UNIVERSIDAD NACIONAL

AUTONOMA DE MEXICO

FACULTAD DE CIENCIAS

Temas del curso de Algebra Superior Ien videos

REPORTE DE ACTIVIDADDOCENTE

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:

MATEMATICO

PRESENTA:

Sebastian Quintanilla Terminel

TUTOR:

Dr. Luis Antonio Rincon Solıs

2017

Indice

Introduccion 2

1. Motivaciones 2

2. Temas de los videos 3

3. Desarrollo del trabajo 4

4. Herramientas utilizadas 6

5. Reflexiones personales 7

Apendices 10

A. Temario del proyecto 10

B. Pagina web del curso 14

C. Temario Algebra Superior I,Facultad de Ciencias UNAM (Plan de Estudios 1983) 15

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Introduccion

Esta actividad de apoyo a la docencia consistio en el desarrollo y la publicacionde 33 videos en los cuales se explican temas del curso de Algebra Superior I, que seimparte en la Facultad de Ciencias de la UNAM. El proyecto se llevo a cabo en sutotalidad del mes de octubre del ano 2015 a julio del 2016.

Los videos son de duracion corta (entre 4 y 12 min.), tienen un estilo visualrelajado (fueron hechos a mano, filmando el papel en el que se escribıa, utilizandomuchos colores) y en ellos se usa un lenguaje coloquial, aunque con un contenidomatematico siempre formal.

Los videos estan alojados en YouTube y pueden ser vistos en el sitio:

www.matematicas.unam.mx/lars/0007/

En este reporte vamos a explicar que fue lo que motivo este proyecto, cuales sonlos temas que cubre, como se llevo a cabo y terminaremos con unas breves reflexionespersonales.

1. Motivaciones

Recientemente, el recurrir a videos en internet para aprender alguna cuestion seha vuelto una actividad comun. Esto puede notarse en la popularidad de sitios comoKhan Academy, Coursera y edX, y tambien en la creciente cantidad de investigacionessobre educacion por videos ([3],[4] y [5]).

Pero son pocos los videos que expliquen temas de matematicas a nivel licenciatura,y son aun mas escasos los que estan en espanol y con una grabacion de buena calidad.Influenciado por los videos del Dr. Luis Rincon y de Khan Academy (ambos me fueronde gran utilidad durante la carrera), surgio la idea de crear material educativo enforma de video, adaptado a alumnos de la Facultad de Ciencias.

Se decidio hacer los videos sobre el curso de Algebra Superior I por una afini-dad personal hacia la materia, y por tratarse de una materia que cubre una granvariedad de temas que son basicos para las carreras de matematicas, actuarıa y fısica(conjuntos, demostracion por induccion y espacios vectoriales son algunos ejemplos).

Una vez con la idea de hacer videos educativos dirigidos a alumnos de la Facultadde Ciencias, fue necesario decidir la forma que estos tendrıan. Se decidio hacer losvideos en un estilo de animacion cuadro por cuadro, filmando un cuaderno de hojasamarillo. Aunque hacer los videos en este estilo fue complicado, lo que se quiso fuehacer videos que resultaran entretenidos visualmente y en los que se mostrara laparte creativa y divertida de las matematicas (que muchas veces resulta difıcil de

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plasmar en material escrito). Ademas, dentro del peculiar estilo de los videos se hizotambien el esfuerzo de imprimir la mayor cantidad de personalidad en ellos. Si bien,en matematicas muchas veces se intenta mantener la personalidad del autor lo masalejada posible del trabajo, bajo el argumento de que las matematicas serıan lasmismas independientemente del autor, para este proyecto se hizo lo contrario, pueses innegable que la personalidad del ensenante influye directamente en la adquisiciondel conocimiento. Para darnos cuenta de esto basta pensar en las veces que hemosrecordado algo solo por la forma en que fue dicho o escrito. Ası, fue deliberado elescribir a mano en los videos y hacer todos los dibujos a mano alzada, poniendo deesta manera mas personalidad en ellos.

2. Temas de los videos

Despues de tener una idea clara del proyecto y de haber establecido la formaque tendrıan los videos, fue necesario ordenar de forma precisa los temas que estosexplicarıan, teniendo especial cuidado en presentarlos en secuencia logica. Esto no fuecomplicado, pues se desarrollo un temario con base en tres temarios que ya cumplıancon esto: el temario oficial de la materia de Algebra Superior I (Apendice C), y lostemarios de los libros de H. Cardenas et al. [1] y A. Lascurain [2]. El temario completose encuentra en el Apendice A de este reporte. Estos dos libros fueron tambien lasprincipales referencias para el contenido individual de los videos. La coleccion devideos esta dividida en cuatro capıtulos, similares a las secciones presentes en eltemario oficial.

El primer capıtulo contiene nociones basicas de la teorıa de conjuntos. En estosvideos se explican que son los conjuntos, sus operaciones, y se llega a conceptos unpoco mas complejos como las funciones inyectivas, suprayectivas y sus inversas.

En el segundo capıtulo, sobre los numeros naturales, se explica como hacer de-mostraciones por induccion y se ven conceptos de combinatoria (ordenaciones con ysin repeticion, permutaciones y combinaciones).

El tercer capıtulo lleva el nombre de Espacios Vectoriales, pero en este solo se veel espacio Rn y sus subespacios, dando de forma implıcita los elementos necesariospara trabajar con espacios vectoriales de forma general. Este capıtulo contiene lademostracion mas complicada del proyecto: que todo subespacio de Rn tiene unabase, y que todas las bases de un mismo subespacio tienen la misma cardinalidad.

Por ultimo, en el cuarto capıtulo se presenta otro ejemplo de un espacio vectorial,el de las matrices con entradas reales. El principal objetivo de este capıtulo es mostrar

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como reducir una matriz a una matriz escalonada para poder calcular su rango confacilidad.

Naturalmente no todos los videos pueden tener la misma estructura, pues notodos los temas pueden explicarse de la misma forma. Ası, cada video se compone deuna combinacion de los siguientes elementos: definiciones, demostraciones, ejemploso ejercicios. El video 16 (II.4) es el unico con caracterısticas distintas. Consta dela presentacion de los conceptos de ordenaciones, haciendo uso de un ejemplo y deanimaciones. No se hicieron mas videos como este puesto que la realizacion de lasanimaciones fue muy tardada.

Es importante mencionar que algunos conceptos son explicados unicamente deforma intuitiva, si dar una definicion formal. Es el caso del concepto de conjunto(video I.1), para el cual no se da la definicion axiomatica. Lo mismo sucede con lasnociones de pareja ordenada (video I.4) y de matriz (IV.1).

3. Desarrollo del trabajo

Despues de crear el temario se hicieron los videos uno por uno. Vamos a explicarel proceso que se llevo a cabo para la realizacion de cada video, desde su planeacionhasta su publicacion en internet.

• Escritura: Cada video se empezo con una lectura del tema a explicar en loslibros [1] y [2], tomando notas de los puntos importantes. A partir de estas notas sehizo un guion visual, con bocetos de las imagenes a mostrar en el video, y luego seescribio un guion auditivo, narrando los bocetos del guion visual.

• Grabacion de video: Con ambos guiones listos, se paso a la grabacion de video.Con una camara filmando un bloc de hojas amarillo, se repodujeron las imagenes delguion visual, algunas veces haciendo cambios en la composicion de la imagen paraque todo apareciera en pantalla, escribiendo cada elemento en el orden deseado.

• Edicion: Despues se edito el video grabado en el paso anterior, tomando laspartes en las que no aparecıan manos escribiendo, y tomando la mayor cantidad decuadros posibles para lograr una animacion fluida.

• Grabacion de audio: Luego de tener todas las imagenes listas, se grabo el guionauditivo, ajustando la duracion de las imagenes para sincronizarlas con el audio. Asıquedaba terminado el video.

• Publicacion: Por ultimo, los videos fueron revisados y publicados en el canal deYouTube de Luis Rincon. Se creo una lista de reproduccion (playlist) en dondelos videos pueden reproducirse en orden. Para acceder a los videos desde YouTube

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es necesario buscar el canal de Luis Rincon en la barra buscadora de YouTube, ydentro del canal entrar a la lista de reproduccion de Algebra Superior I en el apartado“Listas de reproduccion”(Figura 1).

Se creo tambien una pagina web con el fin de brindar una forma mas sencilla deacceder a los videos (Figura 2 y Apendice B). Esta pagina es una extension del sitioweb de Luis Rincon en el servidor del Departamento de Matematicas de la Facultadde Ciencias de la UNAM. En esta pagina se presentan todos los videos en el orden deltemario, y al seleccionar un video este se reproduce automaticamente sin necesidadde salir de la pagina. La direccion de esta pagina es:

www.matematicas.unam.mx/lars/0007/

El numero 0007 es la clave de la asignatura obligatoria de Algebra Superior I,en el plan de estudios 1983 de la carrera de matematicas en la Facultad de Cienciasde la UNAM. Es por esto que este numero aparece tanto en los videos en YouTubecomo en la direccion de la pagina web.

Figura 1: Captura de pantalla de lista de reproduccion en YouTube

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Figura 2: Pagina web del curso

4. Herramientas utilizadas

Vamos a dar una lista de las herramientas que fueron utilizadas para hacer losvideos, con algunos consejos para quien piense llevar a cabo un trabajo similar.

1. Computadora MacBook Pro 2010 con 4GB de memoria RAM y disco de estadosolido con 240GB de almacenamiento. Se recomienda tener al menos 4GB dememoria RAM pues el trabajo de edicion de video es pesado.

a) Para editar los videos se utilizo el programa FinalCut Pro 10.2.1 .

b) Disco duro externo de 1TB. Debido al peso de los videos y al poco es-pacio de almacenamiento de la computadora, este disco duro fue de granutilidad. En total se utilizaron 300GB de este disco duro.

2. Camara Nikon D5100 con lente de 18-55mm montada en un tripie. Se graboel video en 720p a 24 cuadros por segundo, sin sonido. Como la iluminacion

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se hizo con focos amarillos fue necesario ajustar el balance de blancos (whitebalance) de la camara para obtener una reproduccion mas fiel de los colores.

3. Microfono Blue Snowball. La grabacion del microfono de la computadora es demuy mala calidad, por esto se utilizo este microfono externo que se conecta porUSB.

4. Hojas de papel, plumones de colores, tijeras y pegamento. Se recomienda siem-pre tener este material accesible y ordenado para no perder tiempo al momentode grabar.

5. Reflexiones personales

Terminaremos este reporte con dos reflexiones personales que surgieron durantela realizacion de los videos. La primera reflexion es sobre la efectividad de este tipode material.

Comparar la efectividad de la educacion a distancia contra la educacion en unsalon de clases es difıcil [6], pero es un tema sobre el cual vale la pena reflexionar. Porun lado, es importante recalcar que este material no constituye de ninguna maneraun curso completo de Algebra Superior I, puesto que le hace falta la interaccioncon los alumnos (que casi siempre vemos en la forma de ejercicios a resolver). Unpeligro es que estos videos sean considerados un curso completo, pues un alumno quepiense que estos videos son un sustituto a asistir a clases podrıa verse sorprendido, alcomprender un tema cuando lo ve explicado en un video pero no poderlo reproduciren un examen. No se considero necesario incluir ejercicios dentro de este material,pues encontrar ejercicios para estos temas es sencillo (los dos libros de la bibliografıatienen una gran variedad de ejercicios). Ademas, la intencion de este proyecto nuncafue crear un curso completo, sino un complemento para un curso.

Por otro lado, la experiencia de mirar un video exige poco trabajo por partedel estudiante y puede resultar en una experiencia muy pasiva de aprendizaje, locual puede afectar negativamente la adquisicion de los conceptos. En el peor de loscasos, el estudiante (por “estudiante” nos referimos a cualquier persona que veaestos videos) podrıa reproducir uno de estos videos sin poner atencion a lo que seexplica. Sin embargo, una de las ventajas de que este material este en video, es queel estudiante puede repetir tantas veces como desee las partes del video en las cualesno haya puesto atencion, o que no haya comprendido en su totalidad.

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La segunda reflexion concierne al medio por el cual se transmiten los videos. You-Tube es una de las plataformas de difusion de video por internet mas grandes en estemomento, y es por esto que resulto natural publicar los videos ahı. Sin embargo, comoes normal en internet, este sitio esta lleno de distracciones (como videos musicales ode deportes). Debido a las distracciones estudiar matematicas con videos en YouTu-be puede parecer una actividad bastante complicada y poco efectiva. Fue pensandoen esto, que se decidio implementar el sitio web, en el cual pueden reproducirse losvideos evitando la interfaz de YouTube, y evitando ası las distracciones. La dificultadahora esta en tratar que los videos sean mas populares a traves de su sitio web y notanto por YouTube, es decir que la tarea que resta emprender ahora es difundir estapagina. Pero debemos recalcar que el estar publicados en YouTube hace a los videosmucho mas faciles de encontrar por los alumnos, pues entre los resultados principalesen cualquier busqueda por Google uno puede ver videos de YouTube.

En conclusion, como toda forma de material educativo, esta tiene sus ventajas ydesventajas. Aunque estas reflexiones fueron en su mayor parte sobre desventajas,fueron dudas que surgieron durante el desarrollo del proyecto y que fue importantepensar en ellas para darnos cuenta que no se trata de puntos tan negativos. Al final selogro satisfactoriamente el principal objetivo del proyecto: crear material educativoadaptado a las nuevas necesidades y tecnologıas y pensado especıficamente paraalumnos de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Esperamos que este material seade utilidad para los estudiantes, y que a largo plazo pueda contribuir a reducir losındices de reprobacion en la licenciatura en matematicas.

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A. Temario del proyecto

I Conjuntos

1. ¿Que son los conjuntos? Video 1 (4:53 min.)Se explica que son los conjuntos junto con las nociones de pertenencia ysubconjunto, y los conjuntos vacıo y universal.

2. Operaciones de conjuntos Video 2 (9:27 min.)Se definen las operaciones de union, interseccion, diferencia y complementode conjuntos.

3. Propiedades de las operaciones Video 3 (12:07 min.)Se demuestran las leyes distributivas de la union y la interseccion y lasleyes de De Morgan.

3.5. Ejercicio Video 4 (3:12 min.)Se resuelve un ejercicio usando las propiedades demostradas en el videoanterior.

4. Mas operaciones con conjuntos Video 5 (7:20 min.)En este video se definen las operaciones de producto cartesiano, potenciay diferencia simetrica de conjuntos.

5. Relaciones Video 6 (6:15 min.)Se definen las relaciones entre los elementos de dos conjuntos a partir dela operacion de producto cartesiano.

6. Relaciones de equivalencia Video 7 (10:01 min.)Se definen los conceptos de relacion de equivalencia, clase de equivalenciay particion.

6.5. Ejercicio de relaciones de equivalencia Video 8 (5:34 min.)Se resuelve un ejercicio en el cual se prueba que una relacion particular esde equivalencia y se muestran sus clases de equivalencia.

7. Funciones Video 9 (6:58 min.)Se define el concepto de funcion a partir del concepto de relacion.

8. Composicion de funciones Video 10 (12:30 min.)Se explica que es la composicion de dos funciones, se demuestra que esuna operacion asociativa y se definen los conceptos de funcion inversa yfuncion invertible.

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9. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Video 11 (12:22 min.)Se definen estos tres conceptos y se muestra que una funcion es inyectivasi y solo si tiene inversa izquierda, es suprayectiva si y solo si tiene inversaderecha y es biyectiva si y solo si es invertible.

II Naturales

1. Introduccion a los naturales y factorial Video 12 (4:55 min.)Se explica cuales son los numeros naturales y se define la funcion factorial.

2. Induccion matematica Video 13 (5:01 min.)Se explica el metodo de demostracion por induccion.

2.5. Ejercicio de induccion Video 14 (7:53 min.)Se resuelve un ejercicio usando el metodo de induccion.

3. Cardinalidad y conjuntos finitos Video 15 (9:19 min.)Se explica que es la cardinalidad de un conjunto y se demuestran algunaspropiedades de operaciones sobre conjuntos finitos.

4. Ordenaciones con y sin repeticion (ejemplo)

Video 16 (6:55 min.)En este video se muestran ejemplos de ordenaciones con y sin repeticion,y permutaciones. Estos conceptos se formalizan en el siguiente video.

5. Ordenaciones con y sin repeticion (formal)Video 17 (8:57 min.)Se definen formalmente los conceptos vistos en el video anterior y se de-muestran las formulas que se usan para calcularlos.

6. Combinaciones Video 18 (7:30 min.)Se explica que son las combinaciones, se calcula cuantas son y se demues-tran tres propiedades de las combinaciones.

7. Dos teoremas sobre combinaciones Video 19 (12:26 min.)Se enuncian y demuestran dos teoremas: el teorema de Pascal y el teore-ma del binomio. Ademas se explica la relacion de estos resultados con eltriangulo de Pascal.

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III Espacios Vectoriales

1. El plano cartesiano R2 Video 20 (7:16 min.)Se define el plano cartesiano como un ejemplo de espacio vectorial, consus operaciones y su interpretacion geometrica.

2. Rn Video 21 (8:14 min.)En este video definimos al espacio vectorial Rn y explicamos por que sellama espacio vectorial.

3. Subespacios vectoriales Video 22 (11:11 min.)Se explica que es un subespacio vectorial con ejemplos en R2, R3 y Rn.

4. Combinaciones lineales y subespacio generadoVideo 23 (10:54 min.)Se explica que son las combinaciones lineales de vectores. Se demuestrantres de sus propiedades y se definen los subespacios generados por unconjunto de vectores.

5. Independencia lineal Video 24 (10:36 min.)Se define la dependencia lineal de un conjunto de vectores, y a partir deesta definicion se explica que significa que un conjunto de vectores sealinealmente independiente.

6. Un teorema sobre dependencia lineal Video 25 (10:49 min.)En este video se ve un teorema sobre conjuntos linealmente dependientesde vectores.

7. Bases Video 26 (6:03 min.)Se definen las bases de subespacios vectoriales y se dan varios ejemplos debases, entre ellos la base canonica de Rn.

8. Existencia de bases y dimension Video 27 (9:08 min.)Se demuestra que para cualquier subespacio de Rn existe una base, y sedefine la dimension de un subespacio.

IV Matrices

1. Matrices Video 28 (6:37 min.)En este video se definen las matrices con sus vectores renglon y colum-na, y se ven cuatro tipos particulares de matrices: matrices cuadradas,triangulares, diagonales y escalonadas.

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2. El espacio de matrices Video 29 (7:14 min.)Se definen la suma de matrices, el producto de una matriz por un escalary se ve que el conjunto de las matrices con estas dos operaciones es unespacio vectorial.

3. Rango Video 30 (5:53 min.)Se explica que es el rango de una matriz y se demuestra una proposicionpara calcular el rango de matrices escalonadas.

4. Operaciones elementales Video 31 (8:10 min.)Se definen tres operaciones elementales para renglones de una matriz, sedefinen las matrices equivalentes, y se muestra que estas operaciones noalteran el rango de una matriz.

5. Escalonar una matriz Video 32 (3:39 min.)En este video se muestra, con un ejemplo, como escalonar una matriz, yse explica como sirve esto para calcular el rango de matrices.

6. Determinantes Video 33 (5:25 min.)Se explica como calcular determinantes de matrices de 2× 2 y de 3× 3, yse muestra un uso de los determinantes.

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B. Pagina web del curso

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C. Temario Algebra Superior I, Facultad de Cien-

cias UNAM (Plan de Estudios 1983)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

Facultad de Ciencias

Plan de estudios de la Licenciatura en

Matemáticas

Álgebra Superior I

Clave 0007

Semestre 1

Créditos 10

Área de conocimiento Campo Etapa

Modalidad Curso ( X ) Taller ( ) Lab ( ) Sem ( )

Tipo T ( X ) P ( ) T/P ( )

Carácter Obligatorio ( X ) Optativo ( ) Obligatorio E ( ) Optativo E ( )

Horas

Semana Semestre Teóricas 5 Teóricas 80 Prácticas 0 Prácticas 0 Total 5 Total 80

Seriación

Ninguna ( )

Obligatoria ( ) Asignatura antecedente

Asignatura subsecuente

Indicativa ( X ) Asignatura antecedente

Ninguna

Asignatura subsecuente

Álgebra Superior II Calculo Diferencial e Integral III Taller de Modelación I

Objetivo general: x Conocer y manejar los conceptos fundamentales del álgebra, como son: conjuntos, funciones,

y los números naturales. Resolver sistemas de ecuaciones lineales. Objetivos específicos: x Conocer los fundamentos de la Teoría de Conjuntos y sus aplicaciones en numerosos campos

de las matemáticas.

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x Comprender los conceptos de función y relación así como sus principales propiedades. x Conocer las propiedades de los números naturales y sus aplicaciones, así como los principios

del cálculo combinatorio. x Comprender los conceptos fundamentales del Álgebra Lineal y sus aplicaciones. x Conocer y aplicar los conceptos elementales del álgebra de matrices. x Comprender las ideas relacionadas con la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Índice temático

Tema Horas

semestre Teóricas Prácticas

1 Conjuntos 12 0 2 Relaciones y funciones 19 0 3 Números naturales y cálculo combinatoria 12 0 4 Espacios vectoriales 12 0 5 Matrices y determinantes 13 0 6 Sistemas de ecuaciones lineales 12 0

Subtotal 80 0 Total 80

Contenido Temático

Tema y subtemas 1 Conjuntos

1.1 Noción intuitiva e igualdad de conjuntos. Subconjuntos. Conjunto vacío,

Conjunto Universal. 1.2 Operaciones con conjuntos: unión, intersección, complemento y diferencia. 1.3 Conjunto potencia. Producto cartesiano. Familias de conjuntos.

2 Relaciones y funciones 2.1 Relaciones (dominio, codominio e imagen). 2.2 Funciones (imágenes e imágines inversas). 2.3 Composición de funciones. Función inversa. 2.4 Funciones inyectias, suprayectivas y biyectivas. 2.5 Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos. Funciones entre conjuntos finitos. 2.6 Relaciones de equivalencia y particiones.

3 Números naturales y cálculo combinatoria 3.1 Los números naturales. Principio de inducción. 3.2 Cálculo combinatorio: ordenaciones con repetición, ordenaciones,

permutaciones y combinaciones. 3.3 Teorema del binomio. Relaciones entre coeficientes binomiales.

4 Espacios vectoriales 4.1 Los espacios ℝ2 y ℝ3. Interpretación geométrica. 4.2 El espacio vectorial ℝn.

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4.3 Subespacios. Combinaciones lineales. Subespacio generado por un conjunto de vectores.

4.4 Dependencia e independencia lineal. 4.5 Bases. Dimensión.

5 Matrices y determinantes 5.1 Matrices, definición y operaciones. Transpuesta de una matriz. 5.2 Operaciones elementales: Matrices escalón reducidas. Rango de una matriz. 5.3 El determinante de una matriz cuadrada: definición y propiedades. 5.4 Cálculo de determinantes. 5.5 Caracterización del rango de una matriz por medio del determinante.

6 Sistemas de ecuaciones lineales 6.1 Sistemas, soluciones, matriz y matriz aumentada. 6.2 Criterios de existencia de soluciones. 6.3 Regla de Cramer. 6.4 Espacio de soluciones de un sistema no homogéneo. 6.5 Resolución de sistemas (eliminación).

Estrategias didácticas Evaluación del aprendizaje Exposición ( X ) Exámenes parciales ( X ) Trabajo en equipo ( ) Examen final ( X ) Lecturas ( ) Trabajos y tareas ( X ) Trabajo de investigación ( ) Presentación de tema ( ) Prácticas (taller o laboratorio) ( ) Participación en clase ( X ) Prácticas de campo ( ) Asistencia ( ) Aprendizaje por proyectos ( ) Rúbricas ( ) Aprendizaje basado en problemas ( ) Portafolios ( ) Casos de enseñanza ( ) Listas de cotejo ( ) Otras (especificar) Otras (especificar)

Perfil profesiográfico Título o grado Matemático, físico, actuario o licenciado en ciencias de la computación. Experiencia docente Con experiencia docente Otra característica Especialista en el área de la asignatura a juicio del comité de asignación

de cursos

Bibliografía básica: x Cárdenas, H., Lluis, E., Raggi, F., Tomás, F., Álgebra Superior. México: Ed. Trillas, 1974. x Nachbin, L., Álgebra Elemental. Washington, USA: Secretaría General de la OEA, Programa

Regional de Desarrollo Científico y Tecnológico.,1986

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Bibliografía complementaria: x Dodge, C. W., Logic and Numbers. Boston: Weber & Schmidt, 1969. x Friedberg, S. H., Insel, A. J., Spence, L. E., Álgebra Lineal. México: Publicaciones Cultural,

1986. x Gentile, E. R., Aritmética Elemental. Washington: OEA, 1985. x Grimaldi, R. P., Matemáticas Discreta y Combinatoria. México: Sistemas Técnicos de

Edición, 1998. x Grossman, S. I., Álgebra Lineal. México: McGraw-Hill, 1996. x Halmos, P. R., Teoría Intuitiva de los Conjuntos. México: Ed. Continental, 1973. x Hoffman, K., Kunze, R., Álgebra Lineal. Bogotá: Prentice Hall Internacional, 1973. x Lang, S., Álgebra Lineal. México: Sistemas Técnicos de Edición, 1986. x Niven, I. M., Zuckerman, H. S., Introducción a la Teoría de los Números. México: Limusa-

Wiley, 1969.

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Referencias

[1] Algebra Superior, H. Cardenas, E. Lluis, F. Raggi y F. Tomas. 1990, EditorialTrillas.

[2] Algebra Superior I, A. Lascurain. 2001, Las Prensas de Ciencias.

[3] Exploring the video-based learning research: A review of the literature, Michail N.Giannakos. 2013, British Journal of Educational Technology.

[4] Video Streaming in Online Learning, T. Hartsell, S. Yuen. 2006, AACE Journal.

[5] The effect of mobile phone screen size on video based learning, N. Maniar, E.Bennett, S. Hand, G. Allan. 2008, Journal of Software.

[6] What’s the Diference?A Review of Contemporary Research on the Efectivenes ofDistance Learning in Higher Education, R. Phips, J.Merisotis. 1999, Institute forHigher Education Policy.

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