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cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Electrónica

TESIS DOCTORAL

Estrategias de Control y Modelado de Lámparas de Descarga

presentada por

René Osorio Sánchez

como requisito para la obtención del grado de: Doctor en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis: Dr. Mario Ponce Silva

Co-Director de tesis:

Dr. Marco Antonio Oliver Salazar Cuernavaca, Morelos, México. 3 de Diciembre de 2007

cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Electrónica

TESIS DOCTORAL


presentada por

René Osorio Sánchez M. en C. en Ingeniería Electrónica por el Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

como requisito para la obtención del grado de:

Doctor en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis:

Dr. Mario Ponce Silva

Co-Director de tesis: Dr. Marco Antonio Oliver Salazar

Jurado:

________________________ ________________________ Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez Dr. Luis Gerardo Vela Váldes ________________________ ________________________ Dr. Juan Reyes Reyes Dr. Jaime Álvarez Gallegos Cuernavaca, Morelos, México. 3 de Diciembre de 2007

Dedico este trabajo:

♦ A Dios pues nunca me ha abandonado. ♦ A mis padres: René y Carmen. ♦ A mis hermanos: Ysela y Alexis.

.

Agradezco A mis directores de tesis, al Dr. Mario Ponce y al Dr. Marco Oliver

por su apoyo y guía en el desarrollo de este trabajo de investigación.

A mis revisores de tesis el Dr. Gerardo Guerrero, el Dr, Gerardo Vela, la Dra. Maria Cotorogea, el Dr. Felipe Rodríguez, el Dr. Jaime Álvarez y el Dr Juan Reyes por sus invaluables comentarios, los cuales contribuyeron a mejorar este trabajo.

A todos mis compañeros y amigos: M. A. Rodríguez, M. A. Juárez, V. H. Olivares, S. E. Pinto, R. Carrillo, M. A. Zapata, I. Guerrero, M. O. Aguilar, D. Del Puerto, E. Arroyo, S. Cruz, F. Rivera, L. Hernández, F. I. Chan, E. Flores, E. Bárcenas, R. Galindo, A. Vázquez, A. Gonzáles, E. López, F. R. Torres, F. R. López, M. A. Méndez, I. Viveros, R. Flores…

A todo el personal del cenidet, especialmente a la Lic. Olivia Maquinay, la Sra. Irma Mendoza y a la Srta. Ana Pérez.

Al CONACYT y a la SEP por el apoyo económico que me brindaron.

A toda las personas del cenidet que me apoyaron moralmente, muchas gracias.

Tabla de contenido

Simbología. S-1Lista de figuras y tablas. F-1Introducción. I-1

Capitulo 1: Estado del arte

1.1. Introducción. 11.2. Antecedentes. 21.3. Modo de funcionamiento de una lámpara de descarga. 31.4. Clasificación de las lámparas de descarga. 41.5. Problemática de las resonancias acústicas en las lámparas de AID. 51.6. Métodos de eliminación de las resonancias acústicas. 6

1.6.1. Operación con formas de ondas cuadradas. 61.6.2. Operación en zonas de frecuencia libres de resonancias acústicas. 61.6.3. Reducción de las modulaciones en la potencia consumida por la lámpara. 6

1.7. Balastros electrónicos. 71.7.1. Introducción. 71.7.2. Balastros electrónicos. 7

1.7.2.1. Balastros electrónicos resonantes. 71.7.2.2. Balastros electrónicos no resonantes. 8

1.8. Estado del arte de los balastros no resonantes. 111.9. Estado del arte del modelado de lámparas de AID. 15

1.9.1. Estado del arte de los modelos lineales para lámparas de AID. 151.9.2. Estado del arte de los modelos no lineales para lámparas de AID. 16

1.10. Control clásico en balastros no resonantes. 181.11. Propuesta de tesis doctoral. 20

1.11.1. Objetivos. 201.11.1.1. Objetivo general. 201.11.1.2. Objetivos particulares. 20

1.12. Metodología utilizada en el desarrollo del tema de tesis. 211.12.1. Metodología empleada para cumplir con el objetivo general de la tesis. 211.12.2. Metodología empleada para cumplir con los objetivos particulares de la tesis.

22

1.13. Referencias. 25

Capítulo 2: Modelo propuesto para lámparas de AID

2.1. Introducción. 272.2. Modelo propuesto. 28

2.2.1. Ecuación de la resistencia equivalente de las lámparas de AID. 292.2.2. Ecuaciones del comportamiento térmico de las lámparas de AID. 29

2.3. Evaluación de los parámetros de la lámpara. 342.3.1. Circuito de prueba. 352.3.2. Pruebas en estado estacionario. 362.3.3. Prueba dinámica. 44

2.4. Validación del modelo propuesto para lámparas de AID. 512.4.1. Metodología y procedimiento para la validación del modelo propuesto. 522.4.2. Validación cualitativa del modelo. 542.4.3. Validación cuantitativa del modelo. 54

2.4.3.1. Examinando los datos para la normalidad. 572.4.3.2. Apareamiento natural. 582.4.3.3. Prueba-F. 592.4.3.4. Prueba-t independiente. 61

2.5. Conclusiones. 632.6. Referencias. 63 Capítulo 3: Estudio de un balastro no resonante basado en un convertidor

Reductor 3.1. Introducción. 653.2. Selección de las etapas del balastro no resonante. 663.3. Estudio del balastro propuesto. 73

3.3.1. Estudio del convertidor Reductor. 733.3.2. Estudio del circuito de encendido. 78

3.4. Diseño del balastro. 793.4.1. Diseño del convertidor Reductor. 803.4.2. Selección de interruptores para el inversor. 813.4.3. Diseño del circuito de encendido. 81

3.5. Conclusiones. 823.6. Referencias. 82

Capítulo 4: Estudio de un control clásico para un balastro resonante 4.1. Introducción. 834.2. Modelo lineal térmico de la resistencia equivalente de la lámpara en el dominio de la frecuencia compleja.

85

4.2.1. Linealización de la resistencia equivalente de la lámpara y la eficiencia térmica.

86

4.2.2. Modelado en pequeña señal de la resistencia equivalente de la lámpara. 884.2.3. Obtención de la resistencia equivalente de la lámpara en el dominio de la frecuencia compleja.

89

4.3. Impedancia de salida del convertidor Reductor. 974.4. Diseño de la etapa de control. 1044.5. Simulaciones y resultados experimentales. 109

4.5.1. Simulaciones. 1094.5.1.1. Simulaciones en estado estable. 1104.5.1.2. Simulaciones variando la corriente en la lámpara. 110

4.5.2. Resultados experimentales. 1114.5.2.1. Resultados experimentales en estado estable. 1144.5.2.2. Resultados experimentales variando la corriente en la lámpara. 115

4.5.3. Comparación entre los resultados de simulación y experimentales. 1164.6. Conclusiones. 1174.7. Referencias. 117 Capítulo 5: Estudio de un control por modos deslizantes para un balastro

no resonante 5.1 Introducción. 1195.2 Modelado del sistema. 1205.3 Superficie de deslizamiento. 1245.4 Análisis de existencia del modo de deslizamiento. 1255.5 Análisis de estabilidad. 126

5.5.1 Análisis de estabilidad gráfico del sistema utilizando el modelo no lineal del sistema.

126

5.5.1.1 Modelado del sistema. 1275.5.1.2 Trasladando el punto de operación al origen. 1305.5.1.3 Función de Lyapunov. 1315.5.1.4 Derivada de la función de Lyapunov. 1335.5.1.5 Verificar si la derivada de la función de Lyapunov es semidefinida negativa.

135

5.5.1.5.1 Análisis de la función cuando el sistema está en lazo abierto.

135

5.5.1.5.2 Análisis de la función cuando el sistema está en lazo cerrado.

137

5.5.2 Análisis de estabilidad analítico del sistema linealizando el modelo del sistema.

139

5.5.2.1 Linealización del modelo del sistema en lazo abierto y cerrado. 140

5.5.2.1.1 Modelo lineal del sistema en lazo abierto. 1405.5.2.1.2 Modelo lineal del sistema en lazo cerrado. 143

5.5.2.2 Análisis de estabilidad del sistema en lazo abierto y cerrado. 1455.5.2.2.1 Análisis de estabilidad en lazo abierto del sistema linealizado.

146

5.5.2.2.2 Análisis de estabilidad en lazo cerrado del sistema linealizado.

147

5.6 Diseño de la etapa de control. 1485.7 Simulaciones y resultados experimentales. 150

5.7.1 Simulaciones. 1505.7.1.1 Simulaciones en estado estacionario. 1505.7.1.2 Simulaciones variando la corriente en la lámpara. 151

5.7.2 Resultados experimentales. 1515.7.2.1 Resultados experimentales en estado estable. 1565.7.2.2 Resultados experimentales variando la corriente en la lámpara. 156

5.7.3 Comparación entre los resultados de simulación y experimentales. 1575.8 Conclusiones. 1585.9 Referencias. 159 Capítulo 6: Análisis comparativo entre un control por modos deslizantes

y un control lineal 6.1 Introducción. 1626.2 Comparación del número de componentes utilizados en la implementación física de los controladores.

162

6.3 Comparación del desempeño de los controladores. 1656.3.1 Simulaciones. 166

6.3.1.1 Seguimiento a una referencia tipo sinusoidal. 1666.3.1.2 Prueba de escalón de corriente en la lámpara. 168

6.3.2 Resultados experimentales. 1696.3.2.1 Seguimiento a la referencia tipo sinusoidal. 1696.3.2.2 Prueba de escalón de corriente en la lámpara. 170

6.4 Conclusiones. 1716.5 Referencias. 172 Conclusiones. O-1Referencias. R-1Apéndice A: Hojas de datos de la lámpara. A-1Apéndice B: Procedimiento para la validación de modelos. B-1Apéndice C: Programas en lenguaje ensamblador. C-1Apéndice D: Modelado del sistema en variables de estado. D-1Apéndice E: Análisis de existencia del control SMC. E-1Apéndice F: Teoremas empleados en el análisis de estabilidad del control SMC. F-1Apéndice G: Calculo de las referencias del control SMC. G-1Apéndice H: Linealización del sistema. H-1

S-1

Simbología

A Ampere, unidad de corriente eléctrica.AID Alta intensidad de descarga.BID Baja intensidad de descarga.cd Corriente directa.C Carga eléctrica (Coulomb).CFP Corrección del factor de potencia.CCFP Capacitor ó capacitancia de salida de una etapa de corrección del

factor de potencia (Faradio).CE Capacitor ó capacitancia de un convertidor Elevador (Faradio).CF Capacitor ó capacitancia de un filtro contra la interferencia

electromagnética (Faradio).Cg Capacitor ó capacitancia térmica del gas de relleno de la lámpara

(J/oC). CR Capacitor ó capacitancia de un convertidor Reductor (Faradio).CRE Capacitor ó capacitancia de un convertidor Reductor-Elevador

(Faradio).Crn Capacitor ó capacitancia resonante n de un tanque resonante

(Faradio).Cv1 Capacitancia ó capacitancia térmica del tubo de descarga de la

lámpara (J/oC).Cv2 Capacitancia ó capacitancia térmica del recipiente externo de la

lámpara (J/oC).Cx Capacitancia ó capacitancia térmica del espacio parcialmente

vacío de la lámpara (J/oC).oC Grados centígrados.d(t) Ciclo de trabajo en función del tiempo t. D(s) Transformada de Laplace de d(t). D Componentes constantes de d(t) en el punto de operación.

d Perturbaciones de d(t) en el punto de operación.

Daux Diodo de una red auxiliar de encendido.DE Diodo de un convertidor Elevador.d.f. Grados de libertad.DR Diodo de un convertidor Reductor.DRE Diodo de un convertidor Reductor-Elevador.Dr1, Dr2, Dr3 y Dr4 Diodos de un puente rectificador.ΔiLR Rizo de corriente en el inductor LR del convertidor Reductor

(Ampere).ΔvCR Rizo de voltaje en el capacitor CR (Voltaje).e Carga del electrón (Coulomb).Ec Error cuadrático medio.εr(jω) La energía almacenada en el inductor Lr en el dominio de la

frecuencia s = jω (Joule).f(x(t)) Función no lineal.Fm Ganancia del circuito generador de la rampa en el controlador PI.

S-2

F Faradio, unidad de capacitancia.F Prueba F.fc Frecuencia de conmutación del convertidor (Hertz). fe Frecuencia de operación del circuito de encendido en estado

estable. Gcs(s) Función de transferencia del controlador PI. H Henrio, unidad de inductancia. H Ganancia del lazo de retroalimentación del controlador PI. Hz Hertz unidad de frecuencia.ηL(Tg) Eficiencia de conversión de energía eléctrica a energía térmica en

función del tiempo t.ηL(Tg) Estado estable de η(Tg(t)).ηLL(Tg(t)) Versión lineal de η(Tg(t)).ηp(Tgp) Valor promedio de η(Tg(t)).iCR(t) Corriente en el capacitor CR en función del tiempo t. ID Corriente continúa de drenaje en un semiconductor (Ampere). IF Corriente continúa directa en un semiconductor (Ampere). iL(t) Corriente en la lámpara en función del tiempo t (Ampere). iL(s) Transformada de Laplace de iL(t) (Ampere).ILef Valor eficaz de iL(t) (Ampere).iLr Referencia para la corriente en la lámpara (Ampere). iLR(t) Corriente instantánea en el inductor LR del convertidor Reductor

en función del tiempo t (Ampere).iLR Valor nominal iLR(t) (Ampere).ILr(jω) Corriente a través de Lr en el dominio de la frecuencia s = jω. Im(RL(s=jωm)) Parte imaginaria de RL(s=jωm).Ix Nivel de corriente requerido en la etapa de control (Ampere). J Joule, es la unidad para el esfuerzo y trabajo.k Es la constante de Boltzmann (J/oC).Kp Ganancia proporcional.Kcr Valor crítico Kp.Laux Inductor ó inductancia de una red auxiliar de encendido (Henry).LE Inductor ó inductancia de un convertidor Elevador (Henry). LF Inductor ó inductancia de un filtro contra la interferencia

electromagnética (Henry).Lp Inductor ó inductancia del lado primario de un transformador

(Henry).LR Inductor ó inductancia de un convertidor Reductor (Henry). LRE Inductor ó inductancia de un convertidor Reductor-Elevador

(Henry).Lrn Inductor ó inductancia resonante n de un tanque resonante

(Henry).Ls Inductor ó inductancia del lado secundario de un transformador

(Henry).lmW-1 Unidad de eficiencia luminosa.Mp Máximo sobreimpulso.Linvn Inductancia ó inductancia n de un inversor de potencia (Henry).MCC Modo de conducción continúo.MCD Modo de conducción discontinuo.ME Mosfet de un convertidor Elevador.Minvn Mosfet n de un inversor de potencia.MR Mosfet de un convertidor Reductor.MRE Mosfet de un convertidor Reductor-Elevador.

S-3

mol Cantidad de materia.n Número de datos en un grupo de datos.ne(Tg(t)) Concentración de electrones del gas de relleno de la lámpara,

(mol/m3).n0 Concentraron de átomos en el plasma de la lámpara, (mol/m3). Ω Región cercana al origen.Ωl Región dentro de Ω. Pa Pascal, unidad de presión.pcon(t) Potencia conducida en la lámpara.PI Proporcional-Integral.pL(t) Potencia en la lámpara en función del tiempo t (Watt). pL Estado estable de pL(t) (Watt).pLp Valor promedio en pL(t) (Watt).Q La carga de un capacitor.qL(t) es la fuente de calor en función del tiempo t, la cual se localiza en

el centro de la lámpara y se genera a partir de la descarga en la lámpara,

qL Estado estable de qL(t) (Watt).qLp Valor promedio de qL(t) (Watt).qg(t) Flujo de calor en el gas de relleno de la lámpara en función del

tiempo t (Watt).qg Estado estable de qg(t) (Watt).qv1(t) Flujo de calor en el tubo de descarga de la lámpara en función del

tiempo t (Watt).qv1 Estado estable de qv1(t) (Watt).qv2(t) Flujo de calor en el recipiente externo de la lámpara en función del

tiempo t (Watt).qv2 Estado estable de qv2(t) (Watt).prad(t) Potencia radiada en la lámpara en función del tiempo t (Watt). Ra Resistencia térmica del medio ambiente (oC/W). RDS(on) Resistencia de encendido de drenaje-fuente de un Mosfet (Ohm).Raux Resistencia de una red auxiliar de encendido (Ohm). Rg Resistencia térmica del gas de relleno de la lámpara (Ohm). Re(RL(s=jωm)) Parte real de RL(s=jωm) (Ohm).RL(Tg(t)) Resistencia equivalente de la lámpara (Ohm).RL(Tg) Estado estable de RL(Tg(t)).RL(s=jωm) Resistencia equivalente de la lámpara en el dominio de la

frecuencia s = jω (Ohm).RLL(Tg(t)) Versión lineal de RL(Tg(t)).RLL(s) Resistencia equivalente de la lámpara lineal en función de la

frecuencia s = jω (Ohm).Rsn Resistencia n de sensado.Rv1 Resistencia térmica del tubo de descarga de la lámpara (oC/W)).Rv2 Resistencia térmica del recipiente externo de la lámpara (oC/W).Rx Resistencia térmica del espacio parcialmente en vacío de la

lámpara (oC/W).S Siemens, unidad de conductancia eléctrica.s Variable compleja.SMC Control por modos deslizantes.S2 Varianza de un grupo de datos.σ Superficie de deslizamiento.σ& Derivada de σ.

S-4

σe(Tg(t)) Conductancia del gas de relleno de la lámpara en función del tiempo t (Siemens).

T Periodo de conmutación del convertidor Reductor. t Prueba t.T(s) Función de transferencia del lazo de retroalimentación. Ta(t) Temperatura del medio ambiente en función del tiempo t

(Centígrados).Ta Estado estable de Ta(t) (Centígrados).Tg(t) Temperatura del gas de relleno de la lámpara en función del

tiempo t (Centígrados).Tg Estado estable de Tg(t) (Centígrados).τg Constante térmica del gas de relleno de la lámpara (Segundos). Ti Tiempo de integración (Segundos).Tv1(t) Temperatura del tubo de descarga de la lámpara en función del

tiempo t (Centígrados).Tv1 Estado estable de Tv1(t) (Centígrados).τv1 Constante térmica del tubo de descarga de la lámpara (Segundos). Tv2(t) Temperatura del un recipiente externo de la lámpara en función del

tiempo t (Centígrados).Tv2 Estado estable de Tv2(t) (Centígrados).τv2 Constante térmica de bulbo externo de la lámpara (Segundos). te Tiempo de establecimiento de la RL(Tg(t)) (Segundos). trr Tiempo de recuperación inversa de un diodo de potencia

(Segundos).tr Tiempo de subida (Segundos).ts Tiempo de establecimiento (Segundos).u(t) Ley de control ó interruptor ideal.up Ley de control promedio.V Volt, unidad de voltaje eléctrico.Vca(t) Fuente de voltaje de corriente alterna en función del tiempo t

(Volt). V(BR)DSS Voltaje de rompimiento drenaje-fuente de un Mosfet (Volt). Vcd Fuente de voltaje de corriente directa (Volt).vCR(t) Voltaje instantáneo en el capacitor CR.vCR Valor nominal de vCR(t) en función del tiempo t (Volt). Vi Potencial de ionización y es la mínima energía necesaria para

liberar el electrón más externo de un átomo gaseoso en su estado neutro (Volt).

Vii(t) Voltaje de entrada del inversor de potencia en función del tiempo t (Volt).

vL(t) Voltaje en la lámpara en función del tiempo t (Volt). vLR(t) Voltaje en la lámpara en el inductor Lr en función del tiempo t

(Volt). vLenc(jω) Voltaje de encendido de la lámpara en el dominio de la frecuencia

s = jω (Volt).VLr(jω) Corriente a través de Lr en el dominio de la frecuencia s =

jω (Volt).VLef Valor eficaz de vL(t) en función del tiempo t (Volt). Voi(t) Voltaje a la salida de un inversor de potencia en función del

tiempo t (Volt).Voi(jω) Voltaje a la salida de un inversor de potencia en el dominio de la

frecuencia s = jω (Volt).Voi,rms Valor eficaz de Voi(t) (Volt).

S-5

Voi Valor promedio de Voi (Volt).Vp Magnitud de la señal diente de sierra del controlador PI (Volt).VRRM Voltaje de rompimiento cátodo-ánodo de un diodo de potencia

(Volt). V(x,t) Función definida positiva.

( ),V x t& Derivada de V(x,t).1 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ, , , , , y L L g v v a Lv i T T T T q Perturbaciones de vL(t), iL(t), Tg(t), Tv1(t), Tv2(t), Ta(t) y qL(t) en el punto de operación.

VL, IL, Tg, Tv1, Tv2, Ta(t) y QL.

Componentes constantes de vL(t), iL(t), Tg(t), Tv1(t), Tv2(t), Ta(t) y qL(t) en el punto de operación.

VL(s), IL(s), Tg(s), Tv1(s), Tv2(s), Ta(s) y QL(s).

Transformadas de Laplace de vL(t), iL(t), Tg(t), Tv1(t), Tv2(t), Ta(t) y qL(t) en el punto de operación.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2t , t , t , t y tCR LR g v vv i T T T& & &&& Primera derivada de vCR(t), iLR(t), Tg(t), Tv1(t), Tv2(t), Ta(t).

vCRp, iLRp, Tgp, Tv1p, Tv2p, Tap Valores promediadas de vCR(t), iLR(t), Tg(t), Tv1(t), Tv2(t), Ta(t).

vCRpe, iLRpe, Tgpe, Tv1pe, Tv2pe Variables de error promediadas de vCR(t), iLR(t), Tg(t), Tv1(t), Tv2(t), Ta(t).

vCRpr, iLRpr, Tgpr, Tv1pr, Tv2pr Referencias de las variables vCRp, iLRp, Tgp, Tv1p, Tv2p, Tap, las cuales están definidas en estado estacionario.

W Watt, unidad de potencia eléctrica.ω Frecuencia natural (Radianes por segundo).ωe Frecuencia natural de operación del circuito de encendido en

estado estable (Radianes por segundo).ωm Frecuencia natural de una señal moduladora (Radianes por

segundo).ωr Frecuencia de resonancia ó frecuencia de encendido. Wh Watts por hora, unidad de energía eléctrica.x Valor medio de un grupo de datos.XCr(jω) Impedancia equivalente de Cr en el dominio de la frecuencia s =

jω (Ohm).XLr(jω) Impedancia equivalente de Lr en el dominio de la frecuencia s =

jω (Ohm).XLs(jω) Impedancia equivalente de Ls en el dominio de la frecuencia s =

jω (Ohm).XLers Impedancia máxima de la inductancia serie del circuito de

encendido en estado estable (Ohm). ZCg(s) Impedancia de Cg en el dominio de la frecuencia s = jω (Ohm).ZCv1(s) Impedancia de Cv1 en el dominio de la frecuencia s = jω (Ohm).ZCv2(s) Impedancia de Cv2 en el dominio de la frecuencia s = jω (Ohm).Zout(s) Impedancia de salida de un convertidor cd-cd en el dominio de la

frecuencia s = jω (Ohm).ZR_CL(s) Impedancia de salida en lazo cerrado sensando la corriente en la

lámpara del convertidor Reductor en el dominio de la frecuencia compleja s = jω (Ohm).

ZR_OL(s) Impedancia de salida en lazo abierto sensando la corriente en la lámpara del convertidor Reductor en el dominio de la frecuencia compleja s = jω (Ohm).

F-1

Lista de figuras y tablas

Lista de figuras

Capitulo 1: Estado del arte Figura 1.1 Mejoras en la eficiencia luminosa de varios tipos de lámparas al paso del tiempo, de la referencia [2].

3

Figura 1.2 Curva típica de la resistencia de las lámparas de AID. 4Figura 1.3 Diagrama a bloques de un balastro electrónico, de la referencia [4]. 8Figura 1.4 Formas de ondas de voltaje y corriente de un balastro electrónico resonante, de la referencia [4].

8

Figura 1.5 Diagrama de bloques de un balastro no resonante, de la referencia [6]. 9Figura 1.6 Formas de onda de voltaje y corriente de un balastro no resonante. 9Figura 1.7 Balastro electrónico no resonante propuesto en la referencia [7]. 11Figura 1.8 Balastro electrónico no resonante propuesto en la referencia [8]. 12Figura 1.9 Balastro electrónico no resonante propuesto en la referencia [9]. 13Figura 1.10 Balastro electrónico no resonante propuesto en la referencia [10]. 14Figura 1.11 Respuesta típica en frecuencia de los modelos lineales de lámparas AID. 15Figura 1.12 Modelos lineales propuestos para lámparas de AID: (a) Modelo con RL(s=0)=0, de la referencia [12], (b) Modelo con RL(s=0) < 0, de las referencias [12-13].

16


Figura 2.1 Lámpara de AID de halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W, de la compañía Philips).

30

Figura 2.2 Corte transversal de una lámpara de AID. 30Figura 2.3 Circuito eléctrico equivalente de la lámpara de AID. 31Figura 2.4 Diagrama de flujo de potencia en una lámpara de AID. 32Figura 2.5 Representación gráfica del modelo de la lámpara. 34Figura 2.6 Diagrama de bloques del circuito de prueba. 36Figura 2.7 Modelo de la lámpara en estado estacionario para estimar los valores de las resistencias térmicas.

38

Figura 2.8 Gráfica experimental de la eficiencia ηL(Tg). 42Figura 2.9 Gráfica experimental de la resistencia RL(Tg). 42Figura 2.10 Gráficas experimental y teórica de la de la eficiencia ηL(Tg). 43Figura 2.11 Gráficas experimental y teórica de la resistencia RL(Tg). 43Figura 2.12 Descomposición del circuito térmico en redes RC. 47Figura 2.13 Medición de la constante τg a través de una prueba de escalón de corriente. 49

F-2

Figura 2.14 Medición de la constante τv1 a través de una prueba de escalón de corriente.

49


50

Figura 2.16 Modelo de la lámpara propuesto implementado en Simulink. 53Figura 2.17 Gráficas obtenidas para el proceso de validación: a) iL(t), b) Tv2(t) y c) RL(t).

53

Figura 2.18 Diagrama de flujo para las pruebas de hipótesis, etapa de verificar la normalidad de los datos.

55

Figura 2.19 Diagrama de flujo para las pruebas de hipótesis, etapa de verificar la normalidad de los datos.

58

Figura 2.20 Diagrama de flujo para las pruebas de hipótesis para la etapa donde se verifica el tipo de apareamiento de los datos.

59

Figura 2.21 Diagrama de flujo para las pruebas de hipótesis, etapa de verificar si las varianzas del sistema y del modelo son iguales.

60

Figura 2.22 Diagrama de flujo para las pruebas de hipótesis, etapa de verificar si el modelo es válido.

62

Capítulo 3: Estudio de un balastro no resonante basado en un convertidor

Reductor Figura 3.1 Diagrama a bloques del balastro seleccionado. 66Figura 3.2 Topologías de inversores más comunes en el área de iluminación. 68Figura 3.3 Configuración básica del inversor puente completo. 69Figura 3.4 Formas de onda del inversor puente completo. 70Figura 3.5 Circuitos de encendido comunes en el área de iluminación. 71Figura 3.6 Convertidores cd-cd que pueden emplearse en el balastro propuesto. 72Figura 3.7 Diagrama esquemático del balastro propuesto. 73Figura 3.8 Diagrama esquemático del convertidor Reductor. 73Figura 3.9 Modos de operación del convertidor Reductor: a) circuito eléctrico equivalente cuando MR esta encendido, b) circuito equivalente cuando MR esta apagado.

74

Figura 3.10 Gráficas de vLR(t) e iLR(t). 75Figura 3.11 Gráficas de las variable vCR(t) e iLR(t). 76Figura 3.12 Circuito de encendido propuesto. 78

Capítulo 4: Estudio de un control clásico para un balastro no resonante Figura 4.1 Circuito térmico equivalente lineal para lámparas de AID. 90 Figura 4.2 Circuito equivalente Norton del circuito lineal térmico. 90 Figura 4.3 Circuito térmico equivalente de la lámpara para el cálculo de la impedancia ZNab(s).

90

Figura 4.4 Circuito térmico equivalente de la lámpara para el cálculo de la impedancia INab(s).

91

Figura 4.5 Circuito equivalente Norton para evaluar los efectos de la fuente QL(s) en la resistencia de la lámpara.

92

F-3

Figura 4.6 Diagramas de Bode de la resistencia (RLL1(s)) para una lámpara de AID de halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W, de la compañía Philips).

93

Figura 4.7 Circuito equivalente Norton para evaluar los efectos de la fuente INab(s) en la resistencia RLL1(s).

94

Figura 4.8 Diagramas de Bode de la resistencia (RLL2(s)) para una lámpara de AID de halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W, de la compañía Philips).

95

Figura 4.9 Diagrama a bloque de la resistencia total de la lámpara. 96 Figura 4.10 Diagrama esquemático del convertidor Reductor. 97 Figura 4.11 Circuito equivalente Norton del convertidor Reductor. 98 Figura 4.12 Circuito equivalente Norton del sistema balastro-lámpara. 98 Figura 4.13 Circuito equivalente Thevenin del sistema balastro-lámpara. 98 Figura 4.14 Circuito equivalente del convertidor Reductor en pequeña señal. 99 Figura 4.15 Circuito equivalente del convertidor Reductor en el dominio de la frecuencia compleja s = jω.

100

Figura 4.16 Circuito equivalente del convertidor Reductor para el cálculo de ZR OL(s). 100Figura 4.17 Diagrama de Bode de la impedancia ZR OL(s) y RLL(s). 102Figura 4.18 Diagrama de Nyquist de el cociente RLL(s)/ZR OL(s). 102Figura 4.19 Diagrama de bloques del convertidor Reductor en lazo cerrado retroalimentando la corriente en la lámpara.

103

Figura 4.20 Circuito de control del convertidor Reductor en lazo cerrado retroalimentando la corriente en la lámpara.

103

Figura 4.21 Sistema en lazo cerrado con controlador proporcional. 104Figura 4.22 Diagrama esquemático del balastro con un control proporcional (P) clásico en Simulink para encontrar los parámetros.

105

Figura 4.23 Oscilaciones en la corriente iL(t). 106Figura 4.24 Circuito electrónico del controlador PI propuesto. 106Figura 4.25 Diagramas de Bode de RLL(s) y ZR CL(s). 108Figura 4.26 Diagrama de Nyquist de RLL(s)/ZR CL(s). 108Figura 4.27 Diagrama esquemático del balastro con el control PI clásico propuesto en Simulink.

109

Figura 4.28 Resultado de simulación del sistema en lazo cerrado a en estado estacionario.

110

Figura 4.29 Simulaciones en Simulink variando a corriente en la lámpara iL(t). 110Figura 4.30 Diagrama esquemático del balastro electrónico con un control PI: (a) convertidor reductor, (b) etapa de control, (c) inversor puente completo, (d) circuito de encendido más la lámpara.

111

Figura 4.31. Diagrama de flujo del funcionamiento del balastro propuesto. 113Figura 4.32 Diagrama de flujo para la programación del micro. 114Figura 4.33 Resultados experimentales a potencia nominal (70 W). 115Figura 4.34 Resultados experimentales variando la corriente en la lámpara iL(t). 115Figura 4.35 Comparación entre los resultados experimentales y los resultados de simulación.

116

F-4

Capítulo 5: Estudio de un control por modos deslizantes para un balastro no resonante

Figura 5.1 Diagrama esquemático del balastro propuesto. 120 Figura 5.2 Simplificaciones del balastro: (a) etapa de potencia completa, (b) sin circuito de encendido, (c) sin inversor, (d) utilizando un interruptor ideal y considerando el modelo de la lámpara de AID.

122

Figura 5.3 Estructuras de un convertidor Reductor. 123Figura 5.4 Diagrama de bloques del sistema con el control por modos deslizantes propuesto.

125

Figura 5.5 Diagrama esquemático del convertidor Reductor con variables promediadas. 127Figura 5.6 Gráficas de la variable en función de las variables: a) vCRpe, b) iLRpe, c) Tgpe, d) Tv1pe, e) Tv2pe.

137

Figura 5.7 Graficas de la variable en función de las variables: a) vCRpe, b) iLRpe, c) Tgpe, d) Tv1pe, e) Tv2pe.

139

Figura 5.8 Diagrama esquemático del balastro con el control por modos deslizantes propuesto en Simulink.

149

Figura 5.9. Respuesta en la corriente de la lámpara (iL(t)) ante un cambio de corriente . 149 Figura 5.10 Simulaciones en Simulink a potencia nominal (70W) en estado estacionario. 150 Figura 5.11 Simulaciones en Simulink variando a corriente en la lámpara iL(t). 151 Figura 5.12 Diagrama esquemático del balastro electrónico con un control por modos deslizantes: (a) convertidor Reductor, (b) etapa de control, (c) inversor puente completo, (d) circuito de encendido más lámpara.

152

Figura 5.13. Diagrama de flujo del funcionamiento del balastro propuesto. 154 Figura 5.14 Diagrama de flujo para la programación del microcontrolador. 155Figura 5.15 Resultados experimentales a potencia nominal (70 W). 156Figura 5.16 Resultados experimentales variando la corriente en la lámpara iL(t). 156 Figura 5.17 Comparación entre los resultados experimentales y los resultados de simulación.

157

Capítulo 6: Análisis comparativo entre un control por modos deslizantes

y un control lineal Figura 6.1 Diagrama esquemático del balastro propuesto. 165 Figura 6.2 Respuesta del balastro propuesto usando como corriente de referencia una onda sinusoidal.

166

Figura 6.3 Respuesta a un escalón de corriente del balastro propuesto bajo la influencia de los controladores SMC y PI.

167

Figura 6.4 Respuesta del balastro propuesto usando como corriente de referencia una onda sinusoidal.

168

Figura 6.5 Respuesta a un escalón de corriente del balastro propuesto bajo la influencia de los controladores SMC y PI.

169

F-5

Lista de Tablas

Capitulo 1: Estado del arte

Tabla 1.1 Características de los balastros para lámparas de AID. 10Tabla 1.2 Metodología de diseño de un controlador clásico para un balastro resonante. 19


Tabla 2.1 Parámetros a evaluar del modelo propuesto para lámparas de AID. 34Tabla 2.2 Pasos para la estimación de los parámetros de una lámpara en estado estacionario.

39

Tabla 2.3 Instrumentos de medición utilizados en la pruebas en estado estacionario. 40Tabla 2.4 Metodología de caracterización de la lámpara en estado estacionario. 40Tabla 2.5 Datos de la lámpara CDM-TD 70W a potencia nominal pL = 70 W, con una temperatura Ta = 26 oC, y en estado estacionario.

41

Tabla 2.6 Valores de las resistencias térmicas. 41Tabla 2.7 Datos experimentales de la lámpara CDM-TD 70W para diferentes potencias pL, con una temperatura Ta = 26 oC, y en estado estacionario.

41

Tabla 2.8 Valores de los parámetros B1, B2, B3 y B4. 44Tabla 2.9 parámetros de la lámpara de AID estimados con las pruebas estacionarias. 44Tabla 2.10 Metodología para la extracción de los parámetros τg, τv1 y τv2. 48Tabla 2.11 Constantes térmicas de la lámpara. 50Tabla 2.12 Capacitancias térmicas de la lámpara. 50Tabla 2.13 Parámetros del modelo propuesto para lámparas de AID. 51Tabla 2.14 Metodología para la validación del modelo. 52Tabla 2.15 Procedimiento para la validación del modelo propuesto. 52Tabla 2.16 Datos experimentales y teóricos de la variable RL(Tg(t)) para una lámpara de halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W de la compañía philips).

55

Tabla 2.17 Datos experimentales y teóricos de la variable Tv2(t) para una lámpara de halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W de la compañía philips).

56

Tabla 2.18 Resultados de la prueba de normalidad. 58Tabla 2.19 Resultados del cálculo de varianzas. 59Tabla 2.20 Resultados de la prueba F. 60Tabla 2.21 Resultados del cálculo de valor medio y desviación estándar. 61Tabla 2.22 Resultados de la prueba t. 62 Capítulo 3: Estudio de un balastro no resonante basado en un convertidor

Reductor Tabla 3.1 Secuencia de pasos para la selección de los circuitos del balastro propuesto. 67Tabla 3.2 Características de los inversores más comunes en el área de iluminación. 69Tabla 3.3 Característica de los circuitos de encendido para lámparas de AID típicos en el área de iluminación.

71

Tabla 3.4 Especificaciones del balastro no resonante propuesto. 79

F-6

Capítulo 4: Estudio de un control clásico para un balastro resonante Tabla 4.1 Parámetros de la resistencia equivalente de la lámpara de AID de halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W, de la compañía Philips).

93

Tabla 4.2 Parámetros de la impedancia ZR OL(s). 101Tabla 4.3 Ecuaciones para el cálculo de los parámetros Kp y Ti. 104Tabla 4.4 Parámetros del sistema para la simulación del sistema de la figura 4.22. 105Tabla 4.5 Parámetros del sistema balastro lámpara en lazo cerrado. 108Tabla 4.6. Parámetros para la simulación del sistema en lazo cerrado. 109Tabla 4.7 Lista de partes para la implementación física del balastro propuesto. 112 Capítulo 5: Estudio de un control por modos deslizantes para un balastro

no resonante Tabla 5.1 Referencias (Tgpr, Tv1pr, Tv2pr, vCRpr, iLRpr y μpr) del modelo trasladado al origen.

131

Tabla 5.2. Parámetros para la función ( )V x& . 134

Tabla 5.3 Valores de las variables de desviación. 135Tabla 5.4. Parámetros para el modelo del sistema linealizado en lazo abierto. 143Tabla 5.5. Parámetros para la simulación del sistema de la figura 5.8. 149Tabla 5.6 Lista de partes para la implementación física del balastro propuesto. 153 Capítulo 6: Análisis comparativo entre un control por modos deslizantes

y un control lineal Tabla 6.1 Lista de partes para la implementación física que son comunes en los balastros propuestos.

163

Tabla 6.2 Lista de partes para la implementación física que son diferentes en los balastros propuestos.

164

Tabla 6.3 Costos de un control por modos deslizantes y un control PI. 164Tabla 6.4 Resultados de simulación del desempeño de los controladores para los parámetros: Ec,tr, ts y Mp.

168

Tabla 6.5 Resultados experimentales del desempeño de los controladores para los parámetros: Ec,tr, ts y Mp.

170

Introducción

I-1

Introducción Las lámparas de descarga son una buena opción para obtener sistemas de iluminación de alta calidad. Esto debido a que tienen una elevada eficacia luminosa, una larga vida útil, otras tienen una luz muy agradable comparada con la clásica lámpara incandescente, y algunas de ellas, tienen un tamaño reducido comparado con la clásica lámpara incandescente. Sin embargo estas lámparas utilizan lo que se conoce como el cuarto estado de la materia ó plasma para generar esta luz. Una de las características del plasma es su alta temperatura; un ejemplo típico de un plasma es el sol. El comportamiento de un plasma es muy peculiar y muy complejo lo cual complica el estudio del comportamiento de las lámparas de descarga. Este problema ha obligado a los investigadores del área de balastros a caracterizar y modelar estas lámparas de la forma más sencilla posible con la finalidad de no complicar demasiado el diseño de los sistemas de iluminación que utilizan este tipo de lámparas. El principal inconveniente de estas simplificaciones, es la pérdida de información importante, la cual es necesaria para un estudio adecuado de estos sistemas. Idealmente lo mejor sería tener un modelo que representara todas las características del plasma con lo cual obtendríamos un modelo muy completo de este sistema. Sin embargo, un modelo altamente completo es un modelo muy complejo. Por lo tanto, la tendencia es ir en la búsqueda de un modelo adecuado que represente lo mejor posible el comportamiento de estas lámparas y que permita estudiar los sistemas de iluminación con las herramientas matemáticas que son ampliamente utilizadas en el área de la electrónica de potencia. El plasma dentro de una lámpara de descarga se genera a partir de una corriente eléctrica que circula través de un gas de relleno, el cual puede ser vapor de mercurio ó vapor de sodio. Este plasma presenta variantes en su comportamiento dependiendo del tipo de gas, de la presión con que se inyecta este gas dentro de la lámpara y de la magnitud de la corriente eléctrica. La combinación de estos factores genera una variada gama de lámparas de descarga. Algunas buenas características de las lámparas se ven realzadas y otras minimizadas con la manipulación de estas variables. Dentro de toda esta gama de lámparas existe un tipo de lámpara conocida como lámpara de alta intensidad de descarga (AID) de halogenuros metálicos que mantiene un mejor balance entre sus ventajas y desventajas, esto la coloca dentro de las mejores opciones para el desarrollo de los sistemas de iluminación basados en lámparas de descarga. Para lograr un tamaño reducido y una larga vida útil en estas lámparas, el gas de relleno es inyectado a alta presión. Para lograr una alta eficacia luminosa, una luz agradable y ayudar a prolongar la vida útil de estas lámparas se le incorpora al gas aditamentos conocidos como halogenuros metálicos.

Inyectar un gas dentro de las lámparas de AID a una presión alta tiene una gran desventaja. La lámpara se vuelve sensible a los efectos nocivos de las ondas de presión que se presentan en el gas de relleno, esto se debe a que un gas a alta presión actúa como un amplificador para estas ondas de presión. Los efectos nocivos de este fenómeno son fluctuaciones en la intensidad de la luz. Esto es peligroso porque esas fluctuaciones pueden

Introducción

I-2

ser tan intensas que es posible que la lámpara se destruya. A este fenómeno se le conoce comúnmente como resonancias acústicas.

El fenómeno de las resonancias acústicas es causado por modulaciones de la potencia en la lámpara. Esto se asemeja mucho al proceso de generar ondas de sonido en un sistema de audio. Los efectos de las resonancias acústicas se hacen más notorios a frecuencias altas pues el gas conduce mejor las ondas de presión, lo cual se asemeja a la transmisión de señales de radiofrecuencia por el medio ambiente. La solución a este problema es básicamente eliminar la fuente de las ondas de presión mediante la modulación de la potencia en la lámpara. Esto implica que esta potencia debe permanecer constante. Esto se logra aplicando formas de ondas determinadas de voltaje y corriente a la lámpara. Estas formas de ondas dependen de los requerimientos de alimentación de una lámpara en particular. En el caso menos común en donde la lámpara trabaja con corriente directa, las formas de ondas más sencillas para lograr una potencia constante en la lámpara son formas de ondas constantes en la corriente y voltaje de la lámpara. En el caso más común donde la lámpara requiere funcionar con corriente alterna, las formas de ondas más sencillas para lograr una potencia constante en la lámpara son formas de ondas cuadradas en la corriente y voltaje de la lámpara.

La solución sería relativamente sencilla si pudiéramos aplicar directamente a la

lámpara las formas de onda cuadradas en corriente y voltaje con un inversor de potencia como el típico puente completo. El problema con esta idea, es que el comportamiento de la lámpara es inestable. Esto se debe a los cambios en las características del plasma, los cuales se ven reflejados como cambios en su impedancia equivalente. Asimismo, estos cambios en la impedancia afectan a la corriente en la lámpara. Estos cambios son continuos y no cesan hasta que la corriente alcanza su nivel máximo o mínimo y la lámpara se destruye o se apaga, siendo el caso más común que la lámpara se destruya.

La única forma de frenar ese proceso destructivo es limitando la corriente en la

lámpara. El método mas simple es utilizando las propiedades intrínsecas de limitación de corriente de la resistencia eléctrica. Este elemento se caracteriza por mantener siempre constante su valor de resistencia. Así colocándola en serie con la lámpara, no importa si esta cambia su impedancia, porque la resistencia siempre mantendrá la corriente eléctrica por debajo de un límite superior en el cual la lámpara opera adecuadamente. Es visible que utilizar una resistencia eléctrica para limitar la corriente en la lámpara es algo impractico, porque la resistencia desperdicia toda la energía eléctrica en forma de calor. La solución práctica es utilizar un resistor libre de pérdidas. Este elemento se puede construir empleando como base elementos no disipadores de energía como es el capacitor y el inductor.

Se deduce entonces en base a lo anterior, que la lámpara tiene un comportamiento

muy diferente al comportamiento de algunos componentes electrónicos típicos como una resistencia, capacitancia ó inductancia. Esto se debe a las características únicas del plasma generado dentro de la lámpara. Para descifrar el comportamiento del plasma existe toda una ciencia dedicada a su estudio conocida como la física del plasma, la cual se basa en teorías muy complejas de física moderna para describir y modelar su comportamiento. La mayoría

Introducción

I-3

de los conceptos presentados en estas teorías requieren de un conocimiento profundo de esa ciencia. Este adiestramiento especializado en física representa un obstáculo para los ingenieros especializados en el estudio y diseño de balastros, para utilizar estos modelos tan complejos en sus análisis. Además de esto, los modelos desarrollados en esa área tienen muchos parámetros a evaluar y algunos de ellos requieren de equipo especializado, costoso y por lo mismo muy difícil de conseguir como espectrómetros de alta precisión. Esto aunado al hecho de que se requiere de ser un experto en física para manejar estos modelos desanima a los diseñadores de utilizarlos en sus estudios de balastros electrónicos. Estos diseñadores optan mejor por utilizar modelos sencillos basados en un ajuste de curvas y que están muy limitados, pues no aproximan adecuadamente el comportamiento real de estas lámparas.

Debido a lo anteriormente expuesto, en este trabajo de investigación, se propone,

como idea principal, el desarrollo de un modelo para lámparas de AID que incorporé suficientes conceptos de física moderna para una adecuada representación del fenómeno real y con parámetros que pueden evaluarse con equipo convencional como un osciloscopio. Estas características hacen del modelo propuesto una buena opción para el desarrollo sistemático de balastros electrónicos por medio de las técnicas convencionales empleadas en el área de la electrónica de potencia.

Un modelo debe aproximar el comportamiento del sistema real. Una vez que se ha

terminado un modelo es necesario realizarle una serie de pruebas para saber si representa adecuadamente el comportamiento real del sistema. A esa serie de pruebas se le conoce como proceso de validación y comúnmente se realiza de modo cualitativo y cuantitativo. El proceso de validación cualitativo se basa en utilizar como base el criterio de los expertos en el área de modelado de lámparas de AID. El proceso cuantitativo típicamente esta basado en una serie de pruebas estadísticas que involucran al modelo y al sistema real. El modelo propuesto se validó por medio de ambos métodos, cualitativo y cuantitativo.

El modelo propuesto puede utilizarse para el estudio de balastros electrónicos.

Dentro de estos balastros existe actualmente mucho interés, por parte de los investigadores del área de balastros, en una topología conocida como balastro no resonante. La principal ventaja de esta topología es que elimina el fenómeno de las resonancias acústicas y su principal desventaja es su alta complejidad porque requiere de un resistor libre de pérdidas para estabilizar la corriente en la lámpara. Este resistor típicamente se construye con un convertidor de corriente directa a corriente directa (cd-cd) con una etapa de control en lazo cerrado. La etapa de control debe diseñarse con alguna estrategia de control existente en el área de control. Las estrategias de control en su mayoría tienen una metodología bien definida donde comúnmente se hace uso de algún modelo adecuado del sistema. Si un modelo representa adecuadamente el comportamiento de un sistema real, entonces también puede ser útil para el estudio un controlador en lazo cerrado.

Por lo tanto en base a lo anterior, en este trabajo de investigación, se propone

como idea secundaria utilizar el modelo propuesto de lámparas de AID en el diseño de un balastro no resonante con una etapa de control en lazo cerrado, con la finalidad de comprobar que el modelo es útil para esa tarea.

Introducción

I-4

La estrategia de control ampliamente utilizada en el estudio de balastros no resonantes es la clásica. Con esta estrategia se han obtenido resultados satisfactorios, como por ejemplo, lograr que el sistema en lazo cerrado sea estable. La limitante de esta estrategia es que los análisis del sistema solo son válidos para una pequeña región cercana al punto de operación. En base a lo anterior se propone utilizar esta estrategia de control en conjunto con la versión lineal del modelo propuesto para lámparas de AID para el diseño de un balastro propuesto.

Otra estrategia de control que ha mostrado un buen desempeño en sistemas

similares a los balastros no resonantes, es la estrategia de control no lineal por modos deslizantes. Las principales ventajas de esta estrategia son su sencillez y su buena respuesta dinámica. Debido a esto, también se propone utilizar esta estrategia de control en conjunto con la versión no lineal del modelo propuesto para el diseño del balastro propuesto en la alimentación de lámparas de AID.

Utilizando las dos estrategias anteriormente mencionadas se demostrará que el

modelo es útil para el diseño de este tipo de sistemas. Adicionalmente, se realizará una comparación entre ambas estrategias de control, con la finalidad de conocer las ventajas y desventajas de estas estrategias cuando se utilizan en este tipo de balastros.

El documento de tesis está organizado en seis capítulos. El primer capítulo (estado

del arte), examina las propuestas de diversos autores publicados en los foros más importantes de la Electrónica de Potencia y finaliza con el planteamiento de la propuesta para este trabajo de investigación.

El capítulo dos (Modelo propuesto de lámparas de AID), muestra la deducción del

modelo propuesto para lámparas de AID y su validación. El capítulo tres (Estudio de un balastro no resonante basado en un convertidor

reductor), muestra las ecuaciones de diseño y formas de onda del balastro propuesto que ayudan a entender su funcionamiento, al final se muestra un ejemplo de diseño. El capítulo cuatro (Estudio de un control clásico para un balastro no resonante), muestra el análisis y diseño de la etapa de control del convertidor propuesto con la estrategia de control clásica. Además se presenta la forma en que se implementó físicamente dicho control. El capítulo cinco (Estudio de un control por modos deslizantes para un balastro no resonante), muestra el análisis y diseño de la etapa de control del convertidor propuesto con la estrategia de control por modos deslizantes. Asimismo también se presenta la forma en que se implementó físicamente dicho control. En el capítulo seis (Análisis comparativo entre un control por modos deslizantes y un control lineal), se presenta un análisis comparativo entre las dos estrategias de control propuestas y se divide en dos partes: simulaciones y resultados experimentales.

Introducción

I-5

Finalmente se presentan las conclusiones del trabajo de investigación en donde se plantean los puntos más importantes. Básicamente se concluye que el modelo propuesto de lámparas de AID es útil para el diseño de balastros electrónicos y en especial para los no resonantes. Esto debido a que los resultados obtenidos en los análisis realizados y en las simulaciones y experimentación fueron satisfactorios. Los resultados obtenidos muestran que los análisis del balastro con el modelo propuesto de lámparas de AID son correctos y corresponden con el comportamiento real del sistema. Asimismo los resultados de simulación y experimentales muestran que el sistema es estable y que se obtienen formas de ondas cuadradas, con lo cual se elimina el fenómeno de las resonancias acústicas.

Introducción

I-6


1

Capítulo 1

ESTADO DEL ARTE 1.1. Introducción

El presente capítulo trata sobre el marco teórico relacionado con el tema de tesis. El propósito de este marco teórico es dar al presente proyecto de investigación un enfoque coordinado y coherente de conceptos y proposiciones. Asimismo con el propósito de plantear los objetivos de este trabajo de investigación se realizó una revisión del estado del arte sobre el modelado de lámparas de AID, balastros no resonantes y la estrategia de control clásica, la cual es la más empleada en el estudio de sistemas balastro-lámpara.

Esta información permitirá abordar la problemática relacionada con la carencia de

un modelo adecuado para lámparas de AID. Por lo tanto, se propone un modelo que ayude en el estudio de balastros electrónicos. En particular aquellos balastros donde se requiere de un modelo del sistema balastro-lámpara. Como por ejemplo los sistemas que emplean lámparas de AID susceptibles al fenómeno de las resonancias acústicas.

El fenómeno de las resonancias acústicas en lámparas de AID es un problema muy

importante porque causa fluctuaciones en la luz, las cuales causan una sensación de molestia en los usuarios, y en un caso extremo puede destruir las lámparas.

Para evitar este problema es necesario eliminar su fuente de excitación (las

modulaciones de potencia presentes en la lámpara), lo cual se logra alimentando con

Capítulo 1. Estado del arte

2

potencia constante a la lámpara. La forma más sencilla de lograrlo es aplicando formas de ondas cuadradas en voltaje y corriente a la lámpara, esto se puede lograr utilizando un balastro no resonante. En consecuencia, los balastros no resonantes son una buena solución a este fenómeno. Por lo tanto, en la actualidad existe un gran interés, en los investigadores del área de iluminación, por los balastros no resonantes.

Para llevar a cabo el estudio de este tipo de balastros es indispensable un modelo

adecuado de la lámpara. Consecuentemente el modelado de la lámpara es el principal reto en el estudio de estos balastros. La lámpara es un dispositivo que presenta dinámicas muy complejas, las cuales son indispensables para llevar a cabo un estudio adecuado de los sistemas balastro-lámpara.

En base a lo anterior, el presente trabajo de investigación tiene como objetivo

principal el modelado de las dinámicas importantes de las lámparas de AID. Se desarrolló un modelo que representa adecuadamente el comportamiento real de estas lámparas. Este modelo es útil en el estudio de sistemas iluminación basado en balastros no resonantes y lámparas de AID. En base a este objetivo principal se plantearon los objetivos particulares. 1.2. Antecedentes

Actualmente existe un gran interés en los fabricantes por el desarrollo de nuevas fuentes de luz más eficientes. Como por ejemplo las lámparas de descarga. Las cuales son más eficientes que la bien conocida lámpara incandescente, lo cual puede apreciarse en la figura 1.1. Por lo tanto, un sistema de iluminación basado en lámparas de descarga tiene una alta eficiencia [1].

El desarrollo de sistemas de iluminación más eficientes permite ahorrar energía

eléctrica, lo cual es importante porque actualmente es muy difícil generarla. La causa de este problema es el incremento continuo en la demanda de energía eléctrica. Por ejemplo, actualmente existen más de 7500 millones de lámparas funcionando en todo el mundo con un consumo de un billón de kWh al año [1], esto representa un 10-15% de la energía eléctrica producida a nivel mundial.

Por otro lado, ahorrar energía eléctrica permite disminuir el problema mundial de

contaminación ambiental, porque se reduce el consumo de combustibles fósiles, lo cual permite reducir la emisión de gases contaminantes en el medio ambiente [1].

Para reducir el esfuerzo en la generación de energía eléctrica y aliviar el problema

de la contaminación mundial es necesario que los sistemas de iluminación sean más eficientes [1], esto puede lograrse utilizando lámparas de descarga. Por lo tanto, la tendencia en los sistemas de iluminación está encaminada hacia el uso de este tipo de lámparas y por ello es importante conocer como funcionan y como se clasifican esos dispositivos.


3

0

50

100

150

200

250

1875 1900 1825 1950 1975 2000Tiempo (años)

Eficiencialuminosa(lmW-1)

Sodio de baja presión

Sodio de alta presión

fluorescente

Mercurio de alta presión

Tungsteno halogenuro

Incandescente

Figura 1.1 Mejoras en la eficiencia luminosa de varios tipos de lámparas al paso del tiempo,

de la referencia [2]. 1.3. Modo de funcionamiento de una lámpara de descarga Una lámpara de descarga es básicamente un gas de relleno dentro de un recipiente de aluminio policristalino, el cual es transparente y soporta altas temperaturas. Para que la lámpara funcione es necesario generar una descarga eléctrica dentro del gas [1], el cual se selecciona de tal forma que su estructura atómica favorezca la radiación de energía electromagnética. Sin embargo, además de energía electromagnética también se genera energía térmica. Debido a esto se eleva la temperatura del gas hasta formar un plasma.

El plasma dentro de la lámpara define su comportamiento, el cual es similar al de una resistencia negativa. Una resistencia de este tipo tiene una pendiente negativa. Por lo tanto, si se aplica una corriente a través de esta resistencia y si se incrementa esa corriente, entonces el voltaje en la lámpara disminuirá, lo cual hace que el valor de la resistencia disminuya, lo cual provoca que la corriente se incremente. Este proceso se repite continuamente hasta que la corriente alcanza un nivel crítico en el cual la lámpara se destruye ó se apaga. Este fenómeno depende principalmente de las características del gas de relleno.


4

Una propiedad importante de este gas es su temperatura, debido a que afecta su resistencia equivalente, la cual se comporta como una resistencia negativa. Este comportamiento se puede observar en la curva típica de la resistencia de la lámpara RL(Ω) en función de la potencia en la lámpara, la cual se muestra en la figura 1.2. Se observa en esta figura que la pendiente de la curva es negativa y que varía de acuerdo al punto de operación. Por ejemplo, el punto de operación A tiene una pendiente mA mayor a la pendiente mB en el punto de operación B.

Figura 1.2 Curva típica de la resistencia de las lámparas de AID.

Otra de característica muy importante de una lámpara de descarga es la presión con

que es inyectado el gas de relleno dentro del tubo de descarga. Variando este parámetro se puede obtener una alta eficacia luminosa y un tamaño reducido, esto ocasiona que existan una diversa gama de lámparas de descarga como se muestra en la siguiente sección.

1.4. Clasificación de las lámparas de descarga

De acuerdo a la sociedad de ingenieros en iluminación las lámparas de descarga se clasifican en dos grandes grupos, los cuales se definen a partir de la presión del gas con que se llena el tubo de descarga. De esta forma existen las lámparas de descarga de baja presión y lámparas de descarga de alta presión. La presión en las lámparas de baja presión es menor a 1 Pascal (Pa) y en las lámparas de alta presión es mayor a 1.5 x 104 Pa [3]. La descarga es de menor intensidad en una lámpara de baja presión en comparación con una lámpara de alta presión. El gas con que se llenan las lámparas puede ser vapor de mercurio ó vapor de sodio.


5

En base a lo anterior, se presentan a continuación los tipos de lámparas de descarga más importantes [3].

Lámparas de alta intensidad de descarga (AID) [3]:

Lámparas de vapor de sodio de alta presión (alumbrado público de ciudades). Lámparas de vapor de mercurio de alta presión (alumbrado público de plazas y

parques). Lámparas de halogenuros metálicos (alumbrado de centros comerciales, deportivos

y escaparates). Lámparas de baja intensidad de descarga (BID) [3]:

Lámparas de vapor de sodio de baja presión (alumbrado público de carreteras y

autopistas). Lámparas de vapor de mercurio de baja presión ó fluorescentes (alumbrado en

hogares y comercios). Debido a la alta presión las lámparas de AID tienen un tamaño reducido en comparación con las lámparas de BID. Además algunas lámparas de AID proveen una luz más agradable para el usuario en comparación con las lámparas de BID. Como por ejemplo, las lámparas de AID de halogenuros metálicos.

La tendencia en el desarrollo de lámparas de descarga es hacia mejorar su eficacia luminosa, alargar su vida útil, reducir su tamaño y mejorar su calidad de la luz. En consecuencia, las lámparas de AID y principalmente las de halogenuros metálicos tienen un futuro promisorio en el área de iluminación. Sin embargo las lámparas de AID tienen la desventaja de ser sensibles al fenómeno de las resonancias acústicas, esto se debe la alta presión con que es inyectado el gas de relleno dentro del tubo de descarga. Este tema se desarrolla a continuación en la siguiente sección. 1.5. Problemática de las resonancias acústicas en las lámparas de AID

Las lámparas de AID son eficientes, tienen una larga vida útil, proveen una luz de buena calidad y son de tamaño reducido en comparación con las lámparas de BID. Sin embargo tienen la desventaja de ser susceptibles al fenómeno de las resonancias acústicas. Este fenómeno se presenta cuando existen modulaciones en la potencia de la lámpara con una determinada frecuencia, a la cual se le conoce como frecuencia característica. Las modulaciones provocan la aparición de ondas de presión estacionarias dentro del gas de relleno, esto da lugar a movimientos del arco [1], los cuales pueden ser violentos dependiendo de la magnitud de las ondas estacionarias, Comúnmente esto produce fuertes fluctuaciones en la luz generada por la lámpara [1], y en un caso menos común puede causar que se apague o se destruya. Para eliminar ó reducir los efectos de este fenómeno se emplean diversas técnicas las cuales se explican en la siguiente sección.


6

1.6. Métodos de eliminación de las resonancias acústicas

En el estado del arte se encuentran básicamente tres técnicas para eliminar ó reducir los efectos de las resonancias acústicas en lámparas de AID, las cuales se presentan a continuación [4]:

1.6.1. Operación con formas de ondas cuadradas, 1.6.2. Operación en zonas de frecuencia libres de resonancias acústicas, 1.6.3. Reducción de las modulaciones en la potencia consumida por la lámpara.

1.6.1. Operación con formas de ondas cuadradas

La fuente de excitación del fenómeno de las resonancias acústicas son las modulaciones en la potencia en la lámpara. Por lo tanto, para suprimir este fenómeno se deben eliminar estas modulaciones. La técnica para eliminar estas modulaciones consiste en alimentar a la lámpara con potencia constante. La forma más sencilla de lograr esta potencia es operar a la lámpara con formas de ondas cuadradas en corriente y voltaje. Para generar estas formas de onda se emplean balastros electrónicos no resonantes [5-13], los cuales tienen la desventaja de ser muy complejos. 1.6.2. Operación en zonas de frecuencia libres de resonancias acústicas

El fenómeno de las resonancias acústicas no se presenta a determinado rango de

frecuencias. Por lo tanto para suprimir este fenómeno se debe operar a la lámpara en estos rangos de frecuencia. La técnica para lograr esto consiste en operar a la lámpara con ondas sinusoidales con una frecuencia que esté dentro de uno de los rangos de frecuencias seguros de la lámpara. Sin embargo, esta técnica no es confiable porque estos rangos son variables, porque dependen de las dimensiones del tubo de descarga y de otros factores que no puede controlar el diseñador [4]. 1.6.3. Reducción de las modulaciones en la potencia consumida por la lámpara

Para disminuir la posibilidad de que aparezca el fenómeno de las resonancias acústicas se deben reducir las modulaciones en la potencia de la lámpara. La técnica para reducir estas modulaciones consiste en modular en forma adecuada la potencia en la lámpara.

Una forma de modular la potencia en la lámpara es alimentándola con una señal

sinusoidal, la cual trabajara como una señal portadora, la cual es modulada por medio de otra señal sinusoidal ó cualquier otra señal que pueda disminuir los efectos de las resonancias acústicas. Sin embargo, esta técnica tampoco es confiable porque no elimina las modulaciones en la potencia de la lámpara.

Una forma de implementar físicamente esta técnica es por medio de balastros

electrónicos resonantes con dos tanques resonantes. Un tanque es sintonizado a la frecuencia de conmutación nominal y el otro a la frecuencia del tercer armónico [4]. Otra


7

forma de implementar esta técnica es utilizar un balastro resonante con un control en lazo cerrado. En esta etapa de control se retroalimenta el voltaje ó la corriente en la lámpara [4]. En base a lo anterior, la técnica que elimina el fenómeno de las resonancias acústicas es la técnica basada en la operación de la lámpara con formas de ondas cuadrada. Las otras técnicas mantienen un cierto nivel de modulación en la potencia de la lámpara. Por lo tanto sólo reducen los efectos de este fenómeno.

Para implementar físicamente estas técnicas se requiere de balastros electrónicos, los cuales se presentan a continuación en la siguiente sección. 1.7. Balastros electrónicos 1.7.1. Introducción

Para que las lámparas de AID funcionen es necesario, la presencia los siguientes elementos auxiliares [4]: circuitos de encendido y balastros electrónicos. Los circuitos de encendido son dispositivos que suministran breves picos de tensión entre los electrodos de las lámparas de descarga, los cuales son necesarios para vencer la resistencia inicial del gas a la corriente eléctrica. Los balastros, son dispositivos que sirven para limitar la corriente a través de la lámpara. Las funciones más importantes de un balastro son [4]:

Limitar la corriente de descarga. Proporcionar una señal alterna y simétrica.

Los balastros electrónicos realizan las funciones mencionadas anteriormente [4] y

basan su funcionamiento en dispositivos electrónicos de potencia cuyas características se describen en la siguiente sección. 1.7.2. Balastros electrónicos 1.7.2.1. Balastros electrónicos resonantes

En la figura 1.3 se muestra un balastro electrónico resonante. Para limitar la descarga en la lámpara se emplea una red resonante, la cual opera en alta frecuencia (> 25kHz) para evitar los reencendidos de la lámpara. Las formas de onda de voltaje (vL(t)) y corriente (iL(t)) típicas en la lámpara se muestran en la figura 1.4.

De acuerdo con la figura 1.3, los balastros electrónicos resonantes típicos presentan

las siguientes etapas [4]:

Un filtro EMI/RFI del tipo pasabajas. La función de este filtro es eliminar el ruido de alta frecuencia que el inversor y la lámpara inyectan en la línea de alimentación.

Un puente rectificador, el cual sirve para obtener un bus de cd. Un inversor de potencia que opera en alta frecuencia. La función de este inversor es

convertir la señal de cd proveniente del puente rectificador en una señal alterna.


8

Un tanque resonante conectado a la salida del inversor. La función principal de este inversor es filtrar y acondicionar la señal proveniente del inversor, para que a la lámpara se le aplique una señal sinusoidal de la lámpara.

Un circuito de control que se encarga de generar las señales de control para los interruptores del inversor de alta frecuencia.

Figura 1.3 Diagrama a bloques de un balastro electrónico, de la referencia [4].

Figura 1.4 Formas de ondas de voltaje y corriente de un balastro electrónico resonante, de

la referencia [4].

1.7.2.2. Balastros electrónicos no resonantes

Un balastro electrónico no resonante típico no utiliza una red resonante para limitar la corriente en la lámpara. En cambio para realizar esta función se emplea un convertidor cd-cd con una etapa de control en lazo cerrado retroalimentando la corriente en la lámpara. El diagrama de bloques de un balastro no resonante típico se muestra en la figura 1.5. Las formas de onda típicas del voltaje de la lámpara (vL(t)) y la corriente en la lámpara (iL(t)) se presentan en la figura 1.6.

De acuerdo con la figura 1.5, los balastros electrónicos resonantes típicos presentan

las siguientes etapas [5-13]:

Una fuente de cd, la cual sirve para obtener un bus de cd. Un convertidor cd-cd que sirve para estabilizar la corriente en la lámpara.


9

Un inversor de potencia, el cual alimenta a la lámpara con formas de onda cuadrada en corriente y voltaje.

Un circuito de encendido en serie con la lámpara. Una etapa de control en lazo cerrado para el convertidor cd-cd, en la cual se

retroalimenta la corriente en la lámpara. Una etapa de control en lazo abierto para que se encarga de generar las señales de

control para los interruptores del inversor.

Figura 1.5 Diagrama de bloques de un balastro no resonante, de la referencia [6].

Figura 1.6 Formas de onda de voltaje y corriente de un balastro no resonante.

Los balastros no resonantes son una solución contundente al problema de las

resonancias acústicas en comparación con los balastros resonantes. Otras ventajas de los balastros no resonantes en comparación con los balastros electrónicos resonantes están relacionadas con su etapa de control (debido a que operan en lazo cerrado) estas ventajas son las siguientes [5-13]:

Facilidad para el manejo de lámparas de AID de diversas potencias con el mismo balastro.

Capacidad para reducir o eliminar los efectos de los parámetros externos que afectan el comportamiento de la lámpara, como cambios en la temperatura ambiente, en la tensión de línea, etc.

Facilidad para realizar un control de intensidad luminosa. Facilidad para desarrollar un control inteligente. Facilidad para incorporar un control remoto.

La desventaja que los balastros electrónicos no resonantes presentan sobre los

balastros electrónicos resonantes es que son más costosos [5-13].


10

En la tabla 1.1 se resume las características de los balastros electrónicos no resonantes y resonantes. En esta tabla se observa que los balastros no resonantes tienen muchas ventajas en comparación con los balastros electrónicos resonantes. Es por esta razón que actualmente existe un gran interés por el desarrollo y estudio de estos balastros por parte de los investigadores del área de iluminación. A continuación, en la sección siguiente se presentan los trabajos más importantes sobre este tipo de balastros.

Tabla 1.1 Características de los balastros para lámparas de AID. Balastros electrónicos resonantes Balastros electrónicos no resonantes a

b

½ c ½ ½ d

½ e

f

g

h

i

j ½ k

l

m

n

½

a = Realiza la corrección del factor de potencia, b = Tiene un tamaño reducido, c = Tiene un bajo costo, d = Tiene una alta eficiencia, e = Elimina los picos de reencendido, f = Elimina el efecto estroboscópico, g = Facilita la implementación de un control de intensidad luminosa, h = Provee al balastro inmunidad ante cambios en la tensión de línea, temperatura y envejecimiento de los componentes, i = Puede eliminar de resonancias acústicas, j = Puede manejar lámparas de AID de diversas potencias con el mismo balastro, k = Tiene facilidad para realizar un control de intensidad luminosa, l = Tiene facilidad de desarrollar un control inteligente y/o aplicar técnicas de control modernas (modos deslizantes, pasividad, lógica difusa, etc), m = Tiene facilidad para desarrollar un control remoto,


11

n = No requiere de un circuito de encendido por separado.

= si tiene esta característica,

= no tiene esta características, ½ = si tiene esta característica, pero con deficiencias. 1.8. Estado del arte de los balastros no resonantes

En esta sección se muestra una revisión del estado del arte entorno a los balastros no resonantes con la finalidad de proporcionar una idea más clara acerca de cómo se implementan estos balastros, así como sus características más importantes.

En la figura 1.7 se muestra el balastro electrónico no resonante para lámparas de AID propuesto en la referencia [7]. Este balastro consta de dos etapas, a) un convertidor cd-cd que corrige del factor de potencia (CFP), y b) un inversor de potencia. Este balastro es sencillo porque ambas etapas requieren de sólo un interruptor y un inductor para funcionar. Sin embargo, tiene una vida útil corta debido al excesivo desgaste que tienen las topologías que emplean un sólo interruptor.

Figura 1.7 Balastro electrónico no resonante propuesto en la referencia [7].

La corrección de factor de potencia la lleva acabo un convertidor Reductor operando

en modo de conducción discontinuo (MCD). Debido a esto se generan picos de corriente elevados en el interruptor, lo cual incrementa su estrés y en consecuencia reduce su vida útil, esto también reduce la vida útil del balastro.

El objetivo principal de este balastro es alimentar con potencia constante a las

lámparas de AID con la finalidad de eliminar el fenómeno de las resonancias acústicas. Para esto el balastro intenta alimentar a la lámpara con formas de ondas cuadradas y simétricas. Sin embargo, este objetivo no se cumple adecuadamente, esto se debe al tipo de inversor utilizado, el cual emplea un inductor que distorsiona las formas de ondas de voltaje y corriente en la lámpara. Debido a esto existen modulaciones en la potencia consumida por la lámpara y en consecuencia existe la posibilidad de que aparezca el fenómeno de las resonancias acústicas. La etapa de control del balastro está diseñada con la estrategia de


12

control clásica. Por lo tanto, los análisis sólo son válidos en una región cercana al punto de operación.

En la figura 1.8 se muestra el balastro propuesto en la referencia [8]. Este balastro

también tiene como objetivo principal eliminar el fenómeno de las resonancias acústicas en las lámparas de AID. Para lograr esto también trata de alimentar a las lámparas con potencia constante. Sin embargo, en forma similar al caso anterior, las formas de ondas de voltaje y corriente en la lámpara están distorsionadas debido a los inductores Linv1 y Linv2, lo cual provoca modulaciones en la potencia consumida por la lámpara. En consecuencia, con esta topología todavía existe la posibilidad de que aparezca el fenómeno de las resonancias acústicas.


Este balastro utiliza un convertidor Elevador que opera en MCD, por lo tanto el

esfuerzo en los semiconductores es alto. Asimismo, en este etapa se retroalimenta la corriente en la lámpara para limitar la descarga. Para el diseño de la etapa de control se utilizó una estrategia de control clásica. Consecuentemente, también este estudio está limitado a una región cercana al punto de operación.

El circuito de arranque se basa en un amplificador clase E. Este circuito produce una

corriente elevada en el inductor Lr con la finalidad de generar un alto voltaje entre sus terminales, el cual se eleva aún más con la ayuda de un devanado secundario. La finalidad de hacer esto es para alcanzar el nivel de voltaje de encendido requerido por lámpara. El capacitor Cr se diseña en conjunto con el inductor Lr para entrar en resonancia. De esta forma se logra una baja impedancia total y con esto se genera una alta corriente a través de la inductancia Lr.

En la figura 1.9 se muestra el balastro electrónico propuesto en [9]. Este balastro

consiste en un convertidor Reductor que comparte elementos con un inversor puente completo. El convertidor Reductor opera en modo de conducción continuo (MCC). La función de este convertidor es estabilizar la corriente en la lámpara. El inversor es un


13

puente completo, el cual invierte periódicamente la corriente y voltaje entregados a la lámpara.


El balastro emplea un circuito de encendido externo basado en un transformador. El

bus de cd puede ser proporcionado por un convertidor cd-cd que corrige el factor de potencia (FP) ó por un circuito rectificador más un capacitor de filtrado.

La ventaja de este balastro radica en que las formas de onda de voltaje y corriente

que entrega a la lámpara son cuadradas, simétricas y de baja frecuencia. Con esto se logra eliminar el fenómeno de las resonancias acústicas. Otra ventaja es la sencillez de la etapa de potencia, la cual comparte elementos entre el inversor puente completo y el convertidor Reductor. Sin embargo esta etapa de potencia requiere de señales de control con una sincronización complicada y circuitos impulsores complejos, esto complica el diseño del balastro. La etapa de control del balastro fue diseñada con la estrategia de control clásica. Por lo tanto, también este estudio está limitado a una región cercana al punto de operación.

En la figura 1.10 se muestra el balastro no resonante propuesto en la referencia [10]. Este balastro utiliza un convertidor Reductor-Elevador. El objetivo principal de este convertidor es controlar la potencia consumida en la lámpara. La finalidad de esto es limitar la descarga en lámpara. El estrés en los semiconductores del convertidor cd-cd es alto debido a que opera en MCD. La etapa de control de este convertidor se diseñó con la estrategia de control clásico. Por lo tanto, también este estudio está limitado a una región cercana al punto de operación.


14


Las formas de onda del voltaje y la corriente en la lámpara son cuadradas,

simétricas y de baja frecuencia debido a que el inversor es un puente completo. Por lo tanto se elimina el fenómeno de las resonancias acústicas. Para encender la lámpara el circuito de encendido utiliza una red resonante LrCr serie, la cual opera en una frecuencia cercana a la frecuencia de resonancia. A esa frecuencia la impedancia total de esta red es muy pequeña, con lo cual se logra generar una corriente elevada a través de esta red, lo cual genera un alto voltaje entre las terminales del capacitor Cr. Este voltaje se aplica directamente a las terminales de la lámpara para encenderla. Después de encender la lámpara se elimina la red. Para logra esto se pone al capacitor Cr en circuito abierto y al inductor Lr en corto circuito, esto se consigue disminuyendo la frecuencia de operación del inversor. El problema con este circuito es la elevada corriente que se genera a través de la red resonante en el momento que enciende la lámpara, lo cual ocasiona un gran esfuerzo en los interruptores del inversor, ocasionando que estos se degraden y reduzcan su vida útil, reduciendo de esta forma la vida útil del balastro.

El estudio de balastros electrónicos no resonantes, como los presentados en esta sección, requiere de un modelo adecuado del sistema balastro-lámpara. Los balastros electrónicos no resonantes se basan en convertidores cd-cd. El modelado de estos convertidores se realiza por medio de las bien conocidas técnicas que se emplean en el área de Electrónica de Potencia. La lámpara es un sistema cuyo funcionamiento está basado en el comportamiento del plasma que se genera en su interior. Por lo tanto para modelar la lámpara es necesario modelar este plasma, esto puede realizarse por medio de conceptos de física moderna ó en su defecto por medio de aproximaciones, mediante el ajuste de las curvas del comportamiento de la lámpara. Existen diversos trabajos sobre el modelado de lámparas de AID y los más importantes se describen en la siguiente sección.


15

1.9. Estado del arte del modelado de lámparas de AID Los modelos para lámparas de AID presentados en el estado del arte para el estudio de balastros electrónicos no resonantes se dividen en lineales y no lineales [9-15]. Los modelos lineales se encuentran en el dominio de la frecuencia compleja s = jω. Los parámetros de estos modelos se encuentran mediante un ajuste de curvas. La validez de estos modelos está restringida a una región cercana al punto de operación. Por lo tanto no representan adecuadamente el comportamiento real de la lámpara. Además sólo sirven para el estudio de balastros electrónico utilizando la estrategia de control clásico [9-13].

Los modelos no lineales de lámparas de AID se basan en la ecuación de Saha, la cual está basada en la física moderna que trata sobre el tema de los plasmas. La ecuación representa la resistencia equivalente de la lámpara en función de la temperatura del gas de relleno. Los modelos basados en esa ecuación no incorporan un análisis térmico de la lámpara. Por lo tanto el comportamiento de la temperatura del gas de relleno no está bien representado. En consecuencia estos modelos tampoco representan adecuadamente el comportamiento real de las lámparas [14-15].

Los modelos no lineales representan mejor el comportamiento de la lámpara que los

modelos lineales. Además los modelos no lineales basados en la ecuación de Saha, tienen la ventaja de hacer más entendible el comportamiento peculiar de las lámparas de AID.

En esta sección se presenta la revisión del estado del arte de los modelos de

lámparas de AID más importantes reportados en el estado del arte del área de iluminación. 1.9.1. Estado del arte de los modelos lineales para lámparas de AID

Los modelos lineales están definidos en función de la frecuencia compleja s = jω [9-13] y generalmente son de primer orden. Estos modelos sólo son útiles para el estudio de balastros electrónicos no resonantes con una etapa de control diseñada con el método clásico.

En la figura 1.11 se muestra la gráfica típica de estos modelos matemáticos [9-13]. De esta gráfica se pueden extraer los siguientes datos importantes: a) cuando ωm = 0 la impedancia de la lámpara es negativa y, b) cuando ωm = ∞ la impedancia de la lámpara se comporta como una resistencia pura. Por lo tanto durante el diseño es necesario tomar la precaución de permanecer dentro del rango de frecuencias que representa adecuadamente la lámpara.

Figura 1.11 Respuesta típica en frecuencia de los modelos lineales de lámparas AID.


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En la figura 1.12 se presentan los modelos lineales más representativos de las lámparas de AID presentados en el estado del arte con sus respectivas gráficas polares [9-13]. El modelo mostrado en la figura 1.12 (a) es el modelo más sencillo de entre todos los modelos lineales, esto se debe a que no incorpora la característica de resistencia negativa en baja frecuencia de las lámparas. Por lo tanto este modelo sólo es útil para el diseño de controladores en alta frecuencia. Por el contrario, el modelo mostrado en la figura 1.12 (b) es el más completo entre los modelos lineales, esto se debe a que incorpora la característica de resistencia negativa en baja frecuencia de las lámparas. Por lo tanto este modelo es útil para el diseño de controladores en un rango de frecuencias muy amplio. Sin embargo este modelo no es válido para frecuencias muy bajas porque no toma en cuenta las dinámicas lentas de la lámpara.

Im(RL(s=j m))

Re(RL(s=j m))mm

m

Im(RL(s=j m))

Re(s=RL(s=j m))mm

m

(a) (b)

( ) 12

LsR s A

s A=

+( ) 2

13

Ls A

R s As A−

=+

Donde: A1, A2 y A3 son constantes. Figura 1.12 Modelos lineales propuestos para lámparas de AID: (a) Modelo con

RL(s=0)=0, de la referencia [12], (b) Modelo con RL(s=0) < 0, de las referencias [12-13]. 1.9.2. Estado del arte de los modelos no lineales para lámparas de AID

Los modelos no lineales propuestos en el estado del arte [14-15], son modelos basados en la ecuación de Saha. La cual se muestra en la ecuación (1.1). De acuerdo con la teoría sobre física de plasmas, esta ecuación está definida en función de la concentración de electrones del gas de relleno (ne(Tg(t)), la cual está en mol/m3) y de la temperatura del plasma (Tg(t)),en oC).

( )( ) ( ) ( )1 322 4

0

ig

eVT t

ke g gn T t n T t e∝

(1.1)

Donde: n0 es la concentraron de átomos en el plasma (mol/m3).

k es la constante de Boltzmann (J/oC), Vi es el potencial de ionización y es la mínima energía necesaria para liberar el electrón más externo de un átomo gaseoso en su estado neutro (V). e es la carga del electrón (Coulomb (C)).


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La conductancia del gas de relleno (σe(Tg(t)) en siemens (S)) se define en función de la ecuación de Saha, tal como se muestra en la ecuación (1.2).

( )( ) ( )( )e g e gT t n T tσ ∝ (1.2)

A partir de la conductancia del gas de relleno (σe(Tg(t))) se define la resistencia de la

lámpara (RL(Tg(t)) en Omhs (Ω)). Para esto es necesario recordar que la resistencia es el inverso de la conductancia, como se muestra en la siguiente ecuación:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 3

22 401 3

22 40

1 1 ig

ig

eV T tk

L g geV T te g k

g

R T t n T t eT t n T t eσ

−− −∝ ∝ =

(1.3)

Para representar el comportamiento de una lámpara en particular, es necesario

introducir unos parámetros de ajuste (a5 y a6) en la ecuación (1.3), con lo cual se obtiene la siguiente ecuación:

( )( ) ( ) ( )61 322 4

5 0

ig

a eVT t

kL g gR T t a n T t e

−− −=

(1.4)

La ecuación (1.4) está en función de la temperatura Tg(t). Por lo tanto es necesario

encontrar una ecuación que describa el comportamiento de esta temperatura, la cual es la ecuación diferencial (1.5) y está basada en un balance de potencias en la lámpara [14,15].

( ) ( ) ( ) ( )( )( )1

gL con rad

dT ta p t p t p t

dt= − +

(1.5)

Donde: a1 es un parámetro de ajuste del modelo,

El problema con la ecuación (1.5), es que fue planteada sin un circuito térmico

equivalente de la lámpara. Por lo tanto, los parámetros de ajuste tienen valores erróneos y en consecuencia algunas variables tienen valores irreales, lo cual se debe que no se ha establecido una metodología de estimación y extracción de parámetros adecuada para este modelo.

La potencia en la lámpara (pL(t) (W)) para estos modelos se obtiene utilizando la ley

de Ohm mostrada en la ecuación (1.6).

( )( ) ( ) ( )( )2L g L L gp T t i t R T t= (1.6)

Donde: iL(t) es la corriente en la lámpara (A).


18

La potencia radiada (prad(t) (W)) se estima utilizando la ecuación de boltzmann [14-15] mostrada en la ecuación (1.7).

( ) ( )3

2g

eakT t

radp t a e⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠=

(1.7)

Donde: a2 y a3 son parámetros de ajuste del modelo,

e es la carga del electrón (C), k es la constante de Boltzmann.

La potencia conducida (pcon(t) en W) se estima utilizando la ecuación de Laplace [14,15] mostrada en la ecuación (1.8).

( ) ( )( )4 0con gp t a T t T= − (1.8)

Donde: T0 es la temperatura del tubo de descarga, en oC.

En base a lo anterior se observa que los modelos no lineales representan mejor el comportamiento de la lámpara que los modelos lineales. Por lo tanto los modelos no lineales son los más indicados para llevar a cabo el estudio de sistemas balastro-lámpara. Sin embargo, actualmente los modelos lineales son los que se emplean en el estudio de balastros electrónicos no resonantes, esto se debe a la preferencia de los diseñadores e investigadores en el área de iluminación por la estrategia de control clásica, la cual se basa en una metodología de diseño sencilla y sistemática. En consecuencia, es importante explicar como se emplea esta estrategia de control en balastros no resonantes. Este tema se aborda a continuación en la siguiente sección.

1.10. Control clásico en balastros no resonantes

En esta sección se expone brevemente la teoría básica relacionada con los sistemas

balastro-lámpara diseñados con la estrategia de control clásico. En principio se plantean las características más importantes de las lámparas de AID con la ayuda de la teoría de control clásica. En base a estas características se justifica la necesidad de emplear un balastro no resonante con una etapa de control en lazo cerrado, en el cual se retroalimenta la corriente en la lámpara con la finalidad de limitar la descarga en la lámpara.

Para conocer las características más importantes de las lámparas de AID se utilizó

su modelo lineal más completo, el cual se muestra a continuación en la siguiente ecuación:

( ) 21

3L

s AR s As A−

=+

(1.9)

La ecuación (1.9) muestra un cero en el semiplano derecho. De acuerdo con la

teoría de control clásica una impedancia con un cero en el semiplano derecho no puede


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conectarse directamente a una fuente de voltaje porque la función de transferencia de la corriente tendría un polo en el semiplano derecho, lo cual implica que el sistema fuente-resistencia es inestable.

Una fuente de voltaje se caracteriza por tener determinado voltaje entre sus

terminales con una impedancia en serie pequeña. En base a esto se observa que el voltaje de la red eléctrica se aproxima a esta definición. Por lo tanto, una lámpara no puede conectarse directamente a la red eléctrica porque su comportamiento sería inestable.

Un convertidor cd-cd también puede verse como una fuente de tensión en serie con

una impedancia de salida muy pequeña. Por lo tanto, un convertidor cd-cd tampoco puede utilizarse para alimentar una lámpara de AID. Para resolver este problema es necesario incrementar la impedancia de salida del convertidor, lo cual se logra empleando una etapa de control en lazo cerrado retroalimentando la corriente en la lámpara, esto hace que el convertidor se comporte como una fuente de corriente constante. De acuerdo con la teoría de control clásica una impedancia con un cero en el semiplano derecho es estable si se alimenta con una fuente de corriente, esto se debe a que la función de transferencia de la corriente no tendría un polo en el semiplano derecho.

En base a lo anterior se puede emplear el modelo lineal del sistema balastro-lámpara

y las herramientas típicas de la estrategia de control clásico para establecer una metodología de diseño para la etapa de control de un balastro no resonante, la cual se muestra en la tabla 1.2 [10-13]:

Tabla 1.2 Metodología de diseño de un controlador clásico para un balastro resonante.

1 Obtener la impedancia de salida ZR_OL(s) en lazo abierto del convertidor cd-cd en el dominio de la frecuencia compleja s = jω.

2 Verificar si las gráficas de Bode de la resistencia RLL(s) y la impedancia ZR_OL(s)) cumplen con la condición de estabilidad RLL(s) < ZR_OL(s) en baja frecuencia y si la

gráfica de Nyquist del cociente _

( )( )

LL

R OL

R sZ s

cumple con la condición de estabilidad de no

encerrar el valor de -1. 3 Si el sistema es estable, entonces el trabajo de diseño ha terminado. En caso contrario

seguir con los siguientes pasos. 4 Proponer algún controlador clásico (P, PI, PID, etc), 5 Obtener la impedancia de salida ZR_CL(s) en lazo cerrado del convertidor cd-cd en el

dominio de la frecuencia compleja s = jω. 6 Diseñar el controlador: Calcular los parámetros del controlador para lograr que las

gráficas de Bode de la resistencia RLL(s) y la impedancia ZR_CL(s)) cumplan la condición de estabilidad RLL(s) < ZR_CL(s) en baja frecuencia y para lograr que la


( )( )

LL

R CL

R sZ s

cumpla con la condición de estabilidad de no

encerrar el valor de -1. 7 Si el sistema es estable, entonces el trabajo de diseño ha terminado. En caso contrario

regresar al paso 4.


20

Habiendo desarrollado toda la teoría relacionada con el comportamiento y modelado de los sistemas balastro-lámpara, en la siguiente sección se presenta, en base a toda esta información, la propuesta de investigación sobre un nuevo modelo de lámparas de AID y el estudio de balastros no resonantes en base a este modelo.

1.11. Propuesta de tesis doctoral

La revisión del estado del arte sobre el modelado de lámparas de AID muestra que los modelos desarrollados hasta el momento no representan adecuadamente el comportamiento real de estas lámparas debido a que por las simplificaciones que se realizan, omiten el comportamiento de algunas variables importantes de temperatura, lo cual repercute en el estudio de los balastros no resonantes en forma negativa, debido a que los resultados de estos estudios no incorporan los efectos de estas variables. En base a lo anterior, se identificaron varios objetivos los cuales se presentan a continuación ordenándolos de mayor a menor relevancia.

1.11.1. Objetivos 1.11.1.1. Objetivo general

Desarrollar un modelo para lámparas de AID que represente adecuadamente su

comportamiento. Para lograr esto el modelo deberá incorporar los efectos de la temperatura. Además debe representar su comportamiento no lineal y su respuesta dinámica. Es importante también que sus parámetros sean fáciles de evaluar. Todo esto evitando la complejidad innecesaria para que el modelo sea fácil de manejar.

Para comprobar el buen funcionamiento del modelo propuesto, éste se utilizará en

un estudio de un balastro electrónico no resonante usando la estrategia de control no lineal por modos deslizantes. Se espera que este control logre estabilizar la corriente en la lámpara y que tenga una buena respuesta dinámica durante una prueba de escalón de corriente. Los resultados obtenidos con el control por modos deslizantes serán comparados con los resultados obtenidos de un control lineal (PI). 1.11.1.2. Objetivos particulares

Objetivo particular de la tesis No. 1 Desarrollar un modelo para lámparas de AID. La lámpara de prueba es de halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W, philips). El modelo tendrá las siguientes características:

Incorporación de las no linealidades y de la respuesta dinámica de las lámparas de AID, a través de un modelo basado en un análisis térmico de estas lámparas.

Los valores de los parámetros deben ser relativamente fáciles de encontrar y podrán ajustarse con simulaciones.


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Objetivo particular No. 2 de la tesis

Realizar el estudio de un balastro electrónico no resonante en una lámpara de halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W, Philips). En este balastro se utilizó la estrategia de control por modos deslizantes. Los resultados de este estudio se compararon con los resultados obtenidos del estudio del balastro propuesto utilizando la estrategia de control clásico (control PI).


Realizar una validación del modelo de la lámpara.


Realizar un análisis de estabilidad del sistema. Para cumplir con los objetivos de la tesis se siguió la metodología que se presenta a continuación en la siguiente sección. 1.12. Metodología utilizada en el desarrollo del tema de tesis

En esta sección se presenta la metodología empleada en la tesis para cumplir con el objetivo general, con los objetivos particulares y con los comentarios de los revisores de la tesis. Se presenta el objetivos y seguido de éste, la metodología empleada para cumplirlo. 1.12.1. Metodología empleada para cumplir con el objetivo general de la tesis

Objetivo general de la tesis

Desarrollar un modelo para lámparas de AID que represente adecuadamente su comportamiento. Para lograr esto el modelo deberá incorporar los efectos de la temperatura. Además debe representar su comportamiento no lineal y su respuesta dinámica. Es importante también que sus parámetros sean fáciles de evaluar. Todo esto evitando la complejidad innecesaria para que el modelo sea lo más fácil posible de manejar.

Para comprobar el buen funcionamiento del modelo propuesto, éste se utilizará en un

estudio de un balastro electrónico no resonante usando la estrategia de control no lineal por modos deslizantes. Se espera que este control logre estabilizar la corriente en la lámpara y que tenga una buena respuesta dinámica durante una prueba de escalón de corriente. Los resultados obtenidos con el control por modos deslizantes se comparan con los resultados obtenidos de un control lineal (PI).


22

Metodología empleada

Para saber si es necesario desarrollar un modelo para lámparas de AID se realizó una revisión del estado del arte para conocer los modelos existentes y sus características. El resultado de esta revisión fue que los modelos no eran apropiados porque no incorporan algunas dinámicas importantes de la lámpara. Por lo tanto se procedió a proponer las mejoras necesarias, esto es, incorporar las dinámicas que faltaban por medio de un análisis térmico de la lámpara. Con respecto a las no lineales de la lámpara que deben ser representadas por estos modelos, se encontró que los modelos no lineales basados en la ecuación de Saha cumplían con ese requisito. Por lo que no fue necesario proponer otra ecuación. Sobre la facilidad para evaluar los parámetros de la lámpara se encontró que los procedimientos reportados en el estado del arte no eran claros y tampoco eran sencillos, por lo que fue necesario proponer otro método de evaluación de parámetros claro y sencillo. Este método esta sustentado en el análisis térmico de la lámpara. De este análisis se obtuvieron las ecuaciones para el cálculo de los parámetros y la metodología para la extracción de los parámetros de la lámpara. Para evitar la complejidad innecesaria del modelo sólo se incorporaron las variables de temperatura más importantes mediante ecuaciones lineales. Para comprobar que el modelo desarrollado contenía toda la información relevante se realizó una validación del modelo. Este procedimiento mostró que este modelo representa adecuadamente el proceso real. El siguiente paso consistió en comprobar la utilidad del modelo, para esto se realizó un estudio de un balastro no resonante utilizando la estrategia de control no lineal por modos deslizantes. Para completar el proyecto de tesis se procedió a comparar el desempeño del balastro propuesto con el control por modos deslizantes contra el desempeño del mismo balastro con un control lineal (PI). Los resultados obtenidos para ambos controladores fueron similares y satisfactorios, porque se logró estabilizar la corriente en la lámpara evitando que se destruya o se apague aún en una prueba tipo escalón de corriente.

1.12.2. Metodología empleada para cumplir con los objetivos particulares de la tesis


Desarrollar un modelo para lámparas de AID. La lámpara de prueba es de halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W, philips). El modelo tendrá las siguientes características:

Incorpora las no linealidades y la respuesta dinámica de las lámparas de AID,

a través de un modelo basado en un análisis térmico de estas lámparas.


23

Los valores de los parámetros deben ser relativamente fáciles de encontrar y podrán ajustarse con simulaciones.

Metodología empleada para cumplir el objetivo particular No. 1 de la tesis

Para desarrollar el modelo térmico de la lámpara primero se hizo una revisión del estado del arte sobre el modelado de lámparas de AID, esto con la finalidad de encontrar una ecuación física que incorporara las no linealidades del sistema. La ecuación obtenida en esta revisión fue la ecuación de Saha, la cual define la resistencia de las lámparas de AID en función de la temperatura del gas de relleno.

La temperatura del gas normalmente se mide por medio de un análisis espectroscópico de la radiación emitida. Ante la ausencia de un espectrómetro apropiado para realizar tales mediciones, se optó por estimar la temperatura del plasma con base en un análisis térmico del flujo de calor conducido dentro de la lámpara. Dicha estimación se llevó a cabo analizando el comportamiento dinámico de las variables eléctricas de la lámpara y relacionándolas con las variables térmicas del recipiente que contiene el gas. De esta manera se plantea un modelo de la lámpara basado en el comportamiento térmico de la misma.


Realizar el estudio de un balastro electrónico no resonante en una lámpara de

halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W, Philips). En este balastro se utilizó la estrategia de control por modos deslizantes. Los resultados de este estudio se compararon con los resultados obtenidos del estudio del balastro propuesto utilizando la estrategia de control clásico (control PI).


El primer paso fue la selección de una aplicación, la cual fue la iluminación de edificios que manejan un voltaje de red de 127 V de corriente alterna. El segundo paso fue la selección una lámpara de AID de halogenuros metálicos, porque son las más sensibles al fenómeno de resonancias acústicas. Después de esto se procedió a proponer la etapa de potencia del balastro no resonante, la cual consta de un convertidor Reductor, un inversor y un circuito de encendido. Se seleccionó el convertidor Reductor porque puede reducir la tención de entrada al nivel de voltaje que requiere la lámpara. El inversor seleccionado es un inversor puente completo porque entrega una señal cuadrada, simétrica y de baja frecuencia a la lámpara. Asimismo se seleccionó un circuito de encendido basado en un autotransformador y una red resonante porque se puede conectar directamente entre la salida del inversor y la lámpara sin elementos semiconductores extras, lo cual lo hace sencillo y práctico. Lo siguiente fue proponer dos estrategias de control, una de ellas es la estrategia de control por modos deslizantes, se escogió esta estrategia debido a que es sencilla de implementarse físicamente y eficiente. La otra estrategia de control es la clásica, se


24

escogió esta estrategia debido a los reportes en el estado del arte acerca de su buen desempeño en este tipo de balastros. Después se procedió a realizar un análisis comparativo del desempeño de las estrategias de control propuestas, los resultados fueron similares y satisfactorios, debido a que presentan un buen seguimiento a una referencia sinusoidal, y una buena respuesta dinámica en un cambio instantáneo de la corriente en la lámpara. Por otro lado se observó que no existe una diferencia significativa entre ambos controladores, por lo que no se puede concluir con precisión cual de los dos es mejor. En consecuencia se puede emplear cualquiera de las dos estrategias de control para diseñar la etapa de control del balastro propuesto.


Realizar una validación del modelo de la lámpara.


La validación del modelo fue por medio de un método estadístico debido a que es un análisis formal. Este método compara los resultados de simulación con los resultados experimentales por medio de pruebas de hipótesis en las cuales se utilizan funciones estadísticas. La metodología se basa en una serie de pruebas sistemáticas para conocer las propiedades de los datos experimentales y teóricos utilizando conceptos de estadística como la varianza, valor medio, desviación estándar y la prueba F. Dependiendo de las propiedades de estos datos se escoge la última prueba de hipótesis, como por ejemplo la prueba t independiente. Por medio del resultado de esta prueba se puede saber si el modelo es válido o no. El resultado del proceso de validación del modelo propuesto fue que el modelo es válido en todo el rango de operación de la lámpara y en consecuencia puede utilizarse en el estudio de balastros electrónicos no resonantes.


Realizar un análisis de estabilidad del sistema.


El análisis de estabilidad que se realizó para el sistema balastro-lámpara está basado en el teorema de Lyapunov. Este análisis se realizó en forma gráfica debido a la alta complejidad de las ecuaciones del sistema balastro-lámpara. Los resultados obtenidos con este análisis en el sistema propuesto mostraron que el sistema en lazo abierto es inestable y que el sistema en lazo cerrado sensando la corriente en la lámpara es estable, lo cual es congruente con el comportamiento real de la lámpara.


25

La metodología para desarrollar este análisis de estabilidad es la siguiente.

Obtener un modelo del sistema. Trasladar el punto de operación del sistema al origen. Proponer una función de Lyapunov positiva definida. Obtener la derivada de la función de Lyapunov. Verificar si la derivada de la función de Lyapunov es semidefinida negativa.

1.13. Referencias

1

[1] J. Ribas, “Control optimizado de balastros electrónicos modelado estático y dinámico de inversores resonantes y lámparas de descarga” Tesis Doctoral, Universidad de Oviedo, Gijón, Septiembre del 2002.

2

[2] J. J. Groot and J. A. J. M. Van Vliet, “The high-pressure sodium lamp”, Editorial Macmillan Education, 1986.

3

[3] J. Correa, “Estrategias de control en lámparas de alta presión para la eliminación de resonancias acústicas”, Tesis Doctoral, Departamento de Electrónica, CENIDET, México, Junio del 2003.

4

[4] M. Botello, “Aplicaciones de un microcontrolador para la eliminación de resonancias acústicas en lámparas de alta presión mediante la implementación de técnicas de modulación en frecuencia”, Tesis de maestría, CENIDET, México, Julio del 2003.

5

[5] A. López, “Balastro electrónico para lámparas de alta intensidad de descarga alimentado desde 12V y libre de resonancias acústicas”, Tesis de Maestría, Departamento de Electrónica, CENIDET, México, Septiembre del 2000.

6

[6] E. Flores, “Estudio e implementación de un inversor no resonante como balastro electrónico para lámparas de descarga”, Tesis de maestría, Departamento de Electrónica, CENIDET, México, Febrero del 2004.

7

[7] E. López, M. Rico-Secades, J. A. Fernández-Rubiera, J. M. Alonso, A. J. Calleja, J. Ribas, J. Cardesín, “A novel low cost two-stage electronic ballast for 250W high pressure mercury vapor lamps based on current-mode-controlled buck-boost inverter”, IEEE Applied Power Electronics Conference, United States of America, March 2001, Vol. 2, pp. 676-682.

8

[8] M. Ponce, A. Lopez, J. Correa, J. Arau, J. M. Alonso, “Electronic ballast for HID lamps with high frequency square waveform to avoid acoustic resonance”, IEEE Applied Power Electronics Conference, United States of America, March 2001, Vol. 2, pp 658-663.

9

[9] S. Miaosen, Q, Zhaoming, P. Fang, “Design of a two-stage low-frequency square-wave electronic ballast for HID lamps”, IEEE Transactions on Industry Applications, July-August 2003, Vol. 39, No. 2, pp. 424-430.

10

[10] J. Ribas, J. M. Alonso, A. J. Calleja, E. Lopez, J. Cardesin, J. Garcia, M. Rico, “Arc stabilization in low-frequency square-wave electronic ballast for metal halide lamps”, IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition, United States of America,


26

February 2003, Vol. 2, pp. 1179- 1184. 11

[11] Y. Hu, “Analysis and design of high-intensity-discharge lamp ballast for automotive head”, Master Thesis, Virginia Polytechnic Institute, United States of America, November 2001.

12

[12] E. Deng, “I. Negative incremental impedance of fluorescent lamp”, Ph.D. Thesis, California Institute of Technology, United States of America, September 1995.

13

[13] E. Deng and S. Cuk, “Negative incremental impedance and stability of fluorescent lamp”, IEEE Applied Power Electronic Conference, United States of America, January 1997, Vol. 2, pp. 1050-1056, 1997.

14

[14] W. Yan, S.Y.R Hui, H. Chung, “Nonlinear high-intensity discharge lamp model including a dynamic electrode voltage drop”, IEE Proceedings Science, Measurement & Technology, Vol. 150, No. 4, pp. 161 – 167.

15

[15] M. Shvartsas, and S. Ben-Yaakov, “A SPICE compatible model of high intensity discharge lamps”, IEEE Power Electronics Specialists Conference, United States of America, July 1999, Vol. 2, 1037-1042.


27

Capítulo 2

MODELO PROPUESTO PARA LÁMPARAS DE AID 2.1. Introducción

En este capítulo se presenta un modelo para lámparas de alta intensidad de descarga (AID), el cual está basado en conceptos de la física moderna que trata sobre el tema de plasmas. Debido a esto el modelo tiene significado físico, lo cual ayuda a entender como funciona la lámpara. El modelo propuesto está basado en el comportamiento térmico de la lámpara, la cual muestra una fuerte dependencia con respecto a su temperatura.

El modelo propuesto se compone de dos partes: a) La ecuación de la resistencia

equivalente de la lámpara en función de su temperatura, b) las ecuaciones del comportamiento térmico de la lámpara.

La resistencia equivalente de la lámpara se representa por medio de la ecuación de

Saha [1,2], esta ecuación muestra la resistencia de la lámpara en función de la temperatura del gas de relleno, el cual esta a muy alta temperatura, alrededor de 5000 oC. De acuerdo con la teoría de la física del plasma un gas a esta temperatura es un plasma.

Capítulo 2. Modelo propuesto para lámparas de AID

28

Las ecuaciones del comportamiento térmico de la lámpara se deducen a partir de un circuito térmico equivalente de la lámpara, el cual toma en cuenta el comportamiento térmico de los elementos que la componen, los cuales son: a) el gas de relleno, b) el tubo de descarga, c) el espacio parcialmente en vacío, y d) el bulbo externo.

Cualquier modelo de un sistema real debe ser validado. Por lo tanto el modelo

propuesto fue sometido a un proceso de validación utilizando un método formal, sistemático y sencillo basado en pruebas de hipótesis que emplean funciones estadísticas. El resultado obtenido de este proceso de validación fue que el modelo es válido. Por lo tanto representa adecuadamente el comportamiento de las lámparas de AID. En consecuencia el modelo propuesto es útil para el estudio de sistemas de iluminación basado en lámparas de AID, sobre todo en aquellos sistemas donde es indispensable un modelo de la lámpara, por ejemplo, en los sistemas de iluminación basados en balastros no resonantes. 2.2. Modelo propuesto

El comportamiento de las lámparas de AID depende de las características del plasma dentro de la lámpara. En particular la resistencia equivalente de las lámparas de AID es igual a la resistencia equivalente del plasma dentro de la lámpara. De acuerdo con la teoría de la física del plasma, la resistencia equivalente de un plasma muestra una fuerte dependencia con respecto a su temperatura [1,2]. Por lo tanto la resistencia equivalente de las lámparas de AID también muestra una fuerte dependencia con respecto a su temperatura.

Una ecuación que representa adecuadamente el comportamiento de la resistencia

equivalente de las lámparas de AID es la ecuación de Saha., la cual representa a esta resistencia en función de la temperatura de su gas de relleno. Sin embargo la ecuación de Saha no describe el comportamiento de esta temperatura.

Para obtener el comportamiento de la temperatura del gas de relleno se realizó un

análisis térmico de la lámpara. Con este análisis se obtuvo un circuito equivalente eléctrico de la lámpara. En base a este circuito se obtuvieron las ecuaciones diferenciales que representan el comportamiento de la temperatura del plasma.

En esta sección se muestra el desarrollo de un modelo térmico para lámparas de AID basado en la ecuación de Saha y en un análisis térmico de estas lámparas, este modelo es la aportación principal de este trabajo de tesis.

El modelo propuesto puede dividirse en dos partes para una mejor explicación de su

funcionamiento, como se muestra a continuación:

2.2.1 Ecuación de la resistencia equivalente de las lámparas de AID. 2.2.2 Ecuaciones del comportamiento térmico de las lámparas de AID.


29

2.2.1. Ecuación de la resistencia equivalente de las lámparas de AID La resistencia equivalente de las lámparas de AID (RL(Tg(t)) (Ω)) esta representada por la ecuación física (2.1), la cual es conocida en la física del plasma como ecuación de Saha [1,2], esta ecuación es no lineal debido a que se compone de términos exponenciales y además está en función de la temperatura del gas de relleno Tg(t) (oC).

( )( ) ( ) ( )21 322 4

1 0

ig

k eV T tk

L g gR T t k n T t e−− −=

(2.1)

O en forma equivalente:

( )( ) ( ) ( )234

1gB T t

L g gR T t B T t e− −= (Ω), (2.2)

Donde:

12

1 1 0B k n−

= , y tiene un valor constante, (2.3)

22 2

ik eVBk

= , y tiene un valor constante, (2.4)

n0 es la concentraron de átomos en el plasma ((mol/m3)), k es la constante de Boltzmann (J/oC), Vi es el potencial de ionización y es la mínima energía necesaria para liberar el electrón más externo de un átomo gaseoso en su estado neutro (V), e es la carga del electrón (C).

La ecuación (2.1) no describe el comportamiento de la temperatura Tg(t) (oC). Para

encontrar una ecuación que describa este comportamiento se propone realizar un análisis térmico de las lámparas de AID, el cual muestra a continuación en la siguiente sección. 2.2.2. Ecuaciones del comportamiento térmico de las lámparas de AID

Un análisis térmico de un dispositivo tiene como objetivo establecer las ecuaciones que representen su comportamiento térmico. Para lograr esto es necesario obtener el circuito eléctrico equivalente del dispositivo, este circuito se puede obtener a partir de un corte transversal de la lámpara, el cual debe mostrar los materiales empleados en su construcción. A cada material le corresponde dos elementos térmicos, los cuales son: a) una resistencia térmica, y b) un capacitor térmico.

En base a lo anterior, el análisis térmico de las lámparas de AID comienza

identificando los cuatro materiales básicos para una lámpara de AID típica, como la que se muestra en la figura 2.1 [3]. Estos materiales son los siguientes:

a) Un gas de relleno, b) Un tubo de descarga, c) Un espacio parcialmente en vacío, d) Un bulbo externo.


30

Figura 2.1 Lámpara de AID de halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W, de la

compañía Philips).

En la figura 2.2 se muestra el corte transversal de la lámpara mostrada en la figura 2.1. En esta figura también se muestran los materiales a, b, c y d. Cada material tiene asociados dos elementos, una resistencia y un capacitor térmico. Es importante mencionar que el material c, el cual es un espacio parcialmente vacío, tiene un capacitor Cx muy pequeño. Esto se debe a que existen pocas moléculas en ese material. Por lo tanto, el capacitor Cx no se toma en cuenta en el siguiente paso del análisis térmico, el cual es obtener el circuito eléctrico equivalente de las lámparas de AID.

Figura 2.2 Corte transversal de una lámpara de AID.


31

En base al corte transversal de las lámparas de AID se obtiene su circuito eléctrico equivalente, el cual se muestra en la figura 2.3. En esta figura se muestra como se eliminó el capacitor Cx, para lograr esto es necesario retirarlo del circuito.

Figura 2.3 Circuito eléctrico equivalente de la lámpara de AID.

En base al circuito de la figura 2.3 se dedujeron las ecuaciones diferenciales ordinarias

(2.5) a (2.10), las cuales describen el comportamiento de la temperatura Tg(t) (oC).

( ) ( ) ( ) ( )1g vLg

g g g

T t T tq tT t

C R C−

= −& (2.5)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 21

1 1 1

g v v vv

v g v v x

T t T t T t T tT t

C R C R R− −

= −+

& (2.6)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 2 22

2 1 2 2

v v v av

v v x v v a

T t T t T t T tT t

C R R C R R− −

= −+ +

& (2.7)

( ) ( ) ( )1g vg

g

T t T tq t

R−

= (2.8)

( ) ( ) ( )1 21

1

v vv

v x

T t T tq t

R R−

=+

(2.9)

( ) ( ) ( )22

v av

v a

T t T tq t

R R−

=+

(2.10)


32

Donde: Cg es la capacitancia térmica del gas de relleno (J/oC), Rg es la resistencia térmica del gas de relleno (oC/W), Cv1 es la capacitancia térmica del tubo de descarga (J/oC), Rv1 es la resistencia térmica del tubo de descarga (oC/W), Rx es la resistencia térmica del espacio parcialmente en vacío (oC/W), Cv2 es la capacitancia térmica del bulbo externo (J/oC), Rv2 es la resistencia térmica del bulbo externo (oC/W), Ra es la resistencia térmica del medio ambiente (oC/W), qL(t) es la fuente de calor en el arco de descarga en función del tiempo t, la cual

se localiza en el centro de la lámpara y se genera a partir de la descarga en la lámpara (W),

qg(t) es el flujo de calor en el gas de relleno en función del tiempo t (W), qv1(t) es el flujo de calor en el tubo de descarga en función del tiempo t (W), qv2(t) es el flujo de calor en el bulbo externo en función del tiempo t (W), Tg(t) es la temperatura del gas de relleno en función del tiempo t (oC), Tv1(t) es la temperatura del tubo de descarga en función del tiempo t (oC), Tv2(t) es la temperatura del bulbo externo en función del tiempo t (oC), Ta(t) es la temperatura del medio ambiente en función del tiempo t (oC).

( ) ( ) ( )1 2,g v vT t T t y T t& & & son las derivadas de las variables Tg(t), Tv1(t) y Tv2(t) (oC).

El circuito de la figura 2.3 es parte del diagrama de flujo de potencia que se muestra en la figura 2.4. En esta figura se observa que la parte eléctrica de la lámpara se relaciona con la parte térmica por medio de la ecuación (2.11).

Figura 2.4 Diagrama de flujo de potencia en una lámpara de AID.

( ) ( ) ( )( )L L L gq t p t T tη= (2.11)

Donde: ( ) ( ) ( )( )2

L L L gp t i t R T t= (W), (2.12)

iL(t) es la corriente en la lámpara en función del tiempo t (A), pL(t) es la potencia en la lámpara en función del tiempo t (W), ηL(Tg(t)) es la eficiencia de conversión de energía eléctrica a energía

térmica de la lámpara ó eficiencia térmica de la lámpara en función de la temperatura Tg(t).


33

La eficiencia ηL(Tg(t)) es una variable que depende de la temperatura Tg(t) y se representa por medio de la ecuación de boltzmann (2.13) [1].

( )( ) ( )4

3g

BT t

L gT t B eη = (2.13)

Donde: B3 y B4 son constantes.

De acuerdo con el diagrama de flujo de potencia mostrado en la figura 2.5, la

eficiencia ηL(Tg(t)) también puede expresarse en función del flujo radiante pr(t) (W) y la potencia en la lámpara pL(t) (W), tal como se muestra en la ecuación (2.14), esta ecuación no se emplea en el modelo, sin embargo, es de mucha utilidad en la evaluación de los parámetros de la lámpara, lo cual se muestra en la sección 2.3

( )( ) ( )( )

1 rL g

L

p tT t

p tη = −

(2.14)

A modo de resumen, a continuación se muestra en las ecuaciones (2.15) a (2.23) el modelo completo, el cual es no lineal y se compone de ecuaciones diferenciales ordinarias, funciones exponenciales y funciones irracionales.

( )( ) ( )( )2

34

1

gT tB

L g gR T t B T t e−= (2.15)

( ) ( ) ( ) ( )1g vLg

g g g

T t T tq tT t

C R C−

= −& (2.16)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 21

1 1 1

g v v vv

v g v v x

T t T t T t T tT t

C R C R R− −

= −+

& (2.17)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 2 22

2 1 2 2

v v v av

v v x v v a

T t T t T t T tT t

C R R C R R− −

= −+ +

& (2.18)

( ) ( ) ( )1g vg

g

T t T tq t

R−

= (2.19)

( ) ( ) ( )1 21

1

v vv

v x

T t T tq t

R R−

=+

(2.20)

( ) ( ) ( )22

v av

v a

T t T tq t

R R−

=+

(2.21)

( ) ( ) ( )( )L L L gq t p t T tη= (2.22)

( )( ) ( )4

3g

BT t

L gT t B eη = (2.23)


34

En la figura 2.5 se muestra el modelo propuesto en forma gráfica. En esta figura se observa como se relaciona la resistencia equivalente de la lámpara con el circuito eléctrico equivalente de la lámpara.

( )( ) ( ) ( )23

41

g

BT t

L g gR T t B T t e−=

( ) ( )( ) ( )L gL LT tp t q tη =

( )( ) ( )4

3g

B

gt

LTB eT tη =

Figura 2.5 Representación gráfica del modelo de la lámpara.

Después de desarrollar el modelo se procedió a evaluar sus parámetros, lo cual se

muestra a continuación en la siguiente sección. 2.3. Evaluación de los parámetros de la lámpara

Mediante una inspección de las ecuaciones (2.15) a (2.23) se identificaron los

parámetros a evaluar del modelo, los cuales se muestran en la tabla 2.1.

Tabla 2.1 Parámetros a evaluar del modelo propuesto para lámparas de AID. 1. Constante de ajuste de la resistencia equivalente de la lámpara RL(Tg(t)) B1 2. Constante de ajuste de la resistencia equivalente de la lámpara RL(Tg(t)) B2 3. Constante de ajuste de la eficiencia térmica ηL(Tg(t)) B3 4. Constante de ajuste de la eficiencia térmica ηL(Tg(t)) B4 5. Capacitancia térmica del gas de relleno, Cg 6. Capacitancia térmica del tubo de descarga Cv17. Capacitancia térmica del recipiente externo Cv28. Resistencia térmica del medio ambiente Ra 9. Resistencia térmica del gas de relleno Rg 10. Resistencia térmica del tubo de descarga Rv111. Resistencia térmica del recipiente externo Rv212. Resistencia térmica del espacio parcialmente en vacío Rx

Para evaluar los parámetros de la lámpara se realizaron dos tipos de pruebas. El

primer tipo de pruebas fueron en estado estacionario. De acuerdo con la teoría de la termodinámica, un sistema físico está en estado estacionario cuando sus características no varían con el tiempo. Por lo tanto, en estado estacionario, la temperatura en la lámpara ha dejado de variar. Bajo esta condición los capacitores térmicos de la lámpara están en circuito abierto. Esto implica que están desconectados del circuito equivalente eléctrico de la lámpara. En consecuencia las capacitancias térmicas Cg, Cv1, y Cv2 no pueden determinarse con esta prueba. En cambio las resistencias térmicas siguen conectadas al


35

circuito equivalente eléctrico. Por lo tanto, están consumiendo energía térmica. En consecuencia existen variables térmicas de la lámpara que puede medirse. Empleando estas variables se pueden evaluar las resistencias térmicas Rg, Rv1, Rx, Rv2 del modelo propuesto.

En estado estacionario la temperatura Tg(t) en la lámpara ha dejado de variar. En

consecuencia, las variables RL(Tg(t)) y ηL(Tg(t)) que están en función de esta temperatura también han dejado de variar. Las ecuaciones que describen el comportamiento de estas variables en estado estacionario se muestran en las ecuaciones (2.24) y (2.25), las cuales se obtuvieron del modelo propuesto. Las gráficas de estas ecuaciones pueden ajustarse a las gráficas experimentales de las variables RL(Tg(t)) y η L (Tg(t)). Para esto es necesario ajustar los parámetros B1, B2, B3 y B4 en las ecuaciones (2.24) y (2.25). Por lo tanto, con las pruebas en estado estacionario y empleando un método de ajuste de curvas se pueden evaluar los parámetros B1, B2, B3 y B4.

( )23

41

g

BT

L g gR T B T e−

= (2.24)

( )4

3g

BT

L gT B eη = (2.25)

Donde: Tg es la temperatura del gas de relleno en estado estacionario (oC), RL(Tg) es la resistencia equivalente de la lámpara en estado estacionario (Ω), ηL(Tg) es la eficiencia térmica de la lámpara en estado estacionario.

El segundo tipo de pruebas fueron dinámicas, estas pruebas son las presentadas en

la referencia [4], las cuales consisten en aplicar escalones de corriente en la lámpara. Mediante estas pruebas se obtiene la respuesta transitoria del voltaje en la lámpara cuando se aplica un escalón de corriente a la misma. La gráfica de este voltaje muestra las constantes de tiempo de la lámpara [4]. De acuerdo con el modelo propuesto estas constantes son las constantes térmicas del circuito equivalente de la lámpara. De acuerdo con la teoría de la termodinámica, las capacitancias térmicas de un circuito térmico pueden evaluarse mediante estas constantes. Por lo tanto esta prueba es útil para encontrar los valores de las capacitancias térmicas de la lámpara.

Para medir los datos experimentales de la lámpara, necesarios para evaluar sus

parámetros, se construyó un circuito de prueba, el cual está basado en un balastro no resonante con un control en lazo cerrado retroalimentando la corriente en la lámpara. La estrategia de control utilizada para el diseño de la etapa de control fue la estrategia de control por modos deslizantes, este circuito de prueba se muestra a continuación. 2.3.1. Circuito de prueba

La figura 2.6 muestra el diagrama a bloques del circuito de prueba utilizado, este circuito está basado en un balastro no resonante, el cual está compuesto por un convertidor reductor, un inversor, un circuito de encendido. El convertidor Reductor tiene como función principal estabilizar la corriente en la lámpara y está en cascada con un inversor puente completo, el cual alimenta a la lámpara con formas de ondas cuadradas, simétricas y


36

de baja frecuencia en corriente y voltaje con la finalidad de evitar el fenómeno de las resonancias acústicas. Entre la lámpara y el inversor se encuentra el circuito de encendido, el cual genera un voltaje elevado para encender la lámpara.

Figura 2.6 Diagrama de bloques del circuito de prueba.

La etapa de control fue diseñada con la estrategia de control por modos deslizantes.

Se escogió esta estrategia debido a su buena respuesta dinámica, la cual es una característica útil para realizar la prueba de escalón de corriente. En el capítulo 3 se muestran más detalles con respecto a este balastro no resonante.

El primer tipo de pruebas que se realizaron fueron en estado estacionario, las cuales

se muestran a continuación.

2.3.2. Pruebas en estado estacionario

Anteriormente se menciono que un sistema físico está en estado estacionario cuando sus características no varían con el tiempo. Esto implica que las variables térmicas del sistema han dejado de variar, esta definición suele emplearse en gran parte de los sistemas donde ocurre algún proceso térmico. Éste es el caso de las lámparas de AID. Por lo tanto, aplicando esta definición a las lámparas de AID, se obtienen las temperaturas Tg(t), Tv1(t) y Tv2(t) en estado estacionario, las cuales se muestran en las ecuaciones (2.26) a (2.28). Es importante mencionar que en estado estacionario las temperaturas Tg(t), Tv1(t) y Tv2(t) tienen valores constantes. Además un sistema está en estacionario cuando ha pasado un determinado tiempo, lo cual suele expresarse matemáticamente como t → ∞ .

( ) , cuando g gT t T t= → ∞ (2.26)

( )1 1, cuando v vT t T t= → ∞ (2.27)

( )2 2 , cuando v vT t T t= → ∞ (2.28)


37

Donde: Tv1 es la temperatura en el tubo de descarga en estado estacionario (oC), Tv2 es la temperatura en el bulbo externo en estado estacionario (oC).

Bajo estas circunstancias las derivadas de las temperaturas Tg(t), Tv1(t) y Tv2(t) son

iguales a cero, lo cual se muestra en las ecuaciones (2.29) a (2.31).

( ) 0, cuando gT t t= → ∞& (2.29)

( )1 0, cuando vT t t= → ∞& (2.30)

( )2 0, cuando vT t t= → ∞& (2.31)

Por lo tanto, el modelo de las lámparas de AID en estado estacionario se obtiene

sustituyendo las ecuaciones (2.26) a (2.31) en las ecuaciones (2.15) a (2.23), con lo cual se obtienen lo siguiente:

( )23

41

g

BT

L g gR T B T e−

= (2.32)

10 g vL

g g g

T TqC R C

−= −

(2.33)

( )1 1 2

1 1 1

0 g v v v

v g v v x

T T T TC R C R R

− −= −

+

(2.34)

( ) ( )1 2 2

2 1 2 2

0 v v v a

v v x v v a

T T T TC R R C R R

− −= −

+ +

(2.35)

1g vg

g

T Tq

R−

= (2.36)

1 21

1

v vv

v x

T TqR R

−=

+

(2.37)

22

v av

v a

T TqR R

−=

+

(2.38)

( )L L L gq p Tη= (2.39)

( )4

3g

BT

L gT B eη = (2.40)

Donde: pL es la potencia en la lámpara en estado estacionario (W), qL es la fuente de calor en el arco de descarga en estado estacionario (W), qg es el flujo de calor en el gas de relleno en estado estacionario (W), qv1 es el flujo de calor en el tubo de descarga en estado estacionario (W), qv2 es el flujo de calor en el bulbo externo en estado estacionario (W), Ta es la temperatura del medio ambiente en estado estacionario (oC), en nuestro

caso en particular es de 26 oC.


38

Combinando las ecuaciones (2.33) a (2.39) se obtienen las ecuaciones (2.41) a (2.44), las cuales sirven para estimar los valores de las resistencias Rg, Rv1+ Rx y Rv2+ Ra.

1g vg

g

T TR

q−

= (2.41)

1 21

1

v vv x

v

T TR Rq−

+ = (2.42)

22

2

v av a

v

T TR Rq−

+ = (2.43)

( )1 2L g v v L g Lq q q q T pη= = = = (2.44)

Donde: L L Lp v i= (W), (2.45) vL es el voltaje en la lámpara en estado estacionario (V), iL es la corriente en la lámpara en estado estacionario (A), Mediante una inspección de las ecuaciones (2.41) a (2.44) se deduce que los datos que deben obtenerse en base a pruebas experimentales son: pL, qL, η(Tg), Tg, Tv1 y Tv2.

En la figura 2.7 se muestra en forma gráfica el modelo de la lámpara en estado estacionario. Se observa en esta figura que el circuito térmico equivalente de la lámpara no tiene los capacitores debido a que están en circuito abierto.

Rv1+Rx

Tv1Tg

Rg

Ta

Rv2+Ra

Tv2

qg qv1 qv2

pL ( ) 2

34

1gB T

L g gR T B T e− −= ( )L Lgp qTη =

( )4

3g

B

gTB eTη

−

=

= =

Resistencia no lineal de la lámpara

Circuito eléctrico equivalente de la lámpara

Figura 2.7 Modelo de la lámpara en estado estacionario para estimar los valores de las

resistencias térmicas.

Con esta prueba también se pueden estimar los parámetros B1 y B2 relacionados con la resistencia RL(Tg) y los parámetros B3 y B4 relacionados con la eficiencia ηL(Tg). Esto se realizó en base a un ajuste de curvas entre las gráficas experimentales y las gráficas teóricas de la lámpara.

Para llevar a cabo el ajuste de curvas, es necesario obtener los datos experimentales

en estado estacionario de las variables: vL, iL y pr. Con estos datos y las ecuaciones (2.46) a


39

(2.49) se calculan los datos de las variables Tg, ηL(Tg) y RL(Tg). En base a estos datos reales se obtienen las gráficas experimentales de las variables ηL(Tg) y RL(Tg).

Otras gráficas que son importantes para llevar a cabo el ajuste de curvas, son las

graficas teóricas de las variables ηL(Tg) y RL(Tg), las cuales se obtienen empleando las ecuaciones (2.32) y (2.40).

( )( ) ( )1 2g a g v x v a g LT T R R R R R T pη= + + + + + (2.46)

L L Lp v i= (2.47)

( ) LL g

L

vR Ti

= (2.48)

( ) 1 rL g

L

pTp

η = − (2.49)

Donde: pr es el flujo radiante en la lámpara en estado estacionario (W).

Para facilitar la evaluación de los parámetros Rg, Rv1+ Rx, Rv2+ Ra, B1, B2, B3 y B4 se

siguieron los pasos mostrados en la tabla 2.2. Tabla 2.2 Pasos para la estimación de los parámetros de una lámpara en estado estacionario. 1. A una potencia nominal pL = 70 W, obtener experimentalmente los valores de las

variables: pr y Tv2. 2. A una potencia nominal pL = 70 W, obtener de algún trabajo previó, en nuestro caso fue

de la referencia [5], los valores de las variables: Tg y Tv1. 3. Calcular la eficiencia ηL(Tg) con el dato obtenido para el flujo pr en el paso 1 y

utilizando la ecuación (2.49). 4. Obtener los valores de las resistencias Rg, Rv1+ Rx y Rv2+ Ra utilizando los datos de las

variables pL, Tg, Tv1, Tv2 y ηL(Tg) obtenidos en los pasos 1 y 2 y las ecuaciones (2.41) a (2.44).

5. En todo el rango de potencias de la lámpara, para esto pL varía de 35 W a 70 W, obtener los datos experimentales del flujo pr.

6. Obtener la gráfica de ηL(Tg), utilizando los datos para el flujo pr obtenidos en el paso 5 y la ecuación (2.49).

7. Obtener los valores de la temperatura Tg, para esto la temperatura Ta = 26 oC, utilizando los datos para la eficiencia ηL(Tg) obtenidos en el paso 6, los parámetros Rg, Rv1+ Rx y Rv2+ Ra obtenidos en el paso 4 y la ecuación (2.46).

8. Obtener los datos y gráficas de ηL(Tg) y RL(Tg) en función en función de Tg, utilizando los datos de Tg obtenidos en el paso 7.

9. Obtener los parámetros B1, B2, B3 y B4 empleando las ecuaciones (2.32) y (2.40) en un ajuste de curvas entre las gráficas teóricas y experimentales de las variables ηL(Tg) y RL(Tg), este procedimiento puede realizarse en forma semi-automática con la ayuda del paquete de ajuste de curvas (curve fitting) de Matlab.


40

Para medir las variables en forma experimental se utilizaron los instrumentos y elementos de medición mostrados en la tabla 2.3.

Tabla 2.3 Instrumentos de medición utilizados en la pruebas en estado estacionario.

Variable a medir

Instrumento de medición Elemento de medición

Tv2 Termómetro y multímetro MUL-400, con un rango de -20 ºC a 1000 ºC

Termopar tipo k estándar, con un rango de -200 ºC a 1250 ºC y un tiempo de respuesta de 1 s.

pr Esfera de Ulrich LMS-760 y un espectrometro DAS2100 de Labsphere, los cuales aceptan lámparas con una potencia inferior a 5000 W.

No aplica.

vL y iL Termómetro y multímetro MUL-400, el cual tiene un rango de voltaje de 200 mV a 1000 V, y un rango de corriente de 2 mA a 10 A.

Puntas típicas de multímetro.

Para hacer un uso adecuado de los instrumentos de la tabla 2.3, y de esta forma

obtener datos experimentales útiles para la evaluación los parámetros Rg, Rv1+ Rx, Rv2+ Ra, B1, B2, B3 y B4, se desarrolló una metodología de caracterización, la cual se muestra en la tabla 2.4.

Tabla 2.4 Metodología de caracterización de la lámpara en estado estacionario.

A. Condiciones de operación A.1. Las mediciones se realizaron hasta que la potencia en la lámpara se estabilizó en un valor fijo, aproximadamente después de 10 minutos. A.2 Para las variables Tv2, Ta, pr, vL y iL se tomaron 10 valores en todo el rango de operación de la lámpara, con lo cual se representa adecuadamente su comportamiento.

B. Procedimiento de mediciónB.1. Encender la lámpara a 130 kHz, B.2. Cambiar la frecuencia de operación a 300 Hz, B.3. Desconectar el circuito de encendido, B.4. Ajustar la potencia de la lámpara, B.5. Medir las variables Tv2, Ta, pr, vL y iL.

C. Datos obtenidos C.1. A una potencia pL = 70 W se obtuvieron los parámetros Tv2, Ta, pr, vL y iL. C.2. Se obtuvieron un grupo de datos de pr, vL e iL.

D. Datos y gráficas estimadas D.1. Los parámetros Rg, Rv1, Rx, Rv2, Ra, B1, B2, B3 y B4. D.2. Las gráficas de RL(Tg) y η(Tg).

En base a los procedimientos mostrados en la tabla 2.2 y en la tabla 2.4 se

obtuvieron los valores experimentales de las variables pL, qL, ηL(Tg), Tg, Tv1 y Tv2. Estos datos se obtuvieron a potencia nominal pL = 70 W, con una temperatura Ta = 26 oC, y en


41

estado estacionario. La lámpara de prueba es de AID de halogenuros metálicos de 70 W de la compañía Philips (CDM-TD 70W). Los datos obtenidos se muestran en la tabla 2.5.

Tabla 2.5 Datos de la lámpara CDM-TD 70W a potencia nominal pL = 70 W, con una

temperatura Ta = 26 oC, y en estado estacionario. Valor obtenido de la referencia [5] Valor obtenido de la referencia [5]

Tg ≅ 5600 oK = 5327 oC Tv1 ≅ 1000 oK == 727 oC Valor medido con un termopar tipo k Valor medido con un termopar tipo k

Tv2 = 315 oC Ta = 26 oC Valor obtenido con la ayuda de una esfera

de Ulrich Valor calculado con los datos obtenidos

ηL(Tg) = 0.872 qL = ηL(Tg)pL = 0.872(70 W) = 61 W

Para estimar los parámetros Rg, Rv1+ Rx y Rv2+ Ra se utilizaron los datos de la tabla 2.5 y las ecuaciones (2.41) a (2.44), el resultado se muestra en la tabla 2.6.

Tabla 2.6 Valores de las resistencias térmicas.

Rg 75.36 oC/W

Rv2+Ra 4.73 oC/W

Rv1+Rx 6.74 oC/W

En base a los procedimientos mostrados en la tabla 2.2 y en la tabla 2.4 se

obtuvieron los valores experimentales de las variables pL, pr, ηL(Tg), Tg y RL(Tg). Estos datos se obtuvieron para diferentes potencias de la lámpara, pL varía de 35 W a 70 W, a una temperatura Ta = 26 oC, y en estado estacionario. La lámpara de prueba es de AID de halogenuros metálicos de 70 W de la compañía Philips (CDM-TD 70W). Los datos obtenidos se muestran en la tabla 2.7.

Tabla 2.7 Datos experimentales de la lámpara CDM-TD 70W para diferentes potencias pL,

con una temperatura Ta = 26 oC, y en estado estacionario. pL(W) pr (W)

ηL(Tg)

adimensionalTg (oC) RL(Tg) (Ω)

70 8.94084919 0.872273583 5327.82712 121.842105 65 8.215959 0.873600631 4956.61506 127.374302 60 7.48784773 0.875202538 4585.68269 134.529148 55 6.70644217 0.878064688 4219.37792 142.628205 50 5.89297218 0.882140556 3855.85733 156.99115 45 5.03879941 0.88802668 3495.87101 172.941177 40 4.19926794 0.895018302 3134.61337 196.02649 35 3.27130307 0.906534198 2781.03448 235.492228 30 2.45505124 0.918164959 2417.75545 300.632911 25 1.62913616 0.934834553 2055.31548 412.698413


42

En base a los datos de la tabla 2.7 se obtuvieron las gráficas experimentales de las variables ηL(Tg) y RL(Tg), las cuales se muestran en las figuras 2.8 y 2.9.

η L (T g ) vsT g

0.84

0.85

0.86

0.87

0.88

0.89

0.9

0.91

0.92

0.93

0.94

5327.834956.624585.684219.383855.863495.873134.612781.032417.762055.32

T g , o C

η L(T

g )

Figura 2.8 Gráfica experimental de la eficiencia ηL(Tg).

R L (T g ) vs T g

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

5327.834956.624585.684219.383855.863495.873134.612781.032417.762055.32

T g , o C

RL(

T g )

, Ω

Figura 2.9 Gráfica experimental de la resistencia RL(Tg).

De acuerdo con el procedimiento mostrado en la tabla 2.2, los parámetros B1, B2, B3

y B4 se obtienen al ajustar las gráficas teóricas de ηL(Tg) y RL(Tg), las cuales se obtiene al graficar las ecuaciones (2.32) y (2.40), con las gráficas mostradas en obtenidas en las figuras 2.8 y 2.9, las cuales se obtuvieron a partir datos experimentales. El resultado de este


43

ajuste de curvas se muestra en las figuras 2.10 y 2.11 y los valores de los parámetros B1, B2, B3 y B4 se muestran en la tabla 2.8.

η (T g ) vsT g

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

5327.834956.624585.684219.383855.863495.873134.612781.032417.762055.32

T g , o C

η (T

g )

Gráfica experimental

Gráfica teórica

Figura 2.10 Gráficas experimental y teórica de la de la eficiencia ηL(Tg).

R L (T g ) vs T g

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

5327.834956.624585.684219.383855.863495.873134.612781.032417.762055.32

T g , o C

RL(

T g )

, Ω

Gráfica experimental

Gráfica teórica

Figura 2.11 Gráficas experimental y teórica de la resistencia RL(Tg).


44

Tabla 2.8 Valores de los parámetros B1, B2, B3 y B4. Parámetros de la resistencia RL(Tg)

B1 B2 48350 1850

Parámetros de la eficiencia ηL(Tg) B3 B4

0.85 175 A modo de resumen, en la tabla 2.9 se muestra los parámetros estimados de la lámpara con las pruebas en estado estacionario y los parámetros que faltan por estimarse, los cuales son los capacitores Cg, Cv1 y Cv2.

Tabla 2.9 Parámetros de la lámpara de AID estimados con las pruebas estacionarias. Parámetros de la resistencia RL(Tg)

B1 B2 48350 1850

Parámetros de la eficiencia ηL(Tg) B3 B4

0.85 175 Parámetros del circuito eléctrico equivalente

Rg Rv1+Rx 75.36 oC/W 6.74 oC/W

Rv2+Ra Cg4.73 oC/W Falta por estimar

Cv1 Cv2Falta por estimar Falta por estimar

Las pruebas en estado estacionario, realizadas en esta sección, no fueron útiles para

evaluar las capacitancias térmicas de la lámpara. Esto se debe a que los resultados de estas pruebas fueron señales de cd. De acuerdo con la teoría de circuitos eléctricos si a un capacitor se le aplica una señal de cd, este capacitor eventualmente estará en circuito abierto. En este estado no hay variables que podamos medir en el capacitor para poder determinar su capacitancia. Para solucionar este problema se realizó una prueba dinámica, es decir una prueba con señales que varían en el tiempo. Para esto se utilizó la técnica empleada en la referencia [4], en la cual se propone realizar una prueba de tipo escalón de corriente, la cual se muestra a continuación en la siguiente sección. 2.3.3. Prueba dinámica

El objetivo de esta sección es evaluar las capacitancias térmicas Cg, Cv1 y Cv2 de la

lámpara seleccionada. Esto se puede realizar por medio de una prueba dinámica conocida como escalón de corriente [4], la cual consiste en medir la respuesta transitoria del voltaje en la lámpara cuando se le aplica un escalón de corriente a la lámpara. De la gráfica del voltaje se obtienen las constantes de tiempo de la lámpara. De acuerdo con el modelo propuesto estas constantes son las constantes térmicas de la lámpara. Estas constantes están


45

determinadas por las redes RC del circuito eléctrico equivalente de la lámpara. De acuerdo con la teoría de circuitos eléctricos la evaluación de las capacitancias de un circuito RC se puede llevar a cabo mediante la fórmula de la constate de tiempo τ = RC de un circuito RC típico. Por lo tanto, empleando las constantes térmicas y la fórmula τ = RC se evaluaron las capacitancias térmicas Cg, Cv1 y Cv2.

El circuito equivalente de la figura 2.3 representa el comportamiento térmico de la

lámpara, este circuito representa también su comportamiento dinámico, el cual está en función de las constantes térmicas de la lámpara. Estas constantes a su vez están asociadas a las redes RC conectadas en cascada del circuito eléctrico equivalente de la lámpara, las cuales se señalan en la figura 2.12 (a). Estas redes están desacopladas debido a que sus capacitancias tienen valores muy diferentes entre si. Por ejemplo, el valor típico del capacitor Cg se encuentra en el orden de las millonésimas de faradios, el capacitor Cv1 se encuentra en el orden de las milésimas de faradios y el capacitor Cv2 se encuentra en el orden de los faradios, esta diferencia entre los valores de los capacitores es de gran ayuda en el análisis del circuito eléctrico equivalente.

Las ecuaciones para la evaluación de las capacitancias térmicas Cg, Cv1 y Cv2 se

dedujeron a través de un análisis del circuito eléctrico equivalente, este análisis se realizo para tres diferentes periodos de tiempo de la prueba de escalón de corriente, tal como se muestra a continuación:

a) Análisis del circuito eléctrico durante la prueba de escalón de corriente para una escala

de tiempo en el orden de microsegundos Durante los primeros microsegundos de la prueba de escalón de corriente, se puede

observar todo el comportamiento dinámico del capacitor Cg. En cambio en esta etapa el capacitor Cv1 no presenta ningún cambio debido a que es muy grande y requiere de más tiempo para reaccionar. Por lo tanto, en ese periodo de tiempo el capacitor Cv1 se comporta como una fuente de temperatura constante, lo cual puede observarse en la figura 2.12 (b). De acuerdo con la teoría de circuitos eléctricos, si la variable Tv1(t) es constante entonces esta no afecta el comportamiento dinámico del capacitor Cg. Por lo tanto este comportamiento puede analizarse eliminado la fuente de temperatura constante Tv1, como se muestran en la figura 2.12 (e).

b) Análisis del circuito eléctrico durante la prueba de escalón de corriente para una escala

de tiempo en el orden de milisegundos

En forma similar al caso anterior, en una escala del orden de milisegundos de la prueba de escalón de corriente, se puede observar todo el comportamiento dinámico del capacitor Cv1. En cambio en esta etapa el capacitor Cv2 no muestra ningún cambio debido a que es muy grande y requiere de más tiempo para reaccionar. Por otro lado, el comportamiento dinámico de Cg ya terminó en los primero microsegundos de la prueba. Por lo tanto, el capacitor Cv2 se comporta como una fuente de temperatura constante, lo cual se muestra en la figura 2.12 (c) y el capacitor Cg puede eliminarse pues ya desaparecieron sus efectos. En consecuencia se puede analizar el comportamiento dinámico de Cv1 sin


46

considerar los efectos de los capacitores Cg y Cv2 basándose en el circuito simplificado de la figura 2.12 (f). c) Análisis del circuito eléctrico durante la prueba de escalón de corriente para una escala

de tiempo en el orden de las decenas de segundos

Por último, para observar el comportamiento dinámico del capacitor Cv2 se puede observar en una escala de tiempo en el orden de las decenas de segundos. En esta escala de tiempo el comportamiento dinámico de los capacitores Cg y Cv1 es despreciable debido a que sus efectos ya terminaron en los primeros milisegundos de la prueba de escalón de corriente. En consecuencia se pueden eliminar los capacitores Cg y Cv1 del circuito de la figura 2.12 (d), con lo cual se obtiene el circuito equivalente de la figura 2.12 (g). En este circuito también se elimina los efectos de la temperatura del medio ambiente debido a que es constante durante todo el periodo de prueba.

Figura 2.12 Descomposición del circuito térmico en redes RC.


47

Analizando los circuitos de las figuras 2.13 e), f) y g) se obtienen lo siguiente:

( ) ( ) ( )gLg

g g g

T tq tT t

C C R= −&

(2.50)

( ) ( ) ( )( )

11

1 1 1

L vv

v v v x

q t T tT t

C C R R= −

+&

(2.51)

( ) ( ) ( )( )

22

2 2 2

L vv

v v v a

q t T tT t

C C R R= −

+& ,

(2.52)

En base a las ecuaciones (2.50) a (2.52) se deduce el valor de las constantes térmicas, las cuales se muestran a continuación:

g g gC Rτ = (2.53)

( )1 1 1v v v xC R Rτ = + (2.54)

( )2 2 2v v v aC R Rτ = + (2.55)

Despejando las capacitancias Cg, Cv1 y Cv2 de las ecuaciones (2.53) a (2.55) obtenemos las ecuaciones (2.56) a (2.58), las cuales sirven para evaluar estos parámetros.

gg

g

CRτ

= (2.56)

11

1

vv

v x

CR R

τ=

+

(2.57)

22

2

vv

v a

CR R

τ=

+

(2.58)

Las resistencias Rg, Rv1+ Rx y Rv2+ Ra mostradas en las ecuaciones (2.56) a (2.58) ya fueron estimadas previamente en la pruebas en estado estacionario. Las constantes τg, τv1 y τv2 pueden estimarse a partir de mediciones en el voltaje de la lámpara vL(t) cuando se aplica un escalón de corriente a la lámpara [4]. Con estos datos y utilizando las ecuaciones (2.56) a (2.58) se pueden evaluar las capacitancias Cg, Cv1 y Cv2. Para realizar la prueba de escalón de corriente fue necesario establecer una metodología para la extracción de los parámetros τg, τv1 y τv2, la cual se muestra en la tabla 2.10.

En base a la metodología mostrada en la tabla 2.10 se realizó la prueba de escalón de corriente. En esta prueba obtuvieron las graficas del voltaje vL(t), corriente iL(t) y y la temperatura Tv2(t) a diferentes escalas de tiempo. Estas gráficas se muestran en las figuras 2.13 a 2.15, las cuales se obtuvieron con un osciloscopio Tektronix modelo TDS354B. Las escalas utilizadas en el osciloscopio para obtener las figuras 2.13 a 2.15 fueron las siguientes:


48

La grafica mostrada en la figura 2.13 se obtuvo con una escala de tiempo de 400 μs por división.

La gráfica mostrada figura 2.14 se obtuvo con una escala de tiempo de 10 ms por

división.

La gráfica mostrada figura 2.15 se obtuvo con una escala de tiempo de 10 s por división.

Tabla 2.10 Metodología para la extracción de los parámetros τg, τv1 y τv2.

A. Condiciones de operación A.1. Las mediciones se realizan cuando se aplica un escalón de corriente a la lámpara. El escalón realizado fue del 50% de la corriente iL(t), de corriente nominal iL(t) =0.8 A a corriente mínima iL(t) = 0.4 A. A.2. El escalón de corriente se aplica a la lámpara cuando la potencia en la lámpara permanece constante en el nivel de corriente nominal, para esto hay que esperar 10 minutos.

B. Procedimiento para la mediciónB.1. Encender la lámpara a 130 kHz, B.2. Cambiar la frecuencia de operación a 300 Hz, B.3. Desconectar el circuito de encendido, B.4. Ajustar la corriente en la lámpara al nivel nominal, B.4. Ajustar la escala de tiempo del osciloscopio, B.5. Aplicar el escalón de corriente a la lámpara, B.6 Medir la corriente iL(t), el voltaje vL(t) y la temperatura Tv2(t).

C. Gráficas y datos obtenidos C.1. Referencia de corriente de la lámpara (iLr), C.2. Corriente en la lámpara (iL(t)), C.3. Voltaje en la lámpara (vL(t)), C.4. Temperatura (Tv2(t)), C.5. Constantes τg, τv1 y τv2.

El circuito de prueba utilizado se muestra en la figura 2.6. En este circuito el cambio

de corriente en la lámpara se realiza cambiando la referencia de corriente iLr en forma escalonada, lo cual se muestra en las figuras 2.13 a 2.15. La lámpara de prueba es de AID de halogenuros metálicos de 70 W de la compañía Philips (CDM-TD 70W).


49

Figura 2.13 Medición de la constante τg a través de una prueba de escalón de corriente.

V1 = 47.5 ms

iLr

vL(t)

iL(t)

vL(t)



50


De acuerdo con las figuras 2.13 a 2.15, las constantes τg, τv1 y τv2 de una lámpara de AID de halogenuros metálicos de 70 W de la compañía Philips (CDM-TD 70W) son las que se muestran en la tabla 2.11.

Tabla 2.11 Constantes térmicas de la lámpara.

Constante térmica del gas τg

Constante térmica del tubo de descarga τv1

Constante térmica de bulbo externoτv2

120 μs 47.5 ms 47 s

Por lo tanto utilizando las ecuaciones (2.56) a (2.58) y los datos de la tabla 2.11 se obtienen las capacitancias Cg, Cv1 y Cv2, las cuales se muestran en la tabla 2.12.

Tabla 2.12 Capacitancias térmicas de la lámpara.

Capacitancia térmica del gas Cg

Capacitancia térmica del tubo de descarga Cv1

Constante térmica de bulbo externo Cv2

1.6 μ J/oC 7.07 m J/oC 9.92 J/oC


51

En la tabla 2.13 se muestra el resumen de todos los parámetros del modelo propuesto, los cuales se obtuvieron a través de las pruebas en estado estacionario y las pruebas dinámicas.

Tabla 2.13 Parámetros del modelo propuesto para lámparas de AID.

Estos parámetros se obtienen en estado estacionario Rg Rv1+Rx Rv2+Ra

75.36 oC/W 6.74 oC/W 4.73 oC/W B1 B2 B3

48350 1850 0.837 B4

175 Estos parámetros se obtiene a través de pruebas dinámicas

Cg Cv1 Cv2 1.6 μ J/oC 7.07 m J/oC 9.92 J/oC

En este punto del capítulo 2 ya se tiene el modelo propuesto completo para lámparas de AID con parámetros extraídos de una lámpara real. De acuerdo con [6] todo modelo debe ser validado. Para realizar esto se puede emplear el método de validación presentado en [6], el cual está basado en pruebas de hipótesis que emplean funciones estadísticas. Por lo tanto, este método es formal, sencillo y sistemático. En base a este método, se realizó la validación del modelo propuesto, la cual se presenta a continuación en la siguiente sección. 2.4. Validación del modelo propuesto para lámparas de AID

En esta sección se presenta la validación del modelo propuesto para lámparas de AID. En la referencia [6] se define validación del modelo como el proceso que asegura que el modelo represente la realidad con cierto nivel de confianza. Esto significa que el diseñador del modelo intenta crear un modelo que es una representación razonable del sistema real [6].

Las suposiciones, simplificaciones, los descuidos, y las limitaciones no deben ser muy grandes con la finalidad de prevenir que el modelo represente la realidad con cierto nivel de confianza, de lo contrario el diseñador puede tener serios problemas. El proceso de validación asiste al diseñador para conocer si es apropiado proceder con el estudio de simulación o regresar a rediseñar el modelo.

Existen dos principales tipos de validación de interés para el diseñador. La primera

de estas es la validación cualitativa, la cual verifica si el modelo representa la realidad en una región de operación. La segunda es la validación estadística, la cual involucra una comparación cuantitativa entre el desempeño de la salida del sistema real y el modelo. El diseñador debe lograr ambos tipos de validación para tener la confianza que el modelo es preciso.


52

En base a lo anterior en este trabajo de investigación se realizaron ambos tipos de validación para el modelo propuesto. Primero se presenta en la sección 2.4.1, la metodología y el procedimiento propuesto para obtener los datos experimentales y teóricos del sistema. Con estos datos se realiza la validación cualitativa del modelo en la sección 2.4.2 y la validación cuantitativa del modelo se realiza en la sección 2.4.3. 2.4.1. Metodología y procedimiento para la validación del modelo propuesto La metodología propuesta para la validación del modelo que se muestra en la tabla 2.14, la cual está basada en la teoría sobre validación de modelos presentada en la referencia [6].

Tabla 2.14 Metodología para la validación del modelo. 1. Obtener las gráficas experimentales y de simulación (utilizando una modulación triangular en

la corriente de la lámpara iL(t)) de: La temperatura del vidrio externo contra el tiempo (Tv2(t)). La resistencia de la lámpara contra el tiempo (RL(t)).

2. Verificar si el modelo es válido realizando una comparación visual (comparación cualitativa) de las gráficas experimentales contra las obtenidas de la simulación del modelo.

3. Verificar si el modelo es válido realizando un análisis estadístico de los datos del modelo con los datos obtenidos experimentalmente (comparación cuantitativa).

El procedimiento para la validación del modelo propuesto se muestra en la tabla 2.15.

Tabla 2.15 Procedimiento para la validación del modelo propuesto. A. Condiciones de operación

A.1. Las corriente en la lámpara iL(t) es una señal modulada en amplitud. La modulación es aplicada cuando la lámpara se encuentra en estado estacionario. A.2. La señal portadora es cuadrada con una frecuencia de operación de 300Hz. A.3. La señal moduladora es triangular con una frecuencia de operación de 0.11Hz.

B. Procedimiento para obtener los datos experimentales B.1. Encender lámpara a 130 kHz. B.2. Cambiar la frecuencia de operación a 300 Hz, B.3. Desconectar el circuito de encendido. B.4. Ajustar la señal moduladora. B.5. Esperar 10 minutos antes de medir las variables de: iL(t), vL(t) y Tv2(t). B.6. Obtener la señal moduladora de las variables iL(t), vL(t) y Tv2(t). B.7. Calcular la resistencia RL(t).

C. Procedimiento para obtener los datos de simulación C.1. Introducir la corriente iL(t) obtenida experimentalmente en el paso B.6 en el modelo propuesto. C.2. Medir las variables iL(t), vL(t) y Tv2(t). C.3. Calcular la resistencia RL(t).

D. Gráficas y datos obtenidos D.1. Corriente en la lámpara (iL(t)), obtenida experimentalmente. D.2. Resistencia RL(t), obtenida experimentalmente y mediante simulaciones del modelo. D.3. Temperatura Tv2(t), obtenida experimentalmente y mediante simulaciones del modelo.


53

Para poder obtener los datos y gráficas del sistema real se utilizó el circuito de la figura 2.6 y para obtener los datos teóricos se realizaron simulaciones del modelo en el programa Simulink, tal como se muestra en la figura 2.16.

Figura 2.16 Modelo de la lámpara propuesto implementado en Simulink.

En la figura 2.17 se muestran las gráficas experimentales y teóricas obtenidas cuando modulamos la corriente en la lámpara con una señal triangular. Las señales obtenidas son las envolventes de iL(t), Tv2(t) y RL(Tg(t)) para una lámpara de AID de halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W de la compañía Philips).

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9iL(t), A

t, s0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

()

Figura 2.17 Gráficas obtenidas para el proceso de validación: a) iL(t), b) Tv2(t) y c) RL(t).


54

En base a los datos de las gráficas mostradas en la figura 2.17 se realizó la validación del modelo propuesto en forma cualitativa y cuantitativa como se muestra a continuación. 2.4.2. Validación cualitativa del modelo

La validación cualitativa se logra normalmente con la ayuda de un dominio de expertos. El dominio de expertos son simplemente un individuo o grupo de individuos que son considerados conocedores del tema de estudio [6]. Es muy benéfico que el diseñador haga uso del dominio de expertos. Esto ayuda en lo siguiente:

Darle un sentido de seriedad al modelo, Prevenir preguntas como: ¿Por qué no…?, Reducir el número de preguntas sobre el progreso del proyecto.

Para ayudar a realizar el análisis cualitativo del modelo propuesto se deben utilizar

las gráficas mostradas en la figura 2.17. Se observa que las gráficas de las variables Tv2(t) y RL(Tg(t)) experimentales y teóricas se asemejan mucho. En base a esto se concluye que el modelo es válido porque representa adecuadamente el comportamiento real del sistema. Además de esto el modelo propuesto fue publicado en uno de los foros más importantes del área de electrónica de Potencia, el IEEE Power Electronics Specialists Conference (PESC), con lo cual se comprueba que el modelo es una aportación en el estado del arte de esta área.

La validación cualitativa presentada en esta sección puede complementarse con una

validación cuantitativa que muestre en forma estadística la validez del modelo, lo cual se muestra a continuación en la siguiente sección. 2.4.3. Validación cuantitativa del modelo

La validación estadística involucra un objetivo y una comparación cuantitativa entre el sistema real y las simulaciones del modelo. Si no hay una diferencia significativa estadística entre los grupos de datos experimentales y teóricos entonces se considera que el modelo es válido. A la inversa, si existe una diferencia estadística significativa, entonces el modelo no es válido y se requiere de un trabajo adicional antes de realizar un análisis posterior.

La validación estadística empleada para comprobar el buen funcionamiento del

modelo se basa en el diagrama de flujo mostrado en la figura 2.18 [6]. La teoría de funcionamiento de este diagrama se encuentra en el apéndice B.

Los datos reales y teóricos de las variables RL(Tg(t)) y Tv2(t) de una lámpara de

halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W de la compañía Philips) se muestran en las tablas 2.16 y 2.17. Estos datos se seleccionaron de los datos graficados en la figura 2.17 de tal forma que se cubrieran todos los puntos de operación de la lámpara. Además se evitaron datos repetidos, evadiendo de esta forma el apareamiento natural, lo cual reduce la complejidad del proceso de validación.


55

Figura 2.18 Diagrama de flujo para las pruebas de hipótesis.

Tabla 2.16 Datos experimentales y teóricos de la variable RL(Tg(t)) para una lámpara de

halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W de la compañía philips). No. de datos Tiempo t,s iL(t), A RL(Tg(t)), Ω

Datos experimentales Datos experimentales Datos teóricos 1 49 0.8765 103.57 102.65 2 50.064 0.87673 103.88 102.63 3 51.128 0.87082 104.63 103.25 4 52.192 0.86172 105.74 104.31 5 53.256 0.85153 107.12 105.56 6 54.321 0.84143 108.68 106.86 7 55.385 0.8317 110.37 108.18 8 56.449 0.82148 112.15 109.55 9 57.513 0.81068 113.98 111.03

10 58.577 0.7995 115.8 112.62 11 59.641 0.78809 117.57 114.28 12 60.705 0.77706 119.25 115.97 13 61.769 0.76615 120.84 117.67 14 62.833 0.75561 122.42 119.33


56

15 63.897 0.74594 124.11 120.86 16 64.962 0.73829 126.08 122.25 17 66.026 0.7304 128.31 123.66 18 67.09 0.72115 130.7 125.3 19 68.154 0.71049 133.19 127.23 20 69.218 0.69899 135.71 129.38 21 70.282 0.68764 138.16 131.66 22 71.346 0.67614 140.49 133.94 23 72.41 0.66592 142.61 136.09 24 73.474 0.65673 144.56 138.07 25 74.538 0.64858 146.44 140.02 26 75.603 0.63965 148.39 142.19 27 76.667 0.62835 150.49 144.72 28 77.731 0.61706 152.74 147.43 29 78.795 0.60714 155.1 150.13 30 79.859 0.59707 157.6 152.88 31 80.923 0.58648 160.23 155.78 32 81.987 0.57632 162.92 158.72 33 83.051 0.56655 165.69 161.53 34 84.115 0.55865 168.57 164.01 35 85.179 0.55192 171.51 166.28 36 86.244 0.54502 174.4 168.69 37 87.308 0.5368 177.09 171.55 38 88.372 0.52732 179.38 174.73 39 89.436 0.51933 180.97 177.53 40 90.5 0.51475 181.64 179.07

Tabla 2.17 Datos experimentales y teóricos de la variable Tv2(t) para una lámpara de

halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W de la compañía philips). No. de datos Tiempo t,s iL(t), A Tv2(t), oC

Datos experimentales Datos experimentales Datos teóricos 1 26.1 0.66614 231.02 230.43 2 27.149 0.67557 231.03 230.45 3 28.197 0.68591 231.07 230.51 4 29.246 0.69619 231.16 230.61 5 30.295 0.70597 231.28 230.75 6 31.344 0.71564 231.44 230.93 7 32.392 0.72548 231.64 231.14 8 33.441 0.73539 231.88 231.4 9 34.49 0.74474 232.14 231.69

10 35.538 0.75334 232.44 232.01 11 36.587 0.76171 232.76 232.37 12 37.636 0.77074 233.13 232.75 13 38.685 0.78036 233.53 233.17 14 39.733 0.78992 233.98 233.62


57

15 40.782 0.7997 234.48 234.1 16 41.831 0.81024 235.02 234.62 17 42.879 0.82169 235.61 235.17 18 43.928 0.83344 236.23 235.77 19 44.977 0.84494 236.89 236.41 20 46.026 0.8552 237.58 237.08 21 47.074 0.86424 238.29 237.78 22 48.123 0.87207 239 238.51 23 49.172 0.87697 239.71 239.25 24 50.221 0.87619 240.38 240 25 51.269 0.86975 241.02 240.72 26 52.318 0.86052 241.61 241.39 27 53.367 0.85048 242.15 242.01 28 54.415 0.84055 242.64 242.58 29 55.464 0.83095 243.09 243.1 30 56.513 0.82085 243.5 243.58 31 57.562 0.81017 243.87 244 32 58.61 0.79915 244.21 244.37 33 59.659 0.7879 244.51 244.68 34 60.708 0.77704 244.78 244.95 35 61.756 0.76628 245.02 245.17 36 62.805 0.75588 245.22 245.34 37 63.854 0.7463 245.36 245.47 38 64.903 0.73869 245.46 245.55 39 65.951 0.73101 245.51 245.61 40 67 0.72197 245.52 245.63

2.4.3.1. Examinando los datos para la normalidad

De acuerdo con el diagrama de flujo de la figura 2.19, el primer paso es examinar si

los datos de las variables RL(Tg(t)) y Tv2(t) del modelo y del sistema real mostrados en las tablas 2.15 y 2.16 son normales. Esto realizó por medio del comando H = jbtest(X) de Matlab, donde X son los datos que se quieren probar y H es el resultado de la prueba. Si H es igual a cero entonces los datos X tiene una distribución normal. Por el contrario, si H es igual a uno entonces X no tiene una distribución normal. En nuestro caso los datos de las variables RL(Tg(t)) y Tv2(t) dieron un resultado igual a cero, por lo tanto tienen una distribución normal, lo cual se muestra en la tabla 2.2.


58

Figura 2.19 Diagrama de flujo para las pruebas de hipótesis, etapa de verificar la

normalidad de los datos.

Tabla 2.18 Resultados de la prueba de normalidad. H = jbtest(X)

X=RL(Tg(t)), Ω X=Tv2(t), oC Datos

experimentales Datos

teóricos Datos

experimentales Datos

teóricos H 0 0 0 0 Distribución Normal Normal Normal Normal 2.4.3.2. Apareamiento natural

Una vez que se sabe que los datos son estadísticamente normales. El siguiente paso,

de acuerdo con la figura 2.20, es verificar el tipo de apareamiento de los datos. Los datos obtenidos para la lámpara de AID fueron tomados sólo una vez por lo tanto los datos no son apareados ó repetidos.


59

Figura 2.20 Diagrama de flujo para las pruebas de hipótesis para la etapa donde se verifica

el tipo de apareamiento de los datos. 2.4.3.3. Prueba-F Una vez que se sabe que los datos son estadísticamente normales y que no son apareados, entonces el siguiente paso, de acuerdo con el diagrama de flujo para la prueba de hipótesis de la figura 2.21, es calcular la prueba F para verificar si las varianzas del sistema y del modelo son iguales. Para esto se calculó la varianza del sistema y del modelo utilizando el comando V = var(X) de Matlab donde X son los datos y V es la varianza de estos datos. Los resultados de las varianzas para los datos de de las variables RL(Tg(t)) y Tv2(t) se muestran en la tabla 2.19.

Tabla 2.19 Resultados del cálculo de varianzas. V = var(X)

X=RL(Tg(t)), Ω X=Tv2(t), oC Datos experimentales Datos teóricos Datos experimentales Datos teóricos V 619.9235 573.4171 29.5839 32.3236


60

Figura 2.21 Diagrama de flujo para las pruebas de hipótesis, etapa de verificar si las

varianzas del sistema y del modelo son iguales.

En base a las varianzas mostradas en la tabla 2.19 se presenta a continuación un resumen del análisis estadístico con el cual se puede realizar la prueba F.

1. Hipótesis nula: La varianza del sistema es similar a la varianza del modelo, Hipótesis alternativa: la varianza del sistema no es igual a la varianza del modelo.

2. Se selecciona un nivel de significado de 0.99 ó un nivel α=0.01. 3. El valor crítico de F para α/2 con 39 grados de libertad en el numerador y

denominador es de 2.13. 4. Los resultados de la prueba F para las variables RL(Tg(t)) y Tv2(t) se muestran en la

tabla 2.20. Tabla 2.20 Resultados de la prueba F.

M

m

VFV

=

X=RL(Tg(t)), Ω X=Tv2(t), oCF 1.0811 1.0926


61

Donde: VM es la varianza mayor entre las varianzas de los grupos de datos experimentales y teóricos considerando una sola variable. Vm es la varianza menor es la varianza mayor entre las varianzas de los grupos de datos experimentales y teóricos considerando una sola variable F es la prueba estadística F.

Los resultados de la prueba estadística F para las variables RL(Tg(t)) y Tv2(t) son

menores que el valor crítico de 2.13, entonces se acepta la hipótesis nula, en la cual se considera que los datos del sistema y el modelo tienen una varianza similar.

2.4.3.4. Prueba-t independiente Los datos del sistema son normales, no son naturalmente apareados y tienen varianzas similares. De acuerdo con el diagrama de flujo de la figura 2.22, se puede llevar a cabo la prueba-t independiente. Con esta prueba se determinara si estadísticamente hay diferencia entre los dos grupos de datos experimentales y teóricos, y de esta forma saber si el modelo es válido o no. Para llevar a cabo este cálculo primero se deben obtener el valor medio y la desviación estándar de los datos experimentales y teóricos. Estos datos se obtuvieron con los comandos en Matlab, M = mean(X) para el valor medio y S = std(X) para la desviación estándar, los resultados obtenidos para los datos experimentales y teóricos del sistema se muestran en la tabla 2.21.

Tabla 2.21 Resultados del cálculo de valor medio y desviación estándar. M = mean(X)

X=RL(Tg(t)), Ω X=Tv2(t), oC Datos experimentales Datos teóricos Datos experimentales Datos teóricos M 138.5770 134.4397 238.1288 237.8667

S = std(X) X=RL(Tg(t)), Ω X=Tv2(t), oC Datos experimentales Datos teóricos Datos experimentales Datos teóricos S 24.8983 23.9461 5.439 5.6854

En base a los datos mostrados en la tabla 2.21 a continuación se presenta un

resumen del análisis estadístico con el cual se realizó la prueba t independiente.

1. Hipótesis nula: El valor medio de los datos del sistema es similar al valor medio de los datos del modelo, Hipótesis alternativa: El valor medio de los datos del sistema no es similar al valor medio de los datos del modelo,

2. El nivel de significado es α=0.01, 3. El valor crítico para t para α/2 con 78 grados de libertad, es 2.64. 4. Los resultados de la prueba t independiente para las variables RL(Tg(t)) y Tv2(t) se

muestran en la tabla 2.22.


62

Ambos normales?Comienzo

Apareamiento natural

Varianzas iguales

Prueba no paramétrica

Prueba t apareada

Prueba Smith-Satterwaithe

Prueba t independiente Terminar

Si

Si

Si

No

No

No

Figura 2.22 Diagrama de flujo para las pruebas de hipótesis, etapa de verificar si el modelo

es válido.

Tabla 2.22 Resultados de la prueba t.

( )( ) ( )

( )1 2 1 2 1 2

2 21 21 1 2 2

2

1 1

M M n n n nt

n nn S n S

− + −=

+− + −

X=RL(Tg(t)), Ω X=Tv2(t), oC t -0.7575 -0.2106

Donde: t es la prueba estadística t independiente,

M1 es el valor medio del grupo de datos experimentales, M2 es el valor medio del grupo de datos teóricos, S1 es la desviación estándar de datos experimentales, S2 es la desviación estándar del grupo de datos teóricos, n1 es el número de datos experimentales, n2 es el número de datos teóricos.


63

Los resultados de la prueba t mostrados en la tabla 2.22 se encuentran entre 2.64 y -2.64, por lo tanto se acepta la hipótesis que los valores medios del sistema y del modelo son iguales. Esto implica que no existe una diferencia significativa estadística entre el sistema y el modelo, por lo tanto se concluye que el modelo es válido. 2.5. Conclusiones En este capítulo se explicó el desarrollo del modelo propuesto. Asimismo, se presentó un método sencillo y sistemático para estimar los parámetros del modelo basado en mediciones eléctricas. Además se presentó una validación del modelo por medio de funciones estadísticas. En base a los resultados obtenidos se puede concluir que el modelo es válido y que representa adecuadamente el comportamiento de la lámpara de AID seleccionada. Por lo que se puede seguir a continuación en los siguientes capítulos con el análisis y diseño del balastro propuesto. 2.6. Referencias

1

[1] W. Yan, S.Y.R Hui, H. Chung, “Nonlinear high-intensity discharge lamp model including a dynamic electrode voltage drop”, IEE Proceedings Science, Measurement & Technology, Vol. 150, No. 4, pp. 161 – 167.

2

[2] M. Shvartsas, and S. Ben-Yaakov, “A SPICE compatible model of high intensity discharge lamps”, IEEE Power Electronics Specialists Conference, United States of America, July 1999, Vol. 2, 1037-1042.

3 [3] www.philips.com. 4

[4] J. M. Alonso, M. A. Dalla-Costa, J. A. Martin-Ramos, “Dynamic modeling of discharge lamps through step response”, IEEE Electronics Letters, September 2005, Vol. 41, No. 19, pp. 1078 - 1080.

5

[5] D. C. Fromm, G. H. Lieder and K. H. Gleixner, “Investigation of the connection between plasma temperature and electrode temperature in metal-halide lamps”, J. Phys. D: Appl. Phys., July 2002, Vol. 35, pp. 1668-1680.

6

[6] C. A. Chung, “Simulation modeling handbook a practical approach”, CRC press, 2004.


64


65

Capítulo 3

ESTUDIO DE UN BALASTRO NO RESONANTE BASADO EN UN CONVERTIDOR REDUCTOR

3.1. Introducción

En el capítulo 2 se presentó el modelo propuesto para lámparas de AID. Para mostrar la utilidad de este modelo se realizó un estudio de un balastro no resonante. Es importante recordar que un balastro no resonante consta de dos etapas: a) una etapa de potencia, y b) una etapa de control.

El estudio propuesto se realizo en dos partes, las cuales se relacionan con las dos

etapas del balastro. La primera parte de este estudio es la selección y estudio de la etapa de potencia del balastro no resonante. La segunda parte es la selección y estudio de alguna etapa de control para el balastro no resonante. En esta sección se muestra el desarrollo de la primera parte, y el desarrollo de la segunda parte se muestra en los capítulos 4 y 5.

De acuerdo con la revisión del estado del arte, sobre topologías de balastros no

resonantes, presentada en la sección 1.11 del capítulo 1, existen diversas topologías que pueden emplearse en la etapa de potencia de los balastros electrónicos no resonantes [1-4]. Dentro de este abanico de opciones resaltan los balastros que logran con mayor precisión formas de ondas cuadradas y simétricas. Esto se debe a que eliminan el fenómeno de las resonancias acústicas en las lámparas de AID. Los balastros que logran con mayor eficiencia estas formas de onda son en su mayoría los que emplean etapas en cascada, como

Capítulo 3. Estudio de un balastro no resonante basado en un convertidor Reductor

66

el que se muestra en la figura 3.1 [1]. Las etapas que están en cascada son las siguientes: a) un convertidor de corriente directa a corriente directa (cd-cd), y b) un inversor de potencia. El convertidor cd-cd es útil para estabilizar la descarga en la lámpara. En esta etapa puede emplearse alguna de las topologías típicas que se encuentran en el área de la Electrónica de Potencia, como por ejemplo el convertidor Reductor, el Elevador, el Elevador-Reductor, etc. El inversor es útil para entregar una señal cuadrada, simétrica y de bajas frecuencia a la lámpara. En esta etapa puede emplearse un inversor puente completo, medio puente, push-pull, etc.

La etapa de encendido puede estar en cascada con el inversor ó puede ser un circuito

externo cuya salida está conectada en serie con la lámpara. Por último la fuente de cd puede obtenerse rectificando y filtrando el voltaje presente en la red eléctrica o también puede obtenerse mediante algún esquema que permita corregir el factor de potencia además de alimentar con cd al convertidor cd-cd.

Figura 3.1 Diagrama a bloques del balastro seleccionado.

En este capítulo se presenta el estudio de la etapa de potencia de un balastro no

resonante basado en el diagrama de bloques que muestra en la figura 3.1, debido a que este esquema elimina el fenómeno de las resonancias acústicas. En las secciones siguientes se seleccionan y analizan los elementos involucrados en las etapas del balastro propuesto. Al final del capítulo, se presenta el diseño de esta etapa, el cual es necesario para la construcción de un prototipo.

3.2. Selección de las etapas del balastro no resonante

Los balastros electrónicos no resonantes para lámparas de AID suelen emplearse en diferentes aplicaciones. Algunas de estas aplicaciones son: iluminación de edificios, iluminación de calles, en el sistema de iluminación de automóviles, etc. La aplicación define algunas características del balasto. Una característica muy importante es su voltaje de entrada. Esto se debe a que define el tipo de circuito que debe estar a la entrada del balastro. En la mayoría de los casos este voltaje proviene de la red eléctrica, el cual tiene una magnitud de 127 V de corriente alterna (ca) ó 180 V de cd. En otros casos, este voltaje tiene una magnitud menor al voltaje de línea. Una aplicación típica son los automóviles, los cuales manejan un voltaje de 12 V de cd. También existen casos donde este voltaje es mayor al voltaje de línea, por ejemplo, algunas industrias que manejan un voltaje de 220 V de ca.

Otra variable importante del balastro es su voltaje de salida, la cual define el tipo de

circuito que debe estar en su salida. El voltaje de salida también está determinado por la aplicación. Es decir, de acuerdo a la aplicación se selecciona algún tipo de lámpara de AID, y el voltaje de salida del balastro depende de la lámpara de AID seleccionada.


67

El voltaje de una lámpara de AID depende de las características del plasma dentro de la lámpara. A su vez este plasma depende de las características físicas de la lámpara. Algunas de estas características son las propiedades del gas de relleno, dimensiones, etc. Ciertas características de las lámparas son manipuladas a propósito para obtener alguna mejora en la lámpara, como por ejemplo mayor eficiencia, mayor calidad de la luz, etc. Debido a esto existen una gran variedad de lámparas de AID.

Dentro de la gran diversidad de lámparas de AID que están en el mercado,

sobresalen las lámparas de AID de halogenuros metálicos, debido a que emiten una luz muy agradable, tienen una alta eficacia luminosa, una larga vida útil y un tamaño reducido. Sin embargo, tienen la desventaja de ser muy sensibles al fenómeno de las resonancias acústicas. En consecuencia, este tipo de lámparas son adecuadas para probar balastros que incorporan alguna solución al fenómeno de las resonancias acústicas, como por ejemplo los balastros no resonantes.

Con base en lo anterior se realizó la selección de los circuitos de cada etapa del

balastro propuesto. En esta fase se empleo una secuencia de pasos, la cual se muestra en la tabla 3.1.

Tabla 3.1 Secuencia de pasos para la selección de los circuitos del balastro propuesto. 1. Escoger el tipo de aplicación. 2. Selecciona una lámpara de AID. 3. Seleccionar un inversor. 4. Seleccionar un circuito de encendido.5. Seleccionar un convertidor cd-cd.

De acuerdo con la tabla 3.1 el primer paso fue escoger alguna aplicación para el

balastro propuesto. Por lo tanto, a modo de ejemplo, se seleccionó una de las aplicaciones más comunes en el área de iluminación. Esta aplicación es sobre iluminación de edificios que manejan un voltaje de red típico de 127 V de ca.

El segundo paso fue seleccionar una la lámpara de AID. La lámpara seleccionada es

de halogenuros metálicos con el código CDM-TD 70W de la compañía Philips, la cual es muy sensible al fenómeno de resonancias acústicas. Esta lámpara opera con un voltaje nominal de 92 V y consume una potencia de 70 W, para más detalles sobre esta lámpara se puede ver su hoja de datos en el apéndice A.

El tercer paso fue seleccionar un inversor. Para esto debemos definir sus

requerimientos como se muestra a continuación:

Proporcionar a la lámpara un voltaje con una amplitud de 92 V y con forma de onda cuadrada, simétrica y de baja frecuencia (200 Hz a 400 Hz). Es necesario que el inversor opere en baja frecuencia porque las forma de ondas son más cuadradas que en alta frecuencia. Además, en baja frecuencia se minimizan las interferencias electromagnéticas producidas por las conmutaciones duras en el inversor y se disminuyen las pérdidas por conmutación en el mismo.


68

El inversor no debe poner elementos en paralelo o en serie con la lámpara, como capacitores o inductores, para evitar posibles inestabilidades de la lámpara o distorsiones en las formas de onda.

En base a estos requerimientos podemos seleccionar un inversor de entre los

inversores que se ajustan mejor los requisitos anteriormente mencionados, los cuales se muestran en la figura 3.2.

Vcd

Minv1

Minv3

Minv2

Minv4

LámparaVcd

Minv1

Minv3

Lámpara

Cf1

Cf2

Vcd

Minv1

Minv3

LámparaCf

Minv1 Minv1

Lámpara

Vcd

TInversor Push-Pull Inversor Asimétrico

Inversor Medio Puente Inversor Puente Completo(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.2 Topologías de inversores más comunes en el área de iluminación.

En la tabla 3.2 se muestra el resumen de las características más importantes de los inversores mostrados en la figura 3.2. Estas características se basan en los requerimientos del balastro propuesto.

En base a la tabla 3.2 se seleccionó el inversor puente completo, debido a que es el

se ajusta mejor a los requisitos. Las otras topologías requieren de capacitores o inductores muy grandes para trabajar en baja frecuencia. Además estos elementos están en serie o en paralelo con la lámpara. En consecuencia estos inversores no son adecuados para este tipo de balastros. El diagrama esquemático del inversor puente completo se muestra en la figura 3.3. En la figura 3.4 se muestran sus formas de onda típicas. De acuerdo con la figura 3.4 el inversor completo opera de la siguiente forma:


69

Cuando los interruptores Minv1 y Minv4 están encendidos y los interruptores Minv2 y Minv3 están apagados, la carga queda conectada a la fuente de cd (Vcd) a través de los interruptores Minv1 y Minv4, con la cual circula una corriente en el sentido de las flechas continuas.

Cuando los interruptores Minv2 y Minv3 están encendidos y los interruptores Minv1 y Minv4 están apagados, la carga queda conectada a la fuente de cd (Vcd) a través de los interruptores Minv2 y Minv3, con la cual circula una corriente en el sentido de las flechas discontinuas. Por lo tanto con este inversor se obtienen formas de ondas cuadradas y simétricas en el voltaje de la lámpara vL(t).

Tabla 3.2 Características de los inversores más comunes en el área de iluminación.

Características del voltaje de salida Elementos en serie ó en paralelo con la lámpara

Inversor Amplitud de 92 V

Cuadrada Simétrico Baja frecuencia

En serie En paralelo

Push-Pull

No tiene Si tiene Asimétrico

Si tiene No tiene

Medio puente Si tiene No tiene

Puente completo

No tiene No tiene

Figura 3.3 Configuración básica del inversor puente completo.

El cuarto paso fue seleccionar un circuito de encendido. Para esto también es

necesario mencionar los requerimientos para esta etapa, los cuales se muestran a continuación.

El circuito de encendido debe operar sólo durante la etapa de encendido que dura alrededor de 400 μs y después de esto debe desconectarse. Durante esta etapa el circuito de encendido debe proporcionar a la lámpara el voltaje que requiere para encender. De acuerdo con la hoja de datos de la lámpara CDM-TD 70W, mostrada en el apéndice A, este voltaje se encuentra entre 3 kV y 4 kV.

La impedancia del circuito en estado estacionario debe ser nula ó muy pequeña, para evitar que la lámpara se vuelva inestable o se distorsionen las formas de onda.


70

Figura 3.4 Formas de onda del inversor puente completo.

Los requerimientos de la etapa de encendido pueden cumplirse con alguno de los

circuitos de encendido típicos en el área de iluminación, los cuales se muestran en la figura 3.5. Por lo tanto se puede elegir el circuito de encendido de acuerdo a otro criterio que proporcione alguna ventaja extra al balastro, como por ejemplo, sencillez, mayor capacidad de elevación de voltaje, tamaño reducido, etc. Bajo estas circunstancias, se selecciono el circuito de encendido de la figura 3.5 (d), debido a que presenta más ventajas que los otros circuitos. Esto puede verificarse en la tabla 3.3, en la cual se comparan las características principales de estos circuitos de encendido. A continuación se presenta con mayor detalle las ventajas del circuito de encendido seleccionado:

Es sencillo porque no utiliza elementos semiconductores para funcionar, debido a que emplea los semiconductores del inversor puente completo.

Presenta alta capacidad para elevar voltaje debido a su transformador T. Es de tamaño reducido debido a que se diseña en alta frecuencia. En estado estacionario la impedancia del circuito es despreciable debido a que los

elementos en serie con la lámpara reducen su impedancia al orden de uno o dos Ohms y los elementos en paralelo con la lámpara incrementan su impedancia en el orden de decenas de millar de Ohms.


71

Figura 3.5 Circuitos de encendido comunes en el área de iluminación.

Tabla 3.3 Característica de los circuitos de encendido para lámparas de AID típicos en el

área de iluminación. Circuito de encendido

Sencillez Alta capacidad de elevación

Tamaño reducido

Impedancia despreciable en estado

estacionario Con Spark Gap

Con transistor

1/2

Con una red resonante

1/2

Con una red resonante y un transformador

El quinto y último paso fue seleccionar un convertidor cd-cd para estabilizar la

descarga en la lámpara. Para esto también es necesario mencionar los requerimientos para esta etapa, lo cual se muestra a continuación.

Debe funcionar con un voltaje de entrada de 127 V de ca o 180 V de cd. Debe proporcionar 92 V de cd a la salida con la finalidad de alimentar al inversor

puente completo y este a su vez pueda entregar 92 V de ca a la lámpara para que pueda operar correctamente. Esto se debe a que el inversor tiene una ganancia unitaria.

Debe estabilizar la corriente de descarga.


72

En base a los requerimientos se observa que se requiere un convertidor cd-cd que reduzca el voltaje de entrada al voltaje nominal de la lámpara y que estabilicé la corriente de descarga. Los dos convertidores cd-cd que cubren mejor estos requisitos se muestran en la figura 3.6, los cuales son el convertidor Reductor y el convertidor Reductor-Elevador. Se observa que en esta figura no se incluyeron las topologías aisladas, como por ejemplo el convertidor Forward ó el convertidor Flyback. Este se debe a que utilizan un transformador, el cual es más complicado construir, más voluminoso y más costoso que un inductor, como el que utilizan los convertidores cd-cd mostrados en la figura 3.6. Tampoco se incluyeron los convertidores cd-cd que son el resultado de la combinación entre los convertidores Reductor y Elevador, como por ejemplo el convertidor Cuk y el convertidor Sepic. Esto se debe a que emplean dos inductores lo cual incrementa su tamaño, complejidad y costo en comparación con los convertidores que emplean un sólo inductor.

De los dos convertidores cd-cd mostrados en la figura 3.6, se seleccionó el

convertidor Reductor debido a que no invierte la polaridad el voltaje de salida Vo en comparación con el convertidor Reductor-Elevador, el cual si invierte esta polaridad. Para encontrarle sentido a esto, es importante recordar que el inversor puente completo debe alimentarse con un voltaje positivo para que opere correctamente. Este voltaje lo proporciona en forma natural el convertidor Reductor.

Figura 3.6 Convertidores cd-cd que pueden emplearse en el balastro propuesto.

En base a los circuitos previamente seleccionados se desarrolló el diagrama

esquemático del balastro electrónico propuesto, el cual se muestra en la figura 3.7. Este balastro consiste en tres componentes principales: a) un convertidor Reductor operando en modo de conducción continúo (MCC) que se encarga de estabilizar la descarga en lámpara, b) un inversor puente completo, el cual alimenta a la lámpara con un voltaje con forma de onda cuadrada, simétrica y de baja frecuencia, y c) un circuito de encendido que sirve para iniciar la descarga en la lámpara y que comparte elementos con el inversor puente completo.


73

Figura 3.7 Diagrama esquemático del balastro propuesto.

En esta sección se definió la etapa de potencia del balastro propuesto. El siguiente paso es realizar un estudio de esta etapa con la finalidad de obtener las ecuaciones de diseño de sus componentes. Esto se muestra a continuación en la siguiente sección. 3.3. Estudio del balastro propuesto

En esta sección se presenta el análisis del balastro propuesto, el cual se divide en

tres partes principales: a) Convertidor Reductor, b) inversor puente completo, y c) circuito de encendido. Cada etapa puede analizarse por separado mediante los procedimientos típicos que se emplean en el área de electrónica de potencia [5-7]. En el caso del inversor este no tiene componentes como resistencias, capacitancias o inductancias que deban diseñarse. Por el contrario el convertidor Reductor y el circuito de encendido si tiene elementos de este tipo, los cuales se diseñaron mediante ecuaciones que resultaron del estudio de sus circuitos equivalentes, estos estudios se muestran a continuación. 3.3.1. Estudio del convertidor Reductor

El estudio del convertidor Reductor se realizó con el circuito equivalente mostrado en la figura 3.8. Este estudio consistió en un análisis del convertidor Reductor durante un periodo de conmutación T. La finalidad de este análisis fue encontrar las ecuaciones de diseño de los componentes LR y CR.

Vcd

LR

CRDR

MR

Carga+

vo(t)-

Figura 3.8 Diagrama esquemático del convertidor Reductor.


74

El primer paso en el estudio del convertidor Reductor fue seleccionar su modo de conducción. De acuerdo con la teoría de la Electrónica de potencia existen dos modos de conducción en un convertidor cd-cd: a) modo de conducción continúo (MCC) y, b) modo de conducción discontinuo (MCC). Un convertidor cd-cd que opera en MCC no genera picos de corriente excesivo en los semiconductores. En cambio un convertidor que opera en MCD si genera estos picos de corriente. Por lo tanto, el esfuerzo que presentan los semiconductores en un convertidor que opera en MCC es mucho menor que el esfuerzo que presentan los semiconductores en un convertidor que opera en MCD. La vida útil de un semiconductor depende mucho del tipo de estrés al que este sometido. A su vez, la vida útil del balastro depende de la vida útil de sus semiconductores. En base a lo anterior se eligió el modo de conducción continuo, con la finalidad de evitar el estrés excesivo en los dispositivos semiconductores.

En MCC el convertidor Reductor tiene dos modos de operación distintos que dependen del estado del interruptor MR. El primer modo de operación ocurre cuando MR está encendido en el periodo de tiempo 0 < t < ton y el segundo modo de operación ocurre cuando MR está apagado en el periodo de tiempo ton < t < T, donde ton = DT y D es el ciclo de trabajo. De cada modo de operación surge un circuito equivalente, los cuales se muestran en la figura 3.9.

Vcd Carga

LR

CR

(a)

Carga

LR

CR

(b)

+vo(t)

-+

vCR(t)-

MR esta encendido, 0 < t < DT MR esta apagado, DT < t < T

+vo(t)

-

+ vLR(t) - + vLR(t) -

+vCR(t)

-

iCR(t) iCR(t)

iLR(t) iLR(t)

Figura 3.9 Modos de operación del convertidor Reductor: a) circuito eléctrico equivalente

cuando MR está encendido, b) circuito equivalente cuando MR está apagado.

El análisis de los circuitos de la figura 3.9 se realizó por medio del procedimiento que se muestra a continuación [5-7]:

Obtener las gráficas de las variables vLr(t), iLr(t) y vCr(t) por medio de un análisis de

los circuitos de la figura 3.9, considerando el balance de energía que existe en el convertidor Reductor.

Empleando las gráficas de las variables vLr(t), iLr(t) y vCr(t), la ecuación diferencial (3.1) del inductor LR y la ecuación (3.2) de la carga incremental del capacitor CR, obtener las ecuaciones de diseño de los elementos LR y CR.


75

( ) ( )LR LRLR R R

di t iv t L Ldt t

Δ= ≅

Δ

(3.1)

CRCR

R

QvC

ΔΔ =

(3.2)

Para la deducción de la ecuación de diseño para el inductor LR, es necesario analizar

los circuitos equivalentes de la figura 3.9, con la finalidad de obtener las gráficas del voltaje vLR(t) y la corriente iLR(t) del inductor LR, las cuales se muestran en la figura 3.10.

Figura 3.10 Gráficas de vLR(t) e iLR(t).

Existe un balance de energía en el convertidor Reductor [5-7]. Este balance define

ciertas características del voltaje vLR(t) y la corriente iLR(t) a través del inductor LR. Estas características definen la forma de las gráficas de vLR(t) e iLR(t), las cuales se muestran en la figura 3.10. Una característica importante se puede observar en la grafica vLR(t), la cual consiste en que las áreas A1 y A2 son iguales durante un periodo de conmutación T. En base a esté fenómeno se obtiene la siguiente ecuación [5]:

( )( ) ( ) ( )1cd o oV v t D v t D− = − (3.3)

Donde: Vcd es el voltaje de entrada (V),

vo(t) es el voltaje de salida en función del tiempo t (V).

Despejando el ciclo de trabajo D de la ecuación (3.3) se obtiene lo siguiente:

( )o

cd

v tD

V=

(3.4)


76

Analizando el convertidor Reductor durante el tiempo de encendido ton se obtienen las siguientes ecuaciones:

ont t DTΔ = = (3.5)

( ) ( )LR cd ov t V v t= − (3.6)

Substituyendo las ecuaciones (3.5) y (3.6) en la ecuación (3.1) se obtiene la

ecuación (3.7).

( ) LRcd o R

iV v t LDTΔ

− ≅ (3.7)

Despejando LR de la ecuación (3.7) se obtiene la ecuación (3.8), la cual es la

ecuación de diseño para la inductancia LR.

( )( )cd oR

LR

DT v v tL

i−

=Δ

(3.8)

Para deducir a ecuación de diseño para el capacitor CR es necesario analizar los

circuitos equivalentes de la figura 3.9 con la finalidad de deducir las gráficas del voltaje vCR(t) y del rizo de corriente ΔiCR(t) en el capacitor CR. Para lograr esto debemos recordar que el rizo de corriente ΔiLR en el inductor LR es igual al rizo de corriente ΔiCR en el capacitor CR [5-7]. Las gráficas de las variable vCR(t) e iLR(t) se muestran en la figura 3.11.

Carga DescargaCarga Descarga

iLR(t)

vCR(t)

vCR

T

iLR

QCR

T/2

iLR /2t

t

iLR= iCR

Figura 3.11 Gráficas de las variable vCR(t) e iLR(t).


77

De acuerdo con la figura 3.11 el incremento de carga ΔQCR en el capacitor CR es el que se muestra en la ecuación (3.9).

12 2 2 8

LR LRi T iTQ Δ ΔΔ = =

(3.9)

Substituyendo la ecuación (3.9) en la ecuación (3.2) se obtiene la ecuación (3.10).

1 1 12 2 2 8

LR LRCR

R R R

i T iQ TvC C C

Δ ΔΔΔ = = =

(3.10)

Analizando al convertidor Reductor durante el tiempo de apagado toff = (1-D)T se

obtiene la ecuación (3.11).

( ) ( )1oLR

R

v ti D T

LΔ = −

(3.11)

Sustituyendo la ecuación (3.11) en la ecuación (3.10) se obtiene lo siguiente:

( ) ( )1 1 18 8

oLRCR

R R R R

Tv tT iQv D TC C C L

ΔΔΔ = = = −

(3.12)

Despejando la capacitancia CR de la ecuación (3.12) se obtiene la ecuación (3.13).

( ) ( )2

18

oR

R CR

v t TC D

L v= −

Δ

(3.13)

El rizado ΔvCR es igual al rizado en la carga Δvo, esto se debe que el capacitor CR está en paralelo con la carga [5-7]. Tomando en cuenta esto, de la ecuación (3.13) se obtiene la ecuación (3.14)

( ) ( )2

18

oR

R o

v t TC D

L v= −

Δ

(3.14)

El porcentaje de rizado kVo en la carga se define de acuerdo con la ecuación (3.15).

( )o

Voo

vkv tΔ

= (3.15)

Substituyendo la ecuación (3.15) en la ecuación (3.14) se obtiene la ecuación (3.16), la cual es la ecuación de diseño para la capacitancia CR.

( )2

18Vo

RR

k TC DL

= − (3.16)

En esta sección se obtuvieron las ecuaciones de diseño (3.8) y (3.16) para el diseño de los elementos LR y CR del convertidor Reductor. El siguiente paso es encontrar las


78

ecuaciones de diseño del circuito de encendido mediante el estudio de su circuito equivalente, este estudio se muestra a continuación en la siguiente sección. 3.3.2. Estudio del circuito de encendido

El estudio del circuito de encendido se realizó con el circuito equivalente mostrado en la figura 3.12. Este estudio consiste en un análisis del circuito de encendido durante la etapa de encendido de la lámpara de AID, esto con la finalidad de encontrar las ecuaciones de diseño de los componentes Lr, Ls y Cr.

Figura 3.12 Circuito de encendido propuesto.

Para deducir las ecuaciones de diseño de los componentes Lr, Ls y Cr es necesario considerar que en estado estacionario la impedancia del circuito de encendido debe ser despreciable en comparación con el valor de la resistencia de la lámpara, con lo cual se evita un comportamiento inestable en la lámpara y también se evita que se deformen las formas de onda de corriente y voltaje en la lámpara. Para lograr esto es necesario incrementar el valor de la impedancia XCr(jω) del capacitor Cr y disminuir el valor de la impedancias XLr(jω) y XLs(jω) de las inductancias Lr y Ls.

En base a lo anterior se dedujo la ecuación de diseño del capacitor Cr, la cual está en función de su impedancia, tal como se muestra en la ecuación (3.17).

( )1

re Cr

CX jω ω

= (3.17)

Donde: ωe=2πfe (rad/s), (3.18) fe es la frecuencia de operación del inversor en estado estacionario (Hz).

Para deducir la ecuación de diseño de la inductancia Lr, es necesario recordar que esta inductancia está en resonancia con el capacitor Cr. De acuerdo con la teoría de circuitos eléctricos, la frecuencia de resonancia en un circuito LrCr es la que se muestra en la ecuación (3.19).

12r

r r

fL Cπ

= (3.19)

Despejando el valor de la inductancia LR de la ecuación (3.19) se obtiene la ecuación de diseño (3.20) de esta inductancia.

2

1r

r r

LCω

= (3.20)


79

Por último, la ecuación de diseño de la inductancia Ls se obtiene a partir de la impedancia serie máxima XLrs(jω) que esta dada por:

( ) ( ) ( )Lrs Lr LsX j X j X jω ω ω= + (3.21)

Despejando la inductancia Ls de la ecuación (3.21) se obtiene la ecuación (3.22), la cual es la ecuación de diseño de esta inductancia.

( )Lrss

e

X jL

ωω

< (3.22)

El valor de XLrs(jω) se propondrá en la fase de diseño de manera que su valor absoluto sea de un valor relativamente pequeño con respecto a la impedancia equivalente de la lámpara.

3.4. Diseño del balastro

En este apartado se presenta el diseño del balastro no resonante propuesto siguiendo las ecuaciones de diseño de los componentes del balastro, las cuales se dedujeron anteriormente. El balastro propuesto fue diseñado para utilizarse en el sistema de iluminación de edificios que manejen un voltaje de 127 V de ca. En la tabla 3.4 se muestran las especificaciones del balastro propuesto para llevar a cabo el diseño del balastro. La impedancia serie máxima XLrs(jω) es un porcentaje pequeño de la resistencia de la lámpara RL(Tg(t)) para evitar distorsiones en su voltaje y corriente, en nuestro caso particular la impedancia que cumple con este requisito es menor al 2% RL(Tg(t)). Por otro lado la impedancia XLrs(jω) no debe ser cero porque eso implica un corto circuito.

Tabla 3.4 Especificaciones del balastro no resonante propuesto.

Especificaciones de la lámpara de AID de halogenuros metálicos CDM-TD 70W de la compañía philips

Voltaje nominal en la lámpara vL Potencia nominal de la lámpara pL 92 V 70 W

Resistencia nominal de la lámpara RL(Tg)

( )( )2 292

12170

LL g

L

v VR T t

p W= = = Ω

Especificaciones del convertidor Reductor Tensión de alimentación al balastro Vcd Frecuencia de conmutación fc

180 V 100 kHz Voltaje de salida vo(t) Porcentaje de rizado kVo

vo(t) = vL = 92 V 0.1 % Especificaciones del inversor puente completo

Corriente de encendido Impedancia XCr(jω) 8 A 50 kΩ

Especificaciones del circuito de encendido Frecuencia de encendido fr Frecuencia en estado estacionario fe

130 kHz 300 Hz Impedancia serie máxima XLrs(jω)

2 Ω < 2% RL(Tg) = 2%(121) = 2.42 Ω


80

3.4.1. Diseño del convertidor Reductor

De la ecuación (3.4) se tiene que:

( ) 92 0.51180

o

cd

v t VDV V

= = = (3.23)

El periodo de conmutación es:

1 1 10100c

T sf kHz

μ= = = (3.24)

El tiempo de encendido es:

( )0.51 10 5.1ont DT s sμ μ= = = (3.25)

El valor de la corriente nominal iL en la lámpara es:

70 0.76192

LL

L

p Wi Av V

= = = (3.26)

El valor de la corriente nominal iLR en el inductor LR es:

0.761LR Li i A= = (3.27)

El valor del rizo ΔiLR en el inductor LR es:

( )0.1 0.1 0.761 0.0761LR Li i A AΔ = = = (3.28)

De la ecuación (3.8) el valor de LR es:

( )( ) ( )( )0.51 10 180 92

4.92 50.0761

cd oR

LR

DT v v t s V VL mH mH

i Aμ− −

= = = ≅Δ

(3.29)

De acuerdo con la ecuación (3.13) el valor del capacitor CR es:

( ) ( )( ) ( )

22 1 101 1 0.51 1.2 1

8 8 5Vo

RR

m sk TC D F FL mH

μμ μ= − = − = ≅

(3.30)

En un convertidor Reductor, el interruptor MR está sometido a un esfuerzo de voltaje

igual al voltaje de entrada Vcd de este convertidor [5-7]. Por lo tanto este interruptor debe seleccionarse con la capacidad de soportar este esfuerzo de voltaje. Para lograr esto el


81

voltaje de rompimiento drenaje-fuente V(BR)DSS debe ser mayor al voltaje de entrada Vcd. En base a lo anterior se seleccionó transistor Mosfet IRF840 para emplearlo en el convertidor Reductor. Las principales características de este transistor son las siguientes:

V(BR)DSS = 500 V (Voltaje de rompimiento drenaje-fuente), RDS(on) < 0.85 Ω (Resistencia de encendido de drenaje-fuente), ID = 8 A (Corriente continua de drenaje).

En forma similar al interruptor MR se selecciona el interruptor DR del convertidor

Reductor. Para esto es necesario recordar que en un convertidor Reductor, el interruptor DR también está sometido a un esfuerzo de voltaje igual al voltaje de entrada Vcd de este convertidor [5-7]. Por lo tanto este interruptor debe seleccionarse con la capacidad de soportar este esfuerzo de voltaje. Para lograr esto el voltaje rompimiento cátodo-ánodo VRRM debe ser mayor al voltaje de entrada Vcd. En base a lo anterior se seleccionó el diodo MUR860 para emplearlo en el convertidor Reductor. Las principales características de este diodo son las siguientes:

VRRM = 600 V (voltaje de rompimiento cátodo-ánodo), IF = 8 A (corriente continua directa), trr < 70 ns (tiempo de recuperación inversa).

3.4.2. Selección de interruptores para el inversor

Los interruptores del inversor se seleccionan de modo que soporten la corriente de encendido de 8 A. En base a esto, se seleccionó el Mosfet IRF840 para usarse como interruptores en el inversor el cual soporta un pico de corriente de 32 A. 3.4.3. Diseño del circuito de encendido

De la ecuación (3.17) se tiene que:

( ) ( )( )1 1 10.6 10

2 2 400 50re Cr

C nF nFf X j kπ ω π

= = = ≈Ω

(3.31)

Con el valor de la capacitancia Cr se calcula el valor de la inductancia Lr utilizando

la ecuación (3.20), con lo cual se obtiene:

2 2

1 1 149.8(2 ) (2 130 ) 10π π

= = =rr r

L uHf C kHz nF

(3.32)

La inductancia Ls se obtiene a partir de la ecuación (3.22), tal como se muestra a

continuación:

2 1.062 300

Lerss

e

XL mHHzω π

Ω< = =

(3.33)


82

3.5. Conclusiones

En este capítulo se presentó la selección y estudio de la etapa de potencia de un balastro no resonante empleando la teoría de Electrónica de Potencia. Mediante este estudio se establecieron las ecuaciones de diseño de los elementos que conforman las etapas del balastro no resonante propuesto. Empleando estas ecuaciones se diseño el balastro propuesto para aplicaciones de iluminación de edificios que tengan una red eléctrica con un voltaje de 127 V de ca.

La lámpara de AID seleccionada fue de halogenuros metálicos debido a que es muy

sensible al fenómeno de resonancias acústicas. El balastro propuesto alimenta con formas de ondas cuadradas, simétricas y de baja frecuencia a las lámparas de AID, por lo tanto elimina este fenómeno.

El análisis de la etapa de potencia fue el primer paso para el desarrollo de un

prototipo. El siguiente paso es seleccionar una estrategia de control para diseñar la etapa de control del balastro propuesto. Este procedimiento se presenta en los siguientes capítulos. 3.6. Referencias

1

[1] J. Ribas, J. M. Alonso, A. J. Calleja, E. Lopez, J. Cardesin, J. Garcia, M. Rico, “Arc stabilization in low-frequency square-wave electronic ballast for metal halide lamps”, IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition, United States of America, February 2003, Vol. 2, pp. 1179- 1184.

2


3


4 [4] S. Miaosen, Q, Zhaoming, P. Fang, “Design of a two-stage low-frequency square-wave electronic ballast for HID lamps”, IEEE Transactions on Industry Applications, July-August 2003, Vol. 39, No. 2, pp. 424-430.

5 [5] S.S. Ang, “Power-Switching Converters”, Marcel Dekker, INC, 1995.

6

[6] N. Mohan, T. M. Undeland, W. P. Robbin "Power electronics, converters applications and design", 2nd Edtion, John Willey & Sons, INC, 1995.

7

[7] M.H. Rashid, “Power electronics, circuits, devices, and applications”, 2nd edition, Prentice Hall, 1993.


83

Capítulo 4

ESTUDIO DE UN CONTROL CLÁSICO PARA UN BALASTRO NO RESONANTE

4.1. Introducción

En este capítulo se presenta la continuación del estudio del sistema balastro-lámpara propuesto, cuya etapa de potencia se analizó en el capítulo 3, y la cual requiere de una etapa de control en lazo cerrado para estabilizar la corriente en la lámpara. En consecuencia en necesario realizar un estudio de la etapa de control, el cual consiste en elegir una estrategia de control que cubra los siguientes requisitos mínimos:

Estabilizar la corriente en la lámpara iL(t). Eliminar el fenómeno de las resonancias acústicas. Para lograr esto es necesario que

el valor absoluto de la corriente en la lámpara |iL(t)| siga una referencia de corriente iLr constante, con lo cual se obtienen una corriente y un voltaje en la lámpara (iL(t), vL(t)) con formas de onda cuadradas y simétricas. Con esto la forma de la potencia en la lámpara pL(t) tendrá un valor constante, y en consecuencia se eliminará el fenómeno de las resonancias acústicas.

En este capítulo se propone utilizar la estrategia de control clásica para diseñar la

etapa de control. Esto se debe a que cumple con los requisitos mínimos. Además empleando esta estrategia se cubre el siguiente objetivo:

Capítulo 4. Estudio de un control clásico para un balastro no resonante

84

Exponer con facilidad la teoría básica relacionada con el estudio de la etapa de control en lazo cerrado de los balastros no resonantes. Esto debido a que la estrategia de control clásica es la técnica de control más empleada en el área de iluminación.

De acuerdo con la teoría de control clásica, para realizar un estudio de una etapa de

control es necesario un modelo lineal del sistema balastro-lámpara. El modelado lineal de convertidores cd-cd, como el Convertidor-Reductor, es un tema ampliamente conocido en el área de iluminación y está basado en una técnica de modelado sistemática y sencilla conocida como modelado en pequeña señal [1,2]. En el caso del modelado lineal de lámparas de AID existen modelos lineales en el estado del arte. Las características de estos modelos fueron analizadas previamente en la sección 1.12 del capítulo 1. Sin embargo, en nuestro caso en particular, la idea de diseñar un controlador lineal para el balastro propuesto ayudara a cubrir otro objetivo importante, el cual es el siguiente:

Corroborar el buen funcionamiento de la versión lineal del modelo propuesto para

lámparas de AID presentado en el capítulo 2.

Para el estudio de la etapa de control mediante la teoría de control clásica también es necesario elegir el tipo de controlador a emplear, este proceso de selección comúnmente se define en la etapa de diseño, al comparar el desempeño de los típicos circuitos de compensación, como por ejemplo el control proporcional (P), el control proporcional-integral (PI), el control proporcional-integral-derivativo (PID), etc. Sin embargo, de acuerdo con los requerimientos mínimos en los sistemas de iluminación, no es indispensable obtener un excelente desempeño en el control, tan sólo se requiere de un circuito de compensación que logre estabilizar la corriente en la lámpara, lo cual se justifica desde el punto de vista del usuario, el cual no requiere que el sistema de iluminación tenga un excelente desempeño. Como por ejemplo, no es indispensable que el control presente una respuesta dinámica muy rápida. Lo único que requiere el usuario es que la luz sea agradable, uniforme y de intensidad constante, esto debido a que el ojo humano tiene un tiempo de respuesta muy lento a cambios de luz. En consecuencia el ser humano no puede diferenciar a simple vista cual controlador es más rápido que otro. Por lo tanto, para el usuario da lo mismo si la luz se estabiliza en 400 μs ó en 800 μs, esto se debe a que el usuario sólo aprecia cambios de luz en el orden de las centésimas de segundo. En consecuencia el control no debe seleccionarse demasiado complicado para evitar el uso excesivo de componentes electrónicos y tampoco debe ser demasiado sencillo que pueda causar alguna molestia al usuario.

En base a lo anterior se descarto el control P debido a que mantiene un error

estacionario y es muy sensible al ruido. Asimismo se descarta el uso de un control PD debido a que también es muy sensible al ruido y porque tiende a saturar el actuador. Otro control que también se descarta es el control PID, el cual puede complicar innecesariamente el diseño y la implementación física de la etapa de control. Por lo tanto se seleccionó el control PI para controlar la corriente en la lámpara, debido a que tiene un buen desempeño porque elimina el error estacionario, es menos sensible al ruido que los controles P y PD y menos complicado que un control PID.


85

Para realizar el estudio de un control PI se empleó la siguiente metodología [1-4]:

En base a un proceso de linealización, obtener la versión lineal en el dominio de la frecuencia compleja s = jω del modelo para lámparas de AID propuesto en el capítulo 2, Obtener la impedancia de salida ZR_CL(s) en lazo cerrado retroalimentando la corriente en la lámpara del convertidor Reductor en el dominio de la frecuencia compleja s = jω, Diseñar el controlador: Calcular los parámetros del controlador PI (Kp = ganancia proporcional y Ti = tiempo de integración) para lograr que las gráficas de Bode de la resistencia linealizada de la lámpara RLL(s) y la impedancia ZR_CL(s)) cumplan la condición de estabilidad RLL(s) < ZR_CL(s) en baja frecuencia y para lograr que la


( )( )

LL

R CL

R sZ s

cumpla con la condición de estabilidad de no

encerrar el valor de -1.

En base a la metodología propuesta, a continuación en la siguiente sección se presenta el estudio de un control PI para el balastro no resonante seleccionado en el capítulo 3.

4.2. Modelo lineal térmico de la resistencia equivalente de la lámpara en el dominio de la frecuencia compleja

Por comodidad se muestran a continuación las ecuaciones del modelo propuesto para lámparas de AID presentado en el capítulo 2:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2

34

1gB T tL

L g gL

v tR T t B T t e

i t− −= =

(4.1)

( ) ( )( ) ( ) ( )1L gg g v

g g g

q T tdT t T t T tdt C R C

−= −

(4.2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 1 2

1 1 1

g vv v v

v g v v x

T t T tdT t T t T tdt C R C R R

− −= −

+

(4.3)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 1 2 2

2 1 2 2

v v v v a

v v x v v a

dT t T t T t T t T tdt C R R C R R

− −= −

+ +

(4.4)

( ) ( )( ) ( ) ( )L L g L Lq t T t v t i tη= (4.5)

( )( ) ( )4

3g

BT t

L gT t B eη−

= (4.6)


86

El procedimiento para la linealización del modelo anterior es el siguiente [1,2]:

Linealizar la resistencia equivalente de la lámpara y la eficiencia térmica, Obtener el modelo en pequeña señal de la resistencia de la lámpara, Obtener la resistencia equivalente de la lámpara en el dominio de la frecuencia

compleja.

En base a esta metodología de linealización, a continuación se presenta, en las siguientes secciones, el proceso de linealización del modelo propuesto para lámparas de AID. 4.2.1. Linealización de la resistencia equivalente de la lámpara y la eficiencia térmica

En [5] se muestra un procedimiento de linealización basado en la expansión de la función no lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación y la retención sólo del término lineal. Debido a que no se consideran los términos de orden superior de la expansión en series de Taylor, estos términos no considerados deben ser suficientemente pequeños para ser despreciados; es decir, las variables sólo se desvían ligeramente de la condición de operación. Con base en lo anterior se desarrolló la expansión en series de Taylor de las ecuaciones (2) y (7) alrededor del punto de operación, el cual se define bajo condiciones nominales. Para el caso particular de la lámpara bajo estudio, la temperatura nominal del gas es Tg = 5328 oC [6], la cual corresponde a una potencia nominal en la lámpara de 70 W. Bajo estas condiciones, la resistencia equivalente de la lámpara es RL(Tg) = 110 Ω. Por lo tanto, cuando en las series de Taylor el orden es igual a 2, se obtienen las ecuaciones (8) y (9).

( )( ) ( )( ) ( )( )2109.7160115-0.0226 -5328 0.00000512 -5328Le g g gR T t T t T t= + (4.7)

( )( ) ( )( ) ( )( )20.863-0.00000502 -5328 9.564e-10 -5328Le g g gT t T t T tη = + (4.8)

Se observa en las ecuaciones (4.7) y (4.8) que los coeficientes relacionados con los

términos cuadráticos son muy pequeños en comparación con los coeficientes de los términos lineales. Por lo tanto los términos cuadráticos se desprecian resultando las ecuaciones (4.9) y (4.10).

( )( ) ( )( )109.7160115-0.0226 -5328LLe g gR T t T t= (4.9)

( )( ) ( )( )0.863-0.00000502 -5328Le g gT t T tη = (4.10)

Para obtener una expresión analítica de la resistencia equivalente de la lámpara y de

la eficiencia térmica se sustituirán las cantidades constantes por variables. Por otro lado, se utilizarán las ecuaciones (4.9) y (4.10) sin trasladar el punto de operación, lo cual se muestra en las ecuaciones (4.11) y (4.12).

( )( ) ( )5 6LL g gR T t B T t B= − + (4.11)


87

( )( ) ( )7 8LL g gT t B T t Bη = + (4.12)

Donde:

( ) ( )( )

( ) LLL g

L

v tR T t

i t=

(4.13)

Con base en lo anterior, el modelo de la lámpara queda descrito por las siguientes

ecuaciones:

( ) ( )( ) ( )5 6( ) L

LL g gL

v tR T t B T t B

i t= = − +

(4.14)

( ) ( ) ( ) ( )1g g vL

g g g

dT t T t T tq tdt C R C

−= −

(4.15)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 1 2

1 1 1

g vv v v

v g v v x


− −= −

+

(4.16)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 1 2 2

2 1 2 2

v v v v a

v v x v v a


− −= −

+ +

(4.17)

( ) ( )( ) ( ) ( )L LL g L Lq t T t v t i tη= (4.18)

( )( ) ( )7 8LL g gT t B T t Bη = + (4.19)

O bien:

( ) ( )( ) ( )5 6L g Lv t B T t B i t= − + (4.20)

( ) ( ) ( ) ( )1g g vL

g g g

dT t T t T tq tdt C R C

−= −

(4.21)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 1 2

1 1 1

g vv v v

v g v v x


− −= −

+

(4.22)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 1 2 2

2 1 2 2

v v v v a

v v x v v a


− −= −

+ +

(4.23)

( ) ( )( ) ( ) ( )7 8L g L Lq t B T t B v t i t= + (4.24)

El siguiente paso es obtener el modelo en pequeña señal introduciendo

perturbaciones en el voltaje vL(t), la corriente iL(t), las temperaturas Tg(t), Tv1(t), Tv2(t) y en la fuente de calor qL(t).


88

4.2.2. Modelado en pequeña señal de la resistencia equivalente de la lámpara

Las variables perturbadas son las siguientes [1,2]:

( ) ˆL L Lv t V v= + (4.25)

( ) ˆL L Li t I i= + (4.26)

( ) ˆg g gT t T T= + (4.27)

( )1 1 1ˆ

v v vT t T T= + (4.28)

( )2 2 2ˆ

v v vT t T T= + (4.29)

( ) ˆa a aT t T T= + (4.30)

( ) ˆL L Lq t Q q= + (4.31)

Donde: VL, IL, Tg, Tv1, Tv2, Ta(t) y LQ son las componentes constantes de vL(t), iL(t), Tg(t),

Tv1(t), Tv2(t), Ta(t) y qL(t) respectivamente, en el punto de operación, ( )ˆ tLv , Li , gT , 1vT , 2vT , aT y ˆLq son las perturbaciones de vL(t), iL(t), Tg(t), Tv1(t),

Tv2(t), Ta(t) y qL(t) respectivamente, en el punto de operación.

Por lo tanto sustituyendo las ecuaciones (4.25) a (4.31) en las ecuaciones (4.20) a (4.24) se obtienen las ecuaciones (4.32) a (4.36).

( ) ( )5 6ˆˆ ˆˆ

L LLL g g g

L L

V vR T T B T T BI i

++ = = − + +

+

(4.32)

( ) ( ) ( )1 1ˆ ˆ ˆˆg g g g v vL L

g g g

d T T T T T TQ qdt C R C

+ + − ++= −

(4.33)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 1 1 1 1 2 2

1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆv v g g v v v v v v

v g v v x

d T T T T T T T T T T

dt C R C R R

+ + − + + − += −

+

(4.34)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 1 2 2 2 2

2 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆg g v v v v v v a a

v v x v v a

d T T T T T T T T T T

dt C R R C R R

+ + − + + − += −

+ +

(4.35)

( )( )( )( )7 8ˆ ˆˆ ˆL L g g L L L LQ q B T T B V v I i+ = + + + + (4.36)

Desarrollando los términos de las ecuaciones (4.32) a (4.36) se obtiene lo siguiente:

5 5 6 5 5 6ˆ ˆˆ ˆ ˆˆL L L g L g L g L g L LV v I B T I B T I B B T i B T i B i+ = − − + − − + (4.37)

( ) ( )1 1ˆ ˆˆ ˆ g g v vg g L L

g g g

T T T TdT dT Q qdt dt C R C

+ − +++ = −

(4.38)


89

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 1 1 2 21 1

1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆˆ g g v v v v v vv v

v g v v x

T T T T T T T TdT dTdt dt C R C R R

+ − + + − ++ = −

+

(4.39)

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 1 2 2 2 22 2

2 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ v v v v v v a av v

v v x v v a

T T T T T T T TdT dTdt dt C R R C R R

+ − + + − ++ = −

+ +

(4.40)

7 7 7 7 7

7 7 8 8 8 8

ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

L L g L L g L L g L L g L L L L g

L g L L g L L L L L L L L L

Q q B T V I B T V i B T I v B T i v B V I T

B V T v B v T v B V I B V i B I v B v i

+ = − − − − −

− − + + + +

)

) ) (4.41)

El modelo a pequeña señal del modelo propuesto se obtiene eliminando las

componentes que son constantes, las multiplicaciones de las perturbaciones entre si y las derivadas de los términos constantes en las ecuaciones (4.37) a (4.41) [1,2], haciendo esto se obtienen las ecuaciones (4.42) a (4.46).

5 5 6ˆ ˆ ˆˆL L g g L Lv I B T B T i B i= − − + (4.42)

( ) 1ˆ ˆ ˆˆg g vL

g g g

dT T Tq tdt C R C

−= − −

(4.43)

( )11 1 2

1 1 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆg vv v v

v g v v x

T TdT T Tdt C R C R R

− −= −

+

(4.44)

( ) ( )2 1 2 2

2 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆv v v v a

v v x v v a

dT T T T Tdt C R R C R R

− −= −

+ +

(4.45)

7 7 7 8 8ˆ ˆˆ ˆ ˆL g L L g L L L L g L L L Lq B T V i B T I v B V I T B V i B I v= − − − + +

) (4.46)

Para obtener la resistencia de la lámpara RLL(s) en el dominio de la frecuencia

compleja s = jω se debe aplicar la transformada de Laplace a las ecuaciones (4.42) a (4.46), tal como se muestra a continuación en la siguiente sección.

4.2.3. Obtención de la resistencia equivalente de la lámpara en el dominio de la frecuencia compleja

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (4.42) a (4.46) se obtienen las ecuaciones (4.47) a (4.51).

( ) ( ) ( ) ( )5 5 6L L g g L LV s I B T s B T I s B I s= − − + (4.47)

( ) ( ) ( ) ( )1g vLg

g g g

T s T sQ ssT s

C R C−

= − (4.48)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 21

1 1 1

g v v vv

v g v v x

T s T s T s T ssT s

C R C R R− −

= −+

(4.49)


90

( ) ( ) ( )( )

( )( )

1 2 22

2 1 2 2

v v vv

v v x v v a

T s T s T ssT s

C R R C R R−

= −+ +

(4.50)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 7 7 8 8L g L L g L L L L g L L L LQ s B T V I s B T I V s B V I T s B V I s B I V s= − − − + + (4.51)

Las ecuaciones (4.48) a (4.51) representan el comportamiento del circuito lineal

térmico de la figura 4.1. Para simplificar el análisis de este circuito se desarrolló su circuito equivalente Norton con respecto a los nodos a y b, y con la fuente Ta(s). Estos circuitos se muestran en las figura 4.2.

Figura 4.1 Circuito térmico equivalente lineal para lámparas de AID.

Figura 4.2 Circuito equivalente Norton del circuito lineal térmico.

Para encontrar la impedancia equivalente Norton (ZNab(s)) entre los nodos a y b del

circuito de la figura 4.1, es necesario eliminar las fuentes de este circuito como se muestra en la figura 4.3.

Figura 4.3 Circuito térmico equivalente de la lámpara para el cálculo de la impedancia ZNab(s).


91

De acuerdo con la figura 4.3 las impedancias de los capacitores térmicos (Cg, Cv1 y Cv2) en el dominio de la frecuencia compleja s = jω son las que se muestran en las ecuaciones (4.52) a (4.54).

( ) 1Cg

g

Z sC s

= (4.52)

( )11

1Cv

v

Z sC s

= (4.53)

( )21

1Cv

v

Z sC s

= (4.54)

En base a las ecuaciones (4.52) a (4.54) y al circuito térmico de la figura 4.3 se

calculó la impedancia ZNab(s), la cual se muestra en la ecuación (4.55).

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )2 2 1 1|| || ||Nab Cv v a v x Cv g CgZ s Z s R R R R Z s R Z s= + + + + (4.55)

Para encontrar el valor de la fuente de corriente equivalente Norton (INab(s)) es

necesario hacer un corto circuito entre las terminales a y b en el circuito de la figura 4.1 como se muestra en la figura 4.4.

Figura 4.4 Circuito térmico equivalente de la lámpara para el cálculo de la impedancia INab(s).

En base al circuito de la figura 4.4 se obtuvo la corriente INab(s) mostrada en la ecuación (4.56).

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 1 2 2 2 3 1 4

Cv Cv aNab

Cv Cv Cv Cv

Z s Z s T sI s

e Z s Z s e Z s e Z s e=

+ + + (4.56)

( ) ( )( )1 2 1v a v x ge R R R R R= + + + + (4.57)

( ) ( )( )( )2 2 1v a v x ge R R R R R= + + + (4.58)

( )( )( )( )3 1 2v x g v ae R R R R R= + + + (4.59)

( )( )4 2 1v a v x ge R R R R R= + + (4.60)


92

El circuito equivalente Norton de la figura 4.2 es lineal, por lo tanto, podemos ver los efectos por separado de las fuentes QL(s) y INab(s), debido a que juntas se complica el análisis. Después se utilizará el principio de superposición para conocer el efecto sumado de ambas fuentes en la resistencia de la lámpara (RLL(s)).

Por lo tanto anulando primero la fuente Ta(s), para observar los efectos de la fuente

QL(s) en la resistencia RLL(s), se obtiene el circuito de la figura 4.5.

Figura 4.5 Circuito equivalente Norton para evaluar los efectos de la fuente QL(s) en la

resistencia de la lámpara. De acuerdo con la figura 4.5 el valor de la temperatura Tg(s) es el que se muestra en la

ecuación (4.61).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )7 7 7 8 8g L Nab g L L g L L L L g L L L L NabT s Q s Z s B T V I s B T I V s B V I T s B V I s B I V s Z s= = − − − + + (4.61)

En ambos términos de la ecuación (4.61) existe la variable Tg(s), por lo tanto despejándola se obtiene la ecuación (4.62).

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )8 7 8 7

71LL g L L L g L L Nab

gL L Nab

B V B T V I s B V I B T I V s Z sT s

B V I Z s

− + −=

+

(4.62)

Luego se substituye la temperatura Tg(s) mostrada en la ecuación (4.62) en la

ecuación (4.47), con lo cual se obtiene la ecuación (4.63).

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )8 7 8 75 5 6

71L L g L L L g L L Nab

L L g L LL L Nab

B V B T V I s B V I B T I V s Z sV s I B B T I s B I s

B V I Z s

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟= − − +⎜ ⎟+⎝ ⎠

(4.63)

Por último se reordenaron los términos en la ecuación (4.63) para encontrar la función

de transferencia (VL(s)/IL(s)) que es igual a la resistencia RLL1(s), la cual es la parte de la resistencia RLL(s) que sólo toma en cuenta los efectos de QL(s), esto se muestra en la ecuación (4.64).

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

5 8 6 7 6 51

5 7 5 8 7 1L L Nab gL

LLL g L L L

B B B B V I Z s B B TV sR s

I s B B T B B I B V I

− − += =

− − −

(4.64)


93

Substituyendo los parámetros de la lámpara de AID de halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W, de la compañía Philips) mostrados en la tabla 4.1 en la ecuación (4.64) se obtiene la ecuación (4.65).

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1

109.72 506.24 6.703 0.009298079.02 21.901 0.0219LL

s s sR s

s s s+ + −

=+ + +

(4.65)

Tabla 4.1 Parámetros de la resistencia equivalente de la lámpara de AID de halogenuros

metálicos de 70 W (CDM-TD 70W, de la compañía Philips). B5 B6 B7 B8 Rg

0.0226 230.099 5.018e-6 0.8633 75.36 oC/W Rv1+Rx Rv2+Ra Cg Cv1 Cv2

6.74 oC/W 4.73 oC/W 1.6 μ J/oC 7.07 m J/oC 9.92 J/oC VL IL Tg

87.63 V 0.799 A 5328 oC

La figura 4.6 muestra los diagramas de Bode de la ecuación (4.65). Se observa en estas gráficas que a bajas frecuencia se tiene una baja ganancia y ángulo de 180o y que a altas frecuencias se tiene alta ganancia con un ángulo de 0o, lo cual es el comportamiento típico de las lámparas de AID [1,2].

Figura 4.6 Diagramas de Bode de la resistencia (RLL1(s)) para una lámpara de AID de

halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W, de la compañía Philips).


94

Ahora se anulara la fuente QL(s) para observar loe efectos de INab(s) en la resistencia RLL(s) como se muestra en la figura 4.7.

Figura 4.7 Circuito equivalente Norton para evaluar los efectos de la fuente INab(s) en la

resistencia RLL1(s). De acuerdo con la figura 4.7 el valor de la temperatura Tg(s) es el que se muestra en la

ecuación (4.66).

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 1 2 2 2 3 1 4

=

g Nab Nab

Cv Cv aNab

Cv Cv Cv Cv

T s I s Z s

Z s Z s T sZ s

e Z s Z s e Z s e Z s e

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

(4.66)

La ecuación (4.32) muestra la resistencia de la lámpara ( ( )ˆ

LL gR T T+ ) como la suma

de componente constante (RLL) y una perturbación ( LLr ). Utilizando esta ecuación para

encontrar la resistencia de la lámpara ( ( )2ˆ

LL gR T T+ ), la cual sólo considera los efectos de

la fuente Ta(s), es como se obtiene la ecuación (4.67), esta resistencia también se presenta como la suma de una componente constante (RLL2) más una perturbación ( 2LLr ).

( ) ( )2 2 2 5 6ˆ ˆˆLL g LL LL g gR T T R r B T T B+ = + = − + + (4.67)

El modelo a pequeña señal de la resistencia ( )2

ˆLL g gR T T+ mostrada en la ecuación

(4.67) se obtiene eliminando las componentes que son constantes [1,2], haciendo esto se obtienen las ecuación (4.68) .

2 5ˆ

LL gr B T= − (4.68)

Para obtener la resistencia de la lámpara RLL2(s) en el dominio de la frecuencia

compleja s = jω primero se aplica la transformada de Laplace a las ecuación (4.68) obteniéndose la ecuación (4.69).

( ) ( )2 5LL gR s B T s= − (4.69)


95

Luego se substituye la temperatura Tg(s) de la ecuación (4.66) en la ecuación (4.69) obteniéndose la ecuación (4.70).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 22 5 5

1 1 2 2 2 3 1 4

- Cv Cv a NabLL g

Cv Cv Cv Cv

Z s Z s T s Z sR s B T s B

e Z s Z s e Z s e Z s e⎛ ⎞

= − = ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

(4.70)

Reacomodando la ecuación (4.66) podremos encontrar la función de transferencia

M(s) = RLL2(s)/Ta(s) que se muestra en la ecuación (4.71) y ver los efectos de la temperatura Ta(s) en la resistencia RLL2(s).

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2

5 51 1 2 2 2 3 1 4

-

LL Cv Cv a Nabg

a Cv Cv Cv Cv

R s Z s Z s T s Z sM s B T s B

T s e Z s Z s e Z s e Z s e⎛ ⎞

= = − = ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ (4.71)

Substituyendo los parámetros de la lámpara de AID de halogenuros metálicos de 70

W (CDM-TD 70W, de la compañía Philips) mostrados en la tabla 4.1 en la ecuación (4.71) se obtiene la ecuación (4.72).

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 42.161 22.873 0.02254174.73 22.873 20.988 0.0225 0.0213

LL

a

R s s sM s

T s s s s s s+ +

= = −+ + + + +

(4.72)

La figura 4.6 muestra los diagramas de Bode de la ecuación (4.72). Se observa en

estos diagramas que la magnitud de la función M(s) es muy pequeña por lo tanto los efectos de la temperatura Ta(s) en la impedancia RLL2(s) es despreciable cuando existen pequeñas variaciones en la temperatura Ta(s).

Figura 4.8 Diagramas de Bode de la resistencia (RLL2(s)) para una lámpara de AID de

halogenuros metálicos de 70 W (CDM-TD 70W, de la compañía Philips).


96

Para encontrar la resistencia total de la lámpara (RLL(s)) se aplicó el principio de superposición. Por lo tanto la resistencia RLL(s) es la suma de las resistencias RLL1(s) y RLL2(s), lo cual se muestra en la ecuación (4.73).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 1

5 8 6 7 6 5 1 25

1 1 2 2 2 3 1 45 7 5 8 7

1

LL LL LL LL a

L L Nab g Cv Cv a Nab

Cv Cv Cv Cvg L L L

R s R s R s R s M s T s

B B B B V I Z s B B T Z s Z s T s Z sB

e Z s Z s e Z e Z s eB B T B B I B V I

= + = +

− − + ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +− − − ⎝ ⎠

(4.73)

De acuerdo con la teoría clásica Ta(s) es una perturbación del sistema. La resistencia

RLL1(s) es la resistencia equivalente de la lámpara sin considerar los efectos de esta perturbación. La resistencia RLL2(s) es la resistencia equivalente de la lámpara considerando sólo los efectos de la perturbación Ta(s). Por lo tanto la resistencia total de la lámpara RLL(s) es la suma de ambas resistencias (RLL1(s) y RLL2(s)), lo cual se representa por medio del diagrama de bloques mostrado en la figura 4.9

Figura 4.9 Diagrama a bloque de la resistencia total de la lámpara.

De acuerdo con los diagramas de Bode de la función M(s), los efectos de la

temperatura Ta(s) en la resistencia RLL(s) son despreciables. Por lo tanto el análisis y diseño del controlador se realizó sin considerar esta perturbación, para esto eliminamos RLL2(s) en la ecuación (4.73) con lo cual queda la ecuación (4.74).

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

5 8 6 7 6 51

5 7 5 8 7 1L L Nab g

LL LLg L L L

B B B B V I Z s B B TR s R s

B B T B B I B V I

− − += =

− − −

(4.74)

Por lo tanto en el caso particular de la lámpara de AID seleccionada, se obtiene lo siguiente:

( ) ( )( ) ( )( )( )( )

109.72 506.24 6.703 0.009298079.02 21.901 0.0219LL

s s sR s

s s s+ + −

=+ + +

(4.75)

Se observa en la ecuación (4.75) que la resistencia RLL(s) muestra un cero en el

semiplano derecho. De acuerdo con la teoría de control lineal, cualquier impedancia con un cero en el semiplano derecho no puede ser alimentada directamente por una fuente de voltaje, porque la función de transferencia de la corriente tendría un polo en el semiplano


97

derecho [1,2]. La declaración anterior demuestra que si una lámpara es directamente alimentada con una fuente de voltaje, su corriente sería inestable [1,2]. Por otro lado el comportamiento de la lámpara es estable si se alimenta con una fuente de corriente constante [1,2].

Para estabilizar la corriente de lámpara es necesario poner una impedancia en serie con la lámpara lo suficientemente grande en baja frecuencia, en donde aparece el cero en el semiplano derecho en la resistencia RLL(s). La finalidad de hacer esto es eliminar los efectos de este cero, y por lo tanto eliminar los efectos del polo en el semiplano derecho en la función de transferencia de la corriente en la lámpara (método de cancelación de polos y ceros).

De acuerdo con las referencias [1,2], para incrementar la impedancia de salida de un

convertidor cd-cd, es necesario cerrar el lazo de control, y retroalimentar la corriente en la lámpara [1,2]. Por lo tanto, es importante saber como se comporta la impedancia de salida de un convertidor Reductor en lazo abierto y cerrado, lo cual se muestra en la siguiente sección.

4.3. Impedancia de salida del convertidor Reductor

En la figura 4.10 se muestra el diagrama esquemático del convertidor Reductor, el cual tiene como carga a la resistencia equivalente de la lámpara. Además se observa que en este convertidor se toman en cuenta las resistencias parásitas (RCR y RLR) del capacitor CR y del inductor LR. Esto se debe a que el análisis matemático no se complica demasiado con estos elementos parásitos. En base a este circuito se modeló la impedancia de salida del convertidor Reductor en lazo abierto y en lazo cerrado [1,2].

Para obtener la impedancia de salida del convertidor Reductor en lazo abierto ZR_OL(s), es necesario desconectar la resistencia de la lámpara del convertidor, de esta forma se reduce en gran medida el análisis del sistema balastro-lámpara. De acuerdo con el teorema de Norton, el convertidor Reductor puede verse como una fuente de corriente en paralelo con su impedancia de salida ZR_OL(s) como se muestra en la figura 4.11. Para analizar el comportamiento del sistema balastro-lámpara, es necesario conectar la resistencia RLL(s) al convertidor, lo cual se muestra en la figura 4.12, [1,2].

Figura 4.10 Diagrama esquemático del convertidor Reductor.


98

Figura 4.11 Circuito equivalente Norton del convertidor Reductor.

Donde: Is(s) es una fuente de corriente.

Figura 4.12 Circuito equivalente Norton del sistema balastro-lámpara.

Analizando el circuito mostrado en la figura 4.12, se obtiene la corriente en la

lámpara IL(s), la cual se presenta en la ecuación (4.76), [1,2].

( )_

1( )1 ( ) / ( )L s

LL R OL

I s I sR s Z s

=+

(4.76)

El circuito equivalente Norton es el dual del circuito equivalente Thevenin el cual se

muestra en la figura 4.13. El circuito equivalente Thevenin del sistema balastro-lámpara se relaciona con el circuito equivalente Norton del sistema balastro-lámpara mediante la ecuación (4.77).

( )_

( )( )

ss

R OL

V sI sZ s

= (4.77)

Vs(s)

ZR_OL(s)

RLL(s)

IL(s)

Figura 4.13 Circuito equivalente Thevenin del sistema balastro-lámpara.


99

Analizando el circuito de la figura 4.13, se obtiene la corriente en la lámpara (IL(s)), la cual se muestra en la ecuación (4.78), [1,2].

( )_ _

_

( ) ( ) 1( )( ) ( ) ( ) 1 ( )

s sL

LLR OL LL R OL

R OL

V s V sI s R sZ s R s Z sZ s

= =+ +

(4.78)

Aplicando la teoría control clásica a las ecuaciones (4.76) y (4.78) se deduce que la

condición necesaria y suficiente para la estabilidad del sistema balastro-lámpara, es que la ecuación 1+RLL(s)/ZR_CL(s) no tenga ningún cero en el semiplano derecho, de acuerdo con el criterio de Nyquist, esto es equivalente a que el cociente RLL(s)/ZR_CL(s) no encierre el punto (-1, 0), esta condición suficiente se muestra en la ecuación (4.79) [1,2].

_

( ) 1( )

LL

R OL

R sZ s

< (4.79)

En base a lo anterior se infiere que se puede manejar la fuente y la carga

separadamente, y la estabilidad del sistema puede ser analizada con la razón de las impedancias, |RLL(s)/ZR_OL(s)|, con esto el análisis se simplifica en gran medida. En base a la razón de las impedancias se puede saber que tan grande es la impedancia ZR_OL(s) en comparación con RLL(s), y utilizando el criterio de Nyquist se puede saber si existe un polo en el semiplano derecho en la función de transferencia de la corriente en la lámpara [1,2].

Para encontrar la impedancia ZR_OL(s) es necesario analizar el circuito equivalente del convertidor Reductor en pequeña señal mostrado en la figura 4.14 [1,2].

ˆcdVd

Dˆ

LI dˆcdv ˆLv

Figura 4.14 Circuito equivalente del convertidor Reductor en pequeña señal.

En base al circuito de la figura 4.14 se obtuvo el circuito equivalente del

convertidor Reductor en el dominio de la frecuencia compleja s = jω, el cual se muestra en la figura 4.15.


100

( )cdVD s

D

Figura 4.15 Circuito equivalente del convertidor Reductor en el dominio de la frecuencia

compleja s = jω.

El circuito de la figura 4.15 es más fácil analizarlo con el teorema de Thevenin. En base a este teorema se encontró que el voltaje equivalente Thevenin VL(s) entre las terminales a y b es el siguiente [1,2]:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )L vg cd vdV s G s V s G s D s= + (4.80)

Donde:

( ) ( )2

1

1CR CR R

vgLR CRR

R R R

sDR R CG s

R RL s sL L C

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎜ ⎟=+⎜ ⎟

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2

1

1CR CR R

vgLR CRR

R R R

sDR R CG s

R RL s sL L C

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎜ ⎟=+⎜ ⎟

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Para obtener la resistencia equivalente Thevenin ZR_OL(s), entre las terminales a y b

del circuito de la figura 4.15, es necesario eliminar las fuentes en el circuito, lo cual se muestra en el circuito equivalente de la figura 4.16.

1 D

LR RLR

CR

RCR

a

b

TD

Figura 4.16 Circuito equivalente del convertidor Reductor para el cálculo de ZR_OL(s).


101

De acuerdo con la figura 4.16 la resistencia equivalente Thevenin (ZR_OL(s)) entre las terminales a y b es la que se muestra en la ecuación (4.81). Es importante mencionar que el transformador TD tiene un voltaje nulo en su salida, debido a que su entrada está en cortocircuito. Por lo tanto sus efectos de este transformador en la impedancia ZR_OL(s) son anulados.

( )

( )

2

_2

1

1

CR R LR

CR R CR R RR OL CR

LR CR

R R R

R C Rs sR C R C LZ RR R

s sL L C

++ +

=+

+ +

(4.81)

Substituyendo los parámetros del convertidor Reductor mostrados en la tabla 4.2 en

la ecuación (4.81) se obtiene la ecuación (4.82).

( ) ( )( )( ) ( )( )_

5.263 7 1060.019

54.9 14142.03 54.9 14142.03R OL

s e sZ

s i s i+ +

=+ + + −

(4.82)

Tabla 4.2 Parámetros de la impedancia ZR_OL(s).

Parámetros de la impedancia ZR OL(s) LR RLR

5 mH 0.52 Ω CR RCR

1 μF 0.019Ω En la figura 4.17 se muestran los diagramas de Bode de la ecuación (4.82) y de la

resistencia RLL(s), se observa en estos diagramas que a bajas frecuencias el valor ZR_OL(s) se acerca al valor de la resistencia parásita RLR y que en altas frecuencias el valor ZR_OL(s) se acerca al valor de la resistencia parásita RCR. A frecuencias medias existen dos ceros y dos polos y su ubicación depende de los parámetros del circuito [1,2]. Se observa que la impedancia ZR_OL(s) no cumple con la condición de estabilidad ZR_OL(s) > RLL(s), por lo tanto el sistema balastro-lámpara en lazo abierto es inestable.

Para corroborar que el sistema balastro-lámpara es inestable se debe obtener la

gráfica de Nyquist del cociente RLL(s)/ZR_CL(s), y verificar si esta gráfica encierra el punto (-1,0). Esta gráfica se muestra en la figura 4.18. Se observa en esta gráfica que el diagrama de Nyquist del cociente RLL(s)/ZR_CL(s) encierra el punto (-1,0). Por lo tanto el sistema balastro-lámpara en lazo abierto es inestable [1,2].


102

Figura 4.17 Diagrama de Bode de la impedancia ZR_OL(s) y RLL(s).

Figura 4.18 Diagrama de Nyquist de el cociente RLL(s)/ZR_OL(s).

En base a la impedancia ZR_OL(s) se puede obtener la impedancia ZR_CL(s) del

sistema balastro-lámpara en lazo cerrado. Para lograr esto es necesario partir del diagrama a bloques del convertidor Reductor en lazo cerrado retroalimentando la corriente en la lámpara, el cual se muestra en la figura 4.19. En base a este circuito se deduce el circuito de control del convertidor de la figura 4.20.


103

Figura 4.19 Diagrama de bloques del convertidor Reductor en lazo cerrado

retroalimentando la corriente en la lámpara.

Figura 4.20 Circuito de control del convertidor Reductor en lazo cerrado retroalimentando

la corriente en la lámpara.

Del diagrama de control de la figura 4.20 se deduce el valor del voltaje VL(s), el cual se muestra en la ecuación (4.83), [1,2].

( ) ( ) ( ) ( )_ ( ) ( )L R OL L cs m vd LV s Z s I s HG s F G s I s= + (4.83)

Reordenando la ecuación (4.83) se obtiene la impedancia ZR_CL(s) la cual se muestra

en la ecuación (4.84).

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )_ _ _

LR CL R OL cs m vd R OL

L

V sZ s Z s HG s F G s Z s T s

I s= = + = +

(4.84)

Donde: ( ) 111 i

cs p pi i

T sG s K KT s T s

⎛ ⎞ += + =⎜ ⎟

⎝ ⎠, control PI.

(4.85)

1m

p

FV

= , (4.86)

x

L

IHI

= , (4.87)

H es la ganancia del lazo de retroalimentación, Ix es el nivel de corriente requerido en la etapa de control, Vp es la magnitud de la señal diente de sierra, Gcs(s) es la función de transferencia del controlador PI, Fm es la ganancia del circuito generador de la rampa, T(s) es la función de transferencia del lazo de retroalimentación.


104

Con las funciones de transferencia RLL(s) y ZR_CL(s) se diseñó la etapa de control PI propuesta, lo cual se presenta a .continuación en la siguiente sección. 4.4. Diseño de la etapa de control

Los valores del controlador PI propuesto (Kp y Ti) se seleccionaron mediante un

proceso de sintonización. De acuerdo con la referencia [5] este proceso puede realizarse mediante simulaciones del modelo no lineal del sistema-balastro lámpara. A estas simulaciones se le aplicó el segundo método de Ziegler y Nichols para la sintonización de controladores PI. En estas simulaciones se emplea el modelo no lineal para lámparas de AID propuesto en el capítulo 2, el cual se muestra en figura 4.22.

El segundo método de Ziegler y Nichols establece Ti = ∞. Usándose sólo la acción

de control proporcional como se muestra en la figura 4.21, incrementando Kp de 0 hasta un valor crítico Kcr en donde la salida exhiba primero oscilaciones sostenidas. Ziegler-Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros Kp y Ti de acuerdo con las ecuaciones que aparecen en la tabla 4.3. Se observa en estas ecuaciones que el valor de Kp está en función del parámetro Kcr y que el valor del tiempo Ti está en función del periodo crítico (Pcr).

Figura 4.21 Sistema en lazo cerrado con controlador proporcional.

Tabla 4.3 Ecuaciones para el cálculo de los parámetros Kp y Ti.

Kp Ti 0.45KCr 0.83PCr

Los parámetros Kcr y Pcr se obtuvieron mediante una simulación del sistema

balastro-lámpara en Simulink, el cual se muestra en la figura 4.22. Los parámetros empleados en la simulación se muestran en la tabla 4.4. El resultado obtenido de la simulación se muestra en la figura 4.23, en la cual se observa las oscilaciones de la corriente de la lámpara. En base a estas oscilaciones se obtuvieron los valores de los


105

parámetros Kcr y Pcr, los cuales son 0.27 y 0.0003 respectivamente. Utilizando estos valores y empleando las ecuaciones de la tabla 4.3, se obtuvieron los parámetros Kp y Ti del controlador propuesto, los cuales se muestran en las ecuaciones (4.88) y (4.89).

( )0.45 0.45 0.27 0.123p crK K= = = (4.88)

( )0.83 0.83 0.0003 0.000249 249 si crT P s μ= = = = (4.89)

Figura 4.22 Diagrama esquemático del balastro con un control proporcional (P) clásico en

Simulink para encontrar los parámetros del control PI.

Tabla 4.4 Parámetros del sistema para la simulación del sistema de la figura 4.22. Parámetros del convertidor Reductor

LR RLR CR RCR Vcd 5 mH 0.52 Ω 1 μF 0.019 Ω 180 V

Parámetros del controlador P Kcr H Referencia de corriente nominal (ILrn)

0.27 9.387 7.5 A Magnitud de la señal diente de sierra = Vp

3V Parámetros de la lámpara

Rg Rv1+Rx Rv2+Ra B1 B2 B3 75.36 oC/W 6.74 oC/W 4.73 oC/W 48350 1850 0.837

B4 Cg Cv1 Cv2 VL IL 175 1.6 μJ/oC 7.07 m J/oC 9.92 J/oC 87.63 V 0.799 A

Parámetros de la simulación Tiempo de simulación (ts) Tamaño máximo paso de simulación

100 ms 2 μs


106

Figura 4.23 Oscilaciones en la corriente iL(t).

Con los valores obtenidos para los parámetros Kp y Ti se calcularon los componentes

Rc1, Rc2 y Cc1 del circuito electrónico para la implementación física del controlador PI, el cual se muestra en la figura 4.24.

Figura 4.24 Circuito electrónico del controlador PI propuesto.

Las ecuaciones de diseño de los componentes Rc1, Rc2 y Cc1 se definen en base a la

función de transferencia del circuito de la figura 4.24, la cual se presenta en la ecuación (4.90), [5].

( ) 2 2 1

1 2 1

1c c cc

c c c

R R C sG sR R C

+=

(4.90)


107

Comparando la ecuación (4.90) con la ecuación (4.85) se obtienen las ecuaciones (4.91) y (4.92), las cuales son las ecuaciones de diseño de los componentes Cc1, Rc1 y Rc2.

2 1i c cT R C= (4.91)

2

1

cp

c

RKR

= (4.92)

Reordenando las ecuaciones (4.91) y (4.92) se obtienen lo siguiente:

21

ic

c

TRC

= (4.93)

21

cc

p

RRK

= (4.94)

Se propone Cc1 = 10 nF, substituyendo este valor en las ecuaciones (4.93) y (4.94)

se obtienen los valores de los componentes Rc1 y Rc2, los cuales se muestran en las ecuaciones (4.95) y (4.96).

21

249 24.910

ic

c

T sR KC nF

μ= = = Ω

(4.95)

21

24.9 1900.131

cc

p

R KR KK

Ω= = = Ω

(4.96)

Para completar el diseño del controlador PI se obtuvieron los diagramas de Bode de

las variables ZR_CL(s) y RLL(s). Para realizar esto se utilizaron las ecuaciones (4.97) y (4.98), las cuales obtuvieron sustituyendo los parámetros del sistema balastro-lámpara en lazo cerrado mostrados en la tabla 4.5 en las ecuaciones (4.74) y (4.84). Las gráficas de Bode se muestran en la figura 4.25. En esta figura se observa que |ZR_CL(s)| > |RLL(s)| en baja frecuencia, lo cual es suficiente para estabilizar la corriente en la lámpara. Esto se corroboró en la gráfica de Nyquist mostrada en la figura 4.26, la cual muestra que la gráfica

del cociente _

( )( )

LL

R CL

R sZ s

no encierra el punto (-1,0). Por lo tanto el sistema en lazo cerrado es

estable.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

109.72 506.24 6.703 0.009298079.02 21.901 0.0219LL LL

s s sR s R s

s s s+ + −

= =+ + +

(4.97)

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )_

5.3 7 7431 2010 7431 2010 54.9+14142i 54.9-141420.019

54.9+14142 54.9-141422 54.9+14142 54.9-14142R CL

s e s i s i s s iZ s

s s i s i s i s i+ + + + − + +

=+ + + +

(4.98)


108

Figura 4.25 Diagramas de Bode de RLL(s) y ZR_CL(s).

.

Figura 4.26 Diagrama de Nyquist de RLL(s)/ZR_CL(s).

Tabla 4.5 Parámetros del sistema balastro lámpara en lazo cerrado.

Parámetros de la impedancia ZR CL(s) LR RLR CR

5 mH 0.52 Ω 1 μF RCR Kp Ti

0.019Ω 0.131 249 μs Ix Vcd

7.5 180 Parámetros de la resistencia RLL(s)

B5 B6 k -0.0226 230.099 0.872

Rg Rv1+Rx Rv2+Ra 75.36 oC/W 6.74 oC/W 4.73 oC/W

Cg VL IL 1.6 μ J/oC 87.63 V 0.799 A


109

4.5. Simulaciones y resultados experimentales

En esta sección se presentan las simulaciones en Simulink y los resultados experimentales del balastro propuesto con un control PI clásico retroalimentando la corriente en la lámpara en condiciones de régimen permanente y con variaciones de la corriente en la lámpara, con la cual se demuestra el buen funcionamiento del sistema balastro-lámpara. Los resultados son presentados a continuación en las siguientes secciones.

4.5.1. Simulaciones

En esta sección se presentarán los resultados de simulación del sistema propuesto en lazo cerrado, los cuales fueron realizados con el circuito de la figura 4.27. Este circuito se implemento en el programa Simulink de Matlab. Los parámetros empleados en la simulación son los que se muestran en la tabla 4.6.

Figura 4.27 Diagrama esquemático del balastro con el control PI clásico propuesto en Simulink.

Tabla 4.6. Parámetros para la simulación del sistema en lazo cerrado.

Parámetros del convertidor Reductor LR RLR CR RCR Vcd

5 mH 0.52 Ω 1 μF 0.019 Ω 180 V Parámetros del controlador PI

Kp Ti H Magnitud de la señal diente de sierra = Vp 0.131 249 μs 9.387 3V

Referencia de corriente nominal (ILrn) Referencia de corriente mínima (ILrm)

7.5 A 3.75 A

Parámetros de la lámpara Rg Rv1+Rx Rv2+Ra B1 B2 B3

75.36 oC/W 6.74 oC/W 4.73 oC/W 48350 1850 0.837 B4 Cg Cv1 Cv2 VL IL

175 1.6 μJ/oC 7.07 m J/oC 9.92 J/oC 87.63 V 0.799 A Parámetros de la simulación

Tiempo de simulación (ts) Tamaño máximo paso de simulación 200 ms 2 μs


110

4.5.1.1. Simulaciones en estado estable

En las figura 4.28 se muestran las simulaciones sistema propuesto en lazo cerrado con un control PI en estado estacionario y en condiciones nominales (pL = 70 W ). Las graficas que se muestran en esta figura son de las variables vL(t) e iL(t). Estas gráficas son cuadradas, simétricas, de baja frecuencia y con un valor eficaz constante. Por lo tanto el comportamiento del sistema propuesto en lazo cerrado es estable. Además con estas formas de ondas se elimina el fenómeno de las resonancias acústicas en la lámpara.

Figura 4.28 Resultado de simulación del sistema en lazo cerrado en estado estacionario.

4.5.1.2. Simulaciones variando la corriente en la lámpara

En la figura 4.29 se muestra las simulaciones sistema propuesto en lazo cerrado con un control PI cuando se aplica un escalón de corriente a la lámpara, el cual fue de 0.4 A a 0.8 A. Las graficas que se muestran en esta figura son de las variables vL(t) e iL(t). En estas gráficas se observa que el sistema tiene una buena respuesta dinámica. Debido a que el tiempo de establecimiento se encuentra en el orden de los microsegundos. Una valoración más detallada de los resultados de simulación del sistema propuesto se encuentra en el capítulo 6.

Figura 4.29 Simulaciones en Simulink variando a corriente en la lámpara iL(t).


111

4.5.2. Resultados experimentales

En esta sección se presentarán los resultados experimentales del sistema propuesto en lazo cerrado con un control PI. El diagrama esquemático del sistema se muestra en la figura 4.30, el cual fue diseñado en el programa Orcad. En la tabla 4.7 se muestra la lista de partes de este diagrama. Es importante mencionar que la señal PWM la realiza el circuito TL494.

VB-

CR1u

C-R-2

Etapa de potencia

0

De la f uente de cd

LR5m

1 2

C-R-1MRIRFP460

VB-0

DRMUR860

Vcc

C-R-2ir

2110

IRr17654321

89

1011121314

HOVBVS

N/CVCCCOM

LO

N/CVDDHINSDLINVSSN/C

De la f uente de cdC-R-1

0

CRi1100u

Al circuitode control

RRi112

R-I-1

R-I-2

Al inversor

CRi210 uF

Impulsor

DRi1D1N4937


(a)

Cm115p

+5V

Rc3

50kConfiguración de 5A

Vcc

Generador de señal PWM

0

0

Ra110K

Vcc C-I-b

0

TL1TL494

1 2 3 4 5 6 7 8

16 15 14 13 12 11 10 9

1IN

+1I

N-

FEE

DB

AC

KD

TCC

TR

TG

ND

C1

2 IN

+2

IN-

RE

FO

UTP

UT

CTR

LV

cc C2 E2

E1

0

Al convertidorReductor

Sistema mínimo basado en un microcontrolador

TL082

5

6

7+

-

OUT

Vcc

Ra3560K

CLN-25

Current sensor

123

456789

10111213

o/p+-

c1c2c3c4c5c6c7c8c9c10

Rs150

Al inversorVcc


C-I-c

SN74LS07

9 8Rm82.2k

Rm72.2k

0

SN74LS07

1 2

0Rc250K

0

Vcc

0SN74LS07

3 4


Rm310k

C-R-2

Cp11n

VccRp2560

Swm1

Rm52.2k

Rm62.2k

TL082

3

2

1+

-

OUT

Etapa de sensado de lacorriente en la lámpara

Vcc

Rp1100k 7407

11 10

Rm4100

C-R-1

Rm82.2k

0Rc1500K

00

Vcc

PIC

16F8

76

123456789

1011121314 15

16171819202122232425262728MCLR#/Vpp/THV

RA0/AN0RA1/AN1RA2/AN2/VREF-RA3/AN3/VREF+RA4/TOCKLRA5/AN4/SS#VssOSC1/CLKINOSC2/CLKOUTRC0/T1OSO/T1CK1RC1/T1OSL/CCP2RC2/CCP1RC3/SCK/SCL RC4/SD1/SDA

RC5/SDORC6/TX/CKRC7/RX/DT

VSSVDD

RB0/INTRB1RB2

RB3/PGMRB4RB5

RB6/PGCRB7/PGD

Cm215p

0

SN74LS07

5 6

Etapa deacondicionamientode señal

Rc450K

Cc4.7nF

Dm1D1N4148

Vcc

Xm1

20MEG

C-I-a

0

0

Etapa de control PI

-Vcc

(b)

0

Mi4IRFP460

Rii312

Etapa de potencia


ir 21

10

IRi27654321

891011121314

HOVBVSN/CVCCCOMLO

N/CVDDHINSDLIN

VSSN/C

C-I-a

Impulsor

0

Rii212

Dii1D1N4937

Rii412Mi2IRFP460

0

Dii2D1N4937

Cii4 10u

Cii110u

ir 21

10

IRi17654321

89

1011121314

HOVBVS

N/CVCCCOM

LO


Vcc

Cii210u

C-I-c


Impulsor

Mi3IRFP460

A lalámpara

I-E-1

C-I-b

R-I-1

R-I-2

C-I-a

0

Al circuitode control0

Al circuitodeencendido

Vcc

Rii112

I-L-1

Mi1IRFP460

C-I-b

Cii110u

C-I-c


(c)

Al inversor

Ls

TE

Cr 10nF Al inversor

I-E-1

I-L-1

CDM-TD 70WLr

(d)

Figura 4.30 Diagrama esquemático del balastro electrónico con un control PI: (a) convertidor reductor, (b) etapa de control, (c) inversor puente completo, (d) circuito de encendido más la

lámpara.


112

Tabla 4.7 Lista de partes para la implementación física del balastro propuesto. Lista de partes del convertidor Reductor

Etapa de potencia LR CR Diodo (DR)

5 mH 1 μF MUR860 Transistor (MR)

IRFP460 Impulsor

Impulsor (IRr1) Capacitor de filtrado (CRi1) Capacitor flotado (CRi2) IR2110 100 μF 10 μF

Diodo flotado (DRi1) Vcc Resistencia de compuerta (RRi1) D1N4937 15 V 12 Ω

Lista de partes de la etapa de controlEtapa de retroalimentando de la corriente en la lámpara

Sensor de corriente Resistencia de salida (Rs) CLN-25 150 Ω

Etapa de acondicionamiento de señal Resistencia del amplificador de acondicionamiento de

señal Ra1 Resistencia del amplificador de acondicionamiento de señal

Ra2 10 KΩ 100 KΩ

Etapa de control PI Resistencia del amplificador del

controlador Rc1 Resistencia del amplificador del

controlador Rc2 Capacitor del amplificador del

controlador C2 500 KΩ 50 KΩ 10 nF

Resistencia de la referencia de corriente del controlador Rc3 Resistencia limitadora de ciclo de trabajo del controlador Rc4 50 KΩ 50 KΩ

Generador de señal PWM Circuito generador de señal PWM Capacitor para la frecuencia de

oscilación Cp1 Resistencia para la frecuencia de

oscilación Rp1 TL494 1 nF 100 KΩ

Resistencia push pull Rp2 560 Ω

Sistema mínimo basado en un microcontrolador Microcontrolador Capacitores para la frecuencia de oscilación

del microcontrolador Cm1 y Cm2 Cristal para la frecuencia de

oscilación del microcontrolador Xm1 PIC16F876 15 pF OSC-20MHZ

Interruptor para el circuito de encendido del microcontrolador Sw1

Diodo para el circuito de encendido del microcontrolador

Resistencia para el circuito de encendido del microcontrolador Rm3

BTS-09 D1N4248 10 KΩ Resistencia para el circuito de

encendido del microcontrolador Rm4 Circuito acondicionador de salidas del

microcontrolador

Resistencias del circuito acondicionador de salidas del microcontrolador Rm5 a Rm8

100 Ω SN74LS07 2.2 KΩ Lista de partes del inversor puente completo

Etapa de potencia Transistores (Mi1 a Mi4)

IRFP460Impulsor

Impulsores (IRi1 e IRi2) Capacitores de filtrado (Cii1 y Cii2) Capacitores flotado (Cii3 y Cii4) IR2110 100 μF 10 μF

Diodos flotados (Dii1 y Dii2) Resistencia de compuerta (Rii1 a Rii4) Vcc D1N4937 12 Ω 15 V

Lista de partes del circuito de encendido y de la lámpara utilizada Capacitor Cr Inductancia del primario del

transformador TE (Lr) Inductancia del primario del

transformador TE (Ls) 10 nF 149.8 μH 1.06 mH

Lámpara de AID de halogenuros metálicos de 70 W CDM-TD 70W


113

Para explicar el funcionamiento de los circuitos mostrados en la figura 4.30 es necesario emplear el diagrama de flujo mostrado en la figura 4.31. Se observa en este diagrama que el convertidor Reductor, el cual se muestra en la figura 4.31 (a), es el primer circuito que empieza a operar. Para lograr esto el microcontrolador que se muestra en la figura 4.31 (b), envía un cero a la terminal C-R-2 del impulsor IR2110 del convertidor Reductor, el cual se muestra en la figura 4.31 (a). El siguiente paso es cargar el capacitor CR del convertidor Reductor. Para hacer esto el microcontrolador envía un tren de pulsos a la terminal C-R-1 del impulsor IR2110 del convertidor Reductor. El siguiente paso es habilitar el inversor puente completo, lo cual se consigue haciendo que el microcontrolador envíe un cero a la terminal C-I-b de los impulsores IR2110 del inversor, los cuales se muestran en la figura 4.31 (c). Lo siguiente es encender la lámpara. Esto se logra alimentando al circuito de encendido mostrado en la figura 4.31 (d) con una señal cuadrada de alta frecuencia. Para conseguir esto, el microcontrolador mostrado en la figura 4.31 (b) envía un tren de pulsos con una frecuencia de 130 KHz a las terminales C-I-a y C-I-c de los impulsores IR2110 del inversor. Por último se cambia al modo de operación a estado estacionario. Para lograr esto el microcontrolador cambia la frecuencia de operación de 130 KHz a 300 Hz, lo cual se consigue aplicando un tren de pulsos de 300 Hz a las terminales C-I-a y C-I-c de los impulsores IR2110 del inversor.

Figura 4.31. Diagrama de flujo del funcionamiento del balastro propuesto.


114

En base al diagrama de flujo de la figura 4.31 se desarrolló el diagrama de flujo de la figura 4.32, el cual sirvió para la programación del microcontrolador mostrado en la figura 4.31 (b). El programa en lenguaje ensamblador para el PIC16F876 se encuentra en el apéndice C.

Figura 4.32 Diagrama de flujo para la programación del micro.

En base al controlador propuesto se realizaron las siguientes pruebas experimentales

para corroborar su buen funcionamiento.

4.5.2.1. Resultados experimentales en estado estable

Las pruebas experimentales realizadas son similares a las de simulaciones mostradas en la sección 5.5.1. De esta forma, en la figura 4.36 se muestran los resultados experimentales del sistema propuesto en lazo cerrado con un control PI en estado estacionario y en condiciones nominales (pL = 70 W). Las graficas que se muestran en esta figura son de las variables vL(t) e iL(t). En forma similar a los resultados de simulación, se obtienen gráficas cuadradas, simétricas, de baja frecuencia y con un valor eficaz constante. Por lo tanto el comportamiento del sistema propuesto en lazo cerrado es estable. Además con estas formas de ondas se elimina el fenómeno de las resonancias acústicas en la lámpara.


115

Figura 4.33 Resultados experimentales a potencia nominal (70 W).

4.5.2.2. Resultados experimentales variando la corriente en la lámpara

En la figura 4.29 se muestra los resultados experimentales del sistema propuesto en lazo cerrado con un control PI cuando se aplica un escalón de corriente a la lámpara, el cual fue de 0.4 A a 0.8 A. Las graficas que se muestran en esta figura son de las variables vL(t) e iL(t). En estas gráficas se observa que el sistema tiene una buena respuesta dinámica, lo cual concuerda con los resultados de simulación. Una valoración más detallada de los resultados experimentales del sistema propuesto se encuentra en el capítulo 6.

Corriente en la lámpara (iL(t))

Voltaje en la lámpara (vL(t))



Figura 4.34 Resultados experimentales variando la corriente en la lámpara iL(t).


116

4.5.3. Comparación entre los resultados de simulación y experimentales

En la figura 4.35 se muestra la comparación entre los resultados de simulación y los experimentales. El índice de desempeño utilizado es el error cuadrático medio, el cual se calcula con la ecuación (4.99) [7,8]. El error cuadrático medio es una opción viable para comparar curvas que tienen datos negativos y positivos de la variable de error, porque se evita la cancelación de estos datos y con esto se obtiene una comparación adecuada de las curvas [7], éste es el caso de las gráficas mostradas en la figura 4.35. En esta figura se observa que los errores cuadráticos para el voltaje EcvL y para la corriente EciL tienen valores pequeños por lo tanto los resultados de simulación son similares a los resultados experimentales. En consecuencia el modelo del sistema balastro-lámpara representa adecuadamente el proceso real.

( )

( )

2

1

1

−=

−

∑n

r

c

A AE

n n

(4.99)

Donde: A son los resultados de simulación,

Ar es son los resultados experimentales.

Figura 4.35 Comparación entre los resultados experimentales y los resultados de

simulación.


117

4.6. Conclusiones

En este capítulo se presentó un modelo lineal de la resistencia equivalente de las lámparas de AID basado en el modelo no lineal propuesto en el capítulo 2. El modelo no lineal está basado en la ecuación de Saha. Esta ecuación representa la resistencia equivalente de la lámpara en función de la temperatura del gas de relleno. En el modelo propuesto el comportamiento de la temperatura del gas de relleno está representada por un circuito térmico equivalente.

Para encontrar la versión lineal del modelo se procedió a realizar la linealización del

mismo usando el concepto de variables perturbadas. Con este proceso de linealización se obtuvo el modelo lineal propuesto al cual se le aplicó la transformada de Laplace para encontrar el modelo en el dominio de la frecuencia compleja s = jω. El modelo encontrado muestra el cero en el semiplano derecho típico en la resistencia equivalente de estas lámparas y, de acuerdo con la teoría de control lineal, cualquier impedancia con un cero en el semiplano derecho no puede ser alimentada directamente por una fuente de voltaje, porque la función de transferencia de la corriente contendría un polo en el SD. La declaración anterior demuestra que si una lámpara es alimentada directamente con una fuente de voltaje, su corriente será inestable. Por otro lado, el comportamiento de la lámpara es estable si se alimenta con una fuente de corriente constante.

Para comprobar el buen funcionamiento de este modelo lineal propuesto, éste se

utilizó en el diseño de un control PI clásico retroalimentando la corriente en la lámpara para el balastro no resonante propuesto en el capítulo 3.

Los resultados de simulación y experimentales obtenidos muestran que el sistema

con el controlador PI propuesto es estable. Asimismo la comparación de los resultados de simulación con los experimentales muestra que el modelo del sistema balasto-lámpara simula adecuadamente el proceso real.

4.7. Referencias

1

[1] Y. Hu, “Analysis and design of high-intensity-discharge lamp ballast for automotive head”, Master Thesis, Virginia Polytechnic Institute, United States of America, November 2001.

2 [2] E. Deng, “I. Negative incremental impedance of fluorescent lamp”, Ph.D. Thesis, California Institute of Technology, United States of America, September 1995.

3

[3] E. Deng and S. Cuk, “Negative incremental impedance and stability of fluorescent lamp”, IEEE Applied Power Electronic Conference, United States of America, January 1997, Vol. 2, pp. 1050-1056, 1997.

4 [4] J. Ribas, J. M. Alonso, A. J. Calleja, E. Lopez, J. Cardesin, J. Garcia, M. Rico, “Arc stabilization in low-frequency square-wave electronic ballast for metal halide lamps”, IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition, United States of America, February 2003, Vol. 2, pp. 1179- 1184.

5 [5] K. Ogata, "Ingeniería de Control Moderna", 3ª edición, Prentice-Hall Hispanoamericana, 1998.


118

6

[6] D. C. Fromm, G. H. Lieder and K. H. Gleixner, “Investigation of the connection between plasma temperature and electrode temperature in metal-halide lamps”, J. Phys. D: Appl. Phys., July 2002, Vol. 35, pp. 1668-1680.

7

[7] N. Shu, G. M. Bone, “Experimental comparison of two pneumatic servo position control algorithms”, IEEE International Conference on Mechatronics and Automation, Canada, July-August 2005, Vol. 1, pp: 37 - 42.

8

[8] R. Verdeja, “Comparación experimental del desempeño de un filtro activo paralelo de potencia bajo la acción de controladores tipo: histéresis, proporcional-integral-derivativo y basado en pasividad”, Tesis de Maestría, Departamento de Electrónica, CENIDET, México, Diciembre 2004.


119

Capítulo 5

ESTUDIO DE UN CONTROL POR MODOS DESLIZANTES PARA UN BALASTRO NO RESONANTE

5.1 Introducción

De acuerdo con la teoría de control no lineal, el estudio de un controlador no lineal

requiere de un modelo no lineal del sistema. En consecuencia este estudio es una manera de verificar la utilidad de un modelo de un sistema. En base a esto se planteó el objetivo principal de este capítulo, el cual es verificar que el modelo no lineal para lámparas de AID propuesto en el capítulo 2, el cual se muestra en las ecuaciones (5.1) a (5.6), es útil en el área de iluminación. Para lograr esto se propone realizar un estudio de un balastro no resonante en lazo cerrado empleando una estrategia de control no lineal. El balastro seleccionado es el que se muestra en el capítulo 3. El diagrama esquemático de este balastro se muestra en figura 5.1. La estrategia de control no lineal seleccionada es modos deslizantes.

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2

34

1gB T tL

L g gL

v tR T t B T t e

i t− −= =

(5.1)

( ) ( )( ) ( ) ( )1L gg g v

g g g


−= −

(5.2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 1 2

1 1 1

g vv v v

v g v v x


− −= −

+

(5.3)

Capítulo 5. Estudio de un control por modos deslizantes para un balastro no resonante

120

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 1 2 2

2 1 2 2

v v v v a

v v x v v a


− −= −

+ +

(5.4)

( ) ( )( ) ( ) ( )L L g L Lq t T t v t i tη= (5.5)

( )( ) ( )4

3g

BT t

L gT t B eη−

= (5.6)

Vcd

Minv1 Minv2

Minv3 Minv4

Ls

Cr

Lámpara

Lr

LR

CRDR

MR

Convertidor Reductor Inversor + circuito de encendido+ lámpara de AID


Se utilizó la estrategia de control por modos deslizantes debido a que es una

estrategia sencilla de implementarse físicamente. Además de acuerdo con las referencias [1-6] esta estrategia de control ha dado buenos resultados en convertidores cd-cd, como por ejemplo buena respuesta dinámica y robustez ante cambios en los parámetros del sistema.

La metodología empleada para el estudio de un balastro no resonante en lazo

cerrado empleando una estrategia de control por modos deslizantes es la siguiente [6]:

Obtener el modelo del sistema, Proponer la superficie de deslizamiento, Verificar la existencia del modo de deslizamiento, Realizar un análisis de estabilidad.

5.2 Modelado del sistema

Para facilitar el modelado del sistema, primero se llevaron a cabo algunas simplificaciones en la etapa de potencia del balastro propuesto, el cual se muestra en la figura 5.2 (a). Estas simplificaciones se presentan a continuación.

Con respecto al circuito de encendido, el cual opera cerca de la frecuencia de

resonancia (130 kHz) durante un periodo muy corto (≅ 400 μs), y después cambia su modo de operación a estado estacionario. Para lograr esto se cambió la frecuencia de encendido de 130 kHz por la frecuencia en estado estacionario, la cual es de 300 Hz. En estas


121

condiciones la impedancia del circuito de encendido es despreciable. Por lo tanto, se eliminó esta impedancia del circuito mostrado en la figura 5.2 (a), con lo cual se obtuvo el circuito equivalente mostrado en la figura 5.2 (b).

Con respecto al inversor puente completo. De acuerdo con la teoría de la Electrónica

de Potencia, un inversor puente completo no altera la respuesta dinámica de las formas de ondas de corriente y voltaje proporcionadas por la fuente de alimentación, en nuestro caso esta fuente es el convertidor Reductor. Esto se debe a que el inversor no emplea elementos pasivos, como por ejemplo capacitores ó inductores, los cuales pueden distorsionar estas formas de ondas. Por lo tanto, se eliminó el inversor puente completo del circuito mostrado en la figura 5.2 (b), con lo cual se obtuvo el circuito equivalente mostrado en la figura 5.2 (c).

Otra simplificación realizada está relacionada con los interruptores de estado sólido.

De acuerdo con la hoja de especificaciones de los interruptores de estado sólido más empleados en el área de iluminación, como por ejemplo el transistor de potencia IRF840 y el diodo de potencia MUR860, la resistencia serie de estos componentes es muy pequeña. El valor típico de esta resistencia se encuentra en el orden de las milésimas de Ohms. Por lo tanto, en el circuito mostrado en la figura 5.2 (c) se reemplazaron estos componentes por un interruptor ideal u(t), con lo cual se obtuvo el circuito equivalente mostrado en la figura 5.2 (d). Es importante recordar que la carga del balastro es la lámpara de AID, la cual está representada por el modelo propuesto en el capítulo 2.

El circuito equivalente mostrado en la figura 5.2 (d) es útil para desarrollar el

modelo matemático del balastro propuesto en variables de estado. Para realizar esto es necesario recordar los modos de funcionamiento del convertidor Reductor, los cuales están relacionados con las dos posiciones del interruptor u(t). Estas posiciones son u(t) = 1 y u(t) = -1. Para cada posición del interruptor u(t) existe un circuito eléctrico equivalente ó estructura, lo cual se muestra en la figura 5.3. Cada estructura tiene un comportamiento diferente, lo cual se describe a continuación:

Cuando u(t) = 1 el inductor LR, el capacitor CR y la resistencia RL(Tg(t)) están

recibiendo energía de la fuente Vcd. Cuando u(t) = -1, el inductor LR y el capacitor CR están proporcionando energía a la

lámpara y la fuente Vcd está desconectada del circuito. Las dos estructuras asociadas a la posición del interruptor u(t) tienen modelos

matemáticos diferentes entre si. Ambos modelos representan el comportamiento del sistema para intervalos de tiempo diferentes. La unión de ambos modelos durante un período de conmutación T proporciona el modelo matemático completo del sistema, el cual se muestra en las ecuaciones (5.7) y (5.8). En el apéndice D se muestra el desarrollo completo del modelo matemático del sistema en variables de estado.


122

Figura 5.2 Simplificaciones del balastro: (a) etapa de potencia completa, (b) sin circuito de encendido, (c) sin inversor, (d) utilizando un interruptor ideal y considerando el modelo de

la lámpara de AID.


123

CR RL(Tg(t))

LR

u(t)= -1

Vcd RL(Tg(t))

LR

CR

u(t)= 1

(a)

(a)

(b) Figura 5.3 Estructuras de un convertidor Reductor.

( ) ( ) ( )2 2

CR cd cdLR

R R R

v t V Vi t u tL L L

= − + +& (5.7)

( ) ( ) ( )( )( )

LR CRCR

R R L g

i t v tv t

C C R T t= −&

(5.8)

Donde: LR es el inductor del convertidor Reductor (H), CR es el capacitor del convertidor Reductor (F), iLR(t) es la corriente en el inductor LR en función del tiempo t (A), vCR(t) es el voltaje en el capacitor CR en función del tiempo t (V). Vcd es la fuente de alimentación del convertidor Reductor (V), ( ) ( ) y LR CRi t v t& & son las derivadas de las variables iLR(t) y vCR(t).

Es importante mencionar que la ecuación (5.8) está en función de la resistencia equivalente de la lámpara RL(Tg(t)). El comportamiento de esta resistencia está representado por el modelo propuesto para lámparas de AID (ecuaciones (5.1) a (5.6)).

Por lo tanto el modelo del sistema completo está representado por la unión de la ecuaciones (5.7) y (5.8) y las ecuaciones (5.1) a (5.6). A modo de resumen a continuación se muestran las ecuaciones del modelo completo del sistema:

( ) ( ) ( )2 2

CR cd cdLR

R R R

v t V Vi t u tL L L

= − + +& (5.9)

( ) ( ) ( )( )( )

LR CRCR

R R L g

i t v tv t

C C R T t= −&

(5.10)

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2

34

1gB T tL

L g gL

v tR T t B T t e

i t− −= =

(5.11)

( ) ( )( ) ( ) ( )1L gg g v

g g g


−= −

(5.12)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 1 2

1 1 1

g vv v v

v g v v x


− −= −

+

(5.13)


124

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 1 2 2

2 1 2 2

v v v v a

v v x v v a


− −= −

+ +

(5.14)

( ) ( )( ) ( ) ( )L L g L Lq t T t v t i tη= (5.15)

( )( ) ( )4

3g

BT t

L gT t B eη−

= (5.16)

En base al modelo del sistema completo mostrado en las ecuaciones (5.9) a (5.16),

se realizó un estudio del sistema en lazo cerrado por medio de la estrategia de control por modos deslizantes, lo cual se muestra a continuación en las siguientes secciones. 5.3 Superficie de deslizamiento

De acuerdo con la referencia [7], para estabilizar la corriente en una lámpara de AID iL(t) es necesario cerrar el lazo de control retroalimentando esta corriente. En base a esto se propuso la superficie deslizamiento σ, la cual está en función de la corriente iL(t), esta superficie se muestra a continuación:

( )( )L Lrs i t iσ = − (5.17)

Donde: s es el parámetro de ajuste del controlador, iLr es la referencia de corriente para la corriente iL(t).

De acuerdo con las referencias [1-6], para realizar los estudios de existencia del

modo de deslizamiento, es necesario expresar la función σ en función de las variables de estado. Para realizar esto en la ecuación (5.17) primero debemos expresar la corriente iL(t) en función de las variables vCR(t) y RL(Tg(t)). Para hacer esto se empleó la ley de Ohm, con lo cual se tiene la ecuación (5.18).

( ) ( )( )( )

CRL

L g

v ti t

R T t=

(5.18)

El siguiente paso fue sustituir la ecuación (5.1) en la ecuación (5.18), con lo cual se

obtiene lo siguiente:

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )2

34

1g

CR CRL

B T tL gg

v t v ti t

R T t B T t e− −= =

(5.19)

Por último, se sustituyó la ecuación (5.19) en la ecuación (5.17), con lo cual se

obtiene la ecuación (5.20), esta ecuación muestra la superficie σ en función de las variables de estado del sistema, las cuales son vCR(t) y Tg(t).


125

( )( ) ( )2

34

1g

CRLr

B T tg

v ts i

B T t eσ

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.20)

La superficie de deslizamiento y la ley de control u(t) se relacionan por medio de la siguiente ecuación [1-6]:

( )1 0

sgn1 0

u tσ

σσ<⎧

= − = ⎨− >⎩

(5.21)

En base a la ley de control u(t) y la superficie deslizamiento σ propuesta se definió el diagrama de bloques del sistema con el control por modos deslizantes propuesto, el cual se muestra en la figura 5.4.

Figura 5.4 Diagrama de bloques del sistema con el control por modos deslizantes

propuesto.

Utilizando la superficie de deslizamiento propuesta, se realizó un análisis de existencia del modo de deslizamiento. Este análisis se muestra a continuación en la siguiente sección. 5.4 Análisis de existencia del modo de deslizamiento

El análisis de la existencia del control por modos deslizantes es útil para estimar el

rango de valores del parámetro s, para el cual el sistema converge al punto de operación. Este análisis se basa en verificar si se cumple la condición 0σσ <& [1-6], ó en forma similar, deben cumplirse las siguientes condiciones:


126

Si 0σ < entonces 0σ >& y u(t) = 1. Si 0σ > entonces 0σ <& y u(t) = -1. En el apéndice E se muestra el análisis de existencia completo del sistema. El

resultado de este análisis fue s > 0. Una vez que se conoce el rango de valores del parámetro s, el siguiente paso es

verificar si el sistema en lazo cerrado es estable, lo cual se muestra en la siguiente sección. 5.5 Análisis de estabilidad

En esta sección se muestran los análisis de estabilidad del sistema balastro-lámpara propuesto para conocer si el sistema es estable en lazo abierto y en lazo cerrado. Se realizaron dos análisis de estabilidad del sistema empleando el teorema de Lyapunov. El primer análisis se muestra en la sección 5.5.1 y está basado en el segundo método de Lyapunov, el cual emplea el modelo no lineal del sistema, este análisis fue realizado por medio de las gráficas de la función de Lyapunov, debido a la alta complejidad del sistema para encontrar una solución analítica. El segundo análisis se muestra en la sección 5.5.2 y está basado en el primer método de Lyapunov, el cual emplea el modelo del sistema linealizado, este análisis fue realizado en forma analítica. 5.5.1 Análisis de estabilidad gráfico del sistema utilizando el modelo no lineal del

sistema

El segundo método de Lyapunov determina la estabilidad de un sistema sin resolver las ecuaciones de estado. Esto ofrece una gran ventaja porque por lo general, es muy difícil resolver las ecuaciones de estado no lineales y/o variantes con el tiempo [7-8]. Sin embargo este método tiene la desventaja de no tener una metodología sencilla y sistemática para proponer la función de Lyapunov. Esto se debe a que algunos sistemas no lineales son muy complejos, sobre todo aquellos sistemas que se representan por medio de ecuaciones trascendentales, por ejemplo, los sistemas que emplean una lámpara de AID. Estas ecuaciones suelen ser tan complicadas que deben resolverse por métodos numéricos. En consecuencia el análisis de estabilidad de estos sistemas es tan complicado, que por si sólo constituyen un trabajo de tesis de doctorado.

Por otro lado es necesario recordar que el presente trabajo de investigación está

enmarcado dentro del área de iluminación, en la cual se prefiere métodos de análisis sencillos y sistemáticos que faciliten el estudio de los sistemas balastro-lámpara.

En base a esto se desarrolló un método gráfico, el cual es sencillo y sistemático,

basado en el segundo método de Lyapunov. Este método es útil para determinar la estabilidad de los sistemas balastro-lámpara. El procedimiento para realizar este análisis es el siguiente [7-8]:


127

Modelar el sistema. Trasladar el punto de operación al origen. Proponer una función de Lyapunov. Obtener la derivada de la función de Lyapunov. Verificar la estabilidad del sistema por medio a la derivada de la función de

Lyapunov. 5.5.1.1 Modelado del sistema

Para simplificar el análisis de estabilidad se utilizó el circuito en variables

promediadas del convertidor Reductor [10], el cual se muestra en la figura 5.5. El modelo matemático en variables de estado de este circuito se muestra en las ecuaciones (5.22) y (5.23). De acuerdo con la referencia [10], las variables promediadas son el promedio de las variables que están en función del tiempo. La principal ventaja de estas variables es que eliminan los efectos de las conmutaciones, lo cual facilita los análisis. En consecuencia el modelado de un sistema en base a variables promediadas es válido a una frecuencia de conmutación infinita ó muy alta. En el caso del control por modos deslizantes se tiene una frecuencia de conmutación teóricamente infinita. Por lo tanto, es válido utilizar esta técnica de modelado en el sistema propuesto.

1 1

LRp CRp p cdR R

i v VL L

μ= − +&

(5.22)

( )1 1 CRp

CRp LRpR R Lp gp

vv i

C C R T= −&

(5.23)

Donde: iLRp es la corriente promediada en el inductor LR (A),

vCRp es el voltaje promediado en el capacitor CR (V), RLp(Tgp) es la resistencia promediada de la lámpara (Ω), μp es la ley de control promediada.

pVcd

LR

CR RLp(Tgp)iLRp +

vCRp-

Figura 5.5 Diagrama esquemático del convertidor Reductor con variables promediadas.

Si el modelo del convertidor Reductor está en función de las variables promediadas,

entonces el modelo completo de la lámpara también debe estar en función de las variables promediadas, lo cual se muestra en las ecuaciones (5.24) a (5.30).


128

( ) ( ) ( )23

41

gp

BT t

Lp gp gpR T B T t e−=(5.24)

( ) ( )11 1

gp Lp gp v pg g g

T t q T TC C R

= − −& (5.25)

( )Lp p gp Lpq T pη= (5.26)

( ) ( )4

3gp

BT t

p gpT B eη =(5.27)

( )2

CRpLp

Lp gp

vp

R T=

(5.28)

( ) ( ) ( )1 1 1 21 1 1

1 1v p gp v p v p v p

v g v v x

T T T T TC R C R R

= − − −+

&

(5.29)

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 22 1 2 2

1 1v p v p v p v p a

v v x v v a

T T T T TC R R C R R

= − − −+ +

&

(5.30)

Donde: qLp es la fuente calor promediada en el arco de descarga (W), ηp(Tgp) es la eficiencia térmica promediada, Tgp es la temperatura promediada del gas de relleno (oC), Tv1p es la temperatura promediada del envase de aluminio policristalino (oC), Tv2p es la temperatura promediada del envase de vidrio de cuarzo (oC), Ta es la temperatura promediada del medio ambiente (oC), pLp es la potencia promediada en la lámpara (W).

Para realizar el análisis de estabilidad es necesario definir el valor la ley de control promediada μp del sistema en lazo abierto y cerrado. Cuando el sistema está en lazo abierto la ley de control promediada μp tiene un valor constante, lo cual se muestra en la ecuación (5.31) [10].

CRpp

cd

va

Vμ = =

(5.31)

De acuerdo con los datos experimentales, el voltaje en la lámpara (vCRp) en condiciones nominales a una potencia pLp = 70 W es de 87.32 V y el voltaje de entrada (Vcd) del convertidor reductor es de 180V. Por lo tanto el valor de la ley de control promediada μp es el siguiente:

87.32 0.49180pμ = =

(5.32)

Cuando el sistema está en lazo cerrado y la variable retroalimentada es la corriente

promediada en la lámpara (iLp) la ley de control promediada (μp) es igual a un parámetro de ajuste (s) por el error de corriente (eiLp) promediado, lo cual se muestra a continuación en la siguiente ecuación:


129

( )p iLp Lp Lprse s i iμ = = − (5.33)Donde:

( )CRp

LpLp gp

vi

R T= (A), (5.34)

iLRpr es la referencia de corriente para iLRpr (A). Substituyendo la ecuación (5.34) en la ecuación (5.33) se obtiene lo siguiente:

( )CRp

p iLp LprLp gp

vse s i

R Tμ

⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.35)

En base al valor de la ley de control promediada (μp) para los dos casos de estudio se obtiene el modelo del modelo del sistema para el análisis de estabilidad, el cual se muestra a continuación:

1 1LRp CRp p cd

R R

i v u VL L

= − +&

(5.36)

( )1 1 1 1CRp

CRp LRp LRp LpR R R RLp gp

vv i i i

C C C CR T= − = −&

(5.37)

( ) ( ) ( )23

41

gp

BT t

Lp gp gpR T B T t e−=

(5.38)

( ) ( )11 1

gp Lp gp v pg g g

T t q T TC C R

= − −&

(5.39)

( )Lp p gp Lpq T pη=

(5.40)

( ) ( )4

3g

BT t

p gpT B eη =

(5.41)

( )2

CRpLp

Lp gp

vp

R T=

(5.42)

( ) ( ) ( )1 1 1 21 1 1


v g v v x

T T T T TC R C R R

= − − −+

& (5.43)

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 22 1 2 2


v v x v v a


= − − −+ +

& (5.44)

a) Lazo abierto: CRprp

cd

va

Vμ = = , a es constante,

b) Control retroalimentando la corriente de la lámpara (iLp): ( )CRp

p LprLp gp

vs i

R Tμ

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.45)

En base a la teoría de control es bastante común emplear variables de desviación ó

de error en lugar de las variables originales cuando se analiza la dinámica de sistemas


130

porque las variables de desviación cambian el punto de operación nominal del sistema al origen. Esto por lo tanto facilita la aplicación del teorema de Lyapunov, esto se debe a que este teorema de Lyapunov está planteado para el análisis de sistemas en el origen. El cambio de variables en el sistema propuesto se muestra a continuación en la siguiente sección. 5.5.1.2 Trasladando el punto de operación al origen

De acuerdo con la referencia [12-13] una variable de desviación se define de la

manera siguiente:

e rx x x= − (5.46) Donde: x es una variable de estado,

xr es la referencia para x, xe es la variable de error.

Despejando la variable x de la ecuación (5.46) se obtiene la ecuación (5.47), la cual se debe sustituir en el modelo para trasladarlo al origen.

e rx x x= + (5.47) Aplicando el concepto de variable de desviación a las variables del modelo se

obtienen las siguientes ecuaciones:

LRp LRpe LRpri i i= + (5.48)

CRp CRpe CRprv v v= + (5.49)

gp gpe gprT T T= + (5.50)

1 1 1v p v pe v prT T T= + (5.51)

2 2 2v p v pe v prT T T= + (5.52) Donde: vCRpr, iLRpr, Tgpr, Tv1pr, Tv2pr son las referencias de las variables vCRp, iLRp, Tgp,

Tv1p, Tv2p, Tap. vCRpe, iLRpe, Tgpe, Tv1pe, Tv2pe son las variables de error promediadas de vCRe(t), iLRe(t), Tge(t), Tv1e(t), Tv2e(t), Tae(t).

Substituyendo las ecuaciones (5.48) a (5.52) en el modelo del sistema (ecuaciones

(5.36) a (5.45)) se obtiene las ecuaciones (5.53) a (5.62), las cuales representa el modelo del sistema trasladado al origen.


131

( )1 1LRpe CRpe CRpr p cd

R R

i v v VL L

μ= − + +&

(5.53)

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1CRpe CRpr

CRpe LRpe LRpr LRpe LRpr Lpe LprR R R RLp gpe gpr

v vv i i i i i i

C C C CR T T

+= + − = + − +

+&

(5.54)

( ) ( ) ( )23

41

gpe gpr

BT T

Lp gpe gpr gpe gprR T T B T T e− ++ = +

(5.55)

( ) ( )( )1 11 1

gpe Lp gpe gpr v pe v prg g g

T q T T T TC C R

= − + − +& (5.56)

( )Lp p gpe gpr Lpq T T pη= +

(5.57)

( )4

3gpe gpr

BT T

p gpe gprT T B eη ++ =

(5.58)

( )( )

2

CRpe CRprLp

Lp gpe gpr

v vp

R T T

+=

+

(5.59)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 2 21 1 1

1 1v pe gpe gpr v pe v pr v pe v pr v pe v pr

v g v v x

T T T T T T T T TC R C R R

= + − + − + − ++

&

(5.60)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 2 2 22 1 2 2

1 1v pe v pe v pr v pe v pr v pe v pr a

v v x v v a

T T T T T T T TC R R C R R

= + − + − + −+ +

&

(5.61)

a) Lazo abierto: p aμ = , a es constante,

b) Control retroalimentando la corriente de la lámpara (iLp): ( )CRpe CRpr

p LprLp gpe gpr

v vs i

R T Tμ

⎛ ⎞+⎜ ⎟= −⎜ ⎟+⎝ ⎠

(5.62)

En la tabla 5.1 se resumen los valores de las referencias iLRpr, vCRpr, Tgpr, Tv1pr y

Tv2pr, los cuales se calculan cuando el sistema está en el punto de operación, estos cálculos se muestran en el apéndice G.

Tabla 5.1 Referencias (Tgpr, Tv1pr, Tv2pr, vCRpr, iLRpr y μpr) del modelo trasladado al origen. Tgpr Tv1pr Tv2pr VCRpr iLRpr μpr

5363.79 oC 731.16 oC 316.77 oC 87.32 V 0.802 A 0.49

En base a las referencias [7-8], las ecuaciones del sistema trasladado al origen se substituyen en una función de Lyapunov del sistema, la cual debe estar definida en el origen. A continuación en la siguiente sección se propone una función de Lyapunov.


132

5.5.1.3 Función de Lyapunov De acuerdo con la referencia [7-8], una función de Lyapunov se define de la manera

siguiente:

Definición de función de Lyapunov: Si en una bola BR0, la función V(x) es positiva definida y tiene derivadas parciales continuas, y si las derivadas en el tiempo a través de cualquier trayectoria del sistema son semidefinidas negativas, es decir ( ) 0V x <& , entonces se dice que V(x) es una función de Lyapunov para el sistema.

La definición de Función de Lyapunov es muy sencilla pero es muy complicado

utilizarla en sistemas no lineales muy complejos, como por ejemplo los sistemas balastro-lámpara, esto se debe a que NO existe un método sencillo y sistemático que cumpla siempre con esta definición, es decir no existe un método universal para obtener una función positiva definida para cualquier sistema y que su derivada sea siempre definida negativa, esto hace del método de Lyapunov un proceso no trivial cuando se analizan sistemas no lineales muy complejos.

Otro aspecto que complica el método de Lyapunov es la restricción en las funciones.

Por ejemplo, una función definida positiva, implica que siempre es mayor o igual a cero. Por lo tanto, el método de Lyapunov no permite proponer cualquier función. Las funciones más sencillas que cumple con este requisito son las que se componen de variables de estado que están elevadas al cuadrado (representan energía). Cualquier otra función Lypunov más compleja implica un análisis matemático muy complejo ó el desarrollo de teorías matemáticas muy complicadas, las cuales fueron y siguen siendo en la actualidad tema de investigación en el área de matemáticas y de control, y que presuponen por si solas un trabajo de investigación de doctorado, el cual debe ser realizado por gente especializada en esas áreas.

Por otro lado, para un sistema físico, como por ejemplo los sistemas balastro-lámpara,

es muy útil proponer una función de Lyapunov en base a las funciones de energía de los elementos que almacenan energía, como son los capacitores e inductores. De esta forma la función de Lyapunov tiene sentido físico, esto es muy importante porque contribuye a esclarecer el modo de funcionamiento de este tipo de sistemas.

En base a lo anterior, se propone una función definida positiva mostrada en la ecuación

(5.63) basada en la energía de los elementos almacenadores de energía (LR, CR, Cg, Cv1, Cv2) del sistema. Para reducir la complejidad del análisis de estabilidad de esta función y su derivada fueron analizadas en forma gráfica empleando la definición de Lyapunov.

( ) 2 2 2 2 2Re Re 1 1 2 2

1 1 1 1 12 2 2 2 2R L p R C p g gep v v ep v v epV x L i C V C T C T C T= + + + +

(5.63)

La función escalar V(x) nos muestra la energía total del sistema. Sin embargo para

saber si el sistema es estable o no se necesita conocer cual es la razón de cambio de esta energía. Por lo tanto tenemos que obtener la derivada de esta función, lo cual se muestra en la siguiente sección.


133

5.5.1.4 Derivada de la función de Lyapunov

La derivada de la ecuación (5.63) con respecto a cualquier trayectoria se muestra en la ecuación (5.64).

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Re Re 1 2

Re Re 1 2

L p C p gep v ep v epL p C p gep v ep v ep

V x V xd dxV x V x xdt x dt xV x V x V x V x V x

i v T T Ti V T T T

∂ ∂= = =

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

& &

& & && &

(5.64)

Substituyendo la ecuación (5.63) en la ecuación (5.64) se obtiene la ecuación (5.65). ( ) Re Re Re Re 1 1 1 2 2 2R L p L p R C p C p g gep gep v v ep v ep v v ep v epV x L i i C V V C T T C T T C T T= + + + +& & & & && (5.65)

Substituyendo las ecuaciones (5.53) a (5.62) en la ecuación (5.65) se obtiene la ecuación (5.66).

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

Re Re

1 1

1 1 1 1 1 2 21

1

1 1

CRpe CRprL p CRpe CRpr p cd C p LRpe LRpr

Lp gpe gpr

gep Lp gpe gpr v pe v prg

v ep gpe gpr v pe v pr v pe v pr v pe v prg v x

v vV i v v V V i i

R T T

T q T T T TR

T T T T T T T T TR R R

μ⎛ ⎞+⎜ ⎟= − + + + + −⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ + − + − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

&

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 2 2 21 2

1 1v ep v pe v pr v pe v pr v pe v pr a

v x v a

T T T T T T T TR R R R

⎛ ⎞+ + − + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(5.66)

Donde:

( ) ( ) ( )23

41

gpe gpr

BT T


(5.67)


( )

4

3gpe gpr

BT T

p gpe gprT T B eη−

++ =(5.68)

( )( )

2

CRpe CRprLp

Lp gpe gpr

v vp

R T T

+=

+

(5.69)

a) Lazo abierto: pu a= , a es constante, b) Control retroalimentando la corriente de la lámpara (iLp):

( ) ( ) ( )CRp CRpe CRpr

p Lpr Lp Lpr LprLp gp Lp gpe gpr

v v vs i i s i s i

R T R T Tμ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(5.70)


134

Substituyendo los parámetros del modelo mostrados en la tabla 5.2 en la ecuación (5.66) se obtiene la ecuación (5.71).

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

o

o o

Re Re o

o o1C

W

o o1 1C C

W W

87.32 V87.32 V 180 V 0.8017 A

5363 C

1 5363 C 731.2 C75.36

1 1 5363 C 731.2 C75.36 6.74

CRpeL p CRpe p C p LRpe

Lp gpe

gep Lp gpe v pe

v ep gpe v pe

vV i v V i

R T

T q T T

T T T

μ⎛ ⎞+⎜ ⎟= − + + + + −⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + − + −

&

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )o o

o o1 2

o o o o2 1 2 2C C

W W

731.2 C 316.8 C

1 1 731.2 C 316.8 C 316.8 C 26 C6.74 4.73

v pe v pe

v ep v pe v pe v pe

T T

T T T T

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ + − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.71)

Donde:

( ) ( ) ( )o1850

35363 Co o 45363 C 48350 5363 C gpeT

Lp gpe gpeR T T e− +

+ = +(5.72)

( )o5363 CLp p gpe Lpq T pη= +

( ) o

1755363 Co5363 C 0.837 gpeT

p gpeT eη ++ =(5.73)

( )( )

2

o

87.32 V

5363 CCRpe

LpLp gpe

vp

R T

+=

+

(5.74)

a) Lazo abierto: pu a= , a es constante, b) Control retroalimentando la corriente de la lámpara (iLp):

( ) ( )

( )o

0.8017 A 0.8017 A

87.32 V 0.8017 A

5363 C

CRpp Lp

Lp gp

CRpe

Lp gpe

vs i s

R T

vs

R T

μ⎛ ⎞⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎜ ⎟= −⎜ ⎟+⎝ ⎠

(5.75)

Tabla 5.2. Parámetros para la función ( )V x& .

Parámetros del convertidor Reductor pLp Vcd vCRpr iLRpr

70 W 180 V 87.32 V 0.8017 A Parámetro del controlador SMC

Parámetro de ajuste s 0 a 40 en pasos de 10

Parámetros de la lámpara Rg Rv1+Rx Rv2+Ra

75.36 oC/W 6.74 oC/W 4.73 oC/W B1 B2 B3 B4

48350 1850 0.837 175 Tgpr Tv1pr Tv2pr Ta

5363 oC 731.2 oC 316.8 oC 26 oC


135

La ecuación (5.71) es muy compleja, lo cual complica en gran medida el proceso de verificar si es semidefinida negativa o no. Por lo tanto, para evitar este problema, se optó por graficar esta ecuación y mediante una inspección visual verificar si es semidefinida negativa o no. En base a esto se puede saber si el sistema es estable o no, esto se muestra a continuación en la siguiente sección. 5.5.1.5 Verificar si la derivada de la función de Lyapunov es semidefinida negativa

En esta sección se presentarán las gráficas de ( )V x& cuando el sistema está en lazo abierto (sección 5.5.1.5.1) y en lazo cerrado retroalimentando la corriente en la lámpara (sección 5.5.1.5.2). Para poder realizar estas gráficas es necesario obtener primero los valores de las variables de error (iLRpe, vCRpe, Tgpe, Tv1pe y Tv2pe), estos valores se resumen en la tabla 5.3 y la forma en que fueron calculados se muestra en el apéndice G.

Tabla 5.3 Valores de las variables de desviación. pLp (W) iLRpe (A) vCRpe (V) Tgpe (oC) Tv1pe (oC) Tv2pe (oC) 30 -4.87E-01 8.0918466 -2956.62838 -390.591887 -161.058288 35 -0.42451709 5.47988874 -2586.551 -341.702002 -140.898829240 -0.36225399 3.71007686 -2216.71492 -292.843994 -120.752514 45 -0.30052824 2.47571815 -1847.04515 -244.007956 -100.615259 50 -0.23935867 1.5999334 -1477.49487 -195.187706 -80.4845131 55 -0.17874017 0.97402006 -1108.03337 -146.379183 -60.3586029 60 -0.11865595 0.52777612 -738.639627 -97.5796104 -40.2363837 65 -5.91E-02 0.21402228 -369.298772 -48.7870254 -20.1170455 70 0 0 0 0 0 75 5.86E-02 -0.13766368 369.26474 48.7825298 20.1151919 80 0.11679986 -0.21603329 738.501569 97.5613722 40.2288633 85 0.17456179 -0.24781528 1107.71522 146.337153 60.3412721 90 0.23192694 -0.24263314 1476.90941 195.110362 80.452621 95 0.28891494 -0.20788421 1846.08711 243.881394 100.563071 100 0.34554409 -0.14932904 2215.25071 292.650562 120.672754 105 0.40183133 -7.15E-02 2584.40216 341.418125 140.781774 110 0.4577924 2.20E-02 2953.54306 390.184294 160.89022

Con las datos de las variables de error se calculó el valor de la variable ( )V x& cuando el sistema ésta en lazo abierto y cuando está en lazo cerrado retroalimentando la corriente en la lámpara, lo cual se muestra a continuación en la siguientes secciones.


136

5.5.1.5.1 Análisis de la función ( )V x& cuando el sistema está en lazo abierto En la figura 5.6 se muestra la gráfica de la función ( )V x& cuando el sistema está en lazo abierto, la cual fue obtenida con los datos mostrados en la tabla 5.3. La función ( )V x& se muestra a continuación en la ecuación (5.76).

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

o

o o

Re Re o

o o1C

W

o o1 1C C

W W

87.32 V87.32 V 180 V 0.8017 A

5363 C

1 5363 C 731.2 C75.36

1 1 5363 C 731.2 C75.36 6.74


Lp gpe

gep Lp gpe v pe

v ep gpe v pe

vV i v V i

R T

T q T T

T T T

μ⎛ ⎞+⎜ ⎟= − + + + + −⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + − + −

&

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )o o

o o1 2

o o o o2 1 2 2C C

W W

731.2 C 316.8 C

1 1 731.2 C 316.8 C 316.8 C 26 C6.74 4.73

v pe v pe

v ep v pe v pe v pe

T T

T T T T

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ + − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.76)

Donde:

( ) ( ) ( )o1850

35363 Co o 45363 C 48350 5363 C gpeT


+ = +(5.77)


( ) o

1755363 Co5363 C 0.837 gpeT

p gpeT eη ++ =(5.78)

( )( )

2

o

87.32 V

5363 CCRpe

LpLp gpe

vp

R T

+=

+

(5.79)

Lazo abierto: pu a= = 0.46 (5.80)

Las gráficas mostradas en la figura 5.6 son de la variable ( )V x& en función de las variables: a) Tgpe, b) Tv1pe, c) Tv2pe, d) vCRpe y e) iLRpe. Para mostrar que el sistema es inestable se utilizó el teorema de inestabilidad de Cetaev, el cual se muestra en el apéndice F. Como puede observarse en la figura 5.6 en todas las graficas ( )V x& >0 en una región Ωl y como V(x)>0 en esa región, entonces el punto de equilibrio 0 es inestable.

El análisis gráfico propuesto muestra que el sistema en lazo abierto es inestable. Por

lo tanto se requiere de un lazo de control para estabilizarlo, el cual se propuso retroalimentando la corriente en la lámpara. Para verificar que el sistema es estable con este control en la siguiente sección se muestra el análisis de estabilidad gráfico.


137

( )V x&

( )V x&

( )V x&

( )V x&

( )V x&

vCRpe (V)

iLRpe (A)

Tgpe (oC)

Tv1pe (oC)

Tv2pe (oC)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

l

l

l

l

l

El sistema es inestable

Figura 5.6 Gráficas de la variable ( )V x& en función de las variables: a) vCRpe, b) iLRpe, c)

Tgpe, d) Tv1pe y e) Tv2pe. 5.5.1.5.2 Análisis de la función ( )V x& cuando el sistema está en lazo cerrado

En la figura 5.7 se muestra la gráfica de la función ( )V x& , cuando el sistema está en

lazo cerrado, la cual fue obtenida con los datos de la tabla 5.3. La función ( )V x& se muestra a continuación en la ecuación (5.81).


138

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

o

o o

Re Re o

o o1C

W

o o1 1C C

W W

87.32 V87.32 V 180 V 0.8017 A

5363 C

1 5363 C 731.2 C75.36

1 1 5363 C 731.2 C75.36 6.74


Lp gpe

gep Lp gpe v pe

v ep gpe v pe

vV i v V i

R T

T q T T

T T T

μ⎛ ⎞+⎜ ⎟= − + + + + −⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + − + −

&

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )o o

o o1 2

o o o o2 1 2 2C C

W W

731.2 C 316.8 C

1 1 731.2 C 316.8 C 316.8 C 26 C6.74 4.73

v pe v pe

v ep v pe v pe v pe

T T

T T T T

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ + − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.81)

Donde:

( ) ( ) ( )o1850

35363 Co o 45363 C 48350 5363 C gpeT


+ = +(5.82)


( ) o

1755363 Co5363 C 0.837 gpeT

p gpeT eη ++ =(5.83)

( )( )

2

o

87.32 V

5363 CCRpe

LpLp gpe

vp

R T

+=

+

(5.84)

Control retroalimentando la corriente de la lámpara (iLp):

( ) ( )

( )o

0.8017 A 0.8017 A

87.32 V 0.8017 A

5363 C

CRpp Lp

Lp gp

CRpe

Lp gpe

vs i s

R T

vs

R T

μ⎛ ⎞⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎜ ⎟= −⎜ ⎟+⎝ ⎠

(5.85)

En forma similar al caso anterior, las gráficas mostradas en la figura 5.7 son de la

variable ( )V x& en función de las variables: a) Tgpe, b) Tv1pe, c) Tv2pe, d) vCRpe y e) iLRpe. Para verificar que el sistema es estable se utilizó el teorema de estabilidad local de Lyapunov que se muestra en el apéndice F. Como puede observarse en la figura 5.7, para valores de s > 0.1, las gráficas ( )V x& <0. Por lo tanto el sistema es asintóticamente estable en una bola BR0.

El análisis gráfico propuesto muestra que el sistema en lazo cerrado, en el cual se retroalimenta la corriente en la lámpara, es estable. Por lo tanto, este análisis es una herramienta útil para conocer la estabilidad del sistema balastro-lámpara. Sin embargo, es un análisis informal desde el punto de vista matemático. Consecuentemente en la siguiente sección se realizó un análisis formal del sistema por medio del primer método de Lyapunov.


139

s = 0s = 0.1

s = 1s = 10

s = 100

s = 0s = 0.1s = 1 s = 10

s = 100

s = 0s = 0.1

s = 1s = 10

s = 100

s = 0s = 0.1

s = 1s = 10

s = 100

s = 0s = 0.1

s = 1s = 10

s = 100 vCRpe (V)

iLRpe (A)

Tgpe (oC)

Tv1pe (oC)

Tv2pe (oC)

( )V x&

( )V x&

( )V x&

( )V x&

( )V x&

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

El sistema es estable a partir de s > 0.1

Bola BR0

Bola BR0

Bola BR0

Bola BR0

Bola BR0

Figura 5.7 Graficas de la variable ( )V x& en función de las variables: a) vCRpe, b) iLRpe, c)

Tgpe, d) Tv1pe y e) Tv2pe.

5.5.2 Análisis de estabilidad analítico del sistema linealizando el modelo del sistema

En esta sección se presenta el análisis de estabilidad del sistema balastro-lámpara por medio del primer método de Lypaunov, en el cual es necesario linealizar el modelo del sistema, esto se realizó por medio de la serie de Taylor, y para verificar la estabilidad del sistema se utilizó el primer método de Lyapunov y el criterio de Sylvester. En la sección 5.5.2.1 se muestra la linealización del sistema balastro-lámpara en lazo abierto y cerrado. En la sección 5.5.2.2 se presenta el análisis de estabilidad del sistema en lazo abierto y cerrado.


140

5.5.2.1 Linealización del modelo del sistema en lazo abierto y cerrado

En esta sección se presenta la linealización del modelo no lineal del sistema balastro-lámpara. Para esto se utilizó la serie de Taylor. En la sección 5.5.2.1.1 se muestra la linealización del modelo en lazo abierto y en la sección 5.5.2.2.2 la linealización del modelo en lazo cerrado. 5.5.2.1.1 Modelo lineal del sistema en lazo abierto

El método de linealización utilizado en esta sección está basado en la serie de Taylor [12-13], la cual se utiliza para aproximar una función no lineal f(x(t)) en un punto de operación xs por medio de un polinomio de orden n. Por medio de este método se encontraron las ecuaciones (5.86) a (5.90) linealizadas del sistema. El procedimiento completo de linealización se muestra en el apéndice H.

1 cdLRpe CRpe pe

R

Vi vL L

μ= − +&

(5.86)

34

2 2 251

4 4

2

1 1 1

31

4gps gpr gpr

gpr CRpr CRprCRpe LRpe CRpe gpeB B B

R T T TR R gpr R gpr

T V B Vv i v T

CC B e C B T e C B T e

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

&

(5.87)

43

4

2

4 4 4

2 2 25 51

4 4 4

3

1

2 2 23 2 3 3 4

1 1 1

1

2

3 1

4

1

gpr

gpr

gpr gpr gpr

gpr gpr gpr

BT

CRpr gprgpe CRpeB

Tg

B B BT T T

CRpr CRpr CRprgpeB B B

g gT T Tg gpr g gpr g gpr

v pg g

B e v TT v

C B e

B e v B B e v B B e vT

C RC B T e C B T e C B T e

TC R

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟

+ + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+

&

e

(5.88)

( ) ( )1 1 21 1 1 1 1 1

1 1 1 1v pe gpe v pe v pe

v g v g v v x v v x

T T T TC R C R C R R C R R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

&

(5.89)

( ) ( ) ( )

( )

2 1 22 1 2 1 2 2

2 2

1 1 1

1

v pe v pe v pev v x v v x v v a

aev v a

T T TC R R C R R C R R

TC R R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

&

(5.90)

Donde: 0 peμ =

. (5.91)


141

O bien en forma de matriz, como se muestra en la ecuación (5.92).

x Ax Bu= +& (5.92) Donde:

1

2

LRpe

CRpe

gpe

v pe

v pe

ivTxTT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

&

&

&&&

&

(5.93)

1

2

LRpe

CRpe

gpe

v pe

v pe

ivTxTT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.94)

pe

ae

uu

T⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.95)

12

21 22 23

32 33 34

43 44 45

54 55

0 0 0 00 0

0 00 00 0 0

aa a a

A a a aa a a

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.96)

12

1

R

aL

=(5.97)

21

1

R

aC

=(5.98)

34

222

1gpr

gprB

TR

Ta

C B e

= −

(5.99)

2 2

514 4

223

1 1

3

4 gpr gpr

CRpr CRprB B

T TR gpr R gpr

V B Va

C B T e C B T e

= − −

(5.100)

43

4

2

332

1

2 gpr

gpr

BT

CRpr gprB

Tg

B e v Ta

C B e

=

(5.101)


142

4 4 4

2 2 25 51

4 4 4

2 2 23 2 3 3 4

33

1 1 1

3 1

4

gpr gpr gpr

gpr gpr gpr

B B BT T T

CRpr CRpr CRprB B B


B e v B B e v B B e va


= + − −

(5.102)

34

1

g g

aC R

=

(5.103)

43

1

1

v g

aC R

=

(5.104)

( )44

1 1 1

1 1

v g v v x

aC R C R R

= − −+

(5.105)

( )45

1 1

1

v v x

aC R R

=+

(5.106)

( )54

2 1

1

v v x

aC R R

=+

(5.107)

( ) ( )55

2 1 2 2

1 1

v v x v v a

aC R R C R R

= − −+ +

(5.108)

( )2 2

0

0 00 00 0

10

cd

R

v v a

VL

B

C R R

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

(5.109)

Evaluando la ecuación (5.92) con los datos de la tabla 5.4 se obtiene la ecuación (5.110).

6

5

11

22

0 200 0 0 01 10 9181 163.6 0 0

0 4.428 10 344.4 4172 00 0 1.876 22.86 20.980 0 0 0.0149 0.0363

3

LRpeLRpe

CRpeCRpe

gpegpe

v pev pe

v pev pe

iivv XTT XTTTT

−

⎡ ⎤ − ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

+

&

&

&

&

&

6000 00 00 00 00 0.0213

pe

ae

uT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.110)


143

Tabla 5.4. Parámetros para el modelo del sistema linealizado en lazo abierto. Parámetros del convertidor Reductor

pLp Vcd vCRps iLRps 70 W 180 V 87.32 V 0.8017 A

Parámetros de la lámpara Rg Rv1+Rx Rv2+Ra B1 B2 B3 B4

75.36 oC/W 6.74 oC/W 4.73 oC/W 48350 1850 0.837 175 Cg Cv1 Cv2 Tgps Tv1ps Tv2ps

1.6 μ J/oC 7.07 m J/oC 9.92 J/oC 5363 oC 731.2 oC 316.8 oC 5.5.2.1.2 Modelo lineal del sistema en lazo cerrado Por medio de las series de Taylor se encontraron las ecuaciones (5.111) a (5.115) lnealizadas del sistema. El procedimiento completo de linealización se muestra en el apéndice H.

34

2 2 251

4 4

2

1 1 1

31 11

4

gpr gpr gpr

gpr cd CRpr CRprLRpe CRpe cd gpeB B B

R RT T Tgpr gpr

sT V V B Vi v sV T

L LB e B T e B T e

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

&

(5.111)

34

2 2 251

4 4

2

1 1 1

31

4gpr gpr gpr



T V B Vv i v T


⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

&

(5.112)

43

4

2

4 4 4

2 2 25 51

4 4 4

3

1

2 2 23 2 3 3 4

1 1 1

1

2

3 1

4

1

gpr

gpr

gpr gpr gpr

gpr gpr gpr

BT

CRpr gprgpe CRpeB

Tg

B B BT T T



v pg g

B e v TT v

C B e



TC R

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟

+ + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+

&

e

(5.113)

( ) ( )1 1 21 1 1 1 1 1


v g v g v v x v v x


⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

&

(5.114)

( ) ( ) ( ) ( )2 1 22 1 2 1 2 2 2 2

1 1 1 1v pe v pe v pe ae

v v x v v x v v a v v a

T T T TC R R C R R C R R C R R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

&

(5.115)


144

O bien en forma de matriz, como se muestra en la ecuación (5.116).

x Ax Bu= +& (5.116)

Donde:

1

2

LRpe

CRpe

gpe

v pe

v pe

ivTxTT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

&

&

&&&

&

(5.117)

1

2

LRpe

CRpe

gpe

v pe

v pe

ivTxTT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.118)

peu u= (5.119)

12 13

21 22 23

32 33 34

43 44 45

54 55

0 0 00 0

0 00 00 0 0

a aa a a

A a a aa a a

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.120)

3

4

212

1

1 1gpr

gpr cdB

R T

sT Va

LB e

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.121)

2 251

4 4

213

1 1

31

4 gpr gpr

CRpr CRprcd B B

R T Tgpr gps

V B Va sV

LB T e B T e

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.122)

21

1

R

aC

=

(5.123)

34

222

1gpr

gprB

TR

Ta

C B e

= −

(5.124)

2 2

514 4

223

1 1

3

4 gpr gpr

CRpr CRprB B

T TR gpr R gpr

V B Va

C B T e C B T e

= − −

(5.125)


145

43

4

2

332

1

2 gpr

gpr

BT

CRpr gprB

Tg

B e v Ta

C B e

=

(5.126)

4 4 4

2 2 25 51

4 4 4

2 2 23 2 3 3 4

33

1 1 1

3 1

4

gpr gpr gpr

gpr gpr gpr

B B BT T T

CRpr CRpr CRprB B B




= + − −

(5.127)

34

1

g g

aC R

=

(5.128)

43

1

1

v g

aC R

=

(5.129)

( )44

1 1 1

1 1

v g v v x

aC R C R R

= − −+

(5.130)

( )45

1 1

1

v v x

aC R R

=+

(5.131)

( )54

2 1

1

v v x

aC R R

=+

(5.132)

( ) ( )55

2 1 2 2

1 1

v v x v v a

aC R R C R R

= − −+ +

(5.133)

( )2 2

00001

v v a

B

C R R

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

Evaluando la ecuación (5.116) con los datos de la tabla 5.4.

6

5

11

22

0 200 339.5 5.891 0 0 01 10 9181 163.6 0 0 0

0 4.428 10 344.4 4172 00 0 1.876 22.86 20.980 0 0 0.0149 0.0363

LRpeLRpe

CRpeCRpe

gpegpe

v pev pe

v pev pe

ii s svv XTT XTTTT

−

⎡ ⎤ − − − ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= +−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

&

&

&

&

&

00

0.0213

aeT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.134)

Con los modelos lineales del sistema en lazo abierto y en lazo cerrado, se puede

analizar la estabilidad del sistema en lazo abierto y cerrado, empleando los métodos tradicionales, los cuales se presentan a continuación en la siguiente sección.


146

5.5.2.2 Análisis de estabilidad del sistema en lazo abierto y cerrado

En esta sección se presenta el análisis de estabilidad del sistema balastro-lámpara linealizado. Para esto se utilizó el primer método de Lyapunov y el criterio de Sylvester [8]. En la sección 5.5.2.2.1 se muestra el análisis de estabilidad del sistema en lazo abierto, y en la sección 5.5.2.2.2 el análisis de estabilidad del sistema en lazo cerrado. 5.5.2.2.1 Análisis de estabilidad en lazo abierto del sistema linealizado Para realizar el análisis de estabilidad se utilizó el primer método de Lyapunov. La teoría relacionada con este método se encuentra en la referencia [8].

De acuerdo con la referencia [8], la matriz P del sistema en lazo abierto es la que se muestran en la ecuación (5.135).

-7

-7

5

69014 -5x10 31.09 5280.1 -13678-5x10 0.0384 0.00079 -0.0088 -0.111331.086 0.00079 0.014 2.3847 -6.185280 -0.0088 2.385 434.6 -1170

-13678 -0.1113 -6.18 -1170 6.771x10

P

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.135)

Para probar si P es definida positiva, verificamos los determinantes de los menores

principales sucesivos como se muestra en las ecuaciones (5.136) a (5.140).

1det 69014 69014P = = (5.136)-7

2 -7

69014 -5x10det 2648

-5x10 0.0384P = =

(5.137)

-7

-73

69014 -5x10 31.09det -5x10 0.0384 0.00079 0.1427

31.086 0.00079 0.014P = =

(5.138)

-7

-7

4

69014 -5x10 31.09 5280.1-5x10 0.0384 0.00079 -0.0088

det 4.25131.086 0.00079 0.014 2.38475280 -0.0088 2.385 434.6

P = =

(5.139)

-7

-7

65

5

69014 -5x10 31.09 5280.1 -13678-5x10 0.0384 0.00079 -0.0088 -0.1113

det -2.89x1031.086 0.00079 0.014 2.3847 -6.185280 -0.0088 2.385 434.6 -1170

-13678 -0.1113 -6.18 -1170 6.771x10

P = =

(5.140)


147

En base al criterio de Sylvester el sistema balastro-lámpara en lazo abierto es inestable porque el último cofactor mostrado en la ecuación (5.140) es negativo. Es importante resaltar que este análisis coincide con el análisis gráfico mostrado en la sección 5.5.1.5.1, y con el fenómeno real. Para completar los análisis de estabilidad del balastro propuesto en la siguiente sección se muestra el análisis del sistema en lazo cerrado. 5.5.2.2.2 Análisis de estabilidad en lazo cerrado del sistema linealizado

Incrementando el parámetro s a partir de cero se encontró que la matriz P del sistema es semidefinida positiva para s ≥ 0.017. En la ecuación (5.141) se muestra el valor de la matriz P para s = 0.017.

-7

-7

5

3445 -5x10 1.513 39.271 2166-5x10 0.03827 0.000792 -0.00545 -0.0007451.5133 0.000792 0.000734 0.018116 1.00639.27 -0.00545 0.0181 3.525 299.92166 -0.000745 1.006 299.9 1.73x10

P

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.141)

En forma similar al caso anterior, se probó la definida positiva de P verificando los

determinantes de los menores principales sucesivos como se muestra en las ecuaciones (5.142) a (5.146).

1det 3445 3445P = = (5.142)

-7

2 -7

3445 -5x10det 131.8

-5x10 0.03827P = =

(5.143)

-7

-73

3445 -5x10 1.513det -5x10 0.03827 0.000792 0.007

1.5133 0.000792 0.000734P = =

(5.144)

-7

-7

4

3445 -5x10 1.513 39.271-5x10 0.03827 0.000792 -0.00545

det 0.02131.5133 0.000792 0.000734 0.01811639.27 -0.00545 0.0181 3.525

P = =

(5.145)

-7

-7

5

5

3445 -5x10 1.513 39.271 2166-5x10 0.03827 0.000792 -0.00545 -0.000745

det 31391.5133 0.000792 0.000734 0.018116 1.00639.27 -0.00545 0.0181 3.525 299.92166 -0.000745 1.006 299.9 1.73x10

P = =

(5.146)


148

En base al criterio de Sylvester el sistema balastro-lámpara en lazo cerrado es asintóticamente estable porque todos los cofactores son positivos. Otra vez, es importante resaltar que este análisis coincide con el análisis gráfico mostrado en la sección 5.5.1.5.2, y con el proceso real. Los análisis de estabilidad realizados tanto el grafico como el analítico mostraron que el sistema balastro-lámpara en lazo abierto es inestable y que en lazo cerrado retroalimentando la corriente en la lámpara es estable. Por lo tanto, el siguiente paso es simular el sistema en lazo cerrado para buscar un valor óptimo del parámetro s, esto se muestra en la siguiente sección. 5.6 Diseño de la etapa de control En esta sección se muestra el proceso de sintonización del controlador por modos deslizantes propuesto. Por simplicidad, este proceso se llevó a cabo mediante simulaciones del modelo no lineal del sistema-balastro lámpara, en el cual se empleo el modelo completo para lámparas de AID propuesto en el capítulo 2, el cual se muestra en la figura 5.9.

De acuerdo con el análisis de existencia el valor de s debe ser mayor que cero y de acuerdo con el análisis de estabilidad el valor de s debe ser mayor o igual a 0.017. En base a estos resultados, se simuló el modelo del sistema en Simulink, el cual se muestra en la figura 5.8, con los datos de la tabla 5.5. En esta simulación, se incrementó el valor de s hasta obtener la mejor respuesta en la corriente de la lámpara (iL(t)) ante un cambio de corriente del valor mínimo (0.4 A) valor máximo (0.8 A). De esta forma se encontró que el sistema tuvo su mejor desempeño a s ≥ 1, esto puede observarse en la figura 5.9, la cual fue tomada para diferentes valores de s (0.1, 1, 5 y 10).

Figura 5.8. Diagrama esquemático del balastro con el control por modos deslizantes

propuesto en Simulink.

Las gráficas de la corriente iL(t) para s ≥ 1 son muy similares. La causa de este fenómeno es el inductor LR del convertidor Reductor, el cual limita la respuesta transitoria de la corriente en la lámpara limitando el tiempo de respuesta a un valor mínimo. Por lo tanto, no importa que tan buena respuesta dinámica posea una estrategia de control no


149

lineal como el control por modos deslizantes, en esta topología la respuesta transitoria de la corriente iL(t) está limitada por el valor de la inductancia LR. Por lo tanto se selecciono un valor de s = 5 para asegurar que el sistema tenga una buena respuesta dinámica.

Figura 5.9. Respuesta en la corriente de la lámpara (iL(t)) ante un cambio de corriente .

Tabla 5.5. Parámetros para la simulación del sistema de la figura 5.8.

Parámetros del convertidor Reductor LR RLR CR RCR Vcd

5 mH 0.52 Ω 1 μF 0.019 Ω 180 V Parámetros del controlador SMC

s

H

Voltaje de encendido del comparador de

histéresis

Voltaje de apagado del comparador de

histéresis 0.1, 1 y 10 9.387 100e-3 V 0V

Parámetros de la lámpara Rg Rv1+Rx Rv2+Ra B1 B2 B3

75.36 oC/W 6.74 oC/W 4.73 oC/W 48350 1850 0.837 B4 Cg Cv1 Cv2

175 1.6 μJ/oC 7.07 m J/oC 9.92 J/oC Parámetros de la simulación

Tiempo de simulación (ts) Tamaño máximo paso de simulación 200 ms 0.25e-6

Conociendo todos los datos del sistema balastro-lámpara, el siguiente paso es la simulación e implementación física del sistema, lo cual se muestra en la siguiente sección.


150

5.7 Simulaciones y resultados experimentales 5.7.1 Simulaciones

En esta sección se presentan las simulaciones en Simulink del balastro propuesto con un control por modos deslizantes, en el cual se retroalimenta la corriente en la lámpara, estas simulaciones están en condiciones de régimen permanente y con variaciones de la corriente en la lámpara. En base a estos resultados se muestra el buen funcionamiento del sistema balastro-lámpara. 5.7.1.1 Simulaciones en estado estacionario

En esta sección se presentarán los resultados de simulación del balastro para una s =

5. En las figura 5.10 se muestran las formas de ondas del voltaje vL(t) y la corriente iL(t), las cuales son cuadradas, simétricas, de baja frecuencia y con un valor eficaz constante. Por lo tanto el comportamiento del sistema balastro es estable. Asimismo con estas formas de ondas se elimina el fenómeno de las resonancias acústicas en la lámpara.

Figura 5.10 Simulaciones en Simulink a potencia nominal (70W) en estado estacionario.


151

5.7.1.2 Simulaciones variando la corriente en la lámpara Se realizó una simulación de un cambio en la corriente iL(t) de 0.4 A a 0.8 A, lo cual

se muestra en la figura 5.11. En esta figura se observa que el sistema tiene una buena respuesta dinámica.

iL(t), At, s

vL(t), V



t, s

iL(t), A

t, s

vL(t), V



t, s

Figura 5.11 Simulaciones en Simulink variando a corriente en la lámpara iL(t). 5.7.2 Resultados experimentales

En esta sección se presentan los resultados experimentales del balastro propuesto. El diagrama esquemático fue realizado en el programa Orcad, este diagrama se muestra en la figura 5.12. En la tabla 5.6 se muestra la lista de partes de este diagrama. Es importante mencionar que la señal PWM se realiza dentro del microcontrolador.

Para explicar el funcionamiento de los circuitos mostrados en la figura 5.12 es

necesario emplear el diagrama de flujo mostrado en la figura 5.13. Se observa en este diagrama que el convertidor Reductor, el cual se muestra en la figura 5.13 (a), es el primer circuito que empieza a operar. Para lograr esto el microcontrolador que se muestra en la figura 5.13 (b), envía un cero a la terminal C-R-2 del impulsor IR2110 del convertidor Reductor, el cual se muestra en la figura 5.13 (a). El siguiente paso es cargar el capacitor CR del convertidor Reductor. Para hacer esto el microcontrolador envía un tren de pulsos a la terminal C-R-1 del impulsor IR2110 del convertidor Reductor. El siguiente paso es habilitar el inversor puente completo, lo cual se consigue haciendo que el microcontrolador envíe un cero a la terminal C-I-b de los impulsores IR2110 del inversor, los cuales se muestra en la figura 5.13 (c). Lo siguiente es encender la lámpara, esto se logra alimentando al circuito de encendido mostrado en la figura 5.13 (d) con una señal cuadrada de alta frecuencia. Para conseguir esto, el microcontrolador mostrado en la figura 5.13 (b) envía un tren de pulsos con una frecuencia de 130 KHz a las terminales C-I-a y C-I-c de los impulsores IR2110 del inversor. Por último se cambia al modo de operación a estado estacionario. Para lograr esto el microcontrolador cambia la frecuencia de operación de 130 KHz a 300 Hz, lo cual se consigue aplicando un tren de pulsos de 300 Hz a las terminales C-I-a y C-I-c de los impulsores IR2110 del inversor.


152

VB-

CR1u

C-R-2

Etapa de potencia

0

De la f uente de cdLR5m

1 2

C-R-1MRIRFP460

VB-0

DRMUR860

Vcc

C-R-2

ir 21

10

IRr17654321

89

1011121314

HOVBVS

N/CVCCCOM

LO


De la f uente de cdC-R-1

0

CRi1100u


RRi112

R-I-1

R-I-2

Al inversor

CRi210 uF

Impulsor

DRi1D1N4937


(a)


Rm82.2k

SN74LS07

5 6

0U5

LM311 7

2

3 1OUT

+

- GVcc

C-R-2

0

Xm1

20MEG

Etapa deacondicionamientode señal

0

0

-Vcc

Rc3

50k

Generador de señal PWM

Vcc

C-I-a

Rc250K

Ra110K

Vcc

0

Configuración de 5A

SN74LS07

9 8

Vcc

Ra3560K

7407

11 10

0

0

C-I-c

Etapa de sensado de lacorriente en la lámpara

0

Rm4100

Superficie de deslizamiento

+5V

TL082

5

6

7+

-

OUT

Cm215p

Rm72.2k

+5V

Vcc

CLN-25

Current sensor

123

456789

10111213

o/p+-

c1c2c3c4c5c6c7c8c9c10

Rs150

Rc1500K C-R-1

SN74LS07

1 2

Sistema mínimo basado en un microcontrolador

TL082

3

2

1+

-

OUT

Swm1

Vcc

Al inversor

0

Rm52.2k

Rm82.2k

0


Rm62.2k

Rm310k

Ro1

560


PIC

16F

876

123456789

1011121314 15

16171819202122232425262728

MCLR#/Vpp/THVRA0/AN0RA1/AN1RA2/AN2/VREF-RA3/AN3/VREF+RA4/TOCKLRA5/AN4/SS#VssOSC1/CLKINOSC2/CLKOUTRC0/T1OSO/T1CK1RC1/T1OSL/CCP2RC2/CCP1RC3/SCK/SCL RC4/SD1/SDA

RC5/SDORC6/TX/CKRC7/RX/DT

VSSVDD

RB0/INTRB1RB2

RB3/PGMRB4RB5

RB6/PGCRB7/PGD

Dm1D1N4148

C-I-b

Cm115p

VccSN74LS07

3 4

(b)

0

Mi4IRFP460

Rii312

Etapa de potencia


ir 21

10

IRi27654321

891011121314

HOVBVSN/CVCCCOMLO

N/CVDDHINSDLIN

VSSN/C

C-I-a

Impulsor

0

Rii212

Dii1D1N4937

Rii412Mi2IRFP460

0

Dii2D1N4937

Cii4 10u

Cii110u

ir 21

10

IRi17654321

89

1011121314

HOVBVS

N/CVCCCOM

LO


Vcc

Cii210u

C-I-c


Impulsor

Mi3IRFP460

A lalámpara

I-E-1

C-I-b

R-I-1

R-I-2

C-I-a

0

Al circuitode control0

Al circuitodeencendido

Vcc

Rii112

I-L-1

Mi1IRFP460

C-I-b

Cii110u

C-I-c


(c)

Al inversor

Ls

TE

Cr 10nF Al inversor

I-E-1

I-L-1

CDM-TD 70WLr

(d)

Figura 5.12 Diagrama esquemático del balastro electrónico con un control por modos deslizantes: (a) convertidor Reductor, (b) etapa de control, (c) inversor puente completo, (d) circuito de

encendido más lámpara.


153

Tabla 5.6 Lista de partes para la implementación física del balastro propuesto. Lista de partes del convertidor Reductor

Etapa de potencia LR CR Diodo (DR)

5 mH 1 μF MUR860 Transistor (MR)

IRFP460 Impulsor





Etapa de acondicionamiento de señal Resistencia del amplificador de acondicionamiento de señal Ra1 Resistencia del amplificador de acondicionamiento de señal Ra2

10 KΩ 100 KΩ Etapa de control por modos deslizantes

Resistencia del amplificador del controlador Rc1


Resistencia de la referencia de corriente del controlador Rc3

500 KΩ 50 KΩ 50 KΩ

Comparador de señal Circuito comparador Resistencia de salida del comparador Ro1

LM311 560 Ω Sistema mínimo basado en un microcontrolador

Microcontrolador Capacitores para la frecuencia de oscilación del microcontrolador Cm1 y Cm2

Cristal para la frecuencia de oscilación del microcontrolador Xm1

PIC16F876 15 pF OSC-20MHZ Interruptor para el circuito de

encendido del microcontrolador Sw1 Diodo para el circuito de encendido

del microcontrolador Resistencia para el circuito de

encendido del microcontrolador Rm3 BTS-09 D1N4248 10 KΩ

Resistencia para el circuito de encendido del microcontrolador Rm4

Circuito acondicionador de salidas del microcontrolador




IRFP460Impulsor



Lista de partes del circuito de encendido y lámpara utilizada Capacitor Cr Inductancia del primario del





154

En base al diagrama de flujo de la figura 5.13 se desarrolló el diagrama de flujo de la figura 5.14, el cual sirvió para la programación del microcontrolador mostrado en la figura 5.12 (b). En base al diagrama de flujo de la figura 5.14 se realizo un programa en el lenguaje ensamblador del PIC16F876 el cual se muestra en el apéndice B.

Figura 5.13. Diagrama de flujo del funcionamiento del balastro propuesto.


155

Figura 5.14 Diagrama de flujo para la programación del microcontrolador.


156

Con base en el balastro propuesto se realizaron las siguientes pruebas experimentales, con lo cual se comprobó su buen funcionamiento.

5.7.2.1 Resultados experimentales en estado estable

En forma similar a los resultados de simulación mostrados en la sección 5.5.1. En la figura 5.15 se puede observar que la forma del voltaje vL(t) y la corriente iL(t) son prácticamente cuadradas con un valor eficaz constante. Por lo tanto, el comportamiento del sistema es estable.

Figura 5.15 Resultados experimentales a potencia nominal (70 W).

5.7.2.2 Resultados experimentales variando la corriente en la lámpara

En forma similar a los resultados de simulación, se realizó una prueba de un cambio en la corriente iL(t) de 0.4 A a 0.8 A, la cual se muestra en la figura 5.16. En esta figura se observa que el sistema tiene una respuesta dinámica rápida.

Figura 5.16 Resultados experimentales variando la corriente en la lámpara iL(t).


157

5.7.3 Comparación entre los resultados de simulación y experimentales

En la figura 5.17 se muestra la comparación entre los resultados de simulación y los experimentales. El índice de desempeño utilizado es el error cuadrático medio, el cual se calcula con la ecuación (5.147) [14, 15]. El error cuadrático medio es una opción viable para comparar curvas que tienen datos negativos y positivos de la variable de error, porque se evita la cancelación de estos datos y con esto se obtiene una comparación adecuada de las curvas [15], este es el caso de las gráficas mostradas en la figura 5.17. En esta figura se observa que los errores cuadráticos para el voltaje EcvL y para la corriente EciL tienen valores pequeños. Por lo tanto los resultados de simulación son similares a los resultados experimentales. En consecuencia el modelo del sistema balastro-lámpara simula adecuadamente el proceso real.

( )

( )

2

1

1

n

r

c

A AE

n n

−=

−

∑

(5.147)


Ar es son los resultados experimentales.

Figura 5.17 Comparación entre los resultados experimentales y los resultados de

simulación.


158

5.8 Conclusiones

En este capítulo se presentó el estudio de un control por modos deslizantes aplicado a un balastro no resonante. La etapa de control retroalimenta la corriente en la lámpara para estabilizar el sistema. Los resultados obtenidos de este estudio muestran que el comportamiento del sistema es estable con este control, esto pudo comprobarse en simulación y en el sistema real. Por lo tanto, el modelo de lámparas de AID propuesto es útil para estudiar el comportamiento de sistemas balastro-lámpara. Se realizó un análisis de estabilidad del sistema en lazo abierto y en lazo cerrado en base a los métodos de Lypaunov. El primer método emplea la versión lineal del modelo del sistema. Este método se aplicó al sistema linealizado, y se desarrollo en forma analítica. El segundo método emplea el modelo no lineal del sistema. Este método también se aplicó al sistema propuesto, y se desarrolló en forma gráfica debido a la alta complejidad del sistema. Ambos métodos muestran si el sistema es estable o no. Sin embargo el método gráfico es mucho más sencillo que el método analítico pero es menos formal. Por lo tanto se recomienda hacer un análisis previo del sistema por medio del método gráfico y complementarlo con el método analítico. Los resultados experimentales y de simulación del sistema fueron satisfactorios, los cuales mostraron que este sistema tiene una buena respuesta dinámica en la prueba de escalón de corriente. Sin embargo la respuesta transitoria del sistema está limitada por el inductor LR del convertidor Reductor, el cual limita el tiempo de respuesta del sistema a un valor mínimo. En consecuencia el sistema diseñado con base en la estrategia de control por modos deslizantes no presenta mejoras significativas para valores de s ≥ 1 debido a que se ha alcanzado el mínimo tiempo de respuesta del sistema. El análisis comparativo entre los resultados experimentales y los de simulación del sistema mostró que ambos resultados son muy similares. Por lo tanto el modelo del sistema representa adecuadamente el proceso real. En consecuencia es útil para el estudio de balastros electrónicos. En especial aquellos que utilicen una etapa de control en lazo cerrado, como por ejemplo los balastros no resonantes.


159

5.9 Referencias

1 [1] V. I. Utkin, “Sliding modes and their application in variable structure systems”, MIR Publishers, Moscow, 1974.

2 [2] V. I. Utkin, “Variable structure systems with sliding modes”, Transactions on Automatic Control, April 1977, Vol. 22, No. 2, pp. 212-222.

3

[3] R. A. DeCarlo, S. Zack, G. P. Mattews, “Variable structure control of nonlinear multivariable systems: a tutorial”, proceedings of the IEEE, Vol. 76, No. 3, March 1988, pp. 212-232.

4 [4] J. Y. Hung, W. Gao, J. C. Hung, “Variable structure control: a survey”, IEEE Transactions on Industrial Electronics, February 1993,Vol. 40, No. 1, pp. 2-18.

5

[5] P. Mattavelli, L. Rossetto, G Spiazzi, “General purpose sliding mode controller for dc/dc converter applications”, Power Electronics Specialists Conference, United States of America, June 1993, pp. 609-615.

6

[6] N. Vázquez, C. Hernández, R. Cano, J. Antonio, E. Rodríguez, J. Arau, “An efficient single-switch voltage regulator”, Power Electronics Specialists Conference, Ireland , June 2000, Vol. 2, pp. 811 -816.

7 [7] E. Deng, “I. Negative incremental impedance of fluorescent lamp”, Ph.D. Thesis, California Institute of Technology, Pasadena, 1995.

8 [8] K. Ogata, "Ingeniería de control moderna", 3ª edición. Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, 1998.

9 [9] J.J.E. Slotine, and W. Li, “Applied nonlinear control”, Prentice-Hall, 1991. 10

[10] H. Sira-Ramirez, R. A. Perez-Moreno, R. Ortega, G. Esteban, “Passivity-based controllers for the stabilization of dc-to-dc power converter”, Conference on decision and Control, United States of America, December 1995, Vol. 4, pp.3471 –3476.

11 [11] S. S. Ang, “Power Switching Converter”, Ed. Marcel Deker. New York. 1995. 12

[12] C. A. Smith, A. B. Corripio, “Control automático de procesos: teoría y práctica”, Limusa Noriega Editores, 2000.

13 [13] A. Flores, “Linealización de funciones no lineales”, Universidad Iberoamericana, 2006.

14

[14] N. Shu, G. M. Bone, “Experimental comparison of two pneumatic servo position control algorithms”, IEEE International Conference of Mechatronics and Automation, ICMA’2005, Vol. 1, 29 July-1 August 2005, pp: 37 - 42.

15



160


161

Capítulo 6

ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE UN CONTROL

POR MODOS DESLIZANTES Y UN CONTROL LINEAL 6.1 Introducción

En este capítulo se presenta la comparación de los controladores propuestos en los capítulos 4 y 5. La comparación se realizó de dos maneras:

Comparación del número de componentes utilizados en la implementación física de los controladores.

Comparación del desempeño de los controladores. En la comparación del número de componentes se muestra por separado los

componentes que son comunes en ambos controladores y los componentes que son diferentes. De esta forma fue posible verificar cual de los controladores emplea menos componentes.

Capítulo 6. Análisis comparativo entre un control por modos deslizantes y un control lineal

162

La comparación del desempeño de los controladores, se realizó vía simulación y resultados experimentales, del balastro propuesto con un control por modos deslizantes y un control PI clásico. Para medir la eficiencia de los controladores se usó el error cuadrático medio Ec, el cual se muestra en la ecuación (6.1) [1,2]. El error cuadrático medio es una opción viable para comparar curvas que tienen datos negativos y positivos de la variable de error, porque se evita la cancelación de estos datos y con esto se obtiene una comparación adecuada de las curvas [1], éste es el caso de las gráficas obtenidas para el balastro propuesto. Además se emplean los índices de desempeño típicos utilizados en una prueba de tipo escalón unitario, los cuales son: tiempo de subida tr, tiempo de establecimiento ts y máximo sobreimpulso Mp [1,2].

( )

( )

2

1

1

−=

−

∑n

r

c

A AE

n n

(6.1)


Ar es la señal de referencia, n es el número de datos.

6.2 Comparación del número de componentes utilizados

en la implementación física de los controladores

En esta sección se presentan la comparación de los controladores propuestos con respecto al número de componentes electrónicos utilizados en su implementación física. Para esto en la tabla 6.1 se presentan los componentes electrónicos que son comunes a ambos balastros y en la tabla 6.2 se presentan los componentes que son diferentes.

Como puede observarse en la tabla 6.2 el control por modos deslizantes ocupa menos

componentes que el control PI. En particular el comparador LM311 es más común y económico que el circuito TL494. Por lo tanto el control por modos deslizantes es ligeramente más económico que un control PI, esto puede observarse en la tabla 6.3, la cual muestra el costo de los componentes de cada etapa de control, y la diferencia de costos entre ambos controladores [3], todo en pesos mexicanos. Sin embargo está diferencia en los costos de los controladores no es significativa, por lo que en forma práctica ambos controladores tienen un costo muy similar. En consecuencia por el lado de costos no se puede determinar en forma contundente que un controlador sea mejor que el otro.

Otro aspecto que podemos comparar en los controladores, es su desempeño ante el

seguimiento de una referencia sinusoidal, y ante una prueba del tipo escalón de corriente, estas pruebas se llevaran a cabo en las secciones 6.2 y 6.3. En la sección 6.2 se presentan las simulaciones y en la sección 6.3 se presentará los resultados experimentales.


163

Tabla 6.1 Lista de partes para la implementación física que son comunes en los balastros propuestos.

Lista de partes del convertidor Reductor Etapa de potencia

LR CR Diodo (DR) 5 mH 1 μF MUR860

Transistor (MR) IRFP460 Impulsor





Etapa de acondicionamiento de señal Resistencia del amplificador de acondicionamiento

de señal Ra1 Resistencia del amplificador de acondicionamiento

de señal Ra2 10 KΩ 100 KΩ

Sistema mínimo basado en un microcontrolador Microcontrolador Capacitores para la frecuencia de

oscilación del microcontrolador Cm1 y Cm2

Cristal para la frecuencia de oscilación del microcontrolador

Xm1 PIC16F876 15 pF OSC-20MHZ

Interruptor para el circuito de encendido del microcontrolador

Sw1

Diodo para el circuito de encendido del microcontrolador

Dw1

Resistencia para el circuito de encendido del microcontrolador

Rm3 BTS-09 D1N4248 10 KΩ

Resistencia para el circuito de encendido del microcontrolador

Rm4

Circuito acondicionador de salidas del microcontrolador




IRFP460 Impulsor



Lista de partes del circuito de encendido y lámpara utilizada Capacitor Cr Inductancia del primario del





164

Tabla 6.2 Lista de partes para la implementación física que son diferentes en los balastros propuestos.

Etapa de control por modos deslizantes Resistencia del amplificador

del controlador Rc1 Resistencia del amplificador

del controlador Rc2 Resistencia de la referencia de corriente del controlador

Rc3 500 KΩ 50 KΩ 50 KΩ

Circuito comparador Resistencia de salida del comparador Ro1

LM311 560 Ω

Etapa de control PI



Capacitor del amplificador del controlador C2

500 KΩ 50 KΩ 10 nF

Resistencia de la referencia de corriente del controlador

Rc3

Resistencia limitadora de ciclo de trabajo del

controlador Rc4

50 KΩ 50 KΩ

Circuito generador de señal PWM

Capacitor para la frecuencia de oscilación Cp1

Resistencia para la frecuencia de oscilación Rp1

TL494 1 nF 100 KΩ Resistencia push pull Rp2

560 Ω

Tabla 6.3 Costos de un control por modos deslizantes y un control PI.

Tipo de componente

Control por modos deslizantes Control PI

Cantidad Precio por unidad

Subtotal Cantidad Precio por unidad

Subtotal

TL494 0 0 0 1 4.35

4.35

LM311 1 3.4 3.4 0 0 0

Resistencia de carbón de ½ W

4 0.43

1.72 4 0.43

1.72

Capacitor cerámico

0 0 0 1 1.7 1.7

TOTAL 3.83 7.77 Diferencia de costos: 7.77-3.83 = 3.94, a favor del control por modos deslizantes, lo

cual implica un ahorro del 50.7% en la etapa de control.


165

6.3 Comparación del desempeño de los controladores

Para comprobar el desempeño de los controladores en el balastro propuesto el cual se muestra en la figura 6.1, se realizaron las siguientes pruebas:

Seguimiento a la referencia tipo sinusoidal, Prueba de escalón de corriente en la lámpara.


Los resultados muestran el comportamiento del balastro propuesto con una referencia

de corriente sinusoidal, y la prueba de escalón muestra el comportamiento de la corriente en la lámpara, con la finalidad de apreciar el desempeño de los controladores. En la prueba con una referencia sinusoidal se usa el error cuadrático medio EC para conocer la desviación que existe entre la corriente de referencia iLr y la corriente en la lámpara iL(t), esto con la finalidad de saber qué controlador hace que el balastro reproduzca de mejor forma la referencia iLr. En la prueba de escalón de corriente en la lámpara se observan: tiempo de subida tr (para conocer qué controlador es más rápido), el sobre impulso Mp y el tiempo de establecimiento ts. 6.3.1 Simulaciones

6.3.1.1 Seguimiento a una referencia tipo sinusoidal

En la figura 6.4, se muestra la corriente de referencia (iLr) sinusoidal, la corriente en la lámpara (iL(t)) con los dos controladores (PI y SMC) y la señal de error que se genera entre estas dos señales (ei(t) = iLr - iL(t)). El error cuadrático medio para la señal de error utilizando el controlador PI es de ECPI = 8.021e-5 y para el control SMC es ECSMC = 8.33e-6. Se observa que ECSMC < ECPI y por lo tanto el control por modos deslizantes tiene un desempeño ligeramente superior en el seguimiento de la referencia tipo sinusoidal que el control PI. Sin embargo, la diferencia entre ambos errores de corriente es del orden de las millonésimas de ampere, por lo que desde el punto de vista práctico esta diferencia no es


166

apreciable por el usuario. En consecuencia esta simulación no muestra en forma terminante que controlador es mejor que otro.

.

Control PI

Control SMC

8.021e-5CPIE =

8.33e-6CSMCE =

iL(t)

iLpr

ei(t)

ei(t)

t, s

t, s

i L(t)

, iLr

, ei(t

), (A

)i L

(t), i

Lr, e

i(t),

(A)

(a)

(b)

iLpr

iL(t)

Figura 6.2 Respuesta del balastro propuesto usando como corriente de referencia una onda

sinusoidal.


167

6.3.1.2 Prueba de escalón de corriente en la lámpara

A continuación se muestran los resultados obtenidos en el seguimiento de una referencia de corriente de tipo escalón con los controladores propuestos (SMC y PI). Este tipo de referencia se usa con el objetivo de observar cuál de los controladores mencionados anteriormente presenta un mejor desempeño, para esto se utilizan los índices de desempeño: tiempo de subida tr, tiempo de establecimiento ts y el máximo sobreimpulso Mp.

En la figura 6.5 se muestra la corriente de referencia iLr, la corriente en la lámpara iL(t) con los controlador PI y SMC. Se observa que en ambos controladores que el tiempo de subida (trSMC y trPI) es de aproximadamente 138 μs y el tiempo de establecimiento (tsSMC y tsPI) es aproximadamente de tsSMC = 410 μs con un máximo sobreimpulso (MpSMC y MpPI) aproximado del 25%. Se observa que el desempeño de ambos controladores es muy similar, siendo el control por modos deslizantes el que se establece ligeramente más rápido que el control PI, lo cual no es suficiente para concluir que el controlador SMC es mejor que el control PI, debido a que la diferencia entre ambos controladores es mínima.

Los índices de desempeño en ambos controladores son muy similares debido al

convertidor Reductor, el cual tiene un tiempo de establecimiento mínimo que depende del valor del inductor LR. Esta limitante ocasiona que el control por modos deslizantes no pueda mejorar significativamente los índices de desempeño del control PI. Esto se debe a que se ha alcanzado el tiempo de respuesta mínimo del sistema. Estos puede corroborarse observando las gráficas de la leyes de control promediado del control PI μPI y del control SMC μSMC de la figura 6.5, las cuales son muy similares no obstante que el control SMC realiza un gran esfuerzo por mejorar la respuesta de la corriente iL(t), este esfuerzo del controlador SMC se observa en la alta frecuencia de la señal de control uSMC(t).

Figura 6.3 Respuesta a un escalón de corriente del balastro propuesto bajo la influencia de

los controladores SMC y PI.


168

En la tabla 6.5 se muestra el resumen de las pruebas realizadas, en la cual se observa que ambos controladores, en forma práctica, tienen un desempeño similar.

Tabla 6.4 Resultados de simulación del desempeño de los controladores para los

parámetros: Ec,tr, ts y Mp. Controlador Error cuadrático

medio Ec, A

Tiempo de subida

rt , s

Tiempo de establecimiento

St , s

Máximo sobreimpulso

pM , %

PI 8.021 e-5 138 μ 410 μ 25 %

SMC 8.33 e-6 138 μ 408 μ 25 %

6.3.2 Resultados experimentales

6.3.2.1 Seguimiento a la referencia tipo sinusoidal

En la figura 6.4, se muestra la referencia de corriente iLr sinusoidal, la corriente en la lámpara iL(t), con los dos controladores PI y SMC, y la señal de error que se genera entre estas dos señales ei(t) = iLr - iL(t). El error cuadrático medio para la señal de error utilizando el controlador PI es ECPI = 3.07e-4 y para el control SMC es 3.23e-4CSMCE = . El seguimiento a este tipo de referencia es satisfactorio. Sin embargo, al igual que en las simulaciones los resultados obtenidos no muestran en forma contundente cual de los dos controladores es mejor, esto debido a que las diferencia en el desempeño de ambos controladores es mínima.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

t (s)

IL, I

Lr, e

i (A

)

IL

ILr

ei

Control PI

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

t (s)

IL, I

Lr, e

i (A

)

ILr

IL

ei

Control SMC

(a) (b)

iL(t) iLpr iLpr

i L(t)

, iLr

, ei(t

), (A

)

ei(t)

i Lam

p(t),

i Lam

pr, e

i, (A

)

ei(t)

3.07e-4CPIE = 3.23e-4CSMCE =

iLp(t)

t, s t, s

Figura 6.4 Respuesta del balastro propuesto usando como corriente de referencia una onda

sinusoidal.


169

6.3.2.2 Prueba de escalón de corriente en la lámpara

A continuación se muestran los resultados experimentales obtenidos en el seguimiento a una corriente de referencia tipo escalón con los controladores propuestos (SMC y PI). En la figura 6.5 se muestra la referencia de corriente iLr, la corriente en la lámpara iL(t). Se observa en esta figura que los tiempos de subida trSMC y trPI son aproximadamente de 120 μs, y que los tiempos de establecimiento tsSMC y tsPI son aproximadamente de 400 μs con un máximo sobreimpulso MpSMC y MpPI aproximado del 35%. Los resultados son satisfactorios porque la corriente en la lámpara se mantuvo estable durante esta prueba debido a la buena respuesta dinámica de ambos controladores. Sin embargo, al igual que en las simulaciones los resultados obtenidos no muestran en forma contundente cual de los dos es mejor, esto debido a que otra vez las diferencia en el desempeño de ambos controladores es mínima.

PI

SMC

Referencia

tr=120 us

tr

ts=400 us

Mp=35%

Figura 6.5 Respuesta a un escalón de corriente del balastro propuesto bajo la influencia de

los controladores SMC y PI.

En la tabla 6.5 se muestra el resumen de las pruebas experimentales realizadas, en la cual se corrobora que ambos controladores tienen un buen desempeño:


170

Tabla 6.5 Resultados experimentales del desempeño de los controladores para los parámetros: Ec,tr, ts y Mp.

Controlador Error cuadrático medio Ec, A

Tiempo de subida

rt , s

Tiempo de establecimiento

St , s

Máximo sobreimpulso

pM , %

PI 3.07 e-4 120 μ 400 μ 35

SMC 3.23 e-4 120 μ 400 μ 35

6.4 Conclusiones

El presente análisis de resultados mostró que ambos controladores SMC y PI tienen una implementación física sencilla y además tienen un buen desempeño en general en el balastro propuesto. Los análisis se realizaron en base a la comparación del número de componentes utilizados en la implementación física de cada controlador, y mediante los resultados de simulación y resultados experimentales del desempeño de cada controlador.

Las pruebas experimentales y de simulación fueron de seguimiento de una referencia

sinusoidal y de tipo escalón de corriente. Los índices de desempeño fueron el error cuadrático medio, tiempo de subida, tiempo de establecimiento y máximo sobreimpulso.

Los resultados en la comparación de componentes electrónicos empleados en la

construcción de prototipos para los controladores SMC y PI mostraron que el controlador SMC es ligeramente menos voluminoso y menos costoso que el controlador PI. Sin embargo está diferencia es mínima, con lo cual no se puede concluir en forma decisiva cual de los dos controladores es mejor.

Los resultados de simulación mostraron que el control SMC tiene un desempeño

ligeramente mejor al desempeño que el control PI, y que el esfuerzo del control por modos deslizantes es mayor que el esfuerzo del control PI. Sin embargo, el controlador SMC no logró superar en forma contundente el desempeño del controlador PI, debido las limitantes en el tiempo de respuesta que impone el inductor LR del convertidor Reductor. Por lo tanto, los esfuerzos, en corriente de ambos controladores son muy similares. En consecuencia, tampoco existe una diferencia significativa entre los controladores con respecto a la disminución de pérdidas en los semiconductores. Sin embargo, en general ambos controladores tienen un buen desempeño, esto se debe a que ambos controladores logran estabilizar la corriente en la lámpara con una buena respuesta dinámica. Además se obtiene formas de ondas cuadradas con lo cual se elimina el fenómeno de las resonancias acústicas.

Por lo tanto, en base a los resultados obtenidos se observa que ambos controladores

son una buena opción para controlar el sistema propuesto. Esto debido a la sencillez de su implementación física y su buena respuesta dinámica. Sin embargo los resultados de la comparación entre ambos controladores no muestran diferencias significativas. En consecuencia no se puede concluir en forma categórica cual de los dos controladores es


171

mejor. Por lo tanto para fines prácticos se puede emplear cualquiera de las dos estrategias de control en el balastro propuesto. 6.5 Referencias

1


2


3

[3] http://www.agelectronica.com.


172


O-1

Conclusiones

En este trabajo de investigación el objetivo principal fue el desarrollo de un modelo no lineal para lámparas de AID. Las características de este modelo fueron seleccionadas para ayudar al estudio de sistemas de iluminación basados en balastros electrónicos, sobre todo se recomienda para el estudio de balastros donde es indispensable un modelo del sistema balastro-lámpara, como por ejemplo los balastros electrónicos no resonantes. El modelo incluye conceptos de física moderna, en particular de la física relacionada con plasmas. Debido a esto, el modelo propuesto tiene una base científica sólida. El modelo también es sencillo de utilizar debido a que sólo incorpora las variables necesarias para su uso en el área de iluminación, estas variables son la resistencia equivalente de la lámpara y su temperatura. Otra ventaja del modelo es la facilidad para extraer y estimar sus parámetros pues sólo se requiere de equipo convencional, como por ejemplo un osciloscopio, para extraer unos parámetros, como por ejemplo el voltaje y la corriente en la lámpara, y ecuaciones ó métodos sencillos para estimar otros, como por ejemplo las capacitancias y resistencias térmicas de la lámpara.

Para verificar que el modelo propuesto representa adecuadamente el comportamiento de las lámparas de AID, se realizó un proceso de validación en forma cualitativa y cuantitativa. Para realizar la validación cualitativa se empleó el conocimiento de un grupo de expertos en el área de iluminación, los cuales valoraron el modelo de acuerdo a su experiencia en esta área. Para realizar la validación cuantitativa se empleó un método de validación estadístico que utiliza pruebas de hipótesis, como por ejemplo la prueba F y la prueba t. Los resultados obtenidos fueron satisfactorios pues el modelo representa adecuadamente el proceso real y en particular las variables de resistencia equivalente de la lámpara y su temperatura. Con la finalidad de comprobar la funcionalidad del modelo en el estudio de balastros electrónicos se desarrolló un balastro electrónico no resonante. El balastro electrónico no resonante seleccionado se compone de las siguientes partes: a) un convertidor Reductor cuya función principal es limitar la corriente de descarga en la lámpara, b) un inversor puente completo cuya función principal es alimentar a la lámpara con formas de ondas de corriente y voltaje cuadradas, simétricas y de baja frecuencia, y por último c) un circuito de encendido basado en una red resonante y un transformador.

Para verificar que la versión lineal del modelo es una herramienta útil en el diseño de la etapa de control del balastro seleccionado, se utilizó la estrategia de control clásica para diseñar la etapa de control. El tipo de controlador seleccionado fue un control PI, el cual elimina el error en estado estacionario y presenta cierto grado de inmunidad al ruido. La metodología de diseño empleada es sencilla y eficiente, la cual se basa en un análisis por medio de los diagrama de Bode y de Nyquist de la impedancia de salida del convertidor Reductor y de la resistencia equivalente de la lámpara linealizada. En base a esta metodología se diseñó el control PI propuesto, este diseño se implementó en el simulador Simulink y también se implementó físicamente. Los resultados de simulación y experimentales fueron satisfactorios pues se logró estabilizar la corriente de descarga en la

Conclusiones

O-2

lámpara y adicionalmente se logró una buena respuesta dinámica en una prueba de tipo escalón de corriente. Sin embargo obtener una buena respuesta dinámica en un balastro electrónico no representa una ventaja para los usuarios porque el ojo humano es muy lento y no puede percibir una mejora en escalas de tiempo en el orden de los microsegundos.

Para verificar que la versión no lineal del modelo es una herramienta útil en el

diseño de la etapa de control del balastro seleccionado utilizando estrategias de control no lineal, se seleccionó a modo de ejemplo, la estrategia de control no lineal por modos deslizantes (SMC) para diseñar la etapa de control. Esta estrategia de control se caracteriza por su sencillez, robustez ante cambios en los parámetros del sistema y buena respuesta dinámica. Con estas características se puede obtener una etapa de control que haga del balastro un sistema más sencillo y eficiente y de a los usuarios un sistema de iluminación de alta calidad.

En el caso particular del análisis de estabilidad se realizaron dos tipos de análisis

empleando los dos métodos de Lyapunov. El primer método se compone de todos los procedimientos en los cuales se usa la forma explícita de la solución de las ecuaciones diferenciales de un sistema para el análisis. Si las ecuaciones no lineales de un sistema no tienen una solución explicita entonces el sistema puede linealizarse para encontrar estas soluciones. El proceso de linealizar sistemas no lineales es importante, porque esto permite aplicar numerosos métodos de análisis lineal que proporcionen información acerca del comportamiento de los sistemas no lineales, aunque dicho análisis es sólo válido en una región cercana al punto de operación. El sistema balastro-lámpara no tienen una solución explicita debido a su alta complejidad matemática causado por la existencia de funciones trascendentales como la función exponencial y por el número elevado de variables de estado. Por lo tanto para realizar el análisis de estabilidad por medio del primer método de Lyapunov se empleó la versión lineal del sistema. El método de linealización empleado se basó en las series de Taylor.

El segundo método de Lyapunov determina la estabilidad de un sistema sin resolver

las ecuaciones de estado. Esto ofrece una gran ventaja porque por lo general, es muy difícil despejar las ecuaciones de estado no lineales y/o variantes con el tiempo. Sin embargo, la dificultad de este método radica en proponer una función de energía de Lyapunov para el sistema, la cual es una función que esta restringida porque debe cumplir con requerimientos que son difíciles de verificar, este problema es más difícil de solucionar cuando el modelo del sistema tiene funciones transcendentales y muchas variables de estado, como por ejemplo, las funciones exponenciales del sistema balastro balastro-lámpara propuesto. En base a lo anterior, este análisis se realizó en forma gráfica porque de esta forma no se tiene que demostrar analíticamente que el sistema es estable lo cual es muy difícil. En lugar de esto, mediante una inspección de las gráficas de la función de Lyapunov y su derivada se deduce si el sistema es estable o no.

Los resultados obtenidos en el estudio del control por modos deslizantes fueron

satisfactorios y en particular los resultados obtenidos del análisis de estabilidad realizado con los dos métodos de Lypaunov debido a que predicen si el sistema es estable o no, lo cual pudo corroborarse vía simulación y vía resultados experimentales. Los resultados


O-3

obtenidos en el sistema propuesto son los siguientes: a) cuando el sistema está en lazo abierto es inestable, y b) cuando el sistema está en lazo cerrado es estable.

En base a lo anterior se recomienda emplear el método gráfico debido a su sencillez

no obstante que es una herramienta informal desde el punto de vista matemático. Sin embargo si se requiere la comprobación analítica de la estabilidad del sistema se puede emplear el primer método de Lyapunov con el modelo del sistema linealizado.

Al final para complementar el trabajo de investigación se presentó un análisis

comparativo entre el desempeño de las dos etapas de control (control PI y control SMC). El resultado obtenido muestra que ambos controladores tienen desempeños muy similares. La razón de este fenómeno es el convertidor Reductor, el cual tiene un tiempo de establecimiento mínimo que depende del valor del inductor LR. Esta limitante ocasiona que el control por modos deslizantes no pueda mejorar significativamente los índices de desempeño de la corriente de la lámpara con respecto a los índices de desempeño del control PI, debido a que se ha alcanzado el tiempo de respuesta mínimo del sistema. Esto pudo corroborarse observando las gráficas de la leyes de control promediado del control PI y del control SMC, las cuales son muy similares no obstante que el control SMC realiza un gran esfuerzo por mejorar la respuesta de la corriente de la lámpara, el esfuerzo de este controlador se observa en la alta frecuencia de la señal de control sin promediar. Asimismo los resultados en la comparación de componentes electrónicos empleados en la construcción de prototipos para los controladores SMC y PI mostraron que el controlador SMC es ligeramente menos voluminoso y menos costoso que el controlador PI. Sin embargo está diferencia es mínima, con lo cual no se puede concluir en forma decisiva cual de los dos es mejor.

Por lo tanto, en base a los resultados obtenidos se observa que ambos controladores son una buena opción para controlar el sistema propuesto, esto debido a la sencillez de su implementación física y su buena respuesta dinámica. Sin embargo los resultados de la comparación entre ambos controladores no muestran diferencias significativas. En con secuencia no se puede concluir en forma categórica cual de los dos controladores es mejor. Por lo tanto para fines prácticos se puede emplear cualquiera de las dos estrategias de control en el balastro propuesto. Por último es importante mencionar que se obtuvieron formas de ondas cuadradas, simétricas y de baja frecuencia en la corriente y el voltaje en la lámpara con lo cual se eliminó el fenómeno de las resonancias acústicas.

Trabajos futuros El modelo se desarrolló con el objetivo de ayudar a los diseñadores en el estudio de

balastros electrónicos. Existen diversos estudios que se pueden hacer con el modelo debido a que existe una amplia gama de balastros electrónicos, lámparas de descarga y estrategias de control. Por ejemplo, en el caso de los balastros electrónicos no resonantes se pueden proponer diversas topologías basadas en la gran variedad de inversores y convertidores cd-cd que existen en el área de la electrónica de potencia. Este trabajo de investigación tendría

Conclusiones

O-4

como objetivo principal recopilar toda la información posible sobre estas topologías, ordenándolas de acuerdo a sus características más importantes y de esta forma tener una base de datos de su comportamiento. El siguiente paso sería realizar un estudio de las topologías que comparten elementos entre los diversos inversores y convertidores cd-cd ó entre los diversos convertidores cd-cd y la etapa de corrección del factor de potencia, haciendo de esta forma otra base de datos, las cuales serian una guía para el diseñador con la cual podría desarrollar sistemas de iluminación en una forma sistemática. Además, es muy posible que en el trayecto de desarrollar esas bases de datos se encuentren topologías de balastros no resonantes más eficientes ó más sencillas que las que existen actualmente en el estado del arte.

Otro ejemplo de estudios que son posibles de realizar con el modelo están

relacionadas con el diseño de la etapa de control con diversas estrategias de control. En particular con las estrategias que puedan implementarse en un microcontrolador, esto debido a que existen microcontroladores muy poderosos en el mercado que pueden soportar la programación de controladores que presumen ser más sofisticados y eficientes que los presentados en este trabajo de investigación.

Combinando ambos estudios y mediante un proceso de selección se puede llegar a

soluciones más eficientes y económicas para los balastros electrónicos, pues es importante recordar que el talón de Aquiles de estos balastros es precisamente su alto costo y que su punto de mayor de dificultad es precisamente el comportamiento peculiar de las lámparas de descarga.

Otros logros

Los resultados obtenidos se han sometido a evaluación para su publicación en los foros internacionales más importantes del mundo en el área de electrónica de potencia aplicada y de la academia, como lo son el IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition (APEC) y el IEEE Power Electronics Specialists Conference (PESC), además de otros foros internacionales y nacionales de prestigio. La lista completa de artículos publicados se muestra a continuación:

Publicaciones internacionales (revista)

1. R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver, V. H. Olivares, M. Juárez, “Analysis and design of discrete sliding mode control for a non resonant electronic ballast”, HAIT Journal of Science and Engineering, Vol. No.2, 2005.

2. M. Ponce, E. Flores, R. Osorio, “Analysis and design of igniters for HID lamps

fed with square waveforms”, HAIT Journal of Science and Engineering, Vol. No.2, 2005.


O-5

Publicaciones internacionales (congresos)

1. R. Osorio, M. A. Oliver, M. Ponce, M. Juárez, V. H. Olivares, S. E. Pinto, R. Katebi, M. J. Grimble, “Thermal Dynamic Model for HID Lamps with the Outer-Bulb Effetcs”, Electronics, Robotics and Automotive Mechanics Conference, CERMA’06, pp. 197-202.

2. R. Díaz, R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver, L. Aguilar, M. Juárez, V. H. Olivares,

“Constant-Frequency Limiter for a Sliding Mode Control”, Electronics, Robotics and Automotive Mechanics Conference, CERMA’06, pp. 305-308.

3. R. Osorio, M. Ponce,M. A. Oliver, S. E. Pinto, R. Katebi, M. J. Grimble, “Linear-

Thermal Model for HID lamps”, Power Electronics Specialists Conference, PESC’06, fue aceptado pero no publicado por falta de recursos económicos.

4. R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver, S. E. Pinto, R. Katebi, M. J. Grimble, “Thermal

Dynamic Model for HID Lamps with the Outer-Bulb Effetcs”, Power Electronics Specialists Conference, PESC’06, fue aceptado pero no publicado por falta de recursos económicos.

5. H. Cruz, M. I. Ramírez, E. Pérez. R. Osorio, M. A. Oliver, M. Ponce, E. Olmedo,

E. Guerrero, “Non-Resonant Ballast with Sliding-Mode Control for High-Pressure-Sodium Lamp”, Congreso Latinoamericano de Control Automático, CLCA’04, fue aceptado pero no publicado por falta de recursos económicos.

6. E. Enríquez, M. Ponce, M. Cotorogea, R. Osorio, J. M. Alonso, “HID Lamps Fed

with Square-Waveforms”, Industrial Application conference, IAS’05. 7. R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver, V. H. Olivares, M. Juárez, “Analysis and

Design of Discrete Sliding Mode Control for a Non Resonant Electronic ballast”, International Conference on Electrical and Electronics Engineering, ICEEE’04.

8. R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver, M. Juárez, V. H. Olivares, “Dynamic Behavior

Analysis using Pspice for Linear and Non-Lineal Closed Loop Controllers for Non Resonant Ballast”, International Conference on Electrical and Electronics Engineering, ICEEE’04.

9. R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver, V. H. Olivares, M. Juárez, “Thermal Dynamic

Model for HID Lamps”, International Conference on Electrical and Electronics Engineering, ICEEE’04.

10. R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver, M. Juárez, V. H. Olivares, “Simplified-

Stability Analysis of Non-Resonant Ballast”, International Conference on Electrical and Electronics Engineering, ICEEE’04, September.

Conclusiones

O-6

11. R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver, “ANALYSIS AND DESIGN OF A DIMMING CONTROL USING SLIDING MODE CONTROL STRATEGY FOR ELECTRONIC BALLAST FREE OF ACOUSTIC RESONANCES”, Applied Power Electronic Conference, APEC-04.

12. R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver, “Simplified Thermal-Electric Dynamic

Model for HID lamps”, Power Electronics Specialists Conference, PESC’04. 13. M. Ponce, E. Flores, R. Osorio, “Analysis and design of igniters for HID lamps

fed with square waveforms”, Power Electronics Specialists Conference, PESC’04.

14. R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver, “Control por Modos Deslizantes en Corriente Aplicado a un Balastro Electrónico Libre de Resonancias Acústicas”, Congreso Latinoamericano de Control Automático, CLCA’04.

15. R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver, J. Aguilar, V. H. olivares, M. Juárez, “Stability

Analysis of HID lamp and Non-Resonant Ballast Using a Non Linear Lamp Model: part 1”, Power Electronics Specialists Conference, PESC’05.

16. R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver, J. Aguilar, V. H. olivares, M. Juárez,

“Dynamic Behavior Analysis using Pspice for Linear and Non-Lineal Closed Loop Controllers for Non Resonant Ballast”, European Power Electronics Conference, EPE’05.

17. R. Osorio, M. A. Oliver, M. Ponce, S. E. Pinto, M. Juárez, R. Katebi1, MIEEE, M.

J. Grimble1, F IEEE, “Analysis and Design of Discrete-Sliding-Mode Control for a Square-Waveform-Ballast”, 44th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference ECC 2005, to be presented in december.

Publicaciones nacionales (congresos)

1. R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver , M. Juárez, V. H. Olivares, S. Pinto, R. Katebi, Member, IEEE, M. J. Grimble, Fellow, IEEE, “Lineal Control for HID Lamps”; Congreso Nacional de Control Automático, CNCA’06.

2. R. Osorio, S. E. Pinto, M. Ponce, M. A. Oliver, R. Katebi, M. J. Grimble,

“Dimming Control Using Adaptive-Fuzzy-Sliding Surface for Square-Waveform Ballast” ”, Congreso Nacional de Control Automático, CNCA’05.

3. R. Osorio, M. A. Oliver, M. Ponce, S. E. Pinto, M. Juárez, R. Katebi, “Simplified-

Stability Analysis of Square-waveform Ballast Using a Non Linear Lamp Model”, Congreso Nacional de Control Automático, CNCA’05.

4. R. Osorio, M. Ponce, M. A. Oliver, S. E. Pinto, V. H. Olivares, M. J. Grimble, R.

Katebi, “Linear-Thermal Model for HID lamps”, Congreso Nacional de Control Automático, CNCA’05.


O-7

5. Eumir D. Enríquez, Mario Ponce, M. Cotorogea, R. Osorio. “Efectos del Control

de Intensidad Luminosa en Lámparas de Alta Intensidad de Descarga Alimentadas con Formas de Onda Cuadradas”. IEEE XV Congreso Interuniversitario de Electrónica, Computación y Eléctrica, CIECE’2005, Puebla, México, Marzo de 2005.

6. Eumir D. Enríquez, Mario Ponce, M. Cotorogea, R. Osorio. “Efectos de la

Frecuencia en Lámparas de Alta intensidad de Descarga Alimentadas con Formas de Onda Cuadradas”. IEEE XV Congreso Interuniversitario de Electrónica, Computación y Eléctrica, CIECE’2005, Puebla, México.

7. Eumir D. Enríquez, Mario Ponce, M. Cotorogea, R. Osorio. “Pruebas de

Estabilidad Aplicadas a Lámparas de Alta Intensidad de Descarga Alimentadas con Formas de Onda Cuadradas”. IEEE XV Congreso Interuniversitario de Electrónica, Computación y Eléctrica, CIECE’2005, Puebla, México.

8. René Osorio Sánchez, Mario Ponce Silva, Marco Antonio Oliver Salazar, “Análisis

de Estabilidad para Lámparas de HID Utilizando un Modelo no Lineal”, Congreso Nacional de Control Automático, CNCA’04.

9. René Osorio Sánchez, Mario Ponce Silva, Marco Antonio Oliver Salazar,

“MODELOS DE LAMPARAS HID: REVISIÓN Y TENDENCIAS”, Congreso Interuniversitario de Electrónica, Computación y Eléctrica, CIECE’03.

10. René Osorio Sánchez, Mario Ponce Silva, Marco Antonio Oliver Salazar, “Balastro

Electrónico Libre de Resonancias Acústicas y con un Control por Modos Deslizantes”, Congreso Ingeniería Electrónica, CIE’03.

11. René Osorio Sánchez, Mario Ponce Silva, Marco Antonio Oliver Salazar, “Control

por Modos Deslizantes Aplicado a un Balastro Electrónico Libre de Resonancias Acústicas”, Congreso Nacional de Control Automático, CNCA’03.

Conclusiones

O-8


R-1

Referencias

Capítulo 1 [1] J. Ribas, “Control optimizado de balastros electrónicos modelado estático y dinámico de inversores resonantes y lámparas de descarga” Tesis Doctoral, Universidad de Oviedo, Gijón, Septiembre del 2002. [2] J. J. Groot and J. A. J. M. Van Vliet, “The high-pressure sodium lamp”, Editorial Macmillan Education, 1986. [3] J. Correa, “Estrategias de control en lámparas de alta presión para la eliminación de resonancias acústicas”, Tesis Doctoral, Departamento de Electrónica, CENIDET, México, Junio del 2003. [4] M. Botello, “Aplicaciones de un microcontrolador para la eliminación de resonancias acústicas en lámparas de alta presión mediante la implementación de técnicas de modulación en frecuencia”, Tesis de maestría, CENIDET, México, Julio del 2003. [5] A. López, “Balastro electrónico para lámparas de alta intensidad de descarga alimentado desde 12V y libre de resonancias acústicas”, Tesis de Maestría, Departamento de Electrónica, CENIDET, México, Septiembre del 2000. [6] E. Flores, “Estudio e implementación de un inversor no resonante como balastro electrónico para lámparas de descarga”, Tesis de maestría, Departamento de Electrónica, CENIDET, México, Febrero del 2004. [7] E. López, M. Rico-Secades, J. A. Fernández-Rubiera, J. M. Alonso, A. J. Calleja, J. Ribas, J. Cardesín, “A novel low cost two-stage electronic ballast for 250W high pressure mercury vapor lamps based on current-mode-controlled buck-boost inverter”, IEEE Applied Power Electronics Conference, United States of America, March 2001, Vol. 2, pp. 676-682. [8] M. Ponce, A. Lopez, J. Correa, J. Arau, J. M. Alonso, “Electronic ballast for HID lamps with high frequency square waveform to avoid acoustic resonance”, IEEE Applied Power Electronics Conference, United States of America, March 2001, Vol. 2, pp 658-663. [9] S. Miaosen, Q, Zhaoming, P. Fang, “Design of a two-stage low-frequency square-wave electronic ballast for HID lamps”, IEEE Transactions on Industry Applications, July-August 2003, Vol. 39, No. 2, pp. 424-430. [10] J. Ribas, J. M. Alonso, A. J. Calleja, E. Lopez, J. Cardesin, J. Garcia, M. Rico, “Arc stabilization in low-frequency square-wave electronic ballast for metal halide lamps”, IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition, United States of America, February 2003, Vol. 2, pp. 1179- 1184. [11] Y. Hu, “Analysis and design of high-intensity-discharge lamp ballast for automotive head”, Master Thesis, Virginia Polytechnic Institute, United States of America, November 2001. [12] E. Deng, “I. Negative incremental impedance of fluorescent lamp”, Ph.D. Thesis, California Institute of Technology, United States of America, September 1995.

Referencias

R-2

[13] E. Deng and S. Cuk, “Negative incremental impedance and stability of fluorescent lamp”, IEEE Applied Power Electronic Conference, United States of America, January 1997, Vol. 2, pp. 1050-1056, 1997. [14] W. Yan, S.Y.R Hui, H. Chung, “Nonlinear high-intensity discharge lamp model including a dynamic electrode voltage drop”, IEE Proceedings Science, Measurement & Technology, Vol. 150, No. 4, pp. 161 – 167. [15] M. Shvartsas, and S. Ben-Yaakov, “A SPICE compatible model of high intensity discharge lamps”, IEEE Power Electronics Specialists Conference, United States of America, July 1999, Vol. 2, 1037-1042.

Capítulo 2 [1] W. Yan, S.Y.R Hui, H. Chung, “Nonlinear high-intensity discharge lamp model including a dynamic electrode voltage drop”, IEE Proceedings Science, Measurement & Technology, Vol. 150, No. 4, pp. 161 – 167. [2] M. Shvartsas, and S. Ben-Yaakov, “A SPICE compatible model of high intensity discharge lamps”, IEEE Power Electronics Specialists Conference, United States of America, July 1999, Vol. 2, 1037-1042. [3] www.philips.com. [4] J. M. Alonso, M. A. Dalla-Costa, J. A. Martin-Ramos, “Dynamic modeling of discharge lamps through step response”, IEEE Electronics Letters, September 2005, Vol. 41, No. 19, pp. 1078 - 1080. [5] D. C. Fromm, G. H. Lieder and K. H. Gleixner, “Investigation of the connection between plasma temperature and electrode temperature in metal-halide lamps”, J. Phys. D: Appl. Phys., July 2002, Vol. 35, pp. 1668-1680. [6] C. A. Chung, “Simulation modeling handbook a practical approach”, CRC press, 2004.

Capítulo 3 [1] J. Ribas, J. M. Alonso, A. J. Calleja, E. Lopez, J. Cardesin, J. Garcia, M. Rico, “Arc stabilization in low-frequency square-wave electronic ballast for metal halide lamps”, IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition, United States of America, February 2003, Vol. 2, pp. 1179- 1184.



[4] S. Miaosen, Q, Zhaoming, P. Fang, “Design of a two-stage low-frequency square-wave electronic ballast for HID lamps”, IEEE Transactions on Industry Applications, July-August 2003, Vol. 39, No. 2, pp. 424-430.


R-3

[5] S.S. Ang, “Power-Switching Converters”, Marcel Dekker, INC, 1995.

[6] N. Mohan, T. M. Undeland, W. P. Robbin "Power electronics, converters applications and design", 2nd Edtion, John Willey & Sons, INC, 1995.

[7] M.H. Rashid, “Power electronics, circuits, devices, and applications”, 2nd edition, Prentice Hall, 1993.

Capítulo 4 [1] Y. Hu, “Analysis and design of high-intensity-discharge lamp ballast for automotive head”, Master Thesis, Virginia Polytechnic Institute, United States of America, November 2001. [2] E. Deng, “I. Negative incremental impedance of fluorescent lamp”, Ph.D. Thesis, California Institute of Technology, United States of America, September 1995. [3] E. Deng and S. Cuk, “Negative incremental impedance and stability of fluorescent lamp”, IEEE Applied Power Electronic Conference, United States of America, January 1997, Vol. 2, pp. 1050-1056, 1997. [4] J. Ribas, J. M. Alonso, A. J. Calleja, E. Lopez, J. Cardesin, J. Garcia, M. Rico, “Arc stabilization in low-frequency square-wave electronic ballast for metal halide lamps”, IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition, United States of America, February 2003, Vol. 2, pp. 1179- 1184. [5] K. Ogata, "Ingeniería de Control Moderna", 3ª edición, Prentice-Hall Hispanoamericana, 1998. [6] D. C. Fromm, G. H. Lieder and K. H. Gleixner, “Investigation of the connection between plasma temperature and electrode temperature in metal-halide lamps”, J. Phys. D: Appl. Phys., July 2002, Vol. 35, pp. 1668-1680.



Capítulo 5 [1] V. I. Utkin, “Sliding modes and their application in variable structure systems”, MIR Publishers, Moscow, 1974. [2] V. I. Utkin, “Variable structure systems with sliding modes”, Transactions on Automatic Control, April 1977, Vol. 22, No. 2, pp. 212-222. [3] R. A. DeCarlo, S. Zack, G. P. Mattews, “Variable structure control of nonlinear multivariable systems: a tutorial”, proceedings of the IEEE, Vol. 76, No. 3, March 1988, pp. 212-232.

Referencias

R-4

[4] J. Y. Hung, W. Gao, J. C. Hung, “Variable structure control: a survey”, IEEE Transactions on Industrial Electronics, February 1993,Vol. 40, No. 1, pp. 2-18. [5] P. Mattavelli, L. Rossetto, G Spiazzi, “General purpose sliding mode controller for dc/dc converter applications”, Power Electronics Specialists Conference, United States of America, June 1993, pp. 609-615. [6] N. Vázquez, C. Hernández, R. Cano, J. Antonio, E. Rodríguez, J. Arau, “An efficient single-switch voltage regulator”, Power Electronics Specialists Conference, Ireland , June 2000, Vol. 2, pp. 811 -816. [7] E. Deng, “I. Negative incremental impedance of fluorescent lamp”, Ph.D. Thesis, California Institute of Technology, Pasadena, 1995. [8] K. Ogata, "Ingeniería de control moderna", 3ª edición. Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, 1998. [9] J.J.E. Slotine, and W. Li, “Applied nonlinear control”, Prentice-Hall, 1991. [10] H. Sira-Ramirez, R. A. Perez-Moreno, R. Ortega, G. Esteban, “Passivity-based controllers for the stabilization of dc-to-dc power converter”, Conference on decision and Control, United States of America, December 1995, Vol. 4, pp.3471 –3476. [11] S. S. Ang, “Power Switching Converter”, Ed. Marcel Deker. New York. 1995. [12] C. A. Smith, A. B. Corripio, “Control automático de procesos: teoría y práctica”, Limusa Noriega Editores, 2000. [13] A. Flores, “Linealización de funciones no lineales”, Universidad Iberoamericana, 2006.

[14] N. Shu, G. M. Bone, “Experimental comparison of two pneumatic servo position control algorithms”, IEEE International Conference of Mechatronics and Automation, ICMA’2005, Vol. 1, 29 July-1 August 2005, pp: 37 - 42.


Capítulo 6



[3] http://www.agelectronica.com.

A-1

APÉNDICE A: Hojas de datos de la lámpara

B-1

Apéndice B:

Procedimiento para la validación de modelos

Apéndice B: Teoría sobre validación de modelos

B-2

B.1. Definición de las pruebas de hipótesis B.1.1. Prueba-F La prueba-F compara la varianza de un grupo de datos experimentales del sistema contra la varianza de un grupo de datos del modelo [1]. Existen varias implementaciones de la prueba-F; sin embargo el diseñador sólo necesita usar una. En esta prueba el diseñador está interesado en calcular una prueba estadística, la cual consiste en la razón de la varianza más grande dividida entre la varianza más pequeña. No es importante si la varianza menor ó mayor proviene del grupo de datos experimentales del sistema ó del modelo. El resultado de esta prueba es comparado contra el valor F crítico a un nivel particular de significado estadístico. Un valor común del significado estadístico común es α = 0.01, 0.05 ó 0.1. El diseñador puede adquirir el valor F crítico usando las tablas estadísticas disponibles o utilizando la función inversa F. Además del nivel de significado, el diseñador también debe especificar el número de grados de libertad para la varianza en el numerador y en el denominador. Hay diversas formas para implementar la prueba-F. La versión presentada aquí requiere que la varianza más grande del grupo de datos sea el numerador, y que la varianza menor del grupo de datos sea el denominador. Con esto se pueden simplificar los cálculos. La fórmula para utilizar la prueba-F es:

M

m

VFV

= (B.1)

Donde: VM es la varianza mayor entre las varianzas de los grupos de datos

experimentales y teóricos considerando una sola variable, Vm es la varianza menor es la varianza mayor entre las varianzas de los grupos de datos experimentales y teóricos considerando una sola variable, F es la prueba estadística F.

Los pasos involucrados en la implementación de la prueba-F son:

Hipótesis nula, las varianzas de ambos grupos son iguales, Hipótesis alternativa, las varianzas de ambos grupos no son iguales, Selección del nivel de significado, Determinar el valor crítico de F en un nivel de significado específico, Calcular la prueba estadística F de acuerdo con la ecuación (B.1), Rechazar la hipótesis nula si la prueba estadística excede el valor crítico.


B-3

B.1.1. Prueba-t independiente La prueba-t independiente es utilizada cuando los datos son normales y cuando los grupos de datos tienen una varianza similar, esta prueba determinara si hay una diferencia significativa estadística entre el modelo y el sistema real. Para llevar a cabo esta prueba, es necesario calcular la media y la desviación estándar de ambos grupos de datos. El procedimiento es el siguiente:

Hipótesis nula: la media de ambos grupos es igual, Hipótesis alternativa: la media de ambos grupos no es igual, Seleccionar el nivel de significado, Determinar el valor crítico para t. Calcular la prueba estadística t de acuerdo con la ecuación (B.2), Rechazar la hipótesis nula si la prueba estadística excede el valor crítico positivo o

es menor que el valor crítico negativo.

La ecuación para calcular la prueba estadística t es la siguiente:

( )( ) ( )

( )1 2 1 2 1 2

2 21 21 1 2 2

2

1 1

M M n n n nt

n nn S n S

− + −=

+− + −

(B.2)

Donde: t es la prueba estadística t independiente,

M1 es el valor medio del grupo de datos experimentales, M2 es el valor medio del grupo de datos teóricos, S1 es la desviación estándar de datos experimentales, S2 es la desviación estándar del grupo de datos teóricos, n1 es el número de datos experimentales, n2 es el número de datos teóricos.

B.1.2. Prueba Smith–Satterthwaite Si los datos del sistema y el modelo son normales pero con varianzas distintas. El diseñador puede utilizar la prueba Smith–Satterthwaite para validar el modelo. De igual forma que en la prueba-t, el diseñador puede reutilizar los valores medios de los datos previamente calculados y la desviación estándar de los datos del sistema y del modelo. La prueba Smith–Satterthwaite sirve si hay diferencias en las varianzas ajustando los grados de libertad para el valor crítico t. Para estimar los grados de libertad se utiliza la siguiente ecuación:

( ) ( )

22 21 1 2 2

2 22 21 1 1 2 2 2

. .1 1

s n s nd f

s n n s n n

⎡ ⎤+⎣ ⎦=⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(B.3)

Donde: d.f. son los grados de libertad.


B-4

Una vez que se han estimado los grados de libertad, el diseñador puede utilizar la siguiente ecuación para calcular la prueba Smith–Satterthwaite:

1 22 21 2

1 2

x xts sn n

−=

+

(B.4)

Donde: t es la prueba estadística t para la prueba Smith–Satterthwaite.

B.1.3. Prueba no parámetrica Se puede utilizar una prueba no parámetrica para validar los datos del sistema, cuando uno o ambos de los grupos de datos (teóricos y experimentales) no son normales. Una prueba no parámetrica fácil de implementar es la prueba U ó la prueba de suma de rangos, la cual compara los rangos de los datos de cada uno de los grupos de datos válidos. Para implementar la prueba de suma de rangos, el diseñador debe clasificar los datos de cada grupo en forma ascendente. Después de la clasificación, el diseñador debe unir los grupos de datos manteniendo identificados de donde provienen los datos. B.2. Procedimiento para la validación de modelos

De acuerdo con el diagrama de flujo de la Figura B.1, el primer paso es determinar es si ó no los dos grupos de datos son normalmente distribuidos [1]. Con la finalidad de determinar esto se debe utilizar comando H = jbtest(X) de Matlab. Si los datos no son normalmente distribuidos, la prueba apropiada es una prueba de U de suma de rangos no parámetrica. A la inversa, si se determina que ambos grupos de datos son normales, entonces debemos seguir hacia abajo en el diagrama de flujo. Si los datos son emparejados naturalmente, entonces podemos llevar a cabo una prueba-t. Si los datos no son emparejados naturalmente, entonces lo siguiente es determinar si ó no la varianza es similar, esto se puede llevar a cabo con una prueba-F. Si la varianza entre los dos grupos de datos es similar, entonces se puede utilizar una prueba-t independiente. Si la varianza no es similar, entonces se puede hacer una prueba Smith–Satterthwaite.


B-5

Figura b.1 Diagrama de flujo para las pruebas de hipótesis.

B.3. Referencia

[1] C. A. Chung, “SIMULATION MODELING HANDBOOK A Practical Approach”, CRC press, 2004.


B-6

C-1

Apéndice C:

Programas en lenguaje ensamblador

Apéndice C: Programas en lenguaje ensamblador

C-2

C.1. Programa utilizado con el control clásico LIST P=16F876 RADIX HEX INCLUDE <P16F876.INC> ORG h'0' ; Vector del Reset goto inicio ; Ir al inicio de la memoria del programa ORG h'05' ; Inicio de la memoria del programa inicio ; 1. Configuración del sistema ; 1.1. Limpiar el puerto C clrf PORTC ; 1.2. Configurar el puerto C como salidas digitales clrf TRISC ; 1.3. Deshabilitar el convertidor Reductor poniendo a 1 el bit RC0 BSF PORTC,0 ; 1.4. Deshabilitar el inversor puente completo poniendo a 1 el bit RC5 BSF PORTC,5 ; 1.5. Configurar el temporizador Tmr0 para generar el tren de pulsos ; para cargar el capacitor CR movlw b'11000000' ; Configurar el divisor del temporizador TMR0 = 1/2 movwf OPTION_REG MOVLW .245 ; Cargar el tiempo 245 para esperar 200 u mientras movwf TMR0 ; se carga el capacitor CR ;*************** Programa principal ***************** ; 2. Habilitar el convertidor Reductor ; 2.1. Poner a 0 el bit RC0 BCF STATUS,RP0 ; Seleccionar el banco 0 BCF PORTC,0 ; Poner a cero el bit RC0 ; 3. Enviar un tren de pulsos al convertidor Reductor para cargar el capacitor CR ; 3.1. Enviar un un tren de pulsos al convertidor Reductor ; manteniendo en 0 el pin RC0 durante 200 us call retardo ; 3.2. Terminar el tren de pulsos poniendo a 1 el pin RC0 BSF PORTC,0 ; 4. Habilitar el inversor puente completo ; 4.1. 4.1. Poner a 0 el bit RC5 BCF PORTC,6 ; 5. Enviar un tren de pulsos al inversor puente completo para encender la lámpara ; 5.1. Configurar el temporizador Tmr0 para generar pulsos 130 KHz. movlw .255 ; Cargar el tiempo 255 para generar los pulsos de

; 130 KHz movwf TMR0 ; 5.2. Enviar pulsos de 130 KHz desfasados 180 grados y con tiempo muerto ; a los pines RC4 y RC6 durante 100 us.


C-3

bcf PORTC,4 nop nop nop nop nop bsf PORTC,6 call retardo bcf PORTC,6 nop nop nop nop nop bsf PORTC,4 call retardo bcf PORTC,4 nop nop nop nop nop bsf PORTC,6 call retardo bcf PORTC,6 nop nop nop nop nop bsf PORTC,4 call retardo bcf PORTC,4 ; 6. Cambiar a estado estable. ; 6.1. Configurar el temporizador Tmr0 para generar pulsos de 300 Hz. BSF STATUS,RP0 ; Limpiar la bandera de sobreflujo del temporizador

; TMR0 BCF INTCON,2 ; movlw b'11000100' ; Configurar el divisor del temporizador TMR0 = 1/2 movwf OPTION_REG bcf STATUS,RP0 ; Seleccionar el banco 0 movlw .60 ; Cargar el tiempo 60 para generar los pulsos de

; 300 Hz movwf TMR0 GENERAR300Hz BTFSS INTCON,2 ; Verificar si ya trascurrió el tiempo 1/300 Hz GOTO GENERAR300Hz ; No, regresar a verificar


C-4

BCF INTCON,2 ; Si, limpiar la bandera de sobreflujo del temporizador TMR0 movlw .60 ; Inicializar el temporizador TMR0 movwf TMR0 BTFSC PORTC,6 ; Invierte las señales GOTO APAGARINVERSOR BSF PORTC,6 nop nop BCF PORTC,4 GOTO GENERAR300Hz APAGARINVERSOR BCF PORTC,6 nop nop BSF PORTC,4 GOTO GENERAR300Hz ; Retardo para esperar los 200 us para cargar el capacitor CR y para generar la señal de 130 ; KHz retardo movwf TMR0 ; Inicializar el temporizador TMR0 otraB btfss INTCON,2 ; Verificar si ya hay sobreflujo en el temporizador

; TMR0 goto otraB ; No, regresar a verificar bcf INTCON,2 ; Si, limpiar la bandera de sobreflujo del temporizador

; TMR0 nop nop nop nop nop return END C.2. Programa utilizado con el control por modos deslizantes LIST P=16F876 RADIX HEX INCLUDE <P16F876.INC> ORG h'0' ; Vector del Reset GOTO INICIO ; Ir al inicio de la memoria del programa ORG h'05' ; Inicio de la memoria del programa INICIO ; 1. Configuración del sistema ; 1.1. Limpiar el puerto C


C-5

CLRF PORTC ; 1.2. Configurar el puerto C, RC0 como entrada digital y RC1 a RC7 como salidas digitales

MOVLW B'00000001' MOVWF TRISC ; RC1, RC2 Y RC3 como salidas RC0 es entrada ; 1.3. Deshabilitar el convertidor Reductor poniendo a 1 el bit RC0 BSF PORTC,0 ; 1.4. Deshabilitar el inversor puente completo poniendo a 1 el bit RC5 BSF PORTC,5 ; 1.5. Configurar el temporizador TMR0 para cargar el capacitor CR MOVLW B'11000000' ; Configurar el divisor del temporizador TMR0 = 1/2 MOVWF OPTION_REG MOVLW .245 ; Cargar el tiempo 245 para esperar 200 u mientras MOVWF TMR0 ; se carga el capacitor CR ; 1.6. Configurar el temporizador TMR1 para generar ancho de pulso constante del SMC

BCF STATUS,RP0 Selecciona el banco 0 BCF STATUS,RP1 MOVLW b'00110101' ; Carga el valor del divisor en TMR1 (32) MOVWF T1CON MOVLW .255 ; Configuración del periodo 1/300Hz del inversor ;*************** Programa principal ***************** ; 2. Habilitar el convertidor Reductor ; 2.1. Poner a 0 el bit RC1 BCF STATUS,RP0 ; Seleccionar el banco 0 BCF PORTC,1 ; Poner a cero el bit RC0 ; 3. Enviar un tren de pulsos al convertidor Reductor para cargar el capacitor CR ; 3.1. Enviar 10 pulsos al convertidor Reductor por medio del pin RC1 BSF PORTC,1 CALL RETARDO BCF PORTC,1 NOP NOP NOP NOP NOP BSF PORTC,1 CALL RETARDO BCF PORTC,1 NOP NOP NOP NOP NOP BSF PORTC,1 CALL RETARDO BCF PORTC,1 NOP


C-6

NOP NOP NOP NOP BSF PORTC,1 CALL RETARDO BCF PORTC,1 NOP NOP NOP NOP NOP BSF PORTC,1 CALL RETARDO BCF PORTC,1 NOP NOP NOP NOP NOP BSF PORTC,1 CALL RETARDO BCF PORTC,1 NOP NOP NOP NOP NOP BSF PORTC,1 CALL RETARDO BCF PORTC,1 NOP NOP NOP NOP NOP BSF PORTC,1 CALL RETARDO BCF PORTC,1 NOP NOP NOP NOP NOP BSF PORTC,1 CALL RETARDO


C-7

BCF PORTC,1 NOP NOP NOP NOP NOP

BSF PORTC,1 CALL RETARDO

BCF PORTC,1 ; 3.2. Deshabilitar el convertidor Reductor poniendo a 1 el pin RC0 BSF PORTC,0 ; 4. Habilitar el inversor puente completo ; 4.1. 4.1. Poner a 0 el bit RC5 BCF PORTC,5 ; 5. Enviar un tren de pulsos al inversor puente completo para encender la lámpara ; 5.1. Configurar el temporizador Tmr0 para generar pulsos 130 KHz. MOVLW .255 ; Cargar el tiempo 255 para generar los pulsos de

; 130 KHz MOVWF TMR0 ; 5.2. Enviar pulsos de 130 KHz desfasados 180 grados y con tiempo muerto ; a los pines RC4 y RC6 durante 100 us. BCF PORTC,4 NOP NOP NOP NOP NOP BSF PORTC,6 CALL RETARDO BCF PORTC,6 NOP NOP NOP NOP NOP BSF PORTC,4 CALL RETARDO BCF PORTC,4 NOP NOP NOP NOP NOP BSF PORTC,6 CALL RETARDO BCF PORTC,6 NOP


C-8

NOP NOP NOP NOP BSF PORTC,4 CALL RETARDO BCF PORTC,4 ; 6. Cambiar a estado estable. ; 6.1. Configurar el temporizador TMR0 para generar pulsos de 300 Hz. BSF STATUS,RP0 ; Limpiar la bandera de sobreflujo del temporizador

; TMR0 BCF INTCON,2 ; MOVLW b'11000100' ; Configurar el divisor del temporizador TMR0 = 1/2 MOVWF OPTION_REG BCF STATUS,RP0 ; Seleccionar el banco 0 MOVLW .60 ; Cargar el tiempo 60 para generar los pulsos de 300

; Hz MOVWF TMR0 ; 6.2. Deshabilitar el convertidor Reductor poniendo a 1 el pin RC0 BSF PORTC,0 ; 6.3. Programa que limita la frecuencia del control por modos deslizantes ; 6.3.1. Programa principal del limitador de frecuencia LIMITADOR BTFSS PORTC,0 ; Verifica si entra un pulso, es decir si esta en alto el

; pin RC0 GOTO LIMITADOR ; No, sigue verificando

BSF PORTC,2 ; Si, Enciende el convertidor Reductor RC2 = 1 CALL GENERA300HZ ; Verifica si el inversor puente completo requiere ;

; invertir su salida CALL TENCENDIDO ; Ir a generar del tiempo de encendido constante GOTO LIMITADOR

; Retardo para generar 10 pulsos para cargar el capacitor CR y para generar la señal de 130 KHz en la etapa ; de encendido RETARDO MOVWF TMR0 ; Inicializar el temporizador TMR0 REPETIR BTFSS INTCON,2 ; Verificar si ya hay sobreflujo en el temporizador

; TMR0 GOTO REPETIR ; No, regresar a verificar BCF INTCON,2 ; Si, limpiar la bandera de sobreflujo del temporizador

; TMR0 NOP NOP NOP NOP NOP RETURN

; 6.3.1.1. Programa principal para invertir la salida del inversor


C-9

GENERA300HZ BTFSS INTCON,2 ;verificar si hay sobreflujo en el temporizador ; TMR0

GOTO TENCENDIDO ; No hay sobreflujo, entonces ir a generar ancho de ; pulso

BCF INTCON,2 ; Si, limpiar la bandera de sobreflujo del temporizador TMR0 MOVLW .0 ; Si, inicializar el temporizador TMR0 MOVWF TMR0 BTFSC PORTC,6 ; Verificar si la salida RC6 está en nivel bajo GOTO INVERTIR ; No, Poner RC6=0 y RC4=1 BCF PORTC,4 ; Si, Poner RC6=1 y RC4=0 NOP NOP BSF PORTC,6 GOTO TENCENDIDO INVERTIR BCF PORTC,6 NOP NOP BSF PORTC,4 RETURN

; 6.3.1.2. Programa principal del tiempo de encendido constante TENCENDIDO MOVLW .255 ; Inicializar el temporizador TMR1

MOVWF TMR1H MOVLW .245 MOVWF TMR1L REPETIR2 BTFSS PIR1,0 ; Verificar si hay sobtreflujo, es decir si esta en

; alto el bit PIR1 GOTO REPETIR2 ; No hay sobreflujo, entonces volver a verificar BCF PIR1,0 ; Inicializa la bandera de PIR1,0

BCF PORTC2 ; Generar del tiempo de apagado mínimo RC2 = 0 NOP NOP

RETURN END


C-10

D-1

Apéndice D:

Modelado del sistema en variables de estado

Apéndice D: Modelado del sistema en variables de estado

D-2

D.1. Simplificaciones del sistema Para facilitar el modelado del sistema, primero se llevaron a cabo algunas

simplificaciones en la etapa de potencia del balastro propuesto, el cual se muestra en la Figura D.1 (a), estas simplificaciones se presentan a continuación.

Con respecto al circuito de encendido, el cual opera cerca de la frecuencia de

resonancia (130 kHz), durante un periodo muy corto (≅ 400 μs), y después cambia su modo de operación a estado estacionario. Para lograr esto se cambió la frecuencia de encendido de 130 kHz por la frecuencia en estado estacionario, la cual es de 300 Hz. En estas condiciones la impedancia del circuito de encendido es despreciable. Por lo tanto, se elimino esta impedancia del circuito mostrado en la Figura D.1 (a), con lo cual se obtuvo el circuito equivalente mostrado en la Figura D.1 (b).

Con respecto al inversor puente completo. De acuerdo con la teoría de la Electrónica

de Potencia, un inversor puente completo no altera las formas de ondas de corriente y voltaje proporcionadas por la fuente de alimentación, en nuestro caso esta fuente es el convertidor Reductor, esto se debe a que el inversor no emplea elementos pasivos, como por ejemplo capacitores ó inductores, los cuales pueden distorsionar estas formas de ondas. Por lo tanto, se eliminó el inversor puente completo del circuito mostrado en la Figura D.1 (b), con lo cual se obtuvo el circuito equivalente mostrado en la Figura D.1 (c).

Otra simplificación realizada está relacionada con los interruptores de estado sólido.

De acuerdo con la hoja de especificaciones de los interruptores de estado sólido empleados en el prototipo, el transistor de potencia IRF840 y el diodo de potencia MUR860, la resistencia serie de estos componentes es muy pequeña. El valor típico de esta resistencia se encuentra en el orden de las milésimas de Ohms. Por lo tanto, en el circuito mostrado en la Figura D.1 (c) se reemplazaron estos componentes por un interruptor ideal u(t), con lo cual se obtuvo el circuito equivalente mostrado en la Figura D.1 (d). Es importante recordar que la carga del balastro es la lámpara de AID, la cual está representada por el modelo propuesto en el capítulo 2.

El circuito equivalente mostrado en la Figura D.1 (d) es útil para desarrollar el

modelo matemático del balastro propuesto en variables de estado. Para realizar esto es necesario recordar los modos de funcionamiento del convertidor Reductor, los cuales están relacionados con las dos posiciones del interruptor u(t), las cuales son u(t) = 1 y u(t) = -1. Para cada posición del interruptor u(t) existe un circuito eléctrico equivalente ó estructura, lo cual se muestra en la Figura D.2. Cada estructura tiene un comportamiento diferente, lo cual se describe a continuación:

Cuando u(t) = 1 el inductor LR, el capacitor CR y la resistencia RL(Tg(t)) están

recibiendo energía de la fuente Vcd. Cuando u(t) = -1, el inductor LR y el capacitor CR están proporcionando energía a la

lámpara y la fuente Vcd esta desconectada del circuito.


D-3

Las dos estructuras asociadas a la posición del interruptor u(t) tienen modelos matemáticos diferentes entre si. Ambos modelos representan el comportamiento del sistema para intervalos de tiempo diferentes. La integración de ambos modelos durante un período de conmutación T proporciona el modelo matemático completo del sistema, lo cual se muestra a continuación en las siguientes secciones.

Figura D.1 Simplificaciones del balastro: (a) etapa de potencia completa, (b) sin circuito de encendido, (c) sin inversor, (d) utilizando un interruptor ideal y considerando el modelo de

la lámpara de AID.


D-4

CR RL(Tg(t))

LR

u(t)= -1

Vcd RL(Tg(t))

LR

CR

u(t)= 1

(a)

(a)

(b) Figura D.2 Estructuras de un convertidor Reductor.

D.2. Modelo matemático cuando u(t) = 1 De acuerdo con el circuito de la Figura D.1 (d), cuando el interruptor u(t) está en la posición 1, se obtiene el circuito equivalente mostrado en la Figura D.3.

Vcd RL(Tg(t))

LR

CR

iLR(t)+

vCR(t)-

+ vLR(t) -

iCR(t)

iL(t)u(t)= 1

Figura D.3 Circuito equivalente cuando u(t) = 1.

Para desarrollar el modelo matemático del circuito equivalente de la Figura D.3, es

necesario encontrar las ecuaciones diferenciales que definen su comportamiento, estas ecuaciones se deducen a partir de las ecuaciones diferenciales de los elementos que almacenan energía (LR y CR), las cuales se muestran en las ecuaciones (D.1) y (D.2).

( ) ( )LR R LRv t L i t= & (D.1)

( ) ( )CR R CRi t C v t= & (D.2)

Analizando el circuito equivalente de la Figura D.3 se obtienen las siguientes

ecuaciones:

( ) ( )LR cd CRv t V v t= − (D.3)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

CRCR LR L LR

L g

v ti t i t i t i t

R T t= − = −

(D.4)


D-5

Substituyendo las ecuaciones (D.3) y (D.4) en las ecuaciones (D.1) y (D.2) se obtienen lo siguiente:

( ) ( )cd CR R LRV v t L i t− = & (D.5)

( ) ( )( )( ) ( )CR

LR R CRL g

v ti t C v t

R T t− = &

(D.6)

Despejando las variables ( )LRi t& y ( )CRv t& de las ecuaciones (D.5) y (D.6) se obtienen

las ecuaciones (D.7) y (D.8).

( ) ( )CRcdLR

R R

v tVi tL L

= −& (D.7)

( ) ( ) ( )( )( )

LR CRCR

R R L g

i t v tv t

C C R T t= −&

(D.8)

D.3. Modelo matemático cuando u(t) = -1

De acuerdo con el circuito equivalente de la Figura D.3 (d), cuando el interruptor u(t) está en la posición -1, se obtiene el circuito equivalente mostrado en la Figura D.4.

Figura D.4 Circuito equivalente cuando u(t) = -1.

Siguiendo un procedimiento similar al caso anterior, se presentan otra vez por

comodidad las ecuaciones diferenciales de los elementos que almacenan energía (LR y CR), las cuales se muestran en las ecuaciones (D.9) y (D.10).

( ) ( )LR R LRv t L i t= & (D.9)

( ) ( )CR R CRi t C v t= & (D.10)

Analizando ahora el circuito equivalente de la Figura D.4 se deducen las ecuaciones

(D.11) y (D.12).

( ) ( )LR CRv t v t= − (D.11)


D-6

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

CRCR LR L LR

L g

v ti t i t i t i t

R T t= − = −

(D.12)

Substituyendo las ecuaciones (D.11) y (D.12) en las ecuaciones (D.9) y (D.10) se

obtienen las siguientes ecuaciones:

( ) ( )CR R LRv t L i t− = & (D.13)

( ) ( )( )( ) ( )CR

LR R CRL g

v ti t C v t

R T t− = &

(D.14)

Despejando las variables ( )LRi t& y ( )CRv t& de las ecuaciones (D.13) y (D.14) se

obtienen lo siguiente:

( ) ( )CRLR

R

v ti t

L= −&

(D.15)

( ) ( ) ( )( )( )

LR CRCR

R R L g

i t v tv t

C C R T t= −&

(D.16)

D.4. Modelo final

El modelo completo es la unión de los dos modelos anteriores, los cuales se muestran en las ecuaciones (D.7), (D.8), (D.15) y (D.16), por medio de la variable de control u(t), lo cual se muestra a continuación en las siguientes ecuaciones:

( ) ( ) ( )2 2

CR cd cdLR

R R R

v t V Vi t u tL L L

= − + +& (D.17)

( ) ( ) ( )( )( )

LR CRCR

R R L g

i t v tv t

C C R T t= −&

(D.18)

Es importante mencionar que las ecuación (D.18) esta en función de la resistencia

equivalente de la lámpara RL(Tg(t)). El comportamiento de esta resistencia esta representado por el modelo propuesto en el capítulo 2, cuyas ecuaciones se presentan a continuación:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2

34

1gB T tL

L g gL

v tR T t B T t e

i t− −= =

(D.19)

( ) ( )( ) ( ) ( )1L gg g v

g g g


−= −

(D.20)


D-7

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 1 2

1 1 1

g vv v v

v g v v x


− −= −

+

(D.21)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 1 2 2

2 1 2 2

v v v v a

v v x v v a


− −= −

+ +

(D.22)

( ) ( )( ) ( ) ( )L L g L Lq t T t v t i tη= (D.23)

( )( ) ( )4

3g

BT t

L gT t B eη−

= (D.24)

Por lo tanto el modelo del sistema completo esta representado por la unión de la

ecuaciones (D.17) y (D.18), y las ecuaciones (D.19) a (D.24). A modo de resumen a continuación se muestran las ecuaciones del modelo completo del sistema:

( ) ( ) ( )2 2

CR cd cdLR

R R R

v t V Vi t u tL L L

= − + +& (D.25)

( ) ( ) ( )( )( )

LR CRCR

R R L g

i t v tv t

C C R T t= −&

(D.26)

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2

34

1gB T tL

L g gL

v tR T t B T t e

i t− −= =

(D.27)

( ) ( )( ) ( ) ( )1L gg g v

g g g


−= −

(D.28)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 1 2

1 1 1

g vv v v

v g v v x


− −= −

+

(D.29)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 1 2 2

2 1 2 2

v v v v a

v v x v v a


− −= −

+ +

(D.30)

( ) ( )( ) ( ) ( )L L g L Lq t T t v t i tη= (D.31)

( )( ) ( )4

3g

BT t

L gT t B eη−

= (D.32)


D-8

E-1

Apéndice E:

Análisis de existencia del control SMC

Apéndice E: Análisis de existencia del control SMC

E-2

E.1. Introducción

El análisis de la existencia del control por modos deslizantes es útil para estimar el rango de valores del parámetro s, para el cual el sistema converge al punto de operación, este análisis se basa en verificar si se cumple la condición 0σσ <& [1-6], ó en forma similar, deben cumplirse las siguientes condiciones:

Si 0σ < entonces 0σ >& y u(t) = 1. Si 0σ > entonces 0σ <& y u(t) = -1. En base a estas condiciones se observa que es necesario definir la superficie de

deslizamiento σ, lo cual se muestra a continuación.

E.2. Superficie de deslizamiento

De acuerdo con la referencia [7], para estabilizar la corriente en una lámpara de AID iL(t) es necesario cerrar el lazo de control retroalimentando esta corriente. En base a esto se propuso la superficie deslizamiento σ, la cual esta en función de la corriente iL(t), esta superficie se muestra a continuación:

( )( )L Lrs i t iσ = − (E.1)

Donde: s es el parámetro de ajuste del controlador, iLr es la referencia de corriente para la corriente iL(t).

De acuerdo con las referencias [1-6], para realizar los estudios de existencia del

modo de deslizamiento, es necesario expresar la función σ en función de las variables de estado. Para realizar esto en la ecuación (E.1), primero debemos expresar la corriente iL(t) en función de las variables vCR(t) y RL(Tg(t)), esto se logra utilizando la ley de Ohm, con lo cual se tiene la ecuación (E.2).

( ) ( )( )( )

CRL

L g

v ti t

R T t=

(E.2)

Donde:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2

34

1gB T tL

L g gL

v tR T t B T t e

i t− −= =

(E.3)

El siguiente paso fue sustituir la ecuación (E.3) en la ecuación (E.2), con lo cual se

obtiene lo siguiente:

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )2

34

1g

CR CRL

B T tL gg

v t v ti t

R T t B T t e− −= =

(E.4)


E-3

Por último, se sustituyó la ecuación (E.4) en la ecuación (E.1), con lo cual se obtiene la ecuación (E.5), esta ecuación muestra superficie σ en función de las variables de estado del sistema, las cuales son vCR(t) y Tg(t).

( )( ) ( )2

34

1g

CRLr

B T tg

v ts i

B T t eσ

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(E.5)

La superficie σ y la ley de control u(t) se relacionan por medio de la siguiente ecuación [1-6]:

( )1 0

sgn1 0

u tσ

σσ<⎧

= − = ⎨− >⎩

(E.6)

En base a la superficie σ propuesta se puede realizar el análisis de existencia del modo de deslizamiento, este análisis se muestra a continuación en la siguiente sección. E.3. Análisis de existencia del control SMC Derivando la ecuación (E.5) se obtiene el valor de la función σ& , la cual se muestra en la ecuación (E.7).

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

2 2342

514

1

3 4

4

g g

B BT t T t

CR g CR gg CR

g

v t T t B v t e T t es T t v t

BB T tσ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜− ⎟ ⎜− ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

&& &

(E.7)

De acuerdo con el modelo del sistema propuesto presentado en el apéndice D, el

valor para la variable ( )CRv t& y ( )LRi t& son los siguientes:

( ) ( ) ( )( )( )

LR CRCR

R L g

i t v tv t

C R T t= −&

(E.8)

( ) ( ) ( )2 2

CR cd cdLR

R R R

v t V Vi t u tL L L

= − + +& (E.9)

Substituyendo la ecuación (E.3) en la ecuación (E.8) se obtiene la ecuación (E.10).

( ) ( ) ( )( ) ( )2

34

1g

LR CRCR

B T tRg

i t v tv t

C B T t e− −= −&

(E.10)


E-4

El valor de iLR(t) en la ecuación (E.10) se obtiene integrando la ecuación (E.9) tal como se muestra en la ecuación (E.11).

( ) ( ) ( )2 2

CR cd cdLR

R R R

v t V Vi t u t dtL L L

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

(E.11)

Simplificando y reordenando la ecuación (E.11) se obtiene la ecuación (E.12).

( ) ( )12LR

R

i t F tL

= − (E.12)

Donde: ( ) ( ) ( )( )2 CR cd cdF t v t V u t V dt= − −∫ (E.13)

Substituyendo la ecuación (E.12) en la ecuación (E.10) se obtiene la ecuación (E.14)

.

( ) ( ) ( )( ) ( )2

34

12 g

CRCR

B T tR Rg

F t v tv t

L C B T t e− −= − −&

(E.14)

De acuerdo con el modelo propuesto para lámparas de AID en el capítulo 2, la

variable ( )gT t& es la que se muestra a continuación:

( ) ( ) ( ) ( )1g vLg

g g g

T t T tq tT t

C R C−

= −& (E.15)

Donde: ( ) ( ) ( )( )L L gq t p t T tη= (E.16)

( ) ( )

( )( )2

CRL

L g

v tp t

R T t=

(E.17)

( )( ) ( )

4

3g

BT t

gT t B eη−

= (E.18)

Substituyendo las ecuaciones (E.16) a (E.18) en la ecuación (E.15) se obtiene lo

siguiente:

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )4

2

213

34

1

g

g

BT t

g vCRg

B T t g gg g

T t T tB e v tT t

R CC B T t e

−

− −

−= −&

(E.19)


E-5

Substituyendo las ecuaciones (E.14) y (E.19) en la ecuación (E.7) se obtiene la ecuación (E.20).

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 4

2

2

2

22 13

5 34 4

1 1

34

31 4

1

3 4

4

g g

g

g

g

B BT t T t

CR g CR g vCR

B T t g gg g g

BT t

g LR CR

B T tRg

v t T t B v t e T t T tB e v tR CB T t C B T t e

s

T t e i t v tB C B T t e

σ

⎛ ⎞⎜− ⎟ −⎜ ⎟⎝ ⎠

− −

⎛ ⎞⎜− ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

− −

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟=⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

&

⎟⎟⎟⎟

(E.20)

Substituyendo los parámetros del sistema mostrados en la Tabla E.1 en la ecuación

(E.20) se obtiene la ecuación (E.21).

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

18505363.79

54

17525363.79

31850 5363.794

18534

3 87.32 5363.79 4 1850 87.32

4 48350 5363.79

.85 87.32 5363.79 731.1675.36 / 1 F1 F 48350 5363.79

5363.79

o

o

o

o C

o

C o o

oCo

o

V C V e

C

e V C CC WC e

s

C e

μμσ

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

−

− −

−

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟−

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

+

&

( )( )( ) ( ) ( )

05363.79

31850 5363.794

48350

87.322 5 1 F 48350 5363.79

o

o

C

Co

F t VmH C eμ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(E.21)

( ) ( ) ( ) ( )( )2 180 180CRF t v t V u t V dt= − −∫ (E.22)

Tabla E.1 Datos del sistema para el análisis de existencia.

Parámetros del convertidor Reductor LR CR Vcd iLR(t) vCR(t)

5 mH 1 μF 180 V 0.802 A 87.32 V Parámetros de la lámpara

Rg Rv1+Rx Rv2+Ra B1 B2 B3 75.36 oC/W 6.74 oC/W 4.73 oC/W 48350 1850 0.837

B4 Cg Tg(t) Tv1(t) 175 1.6 μJ/oC 5363.79 oC 731.16 oC


E-6

Simplificando la ecuación (E.21) se obtiene la ecuación (E.23).

( )( )59.18 10 7360.8x F t sσ = − −& (E.23)

( ) ( ) ( )( )( )2 180 1CRF t v t V u t dt= − +∫ (E.24)

Utilizando la ecuación (E.23) se puede realizar los análisis de existencia del control, lo

cual se muestra a continuación:

a) Caso 1: Si 0σ < entonces 0σ >& y u(t) = 1.

( )( )59.18 10 7360.8 0x F t sσ = − − <& (E.25)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 180 1 1 2 180 0 2CR CR CRF t F t v t V dt v t V dt v t dt= = − − + = − =∫ ∫ ∫ (E.26)

La integral mostrada en la ecuación (E.26), no es necesario resolverla porque el voltaje

vCR(t) es siempre mayor que cero. Por lo tanto la función F(t) también es mayor que cero. En consecuencia la ecuación (E.25) se cumple si el valor de s también es mayor que cero.

b) Caso 2: Si 0σ > entonces 0σ <& y u(t) = -1.

( )( )59.18 10 7360.8 0x F t sσ = − − >& (E.27)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 180 1 1 2 180 2 2 360CR CR CRF t v t V dt v t V dt v t V dt= − + = − = −∫ ∫ ∫ (E.28)

En forma similar al caso anterior la integral mostrada en la ecuación (E.28), no es

necesario resolverla porque el voltaje vCR(t) es siempre mayor que cero y menor a 360 V. Por lo tanto la función F(t) es siempre menor que cero. En consecuencia la ecuación (E.27) se cumple si el valor de s también es mayor que cero. Por lo tanto en base a los resultados de los dos casos a) y b) se concluye que el valor de s debe ser mayor que cero.

E.4. Referencias

1 [1] V. I. Utkin, “Sliding Modes and Their Application in Variable Structure Systems”, MIR Publishers, Moscow, 1974.

2 [2] V. I. Utkin, “Variable structure systems with sliding modes”, Transactions on Automatic Control, April 1977, Vol. 22, No. 2, pp. 212-222.

3 [3] R. A. DeCarlo, S. Zack, G. P. Mattews, “Variable structure control of nonlinear multivariable systems: a tutorial”, proceedings of the IEEE, Vol. 76, No. 3, March 1988, pp. 212-232

4 [4] J. Y. Hung, W. Gao, J. C. Hung, “Variable structure control: a survey”, IEEE Transactions on Industrial Electronics, February 1993,Vol. 40, No. 1, pp. 2-18.

5

[5] P. Mattavelli, L. Rossetto, G Spiazzi, “General purpose sliding mode controller for dc/dc converter applications”, Power Electronics Specialists Conference, United States of America, June 1993, pp. 609-615.

6 [6] N. Vázquez, C. Hernández, R. Cano, J. Antonio, E. Rodríguez, J. Arau, “An efficient single-switch voltage regulator”, Power Electronics Specialists Conference, Ireland , June 2000, Vol. 2, pp. 811 -816.

7 [7] E. Deng, “I. Negative incremental impedance of fluorescent lamp”, Ph.D. Thesis, California Institute of Technology, Pasadena, 1995.

F-1

Apéndice F:

Teoremas empleados en el análisis de estabilidad del control SMC

Apéndice F: Teoremas empleados en el análisis de estabilidad del control SMC

F-2

F.1. Teoremas relacionados con el primer método de Lyapunov

El primer método se compone de todos los procedimientos en los cuales se usa para el análisis la forma explícita de la solución de las ecuaciones diferenciales de un sistema [1]. Si las ecuaciones no lineales de un sistema no tienen una solución explicita entonces el sistema puede linealizarse para encontrar estas soluciones [1]. El proceso de linealizar sistemas no lineales es importante, porque esto permite aplicar numerosos métodos de análisis lineal, como por ejemplo el primer método de Lyapunov, que proporcionen información acerca del comportamiento de los sistemas no lineales [1]. A continuación se muestra el teorema de Lypaunov y algunas definiciones relacionadas con este teorema. Teorema de Lyapunov para sistema lineales: Considere el sistema descrito mediante la siguiente ecuación:

x Ax=& (F.1)

En donde x es un vector de estado (vector de dimensión n), y A es una matriz de coeficientes constantes no singular de n x n. Una condición necesaria y suficiente para que el estado de equilibrio x = 0 sea asintóticamente estable en general, es que, dada cualquier matriz Q hermitiana (o simétrica real) definida positiva, exista una matriz P hermitiana (o simétrica real) definida positiva, tal que se cumpla la siguiente ecuación:

*A P PA Q+ = − (F.2)

La función escalar x*Px es una función de Lyapunov para este sistema. Definición de estabilidad asintótica: El punto de equilibrio 0 es asintóticamente globalmente estable si para toda x(t0), ( ) 0 cuando x t t→ → ∞ . Definición de Matriz Hermitiana: Una matriz cuadrada con elementos complejos se dice hermitiana si es igual a la transpuesta de su conjugada. F.2. Teoremas relacionados con el segundo método de Lyapunov

El segundo método de Lyapunov determina la estabilidad de un sistema sin resolver las ecuaciones de estado. Esto ofrece una gran ventaja porque por lo general, es muy difícil despejar las ecuaciones de estado no lineales y/o variantes con el tiempo [2]. El teorema de Lypaunov y otros relacionados con este teorema se muestran a continuación: Teorema de estabilidad local de Lyapunov: Si, en una bola BR0, existe una función escalar V(x) con derivadas parciales continuas de tal forma que:


F-3

V(x,t) es definida positiva localmente en BR0, (F.3)( ),V x t& es semidefinida negativa localmente en BR0.

(F.4)

Entonces el estado de equilibrio en el origen es estable. Si, ocurre, que la derivada

( ),V x t& es definida negativa localmente en BR0, entonces la estabilidad es asintótica. Teorema de inestabilidad (Cetaev): Dejar que Ω sea una región alrededor del origen. Si existe una función escalar V(x) con primeras derivadas parciales continuas, decrecientes en Ω; y Ωl está en Ω tal que:

V(x) y ( )V x& son positivas definidas en Ωl, El origen es un punto límite de Ωl, En los puntos límites de Ωl sin Ω, V(x)=0 para toda t ≥ t0

Entonces el punto de equilibrio 0 en el tiempo t0 es inestable.

Definición de función definida positiva: Se dice que una función escalar continua V(x) es localmente definida positiva en una bola BR0 si V(0) = 0 y para x ≠ 0 ⇒ V(x) > 0. Por otro lado, si V(0) = 0 y para todo el espacio de estado x ≠ 0 ⇒ V(x) > 0, entonces se dice que V(x) que es globalmente definida positiva.

Definición de función negativa definida: Se dice que una función escalar continua V(x) es localmente definida negativa en una bola BR0 si -V(x) es definida positiva en una bola BR0. Por otro lado, si -V(x) es globalmente definida positiva, entonces V(x) es globalmente definida negativa. Definición de función semidefinida positiva: Se dice que una función escalar continua V(x) es localmente semidefinida positiva en una bola BR0 si V(0) = 0 y para x ≠ 0 ⇒ V(x) ≥ 0. Por otro lado, si V(0) = 0 y para todo el espacio de estado x ≠ 0 ⇒ V(x) ≥ 0, entonces se dice V(x) que es globalmente semidefinida positiva. Definición de función semidefinida negativa: Se dice que una función escalar continua V(x) es localmente semidefinida negativa en una bola BR0 si -V(x) es semidefinida positiva en una bola BR0. Por otro lado, si -V(x) es globalmente semidefinida positiva, entonces V(x) es globalmente semidefinida negativa.

F.3. Referencias [1] K. Ogata, "Ingeniería de Control Moderna", 3ª edición. Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, 1998.

[2] J.J.E. Slotine, and W. Li, “Applied Nonlinear Control”, Prentice-Hall, 1991.

Apéndice F: Teoremas empleados en el análisis de estabilidad del control SMC

F-4

G-1

Apéndice G:

Cálculo de las referencias y variables de desviación del control SMC

Apéndice G: Cálculo de las referencias y variables de desviación del control SMC

G-2

G.1. Cálculo de las referencias del control SMC De acuerdo con la sección 5.5.1.2 del capítulo 5 el modelo del sistema trasladado al

origen es el siguiente:

( )1 1LRpe CRpe CRpr p cd

R R

i v v VL L

μ= − + +&

(G.1)

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1CRpe CRpr

CRpe LRpe LRpr LRpe LRpr Lpe LprR R R RLp gpe gpr

v vv i i i i i i

C C C CR T T

+= + − = + − +

+&

(G.2)

( ) ( ) ( )23

41

gpe gpr

BT T


(G.3)

( ) ( )( )1 11 1

gpe Lp gpe gpr v pe v prg g g

T q T T T TC C R

= − + − +& (G.4)


(G.5)

( )4

3gpe gpr

BT T


(G.6)

( )( )

2

CRpe CRprLp

Lp gpe gpr

v vp

R T T

+=

+

(G.7)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 2 21 1 1

1 1v pe gpe gpr v pe v pr v pe v pr v pe v pr

v g v v x

T T T T T T T T TC R C R R

= + − + − + − ++

&

(G.8)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 2 2 22 1 2 2

1 1v pe v pe v pr v pe v pr v pe v pr a

v v x v v a

T T T T T T T TC R R C R R

= + − + − + −+ +

&

(G.9)

Los valores de las referencias iLRpr, vCRpr, Tgpr, Tv1pr y Tv2pr se calculan cuando el

sistema está en el punto de operación. Esto implica que los errores iLRpe, vCRpe, Tgpe, Tv1pe y Tv2pe y las derivadas 1 2, , , ,LRpe CRpe gpe v pe v pei v T T T& & && & en las ecuaciones (G.1) a (G.9) son iguales a cero, con lo cual se obtienen las siguientes ecuaciones:

1 10 CRpr p cdR R

v VL L

μ= − +

(G.10)

( )1 1 1 10 CRpr

LRpr LRpr LprR R R RLp gpr

vi i i

C C C CR T= − = −

(G.11)

( ) ( ) ( )23

41

gpr

BT

Lp gpr gprR T B T e−

=(G.12)

( )11 10 Lp gpr v pr

g g g

q T TC C R

= − −(G.13)

( )Lp p gpr Lpq T pη= (G.14)


G-3

( )4

3gpr

BT

p gprT B eη =(G.15)

( )2

CRprLp

Lp gpr

vp

R T=

(G.16)

( ) ( ) ( )1 1 21 1 1

1 10 gpr v pr v pr v prv g v v x

T T T TC R C R R

= − − −+

(G.17)

( ) ( ) ( ) ( )1 2 22 1 2 2

1 10 v pr v pr v pr av v x v v a

T T T TC R R C R R

= − − −+ +

(G.18)

Eliminando Tv2pr entre las ecuaciones (G.17) y (G.18) y despejando Tv1pr se obtiene lo siguiente:

( )1 21

1 2

v x v a gpr g av pr

v x v a g

R R R R T R TT

R R R R R+ + + +

=+ + + +

(G.19)

Substituyendo las ecuaciones (G.14), (G.15) y (G.19) en la ecuación (G.13) y simplificando se obtiene la ecuación (G.20), la cual es una función trascendental con respecto a la variable Tgpr, la cual se resuelve por métodos numéricos.

4

31 2

0gpr

BT gpr a

Lpv x v a g

T TB e p

R R R R R

− −− =

+ + + +

(G.20)

Una vez que se conoce el valor de Tgpr se puede obtener el valor de RLp(Tgpr) utilizando

la ecuación (G.12). De acuerdo con la ley de Ohm el valor vCRpr se calcula con la ecuación (G.21).

( )CRpr Lp Lp gprv p R T= (G.21)

Para calcular el valor de iLRpr es necesario despejar esta variable de la ecuación (G.11), con lo cual se obtiene la ecuación (G.22).

( )CRpr

LRprLp gpr

vi

R T= (G.22)

De la ecuación (G.11) se obtiene la siguiente ecuación:

Lpr LRpri i= (G.23) Para calcular el valor de Tv2pr es necesario despejar esta variable de la ecuación (G.18),

con lo cual se lo siguiente:

( ) ( )2 1 12

1 2

v a v pr v x av pr

v x v a

R R T R R TT

R R R R+ + +

=+ + +

(G.24)


G-4

El valor de la variable μpr se encuentra despejándola de la ecuación (G.10), con lo cual se obtiene la ecuación (G.25).

CRprp

cd

vV

μ = (G.25)

La secuencia de evaluación de las referencias (Tgpr, Tv1pr, Tv2pr, VCRpr, iLRpr y μpr) se muestra en la Tabla G.1, y los valores de los parámetros del sistema balastro-lámpara utilizados en este proceso se muestran en la Tabla G.2. Tabla G.1 Secuencia de evaluación de las referencias (Tgpr, Tv1pr, Tv2pr, vCRpr y iLRpr) del modelo

trasladado al origen.

1)

4

175

31 2

0

260.837 70 0 5363.79

6.74 4.73 3.18

gpr

gpr

o o o

T gpr aLp

v x v a g

B oT gpr o

gprJ J JC C C

T TB e p

R R R R R

T Ce W T C

−

−

−− =

+ + + +

−− = ⇒ =

+ +

(G.26)

2) ( )

( ) ( )o o o

o o o

1 21

1 2

o oJ J JC C C o

J J JC C C

6.74 4.73 5363.79 C 3.18 26 C 731.16 C

6.74 4.73 3.18

v x v a gpr g av pr

v x v a g

R R R R T R TT

R R R R R+ + + +

=+ + + +

+ += =

+ +

(G.27)

3) ( ) ( )

( ) ( )

2 1 12

1 2

4.73 731.16 6.74 26 316.77

6.74 4.73o o

o o

v a v pr v x av pr

v x v a

o oJ JC C o

J JC C

R R T R R TT

R R R R

C CC

+ + +=

+ + +

+= =

+

(G.28)

4) ( ) ( ) ( )

2 1850335363.79 44

1 48350 5363.79 108.91ogpr

BT o C

Lp gpr gprR T B T e C e−−

= = = Ω(G.29)

5) ( ) ( ) 70 108.91 87.32CRpr Lp Lp gprv p R T W V= = Ω = (G.30)

6)

( )87.32 0.802

108.91CRpr

LRprLp gpr

v Vi AR T

= = =Ω

(G.31)

7) 0.802Lpr LRpri i A= = (G.32)8) 87.32 0.49

180CRpr

pcd

v VV V

μ = = =(G.33)


G-5

Tabla G.2 Datos del sistema balastro-lámpara para la evaluación de las referencias Tgpr, Tv1pr, Tv2pr, VCRpr, iLRpr y μpr.

Parámetros del convertidor Reductor Vcd PLp

180 V 70 W Parámetros de la lámpara

Rg Rv1+Rx Rv2+Ra B1 75.36 oC/W 6.74 oC/W 4.73 oC/W 48350

B2 B3 B4 Ta 1850 0.837 175 26 oC

En la Tabla G.3 se resume el valor de las referencias del modelo trasladado al origen.

Tabla G.3 Referencias (Tgpr, Tv1pr, Tv2pr, VCRpr, iLRpr y μpr) del modelo trasladado al origen.

Tgpr Tv1pr Tv2pr VCRpr iLRpr μpr 5363.79 oC 731.16 oC 316.77 oC 87.32 V 0.802 A 0.49

G.2. Cálculo de las variables de desviación del control SMC

Las variables de desviación iLRpe, vCRpe, Tgpe, Tv1pe y Tv2pe se muestran en las

ecuaciones (G.1) a (G.9). Por simplicidad se consideró que estas ecuaciones están en estado estacionario. Esto implica que las derivadas de las variables de desviación ( 1 2, , , ,LRpe CRpe gpe v pe v pei v T T T& & && & ) en las ecuaciones (G.1) a (G.9) son iguales a cero por lo tanto se obtienen las ecuaciones (G.34) a (G.42).

( )1 10 CRpe CRpr p cdR R

v v VL L

μ= − + +

(G.34)

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 10 CRpe CRpr

LRpe LRpr LRpe LRpr Lpe LprR R R RLp gpe gpr

v vi i i i i i

C C C CR T T

+= + − = + − +

+

(G.35)

( ) ( ) ( )23

41

gpe gpr

BT T


(G.36)

( ) ( )( )1 11 10 Lp gpe gpr v pe v pr

g g g

q T T T TC C R

= − + − +(G.37)


(G.38)

( )4

3gpe gpr

BT T


(G.39)

( )( )

2

CRpe CRprLp

Lp gpe gpr

v vp

R T T

+=

+

(G.40)


G-6

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 2 21 1 1

1 10 gpe gpr v pe v pr v pe v pr v pe v prv g v v x

T T T T T T T TC R C R R

= + − + − + − ++

(G.41)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 2 22 1 2 2

1 10 v pe v pr v pe v pr v pe v pr av v x v v a

T T T T T T TC R R C R R

= + − + − + −+ +

(G.42)

Eliminando Tv2pr entre las ecuaciones (G.41) y (G.42), y despejando Tv1pr se obtiene la

ecuación (G.43).

( ) ( ) ( )1 2 1 2 11

1 2

v x v a ge gpr g a v x v a g v rv pe

v x v a g

R R R R T T R T R R R R R TT

R R R R R+ + + + + − + + + +

=+ + + +

(G.43)

Substituyendo las ecuaciones (G.38), (G.39) y (G.43) en la ecuación (G.37) y simplificando se obtiene la ecuación (G.44), la cual es una función trascendental con respecto a la variable Tgpe, esta ecuación se resuelve por métodos numéricos.

4

31 2

0gpe gpr

BT T gpe gpr a

Lpv x v a g

T T TB e p

R R R R R

−+ + −

− =+ + + +

(G.44)

Una vez que se conoce el valor de Tgpe se puede conocer el valor de RLp(Tgpe+Tgpr)

utilizando la ecuación (G.36). De acuerdo con la ley de Ohm el valor vCRp se calcula con la ecuación (G.45).

( )CRp CRpe CRpr Lp Lp gpe gprv v v p R T T= + = + (G.45)

Despejando vCRpe de la ecuación (G.45) se obtiene la ecuación (G.46).

( )CRpe Lp Lp gpe gpr CRprv p R T T v= + − (G.46)

Para calcular el valor de iLRpe es necesario despejar esta variable de la ecuación (G.35),

con lo cual se obtiene la ecuación (G.47).

( )CRpe CRpr

LRpe LRprLp gpe gpr

v vi i

R T T+

= −+

(G.47)

De la ecuación (G.35) se obtiene la ecuación (G.48).

Lpe LRpei i= (G.48)


G-7

Para calcular el valor de Tv2pe es necesario despejar esta variable de la ecuación (G.42) obteniéndose la ecuación (G.49).

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2 2

21 2

v x a v a v pe v pr v x v a v prv pe

v x v a

R R T R R T T R R R R TT

R R R R+ + + + − + + +

=+ + +

(G.49)

El valor de la variable μpr se encuentra despejándola de la ecuación (G.34) considerando que en el punto de operación vCRpe = 0, con lo cual se obtiene la ecuación (G.50).

CRprp

cd

vV

μ = (G.50)

La secuencia de evaluación de las variables de desviación (Tgpe, Tv1e, Tv2e, vCRpe y iLRpe) se muestra en la Tabla G.4, y los valores de los parámetros del sistema balastro-lámpara utilizados en este proceso se muestran en las tablas G2 y G3.

Tabla G.4 Secuencia de evaluación de las variables de desviación (Tgpe, Tv1e, Tv2e, vCRpe y iLRpe) del modelo trasladado al origen.

1) 4

4

31 2

5363.79

0

5363.79 260.837 0

6.74 4.73 3.18

gpe gpr

ogpe

o o o

BT T gpe gpr a

Lpv x v a g

B o oT C gpe

Lp gpeJ J JC C C

T T TB e p

R R R R R

T C Ce p T

−+

−+

+ −− =

+ + + +

+ −− = ⇒

+ +

(G.51)

2) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )o o o o o o

o o o

1 2 1 2 11

1 2

o oJ J J J J JC C C C C C

J J JC C C

6.74 4.73 5363.79 C 3.18 26 C 6.74 4.73 3.18 731.16

6.74 4.73 3.18

v x v a ge gpr g a v x v a g v rv e

v x v a g

oge

R R R R T T R T R R R R R TT

R R R R R

T C

+ + + + + − + + + +=

+ + + +

+ + + − + +=

+ +

(G.52)

3) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1 1 1 1 2 22 1 12

1 2 1 2

14.73 731.16 6.74 26 6.74 4.73 316.77

6.74 4.73o o o o

o o

v a v pe v pr v x a v x v a v prv a v pr v x av pe

v x v a v x v a

o o oJ J J Jv peC C C C

J JC C

R R T T R R T R R R R TR R T R R TT

R R R R R R R R

T C C C

+ + + + − + + ++ + += =

+ + + + + +

+ + − +=

+

(G.53)

4) ( ) ( ) ( )

2 1850335363.79 44

1 48350 5363.79 o

gpe gpr gpe

BT T T Co

Lp gpe gpr gpe gpr gpeR T T B T T e T C e−− ++ = + = +

(G.54)

5) ( ) ( ) 87.32CRpe Lp Lp gpe gpr CRpr Lp Lp gpe gprv p R T T v p R T T V= + − = + − (G.55)

6)

( ) ( )87.32

0.802CRpe CRpr CRpeLRpe LRpr

Lp gpe gpr Lp gpe gpr

v v v Vi i A

R T T R T T+ +

= − = −+ +

(G.56)

7) Lpe LRpei i= (G.57)8) 87.32 0.49

180CRpr

pcd

v VV V

μ = = =(G.58)


G-8

En la Tabla G.5 se muestran los datos obtenidos para las variables de desviación para diferentes valores de potencia pLp.

Tabla G.5 Valores de las variables de desviación. pLp (W) iLRpe (A) vCRpe (V) Tgpe (oC) Tv1pe (oC) Tv2pe (oC) 30 -4.87E-01 8.0918466 -2956.62838 -390.591887 -161.058288 35 -0.42451709 5.47988874 -2586.551 -341.702002 -140.8988292 40 -0.36225399 3.71007686 -2216.71492 -292.843994 -120.752514 45 -0.30052824 2.47571815 -1847.04515 -244.007956 -100.615259 50 -0.23935867 1.5999334 -1477.49487 -195.187706 -80.4845131 55 -0.17874017 0.97402006 -1108.03337 -146.379183 -60.3586029 60 -0.11865595 0.52777612 -738.639627 -97.5796104 -40.2363837 65 -5.91E-02 0.21402228 -369.298772 -48.7870254 -20.1170455 70 0 0 0 0 0 75 5.86E-02 -0.13766368 369.26474 48.7825298 20.1151919 80 0.11679986 -0.21603329 738.501569 97.5613722 40.2288633 85 0.17456179 -0.24781528 1107.71522 146.337153 60.3412721 90 0.23192694 -0.24263314 1476.90941 195.110362 80.452621 95 0.28891494 -0.20788421 1846.08711 243.881394 100.563071 100 0.34554409 -0.14932904 2215.25071 292.650562 120.672754 105 0.40183133 -7.15E-02 2584.40216 341.418125 140.781774 110 0.4577924 2.20E-02 2953.54306 390.184294 160.89022

H-1

Apéndice H:

Linealización del sistema

Apéndice H: Linealización del sistema

H-2

H.1. Introducción

El método de linealización utilizado en este apéndice esta basado en la serie de Taylor [1-3], la cual se utiliza para aproximar una función no lineal f(x(t)) en un punto de operación xr, por medio de un polinomio de orden n, lo cual se muestra en la ecuación (H.1).

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

22

2

33

3

12!

1 1 ...3! !

r r

r r

r r rx x

nn

r rnx x

df d ff x t f x x t x x t xdx dx

d f d fx t x x t xdx n dx

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(H.1)

Donde: 2

2, , ... ,r r r

n

nx x x

df d f d fdx dx dx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠, son las derivadas de f(x(t)) evaluadas en el

punto de operación xr.

La aproximación lineal consiste en eliminar todos los términos de la serie, con excepción de los dos primeros como se muestra en la ecuación (H.2).

( )( ) ( ) ( )( )r

r rx

dff x t f x x t xdx

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(H.2)

Substituyendo la definición de variable de desviación mostrada en la ecuación (H.3)

en la ecuación (H.2), se obtiene lo siguiente:

( ) ( )( )e rx t x t x= − (H.3)

( )( ) ( ) ( )r

r ex

dff x t f x x tdx

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

(H.4)

En la Figura H.1 se presenta la interpretación gráfica de esta aproximación. La

aproximación lineal es una línea recta que pasa por el punto (xr,f(xr)), con pendiente

( )r

dfdx x ; esta línea es, por definición, tangente a la curva f(x) en xr. Nótese que la

diferencia entre la aproximación lineal y la función real es menor en las cercanías del punto de operación xr, y mayor cuando se aleja de éste. Es difícil definir la región en la cual la aproximación lineal es lo suficientemente precisa como para representar la función no lineal; tanto más no lineal es una función cuanto menor es la región sobre la que la aproximación lineal es precisa [1-3].


H-3

f(x)

x

( )f x

x

Error de aproximación

( )r

dfdx x

Figura H.1 La aproximación lineal es tangente a la función en el punto de operación.

En el caso que tengamos una función no lineal ( ) ( )( )1 2,f x t x t con dos variables,

ésta se linealiza por medio de la siguiente ecuación [2]:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 2 1 21 2, ,

, ,r r r r

r r e ex x x x

df dff x t x t f x x x t x tdx dx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(H.5)

Si se tiene una función no lineal de n variables ( ) ( ) ( )( )1 2, ,..., nf x t x t x t , ésta se

linealiza con la siguiente ecuación [1-2]:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 11 , ,...,

22 , ,..., , ,...,

, ,..., , ,...,

, , ,

r r nr

r r nr r r nr

n r r nr ex x x

e nenx x x x x x

dff x t x t x t f x x x x tdx

df dfx t x tdx dx

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(H.6)

En el caso de un sistema de n funciones no lineales con n variables como se muestra

en la ecuación (H.7), éstas se linealizan con las ecuaciones (H.8) [1-2]. ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 1 2

2 1 2

1 2

, ,...,

, ,...,

, ,...,

n

n

n n

f x t x t x t

f x t x t x t

f x t x t x t

M

(H.7)


H-4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 2

1 2 1 2

11 1 2 1 1 2 1

1 , ,...,

1 12

2 , ,..., , ,...,

2 1 2

, ,..., , ,...,

, , ,

, ,...,

r r nr

r r nr r r nr

e e ne r r nr ex x x

e nenx x x x x x

e e ne


df dfx t x tdx dx

f x t x t x t

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2 1 2

22 1 2 1

1 , ,...,

2 22

2 , ,..., , ,...,

, ,...,

, , ,

r r nr

r r nr r r nr

r r nr ex x x

e nenx x x x x x

dff x x x x tdx

df dfx t x tdx dx

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 11 , ,...,

22 , ,..., , ,...

, ,..., , ,...,

, , ,

s s ns

s s ns s s

nn e e ne n s s ns e

x x x

n ne

nx x x x x


df dfx tdx dx

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

M

( ), ns

nex

x t

(H.8)

De forma similar a la linealización de una función no lineal f(x), también se linealiza una ecuación diferencial no lineal utilizando la serie de Taylor. Por ejemplo, supongamos que tenemos un sistema dinámico no lineal el cual consiste de una variable de entrada (u(t)) y de un variable de salida (x(t)), lo cual se muestra en la ecuación (H.9) [1-2],

( ) ( )( ),x f x t u t=& (H.9)

y que deseamos aproximar la conducta de este sistema no lineal por la de un sistema

lineal alrededor de un punto xr, el cual es un estado estacionario del sistema representado por la ecuación (H.9). Expandiendo el lado derecho de esta ecuación en series de Taylor hasta la primera derivada se obtiene la ecuación (H.10) [1-2].

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), ,

, ,r r r r

e e r r e ex u x u

df dff x t u t f x u x t u tdx du

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(H.10)

Derivando ahora la ecuación (H.3) se obtiene lo siguiente:

( ) ( )ex t x t=& & (H.11)

Substituyendo las ecuaciones (H.10) y (H.11) en la ecuación (H.9) se obtiene la ecuación (H.12), la cual es la linealización de la ecuación diferencia no lineal mostrada en la ecuación (H.9).


H-5

( ) ( ) ( ) ( ), ,

,r r r r

e r r e ex u x u

df dfx t f x u x t u tdx du

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

& (H.12)

En el caso de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales con n variables de estado y m entradas como el que se muestra en la ecuación (H.13). Este sistema se linealiza por medio de las ecuaciones (H.14) [1-2].

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 1 1

1 1

,..., , ,...,

,..., , ,...,

n m

n n n m

x f x t x t u t u t

x f x t x t u t u t

=

=

&

M

&

(H.13)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 11

1 ,..., , ,..., ,..., , ,...,

1

1 ,..., , ,..

,..., , ,..., ,..., , ,...,

, , ,

r nr r mr r nr r mr

r nr r

e e ne e me r nr r mr

e nenx x u u x x u u

x x u

x t f x t x t u t u t f x x u u

df dfx t x tdx dx

dfdu

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

&

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1

11

., ,..., , ,...,

1 1 1 1

, , ,

,..., , ,..., ,..., , ,...,

mr r nr r mr

e memu x x u u

ne n e ne e me n r nr r mr

dfu t u tdu

x t f x t x t u t u t f x x u u

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= =

M

&

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1 1

11 ,..., , ,..., ,..., , ,...,

11 ,..., , ,..., ,..., , ,...,

, , ,

, , ,

r nr r mr r nr r mr

r nr r mr r nr r mr

n ne ne

nx x u u x x u u

n ne me

mx x u u x x u u

df dfx t x tdx dx

df dfu t u tdu du

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(H.14)

H.2. Linealización del modelo del sistema en lazo abierto y cerrado H.2.1. Linealización del modelo del sistema en lazo abierto

Utilizando las ecuaciones (H.13) a (H.14) en el modelo no lineal del sistema balastro-lámpara en lazo abierto, el cual se muestra en las ecuaciones (H.15) a (H.24), obtenemos las ecuaciones (H.25) a (H.35).

1 1LRp CRp p cd

R R

i v u VL L

= − +&

(H.15)

( )1 1 1 1CRp


vv i i i

C C C CR T= − = −&

(H.16)


H-6

( ) ( ) ( )23

41

gp

BT t

Lp gp gpR T B T t e−=(H.17)

( ) ( )11 1

gp Lp gp v pg g g

T t q T TC C R

= − −& (H.18)

( )Lp p gp Lpq T pη= (H.19)

( ) ( )4

3g

BT t

p gpT B eη =(H.20)

( )2

CRpLp

Lp gp

vp

R T=

(H.21)

( ) ( ) ( )1 1 1 21 1 1


v g v v x

T T T T TC R C R R

= − − −+

&

(H.22)

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 22 1 2 2


v v x v v a


= − − −+ +

&

(H.23)

Lazo abierto: CRprp

cd

vu a

V= = , a es constante,. (H.24)

( )1 1 2, , , , , ,LRpe LRpe CRpe gpe v pe v pe e aei f i v T T T Tμ=& (H.25)

( )2 1 2, , , , , ,CRpe LRpe CRpe gpe v pe v pe e aev f i v T T T Tμ=& (H.26)

( )3 1 2, , , , , ,gpe LRpe CRpe gpe v pe v pe e aeT f i v T T T Tμ=& (H.27)

( )1 4 1 2, , , , , ,v e LRpe CRpe gpe v pe v pe e aeT f i v T T T Tμ=& (H.28)

( )2 5 1 2, , , , , ,v e LRpe CRpe gpe v pe v pe e aeT f i v T T T Tμ=& (H.29)

( )1 2, , , , ,r LRpr CRpr gpr v pr v pr arp i v T T T T= (H.30)

1 1 1 1 11 2

1 2

1 1

r rr r r

r r

LRpe LRpe CRpe gpe v e v eLp Cp gp v vp pp p p

e aeap p

f f f f fi i v T T Ti v T T T

f f TT

μμ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

&

(H.31)

2 2 2 2 21 2

1 2

2 2

r rr r r

rr

CRpe LRpe CRpe gpe v pe v peLp Cp gp v vp pp p p

pe aep a pp

f f f f fv i v T T Ti v T T T

f f TT

μμ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

&

(H.32)


H-7

3 3 3 3 31 2

1 2

3 3

r rr r r

rr

gpe LRpe CRpe gpe v pe v peLp Cp gp v vp pp p p

pe aep a pp

f f f f fT i v T T Ti v T T T

f f TT

μμ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

&

(H.33)

4 4 4 4 41 1 2

1 2

4 4

r rr r r

rr

v pe LRpe CRpe gpe v pe v peLp Cp gp v vp pp p p

pe aep a pp


f f TT

μμ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

&

(H.34)

5 5 5 5 52 1 2

1 2

5 5

r rr r r

rr


pe aep a pp


f f TT

μμ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

&

(H.35)

Evaluando la ecuaciones (H.31) a (H.35) se obtienen las siguientes ecuaciones:

1 cdLRpe CRpe pe

R

Vi vL L

μ= − +&

(H.36)

34

2 2 251

4 4

2

1 1 1

31

4gpr gpr gpr



T V B Vv i v T


⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

&

(H.37)

43

4

2

4 4 4

2 2 25 51

4 4 4

3

1

2 2 23 2 3 3 4

1 1 1

1

2

3 1

4

1

gpr

gpr

gpr gpr gpr

gpr gpr gpr

BT

CRpr gprgpe CRpeB

Tg

B B BT T T

CRps CRpr CRprgpeB B B


v pg g

B e v TT v

C B e



TC R

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟

+ + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+

&

e

(H.38)

( ) ( )1 1 21 1 1 1 1 1


v g v g v v x v v x


⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

&

(H.39)


H-8

( ) ( ) ( )

( )

2 1 22 1 2 1 2 2

2 2

1 1 1

1


aev v a


TC R R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

&

(H.40)

Donde: 0 peμ =

. (H.41)

O bien en forma de matriz, como se muestra a continuación en la siguiente

ecuación:

x Ax Bu= +& (H.42) Donde:

1

2

LRpe

CRpe

gpe

v pe

v pe

ivTxTT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

&

&

&&&

&

(H.43)

1

2

LRpe

CRpe

gpe

v pe

v pe

ivTxTT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(H.44)

pe

ae

uu

T⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(H.45)

12

21 22 23

32 33 34

43 44 45

54 55

0 0 0 00 0

0 00 00 0 0

aa a a

A a a aa a a

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(H.46)

12

1

R

aL

=(H.47)

21

1

R

aC

=(H.48)

34

222

1gpr

gpsB

TR

Ta

C B e

= −

(H.49)


H-9

2 2

514 4

223

1 1

3

4 gpr gpr

CRpr CRprB B

T TR gpr R gpr

V B Va

C B T e C B T e

= − −

(H.50)

43

4

2

332

1

2 gpr

gpr

BT

CRpr gprB

Tg

B e v Ta

C B e

=

(H.51)

4 4 4

2 2 25 51

4 4 4

2 2 23 2 3 3 4

33

1 1 1

3 1

4

gpr gpr gpr

gpr gpr gpr

B B BT T T

CRpr CRpr CRprB B B




= + − −

(H.52)

34

1

g g

aC R

=

(H.53)

43

1

1

v g

aC R

=

(H.54)

( )44

1 1 1

1 1

v g v v x

aC R C R R

= − −+

(H.55)

( )45

1 1

1

v v x

aC R R

=+

(H.56)

( )54

2 1

1

v v x

aC R R

=+

(H.57)

( ) ( )55

2 1 2 2

1 1

v v x v v a

aC R R C R R

= − −+ +

(H.58)

( )2 2

0

0 00 00 0

10

cd

R

v v a

VL

B

C R R

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

(H.59)


H-10

Evaluando la ecuación (H.42) con los datos del sistema mostrados en la Tabla H.1 se obtiene la siguiente ecuación:

6

5

11

22

0 200 0 0 01 10 9181 163.6 0 0

0 4.428 10 344.4 4172 00 0 1.876 22.86 20.980 0 0 0.0149 0.0363

3

LRpeLRpe

CRpeCRpe

gpegpe

v pev pe

v pev pe

iivv XTT XTTTT

−

⎡ ⎤ − ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

+

&

&

&

&

&

6000 00 00 00 00 0.0213

pe

ae

uT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(H.60)

Tabla H.1. Parámetros para el modelo del sistema en lazo abierto.

Parámetros del convertidor Reductor pLp Vcd vCRpr iLRpr

70 W 180 V 87.32 V 0.8017 A Parámetros de la lámpara

Rg Rv1+Rx Rv2+Ra B1 B2 B3 B4 75.36 oC/W 6.74 oC/W 4.73 oC/W 48350 1850 0.837 175

Cg Cv1 Cv2 Tgpr Tv1pr Tv2pr 1.6 μ J/oC 7.07 m J/oC 9.92 J/oC 5363 oC 731.2 oC 316.8 oC

H.2.2. Linealización del modelo del sistema en lazo cerrado Utilizando las ecuaciones (H.13) a (H.14) en el modelo no lineal del sistema balastro-lámpara en lazo cerrado, el cual se muestra en las ecuaciones (H.61) a (H.70), se obtienen las ecuaciones (H.71) a (H.81).

1 1LRp CRp p cd

R R

i v u VL L

= − +&

(H.61)

( )1 1 1 1CRp


vv i i i

C C C CR T= − = −&

(H.62)

( ) ( ) ( )23

41

gp

BT t

Lp gp gpR T B T t e−=(H.63)

( ) ( )11 1

gp Lp gp v pg g g

T t q T TC C R

= − −& (H.64)

( )Lp p gp Lpq T pη= (H.65)


H-11

( ) ( )4

3g

BT t

p gpT B eη =(H.66)

( )2

CRpLp

Lp gp

vp

R T=

(H.67)

( ) ( ) ( )1 1 1 21 1 1


v g v v x

T T T T TC R C R R

= − − −+

&

(H.68)

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 22 1 2 2


v v x v v a


= − − −+ +

&

(H.69)

Control retroalimentando la corriente de la lámpara (iLp):

( )1CRpe CRpr

p LprLp gpe gpr

v vs i

R T Tμ

⎛ ⎞+⎜ ⎟= −⎜ ⎟+⎝ ⎠

(H.70)

( )1 1 2, , , , ,LRpe LRpe CRpe gpe v pe v pe aei f i v T T T T=& (H.71)

( )2 1 2, , , , ,CRpe LRpe CRpe gpe v pe v pe aev f i v T T T T=& (H.72)

( )3 1 2, , , , ,gpe LRpe CRpe gpe v pe v pe aeT f i v T T T T=& (H.73)

( )1 4 1 2, , , , ,v e LRpe CRpe gpe v pe v pe aeT f i v T T T T=& (H.74)

( )2 5 1 2, , , , ,v e LRpe CRpe gpe v pe v pe aeT f i v T T T T=& (H.75)

( )1 2, , , , ,r LRpr CRpr gpr v pr v pr arp i v T T T T= (H.76)

1 1 1 1 11 2

1 2

1

r rr r r

r

LRpe LRpe CRpe gpe v e v eLp Cp gp v vp pp p p

aea p

f f f f fi i v T T Ti v T T T

f TT

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂+ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

&

(H.77)

2 2 2 2 21 2

1 2

2

r rr r r

r

CRpe LRpe CRpe gpe v pe v peLp Cp gp v vp pp p p

aea p

f f f f fv i v T T Ti v T T T

f TT

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂+ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

&

(H.78)

3 3 3 3 31 2

1 2

3

r rr r r

r

gpe LRpe CRpe gpe v pe v peLp Cp gp v vp pp p p

aea p


f TT

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂+ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

&

(H.79)


H-12

4 4 4 4 41 1 2

1 2

4

r rr r r

r


aea p


f TT

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂+ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

&

(H.80)

5 5 5 5 52 1 2

1 2

5

r rr r r

r


aea p


f TT

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂+ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

&

(H.81)

Evaluando la ecuaciones (H.77) a (H.81), se obtienen las ecuaciones (H.82) a (H.86)

.

34

2 2 251

4 4

2

1 1 1

31 11

4

gpr gpr gpr

gpr cd CRpr CRprLRpe CRpe cd gpeB B B

R RT T Tgpr gpr

sT V V B Vi v sV T

L LB e B T e B T e

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

&

(H.82)

34

2 2 251

4 4

2

1 1 1

31

4gpr gpr gpr



T V B Vv i v T


⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

&

(H.83)

43

4

2

4 4 4

2 2 25 51

4 4 4

3

1

2 2 23 2 3 3 4

1 1 1

1

2

3 1

4

1

gpr

gpr

gpr gpr gpr

gpr gpr gpr

BT

CRpr gprgpe CRpeB

Tg

B B BT T T



v pg g

B e v TT v

C B e



TC R

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟

+ + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+

&

e

(H.84)

( ) ( )1 1 21 1 1 1 1 1


v g v g v v x v v x


⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

&

(H.85)

( ) ( ) ( )

( )

2 1 22 1 2 1 2 2

2 2

1 1 1

1


aev v a


TC R R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

&

(H.86)


H-13

O bien en forma de matriz, como se muestra en la ecuación (H.87).

x Ax Bu= +& (H.87) Donde:

1

2

LRpe

CRpe

gpe

v pe

v pe

ivTxTT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

&

&

&&&

&

(H.88)

1

2

LRpe

CRpe

gpe

v pe

v pe

ivTxTT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(H.89)

peu u= (H.90)

12 13

21 22 23

32 33 34

43 44 45

54 55

0 0 00 0

0 00 00 0 0

a aa a a

A a a aa a a

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(H.91)

3

4

212

1

1 1gpr

gpr cdB

R T

sT Va

LB e

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(H.92)

2 251

4 4

213

1 1

31

4 gpr gpr

CRpr CRprcd B B

R T Tgpr gpr

V B Va sV

LB T e B T e

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(H.93)

21

1

R

aC

=(H.94)

34

222

1gpr

gprB

TR

Ta

C B e

= −

(H.95)

2 2

514 4

223

1 1

3

4 gpr gpr

CRpr CRprB B

T TR gpr R gpr

V B Va

C B T e C B T e

= − −

(H.96)


H-14

43

4

2

332

1

2 gpr

gpr

BT

CRpr gprB

Tg

B e v Ta

C B e

=

(H.97)

4 4 4

2 2 25 51

4 4 4

2 2 23 2 3 3 4

33

1 1 1

3 1

4

gpr gpr gpr

gpr gpr gpr

B B BT T T

CRpr CRpr CRprB B B




= + − −

(H.98)

34

1

g g

aC R

=

(H.99)

43

1

1

v g

aC R

=

(H.100)

( )44

1 1 1

1 1

v g v v x

aC R C R R

= − −+

(H.101)

( )45

1 1

1

v v x

aC R R

=+

(H.102)

( )54

2 1

1

v v x

aC R R

=+

(H.103)

( ) ( )55

2 1 2 2

1 1

v v x v v a

aC R R C R R

= − −+ +

(H.104)

( )2 2

00001

v v a

B

C R R

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

Evaluando la ecuación (H.87) con los datos de la Tabla H.1 se obtiene la ecuación

(H.105), la cual es el modelo linealizado del sistema.

6

5

11

22

0 200 339.5 5.891 0 0 01 10 9181 163.6 0 0 0

0 4.428 10 344.4 4172 00 0 1.876 22.86 20.980 0 0 0.0149 0.0363

LRpeLRpe

CRpeCRpe

gpegpe

v pev pe

v pev pe

ii s svv XTT XTTTT

−

⎡ ⎤ − − − ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= +−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

&

&

&

&

&

00

0.0213

aeT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(H.105)


H-15

H.3. Referencias 1[1] Smith, C. A. y Corripio, A. B., “Control Automático de Procesos: Teoría y Práctica”, Limusa Noriega Editores, 2000.

[2] A. Flores, “Linealización de Funciones No Lineales”, Universidad Iberoamericana, 2006.

2[3] K. Ogata, "Ingeniería de Control Moderna", 3ª edición, Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana, 1998. 3


H-16

rene...cenidet centro nacional de investigación y desarrollo tecnológico departamento de...

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