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ASDCIACION TECNICA ESPAOLA DEL PRETENSADO

AVELINO SAMARTIN Y JESUS MARTINEZ

reparto transversal de la sobrecarga en tableros de puentes

Artculo publicado en el n. 0 113 de la Revista Hormign y Acero

4.0 trimestre 1974

Depsito legal: M. Sep. 853- 1958

INSTITUTO EDUARDO TORROJA DE LA CONSTRUCCION Y DEL CEMENTO. - COSTILLARES - CHAMARTIN - M A D R 1 D 3 3

457-0-54

reparto transversal de la en tableros

sobrecarga de puentes

RESUMEN

AVELINO SAMARTIN y JESUS MARTINEZ Ingenieros de Caminos

Se presenta el clculo de esfuerzos de una losa orttropa rectangular apoyada en dos bordes opuestos y en los otros dos con condiciones de contorno muy generales. La for-mulacin se realiza en forma compacta al utilizar la notacin matricial, lo que permite una programacin directa en un computador electrnico. La solucin obtenida se com-para con la que se deduce mediante el mtodo de Guyon-Massonet-Rowe, que constitu-ye una simplificacin muy conocida, y se comentan las diferencias existentes.

Se muestra a continuacin un estudio alternativo mediante la teora de lminas ple-gadas prismticas, que representa un modelo matemtico ms adecuado para este tipo de estructuras de tableros de puentes. Se comparan finalmente resultados numricos en-tre ambas teoras.

l. LOSA ORTOTROPA

l.l. Introduccin.

La determinacin de los esfuerzos producidos por la sobrecarga en cierta clase de puentes en los que existe un predominio de trabajo estructural lineal, se suele dividir en dos partes: 1.a Clculo de esfuerzos longitudinales a todo ancho (pieza unidimensional). 2.a Estudio de la distribucin transversal de dichos esfuerzos.

Dentro de la segunda fase, y originariamente aplicado solamente a tableros de puen-tes simplemente apoyados (tableros de vigas, losas multicelulares, etc.), se reemplaza fre-cuentemente la estructura del tablero por una losa orttropa equivalente, en la que se obtiene la distribucin transversal de los diferentes esfuerzos.

Sin considerar las posibles dificultades existentes en el proceso de sustitucin del tablero por una losa orttropa, el objeto de este apartado se centra en el estudio de la losa orttropa aisladamente.

1.2. Resumen histrico.

La idea de sustituir el anlisis de una estructura discreta (emparrillado) por una es-tructura continua (losa orttropa) parece ser debida a Guyon. Posteriores perfecciona-

11

mientas fueron realizados por Massonet (consideracin de la rigidez torsional) y Rowe (efecto del coeficiente de Poisson). Este ltimo autor en (1) presenta un estudio muy com-pleto sobre el tema, acompaado de bacos que facilitan extraordinariamente la aplica-cin del mtodo al proyecto. Por ser esta obra muy conocida en nuestro pas, a ella se referirn los resultados de este artculo. Conviene, sin embargo, observar que el trabajo de Rowe fue realizado antes de que el computador electrnico se hubiera introducido in-tensivamente en la ingeniera civil, por lo que se haca necesario un nuevo planteamien-to ms adecuado y consistente.

En (2) se comentaron la validez y restricciones de las hiptesis de (1) exponiendo la teora general de la placa orttropa, pero no se present ningn resultado comparativo. En (.3) se indicaron las limitaciones a la teora de Guyon-~1assonet-Rowe y la extendie-ron a un rango ms amplio del parmetro ct. Sin embargo, la formulacin presentada all no parece ser la ms adecuada para un clculo por ordenador.

Los autores intentan en este artculo exponer una extensin unificada y consistente de la teora, considerando el mximo rango posible de variacin del parmetro ct, y sin las simplificaciones innecesarias del mtodo de Guyon-Massonet-Rowe. Entre stos su-poner v -- O en las condiciones de contorno, la frmula de interpolacin para valores de esfuerzos correspondientes a valores intermeJios de ct, que es evidentemente una simpli-ficacin muy importante, etc.

1.3. Teora general de la losa orttropa.

Se adoptan los ejes cartesianos trirrectangulares Xt x~;:; (fig. 1) y se utiliza la notacin que se indica en el apndice. Detalles de los clculos pueden verse desarrollados de for-ma similar en (2).

1..3.1. Ecuacin general.

Utilizando el convenio de Einstein de los ndices repetidos, la ecuacin general de la losa orttropa es (ver (3)):

k; j w,;; j j = Z (x1, xJ (i, i = 1, 2) (I)

-SIMPLE APOYO

SIMPLE APOYO -oo--------------------------------~--~-x, Z ( PO S 1 T 1 V O) 1 t

~ ~----------------~ 1

Fig. 1.-- Planta losa orttropa rectangular.

12

Las constantes k 1 pueden estar relacionadas con las caractersticas mecnicas del tablero real por las frmulas:

k11 =E i d 1 = Gi11 k 1 = V k11

k~~= E j d~ = G j 11

k~ =V~ k~~

siendo i y j las inercias unitarias a flexin, e o y j" las inercias unitarias a torsin, todas ellas en las direcciones 1 y 2, respectivamente.

Conviene recordar que el problema de la idealizacin de un tablero real mediante una losa orttropa es un problema muy complicado, por lo menos en teora.

El planteamiento que se sigue en el artculo supone k1 y k~ distintos, sin embargo, por consideraciones energticas (teorema de reciprocidad o Betti) tiene que cumplirse que k1 = h

Esta igualdad, desde un punto de vista puramente matemtico, equivale a expresar que la ecuacin III, juntamente con las condiciones ele contorno VII, es autoacljunta.

En efecto, segn E. A. Coddington y N. Levinson ("Theory of Ordinary Differential Equations", :\1cGraw-Hill, 1955), la propiedad de autoadjunto equivale a expresar que se cumple:

M B 1 (a) M' = N B 1 (b) N'

siendo en este caso:

H(xJ = o p~ o Po a=O lJ =l. -p~ o -p, o

o Po o o

_-p, o o o

Y suponiendo, por ejemplo, como condiciones de contorno ambos bordes libres: M= o 111 o -p, N= o o o o

' o -pll o o o o o

o o o o o ll o -po o o o o ' o -po o

con:

n!' = n' = k .. A.~ -

Se puede comprobar fcilmente que la igualdad matricial anterior equivale a k1 = k~. Un procedimiento usual de conseguir la igualdad entre k en la sustitucin del tablero

real por una losa orttropa consiste en suponer:

o bien, en otros casos:

k =k~= V k~2

ha k= k~= V E--

12

siendo h el espesor del forjado y v su coeficiente de Poisson.

13

1.3.2. Esfuerzos.

q'I/m21 +dm21 .... m,1 +dm11

22 dmn /'---.---t ...... mt2 + dm 12

Fig. 2.- Esfuerzos actuantes.

Adoptando la notacin y signos de la figura 2, se tienen las frmulas:

lft =- (kl2 w,lll + (k+ d2) w,J22) q~ =- (k 22 w,:m +(k~+ d1) w, 11 ~) r 1 =- (k11 w, 111 + (2 k 1 ~- kJ w,12 ) r~ =- (k22 w,2 :2 + (2 k12 - k 1) w,112)

r1 y r2 son las reacciones de Kirchoff, cuyas expresiones son:

1.3.3. Solucin complementaria.

Es la solucin de (1) con el segundo miembro nulo, es decir:

k i j w, i i j j = o (II)

Se supone simple apoyo a lo largo de X1 = O y Xt = Z1, y la solucin complementaria Wr puede ponerse, por tanto, en la forma:

00

w r = ~ w" n (x2 ) sen A n x1 n==l

siendo:

sustituyendo en (11) y considerando el trmino n-simo se obtiene:

14

o bien, para simplificar la escritura, se puede omitir en lo que sigue, sin peligro de confu-sin, el subndice n, con lo que (III) se convierte en:

(IV)

Las races t 1 (i = 1, 2, 3, 4) de la ecuacin caracterstica de (IV) vienen dadas por la expresin:

siendo: (V)

Se puede presentar en los siguientes casos:

CAso I. ~ < 0: Losa ortrtropa con dbil rigidez a torsin (tpico en puentes). CAso 11. ~ = 0: Losa istropa. CAso III. ~ > 0: Losa orttropa con fuerte rigidez a torsin.

Es usual llamar entrecruzamiento a la expresin:

La frmula (V) se transforma como sigue: CASO I:

siendo:

CASO 11:

CASO 111:

siendo:

+_a. i f j = A e C - 2 = (r Si)

a = are cos ---

1 kll k~~ r =A. ecos a 2 S = A e sen a/2

t j = A. e (races dobles)

a -

t j = A. e e 2 = (r s)

k~ a= arg ch---

V~k;;~ r =A. e eh a/2 S= A e S h a/2

i =V-r

15

La solucin complementaria que se obtiene es (1): Re (x2 ) = G [B P (x2 ), C P (12 - x2)J A1 2;,4

siendo:

Cada trmino de R,. (x2) es la amplitud de la funcin sen (1. x1) (trminos w; w,2; mn; rn22; q2; d o cos (1. x1f(trminos w,1; m1:~; m21; q1; r1):

16

G= -1 o o o A. o o o

o 1 o o

kll ),_2 o -kl o

k2 A.~ o -k22 o o - d12 A. o o

o - d:!l A. o o

k u A.~ o - (kl + d21) A. o o (k2 + ddA. o -kn kn A.~ o - (2 kl2- k2) A. o o (2 kl2- kl) A.2 o -k22

Al2:H = -Al

A:!

A (i = 1, 2, 3, 4) son constantes arbitrarias.

Las restantes matrices dependen del caso de losa orttropa:

CASO 1: B= 1 o

-r S

r2 -s2 -2 rs

CASO 11:

CASO 111: B = 1

-r

B= 1 -r

o

1 r2 -2 r

o

r2 + s2 -2 rs

~ (x2) = e-rx. [ cos sx2 -sen s x2

sen s x2 ]

cos s x2

y en todos los casos: C=oB con 6_=1oij(i,j=l,2,3,4)

siendo:

1.3.4. Solucin particular.

Por definicin es una solucin de la ecuacin (1), pero que no satisface todas las condiciones de contorno. Se puede suponer en esta solucin la placa simplemente apo-yada en Xt = O y Xt = lt, con ancho infinito y se va a estudiar aqu su expresin para dos casos de cargas verticales actuantes Z (xt; xz).

a) Cuchillo de carga situado a lo largo de xz = et2 y valor: Z (x 1, x2 ) = Z (x1 ) o (x2 - a 2)

Se demuestra que la solucin particular Ro (x2) es:

En donde Ro (x2) son las amplitudes de las funciones correspondientes sen().. Xt) o cos ().. x1) y es una matriz anloga a la matriz Re (x2).

Las matrices G, B, C, P (x2) han sido definidas en 1.3.3: - - - -

CASO 1:

l/r l an AO - AO - r - 12-- 34- lis -r;;l22 4 f..21 CASO 11:

AO - AO - [ l/r l an 12- M-- - 1 4 A_2 V k k22

CASO 111:

~012 = ~034 = [ l/r l an lis 4 t..z V - k; k~; y:

es decir, el n-simo coeficiente del desarrollo en serie de Fourier de Z (xt):

Z(x1)= L a 11 senA.x1 n=l

17

Las condiciones de contorno impuestas corresponden a la placa de L = w, y son: u; >O

:r~ -> a.~ o u:,~ = ()

u;, :.!:..?~ == ---

b) Carga uniforme a todo aneho v valor: Z (:r 1, :rJ = Z (x1 )

La solucin particular es en este caso:

R0 (:rJ = e B0 ----

siendo Bo = B (suponiendo r = s = O en todos los elementos de B).

1.3 .. 5. Solucin final.

Es la solucin de (I) con las condicione~ de contorno: R (xJ = H0 (x~) + R 1 (xJ (VI) - - -

La matriz A1~:a de R 1 (x~) se obtiene de las condiciones de borde, es decir, a lo largo de x~ .. O v x~ - L, y se consideran a continuacin dos casos importantes:

a) Condiciones homogneas de borde.

Todas las condiciones de este tipo (correspondiente a bordes libres, apoyados o em-potrados, etc.) pueden ponerse en la forma:

ktl; ,. - w, ~ l. + k 1,; 1

111 "~ J = () - w J - lr~ (VII)

Ecuacin matricial que se plantea para cada borde i (i e: 1,2), supuesto que el bor-de 1 es x~ - O y el borde 2 es x~ - L, y sie:1do kil; y k,,; matrices diagonales (2 X 2) formadas por 1 y O exclusivamente y tales que k11; + k1,; -- L (matriz unidad 2 X 2).

La introduccin de estas condiciones de borde se realiza como sigue:

Sean: la mahiz fila i de (l X 4) ele fG B, e e P (/~)]

a.>. _, la matriz fila i de (l X 4) de [e B P (/~),e Cl

~! i el elemento i de e e p (a.J A0 ~ e Bu----

~2 i el elemento i ele e B p u~- a.J A0 ;>1 e Bu----

segn el caso de carga que se considere.

18

La matriz columna A1n4 se determina mediante el sistema:

kdl r ~1:1 J + ~~~lr ~ 1 " ~- A1~:H =- ki/1 ~ -~1:1 1 + k)Jl ~ ~1~ ~-~11 ~1 11 - ~11 ~1 11 r ~~:l l r ~.,- J ~ ~23 ] [ ~.,- ] kd2 + kd2 - - kd2 + k>2 ~:"11 t%:n - ~:! 11 ~~~

Conocido A12:1~ se calcula R (xt) mediante (VI).

b) Viga de borde. Ha sido considerada en (1) y (2) y puede resumirse como sigue: La matriz de rigidez de la viga del borde i (i = 1,2) est dada en ejes locales de

viga por la expresin:

con:

R =[- A.2 G ] -

o

E I y G l son, respectivamente, las rigideces a flexin y torsin de la viga. Referida (VIII) a ejes generales (borde i de la losa) mediante una traslacin v un

giro (fig. 3) se obtiene:

con:

r., r

1/l.~~ J - placa

-a c:os a + b sen ~ ] matriz de transformac:i(m. c:os 0.

(IX)

la ecuacin (IX) es similar a la (VII), con kd = L y k Ji = T R T 1 , resolvindose en ton-ces este caso de forma anloga al anterior.

(BORDE 2 BORDE: 1

z z' z Fig. 3.- Ejes locales de la viga de borde.

19

1.4. Ejemplo.

'"'----- ,._,___ "" 1

~l9JQ1Qlg91Qf2Q8 f---1

1 o 330 -----~

1 o 609 1

~ 11 11 11 9 , 1 1 1 '572 '572 '572 '57Z Fig. 4.- Definicin del tablero del puente.

La teora presentada en el prrafo anterior ha sido recogida en un programa es-crito en Fortran IV para su proceso en un computador.

A efectos comparativos se estudia el ejemplo presentado en (1), correspondiente a los siguientes datos (fig. 4):

zl = 60 ft. = 18,29 m. 12 = 50 ft. = 15,24 m.

E = 2300000 t/m2 i = 2057.2 in4/in = 0.033711468 m4jm. j = 422.0 in4/in = 0.006915341 m4/m.

i; = 189.0 in4/in = 0.003103710 m4/m.

io = 52.0 in4/in = 0.000855405 m4/m.

que corresponde a las siguientes caractersticas de la losa orttropa, adoptando k1 = = k2 =V k22:

e= o.62 cos (J. = 0.1243

Se estudian dos situaciones: a) Lneas de influencia. b) Clculo de esfuerzos pro-ducidos por un tren de cargas.

20

a) Lneas de influencia.

Por definicin, el coeficiente de excentricidad de flechas es k," = w , es decir, la JV m

relacin entre la flecha w en una seccin (x1, x2) producida por una carga excntrica de-terminada y la flecha media Wm en la misma seccin bajo la accin de la misma carga supuesta repartida a todo lo ancho de la losa (carga no excntrica).

Por ejemplo, si se considera una carga puntual P actuando en la seccin ( ct 1 ct2), se tiene:

siendo w (x1, x~, ct1, ct2) la flecha producida por P en la seccwn (x1, x~) y w (x1, X2, ct1) la flecha en la seccin anterior debido a la carga uniforme a lo ancho P /l2 actuando en ct1.

Por reciprocidad, w (xt, X2, ct1, ct2) = w (ct1, ct2, X1, x2). Conviene observar que tanto Wm como (mn)m definido posteriormente, son funciones

en general de (x1, xz), coordenadas de la seccin de estudio. Sin embargo, en la aplicacin del mtodo al clculo de puentes se supone que aproximadamente son constantes a lo lar-go de la seccin transversal X2. Tambin es usual considerar a efectos de clculo que k," y km son funciones de X2 solamente.

De las tablas 4.04 y 4.05 de la referencia (1) que contienen los valores de los coefi-cientes de excentricidad Ko y K1 (correspondientes a los casos extremos ct =O y ct = 1) se puede determinar Ka mediante la frmula aproximada all recomendada.

k~,= KJ + K1 frx =Ka Utilizando la teora consistente de la losa ortrtopa desarrollada en el prrafo ante-

rior, se obtiene Ka directamente.

De manera anloga se define el coeficiente de excentricidad de momentos longitu-

dinales, es km =-= ~~-. En (1) se indica que a efectos prcticos puede suponerse km = k"-> (m,)m --lt/mL

CUCHILLO DE CARGA

Fig. 5.- Descripcin del cuchillo de carga.

21

TABLA l.-Coeficientes de excentricidad de fleclws. Seccin x1 = 0.511.

SECCION DE APLICACION DE LA CARGA o '"3

1

..S:l -C

TABLA III.-Coeficientes de excentricidnd de flechas. Seccin x1 = 0.511.

SECCION DE APLICACION DE LA CARGA ..9

;::l ..S:!

-~ o 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000 -

--

o ...... 4.80 3.46 2.01 1.02 0.37 -0.04 -0.30 -0.52 -0.69 A Cl o 5.04 3.39 2.05 1.05 0.38 -0.05 -0.33 -0.53 -0.72 B ;:::; 5.00 3.39 2.06 1.06 0.38 -0.05 -0.33 -0.53 -0.72 e E-< rJl ~ 3.45 2.65 1.92 1.26 0.71 0.31 -0.02 -0.26 -0.51 A

0.125 3.52 2.74 1.96 1.25 0.69 0.27 -0.05 -0.31 -0.55 B ~ 3.52 2.74 1.95 1.25 0.69 0.27 -0.05 -0.31 -0.55 e Cl z 2.01 1.92 1.77 1.43 1.02 0.66 0.30 -0.02 -0.30 A o 0.250 2.17 2.00 1.79 1.43 1.01 0.62 0.27 -0.05 -0.35 B ...... 2.18 2.00 1.78 1.43 1.02 0.62 0.27 -0.05 -0.35 e u u 1.02 1.26 1.44 1.48 1.32 1.01 0.66 0.31 -0.04 A ~ 0.375 1.13 1.30 1.45 1.49 1.29 0.98 0.62 0.28 -0.05 B rJl 1.14 1.30 1.45 1.48 1.29 0.98 0.63 0.28 -0.05 e

0.37 0.71 1.02 1.32 1.45 1.32 1.02 0.71 0.37 A 0.500 0.41 0.72 1.03 1.30 1.43 1.30 1.03 0.72 0.41 B

0.41 0.72 1.03 1.30 1.42 1.30 1.03 0.72 0.41 e 1

TABLA !V.-Coeficientes de excentricidad de momentos. Seccin X1 = 0.511

SECCION DE APLICACION DE LA CARGA ..9

;::l ------

..S:! -~ o 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000

--

o ...... 4.80 3.46 2.01 1.02 0.37 -0.04 -0.30 -0.52 -0.69 A Cl o 5.04 3.39 2.05 1.05 0.38 -0.05 -0.33 -0.53 -0.72 B ;:::; 4.83 3.38 2.12 1.11 0.40 -0.05 -0.34 -0.55 -0.74 e E-< rJl ~ 3.45 2.65 1.92 1.26 0.71 0.31 -0.02 -0.26 -0.51 A

0.125 3.44 2.77 1.97 1.26 0.69 0.27 -0.05 -0.31 -0.56 B ~ 3.43 2.74 1.97 1.29 Cl 0.72 0.28 -0.05 -0.32 -0.57 e

z 2.01 1.92 1.77 1.43 1.02 0.66 0.30 -0.02 -0.30 A o 0.250 2.07 1.98 1.86 1.47 1.03 0.62 0.26 -0.06 -0.37 B -

2.15 1.98 1.81 1.44 1.04 0.64 0.26 -0.06 -0.38 e u u 1.02 1.26 1.44 1.48 1.32 1.01 0.66 0.31 -0.04 A ~ 0.375 1.04 1.26 1.47 1.57 1.34 0.99 0.61 0.25 -0.10 B rJl 1.09 1.29 1.45 1.52 1.31 1.00 0.64 0,26 -0.10 e

0.37 0.71 1.02 1.32 1.45 1.32 1.02 0.71 0.37 A 1 0.500 0.34 0.68 1.03 1.34 1.52 1.34 1.03 0.68 0.34 B 0.35 0.71 1.05 1.31 1.46 1.31 1.05 0.71 0.35 e

23

A efectos comparativos se ha supuesto que la carga actuante estaba constituida por un cuchillo de carga uniforme extendida a lo largo de la luz de la losa (fig. 5) y se ha aproximado mediante uno o varios armnicos.

En las tablas 1 y 11 se comparan los resultados A, que corresponden al mtodo de Guyon-Massonet-Rowe, con los resultados B y C, que se deducen de la teora de la losa orttropa con 1 y 5 armnicos, respectivamente.

En dichas tablas 1 y 11 se ha supuesto que Wm y (mn)m no variaban a lo largo de la seccin X1 = __!_!_, a efectos comparativos con el mtodo de Guyon-Massonet-Rowe, ya

2 que la definicin del texto implicara la prdida de la simetra en la tabla l.

En las tablas 111 y IV se presentan los resultados de los coeficientes de excentrici-dad, utilizando la definicin que se indica en el texto. Se comprueba la prdida de si-metra.

1

1~ 1

1 1

o-

-1

Fig. 6.- Coeficiente de excentricidad de flechas en 0.5 /,.

6

5

4

o

-1

Fig. 7.- Coeficiente de excentricidad de momentos en 0.5 Ir.

24

Fig. 8.- Situacin del tren de cargas en el clculo de mn.

En las figuras 6 y 7 se representan las curvas obtenidas en las tablas 1 y 11. Se puede considerar, a efectos tericos, que la solucin de la placa orttropa con 5 armnicos es la ms aproximada a una solucin elstica consistente y en lo que sigue se denominar so-lucin "exacta".

b) Clculo de esfuerzos producidos por un tren de cargas. Se determina primeramente el esfurzo mn {momento flector unitario longitudinal)

producido por el tren de cargas que se indica en la figura 8, obtenindose los siguien-tes resultados para la seccin X1 = OA16Zt, X2 = 0.07512 (x1 = 7.609 m; xz = 1.143 m}.

Utilizando el mtodo de la referencia (1), Guyon-Massonet-Rowe: m11 = 1.1 X 5.742 P = 6.020 P mt/ml.

Fig. 9.- Situacin del tren de cargas en el clculo de m22.

25

~Iediante la teora de la losa orttropa descrita (.5 armnicos):

111 11 = .5.974 P mt!ml.

De manera similar el esfuerzo m:t:! (momento Elector unitario transversal) producido por el tren de cargas anterior situado en la posicin que se indica en la figura 9, alcan-za en la seccin x, = 0,5Z, x~ = 0,51:! (x1 = 9.14.5 m, x~ = 7.620 m) el valor sigu:ente:

Segn Guyon-.Vlassonet-Rowe, m~:!= 1.148 P mt/ml. Teora de la losa orttropa, m:!:!= 1.167 P mt/ml.

1.5. Estudio comparativo.

La gran difusin que tiene en la actualidad el mtodo de Guyon-Massonet-Rowe, se debe a que su aparic:n es anterior a la utilizacin intensa del computador para el clculo de estructuras y a la existencia de bacos muy adecuados para el proyecto [vase (1) y (5)], pero su empleo implica una serie de limitaci:mes y aproximaciones que se comentan a con-tinuacin:

a) La formulacin es poco adecuada para su programacin en un computador. h) En las condiciones de contorno del borde libre se supone el coeficiente de

Poisson nulo.

e) En el clculo de los momentos longitudinales (y flechas) se considera slo un primer trmino de la serie de Fourier. La contribucin de los trminos despreciados se supone sustituida por un incremento arbitrario (10 por lOO) de los resultados.

d) El mtodo slo es aplicable a valores del parmetro torsional IX, comprendidos entre O y l; y la tabulacin y bacos slo existe en nmero limitado de puntos y para las ~ituaciones extremas (IX= O y IX= 1), adoptndose para valores intermedios de IX una frmula aproximada (lineal COn r IX).

Por el contrario, el mtodo de la losa orttropa exige necesariamente para su apli-cacin un computador, aunque de tamaio pequeio, pero la programacin de la formu-lacin matricial, tal como aqu se presenta, es inmediata y completamente general sin ninguna de las limitaciones anteriores.

Desde un punto de vista numrico se comprueba en el ejemplo que se presenta: a) Las lneas de influencia de flechas y momentos no coinciden. Sin embargo, como se ha indicado en (2) y (3), se nota que los valores de las lneas

ele influencia para momentos Electores longitudinales debajo de la carga pueden ser ma-yores c1ue los obtenidos por el mtodo de Guyon-.Vlassonet Rowe, multiplicados por el fac-tor l.l.

h) Se comprueba, como es bien sabido, que la convergencia de la> flechas es, en general, mejor que la de sus derivadas (momentos y cortantes).

e) Los valores de desplazamientos y esfuerzos obtenidos en ambos mtodos, en general, coinciden dentro de la aproximacin necesaria en la prctica.

26

2. LAMINA PLEGADA

2.1. Introduccin.

El mtodo de la losa orttropa, si bien estructuralmente consistente, presenta una serie de inconvenientes en su aplicacin prctica al clculo de tableros de puentes reales. La sustitucin del tablero del puente por una losa orttropa "equivalente" exige la de-terminacin de sus caractersticas elsticas. k 1 (i, j = 1,2) en funcin de la geometra del tablero (seccin transversal alveolar, de vigas, etc.) y de las propiedades elsticas, problema que puede presentar serias dificultades (6). Por otro lado, la estructura del tablero formada por vigas y forjados queda encubierta por unas caractersticas medias en la losa orttropa, que no perm'te dicha distincin, y, por tanto, tableros con un n-mero reducido de vigas o con una separacin muy grande entre las mismas no pueden ser analizados adecuadamente mediante la teora de la losa orttropa. Por ltimo, los esfuerzos de tipo laja; por ejemplo, la distribucin de las tensiones cortantes en la sec-cin y en particular en el contacto del alma y forjado, no pueden ser determinados con este tipo de teoras.

Se ve, pues, que se hace necesario un planteamiento estructural que considere al ta-blero como formado por placas de forjado y vigas. Ejemplos con estas caractersticas se encuentran en los estudios desarrollados en (7), (8) v (9), entre otros.

2.2. Teora general de las lminas plegadas prismticas.

Es posible comprobar que utilizando los mtodos matriciales de clculo de estruc-turas se puede analizar cualquier estructura prismtica formada por placas orttropas y vigas, conectadas entre s arbitrariamente, como se indica, por ejemplo, en (7) y (9). Basta para ello determinar la matriz de rigidez de la losa con fuerzas en su plano, que es muy simple, y considerar la matriz de rigidez de la losa a flexin anteriormente obte-nida (caso losa orttropa) y ensamblarlas de forma general, entre los distintos elemen-tos, utilizando las tcnicas normales de clculo matricial de estructuras.

Sin embargo, si se utilizan hiptesis simplificadoras aceptadas para lminas plega-das largas, el esfuerzo de clculo puede reducirse extraordinariamente con respecto al caso general.

Sin entrar en la discusin de las ventajas de dichas simplificaciones se presenta a continuacin el clculo del ejemplo anterior, sin considerar la existencia de traviesas por conveniencia del clculo, utilizndose la teora de lminas plegadas largas expuesta en varias publicaciones (10) y revisada en (4).

2.3. Ejemplo.

La idealizacin del tablero del puente de la figura 4 es inmediata en la aplicacin de la teora de lminas plegadas, y la seccin transversal considerada puede verse en la figura 10.

27

1-ARISTA 1

CDLOSA'

Fig. 1 O. -Idealizacin del tablero del puente mediante una estructura laminar plegada.

La idealizacin mediante losa orttropa no es tan directa, y se han supuesto las siguientes caractersticas:

/ 1 = 18,19 m. l2 = 15.24 m. v 1 = v 2 = 0.15.

i = 0.033711468 m4/m. f = 0.000281250 m4/m.

i(} = 0.003103710 m4/m. j0 = 0.00056250 m4/m. E = 2300000 t/m2

que corresponde a los siguientes parmetros en los que se ha considerado la condicin de Betti k1 = k2 = v1 k22:

e= 3.309 cos a = 0.2725

De forma similar al apartado 1.4 se estudian dos situaciones: a) Lneas de influen-cia. b) Clculo de esfuerzos producidos por un tren de cargas.

a) Lneas de influencia. Como ambos mtodos, losa orttropa y lmina plegada, exigen en general un com-

putador, no parece adecuado para su aplicacin la introduccin de los conceptos de coeficiente de excentricidad, ya que los esfuerzos se obtienen directamente sin necesi-dad de las tabulaciones previas de los coeficientes kw y km.

En las tablas V, VI y VII se representan los resultados obtenidos con los dos m-todos de clculo, correspondientes a flechas, tensiones normales de flexin longitudi-nal y momentos transversales, respectivamente.

Conviene aclarar que las tensiones normales longitudinales del clculo en losa ort-tropa se han deducido a partir de mu mediante la frmula siguiente:

1.)

S=m11--i

siendo v la distancia de la fibra neutra a la fibra media superior del ala de la seccin transversal.

En este caso: v = 0.2981 m. i = 0.033711468 m4/m.

resultando: v/i = 8.8427 m-3

Por ltimo, en la tabla VIII se representan los esfuerzos cortantes T en Ia unin

28

.....,

-o

c..> o

~ 0

~ < u < ,...:

~ Q z o .......

u < ~ E-< .......

rJ)

1

1

1

1

--- ----

1 2

2-6 6

6-10 10

10-14 14

14-18 18

18-22

1 2.

2-6 6

6-10 10

10-14 14

14-18 18

18-22

1 1

1 __ :_ -1

211 160 160 132 113 103

73 76 42 52 21 32 8 18 o 9

-4 3 -5 -1 -5 -1

1

1

127 121 112 106 96 91 80 76 65 63 52 50 40 39 30 30 22 22

15

1

16 1 10 lO

1

TABLA VI.-Tensiones normales longitudinales. S (t/m2)

SECCION EN ESTUDIO

1

1 1 6 10 14 18 22

1 26 30

1

34 38 42 i

1

73 1 21 -0 -5 -5 ' -3 -1 -0 -0 -1 76 32 8 -1 -3 -2 -1

1

-0 -0 1 -1 1 ~ 1 77 44 18 4 -1 -2 -1 -1 -1 1 -1 1

o 76 55 28 11 2 -1 -1 -1 -1 -1 E-< 67 63 41 1 18 6 o -1 -1 -1 -1 o

1 ~ 55 ! 67 1

52 28 11 3 -0 -1 -2 -2 E-< 41 61 61 40 19 6 o

-1 -2 -3 ~ i o 29 52 65 51 28 11 3 -1 -3 -4 < 18 40 60 60 40 19 6 1 o -3 -5 o : 11 28 51 64 51 28 11 2 -2 -5 ,...:

6 19 40 60 60 40 19 6 ' -1 -5 1

1 1 1

1 1 1 -

1

1

1

1

i 84 47 22 8 ! o -5 -9 -15 -24 -30 77 48 26 12 4 -2 -7 -13 -20 -26 < 71 50 31 1 16 7 1 -5 -10 -17 -22 Q 1 < 64 51 35 21 11 3 -2 - 7 -13 -18 58 50 39 ' 26 14 6 o - 5 -10 -14 ~ ,...: 50 1 48 42 30 19 10 3 - 2 - 7 -10 p., 43 1 46 43 35 24 14 6 - 1 -4 - 6 < 35 1 41 43

i 38

1 29 18 10 4 - 1

- 3 1 z 1 ....... 28 36 41 41 34 23 14 7 3 1 1 ::;s

1

< 21 30 38 41 38 29 19 11 6 1 5 ,...: 16 24 34 40 40

1

34 24 16 10 1 10 1 1

1-4 mt/ml

-0.7

-06

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

02

0.4

0.5

0.6

0.7

S t;m2

220

200

180

160

140

80

60

40

20

o

-20

w mm.

12

11

10

9 1

8~ i

7>-

-1

Fig. 11.- Losa orttropa momentos M.

Fig. 12.- Losa orttropa. Tensiones S.

Fig. 13. - Losa orttropa. Flechas verticales W.

~ 1

31

M mt/ml

-LO

-0.9

-0.8

-0.7

-o.&

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

o

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

S ltfm'

130'

120-

110-

60

50

40

30 ~ 20

10

-10

-20

JO

-40

42

Fig. 14.- Lmina plegada momentos M.

Fig. 15. _.Lmina plegada. Tensiones S.

entre losas. Como es bien conocido, estos esfuerzos no pueden ser deducidos, en prin-cipio, mediante ninguna idealizacin dei tipo de la losa orttropa.

Las figuras 11, 12, 13, 14, 15, 16 y 17 representan los resultados deducidos mediante los mtodos de la lmina plegada y losa orttropa.

32

w mm.

14

13

12

11

10

4

_,

TI/mi. 10

-2

-3

Fig. 16.- Lmina plegadi'L. Flechas verticales W.

Fig. 17.- Lmina plegada. Cortantes T.

b) Clculo de esfuer:ws producidos por un tren de cargas. El esfuerzo mn (momento flector unitario longitudinal) en la seccwn XI= 0.4161I,

X2 = 0.05012 (XI= 7.609, X2 = 0,762 o la arista 2 en la lmina plegada) es segn el caso: - Losa orttropa (5 armnicos), mn = 4.471 m t/m 1, que produce una tensin en

la cara superior de la losa de S= 8.8427 4.471 = 40 t/m2 - Lmina plegada (5 armnicos) resulta directamente: S= 53 t/m2

De forma similar se obtiene m22 (momento flector unitario transversal) en la sec-cin XI= 0.50 li y X2 = 0.50 k (xi = 9.145, X2 = 7,620, que corresponde en la lmina ple-gada al centro del vano entre las aristas 18-22), que es segn. el caso:

- Losa orttropa (5 armnicos), ~2 = 0.282 m t/m l. - Lmina plegada (5 armnicos), 1n22 = 0.240 m t/m l.

33

TABLA VIL-Momentos M (mt/ml)

LOSA 1 LOSA 2 LOSA 3 LOSA 4 LOSA 5 LOSA 6 ~

LOSA 7 LOSA 8 LOSA 9 LOSA 10 ! LOSA 11 1

---------- ------- --

1 2 22 6 62 101 102 1 14 142 1

18 182 22 222 1 26 262 30 302 1 34 342 1 38 1 382 42

_J -- '-------

1

1 0.01-0.39 -0.39 -0.60 -0.60 -0.42 -0.42 -0.21 -0.21 -0.08 -0.08 -0.01 -0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 o.o1l 0.00 0.00 0.0 2 0.0! 0.26 -0.26 -0.24 -0.24 -0.30 -0.30 -0.20 -0.20 -0.09 -0.09 -0.03 -0.03 -0.03 -0.01. 0.00 0.00 0.00 0.001 0.00 0.00 1 0.0 ....:::

2-6 0.(} 0.14 0.14 -0.14 0.14 -0.16 -0.16 -0.18 -0.18 -O.ll -O.ll -0.05 -0.05 -0.02 -0.02 ' -0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0 1 t) 6 0.0 0.06 0.06 0.58 0.58 0.03 0.03 -0.14 -0.14 -0.13 -0.13 -0.08 -0.05 -0.03 -0.03 -0.01 -0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0 'b 1

6--10 0.0 -0.00 -0.00 . 0.30 0.30 0.29 0.29 -0.06 -0.06 -0.13 -0.131-0.10 -0.10 -0.05 -0.05 -0.02 -0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0 ::::: 1 10 0.0 -0.03 -0.03 0.11 0.11 0.66 0.66 -0.08 -0.08 -O.ll -O.ll -0.12 -0.12 -0.07 -0.07 i -0.03 -0.03 -0.01 0.01 0.001 0.00 0.0 ~ 1

....::: 10-14 0.0 -0.04 -0.04 -0.01 -0.01 -0.03 0.33 0.32 0.32 -0.05 -0.05 -0.13 -0.13 -0.10 -0.10 -0.05 -0.05 -0.02 1).02 0.00' 0.00 0.0 o 0 ::::: 114 0.0 -0.04 -0.04 -0.07 -0.07 0.10 0.10 0.66 0.66 0.09 0.09. -0.11 -O.ll -0.12 -0.12 -0.07 -0.07 -0.03 -0.03 -0.00 l-0.00 0.0 ....::! c3 14-18 0.0 -0.04 -0.0~ -0.09 -0.09 -0.03 -0.03 0.32 0.321 0.32 0.32 -0.05 -0.05 -0.12 -0.12 . -0.09 -0.09 -0.04 -0.04 -0.01 ! -0.01 0.0 o ....::: 18 0.0 -0.03 -0.03 -0.09 -0.09 -0.10 -0.10 0.09 0.09 0.66 0.66 0.09 0.09 -O.ll -O.ll -O.ll -O.ll -0.06 -0.06, -0.01 -0.01 0.0, .....: .....: [18-22 0.0 -0.02 -0.02 -0.08 -0.08 -0.12 -0.12 -0.04 -0.041 0.32 0.32 0.32 0.32 -0.04 -0.04 -0.12 -0.12 -0.08 -0.08.-0.02 -0.02! 0.0 1 .,: 1

. 1 1 ! ~ 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 o 1 : 0.0 -0.841-0.79 -0.96 -0.96 -0.53 -0.52 -0.18 -0.18 -0.02 -0.021 0.021 +0.021 0.02 -t-0.02 1 0.01 +O.Ol 0.00 1 +O.OO -0.00 -0.00 0.0 U

1 2 1 0.0 0.00 +O.OO -0.46

1

-0.45 -0.38 -0.37 -0.18 -0.18 -O.o6 -o.o5-o.oo 1 o.oo o.o1 +0.01 , o.o1 +0.01 o.oo +o.oo -o.oo -o.oo o. o ....::: ....::: 1

:::> 1 2-6 0.0 1 0.00 +0.20 0.24 +0.04 : -0.21 -0.21 -0.19 -0.18 -0.09 . -0.09, -0.03 -0.03 -0.00 0.00 1 0.00! +O.OO 0.00 +O.OO -0.00 +O.OO 0.0 ~ t: 6 0.0 i -0.00 +O.OO 0.56 +0.56 -0.01 -0.01 -0.17 -0.17 -0.13

1-0.13 -0.06

1

-0.06 -0.01 -0.01 0.001 +O.OO 0.00 +.OO -0.00 -0.00 0.0 0 rJJ 6-101 0.0 i -0.00 +.OO 0.30 +0.50 0.47 +.27 -0.11 -0.10 -0.15 -0.15 -0.09 -0.09 -0.03 -0.03 1 -0.00: 0.00 0.00 +O.OO -0.00: -0.00 0.0 1 ;j

10 . 0.0 0.00 0.00 0.10 +0.10 0.63 +0.64 0.03 +0.03 -0.15 -0.15 -0.121

-0.12 -0.06 -0.061-0.01 ~-0.01 -0.00 -0.00 -0.00 +O.OO 0.0. P... 10-141 0.0 0.00 0.00 -0.01 -0.01 0.30 -t-0.50 0.47 +0.27 -0.10 -0.10 -0.15 1 -0.14 -0.09 -0.09 1-0.03 -0.03 -0.00 -0.00 -0.00 +O.OO 0.0 ~

14 1 0.0 0.00 0.00 -0.07 -0.07 0.06 -t-0.06 0.62 -t-0.62 0.03 -t-0.03 '-0.15 i -0.14 -0.12 -0.12 1 -0.05 ! -0.05 -0.01 -0.01 -0.00 -t-O.OO 0.0 ~ 14-18 0.0 0.00 1 0.00 --0.o8 --0.09 --0.01 --0.01 0.21 +0.47 o.47 +o.27 -0.09 --0.09 --0.14

1

--0.14] --0.os '--0.o8 --0.03 -O. os --0.00 +o.oo o.o .., 18 0.0 0.00 0.00 -0.08 -0.08 -0.12 -0.13 0.03 -l-0.03 0.62 -t-0.62 0.03 +0.03 -0.14 -0.14 -0.11 -O.ll -0.04 -0.04 -0.00 -0.00 0.0 .....:

18-22 0.0 0.00 -0.00 -0.06 -0.06 -0.13 -0.13 -0.09 -0.09 0.27 -0.47 0.47 0.27 -0.09 -0.09 -0.10 -0.13 -0.06 -0.06 -0.00 0.00 0.0 1 1 1 ! 1 _1_

TABLA VIII.-Cortantes T (t/ml) en 0.0 XL

LOSA 1 LOSA 2 LOSA 3 1 LOSA 4 LOSA 5 1

LOSA 6 LOSA 7 1

LOSA 8 1 LOSA 9 LOSA 10 LOSA 11 1 ----

1 2 22 1

6 62 101 102 1 141 142 1 181

182 221 222 1 1 262 30 302 341 342 1

38 382 42 ', 26

-

2.4. Estudio comparativo (losa orttropa-lmina plegada).

En los resultados del ejemplo anterior pueden observarse ciertas diferencias en los va-lores de las flechas ( w) obtenidas mediante los dos mtodos, que se incrementan en el caso de los momentos flectores transversales (M) y tensiones longitudinales (S).

La explicacin de esta diferencia ha de buscarse, por una parte en las caractersti-cas del puente, cuya relacin luz/ancho es relativamente pequea y probablemente con mayores relaciones estas diferencias seran menores. Por otro lado, el modelo matemtico de la lmina plegada describe ms aproximadamente el comportam;ento real elstico del tablero, que la losa orttropa. En efecto, en este ltimo mtodo slo se obtienen valores medios ele resultados, a lo largo de la seccin transversal, ya que en su idealizacin no se distinguen entre vigas y forjados y s slo unas caractersticas medias constantes erl toda la seccin transversal. En cambio, el mtodo de la lmina plegada, tal vez describe con excesivo detalle el comportamiento del tablero, reproduciendo discontinuidades de tipo local, que si bien son reales, puede carecer de importancia su consideracin, en ciertos tipos ele puentes, como el que constituye el ejemplo del apartado anterior. En pa-.ticular, los valores de M se comprueba varan a un lado y otro de la interseccin del alma con el forjado.

Tambin puede observarse en este estudio comparativo la dificultad que surge en la obtencin ele las constantes (kij) de la .losa orttropa equivalente a un tablero real. A este respecto la ventaja de la lmina plegada es evidente.

3. CONCLUSIONES

Si bien un estudio ms exhaustivo se hace necesario, con objeto ele obtener resultados ms definitivos, en particular con referencia a la importancia de la relacin luz/ancho, n-mero de vigas y su separacin, espesor del forjado, forma de la seccin transversal, etc., se puede presentar las siguientes conclusiones provisionales:

l. La losa orttropa parece constituir un modelo matemtico ms adecuado y con-sistente

RECONOCIMIENTO

Todos los clcu~os necesarios para el des::urollo de este estudio han sido realizados en el ordenador IBi\1 1130 del Gabinete de Clculo del Centro de Estudios y Experimen-tacin de Obras Pblicas, a1 cual agradecemos su eficaz y desinteresada colaboracin.

NOTACION

XI> X~, z =Ejes coordenados cartesianos rectang1:lares (fig. 1). Z (x1 , x~) _ =Carga por unidad de rea vertical (direccin eje 2) actuando en el punto xl> x2 v,; =Implica derivada de la variable v respecto a x1 (i = 1, 2). V = Implica que la variable V es una matriz o vector.

w = Desplazamiento vertical (segn el eje 2) de un punto de la superficie media de la placa.

m j =Esfuerzo actuante en la cara j y direcdn i (momento flector o tensor) (i, f = 1, 2). q =Esfuerzo cortante actuante en la cara i (direccin z). E = Mdulo de elasticidad.

v = Coeficiente de Poisson, direccin i.

11 , [2 =Longitudes de la placa (fig. 1) (luz y ancho, respectivamente). o (x2 - ~) = Distribucin delta de Dirac, punto ~ y variable x2 K 0 , K 1, K =Coeficiente de distribucin del mtodo de Guyon-Massonnet-Row, correspondientes

a losa orttropas para ~ = O, 1, respectivamente. kw = Coeficiente de excentricidad de flechas.

km =Coeficiente de excentricidad de momentos.

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TIPOGRAFIA ARTISTICA ALAMEDA, 12. MADRID-14

CubiertaResumen1. Losa ortotropa2. Lmina plegada3. Conclusiones4. Reconocimiento5. NotacinContracubierta