representación matricial del simplex
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REPRESENTACIÓN MATRICIAL DEL
SIMPLEX
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Se puede obtener una visión más profunda de la teoría y del potencial del método
simplex mediante el análisis de su forma matricial. Se comienza utilizando la notación
matricial para representar problemas de programación lineal.
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Si se emplean matrices, nuestra forma estándar del modelo general de programación lineal se convierte en:
Maximizar Z = cx sujeta a: Ax ≤ b y x ≥ 0donde:A: matriz de coeficientes tecnológicosc: matriz vector fila de los coeficientes de la
Función Objetivox: matriz vector fila de las variables de decisiónb: matriz vector columna de los recursos
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Supongamos que existe una base B tal que su determinante también existe, se obtendrá su matriz inversa B-1 , en donde B-1 x B = I, que es la matriz identidad que la asociamos a una solución de un problema de programación lineal.
B: matriz de elementos asociados a las variables que están en la base (coeficientes tecnológicos).
N: matriz de elementos asociados a las variables que no están en la base (coeficientes tecnológicos).
Cb: Vector fila de los coeficientes de la función objetivo asociados a la variable que están en la base.
CN: matriz vector fila de los coeficientes de la función objetivo asociado a variables que no están en la base.
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CN-CB * B-1 * N: Coeficientes de las variables no básicas en la función objetivo.
CB . B-1 ‧ b: lado derecho de la fila z
La base será factible si: B-1 * b ≥0
Si la base es factible, ésta será optima si: CN-CB * B-1 * N es: ≤ 0 Cuando la función objetivo es Maximizar ≥ 0 Cuando la función objetivo es Minimizar
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Dado el siguiente problema, clasifique las bases:
MIN Z=5X1 + 2X2 + 4X3
3X1 + X2 + 2X3 ≥ 4 6X1 + 3X2 + 5X3 ≥ 10
X1, X2, X3 ≥ 0
a) B (X1, X2)b) B (X1, h1) c) B (X2, h1)
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3X1 + X2 + 2X3 – h1 + A1 = 46X1 + 3X2 + 5X3 – h2 + A2 = 10
a) B (X1, X2)
Prueba de factibilidad
+3X1 +1X2 +2X3 –h1 +A1 = 4 +6X1 +3X2 +5X3 –h2 +A2 = 10
B B-1
3X1 + X2 + 2X3 – h1 + A1 = +4 6X1 + 3X2 + 5X3 – h2 + A2 = +10 b
B-1‧b Por lo tanto la base es factible
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Prueba de optimalidad
3X1 +1X2 +2X3 –1h1 +0h2 +1A1 +0A2 = 46X1 +3X2 +5X3 +0h1 –1h2 +0A1 +1A2 = 10
N
F.O.: +5X1 +2X2 +4X3 +0h1 +0h2 +0A1 +0A2
CB
F.O.: +5X1 +2X2 +4X3 +0h1 +0h2 +0A1 +0A2
CN
CN-CB ‧ B-1 ‧ N =
Por lo tanto la solución no es óptima