repaso general de teoria de conjuntos

TEORIA GENERAL DE CONJUNTOS

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MATERIAL DE APOYO PREPARATORIO AL CURSO.

ELABORADO POR: PROF. HENRY AJQUEJAY Página 1

REPASO GENERAL DE TEORIA DE CONJUNTOS

DEFINICION DE CONJUNTO:

Sin duda ud, ya esta familiarizado con los siguientes conceptos de la teoría básica de conjuntos.

Conjunto es una agrupación de objetos distintos. Un objeto en un conjunto se llama elemento de un conjunto;

generalmente, nombramos un conjunto con una letra mayúscula como A o B y un elemento de un conjunto se lo

denomina con una letra minúscula como x . Para indicar que x es un elemento del conjunto A escribimos

x A∈

FORMAS DE REPRESENTAR UN CONJUNTO:

Un conjunto se puede representar de tres formas: haciendo uso de los elementos del conjunto llamado forma

enumerativa o estableciendo la propiedad que determina los elementos del conjunto llamado también forma descriptiva. En

ambos casos se utilizan corchetes { } ; por ejemplo, el conjunto D que consta de los números 5, 10 y 15 puede denotarse

por:

{ } { }5,10,15 o / 5 , 1,2,3D D x x n n= = = =

El ultimo se lee “conjunto de todos los números x tal que 5x n= , en donde 1, 2,3n = ”. Existe otra forma más

conveniente de representar un conjunto y esto es de forma grafica con el uso de diagramas de Venn, donde se escriben o

dibujan todos los elementos involucrados en el o los conjuntos a representar. Es indispensable representar al mismo tiempo

un conjunto de todos los elementos en consideración; esto es, un conjunto universal. En este caso del ejemplo lo

denotaremos arbitrariamente con S , donde S en este ejemplo vamos a suponer que es el conjunto de todos los números

que existen.

D S

5,

10,

15

Figura 1

Por definición es necesario ashurar el conjunto a representar para separarlo del conjunto universal.

En conclusión existen tres formas diferentes de representar un conjunto, esto son a saber: forma enumerativa, descriptiva y

por diagrama de Venn.

CLASES DE CONJUTOS:

Por la cantidad de elementos los conjuntos se clasifican en: finitos e infinitos.

Conjunto finito: Es el que posee una determinada cantidad de elementos. P.e: { }0,2,4,6,8A = .

Conjunto infinito: Es aquel al cual no se le puede determinar su ultimo elemento o su primer elemento en su defecto una de

las dos posibilidades debe darse para que se cumpla con la definición. P.e: { } { }..., 3, 2, 1,0,1 o 2,3, 4,5,6,...B C= − − − = o

bien { }..., 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6,...E = − − − para los tres ejemplos anteriores son conjuntos infinitos.

Conjunto vacio: Cualquier conjunto que carece de elementos y se indica con el símbolo ∅ , o bien, { } y es incorrecto

escribir el conjunto así: { }∅ . P.e: Conjunto de numeros naturales mayores que cero y menores que 1F = , lo que significa

que el conjunto no existe, entonces: { } o F F= = ∅ .


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Conjunto unitario: Es aquel que esta formado por un solo elemento. P.e: { }/10 12, es un numero naturalG x x x= < <

Conjunto universal: Es aquel que contiene a todos los conjuntos que estamos estudiando y lo denotamos generalmente con

la letra U (notación arbitraria). P.e: sean los conjuntos: { } { }1,3,5,7,9 , 2, 4,6,8A B= = , el conjunto universal para estos

conjuntos puede ser el conjunto { }/ es digitoU x x= . Por tanto U es un conjunto universal si todos los conjuntos que

estamos estudiando son subconjuntos de U.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:

Relación de dependencia: Los elementos que forman parte de un conjunto decimos que pertenecen a ese conjunto. Esta

relación la denotamos con el símbolo ∈que leemos pertenece a. Para indicar que la relación no pertenece con ∉y leemos

no pertenece. P.e: { }/ es una vocal y A x x a A b A= ⇒ ∈ ∉ .

Relación de contención: Para dos conjuntos cualesquiera y A B , diremos que A es un subconjunto de B , o A esta

contenido en B (denotado A B⊂ ), si todo elemento en A también esta en B . El conjunto nulo, o vacio, denotado por ∅ ,

es el conjunto que no tiene elementos. Entonces, ∅ es un subconjunto de cualquier conjunto. Y del mismo modo podemos

deducir que cualquier conjunto es subconjunto de si mismo o que esta contenido en si mismo.

Los conjuntos y las relaciones entre conjuntos se pueden representar en forma conveniente con el uso de diagramas

de Venn. El diagrama de Venn de la Figura 2 muestra dos conjuntos, y A B , del conjunto universal S . El conjunto A es el

conjunto de todos los elementos dentro del circulo interior al triangulo; el conjunto B es el conjunto de todos los puntos

dentro del circulo. Observe que en Figura 2, A B⊂ .

S

A

B

Figura 2

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:

UNION DE CONJUNTOS:

La unión de dos conjuntos y A B es el conjunto de elementos que pertenecen a por lo menos uno de los conjuntos

o A B . En la notación de conjuntos escribimos

{ }/ o A B x x A x B∪ = ∈ ∈

La siguiente figura muestra la relación de unión entre dos conjuntos. Si consideramos a S como nuestro conjunto universo y

y A B como dos conjuntos cualesquiera, entonces tenemos que:

S

A B

Figura 3


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La Figura 3 muestra dos conjuntos y A B , donde A es el conjunto de elementos en el círculo izquierdo y B es el

conjunto de puntos en el círculo derecho. El conjunto A B∪ es la región sombreada formada por todos los elementos

dentro de cualquiera de los círculos (o ambos). La palabra clave para expresar la unión de dos conjuntos es o (que significa

o A B o ambos).

INTERSECCION DE CONJUNTOS

La interseccion de y A B , denotada por A B∩ o por AB , es el conjunto de todos los puntos en y A B . En la

notación de conjuntos escribimos

{ }/ y A B x x A x B∩ = ∈ ∈

El diagrama de Venn de la figura 4 muestra dos conjuntos y A B , con A B∩ formado por los elementos en la región

sombreada donde los dos conjuntos se se traslapan. La palabra clave para expresar intersecciones es y (que significa y A B

simultáneamente).

S

A B

Figura 4

Se dice que dos conjuntos, y A B , son disjuntos o mutuamente excluyentes, si A B∩ = ∅ . Esto es, los conjuntos

disjuntos no tienen elementos en común. El diagrama de Venn de la figura 5 ilustra dos conjuntos y A B que son

mutuamente excluyentes.

S

A B

Figura 5

COMPLEMENTO

Si A es un subconjunto de S , entonces el complemento de A , denotado por A , es el conjunto de elementos que

están en S pero no en A . La figura 6 es un diagrama de Venn que ilustra que el área sombreada en S pero no en A es A .

Observe que A A S∪ = .

S

A

A

Figura 6

… y esto es solo un resumen de lo mas importante para comprender “conjuntos numericos”.

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