resistencia de materiales
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Henry Luis Pérez Guzmán Ingeniero Civil - Especialista en Vías y Transporte - Especialista en Servicios Públicos Domiciliarios
Materia: Resistencia de Materiales - Fundación Universitaria del Área Andina
Resistencia de Materiales Introducción a la Resistencia de Materiales
También conocido como Mecánica de Materiales. Esta materia analiza los
cuerpos como elementos deformables a diferencia de la Estática que suponía
que los sólidos no se deformaban.
La Resistencia de Materiales le sirve al Ingeniero para diseñar elementos que
puedan soportar las cargas solicitadas y que sean a la vez elementos seguros y
baratos.
Los tipos de problema a solucionar con la Resistencia de Materiales son de dos
tipos:
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a. Dimensionamiento de los miembros de una estructura.
b. Verificación de los miembros que componen una estructura.
Trabajaremos con las siguientes Hipótesis:
a. Los materiales son continuos.
b. Los materiales se consideran homógeneos.
c. Los materiales son isotropos.
d. Las fuerzas interiores que preceden a las cargas son nulas.
e. Es válido el principio de superposición de efectos.
f. Es aplicable el principio de Saint Venant.
g. Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas.
Tipos de cuerpos analizados: miembros cargados axialmente, ejes sujetos a
torsión, cascarones delgados, vigas y columnas.
Esfuerzo y Deformación
Supóngase una barra prismática que funcione como miembro estructural,
sometida a una fuerza axial de tensión. La fuerza se aplica en el eje de la barra.
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Dado que la barra está en equilibrio, las fuerzas internas deben ser iguales a la
fuerza externa aplicada. La intensidad de la fuerza se denomina esfuerzo y sería
igual a la suma de todas las cargas soportadas por cada fibra del sólido dentro
del área transversal A.
𝜎 = 𝑃
𝐴
δ
P P
P P
P
m
n
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Esfuezos normal, de tension y de compresión.
Ejemplo 1. Si P = 10.000 lb a tensión, y A = 2 pulg2, ¿cuánto sería el esfuerzo
normal? Si se disminuye A a ½ pulg2, ¿cómo varía el esfuerzo?
Unidades del Esfuerzo:
SI 1 N/m2 = 1 Pa;
103 N/m2 = 1 kN/m2 = 1 kPa = 1 x 103 Pa;
1 MPa = 1 x 106 Pa = 106 N/m2,
1 GPa = 1 x 109 Pa = 109 N/m2,
Inglés lb/pulg2 = psi
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Ejemplo 1. En el brazo mostrado en la figura, el miembro horizontal AC es una
barra circular de 30 mm de diámetro, y el miembro inclinado BC es una barra
sólida con una sección transversal de 60 mm x 100 mm. Determinar el esfuerzo en
cada uno de los miembros cuando P = 24 kN.
Resolviendo el ejercicio hallamos que BC = 40 kN (compresión) y AC = 32 kN
(tensión). Aplicando la fórmula para el esfuerzo hallamos que σAC = 45,3 MPa y
σBC = 6,67 MPa.
Ejemplo 2. Two solid cylindrical rods AB and BC are welded together at B and
loaded as shown. Determine the magnitude of the force P for which the tensile
stress in rod AB is twice the magnitude of the compressive stress in rod BC.
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Ejercicios para resolver:
1. In Example 2, knowing that P = 160 kN, determine the average normal stress
at the midsection of (a) rod AB, (b) rod BC.
2. Una varilla redonda de acero de 20 mm de diámetro está sujeta a una
carga de tensión de 60 kN. Determinar el esfuerzo en la varilla.
3. Un cubo con una sección transversal cuadrada de 100 mm de lado está
sometido a una carga de compresión de 250 kN. Halle el esfuerzo de
compresión del cubo.
4. Un cilindro hueco de latón soporta una carga axial de compresión de
10.000 N. Si el diámetro exterior es de 60 mm y el diámetro interior es de 30
mm, ¿cuál es el esfuerzo de compresión en el cilindro?
5. Una mesa de 1,3 m x 1,7 m soporta una carga uniformemente distribuida
sobre su superficie. Determinar la carga máxima que puede soportar la
mesa. Cada una de las cuatro patas de madera tiene una sección
transversal de 50 mm x 50 mm (tamaño natural). El esfuerzo unitario de
compresión no debe exceder de 4,2 MPa.
6. Un tubo de latón soporta una carga axial de 360 kN. Si el diámetro interior
es de 30 mm, ¿cuál debe ser el diámetro exterior? El esfuerzo unitario no
debe exceder de 75 MPa.
7. Two solid cylindrical rods AB and BC are welded
together at B and loaded as shown. Knowing that the
average normal stress must not exceed 175 MPa in rod
AB and 150 MPa in rod BC, determine the smallest
allowable values od d1 and d2.
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Deformación
Al soportar una fuerza sobre su eje la barra prismática se alarga una distancia δ.
Este alargamiento se denomina también elongación o contracción. Dichos
cambios de longitud son deformaciones.
La deformación total es el cambio total de la longitud del miembro (δ). La
deformación unitaria es el cambio de longitud por unidad de longitud (ε).
휀 = 𝛿
𝐿
ε es la deformación unitaria en pulg/pulg, o en m/m; δ es la deformación total
en pulg o m, y L es la longitud total original de la barra en pulg o m.
Ejemplo 2. Una barra prismática rectangular de 20 x 40 mm y longitud 3,0 m está
sometida a una fuerza de tensión axial de 80 kN. El alargamiento medido de la
barra es δ = 1,2 mm. Calcular los esfuerzos de tensión y la deformación unitaria
de la barra.
σ = 80 kN / (0,002) / (0,004) = 100 MPa
δ
P P
P P
L
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ε = 0,0012 / 3 = 400 x 10-6 m/m
Ejemplo 3. Un poste pequeño, construido con un tubo
circular hueco de aluminio, soporta una carga de
compresión de 26 kips. Los diámetros interno y externo del
tubo son d1 = 4,0 pulg y d2 = 4,5 pulg, respectivamente, y su
longitud es 16 pulg. Se mide el acortamiento del poste
debido a la carga y resulta ser de 0,012 pulg. Determinar el
esfuerzo y la deformación unitaria de compresión en el poste
(no tenga en cuenta el peso del poste mismo y suponga que
el poste no se pandea bajo la carga).
A = 3,338 pulg2 σ = 7.790 lb/pulg2 ε = 750 x 10- 6
Ejercicios para resolver:
1. Una barra de 3 m de longitud está sujeta a una carga axial de tensión que
reproduce una elongación de 0,7 mm. Determinar la deformación unitaria
de la barra.
2. Un alambre tiene una deformación unitaria de 0,0002 μ y una deformación
total de 7 mm. ¿Cuál es la longitud del alambre?
Diagramas Esfuerzo – Deformación
Para saber cómo se comporta un material es necesario hacer experimentos en
laboratorios, a través de pruebas estandarizadas que puedan ser replicadas en
cualquier parte del mundo.
Las pruebas de tensión se hacen sobre especímenes cargados en máquinas de
pruebas de tensión.
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Para observar un ensayo realizado siga ese enlace:
http://www.youtube.com/watch?v=4p7bvJGN4Po
Luego de realizar el ensayo a tensión o compresión del elemento se puede trazar
un diagrama esfuerzo-deformación, el cual es típico de cada elemento probado.
http://www.youtube.com/watch?v=Klx9KO1gOdI
El acero estructural es utilizado en casi todas las obras de ingeniería tales como
edificios, puentes, grúas, barcos, torres, columnas, vigas, etc. Por tal razón
analizaremos su diagrama esfuerzo-deformación típico. Las deformaciones
unitarias se grafican en el eje horizontal y los esfuerzos en el eje vertical.
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Elasticidad y Plasticidad
Ahora analizaremos qué pasa cuando en un ensayo a tracción o compresión el
material se descarga.
Si está en su zona elástica, el material cargado hasta el punto A es descargado
y recupera sus dimensiones originales (material elástico). Si el material se carga
hasta el punto B, mucho mayor que A, el material sigue la línea BC; al llegar a C
el material queda con una deformación permanente o residual (línea OC). Este
alargamiento de la barra de prueba se llama cedencia permanente (material
parcialmente elástico).
El límite Elástico (E) suele ser un poco mayor que el límite de proporcionalidad y
se suponen iguales.
http://www.youtube.com/watch?v=CFJp0weHMG0
Elasticidad Lineal, Ley de Hooke y Coeficiente de Poisson
Materiales como el acero tienen un comportamiento elástico y lineal en las
primeras etapas de carga material elástico lineal.
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Ley de Hooke σ = Еε
σ es la tensión normal
ε es la deformación lineal
E es el Módulo de Elasticidad o Módulo de Young. Es la pendiente del diagrama
tensión-deformación en la región elástica lineal.
Coeficiente de Poisson
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Cuando se deforma un elemento axialmente también aparece una
deformación normal a ese eje. La deformación
unitaria lateral (ε´) es proporcional a la
deformación unitaria axial (ε) y su relación se
denomina relación de Poisson o coeficiente de
Poisson (𝝑).
𝜗 = − 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙= −
휀´
휀
¿Qué indica el signo negativo?
Si se conoce la relación de Poisson de un material
es posible conocer su deformación unitaria
lateral a partir de la axial:
ε´ = εv
v varía de 0,25 a 0,35 para la mayor parte de los
metales y muchos materiales. El concreto tiene
un v entre 0,1 y 0,2.
Para que se cumpla la relación de Poisson el
material debe ser 1) homogéneo y 2) isotrópico.
Ejemplo. A bar made of A-36 steel has the dimensions shown in the figure. If an
axial force of P = 80 kN is applied to the bar, determine the change in its length
and the change in the dimensions of its cross section after applying the load. The
material behaves elastically.
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Normal Stress: σ = 16 x 106 Pa
Note that for A-36 steel E = 200 GPa.
Strain in z direction: ε = σ / Е = 80 x 10-6 mm/mm
Axial elongation of the bar: δz = εz Lz = 120 x 10-6 m = 120 μm
For steel, v = 0,32 εx = εy = - v εz = - 25,6 μm/m
Changes in the dimensions of the cross section:
δx = εx Lx = -25x10-6 μm/m * 0,1 m = -2,56 μm
δy = εy Ly = -25x10-6 μm/m * 0,05 m = -1,28 μm