: x2 + 10x+ 15ln|x|+ 254

5ln|x− 5|+ C

78

Capítulo 11

LA INTEGRAL DEFINIDA

11.1. Definiciones

Definición 11.1.1 (Integral definida) . La expresión∫ b

af(x)dx se denomina integral de-

finida de a a b y representa el área encerrada por la gráfica de f(x), el eje X y las abcisasx = a y x = b. Ver Figura 11.1.

Figura 11.1: Definición de integral definida.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1.∫ a

af(x)dx = 0.

2. Si f(x) > 0 y continua en [a, b] =⇒∫ b

af(x) > 0.

Si f(x) < 0 y continua en [a, b] =⇒∫ b

af(x) < 0.

3. Si a < b < c y f es continua en [a, c], =⇒∫ b

af(x)dx+

∫ c

bf(x)dx =

∫ c

af(x)dx.

4.∫ b

af(x) dx+

∫ b

ag(x) dx =

∫ b

a(f + g)(x) dx.

5. c∫ b

af(x) dx =

∫ b

acf(x)dx.

6. Si x ∈ [a, b] y f(x) ≤ g(x), =⇒∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx.

79

J.J. Noguera CAPÍTULO 11. LA INTEGRAL DEFINIDA

11.2. Teoremas importantes

Teorema 11.2.1 (Teorema del valor medio del cálculo integral) Si f es una funcióncontínua en [a, b], entonces existe un número c ∈ (a, b) tal que:

∫ b

a

f(x)dx = f(c)(b− a).

Teorema 11.2.2 (Teorema fundamental del cálculo) Si f es una función contínua en[a, b], entonces la función

F (x) =

∫ x

a

f(y) dy, x ∈ [a, b],

es derivable y se verifica que F ′(x) = f(x).

Teorema 11.2.3 (Regla de Barrow) Si f es una función contínua en [a, b] y G(x) es unaprimitiva de f(x), entonces

∫ b

a

f(x)dx =[G(x)

]x=b

x=a= G(b)−G(a).

EJEMPLO: Calcula∫ 5

2(3x2 − 2x+ 3)dx

∫ 5

2

(3x2 − 2x+ 3)dx =[x3 − x2 + 3x

]52= 53 − 52 + 3 · 5− (23 − 22 + 3 · 2) = 115− 10 = 105.

11.3. Cálculo de áreas

Hay dos casos fundamentales como vemos en la Figura 11.2. Para no confundirnos con elsigno, lo que podemos hacer es coger siempre el módulo.

Figura 11.2: Para no confundirnos con el signo es mejor tomar módulo: A =∣∣∣∫ b

af(x)dx

∣∣∣.

Pero no siempre es tan sencillo, ya que la función puede ser negativa y positiva en elintervalo que nos piden. Como por ejemplo la que aparece en la Figura 11.3.

Así pues, si nos piden el área de una función comprendida entre x = a y x = b loque debemos hacer es:

80

J.J. Noguera 11.3. CÁLCULO DE ÁREAS

Figura 11.3: Si calculamos∣∣∣∫ 2π

0f(x)dx

∣∣∣ = 0. Lo que debemos hacer es A =∣∣∫ π

0f(x)dx

∣∣ +∣∣∣∫ 2π

πf(x)dx

∣∣∣

1. Resolver la ecuación f(x) = 0, y nos quedamos con las soluciones que estén entre a yb, a < x1 < x2 < · · · < xn < b.

2. El área buscada es

A =

∣∣∣∣∫ x1

a

f(x)dx

∣∣∣∣+∣∣∣∣∣

∫ x2

x1

f(x)dx

∣∣∣∣∣+ · · ·+∣∣∣∣∣

∫ b

xn

f(x)dx

∣∣∣∣∣ .

EJEMPLO Halla el área comprendida entre f(x) = x3 − x, el eje X y las rectas x = 0y x = 2.

Resolvemos la ecuación x3 − x = 0, obteniendo x = −1, x = 0 y x = 1.De estas soluciones las que están entre a = 0 y b = 2 es el 1. Así pues, tenemos que

integrar entre los puntos 0 < 1 < 2:

A =

∣∣∣∣∣

∫ 1

0

(x3 − x)dx

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣

∫ 2

1

(x3 − x)dx

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣x4

4− x2

2

∣∣∣∣∣

1

0

+

∣∣∣∣∣x4

4− x2

2

∣∣∣∣∣

2

1

=

∣∣∣∣∣∣14

4− 12

2−(04

4− 02

2

)∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣24

4− 22

2−(14

4− 12

2

)∣∣∣∣∣∣=

1

4+

9

4=

5

2u2.

ÁREA COMPRENDIDA ENTRE 2 CURVASSi nos piden el área comprendida entre f(x) y g(x) lo que debemos hacer es :

1. Resolver la ecuación f(x) = g(x), obteniendo las soluciones x1 < x2 < · · · < xn.

2. El área buscada es

A =

∣∣∣∣∣

∫ x2

x1

(f − g)(x)dx

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣

∫ x3

x2

(f − g)(x)dx

∣∣∣∣∣+ · · ·+∣∣∣∣∣

∫ xn

xn−1

(f − g)(x)dx

∣∣∣∣∣ .

También nos pueden pedir el área comprendida entre f(x) y g(x) y las rectas x = a yx = b, con lo que tendremos que considerar sólo las soluciones de f(x) = g(x) que estén entrea y b, a < x1 < x2 < · · · < xn < b (ver Figura 11.4).

81


Figura 11.4: A = A1 + A2 =∫ c

a(f − g)(x)dx +

∫ c

b(g − f)(x)dx =

∣∣∫ c

a(f − g)(x)dx

∣∣ +∣∣∣∫ b

c(f − g)(x)dx

∣∣∣

Figura 11.5: En ambos casos A =∣∣∣∫ b

a(f − g)(x)dx

∣∣∣.

En ocasiones las rectas no se cortan en el intervalo que nos piden, como en la Figura 11.5.

EJEMPLO: Hallar el área comprendida entre las curvas de las funciones f(x) = x4−x+1,g(x) = x4 − x3 + 1 y las rectas x = 0, x = 2.

Lo primero es resolver f(x) = g(x), es decir x4 − x+ 1 = x4 − x3 + 1 ⇒ x3 − x = 0. Lassoluciones son x = −1, x = 0, x = 1. Como sólo nos piden entre x = 0 y x = 2 el área será:

A =

∣∣∣∣∣

∫ 1

0

(x3 − x)dx

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣

∫ 2

1

(x3 − x)dx

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣x4

4− x2

2

∣∣∣∣∣

1

0

+

∣∣∣∣∣x4

4− x2

2

∣∣∣∣∣

2

1

=

∣∣∣∣∣∣14

4− 12

2−(04

4− 02

2

)∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣24

4− 22

2−(14

4− 12

2

)∣∣∣∣∣∣=

1

4+

9

4=

5

2u2.

11.4. Volumen de un cuerpo de revolución

El volumen del cuerpo de revolución que engendra y = f(x), x ∈ [a, b] al girar alrededordel eje X es (ver Figura 11.6):

V =

∫ b

a

πf(x)2 dx = π

∫ b

a

f(x)2 dx.

EJEMPLO: Calcula el volumen engendrado al girar la parábola y =√x alrededor del

eje X entre x = 0 y x = 4.

82

J.J. Noguera 11.4. VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN

Figura 11.6: V =∫ b

aπf(x)2 dx = π

∫ b

af(x)2 dx.

V = π

∫ 4

0

(√x)2

dx = π

∫ 4

0

x dx = π

[x2

2

]4

0

= π

[42

2− 02

2

]= 8π u3.

83


84

Capítulo 12

ANEXOS

Ací pots trobar:

Errors típics al operar amb matrius

Esquema per a resoldre límits (sense L’Hôpital).

Posicions relatives de planes segons el tipus de sistema d’equacions (normalment és méssenzill emprar el vector normal als plans, ja que recordar tots els cassos sobre rangs ésmés difícil en un examen).

Taula de derivades (la he trobada per internet)

Esquema per a representar funcions (és molt bona, també la he trobada per intertet).

Taules i exercicis de integrals i derivades. També ho he trobat per internet. Encara queés d’un curs 0 de la universitat, s’ajusta perfèctament al tipus d’exercicis de 2n de Bat.A més té les solucions.

85

J.J. Noguera CAPÍTULO 12. ANEXOS

MATRIUS I DETERMINATS

Coses que es poden fer amb matrius. Suposant que les dimensions sÃşn les correctes pera multiplicar:

A · A−1 = I

A−1 · A = I

Si A ·B = C i vull conÃĺixer B puc multiplicar els dos membres per l’esquerra per A−1

→ A−1 · A ·B = A−1 · C → I ·B = A−1 · C → B = A−1 · C

A3 = A2 ·A i tambÃľ per exemple es pot fer A3 ·A−1 = A2 ·A ·A−1 → A3 ·A−1 = A2 · I→ A3 · A−1 = A2 PERÃŠ CAL JUSTIFICAR-HO PER A QUE QUEDE CLAR QUENO ESTEM OPERANT SIMPLEMENT ELS EXPONENTS.

Coses que NO es poden fer amb matrius:

A−1 ·B ·A 6= A−1 ·A·B perque el producte de matrius en general NO ES CONMUTATIU

Si fem el determinat hem de posar barres |A|. ÃĽs un error comÃž calcular el determinatsense posar les barres

Coses que es poden fer amb determinants:

|A ·B| = |A| · |B|

|An| = |A|n

|At| = |A|

|A−1| = 1|A|

2|A| el dos pot entrar al determinat multiplicant a tos els elements d’una fila o columna

Coses que NO es poden fer amb determinants

|2 · A| 6= 2 · |A|. El que sÃŋ es veritat Ãľs que si per exemple A Ãľs 3 × 3, aleshores|2 · A| = 8 · |A| perquÃĺ el 2 multiplica a tots els elements de la matriu abans de ferel determinant i quan fem el determinant podem traure fora del determinant un 2 percada fila (o columna). Per tant, si per exemple A Ãľs 5×5, |2 ·A| = 32 · |A|. En gereral,si A Ãľs n× n i α Ãľs un nombre, el que sÃŋ es compleix Ãľs |αA| = αn|A|

|A+B| 6= |A|+ |B|

Calcular el determinant d’una matriu no quadrada

86

J.J. Noguera

POSICIÓ RELATIVA DE TRES PLANS EN L’ESPAI

Partint d’un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites, el mínim que cal saber en aquesttema és:

S.C.D. Els tres plans es tallen simultàniament en un únic punt.

S.C.I. Dues opcions:

Si necessitem 2 paràmetres: Els tres plans són el mateix.

Si necessitem un paràmetre: Els tres plans es tallen en una recta.

S.I. Els tres plans no es tallen simultàniament en ningún punt.

Si volem ser més precissos:

ran(A)=1=ran(A’) (S.C.I.) Necessitem 2 paràmetres. Els tres plans són realment el ma-teix.

Figura 12.1: Els tres plans són el mateix. S.C.I. ran(A)=ran(A’)=1

ran(A)=3=ran (A’) (S.C.D.) Els tres plans es tallen simultàniament en un únic punt.

Figura 12.2: Els tres plans es tallen en un punt. S.C.D. ran(A)=ran(A’)=3

ran(A)=2=ran(A’) (S.C.I) Necessitem 1 paràmetre. Els tres plans es tallen en una recta.Pot donar-se el cas de tres plans distints o dos plans iguals i un tercer secant als altres.En qualsevol cas es tallen en una recta.

87

J.J. Noguera CAPÍTULO 12. ANEXOS

Figura 12.3: Els tres plans es tallen en una recta. S.C.I, amb un paràmetre.ran(A)=2=ran(A’). Si dos de les equacions que tenim (incloent el terme independent) sónproporcionals, aleshores dos dels plans són el mateix (DRETA), si no, doncs els 3 plans sóndistints (ESQUERRA).

Figura 12.4: Els tres plans no es tallen simultàniament. S.I. ran(A)=16=ran(A’)=2. En lafigura ESQUERRA les tres equacions tenen la part literal proporcional, però els termesindependents no. En la DRETA, dos de les equacions son proporcionals (tant la part literalcom el terme independent) i l’altra no.

ran(A)=1 6=ran(A’)=2 (S.I.) Els tres plans no es tallen simultàniament. Hi han dos cassos.O els tres plans són paral·lels o dos són el mateix i un altre és paral·lel.

ran(A)=2 6=ran(A’)=3 (S.I) Els tres plans no es tallen simultàniament pero sí ho fan 2 a2. Hi ha dos cassos: o no hi ha cap paral·lel, o dos són paral·lels i un és secant als altresdos.

Figura 12.5: Els tres plans no es tallen simultàniament. S.I. ran(A)=26=ran(A’)=3. En lafigura de l’ESQUERRA es tallen 2 a dos, però cap equació (inclòs sense tenir en compteel terme independent) és proporcional a cap altra, mentre que en la DRETA hi ha sols dosequacions que tenen la part literal proporcional però el terme independent no.

88

ESQUEMA PARA RESOLVER LÍMITES

LÍMITES SENCILLOS • +∞=

+∞→

k

xxlim , si k > 0

•

<∃/

<<

>∞+

=+∞→

0

100

1

lim

asi

asi

asi

a x

x

•

<<

>∞±=

+∞→ 100

1loglim

asi

asixa

x

ÓRDENES Si ±∞=

+∞→)(lim xf

x, ±∞=

+∞→)(lim xg

x y )(xf es infinito de orden superior a )(xg , se

cumple que ±∞=+∞→ )(

)(lim

xg

xf

x.

De menor a mayor orden:

Funciones logarítmicas

xxf alog)( =

Potencias nxxf =)(

Funciones exponenciales de base a >1 xaxf =)(

RECORDAR

)0()(

)(=

±∞

l; )(

)0(

)(±∞=

l, si 0≠l ; )(

)0(

)(±∞=

±∞ ; )0(

)(

)0(=

±∞

( )( ))(+∞=∞+

+∞; ( )( )

)0(=∞+−∞

; ( )( ) ( )

( )

<

>∞+=∞+

00

0

lsi

lsil

( )( ) ( )10=l ; ( )

( )

( )

<<

>∞+=

+∞

100

1)(

lsi

lsil ; ( )( )

<<∞+

>=

∞−

10

10

lsi

lsil

INDETERMINACIONES

( ) ( )∞+−∞+ ; ( ) ( )0⋅∞± ; ( )( )00

; ( )( )0∞+ ; ( ) )0(

∞+ ; )()1( +∞ ; ( )( )−∞1 ; ( ) )0(

0 ; ( )( )∞±

∞±

Si +∞→x

• Si

=<

==

±∞=>

⇒+

+==

+∞→

+∞→

+∞→

0)(lim

)(lim

)(lim

)(

)()(

xfnmsib

axfmnsi

xfnmsi

bx

ax

xQ

xPxf

x

x

x

n

m

L

L

• Lo anterior es válido para p nax que se comporta como p

n

pxa ⋅ (siempre que p

sea par y a > 0 o bien p impar)

• Diferencia entre infinitos

)( ∞−∞

( ) ( )

→

→

∞−∞+⇒

conjugadoelpordividiryrmultiplicaradicalesHay

operaseradicaleshayNoordenmismodelsonIICASO

tedirectamenoatribuyeseordendiferentedesonICASO

:

:

• Obtengo ( )( )+∞1 . Se aplica el siguiente resultado Θ :

Si 1)(lim =+∞→

xfx

y +∞=+∞→

)(lim xgx

⇒ ( )[ ] )(1)(lim)(

)(limxgxfxg

x

xexf⋅−

+∞→

+∞→=

Si −∞→x

)(lim)(lim xfxfxx

−=+∞→−∞→

Si cx →

•

⋅−

⋅−=⇒=

±∞⇒≠

⇒=

=⇒≠

⇒=

+∞→+∞→

→

)()(

)()(lim

)(

)(lim0)(

)(0)(

0)(

)(

)()(lim0)(

)(

)()(

1

1

(**) xQcx

xPcx

xQ

xPcPSi

lateralesimiteslEstudiarcPSi

cQSi

cQ

cPxfcQSi

xQ

xPxfSi

xx

cx

(**) Factor común, Rufinni, resolviendo la ecuación…

• Si b

a

xQ

xPxf

)(

)()( = se reduce a índice común con el mcm(a,b) y se procede como

el caso anterior.

• Si hay radicales se multiplica y divide por el conjugado

• Para ( ) ( )∞+−∞+ , se operan las expresiones.

• Para ( )( )+∞1 se aplica el resultado Θ sustituyendo +∞→x por cx →

ASÍNTOTAS

• Si lylxfx

=⇒=+∞→

)(lim es asíntota horizontal cuando +∞→x (Para ver la

posición se estudia el signo de lxf −)( para valores grandes de x ).

• Si [ ] nmxynmxxfmx

xfxf

xxx+=⇒=−≠=±∞=

+∞→+∞→+∞→)(lim,0

)(lim,)(lim es

asíntota oblicua cuando +∞→x (Para ver la posición se estudia el signo de

)()( nmxxf +− para valores grandes de x ).

• Si axxfax

=⇒±∞=→

)(lim es una asíntota vertical (Para ver la posición se

estudian los límites laterales).

Nota: Si 0)(

lim,)(lim =±∞=+∞→+∞→ x

xfxf

xx o ±∞=

+∞→ x

xf

x

)(lim habrá una rama parabólica.

lllaaa dddeee dddeeerrriiivvvaaadddaaasss

www.vadenumeros.es

TTTaaabbb

Matemáticas de Bachillerato. Tabla de derivadas.

TTTiiipppooo FFFuuunnnccciiióóónnn sssiiimmmpppllleee FFFuuunnnccciiióóónnn cccooommmpppuuueeessstttaaa CCCooonnnssstttaaannnttteee f(x) = k f´(x) = 0, k ∈ IIIdddeeennnttt iiidddaaaddd f(x) = x f´(x) = 1

PPPooottteeennnccciiiaaalll af(x) = x a 1f´(x) a x −= ⋅ af(x) = f a 1f´(x) = a f f´−⋅ ⋅

IIIrrrrrraaaccciiiooonnnaaalll nf(x) = x n1f´(x)=

n 1n x −⋅ nf(x) = f n n 1

f´f´(x) = n f −⋅

xf(x) = e xf´(x) = e f f(x) = e ff´(x) = e f´⋅ EEExxxpppooonnneeennnccciiiaaalll

xf(x) = a xf´(x) = a lna⋅ f f(x) = a ff´(x) = a f´ lna⋅ ⋅

PPPooottteeennnccciiiaaalll eeexxxpppooonnneeennnccciiiaaalll

La derivamos como tipo potencial y le sumamos la derivada como exponencial. *** Se suele hacer tomando logaritmos no se aplica esta fórmula.

Es una función f elevada a otra función g

ExponencialPotencialg 1 gg g f f´ + f g´ ln f D f −⎡ ⎤

⎣ ⎦ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

D quiere decir derivada

f(x) =ln x 1f´(x) = x

f(x) =ln f f´f´(x) = f

LLLooogggaaarrrííí tttmmmiiicccaaa

af(x) =lg x 1f´(x) = x ln a⋅

af(x) =lg f f´f´(x) = f ln a⋅

TTTrrriiigggooonnnooommmééétttrrriiicccaaasss

SSSeeennnooo f(x) = sen x f´(x) = cos x f(x) = sen f f´(x) = cos f f´⋅

CCCooossseeennnooo f(x) = cos x f´(x) = - sen x f(x) = cos f f´(x) = - sen f f´⋅

TTTaaannngggeeennnttteee 22

1f´(x) = 1+ tgf(x) = t x =g x c

os

x

( )22

f´f´(x) = f(x) = tg 1+ tg f f´ f = cos f

⋅

AAArrrcccooo ssseeennnooo f(x) =arc sen x 21f´(x) =

1 x− f(x) = arc sen f 2

f´f´(x) = 1 f−

AAArrrcccooo cccooossseeennnooo f(x) =arc cos x 1f´(x) =

21 x

−

− f(x) = arc cos f

f´f´(x) = 21 f

−

−

AAArrrcccooo tttaaannngggeeennnttteee f(x) =arc tg x

1f´(x) = 21 x+ f(x) = arc tg f

f´f´(x) = 21 f+

RRREEEGGGLLLAAASSS DDDEEE DDDEEERRRIIIVVVAAACCCIIIÓÓÓNNN

SSSuuummmaaa ( )f f´+ g´ + g ´ = La derivada de una suma de dos funciones es la suma de las derivadas de estas funciones.

RRReeessstttaaa ( )f f´- g´ - g ´ = La derivada de una diferencia de dos funciones es la diferencia de las derivadas de estas funciones.

PPPrrroooddduuuccctttooo f´( f gg ) + f g´= ⋅ ⋅⋅ La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda.

CCCoooccciiieeennnttteee 2f´ g - f g´

gfg

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ ⋅=

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada de numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador y, todo ello, dividido por el denominador sin derivar al cuadrado.

PPPrrroooddduuuccctttooo pppooorrr uuunnn nnnúúúmmmeeerrrooo ( )a ´f a f⋅ = ⋅ La derivada del producto de un número real por una función es

igual al número real por la derivada de la función.

CCCooommmpppooosssiiiccciiióóónnn ( )( ) ( )( ) ( ) g f x f´´ xg f x =⎦ ⋅⎡ ⎤⎣ Regla de la cadena

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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES

Dominio

Valores de x para los que hay función,

{ })(/)( xfxxfDom ∃ℜ∈= 0)()(

)( ≠∃ xgsixg

xf

0)()( ≥∃ xfsixfpar

0)()(log >∃ xfsixfb

Simetría

( ) ( )f x f x= − ⇒ función PAR (simetría

respecto eje OY)

( ) ( )f x f x= − − ⇒ función IMPAR

(simetría respecto al punto (0,0))

- Si es una función PAR o IMPAR, basta hacer el estudio para 0x ≥ y por simetría obtener la gráfica para 0x ≤ .

Período ( ) ( )f x f x T T= + ⇒ período (mínimo

que lo cumple)

- Tenerlo en cuenta en las funciones con razones trigonométricas.

ESTUDIO DE ( )f x

Puntos de corte con los ejes

==

0

)(.

x

xfyOYejeCorteP *

==

0

)(.

y

xfyOXejeCorteP **

- Los puntos de corte con el eje OY son de la forma (0,a) y se obtienen resolviendo el sistema * - Los puntos de corte con el eje OX son de la forma (b,0) y se obtienen resolviendo el sistema **

Signo

⇒> 0)(xf gráfica por encima de OX

⇒< 0)(xf gráfica por debajo de OX

- Estudiar el signo de )(xf en las regiones que

resultan de introducir - Tachar las zonas no válidas, donde no habrá gráfica.

ESTUDIO DE ( )f x′

Extremos relativos

⇒=′ 0)(xf ”posibles” máximos o

mínimos.

- Será máximo si 0)( =′ xf y cambia de crecer a

decrecer. - Será mínimo si 0)( =′ xf y cambia de decrecer a

crecer. - La segunda coordenada del punto se obtiene sustituyendo el valor de xen )(xf

Monotonía

⇒>′ 0)(xf función creciente

⇒<′ 0)(xf función decreciente

- Estudiar el signo de )(xf ′ en las regiones que se

obtiene de introducir

ESTUDIO DE ( )f x′′

Puntos de inflexión

( ) 0f x′′ = ⇒ ”posibles” puntos de

inflexión.

- Será punto de inflexión si ( ) 0f x′′ = y cambia de

curvatura. - La segunda coordenada del punto se obtiene sustituyendo el valor de xen )(xf

Curvatura

( ) 0f x′′ > ⇒ función cóncava hacia arriba

( ) 0f x′′ < ⇒ función cóncava hacia abajo

- Estudiar el signo de ( )f x′′ en las regiones que se

obtiene de introducir

( ) 0f x =∃/

( ) 0f x′ =∃/

( ) 0f x′′ =∃/

CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES ASÍNTOTAS

Vertical

Se estudia el límite de la función en aquellos valores que dan problemas de existencia. Si el ( ) { }Dom f x v= ℜ − ,

( )

( )

lim

limx v

x v

f x

x vf x

+

−

→

→

= ±∞ == ±∞

- Si ( )Dom f x = ℜ , no hay A. Verticales.

- Representar los límites:

- En funciones polinómicas, ( ) ( )f x P x= :

No hay

- En funciones racionales, ( )

( )( )

P xf x

Q x= :

( ) 0 ( )Si Q x x raíces de Q x= ⇒ =

Horizontal

Hacer el límite de la función en +∞ y − ∞ .

( )

( )

lim

limx

x

f x h

y hf x h

+

→+ ∞

−

→ − ∞

= =

=

- Tiene A. Horizontal si h ≠ ± ∞ . Puede que sólo

tenga por un lado o que no coincidan ambos límites y por tanto tenga dos A.H. - Representar los límites:

- En funciones polinómicas, ( ) ( )f x P x= :

No hay


( )( )

P xf x

Q x= :

( ) ( ) 0Si grado P x grado Q x y< ⇒ = ( )

( ) ( )( )

coef director P xSi grado P x grado Q x y

coef director Q x= ⇒ =

Oblicua

La ecuación es y mx n= + ,

( )

0,limx

f xm

x→ ± ∞= ≠ ±∞

( ( ) )lim

x

n f x mx→ ± ∞

= − ≠ ±∞

- Sólo se estudian donde no haya A.H. - Representar la recta y hallar los puntos de corte de dicha recta con la curva, para saber desde qué lado de la recta hay que dibujar la gráfica. - En funciones polinómicas, ( ) ( )f x P x= :

No hay


( )( )

P xf x

Q x= :

( )( ) ( ) 1

( )

P xSi grado P x grado Q x y cociente

Q x

= + ⇒ =

TABLA DE VALORES Puntos de la curva

Sustituir el valor de xen )(xf para hallar

puntos de la curva.

- Representar los puntos (x , )(xf ).

es la ecuación de la asíntota vertical.

( )limx v

f x+→

= +∞

es la ecuación de la asíntota horizontal.

( )limx v

f x−→

= − ∞

( )limx

f x h+

→+ ∞=

( )limx

f x h−

→ − ∞=

(Si m=0, sería A.H.)

Ejercicios de derivadas e integrales

Este material puede descargarse desde http://www.uv.es/~montes/biologia/matcero.pdf

Departament d’Estadıstica i Investigacio OperativaUniversitat de Valencia

Derivadas

Reglas de derivacion

Sumad

dx[f(x) + g(x)] = f ′(x) + g′(x)

d

dx[kf(x)] = kf ′(x)

Productod

dx[f(x)g(x)] = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

Cociented

dx

[f(x)g(x)

]=

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)g(x)2

d

dx{f [g(x)]} = f ′[g(x)]g′(x)

Regla de la cadenad

dx{f(g[h(x)])} = f ′(g[h(x)])g′[h(x)]h′(x)

d

dx(k) = 0

d

dx(xk) = kxk−1 d

dx[f(x)k] = kf(x)k−1f ′(x)

Potenciad

dx(√

x) =d

dx(x1/2) =

12√

x

d

dx[√

f(x)] =f ′(x)

2√

f(x)

d

dx

(1x

)=

d

dx(x−1) = − 1

x2

d

dx

[1

f(x)

]= − f ′(x)

f(x)2

2

Reglas de derivacion (continuacion)

d

dx(sinx) = cos x

d

dx[sin f(x)] = cos f(x)f ′(x)

Trigonometricasd

dx(cosx) = − sinx

d

dx[cos f(x)] = − sin f(x)f ′(x)

d

dx(tan x) = 1 + tan2 x

d

dx[tan f(x)] = [1 + tan2 f(x)]f ′(x)

d

dx(arcsinx) =

1√1− x2

d

dx[arcsin f(x)] =

f ′(x)√1− f(x)2

Funciones de arcod

dx(arc cos x) =

−1√1− x2

d

dx[arc cos f(x)] =

−f ′(x)√1− f(x)2

d

dx(arctanx) =

11 + x2

d

dx[arctan f(x)] =

f ′(x)1 + f(x)2

d

dx(ex) = ex d

dx(ef(x)) = ef(x)f ′(x)

Exponencialesd

dx(ax) = ax ln a

d

dx(af(x)) = af(x) ln af ′(x)

d

dx(lnx) =

1x

d

dx(ln f(x)) =

f ′(x)f(x)

Logarıtmicasd

dx(lga x) =

1x

1ln a

d

dx(lga f(x)) =

f ′(x)f(x)

1ln a

3

Ejercicios de derivadas

1. Determinar las tangentes de los angulos que forman con el eje positivo de las x las lıneastangentes a la curva y = x3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la grafica y representarlas lıneas tangentes.

Solucion.- a) 3/4, b) 3.

2. Determinar las tangentes de los angulos que forman con el eje positivo de las x las lıneastangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la grafica y representarlas lıneas tangentes.

Solucion.- a) -4, b) -1.

3. Hallar la derivada de la funcion y = x4 + 3x2 − 6.

Solucion.- y′ = 4x3 + 6x.

4. Hallar la derivada de la funcion y = 6x3 − x2.

Solucion.- y′ = 18x2 − 2x.

5. Hallar la derivada de la funcion y = x5

a+b − x2

a−b .

Solucion.- y′ = 5x4

a+b − 2xa−b .

6. Hallar la derivada de la funcion y = x3−x2+15 .

Solucion.- y′ = 3x2−2x5 .

7. Hallar la derivada de la funcion y = 2ax3 − x2

b + c.

Solucion.- y′ = 6ax2 − 2xb .

8. Hallar la derivada de la funcion y = 6x72 + 4x

52 + 2x.

Solucion.- y′ = 21x52 + 10x

32 + 2.

9. Hallar la derivada de la funcion y =√

3x + 3√

x + 1x .

Solucion.- y′ =√

32√

x+ 1

33√

x2− 1

x2 .

10. Hallar la derivada de la funcion y = (x+1)3

x32

.

Solucion.- y′ = 3(x+1)2(x−1)

2x52

.

11. Hallar la derivada de la funcion y = 3√

x2 − 2√

x + 5.

Solucion.- y′ = 23

13√x− 1√

x.

12. Hallar la derivada de la funcion y = ax2

3√x+ b

x√

x− 3√x√

x.

Solucion.- y′ = 53ax

23 − 3

2bx−52 + 1

6x−76 .

13. Hallar la derivada de la funcion y = (1 + 4x3)(1 + 2x2).

Solucion.- y′ = 4x(1 + 3x + 10x3).

14. Hallar la derivada de la funcion y = x(2x− 1)(3x + 2).

Solucion.- y′ = 2(9x2 + x− 1).

4

15. Hallar la derivada de la funcion y = (2x− 1)(x2 − 6x + 3).

Solucion.- y′ = 6x2 − 26x + 12.

16. Hallar la derivada de la funcion y = 2x4

b2−x2 .

Solucion.- y′ = 4x3(2b2−x2)(b2−x2)2 .

17. Hallar la derivada de la funcion y = a−xa+x .

Solucion.- y′ = − 2a(a+x)2 .

18. Hallar la derivada de la funcion f(t) = t3

1+t2 .

Solucion.- f ′(t) = t2(3+t2

(1+t2)2 .

19. Hallar la derivada de la funcion f(s) = (s+4)2

s+3 .

Solucion.- f ′(s) = (s+2)(s+4)(s+3)2 .

20. Hallar la derivada de la funcion y = x3+1x2−x−2 .

Solucion.- y′ = x4−2x3−6x2−2x+1(x2−x−2)2 .

21. Hallar la derivada de la funcion y = (2x2 − 3)2.

Solucion.- y′ = 8x(2x2 − 3).

22. Hallar la derivada de la funcion y = (x2 + a2)5.

Solucion.- y′ = 10x(x2 + a2)4.


x2 + a2.

Solucion.- y′ = x√x2+a2 .

24. Hallar la derivada de la funcion y = (a + x)√

a− x.

Solucion.- y′ = a−3x2√

a−x.


1+x1−x .

Solucion.- y′ = 1(1−x)

√1−x2 .

26. Hallar la derivada de la funcion y = 2x2−1x√

1+x2 .

Solucion.- y′ = 1+4x2

x2(1+x2)32.

27. Hallar la derivada de la funcion y = 3√

x2 + x + 1.

Solucion.- y′ = 2x+1

3 3√

(x2+x+1)2.

28. Hallar la derivada de la funcion y = (1 + 3√

x)3.

Solucion.- y′ =(1 + 1

3√x

)2

.

5

29. Hallar la derivada de la funcion y = sin2 x.

Solucion.- y′ = sin 2x.

30. Hallar la derivada de la funcion y = 2 sin x + cos 3x.

Solucion.- y′ = 2 cosx− 3 sin 3x.

31. Hallar la derivada de la funcion y = tan(ax + b).

Solucion.- y′ = acos2(ax+b) .

32. Hallar la derivada de la funcion y = sin x1+cos x .

Solucion.- y′ = 11+cos x .

33. Hallar la derivada de la funcion y = sin 2x cos 3x.

Solucion.- y′ = 2 cos 2x cos 3x− 3 sin 2x sin 3x.

34. Hallar la derivada de la funcion y = cot2 5x.

Solucion.- y′ = −10 cot 5x csc2 5x.

35. Hallar la derivada de la funcion f(t) = t sin t + cos t.

Solucion.- f ′(t) = t cos t.

36. Hallar la derivada de la funcion f(t) = sin3 t cos t.

Solucion.- f ′(t) = sin2 t(3 cos2 t− sin2 t).

37. Hallar la derivada de la funcion y = a√

cos 2x.

Solucion.- y′ = − a sin 2x√cos 2x

.

38. Hallar la derivada de la funcion y = 12 tan2 x.

Solucion.- y′ = tan x sec2 x.

39. Hallar la derivada de la funcion y = ln cos x.

Solucion.- y′ = − tanx.

40. Hallar la derivada de la funcion y = ln tan x.

Solucion.- y′ = 2sin 2x .

41. Hallar la derivada de la funcion y = ln sin2 x.

Solucion.- y′ = 2 cot x.

42. Hallar la derivada de la funcion y = tan x−1sec x .

Solucion.- y′ = sin x + cos x.

43. Hallar la derivada de la funcion y = ln√

1+sin x1−sin x .

Solucion.- y′ = 1cos x .

44. Hallar la derivada de la funcion f(x) = sin(ln x).

Solucion.- f ′(x) = cos(ln x)x .

6

45. Hallar la derivada de la funcion f(x) = tan(ln x).

Solucion.- f ′(x) = sec2(ln x)x .

46. Hallar la derivada de la funcion f(x) = sin(cos x).

Solucion.- f ′(x) = − sin x cos(cos x).

47. Hallar la derivada de la funcion y = ln 1+x1−x .

Solucion.- y′ = 21−x2 .

48. Hallar la derivada de la funcion y = log3(x2 − sinx).

Solucion.- y′ = 2x−cos x(x2−sin x) ln 3 .

49. Hallar la derivada de la funcion y = ln 1+x2

1−x2 .

Solucion.- y′ = 4x1−x4 .

50. Hallar la derivada de la funcion y = ln(x2 + x).

Solucion.- y′ = 2x+1x2+x .

51. Hallar la derivada de la funcion y = ln(x3 − 2x + 5).

Solucion.- y′ = 3x2−2x3−2x+5 .

52. Hallar la derivada de la funcion y = x ln x.

Solucion.- y′ = ln x + 1.

53. Hallar la derivada de la funcion y = ln3 x.

Solucion.- y′ = 3 ln2 xx .

54. Hallar la derivada de la funcion y = ln(x +√

1 + x2).

Solucion.- y′ = 1√1+x2 .

55. Hallar la derivada de la funcion y = ln(ln x).

Solucion.- y′ = 1x ln x .

56. Hallar la derivada de la funcion y = e(4x+5).

Solucion.- y′ = 4e(4x+5).

57. Hallar la derivada de la funcion y = ax2.

Solucion.- y′ = 2xax2ln a.

58. Hallar la derivada de la funcion y = 7(x2+2x).

Solucion.- y′ = 2(x + 1)7(x2+2x) ln 7.

59. Hallar la derivada de la funcion y = ex(1− x2).

Solucion.- y′ = ex(1− 2x− x2).

60. Hallar la derivada de la funcion y = ex−1ex+1 .

Solucion.- y′ = 2ex

(ex+1)2 .

7

61. Hallar la derivada de la funcion y = esin x.

Solucion.- y′ = esin x cos x.

62. Hallar la derivada de la funcion y = atan nx.

Solucion.- y′ = natan nx sec2 nx ln a.

63. Hallar la derivada de la funcion y = ecos x sin x.

Solucion.- y′ = ecos x(cos x− sin2 x).

64. Hallar la derivada de la funcion y = ex ln(sinx).

Solucion.- y′ = ex(cotx + ln(sin x)).

65. Hallar la derivada de la funcion y = x1x .

Solucion.- y′ = x1x

(1−ln x

x2

).

66. Hallar la derivada de la funcion y = xln x.

Solucion.- y′ = xln x−1 ln x2.

67. Hallar la derivada de la funcion y = xx.

Solucion.- y′ = xx(1 + lnx).

68. Hallar la derivada de la funcion y = exx

.

Solucion.- y′ = exx

(1 + ln x)xx.

69. Hallar la derivada de la funcion y = arcsin(x/a).

Solucion.- y′ = 1√a2−x2 .

70. Hallar la derivada de la funcion y = (arcsin x)2.

Solucion.- y′ = 2 arcsin x√1−x2 .

71. Hallar la derivada de la funcion y = arctan(x2 + 1).

Solucion.- y′ = 2x1+(x2+1)2 .

72. Hallar la derivada de la funcion y = arctan( 2x1−x2 ).

Solucion.- y′ = 21+x2 .

73. Hallar la derivada de la funcion y = arc cos xx .

Solucion.- y′ = −(x+√

1+x2 arc cos x)

x2√

1−x2 .

74. Hallar la derivada de la funcion y = x arcsinx.

Solucion.- y′ = arcsin x + x√1−x2 .

Integrales

Tabla de integrales inmediatas

∫xpdx =

xp+1

p + 1+ C (p 6= −1)

∫f(x)pf ′(x)dx =

f(x)p+1

p + 1+ C (p 6= −1)

∫1x

dx = ln |x|+ C

∫f ′(x)f(x)

dx = ln |f(x)|+ C

∫sinxdx = − cosx + C

∫f ′(x) sin f(x)dx = − cos f(x) + C

∫cosxdx = sin x + C

∫f ′(x) cos f(x)dx = sin f(x) + C

∫1

cos2 xdx = tanx + C

∫f ′(x)

cos2 f(x)dx = tan f(x) + C

∫1

sin2 xdx = − cot x + C

∫f ′(x)

sin2 f(x)dx = − cot f(x) + C

∫1

1 + x2dx = arctan x + C

∫f ′(x)

1 + f(x)2dx = arctan f(x) + C

∫1√

1− x2dx = arcsin x + C

∫f ′(x)√

1− f(x)2dx = arcsin f(x) + C

10

Tabla de integrales inmediatas (continuacion)

∫ −1√1− x2

dx = arc cos x + C

∫ −f ′(x)√1− f(x)2

dx = arc cos f(x) + C

∫exdx = ex + C

∫f ′(x)ef(x)dx = ef(x) + C

∫axdx =

ax

ln a+ C

∫f ′(x)af(x)dx =

af(x)

ln a+ C

Ejercicios de integrales indefinidas

1. Calcular la integral∫

x5dx.

Solucion.-x6

6+ C.


(x +√

x)dx.

Solucion.-x2

2+

2x√

x

3+ C.

3. Calcular la integral∫ (

3√x− x

√x

4

)dx.

Solucion.- 6√

x− 110

x2√

x + C.

4. Calcular la integral∫ x2

√x

dx.

Solucion.-25x2√

x + C.

5. Calcular la integral∫ (

1x2

+4

x√

x+ 2

)dx.

Solucion.- − 1x− 8√

x+ 2x + C.

6. Calcular la integral∫ 1

4√

xdx.

Solucion.-43

4√

x3 + C.

11


e5xdx.

Solucion.-15e5x + C.


cos 5xdx.

Solucion.-sin 5x

5+ C.


sin axdx.

Solucion.- −cos ax

a+ C.

10. Calcular la integral∫ ln x

xdx.

Solucion.-12

ln2 x + C.


sin2 3xdx.

Solucion.- −cot 3x

3+ C.


cos2 7xdx.

Solucion.-tan 7x

7+ C.


3x− 7dx.

Solucion.-13

ln |3x− 7|+ C.


1− xdx.

Solucion.- − ln |1− x|+ C.


5− 2xdx.

Solucion.- −12

ln |5− 2x|+ C.


tan 2xdx.

Solucion.- −12

ln | cos 2x|+ C.


sin2 x cos xdx.

Solucion.-sin3 x

3+ C.


cos3 x sin xdx.

Solucion.- −cos4 x

4+ C.

12


x√

x2 + 1dx.

Solucion.-13

√(x2 + 1)3 + C.

20. Calcular la integral∫ x√

2x2 + 3dx.

Solucion.-12

√2x2 + 3 + C.

21. Calcular la integral∫ cosx

sin2 xdx.

Solucion.- − 1sin x

+ C.

22. Calcular la integral∫ sinx

cos3 xdx.

Solucion.-1

2 cos2 x+ C.

23. Calcular la integral∫ tanx

cos2 xdx.

Solucion.-tan2 x

2+ C.

24. Calcular la integral∫ cot x

sin2 xdx.

Solucion.- −cot2 x

2+ C.

25. Calcular la integral∫ ln(x + 1)

x + 1dx.

Solucion.-ln2(x + 1)

2+ C.

26. Calcular la integral∫ cos x√

2 sin x + 1dx.

Solucion.-√

2 sinx + 1 + C.

27. Calcular la integral∫ sin 2x

(1 + cos 2x)2dx.

Solucion.-1

2(1 + cos 2x)+ C.

28. Calcular la integral∫ sin 2x√

1 + sin2 xdx.

Solucion.- 2√

1 + sin2 x + C.

29. Calcular la integral∫ √tanx + 1

cos2 xdx.

Solucion.-23

√(tan x + 1)3 + C.

13

30. Calcular la integral∫ ln2 x

xdx.

Solucion.-ln3 x

3+ C.

31. Calcular la integral∫ arcsin x√

1− x2dx.

Solucion.-arcsin2 x

2+ C.

32. Calcular la integral∫ x

x2 + 1dx.

Solucion.-12

ln(x2 + 1) + C.

33. Calcular la integral∫ x + 1

x2 + 2x + 3dx.

Solucion.-12

ln(x2 + 2x + 3) + C.


e2xdx.

Solucion.-12e2x + C.


ex2 dx.

Solucion.- 2ex2 + C.


esin x cos xdx.

Solucion.- esin x + C.


3xexdx.

Solucion.-3xex

ln 3 + 1+ C.


e−3xdx.

Solucion.- −13e−3x + C.


ex2+4x+3(x + 2)dx.

Solucion.-12ex2+4x+3 + C.


1 + 2x2dx.

Solucion.-1√2

arctan(√

2x) + C.

41. Calcular la integral∫ 1√

1− 3x2dx.

Solucion.-1√3

arcsin(√

3x) + C.

14

42. Calcular la integral∫ 1√

9− x2dx.

Solucion.- arcsinx

3+ C.


4 + x2dx.

Solucion.-12

arctanx

2+ C.

15

Integracion por partes

Recordemos la formula de la deriva del producto de funciones

d

dx[u(x)v(x)] = u′(x)v(x) + u(x)v′(x),

que expresada bajo forma de diferencial da lugar a

d[u(x)v(x)] = d[u(x)]v(x) + u(x)d[v(x)].

De donde se obtiene,u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)]− v(x)d[u(x)].

Integrando ahora ambos miembros tendremos∫

u(x)d[v(x)] = u(x)v(x)−∫

v(x)d[u(x)],

que se escribe tambien en forma abreviada,∫

udv = uv −∫

vdu. (1)

Esta expresion es conocida como la formula de la integracion por partes y es de gran utilidadpara la resolucion de integrales. Se aplica a la resolucion de las integrales

∫udv a partir de

la integral∫

vdu que se supone mas sencilla. La aplicacion de (1) exige primero identificaradecuadamente en el integrando las funciones u(x) y v(x). Veamos un ejemplo

Ejemplo 1 Si queremos calcular la integral∫

x3 ln xdx,

observemos que la integral de x3 es inmediata y que la derivada de ln x es tambien muy sencilla.Ası, si asignamos

u = ln x y dv = x3dx,

tendremos

du =dx

xy v =

x4

4+ C1,

si integramos ahora∫

x3 ln xdx =∫

ln x

[d

(x4

4+ C1

)]

=(

x4

4+ C1

)lnx−

∫ (x4

4+ C1

)dx

x

=(

x4

4+ C1

)lnx−

∫ (x3

4+

C1

x

)dx

=x4

4ln x− x4

16+ C.

Observemos que la primera constante de integracion C1 se cancela de la respuesta final (C1 ln x−C1 ln x). Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la practica, nuncaincluimos una constante de integracion en v(x), simplemente tomaremos para v(x) cualquierprimitiva de dv(x).

16

Algunos tipos de integrales que se resuelven por partes

∫xnexdx u = xn dv = exdx

∫xn sinxdx u = xn dv = sin xdx

∫xn cos xdx u = xn dv = cos xdx

∫xn lnxdx u = ln x dv = xndx

∫arctanxdx u = arctan x dv = dx

∫arcsin xdx u = arcsinx dv = dx

∫ln xdx u = ln x dv = dx

Ejercicios de integracion por partes


xexdx.

Solucion.- xex − ex + C.


ln xdx.

Solucion.- x ln x− x + C.


x2e3xdx.

Solucion.- e3x

(x2

3− 2x

9+

227

)+ C.


x3e−xdx.

Solucion.- −e−x(x3 + 3x2 + 6x + 6

)+ C.


x sinxdx.

Solucion.- −x cos x + sin x + C.


x2 cos 2xdx.

Solucion.-x2 sin 2x

2+

x cos 2x

2− 1

4sin 2x + C.


ex sinxdx.

Solucion.-−ex cosx + ex sin x

2+ C.


x5ex3dx.

Solucion.-ex3

3(x3 − 1) + C.

17

Ejercicios de integrales definidas y calculo de areas

1. Calcular la integral definida∫ 1

0x4dx.

Solucion.-15.


0exdx.

Solucion.- e− 1.

3. Calcular la integral definida∫ π

20

sinxdx.

Solucion.- 1.


0

11 + x2

dx.

Solucion.-π

4.

5. Hallar el area de la figura comprendida entre la curva y = 4− x2 y el eje X.

Solucion.- 1023.

6. Hallar el area de la figura comprendida entre las curvas y2 = 9x e y = 3x.

Solucion.-12.

7. Hallar el area de la figura limitada por la hiperbola equilatera xy = a2, el eje X y lasrectas x = a y x = 2a.

Solucion.- a2 ln 2.

resÚmenes de matemÁticas iiuna vez mÁs desconozco si todos ellos sÓn de licencia libre, asÍ que...

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