relaciones de orden en los reales

Kharla Mérida

Matemática de 3er Año con Tu Profesor Virtual Relaciones de Orden en los Reales

La representación gráfica de intervalos de números reales permite realizar operaciones entre conjuntos para hallar intersecciones o uniones, según sea el planteamiento o necesidad. Esto constituye la base para el estudio de funciones en estudios posteriores. Aprendamos a representar intervalos en la recta real. Acompáñanos.

1

Sentir la inmensidad del amor estando en soledad es uno de los mayores logros que siento alcanzar.

6.2 Representación Grafica y Analítica de

intervalos.

Descripción

6 6ta Unidad

Relaciones de Orden En Los Reales

https://t.me/kharlamerida

Kharla Mérida


Operaciones y Propiedades de los Números Reales y los Números Enteros.

Representación Grafica e Intervalos. Grupo de Ejercicios 1 y Ejercicio 2, Hallar la Unión de Conjuntos Dados, Hallar la Intersección de Conjuntos Dados, Operaciones de Conjuntos. Ejercicio.

NÚMEROS REALES. Representación Gráfica e Intervalos. Grupo de Ejercicios 1

NÚMEROS REALES. Representación Gráfica e Intervalos. Grupo de Ejercicios 2

NÚMEROS REALES. Hallar la Unión de Conjuntos Dados

NÚMEROS REALES. Hallar la Intersección de Conjuntos Dados

NÚMEROS REALES. Operaciones de Conjuntos. Ejercicios 1, 2 y 3. Parte I

NÚMEROS REALES. Operaciones de Conjuntos. Ejercicios 1, 2 y 3. Parte II

NÚMEROS REALES. Operaciones de Conjuntos. Ejercicios 4, 5 y 6

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Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones.

Conocimientos Previos Requeridos

Contenido

Videos Disponibles


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Recordemos. Este tipo de relaciones de orden se lee desde el centro hacia la izquierda y luego hacia la derecha.

Recordemos. Un número irracional tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

Guiones Didácticos

NÚMEROS REALES. Representación Gráfica e Intervalos. Grupo de Ejercicio 1

Dadas las siguientes relaciones de orden, representar gráficamente los conjuntos y escribir en forma de intervalo.

1. x - 2 12. -2

x 3. x 0 3x

Tenemos x está condicionada a ser mayor o igual que .

Tenemos que x está condicionada a ser mayor o igual que – y menor o igual que -1/2.

Resaltamos la parte de la recta de los valores mayores que –, y –, y resaltamos los puntos

de la recta correspondientes a valores menores que –½ y –½.

3

x - 2

- 2

Para representar la condición planteada por la desigualdad resaltaremos en la recta los puntos correspondientes a valores mayores que y también el correspondiente a .

- 2

- 2

2 1.4142...

Valor de - 2

1-2

x

1-2

x

Mayor o igual que Menor o igual que -1/2

Ubicamos – y -1/2

en la recta real.

El intervalo correspondiente a la relación de orden dada, es el de los valores comunes a ambas condiciones. Es el intervalo que va de – hasta –½.



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Aquí x está condicionado a ser menor o igual que 0 ó mayor o igual a 3.

- ,0 3,

NÚMEROS REALES. Representación Gráfica e Intervalos. Grupo de Ejercicio 2

Dadas las siguientes relaciones de orden, representar gráficamente los conjuntos y escribir en forma de intervalo.

1. x 1 x 1 52. - 72

x 3. x > -3 x <1

Tenemos dos relaciones de orden: Relación de Orden 1: x mayor o igual que 1 Relación de Orden 2: x menor o igual que 1

y

Resaltamos las x mayores que 1, y el 1. Y resaltamos las x menores que 1, y el 1.

Los puntos donde x es menor que 1 y donde x es mayor que 1 no tienen nada en común. El único punto común entre ambas relaciones de orden es el 1.

4

x 0 3x

Ubicamos 0 y 3

en la recta real

Resaltamos la parte de la recta de los valores menores que 0, y 0. Y resaltamos los puntos de

la recta correspondientes a valores mayores que 3 y 3.

Este conjunto es la unión de dos intervalos: Desde – hasta 0 y desde 3 hasta +.

x 1 x 1

Estas relaciones de orden están asociadas mediante el conectivo “” que se lee “y”, esto es:

x es mayor o igual que 1 y menor o igual que 1. Esto significa que x debe satisfacer ambas condiciones.

x 1 x 1

Donde se crucen ambos resaltados corresponde a la solución.

El conjunto que satisface ambas relaciones tiene sólo en número 1, {1}.

5- 72

x

x está condicionada a ser mayor que –5/2 y menor o igual que 7. En esta relación de orden doble, x debe satisfacer ambas relaciones de orden individuales.



Kharla Mérida


ubicaremos -5/2 y 7

en la recta real

¿qué valores de x satisfacen ambas relaciones?

Tenemos dos relaciones de orden asociadas por el conectivo ”” que se lee “o”, y significa que el conjunto resultado es el que satisface una u otra relación. Dicho de otra manera, para que un valor de x pertenezca al conjunto solución basta con que satisfaga una de las dos relaciones.

Ubicamos -3 y 1

en la recta real

5

Resaltamos la parte de la recta donde los valores mayores que -5/2, y la parte de la recta

donde los valores son menores o iguales que 7.

5- 72

x

Desde -5/2 hasta 7 se cruzan ambos resaltados. En -5/2 se graficó circulo vacío, esto significa que no se toma, lo que se representa con paréntesis. 7 se graficó con círculo relleno, esto significa que si se toma, lo que se representa con corchete.

x > -3 x <1

Resaltamos la parte de la recta donde los valores de x son mayores que -3, y la parte donde los valores de x son menores que 1.

¿Qué valores de x debemos tomar como parte del conjunto solución?.

Sabemos que todo valor de x que satisfaga al menos una de las dos relaciones de orden es parte del conjunto solución. Entonces el conjunto solución es todos los reales, R, porque a todos los puntos de la recta real les corresponden valores que satisfacen al menos una de las dos relaciones.


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NÚMEROS REALES. Hallar la Unión de Conjuntos Dados

Dadas los siguientes conjuntos, hallar las intersecciones y uniones indicadas

A = x / x 3 R 5B = x / - < x 72

R C = x / x > 3 x <1 R

1. A B

A B se lee A unido con B

Recordemos. La unión de dos conjuntos consiste en tomar los valores que estén en al menos uno de los conjuntos.

Para hallar este conjunto unión, debemos primero representar en la recta real los conjuntos C y B.

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2. C B 3. A C

1. A B

Para hallar este conjunto unión, debemos primero representar en la recta real los conjuntos A y B.

A es el conjunto de todas las x

pertenecientes a los reales tales que x es menor o igual que 3.

= x / x 3 A R

B es el conjunto de todos los reales

tales que x es mayor que -5/2 y menor o igual que 7.

5= x / - < x 72

B R

En este caso, los puntos de la recta que pertenecen al menos a uno de los conjuntos son los que van desde menos infinito hasta 7.

2. C B

C B se lee C unido con B



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C es el conjunto de todas las x

pertenecientes a los reales tales que x es mayor que 3 y x es menor que 1.

Sabemos que



5= x / - < x 72

B R

Nota: El condicional “y” establece que se deben tomar valores que satisfagan ambas desigualdades. No hay valores reales que satisfagan a la vez ser mayores que 3 y menores que 1 de modo que el conjunto C es vacío, .

Recordemos. Unir es tomar los valores de x que estén en al menos uno de los conjuntos.

En C no hay ningún elemento. La unión de los conjuntos C y B es igual al conjunto B.

= C B B

=C B B

Nota: La unión de cualquier conjunto con vacío, , es dicho conjunto.

Representamos en la recta real los conjuntos A y C.

La unión de ellos es igual al conjunto A, pues se debe tomar los valores que estén en al menos uno de los conjuntos, y C no tiene ningún elemento.

3. A C

Sabemos que el conjunto A es

el conjunto de todos los valores de x menores o iguales que 3, y C es el conjunto Vacío.

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NÚMEROS REALES. Hallar la Intersección de Conjuntos Dados

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= x / x 3 A R 5= x / - < x 72

B R = x / x > 3 x <1 C R

1. A B 2. B C 3. A C

Dadas los siguientes conjuntos, hallar las intersecciones y uniones indicadas

A B se lee A intersectado con B

Para hallar este conjunto intersección, debemos primero representar en la recta real los conjuntos A y B.

1. A B

Recordemos. La intersección de dos conjuntos consiste en tomar los valores comunes a ambos conjuntos.

A es el conjunto de todas las x

pertenecientes a los reales tales que x es menor o igual que 3.

= x / x 3 A R



5= x / - < x 72

B R

En este caso, los puntos de la recta comunes a ambos conjuntos son los mayores que -5/2 y menores o iguales a 3.

B C se lee B intersectado con C

Representamos en la recta real los conjuntos B y C.

2. B C

Nota: La intersección de cualquier conjunto con vacío, , es vació.

5= - , 72

A B



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5= x / - < x 72

B R

C es el conjunto de números

reales que son a la vez mayores que 3 y menores que 1. Esto es vacío, .

Recordemos. El condicional “y” establece que se deben tomar valores que satisfagan ambas desigualdades.

C es vacío, , porque ningún número real es simultáneamente menor que 1 y mayor que 3.

B y C no tienen elementos o números en común, su intersección es Vacío, .

= B C

Representamos en la recta real los conjuntos A y C.

La intersección de ellos es igual a vacío, , porque C no tiene ningún elemento, entonces no hay números en común entre ambos conjuntos.

3. A C

Sabemos que el conjunto A es

el conjunto de todos los valores de x menores o iguales que 3, y C es el conjunto Vacío.

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NÚMEROS REALES. Operaciones de Conjuntos. Ejercicios 1, 2 y 3. Parte I

Dadas los siguientes conjuntos, efectuar las operaciones entre conjuntos indicadas

2= x / x > 0A R = x / x 4 B R = x / -x < 0C R

1. A B C 2. A B C 3. A C B

A es el conjunto de todas las x pertenecientes a los reales tales que, x2 es mayor que cero, es decir, positiva.

A es el conjunto de todos los

Reales menos el cero.

Para que -x sea negativo se necesita que x sea positivo. Cualquier número positivo que se sustituya donde está la x resulta negativo. Entonces C es el conjunto de los números positivos, esto se puede escribir como R+ o

como el intervalo abierto (0,).

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Primero representamos los tres conjuntos dados en la recta real.

Por propiedad de potencias sabemos que toda potencia con exponente par resulta positiva.

2x > 0

x2 debe ser positiva

x2 es positiva para x 0 x2 es cero para x = 0

B es el conjunto de números

reales menores o iguales a 4. Es decir, todos los valores que van desde menos infinito hasta 4.

Cualquier valor real, excepto el cero, en cuyo caso la potencia vale cero.

¿Qué números satisfacen que x2 >0?


reales tales que – x < 0, es decir -x negativo.

2= x / x > 0A R

= x / x 4 B R

= x / -x < 0C R



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Hallamos AB

(AB)C se lee A intersectado con B, unido con C.

Intervalos Notables

(- , 0): estos números reales están

presentes en ambos conjuntos. Marcamos con rosado esta parte de la recta.

(0 , 4]: estos números reales están

presentes en ambos conjuntos. Marcamos con rosado esta parte de la recta.

Por lo que toca a x = 0, no es tomado por el conjunto A, entonces no es parte de los

elementos comunes a ambos conjuntos. Se indica con círculo hueco.

1

La intersección de A con B resulta de tomar los elementos comunes a ambos conjuntos.

Unimos (AB) con C 2

La unión está constituida por los elementos que estén en al menos uno de los conjuntos. Con la franja morada marcamos las secciones de la recta en las que los números pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos. Sólo el cero no pertenece a ninguno. Entonces, (AB)C es todos los reales menos el cero.

En la siguiente lección presentamos la solución de los planteamientos 2 y 3.

= - 0 A B C R

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NÚMEROS REALES. Operaciones de Conjuntos. Ejercicios 1, 2 y 3. Parte II

En la lección anterior obtuvimos la representación grafica de los conjuntos A, B y C.

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A es el conjunto de todos los

Reales menos el cero.

B es el conjunto de números

reales menores o iguales a 4. Es decir, todos los valores que van desde menos infinito hasta 4.


reales tales que – x < 0, es decir -x negativo.

2= x / x > 0A R

= x / x 4 B R

= x / -x < 0C R

También hallamos la solución del primer planteamiento ahora hallaremos la solución de (AB)C.

Hallamos AB

(AB)C se lee A unido con B, intersectado con C.

Intervalos Notables

1

La unión de A con B resulta de tomar los elementos que estén en al menos uno de los dos conjuntos.

La unión AB es todos los reales, porque todos los números reales satisfacen estar en al menos uno de los conjuntos. Marcamos toda la recta con la franja rosada.

(- , 4]: estos números reales están presentes

en ambos conjuntos. Salvo el cero que está solo en B.

(4 , ): estos números reales están presentes

en A.



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¿cuáles son los elementos comunes a ambos conjuntos?

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2 Intersectamos AB con C.

El intervalo que va Desde cero abierto hasta infinito contiene todos los números comunes a ambos conjuntos.

Hallamos AC

(AC)B se lee A intersectado con C, intersectado con B.

1

La unión está constituida por los elementos que estén en al menos uno de los conjuntos. Con la franja rosada marcamos las secciones de la recta en las que los números pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos. Los elementos comunes a A y C son los reales positivos, esto es todos los reales mayores que cero. Entonces, AC es los reales positivos, (0, ).

Hallamos (AC)B 2


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Importante: El manejo de estas operaciones con conjuntos es determinante a la hora de trabajar con otros temas más avanzados como inecuaciones o funciones, así que debemos practicar mucho hasta dominar.

¿cuál sería la unión de los conjuntos B y C?

C = ?B

NÚMEROS REALES. Operaciones de Conjuntos. Ejercicios 4, 5 y 6

2= x / x 0 A R = x / x -1 x > 2 B R = x / x -1 C R

1. A B C 2. A B C 3. A C B

Dados los conjuntos A, B y C, por compresión, graficarlos en la recta real, escribirlos en forma de intervalo y hallar las operaciones de conjuntos indicados.

Primero representamos los tres conjuntos dados en la recta real.

El conjunto A está formado por todos los números reales que

elevados al cuadrado sean negativos o cero.

Toda potencia con exponente par es positiva, entonces x2 < 0 no se

cumple para ningún real. 2

2

2

x < 0x 0

x = 0

Condición

x2 = 0 se cumple para x = 0.

Análisis

2= x / x 0 A R

Sólo es posible que x2 sea cero, y

ocurre cuando x = 0.

El conjunto B está formado por todos los números reales

menores o iguales que -1 y los números reales mayores que 2. = x / x -1 x > 2 B R

Esto representa los reales menores o iguales que -1, (- , -1] x -1

Condiciones

“v” es el condicional “o”, operativamente funciona como la Unión, esto

significa que el conjunto toma los elementos que satisfacen una u otra condición.

Análisis

Esto representa los reales mayores que 2, (-, 2]

x > 2

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El conjunto C está formado

por todos los números reales mayores o iguales que -1.

(AB)C se lee A intersectado con B, unión con C.

Hallamos AB 1

La Intersección de A con B resulta de tomar los elementos comunes de ellos. A y B no tienen elementos en común, así que el conjunto (AB) es vacío, .

La unión del conjunto vacío con el conjunto C resulta el conjunto C.

Unimos AB con C. 2

Recordemos. Unir significa tomar todo elemento que esté en al menos uno de los conjuntos.

Como el conjunto (AB) es vacío, la unión toma elementos sólo de C.


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¿Cuál es el conjunto unión de A con B?

¿Cuál es el conjunto intersección de A con C?

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(AB)C se lee A unido con B, intersección con C.

Tomando todos los elementos de uno y otro conjunto nos queda: A = (- , -1] {0} (2 , ) y ahora.

¿Cuál es la intersección entre (AB) y C?.

(AC)B se lee A intersectado con C, intersectado con B.

Tomando los elementos comunes a ambos conjuntos nos queda el conjunto cuyo único elemento es el cero {0}.

Los elementos comunes a ambos conjuntos son: (AB)C = {-1,0} (2 , )


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Entre (AC) y B no hay elementos comunes entonces la intersección es vacía. (AC)B =

¿Cuál es el conjunto intersección de (AC)B?

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A Practicar

= x / -3 < x 0 A R = x / -4 x 6 B R = x / x < - 2 x -1 C R

a. A B C b. A B C c. A C B

1. Dados los conjuntos A, B y C, por compresión, graficarlos en la recta real, escribirlos en forma de intervalo y hallar las operaciones de conjuntos indicados.

= x / x 7 A R = x / -3 x 7 B R = x / x 7 C R

a. A B C b. A B C d. A C B


c. A B C

= x /1< x 7 D R = x / 0 x 3 E R = x / x -2 F R

a. D E F b. D E F d. D F E

3. Dados los conjuntos D, E y F, por compresión, graficarlos en la recta real, escribirlos en forma de intervalo y hallar las operaciones de conjuntos indicados.

c. D E F


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= x / -3 < x 0 A R = x / -4 x 6 B R = x / x < - 2 x -1 C R

a. A B C b. A B C c. A C B


¿Lo Hicimos Bien?

a. A B C

b. A B C

c. A C B


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= x / x 7 A R = x / -3 x 7 B R = x / x 7 C R

a. A B C b. A B C d. A C B


c. A B C

a. A B C

b. A B C


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c. A B C

= x /1< x 7 D R = x / 0 x 3 E R = x / x -2 F R

a. D E F b. D E F d. D F E

3. Dados los conjuntos D, E y F, por compresión, graficarlos en la recta real, escribirlos en forma de intervalo y hallar las operaciones de conjuntos indicados.

c. D E F

d. A C B

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a. D E F

b. D E F

c. D E F

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d. D F E


relaciones de orden en los reales

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