representaciones, grupos de lie y partículas...

Departamento de Matemaacuteticas Facultad de CienciasUniversidad Autoacutenoma de Madrid

Representaciones grupos de Lie ypartiacuteculas elementales

Trabajo de fin de grado

Grado en Matemaacuteticas

Autor Javier Prieto Prieto

Tutor Fernando Chamizo Lorente

Curso 2018-2019

ResumenLas representaciones son herramientas que permiten entender la estructura algebraicade un grupo dejaacutendolo actuar sobre un espacio vectorial Esta idea a priori abstractagoza de gran aplicacioacuten praacutectica en varias ramas de la fiacutesica En este trabajo veremoslos aspectos maacutes elementales de la teoriacutea y algunas de estas aplicaciones En parti-cular estudiaremos coacutemo las simetriacuteas de un sistema fiacutesico se pueden codificar en ungrupo para a continuacioacuten extraer leyes dinaacutemicas que predicen su evolucioacuten Nuestrosprimeros ejemplos seraacuten grupos finitos en mecaacutenica claacutesica para pasar despueacutes a lateoriacutea de grupos de Lie cuya importancia ha sido capital en el desarrollo del modeloestaacutendar de la fiacutesica de partiacuteculas

AbstractRepresentation theory is a tool for understanding a grouprsquos algebraic structure byletting it act on a vector space This idea may sound abstract on its face but it hasa great deal of practical applications in several branches of physics This work willreview the most elementary results of the theory as well as some of its applicationsWe will focus particularly on how the symmetries of a physical system can be encodedin a group and how representation theory can then be used to derive dynamical lawspredicting its evolution in time Our first examples will include finite groups in classi-cal mechanics After that we will review the central role the representation theory ofLie gropus has played in the development of the Standard Model of particle physics

iii

Iacutendice general

1 Motivacioacuten y definiciones baacutesicas 111 Introduccioacuten 112 Definiciones y resultados elementales 213 Maacutes ejemplos 6

131 Permutaciones 6132 Formas cuadraacuteticas 7

2 Representaciones de grupos finitos 921 Caraacutecter de una representacioacuten y ortogonalidad 922 La representacioacuten regular 1223 Ejemplos 14

231 A4 y las simetriacuteas del tetrahedro 14232 Modos normales de un sistema mecaacutenico 16

24 Tablas de Young y la hook length formula 193 Grupos de Lie y teoriacuteas gauge 21

31 Grupos de Lie 2132 Aacutelgebras de Lie 23

321 La aplicacioacuten exponencial 25322 Constantes de estructura 26

4 Representaciones de grupos y aacutelgebras de Lie 2941 Los casos SU(2) y SO(3) 29

411 Representaciones y aacutelgebras de Lie 29412 Toros maximales y subaacutelgebras de Cartan 30413 Pesos y raiacuteces 31

42 SU(3) y orden superior 345 El principio gauge 37

51 Lagrangianos y simetriacuteas 3752 El principio gauge en accioacuten 39

521 Teoriacutea U(1) o electrodinaacutemica cuaacutentica 39522 Teoriacutea O(n) 41

53 El modelo estaacutendar 42

v

CAPIacuteTULO 1

Motivacioacuten y definiciones baacutesicas

11 Introduccioacuten

La estructura algebraica de grupo se suele motivar apelando a la idea de que cier-tos objetos matemaacuteticos tienen simetriacuteas es decir son invariantes bajo la accioacuten deciertas transformaciones Estas transformaciones se nos dice forman un grupo puespueden componerse e invertirse Por ejemplo un conjunto sigue siendo el mismo aun-que cambiemos de orden sus elementos Una vez que tenemos la definicioacuten axiomaacuteticade grupo podemos hacer aacutelgebra sin preocuparnos de doacutende viene Sin embargo lateoriacutea de representacioacuten nos dice que puede ser uacutetil desandar el camino coger un gru-po abstracto y ldquorealizarlordquo como transformaciones sobre un espacio Representar ungrupo abstracto es en cierto sentido linealizarlo [18] para entenderlo mejor Objetosque se pueden definir de pleno derecho con una simple lista (quizaacute infinita) de rela-ciones algebraicas cobran mucho maacutes sentido si los dejamos actuar sobre un espacioaccesorio

Esta relacioacuten estrecha entre grupos y transformaciones data como miacutenimo de finales delsiglo XIX En esa eacutepoca la teoriacutea de grupos ya habiacutea hecho su aparicioacuten en el aacutelgebrade la mano de Galois Al mismo tiempo Riemann (entre otros) habiacutea revolucionado lageometriacutea con el descubrimiento de espacios no eucliacutedeos Es en este contexto cuandoKlein propone usar la teoriacutea de grupos para poner orden en la geometriacutea Seguacuten supropuesta conocida como Programa Erlangen la geometriacutea es el estudio de aquelloque permanece invariante bajo un grupo de simetriacuteas Distintos grupos daraacuten lugara geometriacuteas diferentes siguiendo un patroacuten baacutesico Grupos maacutes grandes actuaraacutende forma maacutes ldquovariadardquo preservando menos invariantes y por tanto dando lugar ageometriacuteas menos ldquoriacutegidasrdquo

La forma maacutes general de introducir representaciones emplea el lenguaje de teoriacutea decategoriacuteas1 [9] No obstante es posible tambieacuten dar una definicioacuten en el lenguaje maacuteshabitual de la teoriacutea de conjuntos ZFC

Definicioacuten 111 Sean G un grupo V un espacio vectorial sobre un cuerpo K yGL(V ) el conjunto de aplicaciones K-lineales invertibles de V en V Decimos que

1Esto no es casualidad Los mismos fundadores de la teoriacutea de categoriacuteas la consideraban comouna extensioacuten natural del Programa Erlangen [3]

1

2 Motivacioacuten y definiciones baacutesicas

π G minusrarr GL(V ) es una representacioacuten de G sobre V si π es un homomorfismo degrupos donde la operacioacuten de grupo en GL(V ) viene dada por la composicioacuten

Abusando un poco la notacioacuten a veces escribiremos π(g)(v) como g middot v cuando seentienda de queacute π estamos hablando Veamos un primer ejemplo Sea G = S3 el grupode permutaciones del conjunto con 3 elementos y sea V = R Entonces GL(V ) sim= Ry los homomorfismos

π1 S3 minusrarr Rπ2 S3 minusrarr R

σ 7minusrarr 1

σ 7minusrarr sgn(σ)

(11)

son ejemplos de representaciones El primero es trivial y el segundo da el signo dela permutacioacuten Evidentemente al no ser ninguno de los dos monomorfismos se haperdido estructura al representar S3 de estas maneras En cierto sentido R es ldquodema-siado pequentildeordquo para capturar toda la estructura del grupo Sin embargo si tomamosV = R podemos definir π3 S3 minusrarr GL2(R) mediante

(12) π3(2 3) =1

2

(1radic

3radic3 1

) π3(1 2) =

(minus1 00 1

)

que siacute es inyectivo Si restringimos π3 a su imagen vemos que resulta el isomorfismoentre S3 y el grupo dieacutedrico D3 es decir las isometriacuteas del plano que fijan un triaacutenguloequilaacutetero centrado en el origen

Otra manera de dar una representacioacuten de S3 que generaliza a grupos simeacutetricosde cualquier orden es actuar con elementos sobre una base de R3 y a continuacioacutenescribir la expresioacuten matricial de las permutaciones en esa base Asiacute pues tendriacuteamos

(13) ρ(1 2) =

0 1 01 0 00 0 1

ρ(2 3) =

1 0 00 0 10 1 0

12 Definiciones y resultados elementales

Definicioacuten 121 La dimensioacuten de una representacioacuten π de G sobre V es la dimen-sioacuten del espacio vectorial V ie dimK V

De nuevo nos interesamos sobre todo por los casos K = RC Cabe recordar eneste punto que dimR V 6= dimC V por lo que ldquodimensioacuten de una representacioacutenrdquo esalgo ambiguo a menos que se especifique el cuerpo base Omitiremos de cuaacutel se tratasolamente cuando no quepa lugar a confusioacuten Asiacutemismo recordamos que en estetrabajo lidiaremos solo con representaciones de dimensioacuten finita

Veamos ahora coacutemo podemos capturar la idea de que dos representaciones seanequivalentes Para ello introducimos primero la siguiente

12 Definiciones y resultados elementales 3

Definicioacuten 122 Dadas dos representaciones π y ρ de G sobre V y W una apli-cacioacuten equivariante de V a W es una aplicacioacuten lineal φ V minusrarr W tal queπ(g) φ = φ ρ(g) para todo g isin G

Dicho de otra forma queremos que el siguiente diagrama conmute

V W

V W

φ

π(g) ρ(g)

φ

Si exigimos que la aplicacioacuten φ sea un isomorfismo podemos decir que las represen-taciones que conecta son baacutesicamente la misma salvo conjugacioacuten De ahiacute la siguiente

Definicioacuten 123 Dos representaciones π y ρ de G sobre V y W respectivamentesi existe una aplicacioacuten equivariante de V a W que ademaacutes es invertible

Una consecuencia inmediata de esto es que representaciones de dimensioacuten diferente nopueden ser nunca equivalentes pues los espacios sobre los que actuacutean no son isomorfos

Si nos dan dos espacios vectoriales cualesquiera siempre los podemos combinarde (al menos) dos maneras canoacutenicas mediante el producto tensorial y mediante lasuma directa Estas dos construcciones tienen una traduccioacuten inmediata al caso derepresentaciones

Definicioacuten 124 Dadas representaciones π1 π2 de G sobre espacios V1 V2 suproducto tensorial es la representacioacuten π = π1otimesπ2 de G sobre el espacio vectorial V =V1otimesV2 con la accioacuten del grupo definida como π(g)(v1otimesv2) = (π1(g)(v1))otimes(π2(g)(v2))para todos v1 isin V1 v2 isin V2 y g isin G

Un ejemplo importante de esta construccioacuten viene de la mecaacutenica cuaacutentica donde elestado de un sistema fiacutesico se representa mediante un vector en un espacio de Hilbertψ isin H que en nuestro caso supondremos de dimensioacuten finita Fijada una base lascoordenadas del estado nos permiten calcular las probabilidades de obtener distintosresultados en caso de que decidieacuteramos medir el sistema Si tenemos dos sistemas in-dependientes2 en estados ψ1 y ψ2 es natural postular que el estado conjunto vienedado por ψ = ψ1otimesψ2 puesto que si los sistemas son verdaderamente independientescualquier par ordenado de estados individuales debe poder ser un estado conjunto Sicada sistema por separado tiene ciertas simetriacuteas la manera de estudiar las simetriacuteasdel sistema conjunto requeriraacute estudiar el producto tensorial de representaciones loque sirve para motivar la anterior definicioacuten Por otra parte si los dos sistemas son in-distinguibles el sistema conjunto tendraacute una nueva simetriacutea la de permutar el primerocon el segundo La representacioacuten de esta nueva simetriacutea es lo que permite distinguirbosones (representacioacuten trivial) de fermiones (representacioacuten dada por el signo de lapermutacioacuten)

Definicioacuten 125 Dadas representaciones π1 π2 de G sobre espacios V1 V2 susuma directa es la representacioacuten π = π1 oplus π2 de G sobre el espacio vectorial V =

2En concreto dos sistemas que no interactuacutean entre siacute y que no estaacuten entrelazados


V1oplusV2 con la accioacuten del grupo definida componente a componente ie π(g)((v1 v2)) =(π1(g)(v1) π2(g)(v2)) para todos v1 isin V1 v2 isin V2 y g isin G

A modo de ejemplo notamos que cualquiera de las representaciones de S3 vistas enel apartado anterior se puede extender a un espacio de dimensioacuten mayor de mane-ra trivial basta sumarle la identidad tantas veces como queramos hasta llegar a ladimensioacuten deseada

(14) ρ = ρoplus 1oplus middot middot middot oplus 1

Esta construccioacuten realmente no es exclusiva de S3 Dada una representacioacuten finitasiempre podemos encontrar infinitas maacutes actuando trivialmente sobre dimensionesadicionales Lidiar con esta trivialidad motiva la siguiente

Definicioacuten 126 Dada una representacioacuten π de G sobre V se dice que un subespacioW sube V es invariante bajo π si g middot v isinW para todos v isinW y g isin G

Por ejemplo en la representacioacuten π1 del apartado anterior todos los elementos delgrupo actuacutean trivialmente por lo que todo el espacio V = R es invariante mientrasque el resto de representaciones solo dejan fijo el cero de modo que ninguna tienesubespacios propios invariantes Estas representaciones tienen un nombre especial

Definicioacuten 127 Una representacioacuten se dice irreducible si no tiene subespacios in-variantes propios ie distintos de V y 0

Para terminar con las definiciones notamos que a veces es interesante considerarrepresentaciones que enviacutean G a subgrupos de GL(V ) con propiedades concretas Unode estos casos es el grupo de matrices unitarias U(V ) = U isin GL(V ) U daggerU = 13que son las transformaciones que preservan el producto escalar en V Esto motiva lasiguiente

Definicioacuten 128 Una representacioacuten π de G en V se dice unitaria si respeta elproducto escalar en V ie 〈v w〉 = 〈g middotv g middotw〉 para todos v w isin V y para todo g isin G

Ahora que tenemos definidas las nociones baacutesicas vamos con algunos resultadoselementales sobre reducibilidad En primer lugar nos interesa saber cuaacutendo una re-presentacioacuten se puede descomponer como suma directa de irreducibles La respuestala da el siguiente

Teorema 121 Toda representacioacuten compleja de un grupo finito es suma directa derepresentaciones irreducibles

Antes de pasar a la prueba cabe hacer dos comentarios El primero es que no esestrictamente necesario que la representacioacuten sea compleja4 pero eso permite dar una

3Aquiacute y en el resto del texto el superiacutendice daga indica el transpuesto conjugado tanto paramatrices como para vectores

4Basta que el orden del grupo no sea divisible por la caracteriacutestica del cuerpo ver [15]


prueba maacutes sencilla usando el producto interior de C En segundo lugar veamos uncontraejemplo para ilustrar por queacute el grupo ha de ser finito Sea

π Z minusrarr GL2(C)

n minusrarr(

1 n0 1

)

(15)

Vemos que π(n) tiene como uacutenico autovalor el 1 con multiplicidad algebraica 2 perosu subespacio asociado X = span(1 0) tiene dimensioacuten 1 Es decir π(n) no esdiagonalizable por lo que a pesar de que no es irreducible pues X es un subespacioinvariante no se puede expresar como suma de subrepresentaciones irreducibles

Demostracioacuten La prueba contiene dos ingredientes El primero se conoce como el tru-co unitario de Weyl y consiste en observar que toda representacioacuten finita de un grupofinito se puede masajear adecuadamente para obtener una representacioacuten unitariaPara ello basta redefinir el producto interior en V como

(v w) =1

|G|sumgisinG〈g middot v g middot w〉(16)

donde 〈middot middot〉 es el producto interior original Vemos que el nuevo hereda la positividady simetriacutea del anterior por construccioacuten y que la sesquilinealidad tambieacuten estaacute garan-tizada por ser la accioacuten de G lineal Gracias a este truco basta probar el teorema parael caso unitario

El segundo ingrediente se trata de ver que una representacioacuten unitaria que dejeinvariante un subespacio W sub V tambieacuten deja invariante su complemento ortogonalWperp En efecto como la representacioacuten es unitaria si w isin W y wprime isin Wperp para todog isin G se tiene 〈g middot wprime g middot w〉 = 〈wprime w〉 = 0 por ser g middot gdagger = 1 luego g middot wprime isin Wperp Estosignifica que podemos descomponer el espacio como la suma directa V = W oplusWperpde manera que la representacioacuten deja invariante cada teacutermino por separado Si esnecesario se repite el mismo argumento para subespacios cada vez maacutes pequentildeos conla garantiacutea de que por ser V de dimensioacuten finita se acabaraacute en un nuacutemero finito depasos

Pasamos ahora a enunciar y probar un resultado elemental pero importante sobrerepresentaciones irreducibles La intuicioacuten es la siguiente dos representaciones irre-ducibles de la misma dimensioacuten siempre son equivalentes y si estamos trabajandosobre C son de hecho la misma representacioacuten salvo por una constante multiplicativaSi por el contrario tienen dimensiones diferentes entonces son tan diferentes que noexiste ninguna aplicacioacuten equivariante (no trivial) entre ellas

Lema 121 (Lema de Schur) Sean πV y πW representaciones irreducibles de ungrupo G sobre espacios vectoriales V y W respectivamente con cuerpo base K y seaφ V minusrarrW una aplicacioacuten equivariante de V a W Entonces se tiene

φ es cero o un isomorfismo En particular si dimV 6= dimW φ es cero


Si G es finito dimV = dimW y F es algebraicamente cerrado (en particularsi F = C) φ es proporcional a la identidad

Demostracioacuten En primer lugar observamos que tanto kerφ como Imφ son subespa-cios invariantes por la accioacuten de G Pero dado que las representaciones son irreduciblespor hipoacutetesis los subespacios invariantes han de ser el trivial o el total Por tanto lasuacutenicas combinaciones posibles son kerφ = 0 y Imφ = W (isomorfismo) o kerφ = V yImφ = 0 (cero) Esto prueba la primera parte

Para la segunda hacemos V = W Por la primera parte sabemos que toda aplica-cioacuten equivariante φ V minusrarr V es un isomorfismo o cero Ademaacutes por ser F algebrai-camente cerrado φ tiene al menos un autovalor λ isin F Definimos φ = φ minus λ1 Porconstruccioacuten φ es tambieacuten equivariante pero no puede ser un isomorfismo porque almenos uno de sus autovalores es cero Entonces por la primera parte del lema φ = 0es decir φ es muacuteltiplo de la identidad

13 Maacutes ejemplos

131 Permutaciones

Sea V el espacio vectorial de funciones f 1 2 3 minusrarr C que satisfacen f(1) +f(2) + f(3) = 0 Notamos que V tiene dimensioacuten compleja dimC V = 2 y fijamos labase B = f1 f2 definida por las ecuaciones

(17) f1(1) = f2(1) = 1 f1(2) = f2(3) = minus1 f1(3) = f2(2) = 0

Queremos estudiar la representacioacuten π de S3 sobre V que actuacutea como π(σ) f minusrarrf σminus1 En primer lugar comprobamos que de hecho se trata de una representacioacutenPara ello basta ver que π es un homomorfismo de grupos En efecto(18)π(σ1 σ2)(f) = f (σ1 σ2)minus1 = f σminus1

2 σminus11 = π(σ1)(f σminus1

2 ) = (π(σ1) middot π(σ2))(f)

Calculando coacutemo actuacutean los elementos (12) (13) y (123) de S3 sobre f1 y f2

π(12)(f1) = minusf1 π(23)(f1) = f2 π(123)(f1) = f2 minus f1(19)π(12)(f2) = f2 minus f1 π(23)(f2) = f1 π(123)(f2) = minusf1(110)

obtenemos sus expresiones matriciales en la base B

(111) π(12) =

(minus1 0minus1 1

) π(23) =

(0 11 0

) π(123) =

(minus1 1minus1 0

)Dado que dimV = 2 si π tiene alguacuten subespacio invariante no trivial eacuteste debe serde dimensioacuten 1 Es decir debe existir un v isin V tal que π(g)(v) = λgv para todog isin G Esto equivale a pedir que todas las matrices de la representacioacuten diagonalizansimultaacuteneamente Basta ver que por ejemplo π(12) y π(23) no lo hacen Por tantoπ es irreducible

13 Maacutes ejemplos 7

La matriz de cambio de base que relaciona π con la representacioacuten π3 definida en [1]es

(112) C =

(2 0

1radic

3

)con C middot π3(g) = π(g) middot C para todo g isin G

132 Formas cuadraacuteticas

Por uacuteltimo veamos un ejemplo de un grupo infinito Consideramos el espaciovectorial V sobre R de formas cuadraacuteticas binarias ax2 + 2bxy + cy2 Cada formacuadraacutetica Q isin V tiene asociada una matriz simeacutetrica mediante la foacutermula

(113) Q(x y) =(x y

)middot SQ middot

(xy

)Sea G = GL2(R) el grupo de matrices con entradas reales 2times 2 Vamos a demostrarque SQ 7minusrarr DSQD

ᵀ con D isin G induce una representacioacuten π de G de dimensioacuten 3Fijamos primero una base de G en la que los elementos de D son (dij)

2ij=1 y la base

B = x2 2xy y2 en V En ese caso si

(114) Q =

abc

se tiene

(115) SQ =

(a bb c

)Para calcular π(D) usamos que Qprime = π(D)Q si y solo si SQprime = DSQD

ᵀ Por tantobasta leer coacutemo se transforman los elementos de D en esta ecuacioacuten resultando

(116) π(D) =

d211 2d11d12 d2

12

d11d21 d11d22 + d12d21 d12d22

d221 2d21d22 d2

22

El determinante de esta matriz es (d11d22 minus d12d21)3 = (detD)3 6= 0 por ser D inver-tible luego π(D) tambieacuten es invertible y en consecuencia estaacute en GL3(R) Empleandoesta foacutermula podemos calcular que π(12) = 13 y que π(DDprime) = π(D)π(Dprime) lo queprueba que π es un homomorfismo de G a GL3(R) y por tanto una representacioacuten

Por uacuteltimo para que π fuera reducible es condicioacuten necesaria que pueda descompo-nerse como suma directa de dos subrepresentaciones π = π1 oplus π2 que actuacuteen sobresubespacios de dimensioacuten 1 y 2 respectivamente Como la dimensioacuten de la represen-tacioacuten es 3 todo π(D) tiene al menos un autovalor real y asociado un autoespaciode dimensioacuten 1 Entonces que la representacioacuten sea reducible equivale a decir que


este subespacio sea el mismo para todos los π(D) Diagonalizando π(D) vemos queel autovalor real es λ1 = detD y su autovector asociado es

(117) v1 =

minusd12d21

d22minusd112d211

si d21 6= 0 y

(118) v1 =

minus2d11d12

d211 minus d11d22

0

si d21 = 0 Por tanto como v1 depende de los dij concluimos que la representacioacuten esirreducible

CAPIacuteTULO 2

Representaciones de grupos finitos

21 Caraacutecter de una representacioacuten y ortogonalidad

En este capiacutetulo a menos que se especifique lo contrario los grupos seraacuten siemprefinitos y las representaciones seraacuten sobre los complejos En primer lugar vamos a in-troducir algo de notacioacuten Dado un grupo G llamamos L2(G) al conjunto de funcionesde G en los complejos La eleccioacuten del nombre evidentemente no es casual L2(G)tiene estructura de espacio vectorial complejo con dimL2(G) = |G| y ademaacutes vienenaturalmente equipado con el producto interior

(21) 〈φ ψ〉 =sumgisinG

φ(g)ψ(g)lowast

Esta construccioacuten nos permitiraacute dar una nocioacuten de ortogonalidad Como G es finitono hay que preocuparse por cuestiones de convergencia o integrabilidad en 21 Lahistoria cambia para grupos infinitos como veremos maacutes adelante

Un resultado uacutetil cuando se trabaja con grupos finitos es el siguiente

Lema 211 Toda representacioacuten de un grupo finito es equivalente a una representa-cioacuten unitaria

Demostracioacuten Sea π representacioacuten de G en Cd Consideramos el operador S =sumgisinG π(g)daggerπ(g) Notamos que S es hermiacutetico y semidefinido positivo por construccioacuten

Ademaacutes sus autovalores son estrictamente positivos ya que de lo contrario existiriacuteav isin Cd tal que 〈v Sv〉 =

sumgisinG π(g)v2 = 0 pero esto es imposible ya que al menos

π(e) 6= 0 De este modo podemos construir S12 y garantizar que es invertible Ahorabasta notar que πdaggerSπ = S porque un promedio sobre todo el grupo es invariantecuando se actuacutea (por la derecha o por la izquierda) con elementos del propio grupo1Esto nos permite probar que πprime = S12πSminus12 es unitaria pues

(22) πprimedaggerπprime = Sminus12πdaggerSπSminus12 = Sminus12SSminus12 = 1d

1Una manera algo pedante de expresar esto es decir que la accioacuten de un grupo sobre siacute mismo esregular tanto por la izquierda como por la derecha ie que los conjuntos g g isin G hg g isin G yghminus1 g isin G son el mismo para cualquier h isin G

9

10 Representaciones de grupos finitos

Un problema fundamental en muchas aacutereas de las matemaacuteticas y la fiacutesica es sa-ber queacute magnitudes dependen de las coordenadas elegidas y cuaacuteles no Esto motivadefiniciones de invariantes en aacutelgebra lineal que no se ven afectados por cambios debase tales como el determinante o la traza En este espiacuteritu se introduce en teoriacutea derepresentacioacuten la nocioacuten de caraacutecter

Definicioacuten 211 Dada una representacioacuten π de un grupo G de dimensioacuten d defi-nimos su caraacutecter χπ como

χπ G minusrarr Cg 7minusrarr Trπ(g)

(23)

A modo de ejemplo consideremos las representaciones irreducibles de S3

Para representaciones de dimensioacuten 1 la traza es la funcioacuten identidad Por tantola representacioacuten trivial tiene caraacutecter constante χπ1(σ) = π1(σ) = 1 y larepresentacioacuten que da el signo de la permutacioacuten tiene como caraacutecter tambieacutenel signo χπ2(σ) = π2(σ) = sgnσ

La representacioacuten irreducible de S3 de dimensioacuten 2 es un poco maacutes interesanteRecordamos que esta representacioacuten π3 es un isomorfismo entre S3 y D3 elgrupo de simetriacutea de un triaacutengulo equilaacutetero Si denotamos por R la rotacioacuten de120 grados en sentido positivo y por S la simetriacutea alrededor del eje Y obtenemoslos caracteres recogidos en la siguiente tabla

σ π3(σ) χπ3(σ)

e 1 2

(1 2) S 0

(1 3) RS 0

(2 3) R2S 0

(1 2 3) R minus1

(1 3 2) R2 minus1

Tabla 21 Caracteres de π3

Por uacuteltimo en la representacioacuten π4 de dimensioacuten 3 que consiste en permutar loselementos de una base de R3 las permutaciones que fijan uno de los vectores (lastransposiciones) tendraacuten caraacutecter 1 las que no fijan ninguno (los ciclos de orden3) tendraacuten caraacutecter cero y obviamente la identidad tendraacute caraacutecter dimπ4 = 3

Un resultado elemental que se sigue de la definicioacuten de caraacutecter es el siguiente

Teorema 211 Los caracteres satisfacenχπoplusρ = χπ + χρ

χπotimesρ = χπχρ

21 Caraacutecter de una representacioacuten y ortogonalidad 11

Demostracioacuten Para el primero basta observar que una suma directa es una matrizdiagonal por bloques (en alguna base) luego su traza es la suma de las trazas de cadabloque Para el segundo(24)

Tr [π otimes ρ] = Trmsum

ij=1

nsumkl=1

πijρkl =

msumi=1

nsumk=1

πiiρkk =

(msumi=1

πii

)(nsumk=1

ρkk

)= TrπTr ρ

Dada una representacioacuten π y fijada una base en GL(Cd) los coeficientes de lamatriz π(g)ij se pueden ver como elementos de L2(G) El resultado maacutes importante deeste capiacutetulo nos dice que tanto los distintos coeficientes de una misma representacioacutencomo los de representaciones diferentes son ortogonales entre siacute

Teorema 212 Sean π(α) y π(β) representaciones irreducibles de un grupo finito GEntonces en cualquier base los elementos de sus matrices satisfacen

(25) 〈π(α)i

j π(β)k

l 〉 =|G|

dimπ(α)δαβ δ

ilδkj

con δαβ = 1 si y solo si π(α) sim= π(β) y cero en otro caso

Demostracioacuten En primer lugar supongamos que las representaciones tienen la mismadimensioacuten d Como ambas son irreducibles por el lema de Schur han de ser equivalen-tes Maacutes auacuten el isomorfismo que permite pasar de una a otra debe ser proporcional a laidentidad luego π(β) = cπ(α) para alguacuten c isin C Ademaacutes como G es finito por el lema211 podemos restringir nuestra atencioacuten al caso unitario en el que π(α)minus1

= π(α)daggerPor otro lado para cualquier matriz C de dimensiones dtimes d se cumple que

(26) D =sumgisinG

π(g)Cρ(g)minus1

satisface πdagger(g)Dπ(g) = Dforallg isin G Para verlo basta invocar de nuevo la idea de quelos promedios sobre todo el grupo no cambian bajo la accioacuten del propio grupo Estosignifica que D debe ser proporcional a la matriz de cambio de base entre ambas re-presentaciones y por tanto proporcional a la identidad digamos D = λ1d Tomandotrazas a ambos lados se tiene que λd = |G|TrC Ahora escogemos C igual a cero entodas sus entradas salvo la (k j) para seleccionar el elemento de matriz que queremos

(27) λ =|G|dδkj

y finalmente seleccionamos el elemento (i l) de D resultando

(28) Dil =

sumgisinG

πijρdaggerkl =|G|dδilδ

kj

pues D es diagonal Esto completa la prueba en el caso en que las representacionesson equivalentes El caso contrario funciona igual solo que ahora todos los coeficientesde D son cero y por tanto todos los elementos de matriz son ortogonales


Un corolario inmediato de 212 es que los caracteres tambieacuten son ortogonalesBasta sumar sobre los iacutendices adecuadossum

i=jk=l

sumgisinG

π(α)i

j(g)π(β)daggerkl (g) =

sumgisinG

χα(g)χlowastβ(g) = 〈χα χβ〉 = |G|δαβ(29)

Otra consecuencia inmediata de las relaciones de ortogonalidad es el siguiente

Teorema 213 Los caracteres son constantes en cada clase de conjugacioacuten

Demostracioacuten Por la propiedad ciacuteclica de la traza

χπ(hghminus1) = Tr(π(h)π(g)π(hminus1)) =

= Tr(πminus1(h)π(h)π(g)) = Trπ(g) = χπ(g)(210)

para cualesquiera g y h en G

22 La representacioacuten regular

Por el teorema de Cayley sabemos que todo grupo finito G tiene una represen-tacioacuten finita que se obtiene al identificar G con un subgrupo de Sn para alguacuten nrepresentar Sn sobre Cn permutando elementos de una base cualquiera y restringirla representacioacuten a ImG El problema es que esto no nos da una cota superior parala dimensioacuten de la representacioacuten porque a priori no sabemos para queacute n podemosembeber G en Sn Sin embargo una estrategia similar permite encontrar una repre-sentacioacuten de dimensioacuten |G| basta enviar cada elemento de G a un vector de una basecualquiera de C|G| y actuar libremente con G sobre ella Ese es el contenido de lasiguiente

Definicioacuten 221 Dado un grupo finito G de orden N la representacioacuten regular porla izquierda de G es la que surge de identificar cada elemento g isin G con un vector deuna base cualquiera de L2(G) sim= CN digamos eg y dejar actuar G sobre siacute mismo porla izquierda2 es decir

λ G minusrarr GL(CN )

g 7minusrarr λ(g)(211)

con λ(g)(eh) = egh Anaacutelogamente la representacioacuten regular por la derecha se definecomo

ρ G minusrarr GL(CN )(212)g 7minusrarr ρ(g)(213)

con ρ(g)(eh) = ehgminus1

2Si G es infinito la representacioacuten regular se puede seguir definiendo sobre L2(G) si bien eacuteste esahora un espacio de Hilbert de dimensioacuten infinita

22 La representacioacuten regular 13

En lo que sigue nos referiremos exclusivamente de la representacioacuten regular porla izquierda Los resultados por la derecha son ideacutenticos La importancia de la repre-sentacioacuten regular radica en que se puede descomponer como suma directa de todas lasrepresentaciones irreducibles de G Ese es el contenido del siguiente

Lema 221 Si λ es una representacioacuten regular de G se cumple

(214) λ sim=oplusπisinG

π oplus middot middot middot oplus π︸︷︷︸dπ

donde G es el conjunto de todas las representaciones irreducibles de G y dπ es ladimensioacuten de π Ademaacutes se tiene que

(215)sumπisinG

d2π = |G|

Demostracioacuten Primero recordamos que toda representacioacuten es suma directa de irre-ducibles Usando las relaciones de ortogonalidad para cada π irreducible tenemos〈χπ χλ〉 = mπ|G| donde mπ es la multiplicidad de π en la representacioacuten regular λPor otro lado sabemos que χλ(g) = 0 en todas las clases de G salvo en la identidaddonde χλ(e) = |G| Por tanto 〈χπ χλ〉 = χπ(e)χλ(e) = dπ|G| y en consecuenciamπ = dπ La foacutermula para las dimensiones se sigue trivialmente de este resultadoconsiderando el tamantildeo y la multiplicidad de cada caja en λ

Esto significa que el conjunto π(α)ijij=1dααisinG

de elementos de matrices de repre-sentaciones irreducibles no equivalentes es una base de L2(G) pues contiene dimL2(G) =|G| vectores ortogonales y por tanto linealmente independientes Multiplicando cadauno por

radicdα|G| se obtiene una base ortonormal Este resultado se puede usar de nuevo

junto con las relaciones de ortogonalidad para probar el siguiente

Teorema 221 El nuacutemero de clases de conjugacioacuten coincide con el nuacutemero de re-presentaciones irreducibles

Demostracioacuten El resultado se sigue de que los caracteres de representaciones irredu-cibles forman una base en L2(G) para las funciones constantes en cada clase Paraverlo sea F G minusrarr C constante en cada clase Por un lado usando la base de L2(G)calculada previamente la podemos desarrollar F como

(216) F (g) =sumαisinG

dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)

Por otro lado como F es constante en cada clase se tiene que

(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)


Expandiendo F (hghminus1) en la base anterior y usando las relaciones de ortogonalidadpara hacer la suma en h se obtiene

F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)

(contrayendo las δ)

=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)

(definicioacuten de caraacutecter)

(218)

Por tanto como la dimensioacuten del espacio de funciones constantes en cada clase esigual al nuacutemero de clases de esto se sigue que hay tantas representaciones irreduciblescomo clases

23 Ejemplos

231 A4 y las simetriacuteas del tetrahedro

En esta seccioacuten vamos a estudiar el grupo T de rotaciones que dejan invariante untetrahedro regular En primer lugar observamos que T debe ser isomorfo a alguacuten sub-

grupo de S4 digamos Tφsim= G sub S4 puesto que si etiquetamos los veacutertices del 1 al 4 ac-

tuar sobre eacutel con T equivale a permutar las etiquetas Ademaacutes como estamos conside-rando solo movimientos directos dados tres veacutertices cualesquiera la matriz (vi|vj |vk)que los tiene por columnas debe cumplir det (R middot (vi|vj |vk)) = det(vσ(i)|vσ(j)|vσ(k))para todo R isin T con σ = φ(R) isin S4 Dicho de otra forma T contiene solo permuta-ciones con signo par por lo que T sub A4 Ahora basta un poco de intuicioacuten geomeacutetricapara darse cuenta de que T tiene 12 elementos (ver tabla 22) y por tanto T sim= A4

Un caacutelculo tedioso pero sencillo revela que los 3-ciclos estaacuten formados por dos clasesde conjugacioacuten con cuatro elementos cada una Cada uno de esos cuatro elementosfija un veacutertice distinto La pertenencia a una u otra clase tiene que ver con el sentidode la rotacioacuten Una de ellas contiene las rotaciones horarias la otra las antihorariasPor ejemplo en la primera tendriacuteamos el elemento (123) que fija el 4 y en la otraestariacutea el (132) que tambieacuten fija el 4 pero permuta los otros veacutertices al reveacutes Poruacuteltimo todas las composiciones de 2-ciclos disjuntos estaacuten en la misma clase lo quecontando tambieacuten la identidad resulta en un total de cuatro clases de conjugacioacuten

23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)

Ocho rotaciones de aacutengulo plusmn2π3 que fijanuno de los veacutertices

3-ciclos de la forma (ijk) con i 6= j 6= k

Tres rotaciones de aacutengulo π alrededor deun eje que une los puntos medios de dosaristas no adyacentes

Composiciones de 2-ciclos de la forma(ij)(kl) con i 6= j 6= k 6= l

Tabla 22 Isomorfismo entre T y A4

Usando el teorema 221 concluimos que T debe tener cuatro representacionesirreducibles Sabemos que la representacioacuten regular tiene dimensioacuten 12 y contienetodas las irreducibles y que entre ellas debe estar la trivial luego tenemos 12 + d2

1 +d2

2 + d23 = 12 Esta ecuacioacuten se puede resolver por simple inspeccioacuten (o fuerza bruta)

resultando d1 = d2 = 1 y d3 = 3 Por el lema de Schur la representacioacuten de dimensioacuten3 π3 debe ser equivalente a la representacioacuten sobre R3 de T luego π3 = φminus1 Lasotras dos representaciones de dimensioacuten 1 surgen de considerar homomorfismos queldquoignoranrdquo los ciclos de la forma (ij)(kl) enviaacutendolos a la identidad pero ldquorespetanrdquolos 3-ciclos enviaacutendolos a una raiacutez primitiva tercera de la unidad ω = e2ıπ3 oacute ω2 =e4ıπ3 Enviar las rotaciones horarias a ω y las antihorarias a ω2 da una representacioacutenmientras que la asignacioacuten inversa da la otra

Pasamos ahora a calcular la tabla de caracteres En dimensioacuten 1 la traza es lafuncioacuten identidad por lo que no hay nada que discutir Para π4 sabemos que todarotacioacuten de aacutengulo θ en R3 tiene como traza 1 + 2 cos θ Por tanto los 3-ciclos tienencaraacutecter 1 + 2 cos(plusmn2π3) = 0 las composiciones de 2-ciclos disjuntos tienen caraacutecter1 + 2 cosπ = minus1 y como siempre la identidad tiene caraacutecter igual a la dimensioacutenResumiendo

π0 πω πωlowast π3

[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0

Tabla 23 Caracteres de A4

Fijando una base B en R3 se pueden calcular expliacutecitamente las matrices π3 Porejemplo en la base en que el tetrahedro inscrito en la esfera unidad tiene por veacutertices

(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3

minusradic2radic6minus1

v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001


se tiene que π3((123)) es diagonal por cajas

(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1

mientras que los otros 3-ciclos tienen expresiones maacutes complicadas Por otro lado lostres elementos de orden 2 conmutan entre siacute luego debe existir una base Bprime dondeson simultaacuteneamente diagonales Ademaacutes sabemos que son rotaciones de aacutengulo πluego su expresioacuten diagonal debe contener un 1 y dos minus1 Un caacutelculo sencillo permiteencontrar la matriz de cambio de base

(221) CBminusrarrBprime =1radic6

1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2

y la expresioacuten de los φ((ij)(kl)) en B

π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)

232 Modos normales de un sistema mecaacutenico

La teoriacutea de representacioacuten de grupos se usa frecuentemente en fiacutesica para codificarlas simetriacuteas de un sistema facilitando algunos caacutelculos En esta seccioacuten vamos a apli-car esa filosofiacutea al estudio del movimiento de tres masas iguales m unidas por muellesideacutenticos con constante elaacutestica k que se desplazan sobre un plano sin rozamiento (ver21)

Como tenemos tres masas en dos dimensiones el espacio de configuracioacuten esR2otimesR2otimesR2 sim= R6 Llamaremos a las coordenadas r = (x1 y1 x2 y2 x3 y3) y ala velocidad v = r Las ecuaciones de movimiento maacutes generales para un sistema deeste tipo en el que las masas y constantes elaacutesticas no son necesariamente ideacutenticas sepueden obtener a partir del lagrangiano

(223) L(r r) = rᵀM rminus rᵀKr

con M = diag(m1m2m3) la matriz que contiene las masas en su diagonal y K unamatriz simeacutetrica que nos da la energiacutea potencial elaacutestica del sistema Las ecuacionesde movimiento vendraacuten dadas por las ecuaciones de Euler-Lagrange

(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17

Figura 21 Sistema de tres masas y muelles ideacutenticos en equilibrio

En general resolver este sistema requiere diagonalizar la matrizMminus1K ComoK es si-meacutetrica los autovalores son reales y los autovectores son ortogonales La nomenclaturafiacutesica suele llamar a las raiacuteces cuadradas de los autovalores frecuencias fundamentales(porque tienen unidades de frecuencia rads) y a los autovectores modos normales

En lugar de seguir este camino nosotros vamos a explotar las simetriacuteas del sistemapara ahorrarnos caacutelculos Empezamos observando que como las tres masas son igualeslas podemos intercambiar entre siacute Dicho de otra forma el problema es simeacutetricobajo permutaciones arbitrarias Esto induce una representacioacuten de S3 de dimensioacuten 3Ademaacutes como los muelles son tambieacuten ideacutenticos la configuracioacuten de equilibrio debeser un triaacutengulo equilaacutetero que no se ve alterado bajo la accioacuten del grupo diheacutedricoD3 Llegados a este punto conviene ver a R6 como el producto R3otimesR2 y cambiar lasetiquetas de nuestras coordenadas como

(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)

para hacer manifiesto que S3 actuacutea sobre el primer iacutendice (que etiqueta masas) y D3

sobre el segundo (que etiqueta los veacutertices del triaacutengulo Esto nos permite escribir larepresentacioacuten que contiene la simetriacutea global del problema como

D S3 minusrarr GL(R3otimesR2)

σ 7minusrarr (π4 otimes π3)(σ)(226)

Por el teorema 211 tenemos que χD = χπ4χπ3 Esto nos permite aprovechar loscaracteres calculados en la seccioacuten 21 para obtener

(227) χD([e]) = 2 middot 3 = 6 χD([12]) = minus1 middot 0 = 0 χD([123]) = 0 middot 1 = 0

Estos no son maacutes que los caracteres de la representacioacuten regular por lo que ambasdeben ser equivalentes y D = π1oplusπ2oplusπ3oplusπ3 por el lema 221 Por otro lado usando


las relaciones de ortogonalidad se puede demostrar3 que si una representacioacuten ρ sedescompone como suma directa de π(α) irreducibles el operador

(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)

con dα = dimπ(α) es la proyeccioacuten sobre el subespacio asociado a π(α) Para verlobasta poner i = j en la relacioacuten de ortogonalidad 212 y sumar para i = j = 1 dαA la izquierda estaremos calculando la traza de πα y a la derecha estaremos imponien-do que i = j luego las deltas son solo distintas de cero si i = j = m = l Resumiendoen la base en que ρ es diagonal por cajas Pα seraacute

(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG

π(α)daggerijρ(g) =

(1dα 00 0

)

En particular si ρ es la representacioacuten regular esto nos permite calcular proyeccionessobre cada una de las representaciones irreducibles de G Aplicando este resultado aS3 se tiene en la base B = e (23) (12) (132) (123) (13)

P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)

Ambos operadores tienen rango 1 por lo que se tratan de proyectores sobre subespa-cios de dimensioacuten 1 Diagonalizando podemos calcular los vectores que definen estossubespacios

v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]

24 Tablas de Young y la hook length formula 19

Figura 22 Modos normales asociados a la representacioacuten trivial (izquierda) y delsigno (derecha)

Recordando lo que significa cada coordenada en este espacio podemos leer la informa-cioacuten fiacutesica y dibujar los modos normales (ver 22) Observamos que la representacioacutentrivial estaacute asociada con un modo simeacutetrico en el que las partiacuteculas oscilan en fase ale-jaacutendose y acercaacutendose al centro del triaacutengulo mientras que la del signo estaacute asociadaa una rotacioacuten riacutegida sin oscilacioacuten

24 Tablas de Young y la hook length formula

Introducimos ahora un lenguaje graacutefico que permite calcular ciertas propiedadesde las representaciones de Sn usando argumentos combinatorios Dado un nuacutemeronatural n decimos que λ = λ1 λm isin Nm es una particioacuten de n si

sumi λi = n

Denotamos por p(n) al nuacutemero de particiones de n diferentes Cada particioacuten se puederepresentar graacuteficamente de la siguiente forma primero ordenamos sus elementos enorden decreciente a continuacioacuten dibujamos m filas de siacutembolos con λi siacutembolos encada fila para i = 1 m Por ejemplo dadas las particiones 3 = 3 3 = 2 + 1 y3 = 1 + 1 + 1 sus respectivas representaciones son

Estos dibujos se conocen como diagramas de Young Maacutes formalmente podemosdar la siguiente

Definicioacuten 241 Dada una particioacuten λ de n de tamantildeo m el diagrama de Youngde λ es

(232) Yλ = (i j) isin N2 i le m j le λi


Cada diagrama de n celdas estaacute asociado a una clase de conjugacioacuten de Sn Paraver esto basta notar que las columnas del diagrama reflejan la estructura de ciclosde cada clase4 Por el teorema 221 esto implica que existe tambieacuten una biyeccioacutenentre diagramas de Young de n y representaciones irreducibles de Sn Ademaacutes decada diagrama se puede leer la dimensioacuten de la representacioacuten irreducible asociadausando el siguiente

Teorema 241 (Hook length formula) La dimensioacuten de la representacioacuten irre-ducible de Sn asociada al diagrama de Young Yλ viene dada por

(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|

donde h(i j) es el ldquoganchordquo de la celda (i j) ie el conjunto de celdas (k l) isin Yλ conk = i y l ge j oacute l = j y k ge i

Demostracioacuten Ver en [6]

Este resultado da una forma eficiente de calcular dimensiones de representacionesde grupos simeacutetricos grandes Por ejemplo dado el siguiente diagrama de Young

correspondiente a la los elementos de S8 de la forma (ij)(kl)(mn) es inmediato cal-cular la hook length de cada celda

6 5 4 2 13 2 1

y con esto la dimensioacuten de la representacioacuten irreducible de S8 asociada

(234) d =8

6 middot 5 middot 4 middot 2 middot 1 middot 3 middot 2 middot 1= 28

4Cada clase de conjugacioacuten de Sn se corresponde con una estructura de ciclos ver en [5] pp 35-37

CAPIacuteTULO 3

Grupos de Lie y teoriacuteas gauge

31 Grupos de Lie

Todos los grupos que hemos considerado en las secciones anteriores eran finitos aexcepcioacuten de Z Pasamos ahora a considerar grupos infinitos con cardinal no nume-rable que ademaacutes de la estructura algebraica poseen una topologiacutea y una estructuradiferencial que los hace localmente difeomorfos a Rn

Definicioacuten 311 Un grupo de Lie G es un grupo que ademaacutes es una variedad dife-renciable de dimensioacuten finita equipada con una estructura diferencial compatible conla operacioacuten del grupo de tal forma que las funciones

φ G minusrarr G

φ GtimesG minusrarr G

g 7minusrarr gminus1

(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares

Los grupos de Lie maacutes importantes que vamos a ver son grupos de matrices Maacutesen concreto se trata de los subgrupos de GL(N) con entradas reales o complejasque vienen recogidos en la tabla 31 Algo que tienen en comuacuten todos ellos es queson compactos Ademaacutes todos son conexos salvo O(N) que tiene dos componentesconexas una que contiene la identidad y es isomorfa a SO(N) y otra que contiene lasmatrices de determinante minus1 Una prueba de estos resultados puede encontrarse en[12 paacutegs c 8-9]

Nombre Subgrupo de Definicioacuten ComentariolecturaO(N) GLN (R) MᵀM = 1 Grupo ortogonalSO(N) GLN (R) MᵀM = 1 y detM = 1 Grupo especial ortogonalU(N) GLN (C) M daggerM = 1 Grupo unitarioSU(N) GLN (C) M daggerM = 1 y detM = 1 Grupo especial unitario

Tabla 31 Grupos de Lie notables

21

22 Grupos de Lie y teoriacuteas gauge

Veamos un ejemplo sencillo para fijar ideas SU(2) Primero vamos a dar una para-

metrizacioacuten Para una matriz en GL2(C) cualquiera M =

(a bc d

) con determinante

1 de la condicioacuten MM dagger = 1 se deduce

(32)(a bc d

)=

(dlowast minusclowastminusblowast alowast

)luego a = dlowast y c = minusblowast de modo que podemos escribir cualquier matriz en SU(2)como

(33) M =

(eiθ cosu eiφ sinuminuseminusiφ sinu eminusiθ cosu

)con u θ φ isin R Es decir SU(2) se puede parametrizar por un par de nuacutemeros com-plejos z = eiθ cosu y w = eiφ sinu tales que |z|2 + |w|2 = 1

Un resultado conocido es que SU(2) es isomorfo a los cuaterniones unitarios Recor-damos que los cuaterniones H son el aacutelgebra no conmutativa de nuacutemeros de la formaq = q0 + q1 i+q2 j+q3 k con los qi isin R tales que las unidades imaginarias satisfaceni2 = j2 = k2 = minus1 y el producto de dos unidades cualesquiera es la tercera multiplica-da por el signo de la permutacioacuten cuando leemos la igualdad de izquierda a derechaie por ejemplo i j = k pero k j = minus i Los cuaterniones unitarios son aquellos paralos que q = qqlowast =

radicq2

0 + q21 + q2

2 + q23 = 1 donde la conjugacioacuten se define como

qlowast = q0 minus q1 iminusq2 jminusq3 k Topoloacutegicamente este conjunto no es maacutes que S3 la esferade dimensioacuten 3

Por otra parte una forma alternativa de definir los cuaterniones es como el aacutelgebracompleja generada por 1 j pues q0 +q1 i+q2 j+q3 k = (q0 +q1ı)+(q2 +q3ı) j1 Estosugiere que los cuaterniones unitarios se pueden ver como pares de nuacutemeros complejoscuyos moacutedulos al cuadrado suman 1 Dada la parametrizacioacuten previa de SU(2) elisomorfismo f entre ambos salta a la vista

Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx

Tabla 32 Isomorfismo entre cuaterniones unitarios y SU(2)

donde las σi son las conocidas matrices de Pauli De esta manera queda establecidoque SU(2) sim= S3 como grupos de Lie

1El abuso de notacioacuten necesario para que esto funciones es identificar la unidad imaginaria com-pleja ı isin C con la cuaternioacutenica i isin H

32 Aacutelgebras de Lie 23

A la vista de este resultado cabe preguntarse si la esfera S2 es tambieacuten un grupo deLie Un primer intento naive de darle estructura de grupo es usar el producto vectorialen R3 y despueacutes normalizar Llamemos a esta operacioacuten lowast Raacutepidamente nos damoscuenta de que esto falla porque no es posible encontrar una identidad En efecto sibuscamos e isin S2 tal que u lowast e = u para todo u isin S2 debe ocurrir que exista λ 6= 0 talque utimes e = λu Si planteamos el sistema lineal que implica esa ecuacioacuten

u2e3 minus u3e2 = λu1



vemos que no tiene solucioacuten para e porque el rango de la matriz de coeficientes es2 pero la matriz ampliada tiene rango 3 [da una intuicoacuten geomeacutetrica de queacute quieredecir esto]

En realidad no hay forma alguna de hacer de S2 un grupo de Lie Esto es con-secuencia del siguiente resultado importante en cualquier grupo de Lie G dado unvector tangente en la identidad v isin TeG es posible definir un campo vectorial entodo G que no se anula en ninguacuten punto y tal que vale v en TeG Esta construccioacutenes posible porque `g la aplicacioacuten que consiste en multiplicar por la izquierda todoel grupo por un elemento g es un difeomorfismo luego su diferencial es invertible entodo punto y por tanto d`gv siempre seraacute distinta de cero Esto significa que las esferasde dimensioacuten par no pueden tener estructura de grupo de Lie dado que satisfacen elteorema de la bola con pelo que nos dice que todo campo vectorial definido sobreellas debe anularse en al menos un punto

Por otro lado en dimensioacuten 1 siacute tenemos que S1 sim= U(1) mandando θ 7minusrarr eıθ Dehecho esto agota las opciones de esferas con estructura de grupo de Lie La demos-tracioacuten de este resultado requiere el uso de cohomologiacutea Baacutesicamente se tiene que enel espacio tangente de todo grupo de Lie G compacto y conexo es posible definir unproducto escalar llamado forma de Killing y a partir de este una 3-forma medianteω(x y z) = 〈x [y z]〉 conocida como forma de Cartan Si n = 1 Sn es abeliano luegoω = 0 y el siguiente argumento no es vaacutelido Para n gt 1 sin embargo se tiene que ωes cerrada ie dω = 0 pero no exacta ie no existe 2-forma η tal que dη = ω Estoimplica que el grupo de cohomologiacutea de de Rham H3(G) que se define precisamentecomo el cociente entre formas cerradas y exactas no es trivial lo cual estaacute en con-tradiccioacuten con que Sn sea una esfera salvo si n = 3 porque Hk(Sn) = 0 salvo parak = 0 n2

32 Aacutelgebras de Lie

Pasamos ahora a considerar las llamadas aacutelgebras de Lie Damos primero su defi-nicioacuten abstracta

Definicioacuten 321 Un aacutelgebra de Lie g es un espacio vectorial real o complejo equipadocon una forma bilineal [ ] g times g minusrarr g antisimeacutetrica que satisface la identidad de

2Ver [10] para maacutes detalles


Nombre Subgrupo de Definicioacuten Dimensioacuteno(N) MNtimesN (R) M = minusMᵀ N(N minus 1)2so(N) MNtimesN (R) M = minusMᵀ TrM = 0 N(N minus 1)2u(N) MNtimesN (C) M dagger = minusM N2

su(N) MNtimesN (C) M dagger = minusM TrM = 0 N2 minus 1

Tabla 33 Aacutelgebras de Lie de grupos de Lie notables

Jacobi

(34) [x [y z]] + [z [x y]] + [y [z x]] = 0 forallx y z isin g

Los elementos de una base cualquiera de un aacutelgebra de Lie se denominan generadores

A primera vista esto no tiene nada que ver con grupos de matrices En particular enel aacutelgebra de Lie existe una estructura de espacio vectorial que no estaacute presente en losgrupos que son variedades La conexioacuten entre ambos conceptos viene de entender lasaacutelgebras como una linealizacioacuten del grupo identificaacutendolas con el espacio tangente enla identidad y tomando como corchete el conmutador

Definicioacuten 322 Dado un grupo de Lie de matrices G isin GLN definimos su aacutelgebrade Lie g como el espacio tangente en la identidad T1G equipado con el corchete definidopor el conmutador [XY ] = XY minus Y X

El aacutelgebra de un grupo de matrices se suele denotar con las mismas letras que elgrupo pero en minuacutescula y tipografiacutea fraktur Pasamos ahora a calcular las aacutelgebrasde Lie de los grupos vistos en la seccioacuten anterior Para ello procederemos del siguientemodo consideramos una curva geneacuterica M (minus1 1) minusrarr G que pase por la identidadM(t = 0) = 1 A continuacioacuten derivamos las ecuaciones que definen G como subgrupode GLN y evaluando en t = 0 obtenemos las condiciones que deben satisfacer lasmatrices del espacio tangente Los resultados se recogen en la tabla 33 Para ver porqueacute detM = 1 en el grupo implica TrM

prime= 0 en el aacutelgebra hay que usar la foacutermula

de Jacobi [16] que nos dice que

(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)

)donde M es la matriz de adjuntos de M Observamos que M(0) = 1 = 1 luego sidetM(t) = 0 efectivamente se cumple Tr(M prime) = 0

Por otro lado el caacutelculo de las dimensiones sale de ldquocontar grados de libertadrdquoAsiacute pues toda matriz N timesN con entradas reales requiere especificar N2 paraacutemetrosSi es antisimeacutetrica como es el caso de o(N) y so(N) los (N2 minus N)2 elementospor debajo de la diagonal vienen fijados por los que estaacuten por encima y los N de ladiagonal deben ser cero3 luego dim o(N) = dim so(N) = N2 minus N minus (N2 minus N)2 =N(N minus 1)2 El razonamiento en el caso complejo es anaacutelogo solo que ahora cada

3Esto tambieacuten implica que la condicioacuten TrM = 0 es redundante en este caso


entrada requiere dos valores reales luego en principio tenemos 2N2 de los que lacondicioacuten de antihermiticidad fijaN2minusN por debajo de la diagonal yN en la diagonalque ahora debe estar hecha de nuacutemeros imaginarios puros Por tanto dim u(N) =2N2 minus (N2 minusN)minusN = N2 y dim (su)(N) = N2 minus 1 porque la condicioacuten de la trazaahora siacute resta un grado de libertad

Ademaacutes del corchete de Lie bajo ciertas hipoacutetesis4 podemos equipar un aacutelgebrade Lie con otra forma bilineal en este caso simeacutetrica que funciona como un productoescalar Esta se conoce como la forma de Killing y ya hizo su aparicioacuten maacutes arribacuando discutimos de pasada por queacute casi ninguna esfera es un grupo de Lie Porejemplo en el caso de su(2) la forma de Killing se escribe 〈XY 〉 = minus1

2 Tr(XY )Veamos que en efecto es un producto escalar En primer lugar es bilineal y simeacutetricapor las propiedades (lineal y ciacuteclica respectivamente) de la traza Ademaacutes vemos quelas matrices de su(2) se pueden escribir como

(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci

)con a b c isin R y con esto podemos calcular que 〈XX〉 = a2 + b2 + c2 ge 0 conigualdad si y solo si X = 0 Este caacutelculo muestra ademaacutes que la base escogida esortogonal Los elementos de esta base son de hecho ıσx ıσy ıσz donde los σj sonlas matrices de Pauli que ya aparecieron anteriormente cuando estudiamos SU(2)

321 La aplicacioacuten exponencial

Dado un elemento X de un aacutelgebra de Lie existe una manera canoacutenica de enviarloal grupo mediante la curva que pasa por la identidad con velocidad X Como hemosvisto antes cualquier vector en la identidad se puede extender a un campo vectorialen todo G gracias a la propiedad de grupo Eso garantiza que la siguiente definicioacutenfunciona

Definicioacuten 323 Dados un grupo de Lie G y su aacutelgebra de Lie g la aplicacioacutenexponencial se define como

exp g minusrarr G

X 7minusrarr γ(1)(37)

donde γ R minusrarr G es la uacutenica curva tal que γ(0) = e γprime(0) = X y γ(t)γ(s) =γ(s+ t) foralls t isin R En particular si G es un grupo de matrices se cumple que

(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k

Las condiciones impuestas a γ en la definicioacuten anterior la convierten en un homo-morfismo de R a un subgrupo de G que se suele conocer como grupo uniparameacutetrico

4El grupo ha de ser compacto y simple


Hace falta comprobar algunos flecos sueltos que γ es efectivamente uacutenica que am-bas definiciones coinciden para grupos de matrices y de que la serie infinita convergeRemitimos a [7 paacutegs c 2] para las demostraciones

Si X e Y son dos matrices N timesN que conmutan se puede expandir cada teacuterminode la serie anterior como un binomio de Newton para probar que exp(X + Y ) =exp(X) exp(Y ) Esto no es cierto en general cuando las matrices no conmutan porquepor ejemplo X2 + XY + Y X + Y 2 6= X2 + 2XY + Y 2 y resultados semejantes parateacuterminos de orden superior Es posible obtener una expresioacuten cerrada para el productode exponenciales en el caso general en forma de serie infinita aunque es bastanteengorrosa Se conoce por el nombre de foacutermula de BakerndashCampbellndashHausdorff5 Sillamamos exp(Z) = exp(X) exp(Y ) los primeros teacuterminos son

(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)

suponiendo Y = O(X) [xk] En efecto si comparamos el desarrollo de Taylor deexp(hX) exp(hY ) para h isin R alrededor de h = 0

exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)

comprobamos que coinciden hasta segundo orden

322 Constantes de estructura

Dada una base de un aacutelgebra de Lie las coordenadas de los corchetes de elementosde la base reciben un nombre especial

Definicioacuten 324 Dada un aacutelgebra de Lie g con generadores eiNi=1 las constantes deestructura fkij se definen como las coordenadas de los corchetes de pares de generadoresen la base de los generadores es decir

(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek

Por ejemplo en su(2) tenemos

(313) [ıσx ıσy] = 2ıσz [ıσz ıσx] = 2ıσy [ıσy ıσz] = 2ıσx5La foacutermula y su demostracioacuten se pueden consultar en [11 sec 53]


luego en teacuterminos del siacutembolo de Levi-Civita fkij = 2ıεijk en la base ordenada B =ıσx ıσy ıσz

Otro ejemplo sencillo es so(N) Siguiendo a [12] denotamos por eij a las matricesN times N con 1 en su entrada (i j) y cero en el resto Sus antisimetrizaciones Eij =eij minus eij dan una base de so(N) si tomamos 1 le i lt j le N Con esta notacioacuten losconmutadores son

(314) [Eij Ekl] = Eilδjk + Ejkδil + Ekiδjl + Eljδik

Por la definicioacuten de δij el lado derecho es distinto de cero si y solo si el primer elementodel conmutador comparte un iacutendice con el segundo Por otra parte dado que Eii = 0para que el lado derecho no se anule los dos iacutendices restantes han de ser distintos Siesto se satisface la constante de estructura vale plusmn1 Por ejemplo si i 6= j = k 6= l 6= ise tiene [Eij Ejl] = Eil

CAPIacuteTULO 4

Representaciones de grupos yaacutelgebras de Lie

41 Los casos SU(2) y SO(3)

411 Representaciones y aacutelgebras de Lie

Empezamos dando dos definiciones que seraacuten necesarias despueacutes

Definicioacuten 411 Si G es un grupo de Lie de matrices llamamos representacioacutenadjunta Ad de G a la aplicacioacuten

Ad G minusrarr GL(g)

g 7minusrarr Adg(41)

que actuacutea por conjugacioacuten enviando cada X isin g a Adg(X) = gXgminus1 con g el aacutelgebrade Lie de G

Es faacutecil ver que Ad es un homomorfismo de grupos de Lie Como consecuencia de esto[7 sec 35] podemos calcular la aplicacioacuten tangente a Ad en la identidad como

adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d

dt(exp (tX)Y exp (minustX) |t=0

= XY minus Y X= [XY ]

(42)

Se tiene ademaacutes que ad es un homomorfismo entre las aacutelgebras de Lie g y gl(g) esdecir respeta los corchetes de forma que ad([XY ]) = [adX adY ] La representacioacutenadjunta sirve para definir en el caso general la forma de Killing

Definicioacuten 412 Dada un aacutelgebra de Lie g real definimos su forma de Killing como

K gtimes g minusrarr R(XY ) 7minusrarr Tr(adX adY )

(43)

29

30 Representaciones de grupos y aacutelgebras de Lie

El caso complejo es ideacutentico cambiando R por C Si g es real y G es simple y compactose tiene que K es definida negativa [] por lo que la aplicacioacuten 〈XY 〉 = minusK(XY )define un producto interior en g De hecho se puede probar [7] que salvo una constantemultiplicativa este es el uacutenico producto interior invariante bajo la accioacuten de Ad Dichode otra manera la forma de Killing nos da una manera natural de medir aacutengulos eng si queremos que actuar por conjugacioacuten con elementos de G sobre g resulte en unaisometriacutea

412 Toros maximales y subaacutelgebras de Cartan

Para estudiar las representaciones de un grupo de Lie compacto se empieza porestudiar las de su ldquomayorrdquo subgrupo abeliano T sub G en el sentido de que no existeT prime abeliano tal que T ( T prime sub G A este grupo se le denomina toro maximal porrazones que seraacuten evidentes en breve1 Por ser T abeliano cualquier representacioacuten πde G restringida a T debe consistir de matrices que conmutan entre siacute En particularpodremos diagonalizar simultaacuteneamente todos los π(h) para h isin T Ademaacutes si nosrestringimos a representaciones unitarias algo que siempre podemos hacer si G escompacto2 se tiene que todos los elementos de la diagonal estaacuten en U(1) luego

(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)

y Imπ|T es isomorfa a un toro de dimensioacuten igual a π|T lo que justifica su nombreSe cumple ademaacutes que T contiene elementos de todas las clases de conjugacioacuten en G[7 ] Este hecho permitiraacute extender las representaciones de T al resto del grupo deforma esencialmente uacutenica moacutedulo equivalencias unitarias

Para entender las representaciones de G y T vamos primero a ver queacute ocurre conlas representaciones de sus aacutelgebras de Lie asociadas g y t Despueacutes extenderemosesa informacioacuten local a todo el grupo3 El aacutelgebra t hereda de T las propiedades deser conmutativa y maximal Esto convierte a en una subaacutelgebra de Cartan4 En todorigor necesitaremos considerar las extensiones complejas

gC = goplus ıgtC = toplus ıt

(45)

Esta construccioacuten aparentemente artificial se revelaraacute necesaria en el apartado siguien-te para poder diagonalizar ciertos operadores que actuacutean sobre g y tienen autovalores

1Evidentemente T no es uacutenico pero se puede probar [] que dos elecciones cualesquiera son conju-gadas entre siacute Esto nos permite hablar de un solo toro maximal entendido que lo hacemos moacuteduloconjugacioacuten

2Ver []3Podemos hacer esto siempre que pasar al aacutelgebra no se pierda informacioacuten algo que solo ocurre

cuando G es simplemente conexo []4Esta no es la definicioacuten general pero es una caracterizacioacuten adecuada para aacutelgebras semisimples

que son las uacutenicas que consideramos [7 paacuteg 72]

41 Los casos SU(2) y SO(3) 31

complejos A la dimensioacuten real de t o alternativamente a la dimensioacuten compleja detC se la conoce como rango

Vamos a ilustrar todo esto con varios ejemplos En SU(2) podemos tomar

(46) T =

(eıθ 00 eminusıθ

) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R

luego t tiene dimensioacuten 1 y estaacute generada por ıσz por lo que el rango de SU(2) es 1La situacioacuten para SU(3) es similar pero con dos paraacutemetros libres

mientras que para SO(3) podemos escoger

(47) T =

cos(θ) sin(θ) 0minus sin(θ) cos(θ) 0

0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R

413 Pesos y raiacuteces

Por lo visto en el apartado anterior cualquier representacioacuten π|T de dimensioacuten dse puede escribir como la suma directa

(48) π =

doplusk=1

χk

donde las χk son unitarias de dimensioacuten uno y por tanto irreducibles e iguales a suscaracteres Ademaacutes por ser π un homomorfismo de grupos de Lie el diagrama

G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp

conmuta por lo que para cualquier H isin t se cumple

(49) χk(exp(H)) = exp(dχk(H))

con los dχk lineales en t Dicho de otra forma cada representacioacuten unidimensional χkqueda uniacutevocamente determinada por un funcional lineal `k isin ıtlowast con dχk = 2π`kdonde el factor 2π se introduce meramente por conveniencia posterior En ese mismoespiacuteritu definimos tambieacuten

e t minusrarr G

H 7minusrarr exp(2πıH)(410)

una versioacuten normalizada de la funcioacuten exponencial Se tiene entonces que todos los χkdeben ser triviales en el retiacuteculo

(411) L = ker e = H isin t exp(2πH) = 1


Esto equivale a pedir que los `k se encuentren en el retiacuteculo reciacuteproco

(412) Llowast = ` isin t `(x) isin Z forallx isin L

A cada uno de los elementos de Llowast lo llamaremos peso analiacuteticamente entero Lo intere-sante de esta construccioacuten es que existe una biyeccioacuten entre pesos y representacionesirreducible de T Estaacute claro que por cada peso podemos construir una representacioacutenirreducible π|T que actuacutea sobre h isin T como exp(2πı`(H)) cuando exp(H) = h Menosobvio es que cualquier representacioacuten irreducible π|T se obtiene a partir de un pesoRemitimos a [7] para la prueba Ademaacutes si t es semisimple todas sus representacio-nes finitas son completamente reducibles [7 sec 103] por lo que estaacuten uniacutevocamentedeterminadas por la funcioacuten

micro Llowast minusrarr N` 7minusrarr m`

(413)

que da la multiplicidad de cada peso en la representacioacuten5 De este modo las repre-sentaciones de T quedan completamente caracterizadas

La pregunta natural llegados a este punto es queacute pasa al extender las representa-ciones a todo el grupo En particular nos gustariacutea saber queacute forma tienen las repre-sentaciones irreducibles de G Para dar una respuesta debemos introducir la siguiente

Definicioacuten 413 Dada un aacutelgebra de Lie g y una subaacutelgebra de Cartan t sub g sedenomina raiacutez a cualquier elemento no nulo α isin ıtlowast para el cual existe Z isin gC tal queadH Z = α(H)Z para todo H isin t

Dicho de otro modo las raiacuteces son los pesos de la representacioacuten adjunta de la subaacutel-gebra de Cartan El conjunto de todas las raiacuteces de un aacutelgebra R se suele llamarsistema de raiacuteces Un resultado trivial pero importante es que como adminusH = minus adH se tiene que si α isin R entonces minusα tambieacuten es raiacutez Las raiacuteces ademaacutes inducen unadescomposicioacuten

(414) gC = toplusαisinR

gα

donde gα = Z isin gC [HZ] = α(H)Z forallH isin t es el autoespacio asociado a laraiacutez α Se puede ver que los subespacios asociados a cada raiacutez son de dimensioacutenuno [14 prop 352] por lo que podemos escoger un elemento Zα por cada raiacutez paragenerar el subespacio asociado Estos Zα tienen una propiedad que los convierten enuna herramienta fundamental para clasificar representaciones irreducibles Dada unarepresentacioacuten finita π G minusrarr V si microπ(`) 6= 0 entonces existe un subespacio notrivial

(415) V` = v isin V dπ(H)v = `(H)v forallH isin t

asociado al peso ` isin tlowast Al diagonalizar π|T se induce una descomposicioacuten

(416) V =sum`

V`

5Sujeta por supuesto a quesum`isinLlowast micro(`) ltinfin


Entonces si v isin V` y H isin t se cumple que

dπ(H)dπ(Zα)v = dπ(Zα)dπ(H)v + dπ([HZα])v

= `(H)dπ(Zα)v + dπ(adH(Zα)v

= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)

es decir dado v isin V` actuar sobre eacutel con dπ(Zα) lo convierte en un vector de peso `+αque perteneciente a V`+α con la convencioacuten de que V`+α = 0 si `+α no es peso de πPor otra parte sabemos que ker dπ(Zα) no puede ser trivial porque V tiene dimensioacutenfinita por lo que si seguimos aplicando dπ(Zα) acabaremos en el 0 eventualmenteLas raiacuteces nos permiten por tanto ldquosubirrdquo y ldquobajarrdquo entre los subespacios asociados acada peso de la representacioacuten Esta intuicioacuten es lo que motiva que los elementos Zαse conozcan como ladder operators en nomenclatura fiacutesica

Pasamos ahora a ilustrar estas ideas en SU(2) Para H isin t sim= ıR generado por ıσzse tiene que e(H) = 1 si y solo si H = nσz con n isin Z luego L = Z y Llowast = ıZ Porotra parte la representacioacuten adjunta de ıσz en la base usual B = ıσx ıσy ıσz es

(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0

luego las raiacuteces son αplusmn = plusmn2ı Supongamos que π es una representacioacuten irreducible deSU(2) tal que microπ(n) = 1 pero no existe m isin Llowast tal que microπ(m) 6= 0 Diremos entoncesque n es el peso maacutes alto de π El siguiente teorema nos dice que el peso maacutes altocaracteriza uniacutevocamente las representaciones irreducibles de SU(2)

Teorema 411 Sea π SU(2) minusrarr V una representacioacuten irreducible con peso maacutesalto n Entonces se tiene que

1 La representacioacuten contiene todos los pesos de la forma n nminus2 minusn+2minusncada uno con multiplicidad uno

2 Cualquier otra representacioacuten irreducible con los mismos pesos es equivalente

Demostracioacuten En toda la prueba obviamos los prefactores ı y trabajamos en Z Enprimer lugar observamos si n es peso tambieacuten lo es minusn porque si h isin T al actuarpor conjugacioacuten con σy equivale a permutar los elementos de la diagonal que soniguales de signo opuesto y como π(h) = π(σyhσ

minus1y ) el peso asociado a minusn tambieacuten

debe estar Por lo tanto n lt 0 estariacutea en contradiccioacuten con que es el peso maacutes altoasiacute que debe ser n ge 0 Ahora supongamos que r = n minus 2 no estaacute en π Usando lafoacutermula con αminus = minus2 vemos que el subespacio Vr+αminus = Vnminus4 = 0 y por tantoV prime = cupmltrVm seriacutea invariante por dπ(Zplusmn) y por dπ(H) para H isin t contradiciendoque sea irreducible Repitiendo el argumento para todos los minusn lt r = nminus 2k lt n conk entero queda probada la primera parte Para la segunda remitimos a [sepanski]

Para SO(3) tenemos un resultado similar Tomando

(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0


como generadores de so(3) se puede generar una subaacutelgebra de Cartan con Jz por loque volvemos a tener L = Z y Llowast = ıZ como en SU(2) Sin embargo al diagonalizaradJz encontramos que los pesos son αplusmn = plusmnı Al probar el anaacutelogo del teorema 411nos encontraremos con que las representaciones irreducibles de SO(3) tienen pesos dela forma n n minus 1 minusn + 1minusn Como cada peso estaacute asociado a un subespaciode dimensioacuten 1 una consecuencia inmediata es que SO(3) solo tiene representacionesirreducibles en dimensioacuten impar

42 SU(3) y orden superior

Consideremos ahora SU(3) Los generadores maacutes frecuentes en la literatura sonlas llamadas matrices de Gell-Mann λj8j=1 debidamente escaladas para que seanantihermiacuteticas y tengan norma uno con el producto interior definido por la forma deKilling La base para su(3) es entonces B = Bj = ıλj

radic12 j = 1 8 Una

eleccioacuten sencilla para la subaacutelgebra de Cartan estaacute generada por las dos matricesdiagonales

(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı

En esta base sus representaciones adjuntas son

(421) adB3 =1radic3

(σy oplus σy oplus (minusσy)) adB8 =1

2(02 oplus σy oplus σy)

con σy la segunda matriz de Pauli Al diagonalizar simultaacuteneamente encontramos lossiguientes autovalores y autovectores

Subespacio Autovalores (adB3 adB8)

〈B3 B8〉 (0 0)

〈ıB1 minusB2〉 (ıradic

33 0)

〈ıB1 +B2〉 (minusıradic

33 0)

〈ıB3 minusB4〉 (minusıradic

36minusı2)

〈ıB3 +B4〉 (ıradic

36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)

Las raiacuteces son todos los vectores formados por pares de autovalores salvo el primerodado que es nulo Notamos que los subespacios asociados a cada peso estaacuten generadospor las matrices Eijiltj=123 que tienen cero en todas sus entradas salvo la (i j)-eacutesima Si omitimos el factor ı observamos que las raiacuteces apuntan a los veacutertices de unhexaacutegono regular de radio 1

radic3 en R2

Por otro lado imponiendo e(aB3 + bB8) = 1 podemos calcular el retiacuteculo

(422) L = ker e =radic

3(2k minus l)B3 + 3lB8 k l isin Z

= 〈radic

3B36radic

3B3 minus 3B8〉 sub t

42 SU(3) y orden superior 35

y su retiacuteculo dual que estaraacute generado por (radic

3B3)lowast = ı(radic

3Blowast36 +Blowast86)y (minusradic

3B3+3B8)lowast = ıBlowast83 es decir

(423) Llowast = ım

6

(radic3Blowast3 +Blowast8

)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast

Llegados a este punto nos preguntamos coacutemo extender el teorema 411 para encontrarlos pesos asociados a representaciones irreducibles de SU(3) En dos dimensiones notenemos un orden como en Z por lo que no estaacute claro coacutemo definir el peso maacutes altoLas siguientes definiciones dan respuesta a este problema

En primer lugar notamos que un sistema de raiacuteces R nunca puede ser una base parasu aacutelgebra de Lie g ya que plusmnα isin R para toda α isin R Sin embargo se puede demostrarque si el aacutelgebra es semisimple spanR = tlowast [sepanski] es posible escoger una base (dehecho muchas) formada solo por elementos de R Para ello basta tomar un hiperplanoque no contenga ninguna raiacutez6 y emplear la particioacuten que induce en el espacio paraescribir las raiacuteces como unioacuten disjunta de ldquopositivasrdquo y ldquonegativasrdquo R = Rminus cupR+ enfuncioacuten de a queacute lado del hiperplano caen Se tiene entonces que si α isin R+ minusα isin RminusEn general sin embargo seguiraacute habiendo elementos colineales en R+ La manera dedeshacernos de ellos la indica el siguiente

Teorema 421 El subconjunto ∆ sub R+ de raiacuteces positivas tales que no se puedenescribir como suma de otras dos es una base de tlowast

Demostracioacuten Ver [7 th 816]

A las raiacuteces α isin ∆ obtenidas de esta forma se las suele llamar positivas y simples Nosolo es este un meacutetodo uacutetil para encontrarlas sino que ademaacutes es el uacutenico [7 th 817]

Por otro lado R tiene asociado un grupo de simetriacuteas discreto de manera naturalmediante la siguiente

Definicioacuten 421 Dado un sistema de raiacuteces R el grupo de Weyl es el grupo deisometriacuteas generado por las reflexiones respecto a los hiperplanos normales a elementosde R es decir

(424) W = 〈sα α isin R〉

con

sα tlowast minusrarr tlowast

H 7minusrarr H minus 2〈αH〉〈α α〉

α(425)

Cada generador deW deja invariante un hiperplano Πα sub tlowast diferente El conjuntotlowastcupαisinRΠα es la unioacuten disjunta subespacios abiertos y convexos denominados caacutemarasde Weyl Es posible probar que estaacuten en biyeccioacuten con las bases ∆ de R [7]

Con estas nociones preliminares ya podemos dar una definicioacuten de peso maacutes altoen el caso de maacutes de una dimensioacuten Para ello usamos la siguiente

6Siempre podemos hacer esto dado que el nuacutemero de raiacuteces es finito tomando el complementoortogonal de cualquier elemento de cupαisinRaperp[7 Pgs8 814]


Definicioacuten 422 Dados dos pesos `1 `2 isin Llowast y una base de un sistema de raiacuteces∆ sub R diremos que `1 `2 si existen λα ge 0 tales que `2 minus `1 =

sumαisin∆ λαα

que define un orden parcial sobre Llowast Dada una representacioacuten su peso maacutes alto seraacutecualquier elemento maximal del conjunto de pesos asociados a ella En principio altratarse de un orden parcial este peso no tendriacutea por queacute ser uacutenico Sin embargoel teorema del peso maacutes alto [7 th 94] garantiza unicidad si la representacioacuten esirreducible Ademaacutes este peso estaraacute en la caacutemara de Weyl fundamental asociada a labase ∆ que hemos elegido para definir el orden

Volviendo a SU(3) vemos que una posible eleccioacuten es tomar

R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)

donde hemos prescindido de los factores ı Ahora escogido un peso en la caacutemarade Weyl asociada podemos actuar con los operadores dπ(Zminusα) con α isin ∆ hasta queobtengamos un subespacio trivial Todos los pesos generados de esta forma seraacuten simeacute-tricos bajo la accioacuten del grupo de Weyl y estaraacuten asociados a una uacutenica representacioacutenirreducible Esta idea siacute generaliza a dimensiones maacutes altas y ademaacutes constituye unaherramienta esencial para la clasificacioacuten de grupos de Lie simples [7 cap 810]

CAPIacuteTULO 5

El principio gauge

51 Lagrangianos y simetriacuteas

Cualquier teoriacutea en fiacutesica claacutesica sale de considerar un principio de miacutenima accioacutenque nos dice que la cantidad

S =

intML[x φDφ]

conocida como accioacuten debe ser estacionaria En esta definicioacuten M es una variedadx isinM φ es una seccioacuten de alguacuten fibrado sobre M que llamaremos campo (o campos)y L es un funcional llamado lagrangiano que manda puntos de M campos φ y susderivadas primeras1 Dφ a R Casos particulares de esta idea general son

El movimiento de una partiacutecula de masa m en un potencial V seguacuten las leyesde Newton poniendo t isin M = [t0 t1] sub R el tiempo φ = q(t) la posicioacutenDφ = v(t) la velocidad y L = 1

2mv(t)2 minus V (q(t))

El campo electromagneacutetico generado por una (1-forma de) corriente j seguacuten lasecuaciones de Maxwell poniendo x isin M sub M el espacio de Minkowski φ = A(la 1-forma que describe) el potencial electromagneacutetico Dφ = dA = F el tensorde Faraday y L = 1

2F and F +Aand j donde es el operador estrella de Hodge2

Las ecuaciones de campo de Einstein en el vaciacuteo poniendo M una 4-variedadlorentziana φ = g su meacutetrica y L = R2κ su escalar de Ricci multiplicado porconstantes fiacutesicas κ = 8πGc4

El principio de miacutenima accioacuten implica que los campos satisfacen las ecuaciones deEuler-Lagrange

(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)

1Somos deliberadamente ambiguos sobre queacute significa exactamente la derivada D ya que en dis-tintos contextos puede ser cosas ligeramente diferentes como una diferencial exterior o una derivadacovariante

2En la siguiente seccioacuten veremos de doacutende sale este lagrangiano

37

38 El principio gauge

El arte de inventar teoriacuteas fiacutesicas es por tanto el arte de inventar lagrangianos His-toacutericamente sin embargo ha sido maacutes frecuente partir de una ecuacioacuten diferencialy tratar de averiguar despueacutes de queacute lagrangiano se podiacutea derivar Es este el casode la segunda ley de Newton las ecuaciones de Maxwell o la ecuacioacuten de Dirac Co-mo contraejemplo curioso David Hilbert encontroacute la formulacioacuten lagrangiana de larelatividad general casi a la vez que Einstein publicoacute sus ecuaciones de campo

Imaginemos ahora que queremos recorrer el camino inverso de lo integral a lo di-ferencial iquestQueacute reglas generales podemos usar para escribir ldquobuenosrdquo lagrangianosAdemaacutes de las obvias como que la teoriacutea prediga fenoacutemenos experimentales o que afalta de evidencia en contra es preferible un lagrangiano simple a uno complejo existeun principio extremadamente uacutetil para generar candidatos un lagrangiano debe serindependiente del sistema de coordenadas que utilicemos Esta idea tiene al menosdos vertientes una global y otra local

La vertiente global quizaacute la maacutes intuitiva nos dice que como las leyes fiacutesicas debenser independientes de las coordenadas que ponemos en la variedad base M el lagran-giano debe ser invariante bajo cambios de coordenadas arbitrarios Por ejemplo elmovimiento de una partiacutecula seraacute el mismo tanto si damos su posicioacuten en cartesia-nas como en esfeacutericas Una ramificacioacuten importante de este principio es el teoremade Noether que nos dice que si el lagrangiano es invariante bajo un grupo continuode transformaciones entonces hay unas cantidades que se conservan en el tiempoEjemplos particulares de este teorema son la conservacioacuten del momento lineal en sis-temas con simetriacutea traslacional la conservacioacuten del momento angular en sistemas consimetriacutea rotacional y la conservacioacuten de la energiacutea en sistemas con simetriacutea temporal

La vertiente local es lo que se conoce como principio gauge y nos dice que ldquomoral-menterdquo3 podemos elegir coordenadas diferentes para las fibras en cada punto de lavariedad Esto es maacutes difiacutecil de imaginar que la invariancia global ya que en este casoestamos hablando de coordenadas que no tienen nada que ver con la variedad baseEn [13] se da un ejemplo discreto muy esclarecedor que ayuda a ganar intuicioacuten sobrequeacute significan estas coordenadas Dado un grafo no dirigido G = (VE) existen 2|E|

grafos dirigidos con su misma topologiacutea Para especificar uno de ellos podemos proce-der del siguiente modo fijamos uno como referencia llameacutemoslo G0 y a continuacioacutenidentificamos los demaacutes con la funcioacuten f E minusrarr minus1+1 que enviacutea cada arista a +1si estaacute orientada como en G0 y a minus1 si tiene la orientacioacuten opuesta Esto es lo quesignifica dar unas coordenadas locales Evidentemente los valores de f en cada grafodirigido dependen del G0 escogido Por tanto cambiar el G0 equivale a un cambio decoordenadas El espiacuteritu del principio gauge es que ninguna teoriacutea fiacutesica que se preciedeberiacutea depender de G0

3Evidentemente la fuerza moral del argumento queda a gusto del lector Lo maacutes importante delprincipio gauge es que funciona pues usaacutendolo mecaacutenicamente podemos explicar lo que pasa enexperimentos de fiacutesica de altas energiacuteas Ver sin embargo [13] para una discusioacuten algo maacutes detalladay [4 cap 9] para entender su origen histoacuterico

52 El principio gauge en accioacuten 39

52 El principio gauge en accioacuten

Obviamente los casos relevantes en fiacutesica no son discretos como el ejemplo anteriorsino que requieren lidiar con fibrados sobre el espacio de MinkowskiM Lo que nosinteresa es que en estos casos las simetriacuteas locales vienen dadas por grupos de Lie quellamaremos grupos gauge Veamos dos ejemplos

521 Teoriacutea U(1) o electrodinaacutemica cuaacutentica

Partimos de una teoriacutea que contiene solo el campo asociado al electroacuten Ψ Estecampo es una seccioacuten de algo llamado fibrado espinorial Sin entrar en detalles lorelevante para nosotros es que se trata de un objeto con cuatro coordenadas quetransforman bajo cierta representacioacuten del grupo de Poincareacute cuando cambiamos decoordenadas globalmente enM y que satisface la ecuacioacuten de Dirac4

(52) (ıγmicropartmicro minusm)Ψ = 0

donde las γmicro son las llamadas matrices gamma definidas mediante la relacioacuten deanticonmutacioacuten

(53) γmicro γν = γmicroγν + γνγmicro = 2ηmicroν 14

siendo

(54) ηmicroν =

1 0 0 00 minus1 0 00 0 minus1 00 0 0 minus1

la meacutetrica de Minkowski La constante m representa la masa del electroacuten Dos ba-ses empleadas comuacutenmente para las matrices γ en funcioacuten de las matrices de Pauliσ1 σ2 σ3 son

(55) γ0 = σ3 otimes 12 γk = ıσ2 otimes σk

conocida como representacioacuten de Dirac y


conocida como representacioacuten de Weyl La eleccioacuten de una base cambia la interpreta-cioacuten fiacutesica de las coordenadas de Ψ En la base de Dirac blabla En la base de Weyllas dos primeras coordenadas estaacuten en el subespacio asociado al autovalor positivo deloperador helicidad etc

Esta ecuacioacuten se puede obtener usando el principio de miacutenima accioacuten a partir dellagrangiano

(57) Lfree = ıΨγmicropartmicroΨminusmΨΨ

4Ver [4] para una motivacioacuten de la ecuacioacuten que sigue el razonamiento empleado originalmentepor Dirac


con Ψ = Ψdaggerγ0 Para verlo basta considerar la variacioacuten de Lfree con respecto a Ψ

(58)partLfreepartΨ

= ıγmicropartmicroΨminusmΨpartLfreepart(partmicroΨ

) = 0

Variar respecto a Ψ dariacutea lugar a la ecuacioacuten de Dirac adjunta

Observamos aohra que Lfree es invariante bajo la transformacioacuten Ψ 7minusrarr eıθΨ conθ isin R una constante Dicho de otra forma podemos multiplicar el campo Ψ por unelemento cualquiera de U(1) sin que la teoriacutea cambie Ahora bien seguacuten el principiogauge deberiacuteamos poder elegir un elemento distinto en cada punto siempre que nosmovamos entre puntos de forma diferenciable Es decir deberiacuteamos poder convertir θen una funcioacuten diferenciable θ(x) no necesariamente constante Sin embargo vemosque este requisito es incompatible con nuestro lagrangiano dado que ahora la derivadaya no conmuta con θ sino que se tiene

(59) partmicro(eıθΦ) = eıθ((partmicroθ)Φ + partmicroΦ)

Para ldquoarreglarrdquo esta situacioacuten necesitamos modificar la manera en que derivamos detal modo que se cancele el teacutermino extra en partmicroθ Para ello introducimos un nuevooperador D que llamaremos derivada covariante y que en coordenadas se escribeDmicro = partmicro minus ıqAmicro donde Amicro es una 1-forma con coeficientes en el aacutelgebra de Lie u(1)denominada campo gauge y q es un nuacutemero real llamado constante de acoplo que seintroduce por conveniencia y consistencia dimensional La propiedad que le pedimos aAmicro es que al aplicar eıθ se transforme en Aprimemicro de tal manera que Dprimemicro(eıθΨ) = eıθDmicroΨpor lo que (

partmicro minus ıqAprimemicro)

(eıθΨ) = eıθ (partmicro minus ıqAmicro) Ψ

eıθ(partmicro minus ıqAprimemicro + partmicroθ

)Ψ = eıθ (partmicro minus ıqAmicro) Ψ

Aprimemicro = Amicro + qminus1partmicroθ

(510)

Esto nos da la ley de transformacioacuten de campos gauge Si reemplazamos partmicro por Dmicro

en Lfree y expandimos resulta un nuevo lagrangiano igual a Lfree maacutes un teacutermino deinteraccioacuten

(511) Lint = qΨγmicroΨAmicro = JmicroAmicro

donde hemos definido Jmicro = qΨγmicroΨ el vector corriente eleacutectrica Es decir aplicandoel principio gauge hemos obtenido de manera gratuita una interaccioacuten entre el campooriginal que describe al electroacuten Ψ y el nuevo campo gauge Amicro La intensidad de estainteraccioacuten estaacute parametrizada por q recuperaacutendose la teoriacutea libre en el caso q = 0En este ejemplo concreto la constante de acoplo q no es maacutes que la carga eleacutectricadel electroacuten

Falta todaviacutea una pieza para tener el lagrangiano completo de la electrodinaacutemicacuaacutentica un teacutermino que describa la dinaacutemica del campo gauge Siguiendo de nuevoel criterio de invariancia global bajo el grupo de Poincareacute un primer ansatz puede serAmicroA

micro Sin embargo esta idea falla porque el teacutermino no es invariante gauge es decirAmicroA

micro 6= AprimemicroAprimemicro Consideramos entonces su derivada exterior Fmicroν = partmicroAν minus partνAmicro


conocido como tensor de Faraday La contraccioacuten FmicroνFmicroν siacute es localmente invariantebajo transformaciones gauge por lo que puede incluirse en el lagrangiano resultandofinalmente5

(512) LQED = Lfree + Lint minus1

4FmicroνFmicroν

donde el factor 14 resulta necesario para recuperar las ecuaciones de Maxwell

522 Teoriacutea O(n)

Veamos ahora un ejemplo sacado de [17] en el que el grupo gauge es no abelianoSupongamos que nuestra teoriacutea contiene n campos escalares φi isin Cinfin(M) con i =1 n Si dichos campos no interactuacutean entre siacute su dinaacutemica (en unidades h = c = 1y sumando sobre iacutendices seguacuten el convenio de sumacioacuten de Einstein) viene dada porel lagrangiano libre6

(513) Lfree =1

2(partmicroΦ)ᵀpartmicroΦminus 1

2m2ΦᵀΦ

donde Φ = (φ1 φn)ᵀ ym es un nuacutemero real que representa la masa de las partiacuteculasasociadas a los campos Teacutecnicamente podemos decir que Φ es una seccioacuten de unfibrado vectorial sobre M con fibra Rn La ecuacioacuten de movimiento correspondientea este lagrangiano para cada uno de los campos es la conocida como ecuacioacuten deKlein-Gordon

(514) (partmicropartmicro minusm2)φi = 0

Observamos que Lfree es invariante no solo bajo las isometriacuteas de la variedad base(dadas por el grupo de Poincareacute) sino tambieacuten sobre las de la fibra En efecto esco-giendo G isin O(n) y haciendo Φ 7minusrarr GΦ se tiene partmicroGΦ = GpartmicroΦ y como GᵀG = 1n ellagrangiano no cambia Esta simetriacutea es de caraacutecter global puesto que hemos escogidouna misma G para toda la variedad

Ahora seguacuten el principio gauge deberiacuteamos poder escoger una matriz diferente G(x)en cada punto x isin M siempre que al movernos de un punto a otro lo hagamos demanera diferenciable Maacutes teacutecnicamente esto equivale a pedir que G es una seccioacutende un fibrado principal sobre M con grupo O(n) Al igual que en el caso anteriornecesitamos introducir una derivada covariante que en este caso escribiremos comoDmicro = partmicro minus ıgAmicro donde Amicro es una 1-forma con coeficientes en el aacutelgebra de Lie o(n)y g es la constante de acoplo real La transformacioacuten gauge resulta en este caso(

partmicro minus ıgAprimemicro)GΦ = G (partmicro minus ıgAmicro) Φ(

partmicroGminus ıgAprimemicroG+Gpartmicro)

Φ = (Gpartmicro minus ıgGAmicro) Φ

Aprimemicro = GAmicroGminus1 minus ıgminus1(partmicroG)Gminus1

(515)

5QED son las siglas de Quantum ElectroDynamics6Los criterios para escoger este lagrangiano son invariancia bajo el grupo de Poincareacute y exigir que

las ecuaciones de movimiento no tengan derivadas de orden mayor que 2


Observamos que a diferencia de lo que ocurre en el caso abeliano ahora es necesarioconjugar el campo Amicro por el elemento del grupo Si reemplazamos partmicro por Dmicro en Lobtenemos como teacutermino de interaccioacuten

(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart

microΦ + (partmicroΦ)ᵀAmicroΦ)minus g2

2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ

Finalmente el tensor de Faraday se generaliza al caso no abeliano usando la formageneral del tensor de curvatura F = dA + A and A que en coordenadas se escribeF imicroν = partmicroA

iν minus partνAimicro + gf ijkA

jmicroAkν Noacutetese que las constantes de curvatura son cero si

el grupo es abeliano recuperando la definicioacuten dada para U(1) en tal caso A partirde Fmicroν podemos construir la llamada accioacuten de Yang-Mills para el campo gauge

(517) Lgf = minus1

2F imicroνFimicroν

de forma que el lagrangiano completo se escribe

(518) LYM = Lfree + Lint + Lgf

53 El modelo estaacutendar

El principio gauge es una de las ideas fundamentales detraacutes del lagrangiano delmodelo estaacutendar de la fiacutesica de partiacuteculas que da cuenta de todos los fenoacutemenosvistos hasta la fecha en experimentos en aceleradores Existen algunas diferencias entrenuestros toy models con grupos U(1) y O(n) y el lagrangiano del modelo estaacutendar

En primer lugar el grupo gauge del modelo estaacutendar es U(1) times SU(2) times SU(3)La pieza U(1) times SU(2) se conoce como sector electrodeacutebil Contiene cuatro camposgauge (uno por U(1) y tres por SU(2)) que en cierta base se pueden identificar con elfotoacuten γ mediador de las interacciones electromagneacuteticas y los bosones W+ Wminus y Zmediadores de la interaccioacuten nuclear deacutebil que es la responsable de entre otras cosasciertos tipos de desintegracioacuten nuclear La pieza SU(3) da lugar a ocho campos quese conocen colectivamente como gluones y dan cuenta de las interacciones nuclearesfuertes que entre otras cosas mantienen unidos los nuacutecleos atoacutemicos

Por otra parte seguacuten lo visto anteriormente los campos gauge no tienen masaSin embargo es un hecho experimental que los bosones Wplusmn y Z tienen masa distintade cero Para dar cuenta de este fenoacutemeno se introduce un campo escalar llamadocampo de Higgs cuyo acoplo con el sector electrodeacutebil da lugar a un teacutermino que secomporta como una masa en las ecuaciones de movimiento La masa del electroacuten y desus ldquocompantildeerosrdquo pesados el muoacuten y el tauoacuten tambieacuten aparece por interaccioacuten conel Higgs

Finalmente cerramos esta seccioacuten haciendo hincapieacute en que toda la discusioacuten deteoriacuteas gauge ha sido puramente claacutesica mientras que el modelo estaacutendar es unateoriacutea cuaacutentica Grosso modo la manera de pasar de una teoriacutea claacutesica a una cuaacutenticaes reemplazar los campos (secciones) por operadores hermiacuteticos sobre un espacio deHilbert cuyo espectro contiene los valores que pueden tomar sus observables asociados


A este proceso se le denomina cuantizacioacuten y ni siquiera estaacute claro que esteacute biendefinido matemaacuteticamente [2] Este es uno de los problemas matemaacuteticos abiertos quemaacutes atencioacuten ha atraiacutedo en las uacuteltimas deacutecadas razoacuten por la que el Instituto Clay locolocoacute entre los famosos siete problemas del milenio de los que hasta la fecha solo se haresuelto la conjetura de Poincareacute [8] Sensu stricto la existencia de una teoriacutea cuaacutenticabien definida (de acuerdo a ciertos axiomas) es solo la primera parte del problemaDe existir tal teoriacutea el siguiente paso seriacutea probar rigurosamente la existencia de unmass gap esto es que la partiacutecula maacutes ligera de la teoriacutea tiene masa estrictamentemayor que cero

Bibliografiacutea

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Introduccioacuten

Definiciones y resultados elementales

Maacutes ejemplos

Permutaciones

Formas cuadraacuteticas


Caraacutecter de una representacioacuten y ortogonalidad

La representacioacuten regular

Ejemplos

A4 y las simetriacuteas del tetrahedro

Modos normales de un sistema mecaacutenico

Tablas de Young y la hook length formula


Grupos de Lie

Aacutelgebras de Lie

La aplicacioacuten exponencial

Constantes de estructura

Representaciones de grupos y aacutelgebras de Lie

Los casos SU(2) y SO(3)

Representaciones y aacutelgebras de Lie

Toros maximales y subaacutelgebras de Cartan

Pesos y raiacuteces

SU(3) y orden superior

El principio gauge

Lagrangianos y simetriacuteas

El principio gauge en accioacuten

Teoriacutea U(1) o electrodinaacutemica cuaacutentica

Teoriacutea O(n)

El modelo estaacutendar

ResumenLas representaciones son herramientas que permiten entender la estructura algebraicade un grupo dejaacutendolo actuar sobre un espacio vectorial Esta idea a priori abstractagoza de gran aplicacioacuten praacutectica en varias ramas de la fiacutesica En este trabajo veremoslos aspectos maacutes elementales de la teoriacutea y algunas de estas aplicaciones En parti-cular estudiaremos coacutemo las simetriacuteas de un sistema fiacutesico se pueden codificar en ungrupo para a continuacioacuten extraer leyes dinaacutemicas que predicen su evolucioacuten Nuestrosprimeros ejemplos seraacuten grupos finitos en mecaacutenica claacutesica para pasar despueacutes a lateoriacutea de grupos de Lie cuya importancia ha sido capital en el desarrollo del modeloestaacutendar de la fiacutesica de partiacuteculas

AbstractRepresentation theory is a tool for understanding a grouprsquos algebraic structure byletting it act on a vector space This idea may sound abstract on its face but it hasa great deal of practical applications in several branches of physics This work willreview the most elementary results of the theory as well as some of its applicationsWe will focus particularly on how the symmetries of a physical system can be encodedin a group and how representation theory can then be used to derive dynamical lawspredicting its evolution in time Our first examples will include finite groups in classi-cal mechanics After that we will review the central role the representation theory ofLie gropus has played in the development of the Standard Model of particle physics

iii

Iacutendice general














v

CAPIacuteTULO 1








1





σ 7minusrarr 1


(11)


(12) π3(2 3) =1

2

(1radic

3radic3 1

) π3(1 2) =

(minus1 00 1

)



(13) ρ(1 2) =

0 1 01 0 00 0 1

ρ(2 3) =

1 0 00 0 10 1 0








V W

V W

φ

π(g) ρ(g)

φ



























n minusrarr(

1 n0 1

)

(15)



(v w) =1












131 Permutaciones


(17) f1(1) = f2(1) = 1 f1(2) = f2(3) = minus1 f1(3) = f2(2) = 0



2 ) = (π(σ1) middot π(σ2))(f)




(111) π(12) =

(minus1 0minus1 1

) π(23) =

(0 11 0

) π(123) =

(minus1 1minus1 0




(112) C =

(2 0

1radic

3




(113) Q(x y) =(x y

)middot SQ middot

(xy



2ij=1 y la base


(114) Q =

abc

se tiene

(115) SQ =

(a bb c



(116) π(D) =

d211 2d11d12 d2

12

d11d21 d11d22 + d12d21 d12d22

d221 2d21d22 d2

22





(117) v1 =

minusd12d21

d22minusd112d211

si d21 6= 0 y

(118) v1 =

minus2d11d12

d211 minus d11d22

0


CAPIacuteTULO 2





φ(g)ψ(g)lowast










9





(23)





e 1 2

(1 2) S 0

(1 3) RS 0

(2 3) R2S 0

(1 2 3) R minus1

(1 3 2) R2 minus1









ij=1

nsumkl=1

πijρkl =

msumi=1

nsumk=1

πiiρkk =

(msumi=1

πii

)(nsumk=1

ρkk

)= TrπTr ρ



(25) 〈π(α)i

j π(β)k

l 〉 =|G|

dimπ(α)δαβ δ

ilδkj




(26) D =sumgisinG

π(g)Cρ(g)minus1


(27) λ =|G|dδkj


(28) Dil =

sumgisinG


kj




i=jk=l

sumgisinG

π(α)i


sumgisinG























(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)


Iacutendice general














v

CAPIacuteTULO 1








1





σ 7minusrarr 1


(11)


(12) π3(2 3) =1

2

(1radic

3radic3 1

) π3(1 2) =

(minus1 00 1

)



(13) ρ(1 2) =

0 1 01 0 00 0 1

ρ(2 3) =

1 0 00 0 10 1 0








V W

V W

φ

π(g) ρ(g)

φ



























n minusrarr(

1 n0 1

)

(15)



(v w) =1












131 Permutaciones


(17) f1(1) = f2(1) = 1 f1(2) = f2(3) = minus1 f1(3) = f2(2) = 0



2 ) = (π(σ1) middot π(σ2))(f)




(111) π(12) =

(minus1 0minus1 1

) π(23) =

(0 11 0

) π(123) =

(minus1 1minus1 0




(112) C =

(2 0

1radic

3




(113) Q(x y) =(x y

)middot SQ middot

(xy



2ij=1 y la base


(114) Q =

abc

se tiene

(115) SQ =

(a bb c



(116) π(D) =

d211 2d11d12 d2

12

d11d21 d11d22 + d12d21 d12d22

d221 2d21d22 d2

22





(117) v1 =

minusd12d21

d22minusd112d211

si d21 6= 0 y

(118) v1 =

minus2d11d12

d211 minus d11d22

0


CAPIacuteTULO 2





φ(g)ψ(g)lowast










9





(23)





e 1 2

(1 2) S 0

(1 3) RS 0

(2 3) R2S 0

(1 2 3) R minus1

(1 3 2) R2 minus1









ij=1

nsumkl=1

πijρkl =

msumi=1

nsumk=1

πiiρkk =

(msumi=1

πii

)(nsumk=1

ρkk

)= TrπTr ρ



(25) 〈π(α)i

j π(β)k

l 〉 =|G|

dimπ(α)δαβ δ

ilδkj




(26) D =sumgisinG

π(g)Cρ(g)minus1


(27) λ =|G|dδkj


(28) Dil =

sumgisinG


kj




i=jk=l

sumgisinG

π(α)i


sumgisinG























(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)


CAPIacuteTULO 1








1





σ 7minusrarr 1


(11)


(12) π3(2 3) =1

2

(1radic

3radic3 1

) π3(1 2) =

(minus1 00 1

)



(13) ρ(1 2) =

0 1 01 0 00 0 1

ρ(2 3) =

1 0 00 0 10 1 0








V W

V W

φ

π(g) ρ(g)

φ



























n minusrarr(

1 n0 1

)

(15)



(v w) =1












131 Permutaciones


(17) f1(1) = f2(1) = 1 f1(2) = f2(3) = minus1 f1(3) = f2(2) = 0



2 ) = (π(σ1) middot π(σ2))(f)




(111) π(12) =

(minus1 0minus1 1

) π(23) =

(0 11 0

) π(123) =

(minus1 1minus1 0




(112) C =

(2 0

1radic

3




(113) Q(x y) =(x y

)middot SQ middot

(xy



2ij=1 y la base


(114) Q =

abc

se tiene

(115) SQ =

(a bb c



(116) π(D) =

d211 2d11d12 d2

12

d11d21 d11d22 + d12d21 d12d22

d221 2d21d22 d2

22





(117) v1 =

minusd12d21

d22minusd112d211

si d21 6= 0 y

(118) v1 =

minus2d11d12

d211 minus d11d22

0


CAPIacuteTULO 2





φ(g)ψ(g)lowast










9





(23)





e 1 2

(1 2) S 0

(1 3) RS 0

(2 3) R2S 0

(1 2 3) R minus1

(1 3 2) R2 minus1









ij=1

nsumkl=1

πijρkl =

msumi=1

nsumk=1

πiiρkk =

(msumi=1

πii

)(nsumk=1

ρkk

)= TrπTr ρ



(25) 〈π(α)i

j π(β)k

l 〉 =|G|

dimπ(α)δαβ δ

ilδkj




(26) D =sumgisinG

π(g)Cρ(g)minus1


(27) λ =|G|dδkj


(28) Dil =

sumgisinG


kj




i=jk=l

sumgisinG

π(α)i


sumgisinG























(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)






σ 7minusrarr 1


(11)


(12) π3(2 3) =1

2

(1radic

3radic3 1

) π3(1 2) =

(minus1 00 1

)



(13) ρ(1 2) =

0 1 01 0 00 0 1

ρ(2 3) =

1 0 00 0 10 1 0








V W

V W

φ

π(g) ρ(g)

φ



























n minusrarr(

1 n0 1

)

(15)



(v w) =1












131 Permutaciones


(17) f1(1) = f2(1) = 1 f1(2) = f2(3) = minus1 f1(3) = f2(2) = 0



2 ) = (π(σ1) middot π(σ2))(f)




(111) π(12) =

(minus1 0minus1 1

) π(23) =

(0 11 0

) π(123) =

(minus1 1minus1 0




(112) C =

(2 0

1radic

3




(113) Q(x y) =(x y

)middot SQ middot

(xy



2ij=1 y la base


(114) Q =

abc

se tiene

(115) SQ =

(a bb c



(116) π(D) =

d211 2d11d12 d2

12

d11d21 d11d22 + d12d21 d12d22

d221 2d21d22 d2

22





(117) v1 =

minusd12d21

d22minusd112d211

si d21 6= 0 y

(118) v1 =

minus2d11d12

d211 minus d11d22

0


CAPIacuteTULO 2





φ(g)ψ(g)lowast










9





(23)





e 1 2

(1 2) S 0

(1 3) RS 0

(2 3) R2S 0

(1 2 3) R minus1

(1 3 2) R2 minus1









ij=1

nsumkl=1

πijρkl =

msumi=1

nsumk=1

πiiρkk =

(msumi=1

πii

)(nsumk=1

ρkk

)= TrπTr ρ



(25) 〈π(α)i

j π(β)k

l 〉 =|G|

dimπ(α)δαβ δ

ilδkj




(26) D =sumgisinG

π(g)Cρ(g)minus1


(27) λ =|G|dδkj


(28) Dil =

sumgisinG


kj




i=jk=l

sumgisinG

π(α)i


sumgisinG























(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)





V W

V W

φ

π(g) ρ(g)

φ



























n minusrarr(

1 n0 1

)

(15)



(v w) =1












131 Permutaciones


(17) f1(1) = f2(1) = 1 f1(2) = f2(3) = minus1 f1(3) = f2(2) = 0



2 ) = (π(σ1) middot π(σ2))(f)




(111) π(12) =

(minus1 0minus1 1

) π(23) =

(0 11 0

) π(123) =

(minus1 1minus1 0




(112) C =

(2 0

1radic

3




(113) Q(x y) =(x y

)middot SQ middot

(xy



2ij=1 y la base


(114) Q =

abc

se tiene

(115) SQ =

(a bb c



(116) π(D) =

d211 2d11d12 d2

12

d11d21 d11d22 + d12d21 d12d22

d221 2d21d22 d2

22





(117) v1 =

minusd12d21

d22minusd112d211

si d21 6= 0 y

(118) v1 =

minus2d11d12

d211 minus d11d22

0


CAPIacuteTULO 2





φ(g)ψ(g)lowast










9





(23)





e 1 2

(1 2) S 0

(1 3) RS 0

(2 3) R2S 0

(1 2 3) R minus1

(1 3 2) R2 minus1









ij=1

nsumkl=1

πijρkl =

msumi=1

nsumk=1

πiiρkk =

(msumi=1

πii

)(nsumk=1

ρkk

)= TrπTr ρ



(25) 〈π(α)i

j π(β)k

l 〉 =|G|

dimπ(α)δαβ δ

ilδkj




(26) D =sumgisinG

π(g)Cρ(g)minus1


(27) λ =|G|dδkj


(28) Dil =

sumgisinG


kj




i=jk=l

sumgisinG

π(α)i


sumgisinG























(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)




















n minusrarr(

1 n0 1

)

(15)



(v w) =1












131 Permutaciones


(17) f1(1) = f2(1) = 1 f1(2) = f2(3) = minus1 f1(3) = f2(2) = 0



2 ) = (π(σ1) middot π(σ2))(f)




(111) π(12) =

(minus1 0minus1 1

) π(23) =

(0 11 0

) π(123) =

(minus1 1minus1 0




(112) C =

(2 0

1radic

3




(113) Q(x y) =(x y

)middot SQ middot

(xy



2ij=1 y la base


(114) Q =

abc

se tiene

(115) SQ =

(a bb c



(116) π(D) =

d211 2d11d12 d2

12

d11d21 d11d22 + d12d21 d12d22

d221 2d21d22 d2

22





(117) v1 =

minusd12d21

d22minusd112d211

si d21 6= 0 y

(118) v1 =

minus2d11d12

d211 minus d11d22

0


CAPIacuteTULO 2





φ(g)ψ(g)lowast










9





(23)





e 1 2

(1 2) S 0

(1 3) RS 0

(2 3) R2S 0

(1 2 3) R minus1

(1 3 2) R2 minus1









ij=1

nsumkl=1

πijρkl =

msumi=1

nsumk=1

πiiρkk =

(msumi=1

πii

)(nsumk=1

ρkk

)= TrπTr ρ



(25) 〈π(α)i

j π(β)k

l 〉 =|G|

dimπ(α)δαβ δ

ilδkj




(26) D =sumgisinG

π(g)Cρ(g)minus1


(27) λ =|G|dδkj


(28) Dil =

sumgisinG


kj




i=jk=l

sumgisinG

π(α)i


sumgisinG























(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)







131 Permutaciones


(17) f1(1) = f2(1) = 1 f1(2) = f2(3) = minus1 f1(3) = f2(2) = 0



2 ) = (π(σ1) middot π(σ2))(f)




(111) π(12) =

(minus1 0minus1 1

) π(23) =

(0 11 0

) π(123) =

(minus1 1minus1 0




(112) C =

(2 0

1radic

3




(113) Q(x y) =(x y

)middot SQ middot

(xy



2ij=1 y la base


(114) Q =

abc

se tiene

(115) SQ =

(a bb c



(116) π(D) =

d211 2d11d12 d2

12

d11d21 d11d22 + d12d21 d12d22

d221 2d21d22 d2

22





(117) v1 =

minusd12d21

d22minusd112d211

si d21 6= 0 y

(118) v1 =

minus2d11d12

d211 minus d11d22

0


CAPIacuteTULO 2





φ(g)ψ(g)lowast










9





(23)





e 1 2

(1 2) S 0

(1 3) RS 0

(2 3) R2S 0

(1 2 3) R minus1

(1 3 2) R2 minus1









ij=1

nsumkl=1

πijρkl =

msumi=1

nsumk=1

πiiρkk =

(msumi=1

πii

)(nsumk=1

ρkk

)= TrπTr ρ



(25) 〈π(α)i

j π(β)k

l 〉 =|G|

dimπ(α)δαβ δ

ilδkj




(26) D =sumgisinG

π(g)Cρ(g)minus1


(27) λ =|G|dδkj


(28) Dil =

sumgisinG


kj




i=jk=l

sumgisinG

π(α)i


sumgisinG























(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)




(112) C =

(2 0

1radic

3




(113) Q(x y) =(x y

)middot SQ middot

(xy



2ij=1 y la base


(114) Q =

abc

se tiene

(115) SQ =

(a bb c



(116) π(D) =

d211 2d11d12 d2

12

d11d21 d11d22 + d12d21 d12d22

d221 2d21d22 d2

22





(117) v1 =

minusd12d21

d22minusd112d211

si d21 6= 0 y

(118) v1 =

minus2d11d12

d211 minus d11d22

0


CAPIacuteTULO 2





φ(g)ψ(g)lowast










9





(23)





e 1 2

(1 2) S 0

(1 3) RS 0

(2 3) R2S 0

(1 2 3) R minus1

(1 3 2) R2 minus1









ij=1

nsumkl=1

πijρkl =

msumi=1

nsumk=1

πiiρkk =

(msumi=1

πii

)(nsumk=1

ρkk

)= TrπTr ρ



(25) 〈π(α)i

j π(β)k

l 〉 =|G|

dimπ(α)δαβ δ

ilδkj




(26) D =sumgisinG

π(g)Cρ(g)minus1


(27) λ =|G|dδkj


(28) Dil =

sumgisinG


kj




i=jk=l

sumgisinG

π(α)i


sumgisinG























(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)




(117) v1 =

minusd12d21

d22minusd112d211

si d21 6= 0 y

(118) v1 =

minus2d11d12

d211 minus d11d22

0


CAPIacuteTULO 2





φ(g)ψ(g)lowast










9





(23)





e 1 2

(1 2) S 0

(1 3) RS 0

(2 3) R2S 0

(1 2 3) R minus1

(1 3 2) R2 minus1









ij=1

nsumkl=1

πijρkl =

msumi=1

nsumk=1

πiiρkk =

(msumi=1

πii

)(nsumk=1

ρkk

)= TrπTr ρ



(25) 〈π(α)i

j π(β)k

l 〉 =|G|

dimπ(α)δαβ δ

ilδkj




(26) D =sumgisinG

π(g)Cρ(g)minus1


(27) λ =|G|dδkj


(28) Dil =

sumgisinG


kj




i=jk=l

sumgisinG

π(α)i


sumgisinG























(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)


CAPIacuteTULO 2





φ(g)ψ(g)lowast










9





(23)





e 1 2

(1 2) S 0

(1 3) RS 0

(2 3) R2S 0

(1 2 3) R minus1

(1 3 2) R2 minus1









ij=1

nsumkl=1

πijρkl =

msumi=1

nsumk=1

πiiρkk =

(msumi=1

πii

)(nsumk=1

ρkk

)= TrπTr ρ



(25) 〈π(α)i

j π(β)k

l 〉 =|G|

dimπ(α)δαβ δ

ilδkj




(26) D =sumgisinG

π(g)Cρ(g)minus1


(27) λ =|G|dδkj


(28) Dil =

sumgisinG


kj




i=jk=l

sumgisinG

π(α)i


sumgisinG























(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)






(23)





e 1 2

(1 2) S 0

(1 3) RS 0

(2 3) R2S 0

(1 2 3) R minus1

(1 3 2) R2 minus1









ij=1

nsumkl=1

πijρkl =

msumi=1

nsumk=1

πiiρkk =

(msumi=1

πii

)(nsumk=1

ρkk

)= TrπTr ρ



(25) 〈π(α)i

j π(β)k

l 〉 =|G|

dimπ(α)δαβ δ

ilδkj




(26) D =sumgisinG

π(g)Cρ(g)minus1


(27) λ =|G|dδkj


(28) Dil =

sumgisinG


kj




i=jk=l

sumgisinG

π(α)i


sumgisinG























(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)





ij=1

nsumkl=1

πijρkl =

msumi=1

nsumk=1

πiiρkk =

(msumi=1

πii

)(nsumk=1

ρkk

)= TrπTr ρ



(25) 〈π(α)i

j π(β)k

l 〉 =|G|

dimπ(α)δαβ δ

ilδkj




(26) D =sumgisinG

π(g)Cρ(g)minus1


(27) λ =|G|dδkj


(28) Dil =

sumgisinG


kj




i=jk=l

sumgisinG

π(α)i


sumgisinG























(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)




i=jk=l

sumgisinG

π(α)i


sumgisinG























(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)








(215)sumπisinG

d2π = |G|









dαsumij=1

cαijπ(α)i

j(g)


(217) F (g) =1

N

sumhisinG

F (hghminus1)



F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)




F (g) =1

N

sumhisinG

sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijπ(α)i

k(h)π(α)k

l (g)π(α)l

j(hminus1)

=sumαisinG

dαsumijkl=1

cαijdαπ(α)k

l δijδkl

(ortogonalidad)

=sumαisinG

dαsumik=1

cαiidαπαkk(g)


=sumαisinG

dαsumi=1

cαiidαχα(g)


(218)


23 Ejemplos






23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)


23 Ejemplos 15

T A4

1 e = (1)(2)(3)(4)







1 +d2





[e] 1 1 1 3[(12)(34)] 1 1 1 -1

[(123)] 1 ω ω2 0[(132)] 1 ω2 ω 0



(219) v1 =1

3

2radic

20minus1

v2 =1

3


v3 =1

3

minusradic2

minusradic

6minus1

v4 =

001



(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)




(220) π3((123)) =

minus12 minusradic

32 0radic32 minus12 00 0 1



1radic

3 minusradic

2

2 0radic

2

minus1radic

3radic

2


π3((12)(34)) =

minus23 1radic

3 minusradic

23

1radic

3 0 minusradic

23

minusradic

23 minusradic

63 minus13

π3((13)(24)) =

minus23 minus1radic

3 minusradic

23

minus1radic

3 0radic

23

minusradic

23radic

23 minus13

π3((14)(23)) =

13 0 2radic

230 minus1 0

2radic

23 0 minus13

(222)






(224)d

dt

partLpartri

=partLpartri

i = 1 6

23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)


23 Ejemplos 17




(225) (r11 r12 r21 r22 r31 r32)










(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)




(228) Pα =dα

dim ρ

sumgisinG

χlowastα(g)ρ(g)


(229)dα

dim ρ

dαsumij=1i=j

sumgisinG


(1dα 00 0

)


P1 =1

6

sumσisinS3

D(σ) =

14 0 minus

radic3

12 minusradic

312 minus1

4

radic3

60 0 0 0 0 0

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minusradic

312 0 1

12112

radic3

12 minus16

minus14 0

radic3

12

radic3

1214 minus

radic3

6radic3

6 0 minus16 minus1

6 minusradic

36

13

P2 =1

6

sumσisinS3

sgn(σ)D(σ) =

112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

minus16

13 minus

radic3

6

radic3

6 minus16 0radic

312 minus

radic3

614 minus1

4

radic3

12 0

minusradic

312

radic3

6 minus14

14 minus

radic3

12 0112 minus1

6

radic3

12 minusradic

312

112 0

0 0 0 0 0 0

(230)


v1 =

(minus1

2

radic3

6 0minus

radic3

31

2

radic3

6

)ᵀ

v2 =

(minusradic

3

6minus1

2

radic3

3 0minus

radic3

61

2

)ᵀ(231)

3Ver en [5 pp23-4]






sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)







sumi λi = n








(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)





(233) d =nprod

(ij)isinYλ|h(i j)|





6 5 4 2 13 2 1


(234) d =8



CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

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(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


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36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)


CAPIacuteTULO 3


31 Grupos de Lie



φ G minusrarr G



(g h) 7minusrarr gh

(31)

sean regulares




21




(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

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(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)





(a bc d

) con determinante


(32)(a bc d

)=



(33) M =




radicq2

0 + q21 + q2




Hq=1 SU(2)

1

(1 00 1

)i

(i 00 minusi

)= iσz

j

(0 1minus1 0

)= iσy

k

(0 ii 0

)= iσx




















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)


















Jacobi








(35)d

dtdetM(t) = Tr

(M(t)

d

dtM(t)








(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)






(36) X =

(ci a+ bi

minusa+ bi minusci





exp g minusrarr G



(38) exp(X) =

infinsumk=0

Xk

k






(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















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Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)





(39) Z(XY ) = X + Y +1

2[XY ] +O(X3)


exp(hX) exp(hY ) =

(1+hX +

h2

2X2 +O(h3)

)(1+hY +

h2

2Y 2 +O(h3)

)= 1+h(X + Y ) +

h2

2(X2 + Y 2) + h2XY +O(h3)

(310)

con el de exp(hZ)

exp(hZ) = 1+h(X + Y ) +h2

2

([XY ] + (X + Y )2

)+O(h3)

= 1+h(X + Y ) +h2

2

(X2 + Y 2 + 2XY

)+O(h3)

(311)





(312) [ei ej ] =

Nsumk=1

fkijek








CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











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Maacutes ejemplos

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Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)







CAPIacuteTULO 4










adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )|t=0

=d



(42)




(43)

29





(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

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(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


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36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

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(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

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CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

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37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











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Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)






(44) π(g) =

eıθ1(g) 0 0

0 eıθ2(g) 0

0 0 0

0 0 eıθd(g)




(45)









(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















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Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)





(46) T =


) θ isin R

t =

(ıθ 00 minusıθ

) θ isin R



(47) T =


0 0 1

θ isin R

t =

0 0 0

0 0 minusθ0 θ 0

θ isin R



(48) π =

doplusk=1

χk


G U(Cd)

g u(d)

π

exp

dπ

exp




e t minusrarr G









(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

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37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











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Pesos y raiacuteces


El principio gauge




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(413)






gα




(416) V =sum`

V`






= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

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37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











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= (`(H) + α(H))dπ(Zα)v

(417)



(418) adıσz =

0 0 00 0 minus20 2 0









(419) Jx =

0 1 0minus1 0 00 0 0

Jy =

0 0 10 0 0minus1 0 0

Jz =

0 0 00 0 minus10 1 0





radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


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36minusı2)


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radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

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37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











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(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











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radic12 j = 1 8 Una


(420) B3 =ı

2

1 0 00 minus1 00 0 0

B8 =ıradic3

ı 0 00 ı 00 0 minus2ı


(421) adB3 =1radic3





〈B3 B8〉 (0 0)


33 0)


33 0)


36minusı2)


36minusı2)


36 ı2)


36 ı2)


radic3 en R2




= 〈radic

3B36radic







(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











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Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




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(423) Llowast = ım

6


)+ın

3Blowast8 mn isin Z

sub ıtlowast








(424) W = 〈sα α isin R〉

con



α(425)






sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


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El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











Bibliografiacutea
















45






Introduccioacuten


Maacutes ejemplos

Permutaciones





Ejemplos





Grupos de Lie








Pesos y raiacuteces


El principio gauge




Teoriacutea O(n)




sumαisin∆ λαα



R+ = (radic

33 0) (minusradic

36 12) (radic

36 12)∆ = (

radic33 0) (minus

radic36 12)


CAPIacuteTULO 5

El principio gauge



S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











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S =

intML[x φDφ]








(51)partLpartφ

=part

partx

partLpart(Dφ)



37
















siendo

(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











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(54) ηmicroν =












(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











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(58)partLfreepartΨ


) = 0










(510)











4FmicroνFmicroν




(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





(517) Lgf = minus1











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(513) Lfree =1


2m2ΦᵀΦ









(515)





(516) Lint = ıg

2

(ΦᵀAᵀmicropart


2ΦᵀAᵀmicroA

microΦ





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