RAZÓN TRIGONOMÉTRICASon aquellos números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras:. a2 + b2 = c2 .

Teorema: . A + B = 90º .

DEFINICIÓN DE LAS R. T. PARA UN ÁNGULO AGUDODado el triángulo ABC, recto en “C”, se establecen las siguientes definiciones:

sen =

Cateto OpuestoHipotenusa =

ac

cos =

Cateto AdyacenteHipotenusa =

bc

tg =

Cateto OpuestoCateto Adyacente =

ab

ctg =

Cateto AdyacenteCateto Opuesto =

ba

sec =

HipotenusaCateto Adyacente =

cb

csc =

HipotenusaCateto Opuesto =

ca

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS1. Razones Trigonométricas Recíprocas

“Al comparar las seis razones trigonométricas de un mismo ángulo agudo, notamos que tres pares de ellas al multiplicarse nos producen la unidad.Las parejas de razones trigonométricas recíprocas son entonces:Seno y Cosecante : .Sen . Csc = 1.Coseno y Secante : .Cos . Sec = 1. Nótese: “ángulos iguales”Tangente y Cotangente : .Tg . Ctg = 1.

2. Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarios“Al comparar las seis razones trigonométricas de ángulos agudos, notamos que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulo sean complementarios”.Dado . + = 90º. entonces se verifica:

sen = cos tg = ctg Nótese: “ángulos que suman 90º”sec = csc

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN ÁNGULOS NOTABLES1. Triángulos Rectángulos Notables Exactos

30º y 60º

45º y 45º

2. Triángulos Rectángulos Notables Aproximados

37º y 53º

16º y 74º

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TABLA DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

∢R.T.

30º 60º 45º 37º 53º 16º 74º

Sen∢Cos∢Tg∢Ctg∢Sec∢Csc∢

DESARROLLA:1.Calcular

F= 4 . sen30º+√3 . tg 60 º10 . cos37 º+√2 . sec 45 º

2. Para evaluar: = 10º,

Si

F (θ )=sen3θ . cos6θ . csc( 9θ2 )tg3θ . sec 6θ cot( 9θ2 )

3. Si ABCD es un cuadrado calcular “tg”

4. En la figura mostrada “0” es el centro del cuadrante A0B; hallar “ctg”

NIVEL I

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5.Si: cos =

√1010 y 0º< <

90º Calcular: L = csc – ctg

Rpta. √10−13

6. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”) reducir: H = (tgB + ctgB)2 – (ctgA–tgA)2

Rpta. 4

7. El lado menor de un triángulo rectángulo ABC mide 14m y cosA = 0.96. Calcular el perímetro y área de dicha región triangular

Rpta. 112m y 336 m2

8. Siendo “”, “” y “” las medidas de 3 ángulos agudos que verifican el siguiente sistema de ecuaciones

Cos( + ) = sen20ºCsc( – ) = sec40ºCtg( – ) = tg80ºLuego uno de ellos será

Rpta. 55º

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NIVEL II9. Del gráfico; Hallar:

W=ctg (α+θ )tg (θ+β )

Rpta.

14

10. De la figura, hallar: “ctg

α2 ”

Rpta.

65

11. A partir de la figura mostrada, calcular:

N = tg + tg

Rpta. 18

12. Hallar la medida del ángulo agudo “x” en:

cos3x . tg2x. sen4x . ctg2x . sec3x . csc(60º – x) = 1

Rpta. 12ºCalcular:

H=√ (4 . cos36 º+9 . sen54 º ) . sec36 ºctg 18 º . ctg72 º

Rpta. √1313. Calcular:

B=

√33. ctg

π6+sec3 π

3−2 . csc450g

tg2 37º . tg 253 º . 3√Sen π4 . 3√cos π4Rpta.

3√2

14.En el triángulo rectángulo ABC. Si: 2AD = CD, Hallar: “Ctg2”.

Rpta.

43

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Soluciones

1. Calcular F= 4 . sen30º+√3 . tg 60 º10 . cos37 º+√2 . sec 45 º

Resolución Según la tabla mostrada

F=4 .

12+√3 . √3

10 .45+√2 . √2

F=2+3

8+2= 510 .

F=12 .

2. Sea

F (θ )=sen3θ . cos6θ . csc( 9θ2 )tg3θ . sec 6θ cot( 9θ2 )

Para evaluar: = 10ºResolución

Reemplazando = 10º en F(), tenemos: F (10 º )= sen30 º . cos60 º . csc45 º

tg30 º . sec60 º cot 45 ºReemplazando sus valores notables tenemos

F (10 º )=

12.12. √2

√33. 2 . 1

F (10 º )=

√242√33

=3√28√3

.F (10 º )=√6

8 .3. Si ABCD es un cuadrado calcular “tg”

ResoluciónCuando “” no está en un triángulo rectángulo: Luego, efectuaremos trazos de modo que “” y 53º estén en un triángulo rectángulo.De la figura:T.R. PMD: Notable de 37º y 53º.Luego suponemos que DP = 5kComo: DP = BC = 5KLuego el lado del cuadrado mide 5KSumando .PH + MD = AD.

PH + 3K = 5K PH = 2K

Sumando .PM + HB = AB. 4K + HB = 5K HB = K

Finalmente: .tg. =

PHHB

=2KK = .2.

4. En la figura mostrada “0” es el centro del cuadrante A0B; hallar “ctg”

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Resolución

Construimos un triángulo rectángulo OPH.Luego aplicando teorema de Pitágoras

x=2√3

En la figura inicial trazamos QE PH

PE=2√3−3QE=2

.ctg. =

PEQE = .

2√3−32 .

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