1. Resistencia de Materiales Aplicada Primera Edicin Alejandro M. Mayori M.

2. Resistencia de Materiales Aplicada Primera Edicin Alejandro M. Mayori M. Universidad Mayor de San Andrs Revisin Tcnica: Editorial Yucatn Hermosa La Paz Bolivia Impreso en La Paz Bolivia 1

3. Dedicatoria A mis hijas Mariel y Marian A mi esposa, padres y hermanos 2

4. Prefacio El presente libro estudia los temas ms importantes de la Resistencia de Materiales, con nfasis en aplicaciones, solucin de problemas y diseo de elementos estructurales y dispositivos mecnicos. El presente texto esta orientado para alumnos de Ingeniera del segundo o tercer ao. Es recomendable que los estudiantes que lean este texto hayan completado un curso de esttica y otro sobre las propiedades de momentos y centroides de reas planas. En el presente libro, la resistencia de materiales se basa en conceptos bsicos y en el uso de conceptos simplificados de los cuales se deducen las ecuaciones de modelos matemticos. En la mayora de los captulos el objetivo principal es la determinacin de los esfuerzos normales y cortantes, para luego determinar sus valores mximos y finalmente el clculo de las correspondientes deformaciones. Se estudian cargas de Traccin, Corte, Torsin y Flexin. Estos tipos de carga se complementan con un apreciable nmero de ejemplos o problemas resueltos y luego con problemas propuestos para que el alumno refuerce su comprensin. Las unidades que se emplean en el presente libro son las unidades mtricas y para la solucin de muchos de los problemas se uso software matemtico como MATHCAD. 3

5. NDICE 1.Conceptos Generales 1.1.Introduccin 1.2.Concepto de Esfuerzo (Esfuerzo) 1.3.Concepto de Deformacin por Esfuerzos Normales 1.4.Coeficiente de Poisson 1.5.Concepto de Deformacin por Esfuerzos Cortantes 1.6.Propiedades Mecnicas de los Materiales 1.7.Esfuerzo admisible - Coeficiente de Seguridad 1.8.Modulo de Elasticidad - Ecuacin de Hooke 1.9.Cargas Estticas y Variables 1.10.- Esfuerzo admisible para Cargas Variables PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 2.Traccin Compresin 2.1.Introduccin 2.2.Esfuerzos en traccin compresin (Cargas en una dimensin) 2.3.Esfuerzos principales (Cargas en una dimensin) 2.4.Deformaciones (Cargas en una dimensin) 2.5.Esfuerzos en traccin compresin (Cargas en dos dimensiones) 2.6.Esfuerzos principales (Cargas en dos dimensiones) 2.7.Deformaciones (Cargas en dos dimensiones) 2.8.Cargas debido al Peso Propio 2.9.Deformaciones debido a la temperatura 2.10.- Problemas Estticamente Indeterminados (Hiperestticos) PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 3.Esfuerzos de Corte 3.1.Introduccin 3.2.Esfuerzos en corte 3.3.Esfuerzos principales 3.4.Deformaciones 3.5.Problemas Estticamente Indeterminados (Hiperestticos) PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 4.Torsin 4.1.Introduccin 4.2.Calculo de Esfuerzos 4.3.Deformaciones 4.4.Problemas Estticamente Indeterminados (Hiperestticos) PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 4

6. 5.Flexin - Fuerza Cortante y Momento Flector 5.1.Introduccin 5.2.Tipos de Cargas 5.3.Carga puntual equivalente de distribuida 5.4.Tipos de Apoyos 5.5.Tipos de Vigas 5.6.Calculo de reacciones 5.7.Momento Flector y Fuerza Cortante 5.8.Relacin entre el momento Flector y la Fuerza Cortante 5.9.Clculo del momento Flector y la Fuerza Cortante 5.10.- Valores del Momento Flector y la Fuerza Cortante en los extremos 5.11.- Calculo de Momentos por funciones de Singularidad PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 6.Flexin Esfuerzos Normales y Cortantes 6.1.Introduccin 6.2.Esfuerzos normales en flexin 6.3.Esfuerzo cortantes en flexin 6.4.Perfiles preferidos para secciones transversales de vigas PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 7.Deformaciones en flexin 7.1.Introduccin 7.2.mtodo de la doble integracin 7.3.Mtodo de Superposicin 7.4.Mtodo del rea del Diagrama de Momentos 7.5.Sistemas Hiperestticos.PROBLEMAS RESUELTOS a) Mtodo de la doble integracin b) Mtodo de Superposicin c) Mtodo del rea del diagrama de Momentos d) Sistemas hiperestticos PROBLEMAS PROPUESTOS a) Mtodo de la doble integracin b) Mtodo de superposicin c) Sistemas hiperestticos 8.Mtodos Energticos 8.1.Introduccin 8.2.Trabajo 8.3.Energa Potencial 8.4.Ecuaciones de la energa 8.5.Teorema de Castigliano PROBLEMAS RESUELTOS 5

7. PROBLEMAS PROPUESTOS 9.Esfuerzos Combinados 9.1.Introduccin 9.2.Ecuaciones para hallar el esfuerzo en cualquier direccin 9.3.Circulo de Mohr 9.4.Esfuerzos principales 9.5.Ecuaciones para hallar la deformada en cualquier direccin 9.6.Combinacin de Esfuerzos 9.7.Combinacin de Deformaciones PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 10.Pandeo de Columnas 10.1.- Introduccin y Objetivos 10.2.- Tipos de apoyos 10.3.- Tipos de Columnas 10.4.- Falla por pandeo (Formula de Euler) 10.5.- Falla por Compresin y por pandeo 10.6.- Formula de La Secante Problemas Resueltos Problemas Resueltos 6

8. 1.- CONCEPTOS GENERALES 1.1.- INTRODUCCIN 1.1.1 Propsito de la Resistencia de los Materiales En los cursos de esttica se consideran los cuerpos indeformables, sin embargo en la realidad los cuerpos sufren deformaciones. La Resistencia de los Materiales analiza a los cuerpos como deformables, predice estas deformaciones y permite encontrar los materiales y dimensiones ptimos. Con la Resistencia de los Materiales se puede verificar la habilidad de los elementos para soportar las cargas a las que estn sometidos y se pueden disear elementos seguros y baratos. Entonces en lo posterior se consideran a todos los cuerpos no rgidos sino elsticos, es decir, que cualquier carga producir en ellos deformaciones que en magnitud son pequeas comparadas con las dimensiones globales del cuerpo. 1.1.2. Tipos de elementos En el presente texto los cuerpos se clasificaran en tres tipos: a) Barra: Es un cuerpo que tiene dos dimensiones pequeas en comparacin con la tercera. La lnea une los centros de gravedad de sus secciones transversales se denomina eje centroidal de la barra Fig. 1.1.- Barra b) Placa: Es un cuerpo que tiene una dimensin pequea en comparacin con las otras dos. Fig. 1.2.- Placa c) Bloque: Es un cuerpo cuyas tres dimensiones son del mismo orden. 7

9. 1.1.3. Tipos de problemas La Resistencia de Materiales tiene como finalidad el clculo de los cuerpos sometidos a cargas y los problemas a resolver son de dos tipos: a) Dimensionamiento.- Cuando se busca seleccionar el material, las formas y dimensiones ms adecuadas de una pieza, de manera que sta pueda trabajar con seguridad, en buen estado y con costos adecuados. b) Verificacin.- Cuando una pieza tiene el material, las formas y dimensiones prefijadas y es necesario conocer si estas son las adecuadas para resistir el estado de solicitaciones actuantes. 1.1.4. Hiptesis fundamentales En el presente texto se asumen como ciertas las siguientes hiptesis: a) Los material se consideran continuos.- La mayora de los materiales cumple con esta hiptesis an cuando existan poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la materia, compuesta por tomos que no estn en contacto rgido entre s, ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red ordenada. b) Los materiales se consideran homogneos.- Con esta hiptesis se consideran las propiedades idnticas en todos los puntos. c) Los materiales son istropos.- Con esta hiptesis se consideran las propiedades idnticas en todas las direcciones. Los metales son materiales homogneos e istropos y la madera, el hormign y la piedra no lo son. d) Las fuerzas interiores que preceden a las cargas son nulas.- Las fuerzas interiores entre las partculas del material se oponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas. Al hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas moleculares que existen en un slido no sometido a cargas. e) Es vlido el principio de superposicin de efectos.- Debido a que las deformaciones de los cuerpos son pequeos en comparacin con las dimensiones del mismo, las ecuaciones de equilibrio correspondiente a un cuerpo cargado pueden plantearse sobre su configuracin inicial, es decir, sin deformaciones, y que las deformaciones son proporcionales a las cargas. f) Es aplicable el principio de Saint Venant.- Segn este principio las fuerzas interiores en los puntos de un slido, situados lejos de los lugares de aplicacin de las cargas no 8

10. dependen del modo de aplicacin de las mismas, por lo que se puede sustituir un sistema de fuerzas por otro equivalente g) Las cargas son estticas o cuasi-estticas.- Es decir que no varan con el tiempo 1.1.5. Metodologa Para el calculo de elementos y sistemas nunca se podrn incluir todas las variables por lo que se deben despreciar aquellas que no son relevantes. Por ejemplo, en el calculo del cable de un ascensor se deben incluir el peso de la cabina, su aceleracin y el peso del cable, pero se pueden despreciar la resistencia al aire del ascensor, la presin baromtrica a distintas alturas, la variacin de la temperatura con la altura, etc. Adicionalmente se debern realizar ciertas simplificaciones en: a) La geometra del objeto. As los slidos muy largos se idealizaran como barras. b) Los vnculos. Usualmente se consideran ideales. c) Los sistemas de fuerzas aplicadas. Las cargas concentradas prcticamente no existen en la realidad, sino que son las resultantes de fuertes presiones localizadas en zonas pequeas. d) Las propiedades de los materiales. 1.2. FUERZAS Y MOMENTOS INTERNOS Los elementos de estructuras o maquinas estn sometidos a la accin de fuerzas y momentos externos. Estas Fuerzas y Momentos externos generan en las secciones internas de los cuerpos, Fuerzas y Momentos Internos que cuando sobrepasan a las fuerzas de atraccin de las molculas del material producen la separacin o rotura de la pieza. Las Fuerzas y los Momentos de cada seccin internos se pueden hallar generalmente con las ecuaciones de la esttica P1 Fuerza Interna P2 Momento Interno M2 M1 Pn P3 Mn M3 P1 P4 Fig. 1.3.- Fuerza y Momento Internos 9

11. La magnitud y direccin de la Fuerza y el Momento internos dependen de la seccin elegida, pero pueden descomponerse en una direccin normal y en otra tangencial a la seccin. Estas componentes definen los diferentes tipos de carga. As la componente de la Fuerza Normal a la seccin producir cargas Normales de Traccin o Compresin, la componente de la Fuerza Tangencial a la seccin producir cargas de Corte o Tangenciales, la componente del Momento Normal a la seccin producir cargas de Torsin y la componente del Momento Tangencial a la seccin producir cargas de Flexin. 1.3. CONCEPTO DE ESFUERZO O TENSIN Considrese una barra sometida a la accin de dos fuerzas iguales, opuestas y colineales en sus extremos. Se verifica el equilibrio: P - P = 0 Fig. 1.4.- Fuerzas Moleculares Si se aumenta el tamao de una seccin de la barra hasta ver sus molculas. La fuerza externa se distribuye en pequeas fuerzas tirando de cada molcula, que tratan de separarla de sus vecinas. Sin embargo la atraccin entre molculas opone resistencia con una fuerza igual y contraria, lo que finalmente impide que las molculas se alejen entre si. Tomando un par de ellas se verifica que: -Pi Fi -Fi Pi (1.1 Donde Pi es la accin sobre cada molcula generada por las fuerzas P y Fi las reacciones que opone el material generada por la atraccin molecular (o Atmica). Aumentando P aumenta la reaccin Fi , que podr crecer hasta un determinado lmite, ms all del cual las molculas se separan irremediablemente, y como consecuencia la barra se deforma permanentemente o se separa. 1.3.1. Hiptesis de Navier A fin de facilitar el estudio del comportamiento de los slidos homogneos frente a los distintos esfuerzos, Navier propuso la siguiente hiptesis: Un slido homogneo puede imaginrselo como una sucesin de innumerables secciones transversales paralelas 10

12. entre si y perpendiculares a su eje longitudinal (Parecido a varios naipes firmemente pegados entre s). Cada seccin transversal sera tan delgada como el dimetro de un tomo. Al mirar la barra de costado veramos: Fig. 1.5.- Hiptesis de Navier Entonces de acuerdo al modelo de Navier, en un slido homogneo cada seccin transversal es una especie de placa con el espesor de un tomo, donde todos los tomos estn perfectamente ordenados y dispuestos segn un arreglo matricial cuadrado. Sobre cada tomo de cada una de las secciones, actuar una fuerza Pi, de manera que podramos escribir : Pi = P n (1.2 n P = Pi (1.3 i =0 Donde : n el nmero de tomos que hay en la seccin transversal. Este modelo atmico explica el comportamiento de un slido ideal. Sin embargo los materiales reales distan mucho de esta definicin, por lo que en un modelo ms macro se divide a cada seccin transversal en un nmero finito N de reas unitarias elementales y que al aplicar una fuerza P esta no se concentra en un solo punto sino que se distribuye en toda el rea de la seccin dando como resultado una fuerza Fi sobre cada rea unitaria. La fuerza que soporta cada unidad de rea es el Esfuerzo. Esfuerzo = Fuerza F = Area A (1.4 1.3.2.- Esfuerzos Normales () Aquellos esfuerzos o fuerzas que soporta cada unidad de rea cuya direccin es perpendicular a la seccin transversal se conocen como esfuerzos normales. Para 11

13. fuerzas de compresin el esfuerzo normal ser negativo y para fuerzas de traccin el esfuerzo normal ser positivo. En la figura 6, se muestran dos perfiles unidos por un perno que soportan la accin de dos fuerzas opuestas P y paralelas al eje del perno. En las secciones transversales al perno aparecen fuerzas internas perpendiculares a estas secciones que se distribuyen generando solo esfuerzos normales. P P P Esf uerzos Normales P Fig. 1.6.- Esfuerzos Normales 1.3.2.- Esfuerzos Cortantes () Aquellos esfuerzos o fuerzas que soporta cada unidad de rea cuya direccin es tangencial a la seccin transversal se conocen como esfuerzos cortantes. Los esfuerzos de corte no son positivos ni negativos. En la figura 7, se muestran dos piezas unidas por un perno que soportan la accin de dos fuerzas opuestas P y perpendiculares al eje del perno. En las secciones transversales al perno aparecen fuerzas internas tangenciales a ellas que se distribuyen generando solo esfuerzos cortantes. P P P P Esfuerzos Cortantes Fig. 1.7.- Esfuerzos Cortantes Los esfuerzos normales y cortantes aparecen por lo general simultneamente y sus valores no son constantes en una seccin sino que varan de un punto a otro. 12

14. 1.4. RESISTENCIA DE LOS CUERPOS Los esfuerzos que un cuerpo puede soportar dependen nicamente del material Sin embargo las Fuerzas y Momentos que un cuerpo puede soportar dependen adems del material, de sus dimensiones. C a b le A lu m in io 0 .1 [c m ] (a ) C a b le A c e ro 0 .0 5 [ c m ] (b ) Fig. 1.8.- Resistencia de Cables A modo de ilustracin, se pide elegir el cable mas resistente de dos cables, el primero de aluminio de 1 mm de dimetro y el segundo de acero de 0.5 mm de dimetro. Un breve anlisis no sugiere que : - Si ambos cables tuvieran el mismo dimetro, debido a que el acero es ms resistente que el aluminio se debera elegir al segundo - Si el material fuera el mismo para ambos cables, el de mayor resistencia fuera el de mayor dimetro y por lo tanto se debera elegir al primero Ahora bien como los materiales y las dimensiones son diferentes la eleccin del cable con mayor resistencia se complica. La eleccin se analiza en la seccin de problemas resueltos. 1.5. DENSIDAD O FLUJO DE ESFUERZOS Fig. 1.9.- Densidad de Esfuerzos 13

15. Si una barra de seccin constante es sometida a cargas de traccin F, en cualquier seccin transversal aparece una fuerza interna de igual magnitud F que equilibra a la externa y que se origina solo esfuerzos normales = F/A de magnitud constante. Cuando una barra de seccin variable se somete a cargas de traccin F, en cualquier seccin transversal aparece una fuerza interna F que equilibra a la externa que se distribuye en esfuerzos normales. Sin embargo la magnitud de estos esfuerzos es variable debido a la variacin del rea. Estos esfuerzos son mayores donde las secciones normales son las menores y viceversa. Dibujando lneas equidistantes de la periferia se puede apreciar que ellas tienen mayor concentracin o densidad donde el rea es menor. La magnitud de los esfuerzos es proporcional a la concentracin de lneas equidistantes. Este fenmeno es similar a la velocidad que adquiere un fluido en una tubera por lo que tambin es conocido por flujo de esfuerzos. 1.6. CONCENTRACIN DE ESFUERZOS Fig. 1.10.- Concentracin de Esfuerzos Los cambios o variaciones de las secciones transversales de una pieza y especialmente las variaciones bruscas, resultan en la magnificacin de los Esfuerzos efecto conocido como Concentracin de Esfuerzos. Las hendiduras, agujeros y cambios de seccin bruscos son Concentradores de Esfuerzos. Se ha podido verificar que por ejemplo un agujero circular en una placa plana incrementa los esfuerzos hasta tres veces. 1.7. TIPOS DE SOLICITACIN O CARGA Los tipos de solicitacin o carga son: 1.7.1.- Cargas Axiales de Traccin o Compresin Fig. 1.11.- Barra sometida a cargas de traccin 14

16. Una barra recta esta sometida a cargas de traccin o compresin sometida a fuerzas paralelas a su eje centroidal. Dependiendo si la carga tiende a estirar o a comprimir la pieza, la carga ser de traccin o compresin. 1.7.2.- Cargas Tangenciales o de Corte Un cuerpo esta sometido a cargas tangenciales o de corte cuando sus caras o secciones internas soportan fuerzas tangenciales. P P Fig. 1.12.- Cuerpos sometidos a cargas de Tangenciales o de Corte 1.7.3.- Cargas de Torsin Una barra esta sometida a cargas de torsin cuando en sus extremos estn aplicados momentos con direccin paralela al centroidal. Mom en to Mo mento Fig. 1.13.- Barra sometida a cargas de Torsin 1.7.4.- Cargas de Flexin Una viga esta sometida a cargas de flexin cuando soporta fuerzas y momentos con direccin perpendicular a su eje centroidal Fuerza Momento Fig. 1.14.- Viga sometida a cargas de Flexin 15

17. 1.7.5.- Cargas Combinadas Los cuerpos y elementos bajo condiciones de carga reales presentaran la combinacin de los anteriores tipos de carga. En el presente texto inicialmente se analizaran los tipos de carga individual separadamente El cmo combinar los diferentes tipos de carga, se analizar posteriormente. 1.8. DEFORMACIONES Las deformaciones que presentan los cuerpos dependen de los tipos de carga a los que estn sometidos 1.8.1.- Deformacin provocada por Cargas de Axiales Fig. 1.15.- Deformacin provocada por Cargas Axiales Una barra sometida a cargas axiales adems de experimentar deformacin segn la Direccin de la fuerza, el cuerpo tambin se deforma en las direcciones normales a ella. La traccin provoca alargamiento con adelgazamiento y la compresin acortamiento con ensanchamiento Las deformaciones se definen como: = lf - lo = (lf lo)/lo q = df - do q = (df do)/do lf, lo, df y do Deformacin longitudinal Deformacin longitudinal unitaria Deformacin transversal Deformacin transversal unitaria Dimensiones longitudinal y normal final e inicial 1.8.2. Coeficiente de Poisson Se define como coeficiente o mdulo de Poisson a la relacin entre las ddeformaciones longitudinal y transversal unitarias = q (1.5 16

18. El coeficiente de Poisson vale de 0,25 a 0,35 en los materiales metlicos, de 0,1 a 0,25 para el concreto y para los elastmeros y materiales plsticos hasta 0,5. 1.8.3.- Deformacin provocada por Cargas de Corte Las cuerpos sometidos a Cargas de Corte mas que deformarse (cambio de dimensiones) se distorsionan (cambio de forma). Fig. 1.16.- Distorsin provocada por Cargas de Corte La deformacin se define como: Angulo de inclinacin de las caras 1.8.4.- Deformacin provocada por Cargas de Torsin Las barras sometidas a cargas de Torsin no presentan deformaciones longitudinales sino rotaciones o deformaciones angulares. Las secciones transversales giran una respecto a otra. Fig. 1.17.- Deformacin provocada por Cargas de Torsin La deformacin se define como: Angulo de rotacin entre extremos de la barra 17

19. 1.8.5.- Deformacin provocada por Cargas de Flexin Los cuerpos generalmente rectos sometidos a cargas de Flexin se vuelven curvos por lo que presentan deformaciones lineales y angulares. Fig. 1.18.- Deformacin provocada por Cargas de Flexin Las deformaciones se definen como: Deformacin lineal Deformacin angular 1.9.- RELACIN ESFUERZO NORMAL DEFORMACIN LONGITUDINAL. 1.9.1.- Ensayo de traccin El ensayo de traccin consiste en someter a una barra a cargas axiales y graduales de traccin y hallar las deformaciones que estas producen. Para ello en una mquina de ensayos se traccionan probetas normalizadas para poder repetir internacionalmente el ensayo. Para los aceros, la probeta tiene en su parte central una seccin transversal circular con un rea de 1 cm2, (dimetro = 11,284 mm). Esta seccin se ensancha gradualmente en sus extremos para una mejor sujecin a las mordazas de la mquina de ensayos. L Fig. 1.19.- Probeta para el ensayo de traccin 1.9.2.- Grafico Esfuerzo Deformacin La relacin entre esfuerzos normales vs. deformaciones unitarias para el caso del acero comn (acero dulce) presenta una forma similar al de la figura. 18

20. Fig. 1.20.- Diagrama Esfuerzo - Deformacin 1.9.3.- Propiedades Mecnicas En el Diagrama Esfuerzo - Deformacin se definen: a) Zona elstica.- Zona donde las deformaciones no son permanentes b) Zona plstica.- Zona donde las deformaciones son permanentes c) Lmite de elasticidad Se.- Esfuerzo mximo que provoca deformaciones no permanentes d) Lmite de proporcionalidad Sp.- Esfuerzo mximo donde hay proporcionalidad entre los esfuerzos y las deformaciones e) Lmite de fluencia Sy.- Esfuerzo que produce uma aumento de deformacion sin incremento de esfuerzo La esfuerzo de proporcionalidad resulta ser aproximadamente el 80% de la esfuerzo de fluencia. p = 0.8 y (1.6 Durante la fluencia se producen deslizamientos relativos entre los cristales y en la superficie de la probeta aparecen las llamadas lneas de Chernov - Lders, que forman con el eje de la misma un ngulo de 45. Fig. 1.21.- Lneas de Chernov - Lders 19

21. e) Lmite de rotura Sut.- Sobrepasada la fluencia, el material se endurece y admite un incremento de carga aunque con grandes deformaciones. El lmite de rotura es el esfuerzo mximo del grafico. Este esfuerzo luego disminuye hasta que se produce la rotura o separacin fsica. Fig. 1.22.- Estriccion f) Coeficiente de estriccin lateral .- Pasado el esfuerzo de rotura Sut, la seccin central de la pieza se reduce por lo que aumentan las esfuerzos (diagrama efectivo) aunque para el clculo de las esfuerzos se toma el rea inicial (diagrama convencional). Fig. 1.23.- Diagrama efectivo y convencional Se define el coeficiente de estriccin lateral, como: = Ao A f Af (1.7 donde Ao y Af son las reas inicial y final. En los aceros ~ 50% g) Mdulo de elasticidad E.- Es la tangente de la recta en la zona elstica 1.9.4.- Ecuacin de Hooke En la zona elstica 20

22. tg ( ) = =E (1.8 1.9.5.- Endurecimiento Cuando una pieza metlica se descarga en la zona plstica, el esfuerzo desaparece por una recta paralela a la de la zona elstica, quedando una deformacin permanente. Si la pieza se carga de nuevo la curva llega al punto N, y la proporcionalidad entre esfuerzos y deformadas se verifica hasta esfuerzos mayores a la fluencia inicial. Fig. 1.24.- Endurecimiento mecnico de los metales Este fenmeno se denomina endurecimiento mecnico o por trabajo en fro y puede lograrse por laminado en fro, trefilado o torsin. El trefilado se utiliza para endurecer alambres o barras circulares finas, y el torsionado para barras redondas. Las caractersticas de los aceros endurecidos son: - Sus lmites de proporcionalidad y elasticidad son ms elevados que los aceros comunes. - La deformacin de rotura se reduce considerablemente - No hay una zona de escurrimiento plstico ni un lmite de fluencia definido. Este se determina en forma convencional como la esfuerzo para la cual la deformacin unitaria permanente del 0.2 % Sut Sy Sp Fig. 1.25.- Limite de fluencia de metales endurecidos 1.9.6.- Materiales dctiles y frgiles 21

23. Los materiales como el acero dulce, que alcanzan una gran deformacin antes de alcanzar la rotura, se denominan dctiles y los materiales como el acero duro donde la rotura se produce sin grandes deformaciones se denominan frgiles. Acero de Alta Calidad M aterial Fragil Aceros de M edia Calidad Acero Corriente M aterial Ductil Fig. 1.26.- Materiales dctiles y frgiles 1.9.7.- Modulo de elasticidad de materiales no metlicos El diagrama esfuerzo deformacin de algunos materiales no presenta un tramo recto (Ej. el hormign) y se toman tres valores del mdulo de elasticidad Fig. 1.27.- Diagrama Esfuerzo Deformacin de materiales no metlicos a) Mdulo al origen.- Que es la tangente en el origen E = tg ( ) (1.9 b) Mdulo instantneo. Que es la tangente en cada punto E= d = tg ( ) d (1.10 c) Mdulo secante.- Que es la tangente del ngulo 1. E = tg (1 ) (1.11 Para estos materiales, Bach, propone k = E (1.12 22

24. Material Coeficiente k Hormign k = 1,15 Cobre k = 1,10 Latn k = 1,085 Cuero k = 0,70 En el caso particular en que se toma k = 1, 0 se obtiene la ley de Hooke 1.9.8.- Diagramas esfuerzo deformacin ideal Para simplificar el manejo matemtico se puede idealizar los diagramas de esfuerzo deformacin (Prandtl). Para un material dctil se toman dos tramos rectos, el primero inclinado correspondiente al perodo elstico; el otro horizontal, correspondiente al perodo de fluencia. El perodo de endurecimiento no interesa porque la deformacin al final de la fluencia es tan significativa que el material est en falla antes de llegar a la rotura. Sy Sy = Sut Sut y Diagrama ideal de un material ductil ut Diagrama ideal de un material fragil Diagrama ideal de un material plastico Fig. 1.28.- Diagrama Esfuerzo Deformacin ideal Para un material frgil el lmite de proporcionalidad es muy prximo a la esfuerzo de rotura, prescindindose entonces del tramo curvo. Para materiales plsticos el diagrama es una recta horizontal, lo que significa que sometidos a una carga, se deforman indefinidamente sin incremento de esfuerzo. 1.10.- RELACIN ESFUERZO CORTANTE DEFORMACIN ANGULAR. 1.10.1.- Ensayo de corte El ensayo de corte consiste en someter a un cuerpo a cargas graduales de corte y hallar las deformaciones que estas producen. Para ello generalmente un paraleleppedo fijo en su parte inferior y de baja altura es sometido a cargas de corte P en su cara superior. 23

25. Fig. 1.29.- Probeta para el ensayo de corte La grafica entre esfuerzos cortantes y deformaciones , es similar a la de esfuerzos normales. Fig. 1.30.- Grafica esfuerzos cortantes - deformaciones 1.10.2.- Propiedades Mecnicas En el diagrama se definen: a) Zona elstica.- Zona donde las deformaciones no son permanentes b) Zona plstica.- Zona donde las deformaciones son permanentes c) Lmite de elasticidad Se.- Esfuerzo mximo al que el material se comporta elsticamente d) Lmite de proporcionalidad Sp.- Esfuerzo mximo donde se verifica proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones e) Limite de fluencia Sy.- Esfuerzo que produce uma aumento de deformacion sin incremento de esfueroz f) Mdulo de elasticidad transversal G.- Es la tangente de la recta en la zona elstica 1.10.2.- Ecuacin de Hooke En la zona elstica los esfuerzos cortantes son proporcionales a las deformaciones angulares tg ( ) = =G (1.13 24

26. Los mdulos de elasticidad longitudinal y transversal estn relacionados por: E=2G(1+) (1.14 1.11.- COEFICIENTE DE SEGURIDAD Y ESFUERZO ADMISIBLE En una pieza existen numerosas causas de incertidumbres: - Las hiptesis de cargas - Las hiptesis de clculo - Los errores de clculos - Defectos del material - Errores de las dimensiones - Errores de ejecucin La falla de una pieza adems de una perdida econmica puede provocar perdidas humanas por lo que se debe buscar la mxima seguridad. La teora de probabilidades nos ensea que no se puede lograr una seguridad absoluta, lo nico que puede hacerse es mantener reducidas las probabilidades de falla. Para ello el esfuerzo mximo de trabajo no debe superar cierto valor. max S adm max S ' adm (1.15 (1.16 donde : es el coeficiente de seguridad un nmero mayor que la unidad SL para materiales dctiles es el lmite de fluencia y para frgiles es el lmite de rotura La eleccin del coeficiente de seguridad es compleja pero disposiciones reglamentarias que tratan sobre construcciones de acero; indican valores que varan entre 1.25 y 1.60. Para estructuras de hormign armado, los coeficientes de seguridad varan entre 1,75 y 2,10. 1.12.- CARGAS ESTTICAS Y VARIABLES 1.12.1.- Cargas Estticas Se denominan cargas estticas a aquellas en las que la magnitud de la carga se mantiene invariable con el transcurso del tiempo. 25

27. P P ax m Pm i n t Fig. 1.31.- Carga esttica 1.12.2.- Cargas Variables Cargas Variables son aquellas en las que la magnitud de la carga vara con el transcurso del tiempo. Por lo general estas cargas pueden representarse por ondas armnicas. P P ax m t P in m Fig. 1.32.- Carga variable Se define el valor medio de la carga como a la semisuma de los valores extremos Pmed = Pmax + Pmin 2 (1.17 Dos casos especiales de las cargas variables son: - Cargas Intermitentes.- Son aquellas cuyo valor mnimo es cero. P Pm a x P in m t Fig. 1.33.- Carga Intermitente Pmed = Pmax 2 (1.18 26

28. - Cargas Alternantes.- Son aquellas cuyos valores mximos y mnimos tienen igual magnitud pero diferente sentido P P ax m t P in m Fig. 1.34.- Carga Alternante Pmed = Pmax + Pmin =0 2 (1.19 1.12.3.- Teora de Goodman Modificado Existen varias teoras para verificar la falla frente a cargas variables. En el presente libro se analizara slo la teora de Goodman Modificado que exige a los esfuerzos estar dentro de la regin sombreada del Diagrama de Goodman Esfuerzos Mximos S ut Sy Esfuerzos Medios Se 45 med Esfuerzos Mnimos -S e Fig. 1.35.- Diagrama de Goodman Para construir el diagrama se necesitan slo tres valores : El Limite de Rotura Sut , El Limite de Fluencia Sy y el Limite de Resistencia a la fatiga Se cuyo valor aproximado es la mitad de la resistencia a la rotura. 27

29. PROBLEMAS RESUELTOS 1.1. Hallar la capacidad de carga de dos cables metlicos, el primero de Aluminio con un dimetro de 1 mm y el segundo de Acero con un dimetro de 0.5 mm. Tomar Sy al 2 2 = 283 Mpa (2884.8 Kg/cm ) y Sy ac= 428 Mpa (4362.8 Kg/cm ). Cable Al 0.1 [cm] (a) Cable Ac 0.05 [cm] (b) Solucin : P Sy A P AS y = De donde Pal= 22.65 Kg Pac= 8.56 Kg Por lo que el cable de aluminio puede levantar una mayor carga que el de acero. 1.2. Dos barras a y b con una longitud inicial de 10 cm y 100 cm y un dimetro de 1 cm, se deforman hasta alcanzar longitudes finales de 11 cm y 105 cm respectivamente. Se pide calcular las deformadas longitudinales (total y unitaria) Solucin : Ntese que: = lf lo = / lo = (lf - lo)/ lo a = 1 cm a = 0.1 (10%) b = 5 cm b = 0.05 (5%) a < b pero a > b 1.3. En el problema anterior ambas se pide calcular las deformadas transversales (total y unitaria). Tomar = 0.3 Solucin : q = - df = q d + d 28

30. qa = - 0.03 (3%) dfa = 0.97 cm qb = - 0.015 (1.5%) dfb = 0.985 cm 1.4. Para el problema 1.2 se pide hallar los esfuerzos a los que estn sometidas las piezas si son de acero. Tomar E = 2.1 x 10 6 Kg/cm2 = E a = 0.1 (10%) b = 0.05 (5%) Entonces a = 210000 Kg/cm2 b = 105000 Kg/cm2 Ningn material soporta estos esfuerzos. Estas deformadas (10 y 5 %) son imposibles. Solucin : 1.5. Cual es la deformada mxima que puede tener un acero antes de fallar. Tomar Sy = 428 Mpa (4362.8 Kg/cm2) y E = 2.1 x 10 6 Kg/cm2 Solucin : < Sy = E 0 1.10. Hallar los esfuerzos admisibles para carga esttica, carga intermitente y carga alternante del material del problema 8 30

32. Solucin : a) Carga esttica b) Carga intermitente c) Carga alternante 2 S = Sy = 4000 Kg/cm S =. Smax = x/2+3000 2 para x = 2000 S = 4000 Kg/cm 2 S = Se = 3000 Kg/cm 1.11. Para las cargas dadas determinar en cada caso si hay o no falla con el material del problema anterior. max = 3500 Kg/cm2 y min = 3500 Kg/cm2. 2 2 max = 3500 Kg/cm y min = 500 Kg/cm . 2 2 max = 4500 Kg/cm y min = 0 Kg/cm . max = 4500 Kg/cm2 y min = 1500 Kg/cm2. Solucin : med = (max+ min)/2 a med = 0 b med = 1500 Kg/cm2 c med = 2250 Kg/cm2 2 d med = 3000 Kg/cm S 6000 B 4000 3000 C A 45 D(20000,0) -3000 a) b) c) med E a med = 0 S max = 3000 < a max = 3500 b max = 3500 Kg/cm2 < 4000 Kg/cm2 y = x/2+3000 S max = 3750 > b max = 3500 Kg/cm2 2 b min = - 500 Kg/cm < 0 y = 1,5 x 3000 2 Smin = - 750 < b min = -500 Kg/cm 2 2 c max = 2250 Kg/cm < 4000 Kg/cm Hay falla No hay falla No hay falla 31

33. d) y = x/2+3000 2 Smax = 4125 < b max = 4500 Kg/cm 2 2 d max = 3000 Kg/cm < 4000 Kg/cm y = x/2+3000 2 Smax = 4500 < b max = 4500 Kg/cm 2 d min = 3000 Kg/cm > 0 y = 2x 4000 2 Smin = 2000 > b min = 1500 Kg/cm Hay falla No hay falla Hay falla 1.12. Hallar las ecuaciones genricas de los esfuerzos mximos, esfuerzos medios y esfuerzos mnimos. S S ut B Sy Se C A 45 D med A(0,0.5*S ut ) B(S ut ,S ut ) C(S y ,S y ) D(Descon,0) E(0,0.5*S ut ) -S e E Solucin: La ecuacin de la recta conocidos dos puntos es ( y y1 ) ( y 2 y1 ) = ( x x1 ) ( x 2 x1 ) La curva de esfuerzos mximos va de A a B ( y 0.5S ut ) ( S ut 0.5S ut ) = ( x 0) ( S ut 0) ( x + S ut ) para Smax< Sy S max = 2 Las curvas de esfuerzos mnimos van de B a E y de C a D ( y S ut ) (0.5S ut S ut ) BE) = ( x S ut ) (0 S ut ) (3x S ut ) para min < 0 S min = 2 CD) Cuando Smin = 0 x = Sut/3 y la coordenada de D ( Sut/3, 0) 32

34. (y Sy ) (0 S y ) S ( ut S y ) 3 ( x S y )( S y ) y= + Sy S ( ut S y ) 3 ( x S y )( S y ) S min = + Sy S ( ut S y ) 3 (x S y ) = para min > 0 33

35. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.13. Se pide hallar la carga que pueden levantar (resistencia) dos cables metlicos, el primero de Aluminio con un dimetro de 2 mm y el segundo de Acero con un dimetro 2 2 de 1 mm. Tomar Sy al = 2884.8 Kg/cm y Sy ac= 4362.8 Kg/cm 1.14. Se pide hallar resistencia de los cables del 1.anterior, para cargas Alternante e Intermitente. 1.15. Una carga de 100 Kg se aplica a una pieza de Acero con un dimetro de 1 cm y una longitud de 100 cm. Se pide calcular las deformadas longitudinal y transversal. 1.16. En el anterior 1.se pide calcular la variacin del volumen debido a la deformacin. 1.17. Que carga aplicada a una pieza cilndrica de Acero con un dimetro de 1 cm y una longitud de 100 cm produce una deformacin de 0,1 mm. 1.18. Cual es la deformada mxima que puede tener un Aluminio antes de alcanzar la 2 2 fluencia. Tomar Sy = 2884.8 Kg/cm y E = 0.7 x 10 6 Kg/cm 1.19. Construir el diagrama de Goodman Modificado para un material con Sy = 3000 Kg/cm2 Sut = 5000 Kg/cm2 y Se = Sut/2 = 2500 Kg/cm2 1.20. En el anterior 1.hallar las ecuaciones de los esfuerzos mximos, esfuerzos medios y esfuerzos mnimos. 1.21. Hallar los esfuerzos admisibles para carga esttica, carga intermitente y carga alternante del material de los problemas 4 y 5 1.22. Para las cargas dadas determinar en cada caso si hay o no falla con el material de los problemas 4, 5 y 6 max = 3000 Kg/cm y min = 3000 Kg/cm . max = 3000 Kg/cm2 y min = 500 Kg/cm2. 2 2 max = 4000 Kg/cm y min = 0 Kg/cm . 2 2 max = 4000 Kg/cm y min = 1500 Kg/cm . 2 2 1.23. Hallar las ecuaciones genricas de los esfuerzos mximos, esfuerzos medios y esfuerzos mnimos. 34

36. PROPIEDADES MECNICAS Material Aluminun allys 2014-T4 Aluminun allys 2014-T6 Aluminun allys 2024-T4 Aluminun allys 6061-T6 Aluminun allys 7075-T6 Brass (Red, cold rolled) Brass (Red, annealed) Bronze (cold rolled) Bronze (annealed) Cast iron (esfuerzo) Cast iron (compression) Concrete (compression) Copper (cold-drawn) Plate glass Magnesium alloy Monel (wrough, hot rolled) Nickel alloy Nylon Polyethylene Rubber (average) Steel .2% C hardened Steel .2% C cold-rolled Steel .2% C hot-rolled Steel .4% C hot-rolled Steel .8% C hot-rolled Steel Stainless (cold-rolled) Steel Stainless (heat-treated) Steel, structural Steel ASTM-A36 Steel ASTM-A572 Steel ASTM-A514 Douglas Fir Southern Pine Red Oak Sy Sut Ksi MPa Ksi 41 283 62 60 410 70 48 331 68 40 276 45 70 483 80 60 414 75 15 104 40 75 772 100 20 138 50 29.5 205 40 - 125 2 13.8 5 40 280 45 10 22 150 40 50 345 90 60 414 80 9 - 2.5 0.6 4 2 62 428 90 60 414 85 53 366 62 53 366 84 76 524 122 165 1140 190 132 911 150 36 50 100 6 6.5 4.6 250 340 700 41 45 32 60 70 120 7.4 8.4 6.9 MPa 428 480 470 310 552 518 276 515 345 275 870 35 310 70 280 621 552 60 17.5 13.5 620 587 428 580 842 1310 1040 400 500 830 51 58 48 E Ksi GPa 10,600 73 10,600 73 10,600 73 10,400 72 10,000 69 15,000 104 15,000 104 15,000 104 15,000 104 25,000 173 25,000 173 4,500 31 17,000 117 10,000 69 24,000 166 26,000 179 30,000 207 400 2.76 150 1 0.4 0.00276 30,000 207 30,000 207 30,000 207 30,000 207 30,000 207 29,000 200 29,000 200 29,000 200 29,000 200 29,000 200 1,300 9 1,900 13.1 1,800 12.4 Ksi 4,000 3,800 3,900 3,900 3,750 5,500 5,500 6,500 6,500 12,500 12,500 6,300 4,000 20,000 9,500 11,400 0.0007 11,600 11,600 11,600 11,600 11,600 12,500 12,500 11,000 11,000 11,000 - G GPa 27.6 26.2 27 27 26 38 38 44.9 44.9 86.3 86.3 43.5 27.6 138 65.6 78.7 41.5 80 80 80 80 80 86.3 86.3 75.9 75.9 75.9 - 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 0.34 0.34 0.34 0.34 0.28 0.28 0.15 0.35 0.2 0.35 0.32 0.31 0.4 0.4 0.48 0.32 0.32 0.32 0.32 0.32 0.27 0.27 0.32 0.32 0.32 0.29 0.3 0.3 Tabla 1 35

37. 2.- TRACCIN COMPRESIN 2.1- INTRODUCCIN Una barra esta sometida a cargas de traccin o compresin cuando soporta fuerzas en sus extremos dirigidos a lo largo de su eje centroidal. Dependiendo si la carga tiende a estirar o a comprimir la pieza, la carga ser de traccin o compresin. Fuerza Fuerza Fig. 2.1.- Barra sometida a carga de traccin Ejemplos reales de elementos sometidos a este tipo de carga son los cables metlicos usados en maquinas de elevacin, arriostres y elementos de Armaduras. Para la validez de las ecuaciones y resultados de este captulo se asume la veracidad de las siguientes condiciones : 1.- Los elementos son rectos 2.- Los elementos tienen secciones transversales uniformes 3.- Las secciones transversales permanecen planas y perpendiculares al eje axial 4.- Las deformaciones son pequeas comparadas con las dimensiones de la barra 5.- Los esfuerzos no sobrepasan los lmites de fluencia. 6.- Las cargas estn aplicadas en los centros de gravedad de la seccin transversal, de modo que no se produce flexin 7.- Los elementos no son tan esbeltos para producir pandeo. 2.2.- ESFUERZOS Si en una barra sometida a traccin, se dibujan lneas rectas, paralelas y perpendiculares al eje de la barra antes de su deformacin, luego de su deformacin las distancias entre las rectas paralelas disminuyen y entre las rectas perpendiculares aumenta por lo que la pieza sufre un incremento en su longitud y un decremento del rea de su seccin transversal. 36

38. Esfuerzos P P Fig. 2.2.- Esfuerzos en una seccin transversal Entonces en cualquier seccin transversal actan solamente esfuerzos normales, distribuidas uniformemente. Por lo que: P = n dA = n dA = n A A n = (2.1 A P A (2.2 n = 0 (2.3 Sin embargo en una seccin inclinada un ngulo respecto a la seccin transversal, P P N Q Fig. 2.3.- Esfuerzos en una seccin inclinada Para equilibrar a la fuerza externa en la seccin aparece una fuerza interna de igual magnitud la que puede descomponerse en una fuerza N perpendicular a la seccin que produce esfuerzos normales y en otra fuerza Q tangencial a la seccin que produce esfuerzos cortantes. N = P Cos (2.4 Q = P Sin (2.5 = N/A (2.6 = Q/A (2.7 37

39. AN = A Cos (2.8 De 2.2, 2.3 y 2.6 N PCos PCos 2 = = AN A AN Cos P(1 + Cos 2 ) = 2 AN = (2.9 De 2.4, 2.5 y 2.6 Q PSin PSinCos = = AN A AN Cos P ( Sin 2 ) = 2 AN = (2.10 Reemplazando = 0 en 2.7 y 2.8, se verifican los resultados de 2.1 Ya que (Sin 2 ) +( Cos 2 ) =1 (2.11 De 2.7 P ( ) 2 AN Cos 2 = P 2 AN (2.12 De 2.8 Sin 2 = (2.13 Entonces 2 2 P 2 AN P 2 P 2 2 ( ) + = ( ) 2 AN 2 AN (2.14 Lo que demuestra que la relacin entre y es una circunferencia con radio de P/2AN y centro en P/2AN, conocido como el circulo de Mohr. 38

40. max P/2AN max Fig. 2.4.- Circulo de Mohr 2.3.- ESFUERZOS PRINCIPALES Se llaman esfuerzos principales a los valores mximos de los esfuerzos normales. De 2.7 y 2.8 y del grfico Para = 0 Para = 45 max = N = P/AN 45 = P/2AN min = 0 max = P/2AN (2.15 (2.16 Estos resultados indican que una barra sometida a carga axial de traccin y compresin presenta los esfuerzos normales mximos en una seccin transversal a la carga = 0 y los esfuerzos cortantes mximos en una seccin a = 45. Para evitar la falla, ambos esfuerzos mximos no deben exceder de los lmites de fluencias longitudinales y transversales respectivamente . max = P/AN < Sy max = P/2AN < Sy (2.17 2.4.- DEFORMACIONES Fig. 2.5.- deformaciones 39

41. Una barra sometida a cargas axiales experimenta cambios en su longitud y en sus dimensiones transversales. En la seccin 1.8.1 se definieron las deformaciones longitudinales como: = lf - lo = / lo Deformacin longitudinal Deformacin longitudinal unitaria (2.18 Ahora bien, en la direccin axial solo hay esfuerzos normales y si estos no sobrepasan el limite de fluencia (zona elstica) es valida la ecuacin de Hooke 1.8 =E (2.19 = P/AN (2.20 Entonces = Pl 0 EA (2.21 Ecuacin que indica que la deformacin es proporcional a la carga P y a la longitud lo de la barra, pero inversamente proporcional al producto EA, el cual se denomina Rigidez Axial. Efectivamente, este producto representa la oposicin de la pieza a la deformacin. La ecuacin es vlida para solicitaciones de traccin como de compresin. Sin embargo, en cuerpos sujetos a compresin las ecuaciones pierden validez si los elementos son largos y delgados donde se presenta un fenmeno denominado pandeo, cuyo estudio se realiza posteriormente. La ecuacin 2.17 solo es valida para barras de seccin con rea constante. En una barra con seccin variable se puede aplicar esta ecuacin a un elemento diferencial dx en la que el rea se puede considerar constante. dx P P l lf Fig. 2.6.- Barra de seccin variable 40

42. Pdx EA l Pdx = EA 0 d = Entonces Y (2.22 (2.23 2.5.- CARGA BIAXIAL Se denomina carga biaxial en un cuerpo que soporta cargas en dos direcciones perpendiculares. 2.5.1.- Esfuerzos y x x 2 x y 2 1 Fig. 2.7.- Esfuerzos bajo carga biaxial Los esfuerzos normales y cortantes en una seccin cualquiera l Cos = dy l Sin = dx F1= 0 l dz - y dx dz Sin - x dy dz Cos = 0 - y Sin2 - x Cos2 = 0 (1 Cos 2 ) (1 + Cos 2 ) + x 2 2 ( x + y ) ( x y ) = + Cos 2 2 2 =y F2= 0 (2.24 (2.25 (2.26 (2.27 (2.28 (2.29 (2.30 (2.31 = Ya que l dz + y dx dz Cos -x dy dz Sin = 0 + y Sin Cos - x Sin Sin = 0 (2.32 ( x y ) 2 Sin 2 (Sin 2 )2+( Cos 2 )2 =1 (2.33 41

43. ( + y ) ( y ) x + 2 = x 2 2 2 2 (2.34 Las ecuaciones 2.26 y 2.29 dan los esfuerzos normales y cortantes para cualquier seccin inclinada. Similar a una dimensin, las ecuaciones representan una circunferencia con desplazamiento solo en de (x + y )/2, y radio igual al (x - y )/2. ( x + y)/2 max (x-y)/2 max Fig. 2.8.- Circulo de Mohr para carga biaxial Los valores mximos de los esfuerzos normales y cortantes son : max = x min = 0 Para = 0 Para = 90 max = y min = 0 Para = 45 min = 0 max = (x -y )/2 (2.35 (2.36 (2.37 Los esfuerzos normales mximos ocurren en las direcciones x y y y los esfuerzos cortantes mximos en una direccin = 45. 2.5.2.- Deformaciones Consideremos una placa sometida a cargas traccin compresin biaxial : 42

44. Fig. 2.9.- Superposicin de deformaciones para carga biaxial Por el principio de superposicin, se puede superponer las deformaciones provocadas por las cargas horizontales con las provocadas por las cargas verticales. Las deformaciones provocadas por las cargas horizontales x = x /E y = - q = - x /E Las deformaciones provocadas por las cargas verticales y = y /E x = - q = - y /E Superponiendo xt = x /E - y /E = x- y yt = y /E - x /E = y- x (2.38 (2.39 (2.40 (2.41 (2.42 (2.43 2.5.3.- Recipientes de pared delgada Un caso muy comn de la carga biaxial son los recipientes de pared delgada sometidos a presin interna. Considrese un cilindro de radio interior r y espesor de pared delgado e sometido a una diferencia de presin, p, entre el interior y el exterior. r/e >= 10 e r Fig. 2.10.- Recipiente cilndrico 43

45. En un punto cualquiera del espesor de la pared se originan dos esfuerzos normales, uno axial 2 y otra circunferencial 1. d/ 2 1 2 2 d d/ 2 1 Fig. 2.11.- Esfuerzos en un recipiente cilndrico Debido a que el espesor es pequeo se pueden considerar estos esfuerzos constantes. Aplicando la esttica en la direccin circunferencial 1Cos d d 1Cos =0 2 2 (2.44 Aplicando la esttica en la direccin radial Presin x rea interior = Componente radial esfuerzo x rea lateral p( rddz ) 2 1 Sin d (edz ) = 0 2 d d = 2 2 pr 1 = e Aplicando la esttica en la direccin axial p (r 2 ) = 2 2re = 0 pr 2 = 2e Sin (2.45 (2.46 (2.47 (2.48 (2.49 Para recipientes esfricos los esfuerzos en cualquier direccin se calculan con 2.49 2.6.- PESO PROPIO En cuerpos de gran altura como edificios, torres y otros, el peso propio del cuerpo origina considerables esfuerzos y deformaciones por lo que debe ser tomado en cuenta. Las secciones transversales soportan el peso de la porcin del cuerpo que se encuentran encima de ellas. A modo de ilustracin consideremos una torre de 3 personas. En ella la persona de arriba no soporta sobre sus hombros ninguna carga, 44

46. la del medio soporta sobre sus hombros el peso de una persona y la de abajo soporta sobre sus hombros el peso de dos personas. dy W(y) Peso sobre "y" A h y Fig. 2.12.- Peso propio El peso de un elemento diferencial dy en la que el rea de su seccin puede tomarse constante es dW = A(y) dy (2.50 El peso de la porcin del cuerpo sobre una altura y es h W ( y ) = A8 y ) dy (2.51 y Si se tomar el lmite inferior como cero la ecuacin calcular el peso de todo el cuerpo. Los esfuerzos son : h = Fuerza = Area P + A( y ) dy y A (2.52 La deformacin se halla con 2.19 h P + A( y )dy h 0 Pdy y dy = = EA 0 EA 0 (2.53 Expresin que da la deformacin producida por una carga exterior y el peso propio. 2.7.- DEFORMACIONES TRMICAS Los cuerpos tambin se deforman por cambios de temperatura. En el caso de materiales homogneos e istropos, un cambio de temperatura origina una deformacin lineal uniforme en todas las direcciones. 45

47. Las deformaciones trmicas lineales se calculan mediante: t = l T (2.54 donde es el coeficiente de dilatacin trmica lineal Material Aluminio Fundicin Cobre Acero Hormign Entonces (x 10-6/C) 23.2 10.4 16.7 11.7 10.8 t = T (2.55 La deformacin se debe a la accin de cargas y a cambios de temperatura. tot = P + t = /E + T (2.56 sta ecuacin deriva en la ley de Hooke extendida que tambin es llamada la ley de Duhamel Neumann = E (P - T) (2.57 Si la expansin trmica de un sistema se restringe por ejemplo anclando una pieza entre dos paredes rgidas, pequeos cambios de temperatura producen grandes esfuerzos trmicos. Esto se debe al modulo de Young que para la mayora de los materiales usados en Ingeniera es grande 2.8.- PROBLEMAS HIPERESTATICOS Desde el punto de vista esttico, la condicin de hiperestaticidad viene dada por el hecho de que la cantidad de ecuaciones que surgen de los planteos de equilibrio de la Esttica es menor que la cantidad de incgnitas reactivas planteadas. Para poder resolver estas estructuras es necesario agregar ecuaciones de compatibilidad. Estas reciben este nombre precisamente porque tratan de expresar la compatibilidad entre las deformaciones y la vinculacin existente, que como hemos dicho, resulta superabundante. Una observacin importante es que la ecuacin de compatibilidad depende de las caractersticas mecnicas y geomtricas de los cuerpos. Por esta razn el proceso de dimensionamiento suele ser iterativo. 46

48. PROBLEMAS RESUELTOS 2 2.1. Una pieza con una seccin de 1 cm est sometida a una fuerza de traccin en una dimensin de 100 Kg Hallar los esfuerzos en secciones con ngulos de 0 hasta 360 con un intervalo de 10. Solucin : =(P/2An)(1+Cos 2) 100.0 97.0 88.3 75.0 58.7 41.3 25.0 11.7 3.0 0.0 3.0 11.7 25.0 41.3 58.7 75.0 88.3 97.0 100.0 97.0 88.3 75.0 58.7 41.3 25.0 11.7 3.0 0.0 3.0 11.7 25.0 41.3 58.7 75.0 88.3 97.0 100.0 =(P/2An)(Sin 2) 0.0 17.1 32.1 43.3 49.2 49.2 43.3 32.1 17.1 0.0 -17.1 -32.1 -43.3 -49.2 -49.2 -43.3 -32.1 -17.1 0.0 17.1 32.1 43.3 49.2 49.2 43.3 32.1 17.1 0.0 -17.1 -32.1 -43.3 -49.2 -49.2 -43.3 -32.1 -17.1 0.0 60.0 40.0 20.0 Esf Corte (Gr) (Rad) 0 0.0 10 0.2 20 0.3 30 0.5 40 0.7 50 0.9 60 1.0 70 1.2 80 1.4 90 1.6 100 1.7 110 1.9 120 2.1 130 2.3 140 2.4 150 2.6 160 2.8 170 3.0 180 3.1 190 3.3 200 3.5 210 3.7 220 3.8 230 4.0 240 4.2 250 4.4 260 4.5 270 4.7 280 4.9 290 5.1 300 5.2 310 5.4 320 5.6 330 5.8 340 5.9 350 6.1 360 6.3 0.0 -50.0 0.0 50.0 100.0 -20.0 -40.0 -60.0 Esf Normal 47

49. 2.2. Hallar los esfuerzos mximos del 2.1. Solucin : max = P/AN = 100/1= 100 Kg/cm max = P/2AN= 100/2= 50 Kg/cm2 2 2.3. Una pieza est sometida a cargas de traccin compresin en dos dimensiones con x = 90 Kg/cm2 y y = -120 Kg/cm2. Hallar los esfuerzos para ngulos desde 0 hasta 360 con un intervalo de 10. Graficar los resultados. Solucin : (x-y)(Cos 2)/2 90.0 83.7 65.4 37.5 3.2 -33.2 -67.5 -95.4 -113.7 -120.0 -113.7 -95.4 -67.5 -33.2 3.2 37.5 65.4 83.7 90.0 83.7 65.4 37.5 3.2 -33.2 -67.5 -95.4 -113.7 -120.0 -113.7 -95.4 -67.5 -33.2 3.2 37.5 65.4 83.7 90.0 =(x-y)(Sin 2)/2 0.0 35.9 67.5 90.9 103.4 103.4 90.9 67.5 35.9 0.0 -35.9 -67.5 -90.9 -103.4 -103.4 -90.9 -67.5 -35.9 0.0 35.9 67.5 90.9 103.4 103.4 90.9 67.5 35.9 0.0 -35.9 -67.5 -90.9 -103.4 -103.4 -90.9 -67.5 -35.9 0.0 150.0 100.0 50.0 Esf Corte = (x+y)/2 + (Gr) (Rad) 0 0.0 10 0.2 20 0.3 30 0.5 40 0.7 50 0.9 60 1.0 70 1.2 80 1.4 90 1.6 100 1.7 110 1.9 120 2.1 130 2.3 140 2.4 150 2.6 160 2.8 170 3.0 180 3.1 190 3.3 200 3.5 210 3.7 220 3.8 230 4.0 240 4.2 250 4.4 260 4.5 270 4.7 280 4.9 290 5.1 300 5.2 310 5.4 320 5.6 330 5.8 340 5.9 350 6.1 360 6.3 -150.0 0.0 -50.0 50.0 -50.0 -100.0 -150.0 Esf Norm al 48

50. 2.4. Hallar los esfuerzos mximos del problema 2.3. Solucin : 2 =0 max = x = 90 kg/cm = 90 max = y = -120 Kg/cm2 2 = 45 max = (x -y )/2 = 105 kg/cm 2.5. Una pieza cilndrica de Acero tiene = 3 cm y largo L=100 cm est sometida a una carga de 1000 Kg Se pide hallar : Los esfuerzos mximos o Los esfuerzos a 30 Las deformadas total y unitaria longitudinal y transversal Los coeficientes de seguridad Sy= 1800 Kg/cm2 y Sy= 960 Kg/cm2 Soluciona: a) b) c) d) A = /4= 7,07 cm 2 max = N = P/AN = = 141,47 Kg/cm 2 max = P/2AN = 70,73 Kg/cm = (P/2AN )(1 + Cos 2) 2 30 = 106,10 Kg/cm = (P/2AN) Sin 2 30 = 61,25 Kg/cm2 = Pl/EA= 6,73 x 10-3 cm = /l = 67 x 10-6 ( 67 x 10 4 %) q= - = -20,20 x 10 6 (-20,20 x 10 4 %) q = q d = -60,6 x 10 6 cm = Sy/max = 1800/141,47= 12,72 = Sy/max = 960/70,73= 13,57 2 2 para = 0 para = 45o o 2.6. Una pieza de a = 2 cm de ancho por b = 3 cm de alto y c = 1 cm de profundidad est sometida a una fuerza horizontal de 100 Kg y una vertical de 200 Kg Se pide hallar las dimensiones finales. Tomar =0.3 200[kg] c 100[kg] b a 49

51. Solucin : x = Fx/(b c) = 33,33 Kg/cm2 y= Fy/(a c) = 100,00 Kg/cm2 xt= x /E - y /E = 1,58 x 10-6 yt= y /E - x /E = 4,28 x 10-5 af= a + a xt = 2,000003 cm bf= b + b yt= 3,00012 cm 2.7.- Halle la distribucin de esfuerzos en una barra cnica con radios ro y 2ro y longitud l sometida a cargas de compresin F Solucin: La ecuacin del radio El esfuerzo x r ( x) = ro (1 + ) l F ( x) = x ro 2 (1 + ) 2 l 2.8.- Halle la forma de la seccin de una barra que soporta una carga F para que los esfuerzos sean constantes Solucin: h De 2.50 = Fuerza = Area P + A ( y ) dy y A( y ) = cte 50

52. h P + A( y )dy = A( y )cte y Derivando A( y) = dy = Integrando y= dA( y ) cte dy dA( y) cte 2rdr cte 2dr cte = = A( y ) r r 2 2cte r = ke ln(r ) + cte1 y 2 cte 2.9.- Dimensionar las barras del reticulado de la figura. Para las barras 1 y 2 debe 2 2 emplearse madera con adm = 80 kg/cm , adm = L/300 y E = 100 t/cm y para la barra 2 2 3 debe emplearse acero con adm = 2.400 kg/cm , adm = L/500 y E = 2.100 kg/cm Solucin: Las barras de madera soportan P = 2830 Kg Amad = Pmad/ Smad = 35,4 cm2 Se adopta una escuadra de 3 x 2 con un rea de A = 38.7 cm2 mad = Pl 283 = 0,2cm < = 0,94cm EA 3002 La barra de acero soporta P = 2000 Kg 2 Aac = Pac/ Sac = 0,83 cm 2 Se adopta una barra de 1 12 con un rea de A = 1,13 cm 51

53. ac = Pl 400 = 0,34cm < = 0,8cm EA 500 2.10. En la pirmide truncada de rea transversal cuadrada de la figura. Se pide calcular: a) El peso parcial sobre cualquier altura y b) El esfuerzo normal mximo c) La deformada total 60[cm] SEC. A-A dy A 1000[cm] A y 90[cm] Solucin : b(y) = (- 30/1000) y + 90 a) El peso sobre y es h h y y W ( y ) = A( y )dy = W ( y) = 4 2 [( 30 / 1000) y + 90] dy 250 3 30 y 3 + 90 60 1000 90 b) El esfuerzo normal es mximo en la base ( y = 0) max = 250(603 903 ) 90 3 max = 552.68 c) La deformada h Wdy EA 0 = h = 0 250 90 3 30 60 3 y + 90 dy 1000 2 30 E y + 90 1000 = 305441.34/E 52

54. 2.11. En la pieza cnica truncada de la figura, se pide hallar la deformacin debida a la accin de la fuerza P y del peso propio. P D/2 SEC. B-B dy B h B y D Solucin : h = [P + W ( y )]dy EA 0 D y + 2 2 h d= A= d 2 4 = D y + 2 4 2 h 2 2 y y D2 y W ( y ) = A( y )dy = 2 dy h 0 0 4 4 W ( y) = = h 0 = D 2 16 D 2 h y h 2 = h 3 0 48 ( P + W ) dy = EA 3 h y 3 y D 2 h 3 2 2 P 48 h 0 E D y 2 4 2 h 2 3 y 3 2 2 h dy h(48P + D 2 5) 6 ED 2 2.12. En el sistema de la figura se piden las esfuerzos en los cables. 53

55. l l (b) l (c) (a) (b) P (c) b a l/2 l c Solucin: Fy = 0 Ta + Tb + Tc = P (i Ma = 0 P l/2 Tb l Tc 2l = P/2 - Tb Tc 2 = 0 (ii El sistema es hiperesttico con 3 incgnitas (Ta,Tb,Tc) y 2 ecuaciones. La tercera ecuacin se halla analizando las deformaciones (a - c)/2l = (b - c)/l Tl Ta l Tl Tl c = 2 b c EA EA EAa EAc c b De i, ii y iii Ta Tc = 2 (Tb Tc) Ta 2 Tb + Tc = 0 Ta = P - Tb - Tc = 2 Tb - Tc Tb = P/3 Tc = P/12 Ta = 7P/12 (iii 2.13. En el sistema de la figura se piden las esfuerzos en los cables =30 =60 P Solucin : Fy = 0 Fx = 0 lb = la Sin = 0.5 la lb = lc Sin = 0.866 lc Ta Sin + Tb+Tc Sin = P Ta 0.5 + Tb + Tc 0,866 = P Ta Cos = Tc Cos Ta 0,866 = Tc /2 (I (ii 54

56. Ma = 0 No existe ya que las fuerzas son concurrentes Sistema hiperesttico con 3 incgnitas (Ta,Tb,Tc) y 2 ecuaciones. De las deformaciones O O O' Del grfico De iii y iv De iv y v De vi De vii De viii y ix O' a = OOSin (-) = Ta la / EA (iii b = OOSin (90-) = Tblb/EA (iv c = OOSin (+) = Tclc/EA (v (vi Ta la/ Sin (-) = Tb lb/ Sin (90-) Tb lb/ Sin (90-) = Tc lc/ Sin (+) (vii la 0.5 = lb lc 0,866= lb Tala/(Sin Cos - Sin Cos ) = Tblb/ Cos Ta (lb/0.5)/(Cos 0.5- Sin 0,866) = Tblb/ Cos Ta = 0.5Tb( 0.5- 0.866 Tan ) 0.5 - (Ta / 0.5Tb) = 0.866 Tan Tan = [( 0.52Tb - Ta) / (0.5Tb)]/0.866 (viii Tb lb/ Cos = Tc lc/ SinCos+Sin Cos) Tb lb/ Cos = Tc (lb/0.866)/ (0.866Cos+Sin 0.5) 0.5 Tan = (Tc/0.866 Tb) 0.866 Tan = [(Tc 0.8662Tb) / (0.866 Tb)]/0.5 (ix [( 0.52Tb - Ta) / (0.5Tb)] 0.5= [(Tc 0.8662Tb) / (0.866 Tb)] 0.866 ( 0.52Tb - Ta)= (Tc 0.8662Tb) 1.3862Tb = Ta + Tc (x Esta es la ecuacin de deformaciones. Con ella Ta = 0.211 P Tc = 0.366 P Tb = 0.577 P 55

57. 2.14. En el sistema de la figura se piden hallar los esfuerzos en los cables a y b. La barra horizontal se supone rgida y articulada en la pared Ta l/2 Rx Ry l/2 l/2 P Tb l/2 l/2 P Solucin: Tan = (l/2)/(l/2) = 1 = 45 Tan = (l/2)/l = 0.5 = 26,56 Fx = 0 Rx- TaCos -Tb Cos = 0 Fy = 0 Ry + Ta Sin +Tb Sin -P= 0 Mo = 0 - Ta Sin l/2 -Tb Sin l + P l= 0 Ta 0.3535 + Tb 0.4472 = P Son tres ecuaciones con cuatro incgnitas Rx , Ry , Ta y Tb (i (ii (iii l/2 A A' a Del grafico Entonces De donde B' b la Cos =l/2 lb Cos = l a= AASin b= BBSin AA= BB/2 AA = a / Sin = BB/2 = b /2 Sin Tala/(EA Sin ) = Tblb/ (2EA Sin ) Ta/(2 Cos Sin ) = Tb/ (2 Cos Sin ) Ta/ Sin (2 ) = Tb/ Sin (2 ) Ta/ 1 = Tb/ 0.8 Ta = 1.405 P Tb = 1.124 P (iv 56

58. 2.15. Hallar las esfuerzos en los cables a y b 30 Ta (a) 30 (b) 30 Rx 60 30 Tb 60 Ry l/2 l/2 P P Solucin : Fx = 0 Fy = 0 Mo = 0 Rx + Ta Sin 30 = 0 Ry + Ta Cos 30 + Tb -P= 0 -Ta l/2 -Tb Sin 60 l + P Sin 60 l/2 = 0 -Ta 0,5 -Tb 0,866 + P 0,433 = 0 (i (ii (iii El sistema es hiperesttico con tres ecuaciones y cuatro incgnitas Rx , Ry , Ta y Tb 30 (a) 60 A B A' 60 b B' Entonces lb Cos 30 = la a= AASin 90 b= BBSin 60 AA= BB/2 AA = a / Sin 90 = BB/2 = b /(2 Sin 60) Tala/(EA) = Tblb/ (2EA Sin 60) Ta lb Cos 30 = Tb lb / (2 Sin 60) Ta 1,5 = Tb (iv De donde Ta = 0,2406 P Tb = 0,361 P 57

59. 2.16. Se pide hallar el dimetro de la barra AC. Tomar Sy = 1800 Kg/cm2 A T AC 20 30 B 60 2T BC Cos B C P Vista Lateral P Solucin : Tan = 20/60 = 18.43 = 14.03 Tan = 15/60 Fy = 0 TAC Sin = P TAC = 3163.09 Kg Fx = 0 TAC Cos + 2TBC Cos = 0 TBC = - 1546.56 kg Analizando solo la barra AC AC = TAC/( dAC2/4) < Sy Traccin Compresin - Pandeo dAC = 1.49 cm 2.17. En el sistema de la figura se piden las reacciones en A y B 30[cm] B Rb B T 2 40[cm] P y P 1 x A A 60[cm] Ra Solucin : Fy = 0 Rb = Ra + P Las ecuaciones de los crculos respecto del sistema x - y son 2 (i 2 x +y = 302 2 2 x + (y-40) =152 los dimetros 1 = 2 (30 -y ) 2 2 1/2 58

60. 2 = 2 [152-(y-40)2]1/2 stos se igualan a un altura de 2 2 1/2 2 2 1/2 2(30 -y ) = 2[15 -(y-40) ] 2 2 2 2 30 -y = 15 - y + 80y 1600 y = 28,43 La deformacin total es nula t = 1 + 2= 0 1 = 28.43 0 1 = 2 = [ Ra dy 4 E 2(30 y ) ] 2 1/ 2 2 2 = Ra E 60 28.43 0 1 1 (30 + y) + (30 y) dy Ra (3.6167) E 60 ( Ra + P )dy 4 40 ( Ra + P) 1 1 dy + E 30 2843 15 + ( y 40) 15 ( y 40) , 40 = E [2(15 ( y 40) ) ] ( Ra + P) 2 = ( 2.0472 ) E 30 Ra ( R + P) (3.6167 ) + a 1 + 2 = ( 2.0472) = 0 E 60 E 30 2 1/ 2 2 2 28, 43 Ra = - 0.259 P Rb = 0.741 P 2.18. Se pide hallar las reacciones en las paredes del sistema de la figura 1 60 30 A 45 RA P 30 B 10 2 RA A x P 3 RB B Solucin : Fx= 0 Rb + P = Ra (i Los dimetros y deformadas d1= -30 x/45 + 60 d2= 30 d3= 3 x - 195 59

61. 1 = 45 Ra 4 4 Ra 45 E ( 30 x / 45 + 60) dx = E (30 x / 45 + 60) 30 2 0 4( 45) Ra 1 1 1 = ( ) = Ra 9,09e 7 E 30 30 60 R 30(4) 2 = a = Ra 2,02e 8 E 30 2 85 ( Ra P ) 4 4( Ra P ) 3 = dx = 2 E (3x 195)(3) 75 E (3 x 195 ) 3 = 4( Ra P ) 1 1 ( ) = ( Ra P )3,36e 9 E (3) 60 30 t = 1 + 2 + 3 = La ecuacin de deformadas Ra9,09e - 7 + Ra2,03e 8 + (Ra - P)3,36e 9 = 0,001 Ra = 0.75 P Rb = 0.25 P 2.19. Hallar los esfuerzos en las barras del sistema de la figura 100 cm a b Tb a 30 Ta P Ta P Solucin Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Ta Cos 30 = Ta Cos 30 2 Ta Sin 30 + Tb = P Las fuerzas son concurrentes No aporta (i Se tiene una ecuacin y dos incgnitas. De las deformaciones 60

62. b a a 30 O b a O' b = OO a = OOSin 30 b = a /Sin 30 Tb lb/EA=Tala/(EA Sin 30) la Sin 30 = lb Tb la Sin 30=Ta la/Sin 30 Tb = Ta / Sin2 30 Tb = 4Ta De i y ii (ii 2 Ta Sin 30 + 4Ta = P Ta = 0.2 P Tb = 0.8 P 2.20. Una barra rgida horizontal esta articulada en su extremo izquierdo mientras que en su extremo derecho hay tres cables y un peso W como se indica en la figura. a) Determinar las expresiones para calcular los esfuerzos en cada una de las barras y la fuerza total sobre la barra AO. b) Utilizando las anteriores relaciones determinar las esfuerzos s: A1 = A2 = A3 = 2 cm2 = 30; = 45; W = 2500 kg L 2,A 2 ,E 0 L 1,A 1 ,E 0 L 3 ,A 3 ,E 0 L a W Solucin. Mo = 0 (T1 cos )a + T2 a + (T3 cos )a Wa = 0 T1 cos + T2 + T3 cos W = 0 (i 61

63. 1 3 2 Adems cos = 1 / 2 cos = 3 / 2 l1 Cos = l2 = l3 Cos (ii (iv A T1 = cos 2 1 A 2 A T3 = cos 2 3 A 2 T2 T2 (v cos A1W A2 + cos 3 A3 + cos 3 A1 (vi A2W T2 = 3 A2 + cos A3 + cos 3 A1 (vii cos 2 A3W T3 = A2 + cos 3 A3 + cos 3 A1 (viii T1 = 2 Adems y T1 T2 T3 R x W T3 sen T1 sen R = 0 W (cos 2 sen A3 cos 2 sen A1 ) R= A2 + cos 3 A3 + cos 3 A1 (ix De donde T1= 936.062 Kg T2 = 1248 Kg T3 = 624.041 Kg R = - 26.768 Kg 62

64. 2.21. Hallar la deformacin total de la barra de la figura, considerando el material 6 2 Acero con D = 10 cm, l = 50 cm, E = 2.1x10 Kg/cm y P = 2000 Kg P D/2 2P l/2 D/3 l/2 D l/2 Solucin : T = l /2 0 P1 dx l P2 dx 3l / 2 P3 dx + + EA1 l 2 EA2 EA3 / l P1 = -P (compresin) P2 = -P (compresin) P3 = P (traccin) D D1 = 2 D 3 5D 2 2 2 A1 = ( D1 d1 ) = 4 144 d1 = D2 = Dx D 2x + l + = D( ) 2l 4 4l d2 = D 3 A2 = ( D2 d 2 ) = 2 4 2 2 D 2 2 x + l 1 4 4l 9 Dx D 2x + l + = D( ) 2l 4 4l D3 = d3 = 0 A3 = T = ( D3 d 3 ) = 2 4 l/2 0 2 2 D 2 2 x + l 4 4l P1 dx l P2 dx 3l / 2 P3 dx 72 Pl 12 Pl 25 8Pl + + = ln + EA1 l 2 EA2 EA3 5ED 2 ED 2 13 3ED 2 / l Reemplazando T = - 0,00296 cm 63

65. 2.22. Para el sistema de la figura, se pide determinar las reacciones que soportan las paredes rgidas por efecto de las cargas que se indican. El espesor de la barra es b y 6 2 L = 30 cm; H = 10 cm; h = H/3; E = 2.1x10 kg/cm ; P = 5000 kg; b = 5 cm l/2 B P A H 2P h H B-B B l l b l x Solucin : l T = 0 P1 dx 2l P2 dx 5l / 2 P3 dx 3l P4 dx + + + EA1 EA2 EA3 5l/ 2 EA3 l 2l 2x A1 = b1 H 3l A2 = bH / 3 bH (l + 2 x' ) H h A3 = A4 = b x'+ h = 3l l Asumiendo que el bloque no llega a chocar en el extremo izquierdo P1 = 0 P2 = P P3 = P P4 = 3P Reemplazando l T = 0 l T = 0 T = 2l 0dx Pdx + + bH 2x l E Eb1 H 3 3l 2l 0dx Pdx + + bH 2x Eb1 H l E 3 3l l/2 l/2 0 0 l Pdx 3Pdx + bH (l + 2 x' ) l 2 bH (l + 2 x' ) / E E 3l 3l l Pdx 3Pdx + bH (l + 2 x' ) l 2 bH (l + 2 x' ) / E E 3l 3l PL 9 (3 3 ln 2 + ln 3) = 0.00837cm EbH 2 ya que ste valor es mayor a la tolerancia indicada, hay contacto en la pared izquierda por lo que se debe tomar en cuenta la reaccin R1 sobre la pared izquierda del apoyo. Recalculamos la deformada con P1 = - R1 64

66. P2 = P - R1 P3 = P - R1 P4 = 3P - R1 Y la deformacin iguala a la tolerancia dada (=0.001) l T = 0 T = R1dx ( P R1 )dx + + bH 2x l E Eb1 H 3 3l 2l l/2 0 ( P R1 )dx (3P R1 )dx + = 0.001 bH (l + 2 x' ) l 2 bH (l + 2 x' ) / E E 3l 3l l 3Pl 3R l (2 2 ln 2 + 3 ln 3) 1 (ln 3 + 1) = 0.001 2 EbH EbH De donde R1 = 4657.03 Kg Adems R2 = P + 2P R1 R P 1 De donde R 2 2P R2 = 10342.97 Kg 2.23. Hallar una expresin para determinar la deformacin que sufre una barra con seccin variable segn una funcin cuadrtica, como se ve en la figura. y y P D x d D f(x2) Dx dx x d x l Solucin : t = l 0 Pdx EAx la variacin del dimetro en funcin de x es cuadrtica 65

67. D x = Ax 2 + B para x = 0 para x = l Dx = d Dx = D Resolviendo Dd Dx = 2 x 2 + d l Ax = t = D d 4 l2 l E D d x 2 Pdx 0 De donde 2 x + d 2 +d 2 4 l 2 2 Pl 1 + D arctg D d t = d (D d ) E d D Dd 2.24. Hallar una expresin para determinar la reaccin en cada uno de los apoyos, de los elementos mostrados en la figura, originados por un aumento de la temperatura T, considerando como datos: , l, a. a Cu Al a/2 l a l Solucin : Suponiendo que la deformacin por dilatacin es mayor a la holgura Cu Al La deformada en la pieza de cobre por esfuerzos es l Rdx cu = 0E A cu x 66

68. Dx = a x ( + 1) 2 l l Rdx 0 a x cu = Ecu + 1 4 2 l 2 8Rl E cu a 2 En el aluminio la deformacin es similar: l Rdx al = 0E A al x a x D x = ( + 1) 2 l l Rdx al = 2 0 a x Eal + 1 4 2 l 8 Rl al = Eala 2 La deformacin por la variacin de temperatura: cu = Adems T = l cu T + l al T = l ( cu + al )T cu + al = T reemplazando, obtenemos: 8Rl 8Rl + = l ( cu + al )T E cu a 2 E al a 2 8R * l E cu * * a 2 + 8R * l E al * * a 2 = l * T ( cu + al ) De donde: 8 Rl 8 Rl + = l ( cu + al )T Ecua 2 Eala 2 R= Ecu Eala 2 2 Ecu + Eal [l ( cu + al )T ] 2.25. Para el sistema de la figura se pide calcular las reacciones en los extremos por efectos de dilatacin cuando la temperatura aumenta de 25 a 120C, tomar : l = 20 cm, 67

69. D = 5 cm, d = 2 cm, cu = 17x10-6[1/C]; al = 22.2x10-5[1/C]; Ecu = 1.1x106 Kg/cm2; Eal 5 2 = 7x10 Kg/cm T=25 C Cu Al l D l d Solucin : La deformacin debido a la dilatacin es: T = l cu T + l al T = l ( cu + al )T T = 20(17 x10 6 + 22.2 x10 5 )(120 25) T = 0.4541cm Ya que la deformada es mayor a la holgura, hay contacto en la pared derecha. R = T dx Dx Cu R Al x x l R = 0 2l P1 dx P dx + 2 E al Aal l E cu Acu P1 = R 2 A1 = d /4 P2 = R 2 A2 = Dx /4 El dimetro es lineal Dx = A x + B de las condiciones de borde se obtiene que: 68

70. Dd x + 2d D l Dx = reemplazando: l R = 0 resolviendo: R = Reemplazando Rdx + d 2 E al 4 2l Rdx l E cu Dd 4 l x + 2d D 2 4 R( DE al + dEcu ) Dd 2E al E cu 4 R( DEal + dE cu ) Dd 2 E al E cu = T con los datos R = 2599.39 Kg 2.26. Para el sistema de la figura se piden las fuerzas que soportan los cables que soportan a la barra rgida, articulada en uno de sus extremos. E,A ,l1 1 E,A ,l2 2 l l l E,A ,l3 3 P Solucin : Las deformaciones 1 a 3 2 b por semejanza a / l = b / (2l) 1 = a Sin 2 = b Sin 3 = b Sin 69

71. adems reemplazando: l = l1 Cos l = l2 Cos l = l3 Cos 2 sen =2 1 sen 1 sen 2 = 2 sen 1sen 3 = 2 sen Las deformadas: Tl 1 = 1 1 EA1 Tl 2 = 2 2 EA2 T3 l 3 3 = EA3 l l T2 T1 cos cos sen =2 EA2 EA1 sen 2 sen cos A2T1 T2 = sen cos A1 l l T3 T1 cos cos sen =2 EA3 EA1sen 2sen cos A3T1 T3 = sen cos A1 De la esttica T1senl Pl + T2 sen 2l + T3sen 2l = 0 sen cos A1P T1 = K sen cos A2 2P T2 = K sen cos A3 2P T3 = K K = A1 sen 2 cos + 4 A2 sen 2 cos + 4 A3 sen 2 cos donde 70

72. 2.27. Determinar la deformacin debido al peso propio del bloque mostrado en la figura. La seccin transversal es circular y con variacin parablica H x ry y H dy y wy H/3 y Solucin : T = H 0 w( y ) dy EAy la ec. de la parbola es x xo = P( y y o ) 2 ( xo , yo ) = ( para x = H/2 H ,H) 6 y=0 ( y H )2 H + 3H 6 El rea a cualquier altura y es: x = rr = ( y H )2 H 2 A( y ) = rr = + 6 3H 2 El peso por debajo de y es: w( y ) = ry dy 2 Reemplazando y simplificando: w( y ) = 2 (47 H 5 135 H 4 y + 180 H 3 y 2 140 H 2 y 3 + 60 Hy 4 12 y 5 ) H 540 La deformada : 71

73. 47 H 5 135 H 4 y + 180 H 3 y 2 140 H 2 y 3 + 60 Hy 4 12 y 5 2 H T = H 540 2 0 ( y H )2 H E + 6 3H ( ) dy simplificando: T = H 2 90 E (17 + 6 ln 3) 72

74. PROBLEMAS PROPUESTOS 2.28. Hallar el esfuerzo normal en una barra de seccin circular sujeta a una carga de traccin de 100 Kg si su dimetro es de 1 cm. 2.29. Hallar los esfuerzos normal y cortante para una seccin a 30 en el anterior problema 2.30. Una pieza esta sometida a esfuerzos de traccin compresin en dos dimensiones con x = - 120 Kg/cm2 y y = -150 Kg/cm2. Hallar los esfuerzos para una seccin que forma un ngulo de 30 con la horizontal 2.31. Hallar el crculo de Mohr y los esfuerzos mximos en el anterior problema. 2.32. Una pieza de acero tiene seccin cuadrada de 3 x 4 cm y un largo de 900 cm y esta sometida a una carga de 1500 Kg Se pide hallar : Los esfuerzos mximos Los esfuerzos a 30o Las deformadas total y unitaria longitudinal y transversal Los coeficientes de seguridad Sy = 1800 Kg/cm2 y Sy= 960 Kg/cm2 2.33. Una pieza de a = 3 cm de ancho por b = 4 cm de alto y c = 2 cm de profundidad esta sometida a una fuerza horizontal de 150 Kg y una vertical de -200 Kg Se pide hallar las dimensiones finales. Tomar =0.3 200[kg] c 150[kg] b a 2.34. En el sistema de la figura la seccin transversal es circular y las dimensiones estn en centmetros. Se pide hallar : a) El peso parcial sobre cualquier altura y b) El esfuerzo normal mximo c) La deformada total 73

75. 30 1000 y 500 15 45 2.35. En el sistema de la figura se piden los esfuerzos en los cables. l l (a) (b) (c) (b) (a) l/2 P 2.36. En el sistema de la figura se piden los esfuerzos en los cables 30 (a) 45 60 (b) (c) P 74

76. 2.37. En el sistema de la figura se pide hallar las fuerzas que soportan los cables l/4 (a) (b) (c) (d) l/5 l/5 (e) l/5 l/5 l/5 P 2.38. En el sistema de la figura se pide hallar las fuerzas que soportan los cables 30 (a) (b) 30 (c) 60 l/2 l/2 P 2.39. Se pide hallar el dimetro de la barra AC. Tomar Sy = 1800 Kg/cm2 A A 20 30 B B 60 C P 2.40. En el sistema de la figura se pide hallar la deformacin total debido al peso propio. 75

77. 30 40 P 25 60 2.41. Las unidades en el sistema de la figura son centmetros. Se pide las reacciones en A y B B 40 50 P 30 A 50 2.42. Se pide hallar las reacciones en las paredes. Tomar = 0.01 cm 70 40 A 60 P 50 B 20 2.43. Tres barras se encuentran articuladas en A para soportar juntas, un peso W como se indica en la figura. El desplazamiento horizontal del punto A esta impedido por una varilla corta horizontal AO que se supone infinitamente rgida, a) Determinar las expresiones para calcular los esfuerzos en cada una de las barras y la fuerza total sobre la barra AO. b) Utilizando las anteriores relaciones determinar las esfuerzos s: A1=A2=A3=2 cm2 =30; =45; W=2500[kg]. 76

78. l/4 l/4 l/4 l/4 l/3 A P 2.44. Determinar la deformacin total del sistema de la figura. Tomar E = 2.1x106 Kg/cm2 y P = 2000 Kg 0.35 P 60 45 45 2.45. Hallar la deformada debido a la fuerza P y el peso propio P D h dy A A y D/2 2.46. En el sistema mostrado en la figura determinar las reacciones que soportan las paredes rgidas por efecto de las cargas y un incremento de la temperatura . Considerar una seccin rectangular de espesor constante b y los siguientes datos: L=30 cm; H=10 cm; h=H/3; E=2.1x106 kg/cm2 ; P=5000 kg; b=5 cm T = 90C 77

79. l/2 B P A H 2P h H B-B B l l b l 2.47 Hallar una expresin para determinar la deformacin que sufre una barra con seccin variable segn una funcin cbica, como se ve en la figura. y y P D d x Dx D dx f(x2) x d x l 2.48. Hallar una expresin para determinar la reaccin en cada uno de los apoyos, de los elementos mostrados en la figura, debido a la variacin de temperatura T, considerando como datos: , l, a. T a/2 Cu a l Al l 2.49. Si la temperatura aumenta a 120 C, determinar las reacciones que soportan los apoyos luego de la dilatacin, tomando: l = 20 [cm]; D = 5 [cm]; d = 2 [cm]; cu = 17x10-6[1/C]; al = 22.2x10-5[1/C]; Ecu = 1.1x106[Kg/cm2]; Eal = 7x105[Kg/cm2 78

80. T a Al Cu d l D l =0.01cm 2.50. Hallar los esfuerzos en el sistema de la figura. Cuando las deformaciones adems de la carga P provienen de un incremento de la temperatura T E,A,l1 1 E,A,l2 2 l l l E,A,l3 3 P 2.51. Determinar la variacin que debe tener la seccin circular del elemento de la figura, de modo que los esfuerzos debido al peso propio sean constantes. ry y dy wy y 79

81. 2.52. La barra maciza mostrad en la figura, consta de un tramo troncocnico y otro cilndrico, determinar la deformacin total del sistema siendo el material el mismo para ambos tramos. d D 3P P l 2P l 2.53. Determinar la expresin para calcular la deformacin total de la barra, que tiene una perforacin que produce una pared de espesor constante t, como se muestra en la figura, la barra se encuentra sometida a la accin de las respectivas cargas. La seccin de la barra vara segn se ve en dicha figura. t D l/2 2P 3P 2P P D/2 l l 2.54. La barra mostrada en la figura se encuentra sometida a la accin de las fuerzas mostradas que produce una reaccin interna de la barra, debido a los apoyos que se muestran, determinar las reacciones que se producen en dichos apoyos, considerando adems que los materiales tienen diferente mdulo de elasticidad, y su seccin transversal es circular y varia en cada tramo. 3P 2P E 2 d 2d E 1 E 1 l l l 80

82. 2.55. Determinar la ecuacin para determinar el rea de las secciones transversales de los elementos elsticos que se muestran en la figura. Considerar conocidas las longitudes de cada una de stas. 1 2 a P 3 a 2.56. Hallar los esfuerzos de los elementos mostrados en la figura. 1 2 P a 2.57. Hallar los esfuerzos en las barras de la armadura mostrada en la figura cuando se aplica la fuerza indicada. Considerar E, A igual para todas las barras. a 1 2 a a P 81

83. 2.58. Una armadura simtrica experimenta las cargas mostradas en la figura. Determinar los esfuerzos normales que experimentan cada una de ellas. 1 1 a 3a 3a 2 2 P 2.59. Calcular las esfuerzos de montaje de los elementos flexibles mostrados en la figura, si uno de ellos fue fabricado con una falla en su longitud =0.5cm. a=1[m] 2a =30 a 2.60. Determinar los desplazamientos, horizontal y vertical, del punto de aplicacin de la fuerza P, adems determinar todas las esfuerzos en las diferentes barras. Considerar, el mdulo de rigidez a la esfuerzo EA, constante. l 2l 1 2 3 l l P . 82

84. 2.61. Determinar el desplazamiento del punto A debido a las cargas aplicadas sobre la armadura mostrada en la figura. 2l l 3 1 2 l A l P 83

85. 3.- CORTE PURO 3.1.- INTRODUCCIN Como se vio en el captulo 1 en cualquier seccin de un cuerpo que soporta cargas externas, se origina una fuerza interna que puede descomponerse dos fuerzas la primera con direccin normal y la segunda con direccin tangencial a la seccin. Cuando la fuerza interna solo tiene un componente tangencial a la seccin se originan esfuerzos cortantes y la carga se conoce como de corte. Fig. 3.1.- Esfuerzos normales y cortantes Una pieza est sometida a cargas y esfuerzos de corte, cuando sobre ella se aplican fuerzas externas dirigidas perpendicularmente a su eje centroidal. Fig. 3.2.- Corte Puro En los siguientes casos se puede admitir esfuerzos de corte puro: - Vigas de muy pequea luz donde el efecto de flexin es despreciable - El corte de planchas metlica mediante el empleo de una cizalla. - Punzonamiento, por ejemplo, la perforacin de hojas. - Uniones con remaches, bulones, soldadura, pernos, etc. 84

86. 3.2.- ESFUERZOS Si no hay presencia de esfuerzos normales (corte puro), del equilibrio Q = n dA = n dA = n A A A n = Q/A n = 0 (3.1 Analizando un elemento diferencial y para que en l se verifique el equilibrio (a) (b) (c) (d) Hay equilibrio en x Hay equilibrio en y No equilibrio en z No equilibrio en x Hay equilibrio en y No equilibrio en z Hay equilibrio en x Hay equilibrio en y No equilibrio en z Hay equilibrio en x Hay equilibrio en y Hay equilibrio en z Fig. 3.3.- Condiciones de Equilibrio Solo se verifica equilibrio en el caso (d). Se puede concluir que: - Los esfuerzos de corte aparecen en las cuatro caras del elemento diferencial. - Los esfuerzos son concurrentes o divergentes en las aristas y tienen igual valor. Ahora bien, analizando una seccin inclinada a un ngulo x 2 dx dy y dl 1 Fig. 3.4.- Esfuerzos en secciones inclinadas Geomtricamente dl Cos = dy dl Sin = dx (3.2 85

87. De la esttica F1= 0 (3.3 = - Sin 2 (3.4 dl dz - y dy dz Cos + x dx dz Sin = 0 - y Cos Cos + x Sin Sin = 0 (3.5 = Cos 2 F2= 0 dl dz + y dy dz Sin + x dx dz Cos = 0 + y Cos Sin + x Sin Cos = 0 (3.6 Cuando = 0 se verifica que 0 = 90 = 0 0 = 90 = Ya que (Sin 2 )2+( Cos 2 )2 =1 De 3.3 y 3.5 2 + 2 = 2 (3.6 Que es la ecuacin de una circunferencia con centro en el origen. max max Fig. 3.5.- Circulo de Mohr 3.3.- ESFUERZOS PRINCIPALES Los valores mximos de los esfuerzos normales y cortantes son : Para = 0 Para = 45 min = 0 max = P/AN max = P/AN min = 0 (3.7 (3.8 86

88. Para evitar la falla, ambos esfuerzos mximos no deben exceder de los lmites de fluencias longitudinales y transversales respectivamente max = P/AN < Sy max = P/AN < Sy (3.9 3.4.- DEFORMACIN Una pieza sometida a esfuerzos de corte puro se distorsiona Fig. 3.6.- Deformacin bajo esfuerzos de corte tg ( ) = h l (3.10 3.5...- ECUACIN DE HOOKE Mientras los esfuerzos no sobrepasen el lmite de fluencia, ellos son proporcionales a las deformaciones (3.11 = G Ecuacin conocida como la ley de Hooke, dnde G recibe el nombre de mdulo de elasticidad transversal. 87

89.