8/16/2019 Repaso ECUACIONES DIFERENCIALES

1/3

Repaso: Solución de ecuaciones diferenciales

I ) 0=+ ky ym     k m,  son constantes. (1)

Clasificación: Ecuación diferencial, lineal, de segundo orden, homogénea con coeficientes constantes.

Solución General:

( ) ( )wt  sen Bwt  A y   .cos.   +=   (2) ( ) ( )( ) ( )

−−=

+−=wt  sen Bwwt  Aw y

wt  Bwwt  sen Aw y

..cos..

cos....22

 

)4(

)(

Sustitu!endo (2) ! (4) en ("):

( ) ( ) ( ) ( )[ ]   0.cos....cos...   22 =++−−   wt  sen Bwt  Ak wt  sen Bwwt  Awm

( ) ( )[ ]   ( ) ( )[ ]   0.cos...cos...2 =+++−   wt  sen Bwt  Ak wt  sen Bwt  Amw

0.2

=+−   k mw 

mwk   .

2

= 

m

k w =   (5) 

Condiciones Iniciales:

#ara t $ 0%0

0

v y

 y y

=

=

  (6) 

( )

( )w

v Bwt w Bvcondición paraecuación De

 y Awt  A ycondición paraecuación De

00

00

cos..)&(

cos.)&(2

=→=

=→=

 

Solución: ( ) ( )wt  senw

vwt  y y   0

0  cos.   +=  

II ) 0=++   ky yc ym     ck m   ,,   son constantes. (7)

Clasificación: 

Solución General:

 pt e y   .γ  =   (')

=

=

 y

 y

 

)"0(

)(

Sustitu!endo (') , () ! ("0) en ()

[ ] [ ] [ ]   0...   =++   k cm

  Ecuación caracter*stica (11)

+aices de ("") −   

  ±−=

2

2

"

22   m

c

m

c

 p

 p  (12)

enemos dos soluciones ! -or su-er-osición

8/16/2019 Repaso ECUACIONES DIFERENCIALES

2/3

( )   t  pt  p eet  y   2" .. 2"   γ  γ     +=   (13) tamién es solución

enemos -osiilidades -ara el radical de ecuación ("2)

cm

k 

m

c

bm

k 

m

c

am

k 

m

c

"402

"402

"402

2

2

2

− 

 

 

 

 

  /aso "4c ( )   imc

mc

mk 

mc

 p p ±−= 

   

    

  

  −−±−=⇒

22"

2

2

2

"(15)

efinimos

2

2   

  −=

m

c

m

k wd    (16)  Sustitu!endo (15) y (16) en (13)

( )tt

eet y

−

+

+=   ..2"

  γ γ   (17)

Ecuaciones de Euler:isenx xe

isenx xeix

ix

−=+=

− cos

cos

)"(

)"'(

1-licando ("') ! (") en (")

( ) ( )( ) ( ) ( )( )t w senit wet w senit we y d d t 

m

c

d d 

t m

c

.cos..cos.   22

2

"  −++=

  −γ  γ  

 

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]t w senit wt w senit we y d d d d t 

m

c

.cos.cos 2"2 −++=

  −γ  γ  

( ) ( )  

  

  

  +  

  

  = − itw sentwe y d d 

tmc

..cos2   (20)

8/16/2019 Repaso ECUACIONES DIFERENCIALES

3/3

Si ( )   real numerobibiibareal numeroaiba

22.

)(2.

2"2"2

2""

−=−⇒=−−=

=+⇒+=

γ  γ  γ  γ  γ  

γ  γ  γ  

( ) ( )[ ]t w sen Bt w Ae y d d t 

m

c

.cos2 +=  −

  (2") = y  

(22) Condiciones Iniciales:

#ara t $ 0%0

0

v y

 y y

=

=

  (23)

( )

d 

d d 

t m

c

w

 ym

cv

 B ym

c Bw A

m

c Bwvcondición paraecuación De

 y Awt  Ae ycondición paraecuación De

00

00

02

0

2

22)2(22

cos.)2(2"

+=⇒−=−=

=⇒=  −

 

( ) ( )

+

+=  −

t w senw

 ym

cv

t w ye yd 

d 

d 

t m

c

.2cos

00

02   (24)