representación simbolica y angular del entorno 2° sem

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Consultor – Facilitador

Ing. Miguel Hernández DelgadilloIngeniería en Procesos Metalúrgicos

ESIQIE – IPNAdministración de Operaciones Industriales

UNITEC

Sistemas de Manufactura SincronizadaMOOPI BERCLAIN AL

Módulos Básicos de APICSAPICS MÉXICO – UNITEC

Alta Dirección por ObjetivosDEVELOPMENT SYSTEMS

Optimización de Procesos Logísticos.- SINTECISO-9000 : 2000 Nueva Familia de Normas.- CENCADE

Gte de Logística .– CARTONAJES ESTRELLAGte de Operaciones .– MAPFRE TEPEYACGte de Logística y Distribución.– MAIZORO GAMESAGte General .– TRANSPORTES JULIÁN DE OBREGÓNGte Nal de Operaciones .– INTERMERK - DERMETGte de Cadena de Suministro.– GRAMOSA- FERROSERVICIOSGte de Logística y Almacenes. – EXTRUSIONES METÁLICAS

Profesor de Maestría y Licenciatura .- UNITEC, ETAC, DGETISecretario de Capacitación.- CONPEP AC

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Representación Simbólica y Angular del Entorno

2° sem.

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Propósito del Módulo.-

Modelar de manera simbólica y angular el entorno, mediante las técnicas, métodos operacionales y procedimientos, algebraicos geométricos, logarítmicos, exponenciales y trigonométricos, para la generalización de su representación en la vida diaria.

Alcance.-

Segundo semestre del núcleo de formación básica, de todas las carreras de Profesional Técnico y Profesional Técnico-Bachiller y pretende que el alumno resuelva problemas de la geometría plana, elaborando estrategias individuales y colectivas en el uso cotidiano y aplicación de esta disciplina, incluyendo ejercicios y modelos matemáticos, recuperados de su entorno social inmediato

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Nombre del Módulo

Unidad de Aprendizaje

Resultado de Aprendizaje

Representación simbólica y angular del entorno 72 Horas 1

1. Resolución de problemas utilizando logaritmos y exponenciales. 15 horas

Sem 1 Trabajo 5% Sem 2 Trabajo 5%

Sem 3 Trabajo 5% Sem 4 Trabajo 5%

1.1 Maneja desigualdades, gráficas y procedimientos algebraicos de funciones exponenciales y logarítmicas mediante leyes y propiedades. 10 horas. 10%1.2 Soluciona situaciones de su entorno mediante ecuaciones exponenciales y logarítmicas. 5 horas. 10%

MAPA DEL MÓDULO

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Nombre del Módulo




2. Modelado angular, lineal, de superficie y espacial. 25 horas.Sem 5 Trabajo 5% Sem 6 Trabajo 5% Sem 7 Trabajo 5% Sem 8 Trabajo 5% Sem 9 Trabajo 5% Sem 10 Trabajo 5% Sem 11 Trabajo 5% Sem 12 Trabajo 5%

2.1 Resuelve problemas de dimensiones lineales y superficiales de figuras geométricas mediante propiedades, teoremas, cálculos aritméticos y algebraicos. 15 horas. 20%2.2 Soluciona situaciones de su entorno que involucren el cálculo de superficies y volúmenes de sólidos empleando fórmulas, propiedades y dibujos a escala. 10 horas. 20%

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Nombre del Módulo




3. Aplicación de la trigonometría 32 horas.

Sem 13 Trabajo 5% Sem 14 Trabajo 5% Sem 15 Trabajo 5% Sem 16 Trabajo 5%

Sem 17 Trabajo 5% Sem 18 Trabajo 5% Sem 19 Trabajo 5% Sem 20 Trabajo 5%

3.1 Resuelve problemas relacionados con triángulos, rectángulos y oblicuángulos empleando razones y leyes trigonométricas. 22 horas. 20% 3.2 Resuelve problemas de identidades y ecuaciones trigonométricas empleando sus leyes y propiedades. 10 horas. 20%

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UNIDAD DE APRENDIZAJE I 1. Resolución de problemas utilizando logaritmos y exponenciales. 15

horas

RESULTADO DE APRENDIZAJE

1.1 Maneja desigualdades, gráficas y procedimientos algebraicos de funciones exponenciales y logarítmicas mediante leyes y propiedades. 10 horas.

Actividades de evaluación :

1.1.1 Resuelve una serie de ejercicios donde aplique desigualdades y sus propiedades, así como operaciones y gráficas de funciones exponenciales y logarítmica.

Evidencias a recopilar :

• Ejercicios en hojas blancas de papel bond y gráficas en hojas milimétricas. PONDERACIÓN: 10%

A. Resolución de desigualdades.• Definición• Propiedades• Intervalos

• Abiertos• Cerrados• Combinados

• Solución

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A. Resolución de desigualdades.• DefiniciónDESIGUALDADES:Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

≠ no es igual < menor que > mayor que ≤ menor o igual que ≥ mayor o igual que

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que ceroEjemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que ceroEjemplo:

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20

Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.Por ejemplo:

X + 3 < 7 (La punta del signo < siempre señala el menor) Ejemplos:

3 < 4, 4 > 3

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• Si sumamos o restamos un mismo número a los dos miembros de una desigualdad, resulta otra del mismo sentido.

• Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, resulta otra del mismo sentido.

• Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, resulta otra de sentido contrario.

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ACTIVIDADES PROPUESTASCopia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala escribiendo en la columna derecha el resultado de aplicarle a los dos miembros de la desigualdad de la 1ª columna la operación indicada en la segunda:

x-3 > 5 Sumar 3x+7 > 8 Restar 74x < 12 Dividir entre 4-2x ≥ 8 Dividir entre (-2)x-9 > -2 Sumar 9-3x ≤ 9 Dividir entre -3

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• Propiedades de las desigualdades1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados: a 16 / – 2 (restamos 2 a ambos lados)2 + x − 2 > 16 − 2x > 142. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo: a 0) (c es positivo, mayor que cero)a • c b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)a • c > b • c Ejemplo 3 ≤ 5 • x / :53/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo: a b • c a > b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)a • c < b • c Ejemplo:15 – 3 • x ≥ 39 / −15− 3 • x ≥ 39 – 15 /: −3x ≤ 24: (−3)x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.

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a0 > para expresar que el número a es positivo a0 < para expresar que el n mero a es negativo ú

En general se escribe: a b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta) ab ≥ y se lee "a es mayor o igual que b" (desigualdad amplia)

Se llama desigualdad a cualquiera de las cuatro expresiones anteriores. Gráficamente, la desigualdad a b < significa que el punto representativo de "a" en la recta real se halla a la izquierda del que representa "b", y la desigualdad a b > significa que el punto representativo de "a" en la recta real se halla a la derecha del que representa "b".

______a|_____________b|______ ___b|___________a|_______

Desigualdad ab

• Intervalos• Abiertos• Cerrados• Combinados

• Solución

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INTERVALO DE UNA VARIABLE

• Es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y que están comprendidos entre dos de ellos: a y b, que se denominan extremos del intervalo.

• La diferencia que existe entre ambos extremos se conoce como Amplitud de intervalo y es igual al valor absoluto de su diferencia |a-b|

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INTERVALO DE UNA VARIABLE

Notación de intervalo:

[a,b] “intervalo de a hacia b”

Notación para la variable:

a<x<b“la variable x es mayor que a y menor que b”

CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS

INTERVALO ¿QUE REPRESENTA?

CERRADO[a,b]

{x|a≤x≤b}

ABIERTO(a,b)

{x|a<x<b}

SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA(a,b]

{x|a<x≤b}

SEMIABIERTO POR LA DERECHA[a,b)

{x|a≤x<b}

INFINITO(a,+ œ) , [a,+ œ)(-œ,b) , (-œ,b]

Representación gráfica de los intervalos

• En la recta real los valores a y b se denominan extremos del intervalo

• Resolver una desigualdad significa encontrar todas sus soluciones, es decir obtener el intervalo donde la relación es verdadera.

Intervalos Y Su Representación Mediante Desigualdades

• La noción de intervalo es un sistema de escritura de los conjuntos numéricos en el plano de coordenadas.

• El intervalo es en general, utilizado para representar un grupo de números a lo largo de un eje determinado.

• Estos intervalos son típicamente representados por las desigualdades.

• Por ejemplo, considere todos los números mayores que 6, con el fin de representar este conjunto de números, podemos escribir la desigualdad como x> 6, donde x es cualquier número en este conjunto.

• Sin embargo, si quiere representar solamente la notación de intervalo, se escribe (6, +oo).

• Con el fin de interpretar la notación del intervalo, se asume que el grupo de números del conjunto están en la recta numérica, usualmente en uno de los ejes.

• El extremo izquierdo de la notación es decir, ‘(6’, indica que el conjunto de números comienza a partir del próximo número que sigue al 6 en el eje de coordenadas.

• El paréntesis que precede al 6 se conoce como paréntesis alrededor de o exclusivo.

• Este paréntesis muestra que el 5 está excluido del grupo.

• Tales tipos de intervalos son llamados “Abiertos”.

• El símbolo de infinito siempre viene junto al paréntesis exclusivo.

• Por lo tanto, esta representación cubre todos los números mayores que 6, hasta el infinito.

• Los conceptos más profundos pueden ser mejor entendidos con otro ejemplo que consiste en todos los números mayores que 2 pero menores o iguales que 7.

• Para este conjunto de números, la representación de la desigualdad es .

• Este grupo puede ser representado por la notación de intervalo (2, 7].

• El paréntesis antes del ‘2’ indica que el 2 está excluido del grupo, mientras que el corchete o paréntesis inclusivo ’[’ indica que el 7 está incluido en el conjunto.

• Estos intervalos se conocen como “Semiabiertos” y “Semicerrados”.

• Los conceptos difíciles incluyen aquellos ejemplos en los cuales el conjunto de números comprende todos los reales tomando en cuenta un número particular.

• Supongamos que el número 4 está excluido del conjunto.

• La representación de esa desigualdad es: x < 4 y x > 4.

• La representación correspondiente de tal intervalo es: (oo , 4) U (4, +oo ).

• U’ significa unión.• La función principal del símbolo de unión es unir dos

conjuntos separados. ‘U’ hace el trabajo de ‘Y’.

• De la misma forma que funciona ‘O’ en las operaciones de dos conjuntos, existe un símbolo especial de intersección que es utilizado .

• Por ejemplo: (-oo , 4) (4, +oo ).

• Para resumir observemos un ejemplo donde todos los conceptos mencionados están cubiertos:

• Supongamos que la ecuación a ser resuelta es .

• La desigualdad anterior puede ser separada en dos desigualdades, es decir, ó

• Tras resolver estas desigualdades obtenemos, ó

• La notación de intervalo correspondiente sería: U .

• Este intervalo puede ser interpretado como la representación de todo un conjunto de números, como la unión de 2 conjuntos diferentes.

• El primer conjunto comenzará desde el valor infinito negativo hasta el −1 en la recta numérica.

• El segundo conjunto comenzará desde el 4 hasta el valor infinito positivo.

• La solución total del conjunto incluirá todos los números tanto del primer conjunto como del segundo conjunto.

FUNCIÓN EXPONENCIAL La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

Definiciones:

Número de Euler.-

Números Reales.-

Derivada.-

e = Base de los Logaritmos Naturales.-

Logaritmo Natural.-

http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_exp_log_app/fn_app.htmlIntroducción a Funciones Exponenciales

Objetivos Al concluir esta lección, deberás ser capaz de: •Identificar funciones exponenciales•Obtener la fórmula exponencial asociada a una situación determinada.

Introducción Las funciones exponenciales son muy conocidas cuando se habla de modelar una población, de interés o de desintegración de elementos. Este tipo de funciones es muy útil ya que podemos modelar situaciones de la vida real utilizándolas. Los siguientes ejemplos te ayudaran a comprender y entender un poco mas a fondo las características de esta función.

Situaciones y la función exponencial asociadaEjemplo 1: Una población de canguros, cuenta inicialmente con 200 individuos y se duplica cada 3 años. Si x representa la cantidad de años transcurridos y P(x) la población de canguros después de x años. ¿Cuál es la fórmula asociada a la función P(x)?

http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_exp_log_app/fn_app.html

http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_exp_log_app/fn_app.html

Solución:La siguiente tabla muestra los valores de P(x) para algunos valores de x:

Notando que, cuando x aumenta por 3, la población se multiplica por 2, la tabla anterior se puede expresar como:

X=0 Población inicial periodo cero = 200*(2) 0 y 20 = 1 200*1 = 200

X=1 Se duplica en el periodo uno = 200*(2)1 y 21 = 2 200*2 = 400

X=2 Se duplica en el periodo dos = 200*(2)2 y 22 = 4 200*4 = 800

X=3 Se duplica en el periodo tres = 200*(2)3 y 23 = 8 200*8 = 1600

Observando la tabla anterior, podemos ver que la fórmula para la población es:

P x = 200 × 2 X3

X 0 3 6 9

P(x) 200 400 800 1600

X 0 3 6 9

P(x) 200=200*(2) 0 400=200*(2) 1 800=200*(2) 2 1600=200*(2) 3

Ejemplo 2: La población de aves es inicialmente de 10 individuos y se triplica cada 5 años. Si x representa la cantidad de años transcurridos y P(x) la población de aves después de x años. ¿Cuál es la fórmula asociada a la función P(x)?Solución:La siguiente tabla muestra los valores de P(x) para algunos valores de x:

Notando que, cuando x aumenta por 5, la población se multiplica por 3, la tabla anterior se puede expresar como:

X=0 Población inicial periodo cero = 10(3) 0 y 30 = 1 10*1 = 10

X=1 Se duplica en el periodo uno = 10*(3)1 y 31 = 3 10*3 = 30

X=2 Se duplica en el periodo dos = 10*(3)2 y 32 = 9 10*9 = 90

X=3 Se duplica en el periodo tres = 10*(3)3 y 33 = 27 10*27 = 270

Observando la tabla anterior, podemos ver que la fórmula para la población es:

P x = 10 × 3 X3

X 0 5 10 15

P(x) 10 30 90 270

X 0 3 6 9

P(x) 10=10*(3) 0 30=10*(3) 1 90=10*(3) 2 270=10*(3) 3

Ejemplo 3:La vida media del carbono 14 es de 5 668 años. Es decir para una determinada cantidad de carbono 14, quedará la mitad de la cantidad original después de 5 668 años. Se tiene una muestra de 25gr. Si x representa la cantidad de años transcurridos y P(x) la masa en gramos de carbono 14 después de x años. ¿Cuál es la fórmula asociada a la función P(x)?Solución:

La siguiente tabla muestra los valores de P(x) para algunos valores de x:x05 6681133617004P(x)2512.56.253.125Notando que, cuando x aumenta por 5668, la masa del carbono 14 se multiplica por 1/2, la tabla anterior se puede expresar como:x05 6681133617004P(x)25 = 25 × ( 1 2 ) 0 12.5 = 25 × ( 1 2 ) 1 6.25 = 25 × ( 1 2 ) 2 3.125 = 25 × ( 1 2 ) 3 Observando la tabla anterior, podemos ver que la fórmula para la población es: P x = 25 × ( 1 2 ) x 5668 Nota que en los ejemplos 1 y 2 la función es creciente, es decir el valor de la función crece a medida que crece x. En los ejemplos 3 y 4 la función es decreciente, es decir el valor de la función decrece a medida que crece x.

X 0 5668 10 15

P(x) 10 30 90 270

Ahora debes saber como construir una función exponencial si se te provee una situación. Pero, en caso que no captaras la destreza puedes utilizar la siguiente aplicación para practicar y verificar tus conocimientos. Las aplicaciones te permiten seleccionar la población inicial, el factor de crecimiento o decrecimiento y el periodo en el que esto ocurre.Función Exponencial Creciente Función Exponencial Decreciente

Definición

Intuitivamente, si una cantidad se multiplica por una constante periódicamente, como en los ejemplos antes vistos, entonces la función es una función exponencial. Una función exponencial f(x),es una función de la forma:f x = a × b x of x = a × b c x

donde a,b y c son constantes. Además b es distinto de 1 y •si b>1, la función exponencial es creciente.•si 0<b<1, la función exponencial es decreciente.

GRAFICAR LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.-

VIDEO ILUSTRATIVO:https://www.youtube.com/watch?v=eAIg-4pH2SE

Ejercicio:En la función f(x) = 5X Consideraremos valores de X cercanos es decir:

-2 -1 0 1 2

Leyes de Potencialización:1. Un número elevado a la “0” = 12. Un número elevado a la “1” = al mismo número3. Un número elevado a un número negativo = a su

inverso elevado a la misma potencia positiva

X Y=f(x)-2 5-2 = 1/52 = 1/25-1 5-1 = 1/50 50 = 11 51 = 52 52 = 25

https://www.youtube.com/watch?v=eAIg-4pH2SE

GRAFICAR LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.-

VIDEO ILUSTRATIVO:https://www.youtube.com/watch?v=eAIg-4pH2SE

Ejercicio:En la función f(x) = 5X

https://www.youtube.com/watch?v=eAIg-4pH2SE

Ejercicio:En la función f(x) = (1 / 7)X Considerando valores de X, RESUELVA Y GRAFIQUE:

-3 -2 -1 0 1 2 3

Nota: Recuerde que un número elevado a un número negativo = a su inverso elevado a la misma

potencia positiva. En este caso el inverso de (1/7) = 7

X Y=f(x)-3 (1/7)-3 = 343-2-10123

FUNCIONES LOGARÍTMICASSea la siguiente expresión: a n = b

Se define al logaritmo en base a de un número b como el exponente n al hay que elevar la base para obtener dicho número, esto es:

log a b = n

que se lee: el logaritmo en base a del número b es n

Ejemplos:

3 2 = 9 log3 9 = 2

2 7 = 128 log2 128 = 7

5 4 = 625 log5 625 = 4

Como se puede ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, esto no se puede ni debe olvidarse cuando se trabaje con logaritmos.

Los logaritmos fueron introducidos en las Matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos.

Utilizando logaritmos se puede convertir productos ensumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

La constante a es un número real positivo distinto de uno, y se denomina base del sistema de logaritmos

La potencia a n para cualquier valor real de n solo tiene sentido si a > 0 .

Logaritmos decimales

Se llaman logaritmos decimales a los logaritmos que tienen por base el número 10 . Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base: log10 X = log X

Es decir, el logaritmo decimal de potencias de diez (con números naturales) es el número de ceros que posee.

LOGARITMO NATURAL O NEPERIANO.-

Primero recordaremos las reglas de potenciación

5-2 = 1/52 = 1/25 = 0.045-1 = 1/5 = 0.250 = 151 = 552 = 25

Ahora recordar que:

De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.

Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base: log10 X = log X

UNA PARTE DE LA HISTORIA DE LOS LOGARITMOSLAS SUCESIONES DE NÚMEROS Y LOS EXPONENTESARQUÍMEDES

A los números de la sucesión primera, que es aritmética, los llamaremos logaritmos; a los de la sucesión de abajo, que es geométrica, los llamaremos antilogaritmos.

Según la regla de Arquímedes, "para multiplicar entre sí dos números cualesquiera de la sucesión de abajo, debemos sumar los dos números de la sucesión de arriba situados encima de aquellos dos.

Luego debe buscarse en la misma sucesión de arriba el número correspondiente a dicha suma. El número de la sucesión inferior que le corresponda debajo será el producto deseado".El número de la sucesión inferior que le corresponda debajo será el producto deseado".

Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales. Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales: log 1 = 0; puesto que 100 = 1.

log 10 = 1; puesto que 101 = 10.

log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10 000. log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1.

LOGARITMOS NATURALES Ó NEPERIANOSLos logaritmos naturales toman como base la letra ePero e= 2,7182818284590452353602874713527.

Entonces loge X = ln X

LOGARITMOS NATURALES Ó NEPERIANOSLos logaritmos naturales toman como base la letra ePero e= 2,7182818284590452353602874713527.

Entonces loge X = ln X

Copie la tabla anterior y pruebe con su calculadora elevando el número de Euler a la potencia indicada,

“logaritmo significa “número para el cálculo”

En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182818284590452353602874713527.

El logaritmo natural se suele denominar como ln(x) o a

veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

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UNIDAD DE APRENDIZAJE II 2.1.1 Resuelve problemas sobre figuras geométricas que involucre operaciones y ecuaciones de ángulos, líneas y planos aplicando operaciones aritméticas y algebraicas, así como sus leyes correspondientes.

A. Cálculo y trazo de componentes de la geometría.• Ángulos Medición. Clasificación. Operaciones. Ecuaciones.

• Punto y línea. Definición. Colinealidad. Paralelismo. Recta secante a una curva Ángulos entre paralelas y una secante Congruencia. Razones y proporciones.

• Superficie Definición. Paralelismo.

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B. Identificación de las propiedades de los triángulos.• Clasificación. Por sus lados. Por sus ángulos• Características. Relación entre sus lados y ángulos. Puntos y rectas notables.• Cálculo del perímetro Teorema de Pitágoras. Dibujo a escala.• Cálculo del área. Dada la altura. Dados los tres lados• Semejanza.C. Identificación de las propiedades de los cuadriláteros• Características. Lados Vértice. Lados opuestos. Ángulos opuestos. Lados adyacentes.• Clasificación. Trapecio. Paralelogramo Rectángulo. Cuadrado. Rombo Trapezoide.• Calculo de perímetro y área.

Fórmulas Problemas

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D. Identificación de propiedades de los polígonos de más de cuatro lados• Clasificación. Por sus ángulos. Por sus lados. Por sus ángulos y sus lados. Descomposición de polígonos en triángulos.• Descomposición de polígonos en diagonales Calculo de perímetro y área. Fórmulas Problemas

E. Identificación de los elementos y las propiedades del círculo.• Elementos. Circunferencia. Diámetro. Radio. Arco. Cuerda. Tangente. Secante. Sector.• Ángulos. Central. Inscrito. Semiinscrito. Exinscrito. Interior. Exterior.• Cálculo de perímetro y área. Fórmulas. Problemas.F. Resolución de problemas.

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