relaciones en r - matemática basica - ricardo figueroa garcía

313

:RELACIONES YFUNCIONES EN 82

CAPITULO

RELACIONES DEFINIDAS DE R EN R

DI EL PRODUCTO CARTESIANO DE R x R

En la Sección 3.3 señalábamos que el producto cartesiano AxB de dosconjuntos A y B se define como el conjunto de todos los pores ordenados(a,b) en los cuales la primera componente a, es elemento de A y la segundacomponente b. es elemento de B, esto es:

AxB = {(a,b)&AxBla&A y bEB}

Aná I ogamente, el producto cartesiano RxR, que se denota RZ, donde R es elconjunto de los números reales, se define como:

En el capítulo 4, Sección 4.9, introdujimos la noción de la recta real y vi

mos la correspondencia biunívoco que existe entre puntos de la recta y elconjunto de números reales. Cada punto sobre una recta numérica es la gráfl

ea de un solo número real y viceversa.

Para graficar una relación debemos disponer de un procedimiento pora grafi-car pares ordenados. El dispositivo más COI1'IU1YI'ICnteusado para este propósi-

to es el sistema coordenado rectangular o sistema coordenado cartesiano. Elsistema consiste en dos ~ectas mméricas, Ilanadas ejes de coordenadas, cortodas perpendiculannente en un punto O, llamado origen de coordenadas del

sistema. El eje horizontal se llama eje X o eje de las x y el eje vertical,eje Yo eje de las y. Los puntos a la derecha del origen tienen coordenadas'

.positivas y a .la izquierda del origen, negativas. Anólogamente los puntos

314 Capitulo 5: Relaciones

del eje Y arriba del origen tienen coordenadas positivos y los que estón a-bajo del origen tienen coordenadas negativos. Los ejes X e Y dividen al plgno en cuatro regiones Ilanadas cuadrantes yque se enumeran por 1, 11, 111 Y IV (Fig.S.l)

y

n«.»----1II

IIen sentido antihorario.Construido un sistema coordenado rectangularpodemos establecer una correspondencia uno auno entre el conjunto de puntos del plano yel conjunto de los pores ordenados de núnerosreales. Sea P un punto cualquiera del plano.Su proyección perpendicular sobre el eje X esun punto cuya coordenada es el níÍnero real ú-nico Q. La proyección perpendicular de P so-bre el eje Yes un punto que tiene como coor-denada al número real único b. Si tomamos g a camo el primer elemento de unpor y a b como el segundo, entonces con cada punto P del plano hemos asocigdo un por de números reales (a,b), único, y viceversa. El asociar a cadapar ordenado (a,b) un punto P nos llevo o las siguientes definiciones:

b

111 IV

FIGURA 5.1

Definición 5.J Si (a,b) es el par asociado con el punto P, entonces los n§meros a y b se Ilanan coordenadas de P; a se llama coornen!!

da x o abscisa de P; b es la coordenada y, u ordenada de P.

Definición 5.2 Si P es el punto asociado con el par ordenado (a,b), enton-ces se dice que P es la gráfica de (a.b).

Ejenplo. Graficar el conjunto de pares o~enados: {(2,3),(-3,2),(O,-2),(4,-1)} Y nombrar el cuadrante en que quedo cada uno.

yP--.II,

Solucí6n. Construimos primel'o el sistema regtangular XY. luego representamos y

marcamos cada uno de los puntos P(2.3),Q(-3.2)S(O,-2) y T(4.-1). Así, P queda en el 1 cua-drante, Q en el 1I, S Quedo sobre el eje 1) noestá en ningún cuadrante y T en el IV cuadra~

te.

~---

s----- .•

T

Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 315

ID DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Sean A(x"y,), Btxc .y«) y C(x"y,) tres puntos en R', tales que A y Cestén situados sobre una línea horizontal y,

By C sobre una línea vertical. (Fig.5.2)Entonces, por lo visto en valor absoluto:

d(A,C) = IXCI = Ix,-x,1 = Ix,-x,Id(C,B) = lcal = ly,-y,1 = ly,-y,1Luego, por el Teorema de Pitágoras:

IMl\' = IAGI' + Ial\'+ d(A,B) = I(x,-x,)' + (y,-y,)'

Y

Y2e21: Y2-Y 1

Yl t- A -------ic1I

I Io Xl X2 Xr-- iX:2 -X 1 --!

Figura 5.2

Ejemplo. Si P(a,a+1) es un punto que equidista de A(2,l) y B(-6,5), hallarel valor de a.

Solución. Se debe verificar que: d(A,P) = d(B,P)

Entonces, por la fónnula de distancia entre dos puntos:¡,r-( 0---2-)-:-'+-{-(-a-+1-)---1-]-:-'= I(a+6) , +{( a+1) - 5]'

+ (0'-40+4)+0' = (0'+120+36)+(0'-80+16) , de donde: 0=-6

m GRAFICAS DE RELACIONES DE R EN R Q

Un conjunto G de puntos del plano cartesiano es la gráfica de la relQ

ción R si verifican la propiedad:

"P(a,b)cG - (a,b)cR"

En la práctica, la gráfica de una ecuación de la fomla E(x,y)=O o inecuaciQnes de las fonnas: E(x,y) < O, E(x,y) > O, E(x,y) ~ O, E(x,y) ~ O ,en las

variables X e y, es la gráfica de la relación:R = {(x,y)IE(x,y)1

Veamos a continuación algunos ejemplos de gráficas de relaciones más impor-tantes.

11II GRAFICAS DE RE'LACIONES LINEALES DE LA FORMA: Qi = {(x,y)lax+by+c = 01

Tienen por gráfica una línea recta.

EJEMPLO l. Trazar la gráfica de la relación: Rl = {(x,y)e:R213x-2y+6=0}

r

316 Capitulo 5: Relaciones y funciones en R2

Solución. Según un postulado de la geometría que afirma que dos puntos distintos de

terminan una recta y sólo una, bastará hallar dos pares de la misma, de lasiguiente manera:

Si y=O -+ 3x+6=0 H x=-2. Así, (-2,0) es una so-lución de la ecuación dada.

Si x=O -+ -2y+6=0 H y=3Luego, (0.3) es una segunda solución.

Para obtener la gráfica requerida, solo necesita-mos unir los puntos P( -2,0) YQ(O,3) con una línearecta, dada que:

~ Trazar la gráfica de la relación: R2 = {(x,y)eR212x-3y=O)Solución. La relación R, tiene la forma ax+by+c=O, en la que c=O. En estos casos

(0,0) es una solución de la ecuación 2x-3y=0, es

decir, la recta pasa por el origen de coordenadas.Necesitamos un segundo punto para determinar larecta.

G(R,) = (P(-2,0) , Q(O,3}, +oo}

Como vemos: Dom(R,)= Ran(R, ) = (-00,+00) = R

--------~----~--~xSi x=3 -+ 2(3)-3y=0 H y=2 -+ P(3,2} es el otropunto.

Como G(R, ) = {(O,O) , (3,2) , ..... ,+oo} -+ Dom (R, ) = Ran (R2 ) = (-00,+00) = R

~ Trazar la gráfica de la relación: S = {(x,y)eR2I(x+2)(y-3)=O)Solución. Según el T.4.l4 f: ab=Ü H a=O v b=O

-+ (x+2)(y-3}=0 H x+2-0 v y-3=0 H x=-2 v y:=3

La gráfica de S es la unión de las gráficas de

R,={ (x,y)eR2Ix=-2) con R,={ (x,y}eR2Iy=3) , esdecir: G(R, )={(-2,0} , (-2,1 ), (.-2,2), (-2,n)}

es una recta vertical cuyos puntos tienen abscisa

constante: x=h

o sea Dom(R) = {-2} Y Ran(R,) = RG(R2 )=(-2,3) , (-1,3 ),(0,3} (n,3})

es una recta horizontal cuyos puntos tienen ordenada constante: y=kO sea: Dom(R,)=R y Ran(R2)={3) -+ G(S} U G(R2) = Toda la cruz

:. Dom(S}=Dom(R2 }=R y Ran(S)=Ran(R,}=R


EJEMPLO 4. .Trazar la gráfica de la relación;T = {(x,y)ER'\5x-3y+7=O, XE<-2,411.

Solución. Podemos observar que el dominio de T está

lo <-2,4). Luego, para esbozar sugráfica tomaremos los valores extremos de dicho intervalo, esto es:Si x=-2 + 5(-2)-3y+7=O ++ y=-l

+ P(-2,-1) ~ G(T)Si x=4 + 5(4)-3y+7=O ++ y=9 + Q(4,9)eG(T)Trazando el segmento PQ, sin incluir al pun-td p. tendremos la gráfica de T.

.-, 1)w¡(T)=<-2,4J Y Ran(T)=<..,.1.9)

restringido al inter~y

lIS GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA: QR 1 = { (;;;:,y)sR'\x2+y'=r2}; R • = I (x,y)s 112\ (x-h)" +(y-k)' =r Z}

Tienen por gráfica una circunferencia de radio r y centro Cl(O,O) y C.(h,k)respectivamente. Asi mismo, las relaciones de la formo R={(x,y)ERZ\x"+y'+Dx+Ey+F=OI tienen por gráfica una circunferencia o uno de sus casos especia-les, En efecto, completando el cuadrado para las variables x e y se tiene:.

ts: + ~)1 + (y + j) Z = {(DZ + E" - 4F)

Haciendo; = ~(D'+E'+4F) , ocurre que:

a) Si t > O, la gráfica de R es una circunferencia de centroradio r=t

b) Si t=O, la gráfica de R es un punto (- ~ ~ - i)c) Si t < O, R no tiene representación gráfica, es un conjunto vacío.

(-.Q~-~) y2 2

EJ~LO l. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:R.l =: {(x,Y)ERllx'+y'=4}

Solucioo. La gráfica de Rlles una circunferencia de centro C(O,O) y radio·~ y

Para deteminar el dominio despejanos y:y = tI4-x' + 3y ++ 4-x1 ~ O

- Xl ~ 4 ++ -2 ~ x ~ 2

Para deteminar el rango despejanos x:x =:tI4-y2 + 3 x +-+ 4-y2 ~O +-+ -2 ~ y~ 2

.'

" 318 Capítulo 5: Gráficos de Relaciones

.",Dom(R,) = Ran(R.J = [-2,2)

NOta. Dado que la gráfica de una circunferencia, de radio r, es simétricarespecto de su centro, entonces, una fonna práctica de hallar su doml

nio y su rango es la siguiente:a) Si el centro está en C(O,O)b) Si el centro está en C(h,k)

Dom(R) = Ran(R) = [-r,rJDom(R)=[h-r,h+rJ y Ran(R)=[k-r,k+rJ

EJEMPLO 2. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:R. = 1(x,y)E:R'14x'+4y'-"12x+24y+9=01 ."

SOlución. Completando el cuadrado para las variables x e y se tiene:4(x'-3x+914)+4(y'+6y+9) = -9+9+36 Y

de donde: (x-312)'+(y+3)'=9 + h=3/2, k=-3

La gráfica de R2 es una circunferencia de ce~tro C(312,-3) y radio r=3.Dominio de R.: y=f(x) - y+3 = ±19-(x-3/2)'- 3y ++ 9-(x-3/2)' >-- O ++ (x-3/2)' ~ 9

++ -3 ~ x-3/2 ~ 3 ++ -3/2 ~ x ~ 912 ~ [h-r,h+r]Rango de R.: x=f(y) ...•x-312 = ±19-(y+3)'

"x ++ 9-(y+3)' >-- O ++ (y+3) , ~ 9++ -3.$ y+3 .$.3 ++ -6.$. y.$ O = [k-r,k+r]

Dom(R,) = [-3/2,912) Y Ran(R.) [-6,0)

Observaciones:

(1) Si de (x-h)'+(y-k)l=r', despejamos y=f(x), obtenemos las ecuaciones:y = k ±/r'-(x-h)l

Obsérvese que ambas ecuaciones difieren en el signo ± antes del radic~l.Con relación a sus gráficas puede ocurrir lo siguiente:a) La gráfica de la reldción y=k+/rl_(X-h)l es una semicircunferencia de r~

dio r y centro C(h,k), ubicada en el semiplano superior de la recta y=k.Entonces: Dom(R)=[h-r,h+r] y Ran(R)=[k,k+r]

b) La gráfica de la relación y=k- Ir l-(x-h) 1 es una semicircunferencia decentro C(h,k) y radio r, ubicada en el semiplano inferior de la rectay=k. Entonces: Dom(R)=[h-r,h+r] y Ran(R)=[k-r,k]

(2) Si de (x-h)l+(y-k)l=r' despejamos x=f(y), obtenemos las ecuaciones:x = h ± I'rl-(y-k)1

a) La gráfica de X=h+1r2_(y-k)2 es una semicircunferencia de centro C(h,k)y radio r, ubicada en el semiplano derecho de la recta x=h. Entonces:


Dom(R)=(h,h+rl y Ran(R)=[k-r,k+rl

b) La gráfica de x=h-/r2-(y-k)2 es una semi circunferencia de centro C(h,k)

y radio r, ubicada en el semiplano izquierdo de la recta x=h. Entonces:Dom(R)=(h-r,h) y Ran(R)=[k-r,k+r).

EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:R, = {(x,y)eR2 jy+2 = '5+4x-x2}

Solución. y = -2 + /9-(x-2)2

El signo + antes del radical indica queel semiplano superior de la recta y=-2 (y ~ -2)Luego, la ecuación dada es equivalente a:(y+2)2=9-(x-2)2, y>,. -2 - (X-2)2+(y+2)2=9, y >/ -2

Semicircunferencia de centro C(2,-2) y r=3Entonces: h=2,Luego: Dom(R,)

Ran(R, )

k=-2 Y r=3[h-r,h+r) = (-1,5)

= [k,k+r) = [-2,1)

la gráfica de R, está en

y

x

EJEMPLO 4. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:R. = {(x,y)eR2jy = -/3-3x-x21.

Solución. y = -/3-(x2+2x+l)+1 = - /4-(x+l)2

Aqui, k=O y el signo negativo antes del radical indica que lagráfica de R. está en el semiplano inferior del eje X (y ~ O). Luego, la é-

cuación dada es equivalente a: yy=O ey2=4-(x+l)2, y ~ o ~ (x+l)2+(y-0)2=4,

Entonces: h=-l, k=O y r=2

Dom(R.) (h-r,h+rl = (-3,1)

Ran(R.) = [k-r,k) = (-2,0)

y s O x

EJEMPLO 5. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación:R. = {(x,y)eR2jx = -1 + /7+6y-y21. Y

$olución. x = -1 + /16-íy-3)2

El signo + antes del radical indica

que la gráfica de R. está a la derecha del se-miplano de la recta x=-l (x >,. -1). Entonces laecuación equivalente es: (x+l)'+(y-3)2=16, x ~ -1

h=-l, k=3 Y r=4 .• Dorn(Rs)=[h,h+r]=[-l,3].• Ran(Rs)=[k-.,k+r]= [-1,7J

320 Capítulo 5: Gráficas de Relaciones

Tienen par gráfica una parábola. Mediante el método de completar el

cuadrado, las ecuaciones de este tipo de relaciones pueden transformarse ala"forma: y = a(x-h)l+k , en donde V(h,k) es el vértice de cada parábola.Hay dos características importantes que tienen en común todas las parábolasa) Simetría. Cada parábola es simétrica con respecto a una línea vertical

llamada eje de simetría.b) Vértice. Es el punto donde la parábola intersecta a su eje de simetría.

Si la gráfica de la parábola se abre hacia arriba (a > O), suvértice es el punto más bajo de la curva; si se abre hacia abajo (a < O)su vértice es el punto más alto.

En las Figuras 5.3 ) 5.4 se muestran parábolas típicas, junto con las ecua-ciones cuyas gráficas son las parábolas respectivas.r-------~----------_,

lIIl GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA:

y=(:r+4)2I\\\,

II II /1,1

II

/ y=(X-4).2

" x-41- h=-4

Figura 5.3

y

x

Figura 5.4

En la Fig.5.3, se observa que tanto las gráficas de y~(X-4)1 camo la de y=(X+4)1 tienen la misma forma que la de y=x', solo que están desplazadas ho-rizontalmente 4 unidodes a la derecha e izquierda respectivamente.Análogamente, en la Fig.5.4, las gráficas de y=x1+3 y de y=xl-3 son las mi§mas que la de y=x' , solo que desplazadas verticalmente 3 unidades hacia a-rriba y abajo respectivamente.En general:

(1) La gráfica de y=a(:r-h)l tiene la misma fonna que la de y=ax1, pero des-plazada horizontalmente h unidades hacia la derecha si h > O, o haciala izquierda si h < O.

(2) La gráfica de y=ax2+k tiene la misma forma que la de y=ax2 pero despla-zada verticalmente k unidades hacia arriba si k >0 o hacia abajo si k< o.

'.


Cor.winando estos dos criterios podemos graficar parábolas de la fonna:

y=a(x-h)'+k, toncndo como base la gráfica de y=ax'.

EJEMPLO 1. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:

Rl = {(x,y)ER' ly=x'-6x+51

y=(x-3)'-1~- .• y

\\

y=x2.)..,

Solución. Completando el cuadrado: y=(x'-6x+9)-4

Tomando como base la gráfica de y=x' ,

se desplaza h=3 (h>O) unidades a la derechay luego k=-4 (k<0) unidades hacia abajo.Como a > O, el punto más bajo de la parábo-la es el vértice V(3,-4).Entonces: Dom(R1) R

Ran(R1) (-4,~>

y=(X-3)2....y,.I •I '

I

-4

x:O

vEJEMPLO 2. Trazar la gráfica de la relación R.={ (x,y)ER'14y+x'-4x=OI.

So:{ución. 4y=-(x'-4x+4)+4y

1

Completando el cuadrado se tiene:

++ y =-¿(x-2)'+1 + h=2, k=1

x

vComo a=-1/4 < O, la curva se abre hacia abajoo sea que el punto más alto es el vértice dela parábola: V(2,1). Sin usar el criterio an-

terior, esbozamos la gráfica de R. encontran·do otros dos puntos de la parábola.Para y=O + x'-4x=0 _. x=O o x=4

Un iendo el vért ice con los puntos 0(0, O) Y P( 4. O)

la relación. Entonces: Dom(R.)=R y Ran(R.)=<-=,1).obtenemos la gráfica de

Observac iones :

(1) Las relaciones de la [orma: 1~={(x,y)ERllx=ayl+by+cI tienen por gráfica.

una parábola de eje horizontal. Alediante el método de completar el cua-drado es posible transfonmar la ecuación a la fonna: x=a(y-k)'+h, y esbozar

su gráfica ~or los métodos ya conocidos.

Cuando a > O, la curva se abre indefinidamente hacia la derecha, y cuandoa < O, la curva se abre indefinidGTIente hacia la izquierda.

EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación:

R] = {(x,y)ER2Iy2_6y-4x+5=0} •

322 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones

Solución. Completando el cuadrado para la variable y, se tien.e:

(y'-6y+9)=4x-5+9 ~ (y-3)'=4(x+l) y

- x = 1(y-3)'-1 -> h=-l Y k=34Vértice de la parábola: V(-1,3)Como 0=1/4 > O, la curva se habre hacia la derecha sin límite.

v

Para x=O -+ y'-6y+5=0 - y=l o y=5Uniendo el vértice con los puntos P(0,1) yQ(0,5) obtendremos la gráfica de R •.

:. Dom(R.)=[-l,+w> , Ran(R.)=R

------~~~--------~x

(2) Las relaciones de la forma: R = {(x,y)ER'ly = k ± bl±(x-h) , o > 01 tignen por gráfica una semiparábola de eje horizontal (y=k).

En efecto, de la ecuación anterior: x=a(y-k)'+h, despejamos y=f(x):

(y-k)' = 1(x-h) - Y = k ± /1 (x-h)a aDado que a puede ser pasitivo o negativo, entonce~ haciendo: 1a (±b)'

obtenemos: y = k ± bl±(x-h) , b > O

La forma como están ubicadas las gráficas de las parábolas respecto de su ~je y=k: dependen de los signos ± antes del radical, y la forma como se ex-tienden o se abren las parábolas (hacia la derecha o izquierda) dependen delos signos ± dentro del radical. En consecuencia, existirán dos casos:

{

a) y = k + bl+(x-h)Caso 1: y' = k + bl±(x-h) •..•

b) y = k + bl-(x-h)

En este caso, la gráfica de la semiparábola se encuentra en el semiplano sgperior del eje y=k (y ~ k).En a) la curva se abre hacia la derecha y en b), hacig la izquierda.

a) __C b) y

k ~-------'\ J" /'I "-

" Ih <, O ..••. h x-- ----

{

a) y = k - bI+(x-h)Caso 2. y = k - W± (x-h) .•..•

b) Y = k - bl-(x-h)


.En· este caso, la gráfica de la semiparábola se encuentra en el semiplano il]

ferior del eje y=k (y $ k). En a) la curva se abre hacia la derecha y en b)hacia la izquierda.

k---

---- .•....y"- "- ,

\

k - --y~<.!:...- \

h----~----~~------------~xO O

EJEMPLO 4. Hallar el dominio, rango y trazar la gráficCf de las relacio-nes: R.={(X,y)ER'¡y+3 = v'2x+51 y R,={(x,y)ER'¡y-1 =-12-X1 . "-

Solución. En R.: y = -3 + (12)1+(x+5/2) + h=-5/2 Y k=-3

Tenemos el Caso la, la gráfica de la semiparábala está en el se-miplano superior· del eje k=-3 y la curva se habre hacia la derecha.En R,: y = 1 - (-(x-2) + h=2 Y k=l. Tenemos el Caso 2b; la gráfica de lasemiparábola está en el :;emiplano inferior del eje k=l," y 1 a curva se abrehacia la izquierda.

y y

--

------~~""c...*--xk=l

<,

"- ...••.-Gráfica de R. Gráfica de R.

Dom(R.)=[-5/2,+~>, Ran(R.)=[-3,+~> Dom(R,)=<-~, 2]. Ran(Rz)=<-~,ll

lIIl GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA

R=I (x,Y)ERzIAr'+<:y'+llx:+Ey+F=OI ; R=I (x,Y)ERZI ~ + L = 11a' b'

(x-n) Z (k) ZR = {(x,y)ER'¡ __ + ~ = 11a' b'

Tienen por gráfica una elipse, donde a es el semi eje mqyor, b es el semieje

menor y C(h,k) es el centro de la elipse.


EJEMPLO 1. Hallar el dOOJinio, rango y esbozar

.R, =1 (x,Y)ER"14x'+9yl=36}.x" ",Solución. 4x1+9y1=36 ++ - +..L. = 19 4

de donde: 01=9 + 0=3b1=4 + b=2

Dom(R,)=(-a,a]=[-3,3]; Ran(R,)=[-b,b]=[-2,2)

la gráfica de la relación:y

-3 t ¡j }3 • x

EJEMPLO 2. Ilallar el dOOJinio, rango y trazar la gráfica de la relación:R.=I(x,Y)ER' I16x'+9y"-64x+18y-71=O} ,

las variables x e y, se tiene:y

Solución. Cbmpletando cuadrados para

16(xl-4x+4)+9(y'+2y+l)=144

(x-2) 1 scu: = 1•...•. 9 + 16

de donde: 0"=16 + a=4 ; b1=9 + b=3h=2 Y k=-l + C(2,-1)

Dan(R,)=(h-b,h+o]=[-l,S]Ran(R,)=[k-a,k+a]=[-S,3]

hi \ I x

lID GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA:1 •

R={(x,y)sR"IAx"-Cy'+Dx+Ey+F=O' ; R={(x,y)sR"1 =- -L = 1a" b"

(x-h) 1 (y-kj 1R={(::c,y)sR"I __ - __ = l) ; R={(x,y)sR"I.ry=±a"/21a' b1

R={(::c,y)ER11(x-h)(y-k)=ta'/ZTienen por gráfica una hipérbola, donde a es el semieje transverso o real,o el semieje conjugado o imaginario y C(h,k) el centro de la hipérbola.

Q

EJEMPLO 1. Hallar el dOOJinio, rango y esbozar la gráfica de la relación:R,={(X,y)cR"I9yl_4:x:"=36'

1. ~~Solución 9y1-4x"=36 •...•..z - ~ = 1 ~• 49'

de donde: 01=4 + a=2; 01=9 + b=3 - 2J., Y J.. 80n asíntotas de la hipérbola, se ob- ~~.tienen de: 9yl-4:x:1=O ++ (3y+2:x:)(3y-2x)=O

- J., :3y+2::c=O o 1..:3y-2x=ODan(R,)=R ¡ Ran(R.)=<--,-2]u [2,+">

\.


EJEMPLO 2. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:R.={(x,y)€R"lx·-4y·+2x+24y-51=Oi.

Solución. Completando el cudrado para x e y se tiene:

(x'+2x+l)-4(y'-6y+9)=51+1-36

(x+1)' _ (y-3)' = 116 4

de donde: 0"=16 + 0=4 , b'=4 + b=2

h=-l Y k=3 + C(-l,3)Luego, Dom(R.)=<_o,-5l U [3,+0>

Ran(R2)=R

y

-5

NOta. Las hipérbolas equiláteras de la fonna: xy=±a'/2, tienen como asíntQtos a los ejes coordenados, y las hipérbolas equiláteras de la fonna

(x-n) (y-k)=±a'/2, tienen COO10 asíntotas a las rectas x=h, y=k.

EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:R.={ (x,y)€R2Ixy=-2i. y

Solución. Si xy=-2 + -0'/2 = -2 + 0'=4+ 0=2

Luego, Dom(R,) = Ran(R.) = R-{Oi-----::i~----•.x


R,={(x,y)€R'lxy-ZX-3y=2i.y

Solución. Despejando y=f(x) se tiene:_ 2x+2 _ 2 8

Y - x-3 - + x-3

8+ y-2 = x-3 ~ (x-3) (y-2)=J

Entonces: 0'/2 = 8 ~ 0"=16 + 0=4

h=3 Y k=2:. DOO1(R,)=R-{3i , Ran(R.J=R-{2i

lIIlJ GRAFICAS DE RELACIONES CON VALOR ABSOLUTO UEn R, según el T.49: Ixl=y ++ (y>-- O) A tx=y v x=ry)

Entonces, si: y=lxl -<---+ (y ~ O) 1\ {y=x v y=rx)

y si aplicamos la definición de valor absoluto para el ténnino Ixl, ocurre


{

X , si X ~ OY = !x! - y =

-x,six<OEn consecuencia, la grúfica de y=!x! equivalea la grúfica de cada una de las rectas: y=x ,y=-x, pero en el saniplano superior del eje X.

que:

(y ~ O).

y

------~~------~xEste mi&no criterio se sigue para ·esbozar gráficas de relaciones que invol~eran el valor absoluto.

EJEMPLO l. Halar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación:

R,=! (x,Y)f:R1!y = !~=!I}

Solución. Si X ~ 2 .. x-2 > O .. !x-2!x < 2 .•. x-2 < O .. 1:c-21

Luego, si ;r >. Z .. :c-Z -1 si x <y = Z-x =

= x-Z= -(x-2) = 2-x

y = 2-x = 12-x2

y=l i-11

Entonces, la gráfica de R, consiste en dospartes: la parte de la recta y=~l para x>Z,y la parte de l~ recta y=l, para :C<Z.:. D<lm(R¡)=R-{2} y Ran(R,)={-l,ll

1

EJF~PLO 2. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de ·10 relación:R1=!(x,Y)f:R1!y = (:c-2)+lx-11}

Ix-Z!+(:c-l)Solución. Eliminaremos las barras de ~~lor absoluto utilizando el método

de los puntos críticos, que en este caso son: x=l y x=Zx < 1 1 1 ~ s:< Z Z x~Z

[ce-r] = -(:c-l) I 1;r-1! = +(:c-l) I:c-ll = +(:c-l)iIx-21 = -(;r-2) I IX-21 = -(:c-2) Ix-z! = +(:c-Z)I

(:c-2)-(x-l) = -1 YPara: x< 1, en R.: y = (2-x)+ (;:C-l)

(;r-2)+(x-1) = 2x-3 11 .~ ;:c < 2, en R.: y= (Z-x)+(;:C-1)

x ~ 2, en R1: (:c-2)+(x-l) - 1 OY = (x-2 )+(:c-1) - -1


EJEMPLO 3. Dada la relación R.=I(x,y)ER1!y ::: ~»hal!ar su dominio,Ixl-zrango y trazar su gráfica.

Solución. En este caso,x < O

los puntos críticos son: x=O y x=2

O O-!;x<Z 2 x>Z

Ixl :::-x:Ix-21 = -(x-2)

Ixl = +xIx-zl :::+(x-Z)

T n __ n_-TI Ixl = +x I

: Ix-21 = -(x-Z) :

Para: ':'(x-2) 4x < O, en R.: y = --.,.,....,....= 1 - -4 ..- (x+2) (v-l)=-4-x-¿ x+ ..

-(x-2)O.$. x < Z, en R.: y = ----x-=z = -1

x-zx > Z, en R.: y =3:=2 ::: 1

Obsérvese que para x < O tenemos la ecu~ción de una hipérbola aquilátera.de cen-tro C(-2,l).

• Dan(R.) = R-{-Z,Z}

Ran(R.) = <-",-IJtJU,+"'>

y

~Jl~+-~-----VI 'z =x¿& _ O"

EJEMPLO 4. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:R.={(x,y)€R"llxl+!yl=a. a > 01.

Solución. Ixl+lyl=a .• Iyl=a-IxlEn este caso, aplicaremos la definición de valor absoluto para x

y luego, el T.49, de los números reales para Iyl, esto es:a) Si x ~ O .• Ixl=x .• Iy!:::a-x++ (a-x ~O) ~ (y=a-x v y=-a+x)

++ (O~ x ~ a) ~ (y=a-x v y=x-a)b) Si x < O" Ixl=-x .• Iyl=a+x ++ (a+x ~O) A (y=a+x v y=-a-x)

++ (-a -!; x < O) A (y=x+a v y=-x-a)y

•• Si O ~ x -s a {e-xx-a.• y =

{x+a-c ~ x < O .• y:::

-x-aTrazando la gráfica de cada una de estasrectos en el intervalo indicado, obtene-

mos la gráfica de R~. Nótese que es uncuadrado de centro (0,0) y cuyas diagongles miden Za. Entonces

Dan(~) = Ran(R~) = [-0.0]

a

x

'1...

a

-o


A base de la gráfica de Ixl+lyj=a podemos construir otras gráficas de rela-

ciones de la fonna: IX-hl+ly-kl=a, mediante una traslación de los ejes coordenados al nuevo origen C(h,k), centro del cuadrado de diugonales 20,

EJEMPLO 5, Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación:

R,=I(x,y)eR'IIX-31+ly-ll=31.

Solución. Aqui tenemos: h=3 y k=l + C(3,l) es el cent o del cuadrado cuyasdiagonales miden 20=6; luego, tr'asladando los ejes coordenados

al centro del cuadrado, medimos de este punto 3 unidades sobre los nuevos !!.jes, encontrando asi los vértices del cuadra- Y

do. Uniendo los cuatro vértices obtendremos

la gráfica de la relación dada.+ Dcmm,) [h-a,;l+a] [0,6]

Ran(R,) = [k-a,k+a] = [-2,4)

EJEMPLO 6, Hallar el doolinio, rango y trazar la gráfica de la relación:R.=I(x,y)ER11Ixl-lyl=a, a > Ol.

Solución. Ixl-Iyl=a + lyl=lxl-aSiguiendo los mismos pasos del ejemplo 4, tendremos:

a) x ~ O + Ixl=x + Iyl=x-a ~ (x-a ~ O) ~ (y=x-a v y=-x+a)(x >;. a) ~ (y=x-u v y=a=x¡

b) x < O + Ixl=-x + Iyl=-x-a (-x-a ~ O) ~ (y=-x-a v y=x+a)(x ~ -a) ~ (y=-x-a"v y=x+a)

Si x ~ a + y = {~=~ y

x s -a + y = {~~~aEntonces; Dam(R.)=<-'*, -a] U [a,+••>

Ran(R. )=R

Obsérvese que aqui la gráfica de R6 se

obtiene fácilmente prolongando los Io-

dos del cuadrado (trazo punteado), cuyos vértices están sobre el eje X.

----~~~~--~-----x

EJEMPLO 7. Hollar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:R7 = ( (x,y) E R21Ix+11-1y-21=2}.

Solución. Aqui tenemos: h=-l y k=2 + C(-1.2)


Si trasladamos los ejes coordenados de mg

do tal que el origen coincida con el cen-tro e, tendremos que en el nuevo sistemaX'Y', la ecuación de R se transfonna en:

Ix'I-ly'I=2, ecuación similar a la del e-jemplo 6, con a=2. En consecuencia, trazg

mos su gráfica en idéntica fonna .•. Dcm(R7)=<-",h-a] U [1I+a,+">

= <-••, -3] U [1,+~>

Ran(R7) = R


R.=Hx,y)&R11Iyl-lxl=a, a > 01.

SOlución. Iyl-Ial=a .• lyl=lxl+aComo en los ejemplos anteriores consideremos las condiciones:

a) Si x >... O -e- Ix\=x .• jy\=x+a(x >.- O A X >.- -a .• x >.- O)

b) Si x < O .• Ixl=-x • Iyl=-x+a(Pero: x <·0 A x.~ a .• x < O)

(x+a >~O) A (y=x+a v y=-x-a)(x >... O) A (y=x+a v y=rx-a}

(a-x >~O) A (y=-x+a v y=x-a)(x < O) A (y=a-x v y=x-a)

Luego, s i x >.- O • Y = { x+a-x-a

s i x < O .• Y = {a-xx-a

r~tese que la gráfica de este tipo de relacio-nes, se obt ienen prolongando los lados del cu~drado (trazo punteado) cuyos vértices estánsobre el eje Y •

•'. Dom(R.)=R Y Ran(R.)=<-oo,-a] U [a,+<»

EJEMPLO 9. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación:

S={ (x,y)e:R1 ly=;13+2x-x'I l.SOlución. y = 1-(x"-2x+l)+41 = 1-(x-l)'+41 = I (X-l)1-41

(y>...O) A [y=(x-l)'-4 v y=-(x-1Jl+4]----~--~¿~(1) (2)

Luego, la gráfica de la relación S consiste en la unión de las gráficas .de

las parábolas (1) y (2) ubicadas en el semiplano superior del eje X, yo quey ~ O. La parábola (1) tiene su vértice en Vl(1,-4) dirigida hacia arriba

•


(a=1 > O) .y la parábola (2) tiene su vérticeen V.(1,4) dirigida hacia abajo (a=-1 < O).Nótese en el resultado final (trazo continuo)

camo la parte' de la parábola (1) que se encueDtra en el semi plano inferior (trazo punteado)se ha reflejado hacia la parte superior, te-

niendo camo espejo al eje X.:. Dam(S)=R y Ran(S)= [O,h>

EJERCICIOS: Grupo 31

(1)

x

Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de cada una de las siguientes

relaciones.

1. R={(x,y)&R'12x-3y+6=01 16. R= {(x,y) &R'ly+1=13x+5 1

•2. R={(x,y)eR'lxy-2x+y-2=01 17. R= {(x,y) eR'ly=5+16-3~1

3. R={(x,y)&R'12x-3y+8=O, YE<2,6ll 18. R={(x,y)&R'I4:x:'+9y1-16x+18y=111

4. R={(x,y)&R'14x'+4y'-lCx+4y-47=01 19. R={(x,y)ER'I9:x:1+4y1+18x-32y=-371

5. R={(x,)i}ER'ly=1-115-2x-x'} 20. R= {(x, y)ERIxy-2:x:-y+l=01

6. R= {(x,y) eR'ly=-3+14x-x'} 21. R=1(X,y)ER'Iy=lx-11+XI

7. R={(x,y)eR1Ix=2+16y-y1 } 22. R={(x,y)dl11Ix-21=ly+1I, y >-- 01

8. R={(x,y)ER'lx'+y'-2Ixl-6y+l=01 23. R={(X,y)ER'ly = 11=~1 + x}

9. R={(X,y)ER1Ix'+y'-2:x:-4Iyl-11=01 24. R={ (x,y)ER'llx!+lyl =41

10. R={(X,y)ER1Iy=x'-2Ixl+31 25. R={(X,y)ER'llx+21+1y-31=41

1l. R={ (x,y)ER'lx1+2:X:-2y+7=01 26. R={(x,y)ER'llx!+ly+ll=21

12. R={(X,y)ER'12x1-4x+y+3=01 27. R={ (x,y) ER111:x:-11-ly+21=31

13. R={(X,y)ER'lyl+4y+3x-8=01 28. R={(x,y)ER111y-31-lx-ll=21

14. R={ (x,y)ER1Iy=1+12=X'1 29. R={(x,y)ER1Iy=lx'+4x+lI1

15. R={ (x,y)ER'ly=-16-2xl 30. R={ (x,y)ER'ly=13-115-2x-x1I }

*


11I3 GRAFICAS DE RELACIONES DEFINIDAS POR INECUACIONES Q

1) DESIGUALDADES LINEALES

Si el signo de igualdad de la relación R={(x,y)€R'lax+by+c=O~ se susti-tuye por uno de orden «, <,<, >" >), la relación resultante se llama desi-gualdad lineal en x e y.

Sabemos que la gráfica de R es una linea recta y

no vert ical (biD) cuya ecuaci6n se puede escr i

bir: a cy = -"bX - b

- L: y = mx + k

Esta gráfica divide al plano XY en dos regio-nes o semiplanos R, y R., Y sirve de fronteraa dichas regiones, cuyas gráficas se basan en el siguiente teorema.

TEOREMA 5.1 El punto P,(X"y,) está en el semiplano superior de la rec-

ta L:y,~+k si y sólo si y,>r.t"C,+k, y está en el semiplanoinferior si y sólo si y,~,+k.

Demostración. En efecto, consideremos en el plano XY dos puntos con igual

abscisa: P,(X"y,) y P,(X"y.), de modo que p. esté sobre larecta L (frontera), es decir:

Si P,(X"Y.)EL - y. = mx, + k (1)

Se observa que si P, está en el semi plano superior (R,)de la recta L (Figgra 5.5), si y sólo si, y, > y.Sustituyendo en (1), se tiene: - y, > mx, + k

Del mísmo modo, P, está en el semiplano inferior (R.) de la recta L (Figura

5.6), si y sólo si: y, < y.- y, < mx, + k

y P, (x, ,y,)~I

IIP.(X"y.)

----:::0-(>---+---...::-...;:--- xIbP,(x,;y,)

Figura 5.5 Figura 5.6


EJ!llPLO 1. Construir la gráfica de la relación; R={(X,Y)ER"12x+y > 4}.

SOlución. Los posos que se deben seguir para construir gráficas de relaciQnes de este tipo son los siguientes: y

(1) Despejar y en términos de x L'V ss .••.:.-:.=·-:..,.:..~."''-r''";~·•.

2x+y> 4 - y> 4-2x ~~~~if?A~~~~i~(2) Graficar la frontera L:y=4-2x \~~10..~)~.;~~~~~i

(Con trozo punteado por la desigualdad es \"'--"""""-1."":_':;f·~~/~~:~~~~·:~L~~tr.icta » ~:(,:~~~.:?:":..f';;~~.~"#~·~{r:'::-i-~...~..c;.(3) Apl icor el Teorema 5.1. Por (1), la gráfi. '..!..',~< ' .••• :;:~~

\'j~~f~:~#~:';t.~:ca de R es la total idad de puntos que se ••..<,.• 0;;-'"", - .•

O ";-~.;.'?-~~!!:~;::..11 ~encuentran en el semiplano superior de lo V.J~:)~_!f.:~

i;-""'~!~"Xtrecto L, sin incluir los puntos de frontera ~':;',!.r.c.':,-.."\

:. Se sanbrea el semiplano superior,(4) COmo comprobación tomemos un punto del semiplano

origen (0,0), y sustituyamos en R: 2(0)+0 > 4.,., Los puntos del semiplano inferior no sat is jacer:

inferior, tal como elO > 4, es fal~o.la desigualdad.

COmo consecuencia del Teorema 5.1, enunciamos el siguiente:

Corolario. El punto P1(x"y,) está en el semiplano superior y sobre la rec-ta L:y=+k si sólo si y, ~ tm:, +k, Y está en el semiplano infe-

rio,. y sob,.eella, s i y sólo si: y, ~ tm:, +k.

EJEMPLO 2. Const,.uir la gráfica de lo relación: R={(x,Y)ERlI2x-y+2 ~ O}.

SOlución. (1) 2x-y+2 ~ O - Y ~ 2x+2

(2) Groficamos la frontera L:y=2x+2

con trazo contínuo.(3)Por (1). la gráfica de R está constituida

por los puntos sobre L y la totalidad depuntos del sem/plano inferior a ella.

EJ~LO 3. Construir la gráfica de la región que consta de los puntos quesatisfacen la relación: R={(X,Y)ER"I(x+3y ~ 6) ~ (2~y+5 > O)}

SOlución. (1) Si x+3y-6 ~ O ++ Y ~ 2-:r/3; 2x-y+5 > O ++ Y < 2x+5

(2) Sean L1:y=2-x/3 L,.:y=2x+5

Trazanos las gráficas de Ll con trazo continuo y la de ~ con trazo pun-teado.


(3) Según (1), la gráfica de R está constitui-

da por los puntos de intersección de la r~gión ubicada en el semiplano superior y sobrela recta L" c~n la región ubicada en el semi-plano inferior de la recta L.,

EJEMPLO 4, Construir la gráfica de la relación:

S = {(x,Y)ER'12x'-3:cy-2y'+Sx+4y ~ O},

Solución, 2x'-3xy-2y'+8x+4y = (2x+y)(x-2y+4)

(1) Sean las rectas L,:2x+y=0

L. :x-2y+4=0(2) L, n L. determinan en el plano 4 regiones

R, , R. , R, Y R.

Tomemos un punto de cada región y compro-bemos si satisfacen a la relación:S = {(x,y)ER11 (2:c+y)(;c-2y+4)~ O}

(3) (l,O)ER, (2+0)(1-0+4) ~ O 10 ~ O, es falso R,tS(0,3)ER. (0+3)(0-6+4) .s O -6 .s O, verdadero ,",R.ES(-5,0)ER, (-10+0)(-5-0+4) -1'; O 10 ~ O ,falso ,',R,tS(-l,O)ER. (-2+0)(-1-0+4) ~ O -6 ~ O ,verdadero ,',R.ES

(4) Por lo tanto, la gráfica de S es la de R1u R., o sea:

Graf(S) Graf(R.u R.)

y

EJEMPLO 5, Construir la gráfica de la relación:

S = {(x,y)ER'IXE(-3,5>, YE[-2,4]}Solución, (1) Si XE(-3,5> •• -3 ~ x < 5 (R,)

y<:(-2,4] -2 ~ Y ~ 4 (R.)

(2) R, es la intersección del semiplano a laderecha de x=-3 con el semiplano a la iz-

quierda de x=5 (No incluida)

R. es la intersección del semiplano superior

de la recta y=-2 con el semiplano inferior dela recta y=4,

(3) Por lo tanto,rectas x=-3 ,

y

4

la gráfica de S es el área rectangular confonnada por lasx=5 , y=4 , y=-2

.'

334 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones .

EJEMPLO 6. Ha'llár el dominio. rango y construirT= {(x.y)o:R11Ix+ll~ 3. ly-21 > 1}.

Solucióñ. (1) IX+ll ~ 3 ++ -3 ~ x+I ~ 3++ -4 ~ x ~ Z (R.)

ly-21 > 1 ++ y-2 > 1 v y-2 < -1

++ (y > 3) v (y < 1) (R.)

(2) Rl es la intersección del samiplano a laderecha de x=-4. con el samiplano a la i!

quierda de x=5. R. es la unión del semi planoSUperior de la recta y=3 con el samiplano in-ferior dela recta y=l (Las fronteras y=1. y=3no está~incluidas).'(3) Entonces: Graf(T) = Graf(Rl) Graf(R.) es el área sombreada.

:. Dan(T)=[-4.2) y Ran(T)=<-"',l>U <3.+"'>

la gráfica de la relación

EJEMPLO 7. Construir la gráfica de la relación:S = l(x.y)ER·llxl+lyl 92. si xy >,. O o Irl+lyl.:> 2. si ~Ol

Soluci6n. (1) Ixl+lyl >,,2 , si xy >....0

xy >,. O ++ (;;.: >..- O A y'>,. O) v (x ~ O A Y ~ O)Si (x >,. O) A (y >,. O) .•. x+y >,. 2 ++ Y >,. 2-x (Rl)

(x ~ O) A (y $ O) .•. -x-y> >,. 2 - Y ~ -2-x (R.)

Considerando las restricciones del dominio y rango, 14 es la totalidad depuntos en el semiplano superior de la recta L1:y=Z-r, y R. está formado porlos puntos del semiplano inferior de la recta L1:y=-Z-x.(2) Ixl+lyl -s2. si xy < O r-----~:--------.

xy < O - (x > O "" Y < O) v (x < O "" Y > O)(x >0 A Y <O) .•. x-y ~ 2 - Y ~ x-2 (R.)CX <O "" y>'O) .•.-x.j.y'~2 - Y ~x+2 CR.)Considerando las restricciones,del dominio yrango. R. es la totalidad de puntos en el se-miplano superior y sobre la r~cta L,:y=x-Z. yR.,está formada por los puntos en el samipla-no inferior y sobre la recta L.:y=:x:+2.(3) Graf(S)=Graf(R1 U R.) Uc-sr:«, UR.)

-EJEMPLO 8. Construir la gráfica d~ la relaci6n:T ={(x,Y)E:rlo~ Ixl ~ 3, 1x-31~ 1)1+11>


Soluci6n. (1) Si [ce] ~ 3 .•..•-3 ~.J: ~ 3Pero Ixl ~ O + O ,< .:c,<3 (S)

Entonces: S={(x,y)dPIO ,< x -s 3}

1x-31 ~ Iy+ll 1x-31' ~ 1y+11'- (x-3)'-(y+l)'..:: O - (x+y-2)(x-y-4) .$ O

(2) Sean L,:x+y-2=O y L.:x-y-4=O, entonces

L,n L., detenninan en el plano 4 regiones

R, , R. , R. ' R ••

Veamos cual de estas regiones satisface la r~lación: R={(x,y)cll'¡ (x+y-2)(x-y-4) ..$- O}.

(4,-1)ER, + (4-1-2)(4+1-4) ~ O + 1 ~ O , falso(3,O)ER. + (3+0-2)(3-0-4)..$- O + -1..$ O, verdad +

(O,O)eR. + (0+0-2)(0-0-4) ~ O + 8 ~ O, falso +

(3,-2)ER. + (3-~-2)(3+2-4) ~ O + -1 ~ O, verdad

(3) Luego: Graf(R) = Gl'af(R.) I.J Graf(R.)(4) Por lo tanto: Graf(T) = Graf(S)f1 Graf(R)

Esto es, la gráfica de T es la porción de R.UR. entre 0.$ x ~ 3.

(4, -i u«(3,O)ER

(O,O)~R+ (3,-2)tR

EJEMPLO 9. Resolver gróficamente y detenninar el conjunto de coordenadasenteras, no nulas y positivas de la relación:

R = {(x,y)CRlI2x+3y-12,< O , 2x-Sy+S < OL

ySoluci6n. (1) Si 2x+3y-12 ~ O + Y ~ 4-2x/32x-Sy+S < O + Y > 2x/5+1

(2) Sean L,:y=4-2x/3 , L.:y=1+2x/5Construimos las rectas L. con trazo cont!nuo y L. con trazo punteado.

(3) Según(1), la gráfica de R lo constituyen l-b""'"_~....J...-',-....J...__ ,""",,_'¡;'.

[a totalidad de puntos de intersección dela región ubicada en el semiplano inferior y ~ --'

sobre la recta L" con la regi6n ubicada en els~niplano superior de la recta L••

(4j En e[ 1 cuadrante se trazan lineas poralelas a los ejes coordenados cu-yas intersecciones no~ darán las coor~enadas pedidas, esto es:

s = {(1,2),(l,3),(2,2)}

Nótese que P(3,2) satisface 2x+3y-12 ~ O, pero no a 2;x:-5y+5< o.



COnstruir la grófica de la región descrita por las siguientes relaciones:

J. El = Ux,y)t:R11(2.r+-y-3 >.. O) ••. (x-y+2 > OH

Z. El = Hx, y) t:R1I(x+4y-6 -s O) ••. (~6y+i ::>;.. Ol)

3. El = I(x,y)t:R11 (2.r-y-5 ~ O) " (y-3x+3 ~ on4. R = {(x,y)t:R" I(2.r-y+8 ~ O) " (4y-4x+l >.. Ol)

5. R = ((x,y)t:R11 (3.x+y-17 >.. O) ,. (5x-2y-lO > O)}

6. R = l(x,y)t:R11(2.r-y+l ~O) A (6.r-3y-2 < O)}

7. R ~ l(x,y)t:R11(lx-lOy-4 < O) v (4x+6y-15 < O)}

8. R = {(x,y)cR11.r-2y-4 ~ O, 6x+y-ll >.. O, 4x+5y-20 -s 01

9. R = l(x,y)t:R11(3.x+y-4 > O) A (x-2y+l < O) ,..(2x+3y-19 < O)}

10. R = I (»,y) t:R1I(.r-2 >.. O) •.. (y+5 >.. O) A (.r-y ::>;.. O) A (2x+y-20 < O)}

ll. R = {(x,y)t:R111y+l ¡ ::>;..3 A I.r-ll < 6 12. R={(x,y)e:R111.r-21 +3y-4 < O}

13. R = {(x,y}cR1IO < ys ~ A y> Ixl-l} 14. R={(x,y)t:R"IIy-xl ~ 2x}

15. R = {(x,y)cR"llxl+!yl ::>;..2 •..x-4y+4 >.. 01

16. R = {(x, y) cR111x+2I+!x+31+4y-5 ,< O ••• x-y ~ O}

17. R = {(x,y)e:R1Iy ~ x, Ix!+lyl S 6, x >,.- O}

18. R = {(x,y)cR1Iy ~ -Ixl ' 2 < [ce] ~ 4 , y::>;..-6}

19. R = {(x,y)cR"llyl=lxl , Ixl+lyl ~ H 20. R={(x,y)cR11Ix+yl ~ l}

%J. R = Hx,y)cR11Ixl-lyl -s 2, Iyl ~ l}

U. R = I(x,y)cR11(lxl-lyl ::>;..4)A (Ixl ~ 6)}

23. R = I(x,y)cR1 1(Ivzl-!y-31 ::>;..4) A (Iv21 -s 6) ••.(1y-31 ~ 6H

24. El = I(x,y)cR11(1.r-2!+1y-31 ~ 6) ••.(Iyl ~ x))

2S. COnstruIr la gráfica de la región descrita por las relaciones:a) R = Hx,y)cR1Ixa-Z.ry+h+2y-3,< 01

b) S = Hx,y)cR"12xl-5xy+2y"+.r-2y ::>;.. 01

(SUgerencia: Factorizar y aplicar la regla de los signos)

%6. Hallar el área de la región acotada por la relación:


R = {(x,y)ER'llxl+lyl >-. 2 , Ixl ~ 6 , Iyl -s 4l

Resolver gráficamente y detenninar las coordenadas enteras no nulas y posi-tivas de las siguientes relaciones:27. R = {(x,y)ER'I (x+2y ~ 8) A (x-3y+3 < O)l

28. R {(x,y)ER'I (Sx-2y > O)

29. R I(x,y)ER'I (Sx-2y >10)

(8x+Sy < 40)l

(2x+3y~ 12)l

*En conexión con las ecuaciones cuadráticas de dos variables vemos a

la siguiente manera:x > ay'+by+cx < ay'+by+c

donde a,b,cER.La porábola cuya ecuación es y=ax'+hr+c divide al plano en dos regiones (s~miplanos), en una de las cuales y > ax'+hr+c y en la otra y < ax'+hr+c. Ni~guna de las regiones contiene a dicha porábola (frontera).La gráfica de una inecuación cuadrática se basa fundamentalmente en los si-guientes teoremas:

TEOREMA 5.2. El punto P,(x"y,) está en el semiplano interior de la pargbola P:y=axt+hr+c, a > O, si y sólo si, y, > ax~+hr,+c y e~

tá en el semiplano exterior de ella si y sólo si y, < ax~+hr,+c.

Demostración. En efecto, consideremos dos puntos con igual abscisa P,(x',Y0y P, (x "y,) de modo tal que P, esté sobre la parábola p, es

(1)

y

---O~-------------X~l----~'X

11)DESIGUALDADES CUADRATICAS

considerar inecuaciones relacionadas dey > ax'+hr+cy < ax'+hr+c

decir:

Figura 5.7 Figura 5.8


En la figura 5.7 se observa que P, está en el semiplano interior de la pargbola P, si y sólo si: y, > y,

y sustituyendo en (1) se tiene: y, > ax~+bx,+c

De igual modo, p, está en el semiplano exterior de la parábola P (Fig.5.8),si y sólo si: y, < y,esto es: y, < ax~+bx,+c

Corolario. El punto P,(x"y,) está en el semiplano interior y sobre la pargbola P:y=ax'+bx+c, a > O, y, ~ ax~+bx,+c , y está en el se-

miplano exterior y sobre ella, ++ y, ~ ax~+bx,+c

Nota. Para la parábola P:x=ay'+by+c, a > O, se sigue el mismo criterio pargconstruir gráficas de relaciones: x> ay' +by+c , a > O

x < ay' +by+c , a > O

Esto es, el punto P,(x"y,) está en el semiplano interior y sobre la parábQla P:x=ay'+by+c, a > O, ++ x, > ay~+by,+c, y está en el semiplano externoy sobre ella ++ x, < ay~+by,+c

TEOREMA 5.3 El punto P, (x"y;) está en el semiplano interior de la parábola P:y=ax'+bx+c, a < O, si Y sólo si y, < ax~+bx,+c, y e2

tá en el semiplano exterior y sobre ella ~y, > ay~+by,+c.

TEOREMA 5.4 El punto P,(x"y,) está en el semiplano interior de la parªbola P:x=ay'+by+c, a < O, ++ x, < ay~+by, +c , y está en el

semiplano exterior de la parábola ++ x, > ay~+by,+c.

EJEMPLO 1. Construir la gráfica de ia relación:

Rl ={ (x,y)ER'!x'-2x-3-y -s O}.

Solución. (1) Despejamos y en ténninos de x:y ~ x'-2x-3

(2) Trazamos la parábola P:y=x'-2x-3=(x-1)'_4

de donde: h=l y k=-4 V(1,-4)

Para y=0 + x'-2x-3=0 ++ x=-1 o =3Con estos 3 puntos construimos la parábola

(3) Según el Teorema 5.2, (a=1 > O), la totalidad de puntos de la relación Rl' se encue~tra en el semiplano interior de la parábola.

x

Sección5.3: Gráficas de Relacionesde R enR 339

Solución. (1) En este caso despejamos x en ténninos de y: x ~ -2y1_4y+3

(2) Sea la parábola P:x -2y1_4y+3.-. x = -2(y+1) 1+5

de donde: h=5 y k=-l ~ V(5,-1)

Para y=O .• x=3 .• A(3,0)EP. Un punto simétrl

co de A respecto del eje k=-l es 8(3,-2).

Luego, construimos la parábola que pasa por

estos tres puntos.

(3) Según (1): a=-2 < O, entonces por el te~

rema 5.4, la total idad de puntos que sa-

tisfacen la relación R1 están en el semiplano ~--~--------------~exterior de la parábola (se sombrea esto región).

EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la relación

S = {(x,yhR1!y-x1+10x >, 24, :x;+y-6 < 01.

Solución. (1) y >, x'-10x+-24 (R,) y < B-x (R1)

(2) Sean, P:y=x1-10x+24 ~ y=(x-5) 1-1 , y L:y=6-x

De la ecuación de la parábola: h=5 y k=-l V(5,-1)

(3) PnL = A(6,0) y B(3,3)

(4) Construimos la parábola que pasa por V, A

Y B, Y la recta L que pasa por A 'Y B. "-(4) Según (1), R, es la total idad de 'puntos en

el interior Y sobre la parábola P, Y R1 esel conjunto de puntos en el semiplano inferior

de la recta L.

EJEMPLO 2. Construir la gráfica de la relación:

R1 = {(x,y)eR1!x+2y1+4y-3 >~Ol.

Graf(R,) n Graf(R1)

La parte sombreada.(7) Dom(S) = <3,6>, Ran($) = [-1,3>

(6) :. c-orts¡

y.

O-1 v

Nota. En conexión con las ecuaciones cuadráticas E(x,y)=O (circunferencia,

elipse, hipérbola) están las gráficas de las desigualdades asociadas:E(x,y) > O , E(x,y) >-- O , E(x,y) < O , E(x,y) ,< O

La gráfica de cada una de estas inecuaciones cuadráticas se basan en la a-

plicación del siguiente teorema:TEOREMA 5.5 Sea P(x,y) un punto de una de las regiones en que una

gráfica de la ecuación E(x,y)=O divide al plano. Si E(x,y»O

(


para P(x,y) entonces E(x,y) > ° para cualquier otro punto de la región de P

Como consecuencia de este teorema es posible trzar la gráfica de cualquierdesigualdad cuadrática de la siguiente manera:

(1) Dibujando la gráfica de la ecuación E(x,y)=O.

(2) Comprobando la verdad de la desigualdad dada en un punto P(x,y) de cada

una de las dos regiones en que la gráfica de E(x,y)=O divide al plano.

(3) Sombrear la región o regiones en las cuales la prueba anterior es afir-mat ívc.

EJEMPLO l. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la relaciónR = {(x,y)ER1Ix1+y1_8x+4y+1l ~ 01.

Solución. (1) Sea ~:x1+y1-8x+4y+11=0 (frontera)

Completando el cuadrado para x e y se tiene:(x1-8x+16) +(y1+4y+4)=-11+20 ++ f:(x-4)1+(y+2)1=9

de donde: h=4, 'k=-2, r=3 + C(4,-2)(2) Tomamos un punto cualquiera del plano, de

preferenci'a, el origen. Entonces:

Es (O,O)ER? + 01+01-8(0)+4(0)+11 ~ °~ 11 ~ 0, es falso, luego (O,O)tR

(3) Por lo tanto, la gráfica de R es la regióninterior de la circunferencia incluyendo

la frontera t:(4) Dom(R) [h-r,h+r]

Ran(R) = [k-r,k+r][1; 7]

[-5,1]

EJEMPLO 2. Construir la gráfica de la relación: R={(X,y)ER113x1+4y1 >,121

Solución. (1) Sea E:3x1+4y1=12 (frontera)

.• ~1+ f1 = 1

de donde: 01=4 + 0=2, b1=3 + b=13(2) Es (O,O)ER?

.• 3(0)"+4(0)1 >....12 - ° >....12, es falso

(3) Luego, la gráfica de R. es la región exte-

rior de la elipse, incluyendo la frontera E.

x

EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de larelación: R = {(X,y)E R21x2_y2 > 9}.

(


Solución. (1) Sea H:X2_y2=9 (frontera)

Hipérbola equilátera de la fonna: x2_y2:a2 + 02=9 + 0=3

Dibujamos la frontera con linea de puntos.

(2) Es (O,O)ER?- (0)2-(0)2 > 9 •• O > 9, es falso

(3) Entonces, la gráfica de R es la región in-terna de las dos ramas de la hipérbola sin

incluir la frontera H.(4) Dom(R) = <-~,-3>u<3,+~> ; Ran(R) R

x

\'.:,:;\ "'.;,:".\ "

EJEMPLO 4. Construir la gráfica de la relación:R : 1 (tx, y)ER21:x:y+x-2y-4 >•...01.

Solución. (1) Sea H:xy+x-2y-4=0 (frontera)

4-x 2~ y(x-2)=4-x ~ y = x-2 ~ y = -1 + x-2 ~ (x-2)(y+l)=2

equilátera de la fonna: (x-h)(y-k)=a2/2h=2, k=-l ~ C(2,-1), 02=4 + 0=2

Hipérbola

Entonces:y

Dibujamos la frontera con linea continua.(2) Es (O,O)ER?

~ 0(0)+0-2(0)-4 ~ O ~ -4 ~ O, es falso(3) Entonces, la grofica de R es la totalidad

de puntos en el interior de las dos ramasde la hipérbola, incluyendo la frontera.

lID GRAFICAS DE RELACIONES INVERSAS

Sabemos que una relación directa de A en B es el conjunto:

R = 1 (x,y)EAxBI (x,y)&RIy su inversa, el conjunto:

R* = l(y,x)EBxAI(x,y)&RI

Esto es, si A=ll,2,41 y 8=10,31, entonces:

R 1(1,0). (1,3), (2,0), (2,3). (4,0), (4,3)1

y R* \(0,1). (3,1), (0,2), (3,2), (0,4). (3,4))

Ubiquemos cada uno de los pares de R y R* sobre un misn~ plano cartesiano.

En la figura se observa que los pares da R y R* son eq~idistanles de la re~ta L:y=x. Entonces, si consideramos la recta L como espejo, los pares de R*


se pueden obtener como reflexión o imagen dede los pares de R, simétrlcamente, a travésde diho espejoEsta caraterística de las relaciones inversospuede ser aprovechada paro construir sus grá-ficas cuando se conocen o son dadas las gráficas de las relaciones directos.

4

1

EJEMPLO l. Construir lo gráfico de la relación R y su inversa, si:R = {(x,y)(R'I4x-5y+1l=O , x~<-4,l]},

SOlución, (1) Siendo la gráfica de Runa lineatos de ésta en x,,<-4,l]

Si x=-4 + -16-5y+l1=O + y=-l + A(-4,-1)x=l + 4-5y+11=O ~ y=3 ~ 8(1,3)

(2), Trazamos el segmento de la recta L:4x-5y+ll=O, uniendo los puntoa A y B.

(3) Si A(-4,-j)tR - A'(-l,-4)_R*B(l,3)&R - B'(3,l)"R*

(4) Uniendo A' y B' obtenemos la gráfica de R*

recta, detenninemos dos pun-

x

EJEMPLO 2. Si S=(x,y)ER%ly=x'+2I, construir la gráfica de la relación S

y su inversa.Solución. La gráfica de la relación S es la

parábola P:y=x'+2, cuya ecuaciónes de la fonuo: y=(x-h)%+k, de eje vertical(h=O) y vértice en V,(O,2)La gráfica de la relación inversa S* es laparábola P*:x=y'+2, ecuación de la fonma:x=(y-k)t+h, con eje horizontal (k=O) y vért!ce en V1(Z,O).

x

EJ!JtPLO 3. Construir la gráfica de la relación S y su inversa, si:S = {(x,y)"l{112x-3y+6..s 01.

SOlución. (1) 2x-3y+6 ~ O •• Y ~ 2x/3 + 2(2) Sea L:2x-3y+6=O


Intersectando L con Los ejes coordenadas setiene: si x=O + -3y+6=O ++ y=2 - A(O,2)

, y=O + 2x+6=O ++ x=-3 8(-3,0)(3) Trazamos la recta L que pasa por A y B.

Según (1) la gráfica de S es el conjuntode puntos en el samiplano superior y sobre L

(4) La relación inversa de S es el conjunto:S*={(x,y)cR'!2y-3x+6 ~ O}Si 2y-3x+6 ~ O - Y ~ 3x/2 - 2

(5) Luego, la gráfica de S* es la totalidadde puntos que están en el samiplano in-

ferior y sobre la recta L,:2y-3x+6=O Que pgso por A'(2,O) y B'(0,-3), simétricos de A yB respecto de la recta y=x.

y

EJEMPLO 4, Indicar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relacióninversa de R, si R={(x,y)E:R'!lxl ~ y+l , Y ~ x+3, 1 ~ x,< 3}.

Solución. (1) Sea Rl: Ix! ~ y-1 .•...•(y-l ~ O)

.•...•(y ~ 1) ..•

Si L,:y=x+1 y L.:y=l-x, la gráfica de Rl esla totalidad de puntos comunes Que están enel samiplano superior de las rectas L, y L.arriba de y=l.(2) R.: y < x+3

La gráfica de R. es el conjunto de pun-tos en el semiplano inferior y sobre la refta L,:y=x+3.(3) R.: 1 < x < 3

La gráfica de R. es la reglon entre dosrectas verticales x=l y x=3.(4) Luego. Graf(R) = Graf(R,) n Graf(R.) n Graf(R.)

Obsérvese que es un paralelogramo.(5) Por lo tanto, los vértices del paralelogramo R-

por simetría respecto de la recta y=x, tal como(6) Dom(R-) = [2,6) Y Ran(R*) = [1,3)

..• (x ~ y-l ..•x ~ Ir-y}

(y ~ x+l ..•y ~ l-x)

y

3

= Región sombreado

se obtienen de los de R

se indica en la figura.


EJERCICIOS ILUSTRATIVOS wEJERCICIO 1. Sea la relación R={(x.y)ERzl-1 < x-y < 21. De las siguien-

tes afinnaciones, cuáles son verdaderas?

(1) R es reflexiva, (2) R es simétrica (3) Res truflsi!iva

SOlución. (1) Si hacemos x=y + -1 < x-x < 2, es siempre verdadero ~xER.

Entonces (x.=)&R. La afinnación es verdadera.(2) Si hacemos y=x + -1 < x-y < 2. no es equivalente a -1 < y-x < 2; esto

es, (x.y)ER A (y,x);R. entonces, R no es simétrica. La afinnación es F.(3) Se debe cumplir que: (x,y)ER A (y,z)&R + (x.z)&R

Veamos un ejemplo: (5.4)&R A (4,3)ER + (5.3)EREl antecedente es verdadero, pero el consecuente es [al so, ya que 5-3=2 j 2

entonce~. R no es transitiva. La afinmación es falsa.Por lo tanto, sólo la afinnación (1) es verdadera.

EJERCICIO 2. Sean las relaciones en R: R.=1(x,y)12..5 x < 51. R,={(x,y)1-2 < y~ 21, R.=1(x.yJl4x-3y > 141. Hallar el valor de ver-

dad de' las siguientes a[innaciones:a) (5,2)c(R. n R.)

b) (4.-1)E(R.n R.r) R.)

e) (2,2)E(R1-R.)r) R.d) (2.-2)~(R.ni,.'l.)

SOlución. a) Vemos que 5~Dom(Rl) y (5.2)~R., pues 4(5)-3(2)=14 ~ 14Entonces: (5.2);(Rlr) R.). La afinmación es falsa.

b) 4cDom(R.), -lcRan(R.) y (4,-1)eR. + 4(4)-3(4)=19 > 14Entonces: (4, -1) E (R 1 r) R. n R.). La af inmac ión es verdadera.

c) Por definición: R.-R.=(x,y)ER1 A (x,y);R.

Vemos que: (2,2)cR1 y (2.2UR.; también (2,2)ER.Luego, (2.2)&(R.-R.)fl Rz• La afinnación es verdadera.

d) Dado qua -2;Ran(R.) + (2.-2);(R.n~R.). La afinnación es verdadera.

EJERCICIO 3. Indicar el dominio. el rango y el área acotada por la rela-

ción: R = l(x.y)CR'ly..5 6-x' • y ~x'-2L

Solución. (1) Sean P.:y=6-x"=-(x-O)1+6 y p.:y=x·-2=(x-O)'-2

Intersectando ambos parábolas se tiene: 6-x'=x'-2 ++ x'=4

++ x=±2(2) Ambas paróbolas tienen la fonna: y=a(x-h)2+k + V1(O.6) y V2(O,-2)

\.

Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R el! R 345

(3) COmo los coordenadas del origen satisfaceo ambas desigualdades, la gráfico dela rg

loción R es el conjunto de puntos en el inte-rior de ambos parábolas.(4)Dom(R)=[-2,2], Ran(R)=[-2,8J

(5) El área de un sector paraból ico es iguafo 213 del área del rectángulo que subtien

de dicho sector.+ a(R,) = a(R,) = i(4x4) = 3;

:. oíR) = a(R,)ffi(R,) = 6j u'

y

EJERCICIO 4. Sean los relaciones: R,={(x,y)cll'llxl+lyl ~ 41 Y

R,={(x,y)cll'lx'+y' >--81. Hollar el área de R,nR •.

SOlución. (1) 10 gráfico de R, es el conjunto decuadrado de diagonal 2(4)=8

y lodo 412 + a(R,) = (412)' = 32u'(2) Es (O,O)eR.?

+ 0%+0' >.-8 + O ~ 8 , es falso

Luego, la gráfica de R. es el conjunto de puntos que están [uera y sobre la circunferenciaC:x'+y%=8, cuyo círculo tiene por área:

a(C) = wrZ = 8wu'(3) • a(R, n R.> = o (R, )-a(C) 8( 4-w)u'

puntos en el interior del

EJERCICIO 5. Dados las relaciones: R,={(x,y)ER'lx'+3y'-4x+6y-20 ~ 01 Y

R,={(x,y)&R'1 IX-21+ly+ll ~ 31, hallar el área acotado par

Solución. (1) Sea E:x1+3yl_4x+6y-20=0

_ J:'. (X-2)1 + (y+l)' _~. 27 9-

+ a'=27 + a=313, b1=9 • b=3 ; C(2:-1)

(2) 10 gráfico de R, es la totalidad de ~tos en el interior y sobre la elipse E.

Area de la elipse = .ab + a(Rl)=9~l3u'

(3) 10 gráfica de 1x-21+Iy+ll=3 es un cuadrgdo de lado 312 y centro C(2,-1), el mismo de la elipse. Entonces la gr~

y

\

346 Capittllo 5: Gráficas de Relaciones

fica de R. es la totalidad de puntos en el exterior y el borde del cuadrado(4) :. a(R,OR.) :: a(R,)-a(R.) = 9,,13 - (312)2 = 9(,,13-2) u'

EJERCICIO 6. Hallar el área de intersección acotada por las gráficas delas relaciones: R,={(x,y)tRtllxl-lyl S 2} Y R,={(x,y)tRtl

Iyl .s 11.

Solución. (1) Construimos el cuadrado de diagonal 4, con trazo punteado.

La gráfica de Ixl-lyl=2 se obtiene prolongando los lados de

este cuadrado, cuyos vértices están sobre eleje X.(2) COmo (O,O)ER" la totalidad de puntos de

R, están en la región donde se encuentrael origen de coordenadas.

(3) La gráfica de Iyl ~ 1 - -1 ~ y~ 1J

es la región entre las rectas horizonta-les: y=-l , y=l

(4) Fn (1), s i x ~ O, Y >.- O ..• x-y=2

Luego: (y=l) n (x-y=2) :: P(3,1)

(5) R, Rt es la zona sombreada de la figura- a(R, n Rt) s: 2(área del trapecio de boses 4 y 6, Y al tura 1)

4+6= 2(2 )(1) :: 10 u'

2

EJERCICIO 7. Si R,"'l(x,y)eR'lx'+yt ~ 91. R,=l(x,y).:R·lx·-4y· ~

R.::{(x,y)&Rtllx+31 ~ yl, R,={(x,Y)tR21Ix-31,< yl.

área de s=(R,n R.)-(R.U R.).

Solución. (1) Cano las coordenadas del origen

satisfacen a R, y R., entonces;Graf(R, n R.)=Graf(R,). conjunto. de puntos enel interior y sobre la circunferencia x'+y'::9

(2) En R.; 1:C+31~ y- y ~ O A (:c+3 ~ y A x+3 >.. -y)

•.• y ~ O .•• (y >.- x+3 .•• y >,. -x-3)

Luego, la gráfica de R. es el conjunto de p~

tos en el s8niplano superior y sobre las rec-tas Ll:y~3 , L2:y=-;x:-3 , y el eje X (y>.. O)

91.

hallar el


EJERCICIO 8. Dadas las relaciones: Rl={(.r,y)ER"'lyl~ 8x} yn •.=f(.r,y)ER11x1+y'-4.r-12 ~ 01, hallar el área acotada por R1f).~1.

Solución. (1) En R1: y' ~ 8xLa gráfica de R, es el conjunto

de puntos en el interior de la parábolaP:yl=8x

(2) En R" sea €:.r"+y·-4x-12=0

++ ~:(.r-2)·+(y-0)1=16•• C(2,O) y r=4

COmo (O,O)c~+ la gráfica de R. es el con-junto de puntos en el interior y sobre lacircunferencia C.

(3) En R..: 1.r-31..$.y•..•(y ~ O) A (x-3.$. Y A :c-3 ~ =y)

++ (y ~ O) A (y ~ .r-3 A y ~ 3-.r)

L gráfica de R\ es el conjunto de puntos en elsemiplano superior de las rectas

L. :y=x-3, L\:y=3-:c, el eje X (y ~ O)

(4) Por lo tanto, el a(R,-R.U R.) es la regiónrayada y es igual al área del semicírculo

de radio 3 más el área del triángulo ABC.Esto es: a(S) = 1(Y)(3)' + 1(6X3) = ~(Y+2)Ul

(3) PI1C = A(2,4) Y B(2,-4)

(4) a(R,f)R.) = (área del semicírculo) + (área del sector poraoolico AOB)

= i(Y)(4)1 + ~(2x8) = ~(3Y+4) u·

EJERCICIO 9. Dada la relación R=I(.r,y)cR1Iy ~ 1.r1-ll+lx-ll, y ~ 4), cons-

truir y hallar el área de la inversa de la relaci6n R.Solución. (1) Sea Rl:y >, I.r+ll+Ix-lI

El iminando las barras de valo,. absoluto por el mitado de los

valores críticos se detenmina lo siguiente:Si: s: < -1 ..• y>"-2.r

-1 ~:c < 1 ..• Y >, 2:c>"1 y:>'2.r

••


Luego. la gráfica de R. es el conjunto de los

puntos que están en el semiplano superior de

las rectas L. :y=-2x. L. :y=2. L,:y=2x(2) Sea R.:y ~ 4. Su gráfica consta de todos

las puntos en el semiplano inferior de larecta y=4.

(3) Entonces Graf(R)=Graf(R.)n Graf(R.)~ Graf(R) = área del trapecio de la figura

(4) La gráfica de R* se obtiene de ia gráficade R por simetría respecto de la recta y=x

~ a(R*) = ~(4+2)(2) = 6u·

y,

EJERCICIO 10. Dada la relación R=I(x.y)eR·lly-xl=[x]l. esbozar su grá-fica indicando su dominio y rango.

Solución. Según el Teor~na 49:

Iy-xl=[x] •..•([Ix] ~ O) A (y-x=[x] V y-x=-[x])•..•([x] ~ O) A (y=x+IT.x] " y=x-[x])

Universo de la relación: [xTI ~ O •..•x: >...O .• Dom(R) = (O,+Q>

Por el T.57. si [xll=n •..• n.$ x e n+1. neZ

Luego. la gráfica de R es la unión de las gráficas de:R.=I(x,y)eR'ly=x+nl o R,=I(x.y)eR'ly=x-nlDando valores a n en cada intervalo (n.n+1>. se tiene:

Para: y=x+n ySi n=O .. xdO.1> .. y=x 6 - - --- ----.

n=l .. xd1.2> .. y=x+I

n=2 .. x€(2.3> .. y=x+2 5 --- ---/n=3 .. xd3.4> .. y=x+3 4._____ :

Ran(R.)=(O.1> U (7..3>U (4.5>u ... I II I

Para: y=x-n J __ o;;Si n=O .. xdO.1> .. y=x 2 -- !

n=1 .. xd 1.2> .. y=x-L II

n=2 .. xd2.3> .. y=x-2n=3 .. xd3.4> .. y=x-3

~ , , , , , • ·xn=4 .• xe(4.5> .• y=~-4

Note Que l~an(n2)= [0,1>Ran(;U = Ran(R 1) u Ran(R2) Ü [2n.2n+1>

n=O[0.1> U [2.3>U [4.5>U ..

)

<,

\.

Ejercicios: Grupo 33 ,~349


En los ejercicios del 1 al 9, indicar el dominio, rango y esbozar la gráfi-

ca de la región acotada por las siguientes relaciones:

1. R={(X,y)ER'lx'+y'~25, x'>2y+l} 5. R={(:x:,y)ER·lx·-8.$ y, x+4 > y}

2. R={(X,y)ER'19x·+4y·.$25, 3x+l ~ 2y} 6. R={(X,y)ER'ly',;ó 4x, 2x+y .s 4}

3. R={(X,y)ER'ly ~x'-6x+5, 2x+y < s: 7. R={(X,y)ER'lx+y ~3, y~-x'-3x+6}

4. R={(x,y)ER'Ix-2Y$1, x'~-2y, x'+y'~5} 8. R=((.:.c,y)ER'IIy-..cI+ly+:c1 ~ 2}

9. R={(x, y) ER'I [x-1 TI '+2[x TI -s 2, x'+y' >,. 1}

10. Si R,={(x,yhR'lx >.;. O/, R.={(x,yJr.R·lx >-- y}. R,={(x,y)<;R'!x'+y' -s lB}.

Hallar el área acotada por R, n R. n f: ••

11. Dada la ,'elación R={(:c,y)ER'II:cI+!:/i >,. 0, ~.,~!,'y' ,,:. 'J, .Y ;;. XI, d:md.! Il~r.+ha 11ar ' e! va 1or de a de modo QU'3 c! ér'<;!(¡ l.l~·(\t cda pM' 1a g7·¡j t'i ca de n:

seu 25(n-2) u'.

12. Dadas las relaciones R,={(X,y)ER'lx'-I':>'! ~ :::;, :~.'S .iyi y R.=-I(":,y),ER'1

x'-9 ~ O, y'-4 ~ O}, hallar el órea aco.!a<!<.lP'}l" lu gl'é1ficu de n:-.'~,.

En cada uno de los ejercicios del 13 al 22, ccntr.ltir la !Jróficll de (es rel!! 'ciones dadal;.

13. R = {(x,y)ER'lx'+y" ~ 9, y~ 1.r+yl+I:C-ll, Ixl ~ 12yll14. R = Hx,y)e;Rllx'+y" >,. 4 o (x-2 )"+y' $ 1 Y x >.•.•y}

15. R = {(x,y)ER·14.$ x·+y·.$ 9 , Ixl+2 ~ y.$ Ixl+3}16. R = {(x,y)ER'ly'+8x-2y >,. 15 , (x-1)'+(p·2)1.$ 251

17. R = {(x,y)ER'lx'+y' >,. 9 r x+y+3 .$ O , y' ~ 2xl

18. R = {(x,y)ER'lx'+4y' .s.16 , x'+y' ~ 9 , Ixl+lyl >,. 21

19. R = {(x,y)ER·13y'-x".$ 2 , x· ~ 16y}

20. R = {(x,y)ER"lxy-x-2y-2,< O , 2x+y-ll >,. O}

21. R = {(x,y)cR·I4x"-4y·.$ 9 , 2y·-2x-3.$ O}

22. R = í (x,y)ER"lx'-y' ,< 4 , y'+x-2 >,. O , y·-2.$. X}

23. Sean R={(x,y)E:R211.r+41+!y-31.$ 2}, S={(x,y)E:ItIlx+41.$ n.T:{(.r,y)E:R'¡Iy-31 ~ 1}. Hallar el área acotada por Rn.,g(SnT) .

.'


24. Dadas las relaciones R={(X,y)ER'ly ~ xl, S={(x,y)ER'1 Ixl+lyl ~ 81,

T=j(X,y)ER'lx >...•01. Hallar el área de la región acotada por RnsnT.

25. Sean: R={(X,y)ER'1 (x-511)'+(y-511)' .$ 2511'1, S={(x,yhR'ly.:; 511},

T={(X,y)ER'I(y ~x+511) v (y+x >-.1511)}. Hallar el área de Rn(SuT).

26. Sean R={(X,Y)ER'llx~21-ly-31 ~4}, S={(x,yhR'llx+21.:; 61, T={(X,y)ER'1

ly-31 ~ 61. Hallar el área acotada por la gráfica de RnSnT.

27. Si S={(x,y)ER'llxl+lyl .$ 41 Y T={(X,y)ER'llx+yl+lx-yl >--4/2i, hallar el

área de la región acotada por la gráfic de SI) T.

En cada uno de los ejercicios del 28 al 35, graficar y hallar el área de la

región acotada por las siguientes relaciones.

28. R={(x,yhR'llxl >--Iyl ' x'+y' ~ 9 ,Ixl +Iyl 'l31

29. R={(X,y)ER'13x'+y' ~ 27 , Ixl+lyl ~ 3 , x: ~ yl

30. :~={(x,YhR'12x'+4x-9y-43 ~ O , 4x'+8x+9y-5 $. 01

31. R={(X,y)ER'19x'+16y'+18x-64y-71 ~ O , IX+ll+ly-21 >-.2 , x-y+3 >-.·01

32. R={ (x,y)ER'llxj +Iy-xl .$o 121

34. R={(X,y)ER'12Ixl+3Iyl ~ 61

33. R={(x,yhR'llyl ~ 11-21xlll

35. R={ (x,yhR'llyl $ Ixl, x'+y'$4xl

36. Construir la gráfica de las siguientes relaciones:

a) R={(x,yhR'1 [x+y TI + y = 01

b) R={ (x,yhR' I [ 4x1-yl] " ale) R={(x,yhR'1 [x]+[y] = 21

d) R={(X,y)ER'1 ly'-2yl+2Ix-ll $ xl

En los ejercicios siguientes, graficar en un mismo plano la relación R dada

.y su inversa. Hallar el área acotada por R*.

37. R={(X,y)ER'ly >, Ixl+lx-ll ' y ~ 51

38. R={(.r,y)ER'llx+II-ly-31 >,..4 , 2 -!- y~ 41,39. R={ (x,YhRllx'+y'+4.r-6y+4 ~ O r x-2y+8 ~ 01

40. R={ (.r,YhR'llyl ~ .r-2 , x s: 61

41. R={(X,y)ERllx'+yL8x+2y+13 ~ O, Ix-41+ly+ll ...•< 4 , x-y >,..51

*


lIIl CRITERIOS GENERALES PARA GRAFICAR UNA RELACIONQAl hacer el estudio de la gráfica de una relación de R en R, había-

mos visto las gráficas de relaciones lineales y cuadráticas y sus asociadas

con inecuaciones. Todas ellas tenían una fonma especial que las caracterizgba y que resultaba fácil su trazado en el plano XY. Sin embargo, existen o-

tras relaciones cuyas gráficas no tienen tales caroct erí s t icas y que para

su trazado es necesario seguir ciertos pasos o reglas. En seguida veremosalgunos métodos que penmiten estudiar los pasos previos a la discusión y

trazado de la gráfica de dichas relaciones.

1) COORDENADAS AL ORIGEN (Interceptos con los ejes coordenados)

Una gráfica puede tener una, varias o ninguna coordenada al origen. Elmétodo de averiguarlo es el siguiente:a) Interceptos con el eje X:

Hacemos y=o , y se resuelve la ecuación E(x,O)=Ob) Interceptos con el eje y:

Hacemos x=O , y se 'resuleve la ecuación E(O,y)=O

Ejemplo. Dada la relación R={(x,y)eR1!x1+yl+2xy-x+5y-6=OI, hallar sus coor

denadas ~l origen de su gráfica.

Solución. Sea E(x,y):X1+yl+2xy-x+5y-6=O

a) Para y=O + E(x,O): x'-x-6=O ++ x=-2 o x=3

Luego, -2 y 3 son las abscisas al origen y los puntos A(-2,O) y 8(3,0) sonlos interceptos de la gráfica de R con el eje X.b) Para x=O + E(O,y): yl+5y-6=O ++ y=-6 o y=l

Luego, -6 y 1 son las ordenadas, al origen y los puntos C(O,-6) y D(O,l)

son los interceptos de la gráfica de R con el eje Y.

11) SIMETRIAS

Se consideran solo dos tipas ,se simetría: respecto a un punto y respefto a una recta.

Definición 5.3 Se dice que dos puntos P y P' estánlocalizados simétricamente con res-

pecto a un tercer punto M - lA es el punto medio del

segmento que los une. En ese caso, M es un centro de

simetría del segmento PP'.


Definición 5.4 Se dice que dos puntos P y P' están

localizados simétricamente con res-pecto a una recta L ~ L es la mediatriz del segmeuto que los une. (Al punto P' se le denomina refle-

xión o imagen de P respecto a la recta L, a la cualse le llama eje de simetría).Veamos en seguida el uso de estas definiciones en la simetría de gráficasde ecuaciones.

a) Simetría respecto al eje XSi un conjunto R es simétrico respecto al eje

X, entonces, para cada punto P(x,y)eR debe haberun punto correspondiente P'(x,-y)eR, es decir, siR tiene por ecuación E(x,y)=O, entonces R serásimétrico respecto al eje X si y sólo si:

E(x,y) = ± E(x,-y)

(La ecuación no cambia si se reemplaza y por -y)

y P{x,y)?III

--:O~----II--- •.X

II

6P'{x,-y)

Por ejemplo, para la relación R={(x,y)eR'ly'-4x=OI, sea E(x,y):y'-4x=OEntonces: E(x,-y): (-y)'-4x=O ++ E(x,-y): y'-4x=OCOmo vemos: E(x,y)=E(x,-y), entonces, R es simétrica respecto al eje X.

b) Simetría respecto al eje Y

Si un conjunto R es simétrico respecto del

eje Y, entonces, para cada punto P(x,y)eR debehaber un punto correspondiente P'(-x,y)ER, esdecir, 3i R tiene por ecuación E(x,y)=O, entoDces R será simétrica respecto del eje Y, si ysólo si: E(x,y) = ± E(-x,y)(La ecuación no cambia si se reemplaza x por -x)

P'(-x,y)0--- - -

P (x, y)- - _.-i)

y

-------~O~------~xPor ejemplo, para la relación R={(X,y)ER'lyl+8x'=OI, sea E(x,y):y'+8x'=OEntonces: E(-x,y): y'+(-x)'=O ~ E(-x,y):y'+SX'=O

Como E(x,y)=E(-x,y), la gráfica de R es simétrica respecto del eje Y.

e) Simetría respecto del origen

Los puntos P(x,y) y P'(-x,-y) son simétricosrespecto del origen, por tanto, si para un con-junto R ocurre que: Pt», y) e R ++ P'(-x,-y)f.: R

..

Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R

entonces se dice que el conjunto R tiene su centro de simetría el origen,esdecir, si R tiene por ecuación E(x,y)=O, entonces:

E(x,y) = ± E(-x,-y)(La ecuación no cambia si se sustituyen simultáneamente x por -x e y por -y)

Por ejemplo, pora la relación: R={(x,Y)f:R"lr+y'=4}, sea E(x,y) :r +y' =4

Entonces: E(-x,-y): (-x)"+(-y)"=4 - E(-x,-y):r+y'=4Vemos que: E(x,y)=E(-x,-y), por lo tanto. la gráfica de R es simétrica res-pecto al origen.

1Jl) EXTENS ION

Para detenninar donde se localiza la gráfica de una relación. se recyrre a lo siguiente:a) Despejar. si es posible, cualquiera de las dos variables:

y = f(x) (Para calcular el dominio de la relación)x = g(y) (Para detenninar el rango de la relación)

b) Si la ecuación de la relación tiene la forma: P(x)f(x) = Q(x)

donde P(x) y Q(x) son polinomios que no tengan factores comunes que con-tengan a x. tratar de faclorizar el denominador y excluir aquellos valoresde x para los cuales Q(x)=Oc) Si la ecuación de la relación tiene la forma:

y" = función racionaltratar de factorizar el s~o miembro y mediante inecuaciones detenninarlos intervalos o regiones del plano en los cuales y"~O. y e--cluir los valo-res de x para los cuales y"<O.

EJeMplo. Discutir la extensión de Id gráfic~ de la relación:R={(x.y)eR"I4r"+9y1=36}.

Solución. DespejaRdD y=1(%),' 8e tiene: y'" ± 1/9-x'

...•ay •.• 9-x" ~ O ...• -x" ~ 9 - -3 ~ x ~ 3Entonces: Dom(R)=[-3,3] y

2Valores ex¡:luidos: <-.-3>u <3.->La grafica de la relación R está contenida e~tre las >rectas verticales %=-3 y %=3

Análog(lll61\te:x = ± %14-y'-:J.x ++ 4-y2 ~ O ..•. y'- ~ 4 +-+ -2 -s y~ 2

wego. RanlR)=t-2.2]. Valol"es excluidos: <-.-2>U <2.*"'>-2


La gráfica de Restó contenida' entre las rectas horizontales y=-2, y=2.Luego, se sCJllbreael rectángulo que detennina la extensión de la curva ene/ plano. Dado que la curva está encerrada en un rectángulo de dimensionesfinitas, se trata de un caso de gráfica acotada.

ASINTOTAS (IV)

Si para una curva t; existe una recta L tal que si nos movemos a lo largo deL Indefinidamente, la distancia entre L y e tiende a cero, entonces se diceque L es una recta aaíntota, o que € es asintótica a L.una curva puede tener una, varias o ninguna asíntota. Entre las e/ases de ~sfntotas figuran /as asíntotas horizontales, verticales y oblícuas.

a) Asíntotas Horizontales. Tienen la fonna: y=k

Para hallar las asíntotas horizontales de una,curva se ordena su ecuación E(x,y)=O en potencias decrecientes de x y sehace cero, si es posible, el coeficiente de la mayor potencia de x, lue-go se despeja y.

EjeMplo. Hallar las asíntotas horizontales de la gráfica de la relaciónR={ tx,y) eRa Ix*Y+.%)I*-r-l=O}.

Solución. Ordenando en potencias decrecientes de x se tiene:E(x,y):(y*-l)r+y·x-l=O

AquI vemos que la mayor potencIa de x es r, y su coeficiente es y·-l.Luego, si y·-l=O ++ y=-l o y=l son las asíntotas horizontales de la gráficade R.

b) Asíntotas Verticales. Tienen la fonna: x--h

Para hallar las asíntotas verticales de una curva de ecuación E(x,y)=O,se ordena ésta en potencias decrecientes de y, se hace cero, si es posibleel coeficiente de la mayor potencia de y, luego se despeja x,

Eja.plo. Hallar las as1ntotas de la gráfica de la relaclónR={(x,y)~~lxly-xy-2y-l=O}.

Soluciiin. Ordenando se tiene: (xl-x-'2)y-l=OAquí el coeficie'!te de la mayor potencia de y es: x.l-x-2. Luego,

si r-:r:-2=O - ;r--l o ;r-2 son las asíntotas verticales de la curva.V) TABt1L.1ClC;W (Trazoctode la GUrva). ConsIste en calcular un núnero adecug

do de puntos para obtener una gráfica aproximada de la ecuact6n docta.

•

"


EJERCICIOS ILUSTRATIVOS

EJEMPLO 1. Discutir y graficar la relación: R={(;r,y)dl'!xy-2x-y-2=Ol

Solución. Sea E(:x:,y) ::x:y-2x-y-2=O

1) Intersecciones con los ejes coordenados:a) Con el eje X. E(;r,0):-2x-2=O ~ ;r=-l + A(-l,O)b) Con el eje Y. E(O,y):-y-2=O ++ y=-2 + 8(0,-2)

11) Simetría: Dado que la ecuación no tiene potencias pares de :x:e-y, lacurva no es simétrica respecto de los ejes coordenadas.

2:x:+2a) y=f(:x;) .•. y = x=I-

Valor excluido::x:=l .•. Dom(R) = R-{I}

b) x=g(y) .•. :x: = Pi . Valor excluido: y=2 ..• Ran(R) = R-{2}

IV) Asíntotas. a) Asíntotas Horizontales:

111) E:ctensión.

(y-2);r-y-2=0 + y-2=0 ~ y=2b) Asíntotas verticales: (x-l)y-2x-2;0

.•.:x:-l=O- x=1V) Construcción de la gráfica.

a) Si existen, se trazan las líneas de guía _____ 2(Asíntotas). x=1 , y=2

b) Se ubican los interceptas con los ejes X e 1-----.;~'9--+:------.xY. A(-I,O) y 8(0,-2)

c) De y=f(;r), se analizan los intervalos para

los cuales y es positivo o negativo.En Illa) : y> O, para: x > 1 Y x < -1

Y < O, para -1 < x < 1

y

1"-I ),~2+-----I

EJEMPLO 2. Discutir y gralicar: R={(x,y)eR1Ix'y-9y-3;r'=O}

Solución. Sea E(x,y):x'y-9y-3x'=O

1) Intersecciones con los ejes -coordenadasa) Con el eje X. E(x,O):~3;rl=O + x=O

b) Con el eje Y. E(0,y):-9y=O + y=O

No hay interceptos con los ejes coordenados, la curva pasa par el origen11) Simetría. a) Con el eje X: E(x,-y)~(-y)-9(-y)_3;r2 + -x2y+9y-3;r2=O

+ E(x,-y) 1: E(x,y) :. No 6S simét,.ica

'.


b) Con el eje y: E(-x,y) = (-x)'y-9y-3(-x)' + x'~9y-3x'=0..•.E(x,-y) = E(x,y) :. Si es simétr~ca

c) Con el origen: E(-x,-y) (-x)'(-y)-9(-y)-3(-x)' ~ -x'y+9y-3r'=0~ E(-x,-y) le E(x,y) .',No es simétrica

3xIl1) Extensión. a) y=f(x) ~ y = (x+3)(x-3)

Valores excluidos: x=-3, x=3 ~ Dom(R)=R-{-3,31

b) r=g(y) ..•.x = ±3 ¡¡; -+ 3X - ~ ~ ° - .(y ~ O) v (y > 3)Entonces: Ran(R) = <-Q,0)U<3,+Q>

IV) Asíntotas. a) Asíntotas Horizontales(y-3);x:'-9y=0 + y-3=0

b) Asíntotas Verticales.(;x:1-9)y-3;x:=0 + ;x:'-9=0- ;x:=±3

V) Construcción de la curva.

+ y=3 Y

~j ,----+---

II

IIIII._.--+----11I

a) Trazamos las asíntotas: ;x:=±3 , y=3b) La curva pasa por el origen simétri

camente respecto del eje Y.c) En lIla): Para ;X:E<-3,3>, y ~ °

La curva se extiende hacia abajo.Para ;x:<:: -3 o x > 3, Y > 3La curva se extiende asintóticamente.

-311II1

x

EJEMPLO 3. Discutir y graficar: R={(X,y)ER'!x'+xy'-2y'=01

Solución. Sea E(x,y):x'+xy'-2y'=01) Intersecciones con los ejes coordenados

Dado que la ecuación carece de ténmino independiente, la curva pasa par elorigen (No hay interceptos con los ejes).

11) Simetría. a) Con el eje·X: E(;x:,-y)= x'+x(-y)'-2(-y)' = x'+xy'-2y'-+ E(x,-y) = E(x,y) r. Si es simétrica

b) Con el eje Y. Comp)'"obarque: E(-x,y) le E(x,y) :. No es simétrica.c) Con el origen. Cam:Jrobar que: E(-x,-y) le E(x,y) :. No es simétrica

II 1) Extens ión. a) y=f(x) + y = ±X.(1;x

~ 3y - 2-x ~ ° - ° ~ x < 2 + Dam(R) = [0,2>

IV) Asíntotas. a) Asíntotas Horizontales: La curva no tiene asíntotas horízontales porque el coeficiente de x3 es constante.

•

357

b) Asíntotas Verticales:(x-2)y'+x'=O ~ x-2=O •• x=2

V) Construcción de la curva:

a) Trazamos la asíntota x=2b) La curva pasa par el origen.c) Para :1:&[0,2>, la curva se extiende simé-

tricamente y asintóticamente hacia la 11nea x=2.

EJEMPLO 4. Discutir y graficar: R=Hx,y)clplxy"-x-2y'+1=OI

Solución. Sea E(x,y)=.ry·-x-2y·+1

I) Intersecciones con los ejes coordenadosa) Con el eje X. E(x,O): -x+l=O. x=1 ~ A(1,O)b) Con el eje Y. E(0,y):-2y·+1=O ~ y=±12i2 ~ B(O, 1.2/2), C(O,-1.212)

II) Simetrías. a) Con el eje X: E(x,-y) = x(-y)·-x-2(-y)·+J = xy·_x-2yl+l-+ E(x,-y) = E(x,y) .•.Es simétrica

b) Con el eje Y. Canprobar que E(-x,y) '1 E(x,y) :. No es simétricae) Con el origen. Comprobar que E(-x,-y) i E(x,y) :. No es simétrica

Ill) Extensión. a) y=f(x) ~ y = ±~x-1-¡¡y +-+ x_2~O-x~1 o x>2- xc<--,l)U<2,+->

2yLJb) x=g(y) -+ x = yLl -+ 3l: +-+ Y = tI - Ran(R)=R-{-1,11

IV) Asíntotas. a) Asíntotas Horizontales:(yl-I)x-2y"+I=O • yl-l=O +-+ y=±l

b) Asíntotas Verticales:(x-2)y"-x+l=O ~ x-2=0 •.• x=2

Y

1

':'''--Construcción de la curva.

a) Trazamos las asíntotas: x=2 , y=tI- -- -1- ---

b) Ubicanos los interceptos: A, By C. ---..al__ ,e) En 1110): Para xc<~,l), la curva pasa parl---~--I-:A:---::2:i----"x

A, B Y e, y se extiende simétrica y asintQ 1__ --[' I----+----

ticanente hacia las rectas y=±l. ---:'1 ':fPara XE<2,+->, la curva se extiende simétrica

y asintóticanente hacia las rectas x=2, y=±l


EJEMPLO 5. Construir la gráfica de R= {(x,y) eR'lx'-4x'+4xy' -y '=0 I

Solución. Factorizando se tiene: E(x,y) (x+y) (x-y) (x'+y'-4x)

{

x+y=O (R,)

Si E(x,y)=O ~ x - y = ° (R,)

x'+y'-4x = ° (R,)Las gráficas de R, y R, son las rectas que

pasan por el origen, L,:x+y=O y L.:x-y=O,

respectivamente.R,:x'+y'-4x=0 ++ (x-2)'+(y-O)'=4

Es una circunferencia de centro C(2,0) y r=2:. Graf(R) = Graf(R,) u Graf(R.) U Graf(R,)

--~~----~-----4--~x

Nota. Cuando se trata de graficar relaciones de ecuaciones factorizables,no es necesario discutir lo relacionado a interceptos, simetría, etS

dado que, por lo general, las gráficas son rectas o curvas de característi-cas ya conocidas.


Discutir y graficar las siguientes relaciones:

l. R={(x,y)eR'lxy+3y-x+2=O 7. R={(x,y)eR'lx'y+y-2=OI

2. R={(x,y)eR'Ixy-x-4y+3=O 8. R={(x,y)eR'lx'y'-4x'-y=OI

3. R={(x,y)eR'lx'y-9y-2x'=OI 9. R={ (x,y) eR'ly'=x(x+3) (x-2) I

4. R= I(x,y) eR1.\x'y-y-x'=O I 10. R=I(x,y)eR'lx'+y'-4y+4=01

5. R=I(x,y)eR'\x'y-3xy-6=01 11. R=I(x,y)eR'\x'+xy'-y'=OI

6. R={(x,y)eR'\x'y-12=OI 12. R=I(x,y)eR'I(x'-3x-1O)y=2x+ll

Construir las gráficas de las siguientes relaciones:

13. R = l(x,y)eR'\x'-y'-x'y+xy'-9x+9y=OI 17. R=I(x,y)eR'ly'=9x'-12x+41

14. R = l(x,y)eR'ly'+xy'-4xy-4x'=OI 18. R=I (x,y)eR'\x'y'-4x'+4xy'-y'=OI

15. R = l(x,y)eR'\x'-x'y-xy+y'=OI 19. R=I(x,y)eR'\x'+x'+2xy'+2y'-4x=41

16 •. R = {(x,y)e-R'\y'+y'-x'-x=OI 20. R=I (x,y)eR'ly'-xy'-xy+x'=OI

'.

*

relaciones en r - matemática basica - ricardo figueroa garcía

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