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RESISTENCIA DE MATERIALES

UNIDAD I

MECÁNICA VECTORIAL Y MECANICA ESTÁTICA.

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SEMANA 1

1. INTRODUCCIÓN

Como se indicó en la presentación del curso, lo que aquí se abordará busca que usted conozca y maneje los conceptos básicos del equilibrio estático, fuerzas, momentos,

resistencia de materiales, de esfuerzo y deformación.

Esta semana iniciaremos el estudio de los contenidos definidos en el programa de

estudios, específicamente con los objetivos de:

Conocer y comprender los conceptos básicos del equilibrio estático.

Comprender y valorar la necesidad de entender el comportamiento de los

cuerpos rígidos bajo cargas exteriores

Para ello en este documento se abordarán los contenidos de Fundamentos de

Mecánica Vectorial –Fuerza, Vectores y escalares-, Fundamentos de la mecánica estática:

composición de fuerzas concurrentes y no concurrentes y Fundamentos de Mecánica

Vectorial.

2. FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA VECTORIAL

2.1. Fuerza:(��)

Históricamente, se define por fuerza cualquier acción o influencia que al actuar sobre

un cuerpo es capaz de cambiar el estado de movimiento de éste; por ejemplo, la fuerza que

una persona aplica para mover un escritorio.

2.2. Tipos de fuerzas:

Fuerza de contacto: resulta del contacto físico entre un cuerpo y sus alrededores. Por

ejemplo golpear un balón de futbol con el pie.

Fuerza de campo: Resulta de la acción a distancia entre el cuerpo y sus alrededores

Por ejemplo la fuerza magnética.

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2.3. Unidad de fuerza:

La unidad de fuerza es newton (N) que se define como la fuerza que, al actuar sobre un

cuerpo de una masa 1kg, produce una aceleración de 1 m/s2. El newton se puede expresar

en términos de las siguientes unidades fundamentales de masa, longitud y tiempo.

1N = 1 kg m/s2.

2.4. Características de una fuerza:

Punto de aplicación. Es el lugar concreto sobre el cual actúa la

fuerza. En él se comienza a dibujar el vector que representa la

fuerza.

Magnitud o intensidad. Indica el valor numérico de la fuerza en

newton. Se corresponde con la longitud del vector.

Dirección. Es la recta a lo largo de la cual se aplica la fuerza.

La línea sobre la que se dibuja el vector.

Sentido. Con la misma dirección, una fuerza puede tener dos

sentidos opuestos. Se indica con la punta de la flecha del

vector.

2.5. Vectores y Escalares

En la física hay dos tipos de magnitudes, las escalares y las vectoriales.

La magnitud escalar se describe completamente por un valor numérico con una

unidad de medida apropiada. Por ejemplo: el tiempo, la temperatura y la rapidez.

La magnitud vectorial se describe completamente con un valor numérico con una

unidad de medida apropiada más una dirección y sentido. Por ejemplo: la Fuerza y la

Velocidad.

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2.6. Características de un vector

Para representar una magnitud vectorial se utiliza una letra en negrita, por ejemplo a, o una

flecha sobre el símbolo del vector (a). La magnitud del vector (a) se escribe como a o ⌈a⌉.

Los componentes de un vector son:

Modulo viene dado por la longitud de la flecha. El módulo es proporcional a la

intensidad de la fuerza. Por ejemplo: Al representar las fuerzas usaremos una escala

similar a la utilizada en los mapas, por ejemplo, 1 centímetro en el papel equivaldrá a

1 Newton de fuerza (1 cm:1 N).

Escala Þ 1 cm = 2 N

3 cm × 2 N

1 cm= 6 N

La dirección es la recta sobre la que se aplica la fuerza. Viene expresada por el ángulo

que forma la recta con la horizontal: 0º (horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º,

etc.

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Nota: En el S.I. la unidad de ángulo es el RADIÁN: 2π rad = 360º; π rad = 180º;

π/2 rad = 90º, etc.

El sentido indica hacia dónde se aplica la fuerza. En una misma dirección existen dos

sentidos posibles.

El punto de aplicación es el punto del espacio en que se aplica la fuerza. Esto es

importante, pues los efectos que producen las fuerzas dependen en muchos casos del

punto de aplicación.

Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero difieren en su punto de aplicación.

Nota: Por lo tanto se puede decir que una fuerza es un vector.

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2.7. Fuerza neta

Es cuando varias fuerzas están aplicadas al mismo tiempo sobre un objeto, fuerzas

concurrentes, estas se combinan de tal forma que dan origen a una sola fuerza llanada

fuerza neta. La fuerza neta (FN ) corresponde a la suma vectorial de todas las fuerzas que

actúan sobre un cuerpo. También se conoce como fuerza resultante o fuerza total.

FN = F1 + F2

+ F3 + ⋯ + Fn

Por ejemplo: dos caballos que tiran de un carro. En este caso, cuando dos o más fuerzas

actúan a la vez, sus efectos se suman. En otras ocasiones, los efectos se restan, por

ejemplo, dos niños disputándose un paquete de chucherías.

2.8. Diagrama de cuerpo libre (DLC).

Técnica que se utiliza representar todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, respetando

el módulo y la dirección de cada una de ellas. Se llama de cuerpo libre, ya que solo se

consideran las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en estudio, y no las que sete aplica a

otros objetos. El cuerpo se representa como una masa puntual, es decir, un punto donde su

masa se encuentra concentrada, de esta forma la masa permanece inalterable.

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2.9. Leyes de Newton

2.9.1. Primera Ley de Newton:

Todo cuerpo tiende a mantener su estado, si está en reposo tenderá al reposo, y si está en

movimiento rectilíneo uniforme permanecerá en movimiento con velocidad constante

(rapidez, uniforme en línea recta), si no actúa sobre el alguna fuerza o si la fuerza neta sobre

el objeto es cero.

La fuerza neta 𝐹𝑁 es el resultado de fuerzas externas aplicadas sobre el objeto, es decir,

fuerzas que son el producto de la interacción entre el objeto y su entorno. Cuando la fuerza

neta es cero, la aceleración (��) del objeto es cero. La sumatoria de las fuerzas iguales a cero

se conoce como condición de equilibrio traslacional.

∑ 𝐹𝑁 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 �� = 0

Ejemplo: Una joven camina a través de una cuerda tendida horizontalmente entre dos

edificios separados por 8 metros. A deflexión de la soga cuando esta en el punto medio

forma un ángulo de 12°. Si la masa de la joven es de 46 kg..., ¿cuál es la tensión (T) de la

soga en ese punto?

Desarrollo

Diagrama de cuerpo libre (DLC)

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De acuerdo al DLC al descompones las fuerzas de tensión es la cuerda, tanto la suma de las

componentes de las fuerzas horizontales como verticales deben ser cero.

En el cero horizontal ambas componentes se anulan por ser iguales y opuestas.

En el caso vertical, se puede escribir ∑ 𝐹𝑦 = 0

Entonces, utilizando las relaciones trigonométricas, se tiene:

𝑻 × 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟐° + 𝑻 × 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟐° − 𝒎 × 𝒈 = 𝟎

𝟐 𝑻 × 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟐° = 𝒎 × 𝒈

𝑻 = 𝒎 × 𝒈

𝟐 × 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟐°

𝑻 =𝟒𝟔 × 𝟗,𝟖

𝟎, 𝟒𝟐

𝑻 = 𝟏. 𝟎𝟕𝟑,𝟑 𝑵

2.9.2. Segunda Ley de Newton.

La segunda ley de Newton, conocida también como ley de la aceleración, establece que

cuando se observa un objeto desde un marco de referencia inicial, la aceleración (𝑎) del

objeto es directamente proporcional a la fuerza neta (��𝑁 ) que actúa sobre él y es

inversamente proporcional a su masa (m).

La segunda ley de Newton se expresa en: �� = ∑ 𝐹

𝑚

La dirección de la aceleración será en la dirección de la fuerza neta que actua sobre el

objeto.

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Ejemplo: Cuanta tensión debe resistir un cable si se utiliza para acelerar verticalmente hacia

arriba a 0,6 m/s2, en contenedor de 1.000 kg, en ausencia del roce.

Desarrollo

El DCL muestra todas las fuerzas que actúan sobre el contenedor.

A partir de la segunda ley de Newton

∑ �� = 𝑚 × 𝑎 𝑇 − 𝑚 × 𝑔 = 𝑚 𝑥 ��

El peso se puede calcular como: masa x aceleración de gravedad.

Entonces despejando T de la expresión anterior y remplazando los

valores se tiene:

T = m x a + m x g

T = m (a + g)

T = 1.000 kg (0,6 m/s2 + 9,8 m/s2)

T= 1.000 kg ( 10,4 m/s2)

T = 10.400 N

∑ �� = 𝑚 × ��

Recordemos la relación masa, aceleración y fuerza queda:

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2.9.3. Tercera ley de Newton:

La tercera ley de Newton o ley de acción y reacción, establece si dos objetos llamados A y B

interactúan, la fuerza 𝐹𝐵𝐴 ejercida por el objeto A sobre B es igual en magnitud y opuesta en

dirección a la fuerza 𝐹𝐴𝐵 ejercida por el objeto B sobre el objeto A. Asi, se puede expresar:

𝐹𝐵𝐴 = 𝐹𝐴𝐵

La fuerza que el objeto A aplica sobre el objeto B se conoce como acción y la fuerza que

ejerce el objeto B aplica sobre el objeto A se conoce como reacción. La fuerza de acción

tiene la misma magnitud que la fuerza de reacción pero en dirección opuesta

2.10. Fuerza de roce

Si un objeto está en movimiento interactuará con su entorno, tanto si se mueve sobre una

superficie sólida como si lo hace dentro de un fluido. Esta interacción se traduce en una

resistencia al movimiento del objeto conocida como fuerza de roce o fuerza de fricción.

¿Cómo se produce la fuerza de roce?

La fuerza de roce se genera a partir de la naturaleza de las superficies en contacto, debido a

la rugosidad de ambas.

Para sacar un cuerpo del reposo se le debe aplicar una fuerza..

La fuerza que su opone al movimiento del cuerpo se conoce como fuerza de roce

estática (fs). Mientras el cuerpo no se mueva, la fuerza de roce estática será igual a la

aplicada, si la fuerza aumenta, la fuerza de roce también aumenta.

Cuando el cuerpo está a punto de deslizarse, la fuerza de roce tiene su máximo valor.

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Cuando el cuerpo está en movimiento, la fuerza de roce se denomina fuerza de roce

cinética (fk). Esta fuerza es menor que la fuerza máxima. Si la fuerza aplicada es igual

en magnitud a la fuerza de roce cinética, entonces el cuerpo se moverá con velocidad

constante, pero si la fuerza es mayor que la fuerza de roce cinética, el cuerpo

acelerará en la misma dirección que la fuerza resultante.

2.11. Composición de una fuerza

A continuación estudiaremos la manera de calcular la fuerza resultante para el caso de varias

fuerzas aplicadas en la misma dirección y para el caso de fuerzas aplicadas en direcciones

diferentes. Es lo que se denomina composición de fuerzas.

1) Misma dirección

Mismo sentido: se suman los módulos de los vectores a componer.

Sentidos contrarios: se restan los módulos de los vectores a componer.

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2) Distinta dirección

Perpendiculares: se aplica el método gráfico y usamos el teorema de Pitágoras sobre

el triángulo que determinan los dos vectores y su resultante. Obviamente, el triángulo

es rectángulo (para los despistados).

. No perpendiculares: Se aplica método grafico exclusivamente.

En el caso que hubiera componer más que un vector, lo haríamos sucesivamente uno a uno.

3) Paralelas

Igual sentido (paralelas): Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la

palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la resultante

son iguales:

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F1 · (d – x) = F2 · x

Por otro lado, el módulo de la resultante es la suma de los módulos de las dos fuerzas:

R = F1 + F2

Sentidos contrarios (anti paralelas): Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley

de la palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la

resultante son iguales:

F1 · (d + x) = F2 · x

Por otro lado, el módulo de la resultante es la diferencia de los módulos de las dos fuerzas:

R = F2 - F1

Siempre se restará la menor a la mayor.

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2.12. Descomposición de fuerzas

Descomponer un vector consiste en encontrar otros vectores (normalmente dos) cuya

composición nos del vector inicial. Esencialmente, es el proceso contrario al de la

composición. Veamos algunos ejemplos;

Hay otra posibilidad

Y otra forma más

Entonces, ¿cuál es la forma correcta de descomponer un vector? Pues todas. En realidad

hay infinitas maneras de descomponer un vector y todas son correctas pues cumplen la

definición de descomposición vectorial. Nosotros vamos a estudiar una llamada

descomposición normal en la que los vectores obtenidos (componentes), son

perpendiculares entre sí.

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Vamos a ver ahora una aplicación práctica de la descomposición de vectores: el

desplazamiento sobre un plano inclinado.

Nos centraremos, concretamente, en la descomposición de la fuerza-peso. Esta fuerza tiene

dos efectos sobre el cuerpo que se desplaza: lo mantiene en contacto con la superficie del

plano inclinado y lo empuja hacia abajo.

Cada uno de estos dos efectos es debido a las dos componentes de la fuerza-peso

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En Matemáticas podemos también identificar vectores, componerlos y descomponerlos

usando coordenadas cartesianas:

Para componer dos vectores a partir de sus coordenadas cartesianas