Modelo y Anlisis Cinemtica de un

Robot

de 6 Grados de Libertad

Profesor: Dr. Jesus Patricio Ordz Oliver

Alumnos

Miguel Angel Camargo Blancas

Marco Jasiel Percastre Mndez

Universidad Politcnica de Pachuca

Departamento de Ingeniera Mecatrnica

Asignatura : Cinemtica de Robots

Introduccin

La robtica es un campo relativamente joven de la tecnologa moderna y

experimento entre las dcadas de los setenta y ochenta un notable auge, llegando

a los noventas a los que muchos han considerado su mayora de edad

caracterizada por la estabilizacin de la demanda , aceptacin y reconocimiento

pleno en la industria.

El trmino robot fue introducido por primera vez en nuestro vocabulario por el

dramaturgo checo KarelCapek, la palabra robota es la palabra checa para trabajo.

Desde entonces, el trmino se ha aplicado a una gran variedad de dispositivos

mecnicos, tales como los teleoperadores , vehculos submarinos, etc.

Prcticamente cualquier cosa que funciona con algunos grado de autonoma , por

lo general bajo control del ordenador , ha sido en algn momento llamado un robot

.

En el siguiente documento se emplearon los fundamentos de la robtica obtenidos

en curso de Cinemtica de Robots impartido por el Dr. Jess patricio Ordaz Oliver,

incluyendo la cinemtica de posicin, velocidades y aceleraciones directas he

inversas de un robot de seis grados de libertad (6 Dof), tipo PRRRRR, con una

mueca esfrica como efector final. El objetivo de este trabajo es proporcionar el

anlisis cinemtico del robot, as como el desarrollo de diferentes mtodos para la

obtencin de parmetros tales como posicin, velocidad, aceleracin del robot.

Descripcin del brazo del robot

A continuacin se describir el siguiente Robot en el cual se llevaran a cabo los

anlisis de las distintas cinemticas as como el modelado. A lo largo del

documento se explicaron conceptos clave para comprender los distintos anlisis y

estudios a los cuales que ser sometido el Robot.

Definicin de Robot Manipulador

Un robot manipulador es un dispositivo electromecnico reconfigurable y

reprogramable diseado para realizar una tarea como mover piezas, pintar o

soldar mediante la programacin de una tarea asignada.

Eslabones y Articulaciones

Mecnicamente los robots esta formados por conjuntos eslabones, los cuales son

elementos mecnicos los cuales pueden ser de dos tipos los cuales son rotacional

denotado por una letra R o prismtico representado por una letra P.

Las articulaciones permiten el movimiento relativo entre dos eslabones

consecutivos, en el figura 1.1 se muestras los tipos de movimientos de las

articulaciones.

Figura 1.1 Tipos de articulacin simbologa en 2D y 3D

Efector Final

Es la parte ultima del extremo del brazo robot, por lo general es una herramienta

ya sea una pistola de pintura, taladro, pinza, o cabeza de soldadura. Esta es la

encargada de realizar la tarea asignada.

Coordenadas Generalizadas

Las coordenadas generalizadas representan un punto nico dentro de un espacio

(cartesiano, polar, esfrico) y se define como la n-upla de puntos nicos3

1 2:{q ,q ,...q }Xnq

Figura 1.2 A) Representacin de un nico punto en el espacio cartesiano 2D

B) La representacin de un punto en un espacio 3D

Grados de Libertad o DoF (DeF del ingles Degree of Freedom)

El moviente relativo permitido entre la articulacin y el eslabn se denomina

grados de libertad. Un grado de libertad es definido como el numero de

coordenadas generalizadas menos el numero de restricciones. Se muestran en la

Figura 1.3 los grados de libertad de las articulaciones ms comunes de un robot.

Figura 1.3 Grados de libertad de las articulaciones ms usadas en los robots

Estructura de un Robot

Un robot en general cuenta con cinco subsistemas por los cuales est constituido.

Figura 1.4

Subsistema Mecnico: eslabones, articulaciones, actuadores, etc.

Subsistema Elctrico: fuente de alimentacin, tarjeta de adquisicin de datos,

etapa de potencia, etc.

Subsistema Percepcin: sensores (pticos, numricos, resistivos, mecnicos,

etc.), cmaras, etc.

Subsistema de control: cinemtica, dinmica, acciones de control (matemticas

del robot).

Subsistema comunicacin: Lenguaje de programacin.

Figura 1.5 Morfologa de un Robot

Espacio de trabajo o Work Space (WS)

El espacio de trabajo de un robot manipulador es volumen total por donde podra

posicionarse y moverse el efector final del robot. Como ejemplo se muestra el WS

de un robot esfrico RRP Figura 1.6

Figura 1.6 Espacio de Trabajo de un Robot esfrico

Una vez consientes de los conceptos clave de la morfologa de un robot se podr

continuar con el estudio del robot que a continuacin se describe en la figura X .

Brazo Robot PRRRRR (Prismtico, Rotacional, Rotacional, Rotacional, Rotacional,

Rotacional) el Brazo Robot cuenta con una mueca esfrica encargada de orientar

al efector final del robot que por lo general es una herramienta.

Figura 1.7 Diagrama del Robot completo con la mueca esfrica

Es de tipo Esfrico ya que sus movimiento y su Espacio de Trabajo (WS) es

representado por reas esfricas. Con las diferentes vistas podremos ver el

espacio del trabajo del robot (Figura 1.7)

Figura 1.7 Vistas del WS del Robot PRR con mueca esfrica

El movimiento del robot est limitado por el numero de grados de libertad como se define

anteriormente los grados de libertad representan el movimiento relativo entre dos

eslabones y se define como DoF= Nmero de coordenas generalizadas - Nmero de

restricciones. Se muestra el numero de coordenada Generalizadas en la Figura 1.8

Figura 1.8 19 Coordenadas generalizadas y 12 restricciones, encontramos un Robot de 6 Grados de libertad

Singularidad en el Robot

Una singularidad es cuando el jacobiano de la posicin es nulo es decir que se

indeterminada. El punto mximo del WS es cuando q3 alcanza los lmites del WS es este

caso cada mltiplo de / 2pi indeterminada al robot ya que el jacobiano se hace nulo

con estos valores.

2 2det(Jq) 2 * ( 3) * ( 2)l cos q sin q

Anlisis Cinemtica del Robot PRR con mueca esfrica

Cinemtica de un Robot Manipulador

La cinemtica del robot estudia el movimiento del mismo respecto a un sistema de

referencia. As la cinemtica se interesa por la descripcin analtica del movimiento

espacial del robot as las relaciones que existen entre la posicin y la orientacin del

extremo final del robot con los valores que toman sus coordenadas articulares.

Cinemtica directa

Consiste en determinar cul es la posicin y orientacin del extremo del robot final, con

respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, conocidos como

valores articulares.

Cinemtica inversa

Resuelve la configuracin que debe adoptar el robot para una posicin y orientacin del

extremo conocidas.

Desacople cinemtico

Desacoplo cinemtico: El mtodo geomtrico es de gran utilidad para la obtencin de las

tres primeras variables articulares del robot, pero al tener un nmero mayor de variables

articulares se vuelve ms complejo, es por ello que se utiliza el desacoplo cinemtica que

consta de seccionar el robot que a partir de relaciones en las transformaciones se puedan

obtener todas aquellas variables articulares que son desconocidas

El Desacople cinemtica permite separar al Robot de 6 DoF (PRRRRR) en dos robots,

esto permite que determinar la cinemtica de cada uno sea ms sencillo ya que se tiene

dos robots de 3 DoF uno de tipo PRR y la mueca esfrica del tipo RRR. Figura 2.1

Mtodo Geomtrico para cinemtica directa

Este mtodo se basa en encontrar suficiente

nmero de relaciones geomtricas para

hallar la posicin o efector final del robot con

ayuda de coordenadas articulares y

dimensiones fsicas de cada articulacin.

Este mtodo es muy til para robots de

menos de tres grados de libertad ya que con

cada grado de libertad ms que contenga el

robot las relaciones geomtricas se hacen

ms complejas. Figura 2.2 y por la Ecuacin

de posicin 1.1

Figura 2.1 Desacople las 3 primeras articulaciones y la mueca esfrica

2 2 3

1 2 2 3

1 1 2 3

cos(q ) l cos(q )

(x, y, z) sin(q ) l cos(q )

sin(q )

q

d l l

Ecuacin 1.1

Figura 2.2 Primeras tres articulaciones del Robot obtenidas por mtodo geomtrico

Mtodo de Denavit y Hartenberg:

Es un mtodo sistemtico para describir

y representar la geometra espacial de

un robot con respecto a un sistema de

referencia fijo. Se basa en una matriz

de trasformacin homognea que

describe la relacin espacial entre dos

elemento rgidos adyacentes, con esto reduce el problema de cinemtica directa a solo

encontrar una matriz de transformacin homognea que relacione la localizacin espacial

del efector final en base al sistema de coordenadas de su base. En general el mtodo D-H

es muy empleado para obtener la cinemtica directa de robots manipuladores, adems

una caracterstica muy importante, es que se pueden anexar los parmetros de otro robot

y as obtener la cinemtica directa de la unin de dos robots. En este caso es de muy

importante ya que como se menciono anteriormente el robot se desacoplo en 2 robots

para una fcil obtencin de sus cinemticas.

Para obtener los cuatro parmetros de D-H , , ,i i i ia d solo dependen de las

caractersticas geomtricas de cada eslabn y de las articulacin inmediatas la anterior y

la siguiente.

1a Es a la distancia a lo largo del eje Xi que va desde la interseccin del eje Zi-1 con el

eje Xi hasta el origen del sistema i-esimo, en el caso de articulaciones giratorias. En el

caso de articulaciones prismticas, se calcula como la distancia ms corta entre los ejes

Zi-1 y Zi.

i Es el ngulo de separacin del eje Zi-1 y el eje Zi, medido en un plano perpendicular al

eje Xi, utilizando la regla de la mano derecha.

1d Es la distancia a lo largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)-

esimo hasta la interseccin del eje Zi-1 con el eje Xi. Se trata de un parmetro variable en

articulaciones prismticas.

i Es el ngulo que se forma entre Xi-1 y Xi medido en un plano perpendicular al eje Zi-1,

utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parmetro variable en articulaciones

giratorias.

Matriz general de trasformacin homognea de los parmetros de D-H

10

0 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i

i

i

c s c s s a c

s c c c s a sA

s c i d

Matriz de transformacin homognea (T) se define como una matriz de 4x4 que

representa la transformacin de un vector de coordenadas homogneas de un sistema de

coordenadas a otro.

3 3 3 1

1 3 1 1

x x

x x

R p Rotacin Posicin

T

f w Prespectiva Escala

Nota: en robtica se emplea la siguiente notacin Sin(q1+q2) se representa S12 al igual

que Cos(q1+q2) C12 si se estuviera multiplicando Sinq1*Sinq2 S1S2.

Parmetros D-H del Robot

1

*

1

*

1 2

*

2 3

1 0 02

2 0 02

3 02

4 0 0

i i i i il a d

pid

piq

pil

l

Matrices de trasformacin de los parmetros de D-H

1 2

1 1

1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

T Td q

2 2 3 3 2 3

2 2 3 3 2 3

3 4

1

cos( ) 0 sin( ) 0 cos( ) sin( ) 0 cos(q )

sin( ) 0 cos( ) 0 sin( ) cos( ) 0 sin(q )

0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

q q q q l

q q q q lT T

l

Figura 2.3 Robot PRR sus nuevos sistema de referencias

Matriz de trasformacin final, la ltima columna representa la posicin la cual es la misma

que se obtuvo por mtodo geomtrico (Ecuacin 1.1) por lo que se corrobora que es

correcta.

2

cos(q2)*cos(q3) -cos(q2)*sin(q3) sin(q2) l2*cos(q2)*cos(q3)

cos(q3)*sin(q2) -cos(q2)*sin(q3) cos( ) q1 + l2*cos(q3)*sin(q2)

sin(q3) cos(q3) 0 d1 + l1 + l2*sin(q3)

0 0 0 1

t

qT

Mueca esfrica

La mueca esfrica es la encargada de determinar la posicin y del efector final o del la

herramienta, en este caso en especifico por cuestiones prcticas se determino que la

mueca esfrica tendra distancias cero por lo que nicamente orientara a la herramienta.

Parmetros DH de la mueca

*

4

*

5

*

6

1 0 02

2 0 02

3 0 0 0

i i i i il a d

pi

pi

4* 5* 6 6 7

cos(q4) 0 -sin(q4) 0 cos(q5) 0 sin(q5) 0 cos(q6) -sin(q6) 0 0

sin(q4) 0 cos(q4) 0 sin(q5) 0 -cos(q5) 0 sin(q6) cos(q6) 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

t t tT T T

4,5,6

s4s6 + c4c5c6 c6s4 - c4c5s6 c4s5 0

c5c6s4 - c4s6 - c4c6- c5s4s6 s4s5 0

-c6*s5 s5*s6 c5 0

0 0 0 1

tT

Cinemtica de todo el robot

Como la esfera se le dio valores de ceros en sus distancias estas no afectan a la posicin

del robot pero sin en su orientacin. La cinemtica directa de todo el robot se da

anexando las 2 tablas de parmetros de D-H colocando a la mueca esfrica como el

efector final del primer robot PRR.

La cinemtica final de todo el Robot queda de la siguiente manera agregando la mueca

esfrica con distancias ceros. Ecuacin 1.2

2 2 3

1 2 2 3

1 1 2 3

cos(q ) l cos(q )

(x, y, z) sin(q ) l cos(q )

sin(q )

q

d l l

Ecuacin 1.2

Cinemtica inversa

Para obtener los valores que necesitan tomar los eslabones y articulaciones es necesario

obtener la cinemtica inversa de posicin, existen mtodos para obtener la cinemtica

inversa de posicin.

Mtodo geomtrico

Matrices homogneas

Desacople cinemtica

Cuaterniones

En este caso como se menciona al principio se emplea el desacople mecnico para sacar

los tres primeros valores de cada eslabn, seccionando al robot de 6 grados de libertad

en uno de 3 DoF y su efector final que ser la mueca esfrica de 3 Dof.

Mediante el mtodo geomtrico

Se pueden obtener los 3 primeros valores de 1 2 3, ,nq q q q mediante relaciones

geomtricas ya que la complejidad del los primeros tres eslabones del robot es

relativamente sencilla y es posible obtener estos valores por medio de este mtodo. Con

ayuda de las siguientes relaciones trigonomtricas se pudieron obtener las inversas de

posicin .

2

3

2

x=(Pz-d1-l1)

( 2 ) (( 1 1

tan 2(x,r)

)r

q i

l Pz

a

d

nv

l

2 2

2 tan 2(s

( ( )

,P )

)

x

s

q i

r Px

nv a

1q inv Py s

Figura 2.4 Relaciones trigonomtricas utilizadas para calcular las inversas de posicin

Cinemtica inversa de mueca esfrica

Dado el desacoplo cinemtica que se realiz con el robot obtendremos la cinemtica

inversa de la mueca esfrica a travs de sus rotaciones ngulos de Euler, y se tiene la

rotacin general como:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

C C S C C S S S S C S C R R R

R S C C C S S S C S S S C R R R

S C S C C R R R

De la matriz anterior se pueden obtener las siguientes relaciones.

3211 32

3321 33

31

2 2 2

2 231

R

R

1

1 C 1

RR C C C S S

C

RR S C C C C

C

R S

S C S C

C S R

Despejando las relaciones para obtener las variables desconocidas , , se muestra

que:

31

231

231 31

32 32

33 33

32

33

sintan =

cos 1

arctan / 1

/ Csintan = =

cos / C

arctan

R

R

R R

R R

R R

R

R

11

21

21

11

21

11

/

/

tan

=arctan

C R C

S R C

R

R

R

R

Cinemtica directa de velocidad

La relacin entre las velocidades de las coordenadas articulares y las de la posicin y

orientacin del robot se les denomina matriz jacobina . La matriz jacobina directa permite

conocer las velocidades del extremo del robot a partir de los valores de las velocidades de

cada articulacin, y la matriz jacobina inversa permite conocer las velocidades articulares

necesarias para obtener unas velocidades determinadas en el extremo del robot .

Posicin

2 2 3

1 2 2 3

1 1 2 3

cos(q ) l cos(q )

(x, y, z) sin(q ) l cos(q )

sin(q )

q

d l l

Jacobino

2 2 3 2 2 3

2 2 3 2 2 3

2 3

0 sin(q )*l *cos(q ) cos(q )*l *sin(q )

(x, y, z) 1 cos(q )*l *cos(q ) -sin(q )*l *sin(q )

0 0 l *cos(q )

Jq

La cinemtica de velocidad est dada por:

12 2 3 2 2 3

2 2 3 2 2 3 2

2 3 3

0 sin(q )*l *cos(q ) cos(q )*l *sin(q )

(x, y, z) 1 cos(q )*l *cos(q ) -sin(q )*l *sin(q )

0 0 l *cos(q )

q

Jq q

q

Cinemtica inversa de velocidad

Se define como:

1*V

n qq J xyz

2 2 3 2 2 3 3

2

2

2 2cos(q2)1

sin(q2)0 cos(q )sin(q ) cos(q )sin(q )

1q 0 *

l2*cos(q3

( 3)* ( 2) ( 3)* ( 2)

( 3)* ( 2)

( 2)* ( 3)

2* ( 3))*sin(q2)

10 0

l2*cos(q )

* ( 2)

3

n

sin q cos q sin q sin q

cos q sin q

cos q sin q

l cos q s

l q l q

qin q

1 2 3 2 3 2 2 2 3

2 3 3

sin(q )sin(q ) l q cos(q )sin(q )

0 0 l q cos(q )

l q

2 21 ( 2( 2 2 3 2 2 3 2) 3)) / 2 2 3 2 3 ( 2 3 ( 3 2 3 2 )) / 2 2

(l2q2c3s2 + l2q3c2s3)/(l2c3)s2) - (q3c2s3)/(c3s2)

q3

2 2 3

n

q c l q c s l q c s

q

s l q s s l q p s c s s s l q c c

Cinemtica de Aceleracin

Se define como:

Se pude ver el cdigo de la comprobacin numrica en la seccin de Anexos, Anexo 3.

= J J *q q nd da V xyz q xyz qdt dt

10 l2*sin(q2)*sin(q3) - l2*cos(q2)*cos(q3) l2*sin(q2)*sin(q3) - l2*cos(q2)*cos(q3)

0 - l2*cos(q2)*sin(q3) - l2*cos(q3)*sin(q2) - l2*cos(q2)*sin(q3) - l2*cos(q3)*sin(q2) *

0 0 -l2*sin(q3)

q

a

2

3

12 2 3 2 2 3

2 2 3 2 2 3 2

2 3 3

0 sin(q )*l *cos(q ) cos(q )*l *sin(q )

1 cos(q )*l *cos(q ) -sin(q )*l *sin(q )

0 0 l *cos(q )

q

q

q

q

q

- q2*(l2*c2*c3 - l2*s2s3) - q3*(l2*c2c3 - l2*s2s3) - l2*q2*c3s2 - l2*q3*c2s3)

q1 - q2*(l2*c2s3 + l2*c3q2) - q3*(l2*c2s3 + l2*c3s2) - l2*q3*s2s3 + l2*q2*c2c3)

l2*(q3*c3 - q3*s3)

a

Cinemtica de aceleracin inversa

1 J q nd

a J qn dt

q

2 2

3

1 ( 2*( 2* 2* 3 2 2* 3* 2* 3)) / 2 2* 3* 2 3 ( 2* 3*( 3 2 3)* 2 )) / 2 2

(l2*q2*c3s2) + l2*q3*c2s3)/(l2*c3*s2) - (q3*c2*s3)/(c3*

* 2* 3

2)

2

sn

q c l q c s l q c s s l q s s l q s c s s s l q c

q

q

c

Simulacin en Matlab del Robot

Matlab ofrece la Toolbox de robtica con la cual se pude obtener una simulacin de los

movimiento que puede hacer el robot, as como asignar valores y verificar si es correcto el

anlisis cinemtico.

Simplemente se debern de introducir los parmetros de D-H que anteriormente se

obtuvieron. en la Figura 2.5 se pude observar el modelo de nuestro robot. El cdigo de la

simulacin se pude ver como el anexo 5 al final del documento.

Figura 2.5 Simulacin del Robot en Matlab con ayuda de la Toolbox de robtica

Anexos y resultados

1 Trasformacin total por medio de Parmetros D-H para la obtencin de la cinemtica

directa

clear all; close all; clc;

syms d1 q1 q2 q3 l1 l2 q4 q5 q6 d2; t1=[1,0,0,0;0,0,1,0;0,-1,0,d1;0,0,0,1] t2=[1,0,0,0; 0,0,-1,0;0,1,0,q1;0,0,0,1] t3=[cos(q2), 0, sin(q2), 0; sin(q2), 0, -cos(q2), 0; 0, 1, 0, l1;

0,0,0,1] t4=[cos(q3), -sin(q3), 0, l2*cos(q3); sin(q3), cos(q3), 0, l2*sin(q3);

0,0,1,0;0,0,0,1] t5=[cos(q4), 0, -sin(q4), 0; sin(q4), 0, cos(q4), 0; 0,-1, 0, 0; 0,0,0,1] t6=[cos(q5),0,sin(q5),0; sin(q5), 0,-cos(q5), 0;0,-1,0,0;0,0,0,1] t7=[cos(q6), -sin(q6), 0, 0; sin(q6),cos(q6),0,0; 0,0,1,0;0,0,0,1]

tf=t1*t2*t3*t4t5*t6*t7 tfs=simplify(tf)

2 Comprobacin por medio de MatLab las cinemticas inversas

clear all; close all; clc; q1=.5; q2=pi/4;

q3=-pi/3; %q3 deve de ser menor a 90 sino se indetermina q3 y q2 ya que

su determnate del jacobiano del q2 depende del q3

d1=0; l1=.5; l2=.5;

Px=cos(q2)*l2*cos(q3) Py=q1+sin(q2)*l2*cos(q3) Pz=d1+l1+l2*sin(q3)

r=(((l2^2)-((Pz-d1-l1)^2)))^.5; q3i=atan2((Pz-d1-l1),r);

s=(((r^2)-((Px)^2)))^.5; q2i=atan2(s,Px);

q1original=q1; q1i=Py-s;

Pxyz=[Px;Py;Pz] qoriginales=[q1; q2; q3] qinversos=[q1i;q2i;q3i]

3 Comprobacin de velocidad directa as como su inversa y aceleracin directa e inversa

syms l2 q2 q3 q1p q2p q3p q1pp q2pp q3pp % l2=.5; % q2=pi/4; % q3=pi/4; % % q1p=0.1; % q2p=0.5; % q3p=0.3; % % q1pp=.2; % q2pp=.3 % q3pp=.6

qp=[q1p;q2p;q3p] qpp=[q1pp;q2pp;q3pp] Jq=[0, -sin(q2)*l2*cos(q3), -cos(q2)*l2*sin(q3); 1, cos(q2)*l2*cos(q3), -

sin(q2)*l2*sin(q3); 0, 0, l2*cos(q3)] % z=det(Jq) % simplify(z)

%velocidad velq=Jq*qp clear q1p q2p q3p %velocidad inversa inv(Jq) qpi=inv(Jq)*(velq)

simplify (qpi)

%aceleracion

clear q1pp q2pp q3pp Jqt=[0, -(cos(q2)*l2*cos(q3))+(sin(q2)*l2*sin(q3)), sin(q2)*l2*sin(q3)-

(cos(q2)*l2*cos(q3)); 0, -(sin(q2)*l2*cos(q3))-cos(q2)*l2*sin(q3), -

(cos(q2)*l2*sin(q3))-(sin(q2)*l2*cos(q3)); 0, 0, -l2*sin(q3)] A=(Jqt*qp)+(Jq*qpp) simplify(A)

qppinv=(inv(Jq))*(A-Jqt*qp)

simplify(qppinv)

4 Simulacin del Robot con la Toolbox de Robtica de Matlab

clear all; close all; clc;

q1=.5; q2=pi/4; q3=pi/4;

d1=.5; l1=.5; l2=.5;

Px=cos(q2)*l2*cos(q3); Py=q1+sin(q2)*l2*cos(q3); Pz=d1+l1+l2*sin(q3);

Pxyz=[Px;Py;Pz]

L1=link([ -pi/2, 0, 0, 0, 1], 'standard'); L2=link([ pi/2, 0, 0, 0, 1], 'standard'); L3=link([ pi/2, 0, 0, .5, 0], 'standard'); L4=link([ 0, .5, 0, 0, 0], 'standard'); r=robot({L1,L2,L3,L4})

q1=.5; q2=.5; q3=pi/4; q4=pi/4; % % q2=1*.001:2; % % q3=[0:0.1:2*(pi)]; % % q4=[0:0.1:2*(pi)];

q=[q1;q2;q3;q4]'; q1=0; q2=.5;

q3=0; q4=0;

plot (r, q) drivebot(r)

Bibliografa

Barrientos Antonio, Aracil Rafael., Fundamentos de Robtica, Segunda Edicin, Editorial

McGrow Hill.

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