DEFINICIONES DE SISTEMAS

t (Seg) ta t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 tb v (Voltios) 0 0.6 1 1.8 3 2 2.5 3.5 4 2 1.5 0

i (mili Amperio) 0 0.2 0.33 0.6 1 0.67 0.83 1.17 1.33 0.67 0.5 0

En esta actividad el conjunto de cantidades contiene el voltaje (v) y la corriente (i). El nivel de resolución esta dado

por el conjunto de valores {0, 0.6, 1, 1.8, … , 4} medidos en voltios y el nivel de resolución para la corriente esta

dado por el conjunto de valores {0, 0.2, 0.33, … , 1.33} medidos en miliamperios. El comportamiento expresado

por la ecuación v=3i es consistente con la actividad (sucesión de muestras; solo valores instantáneos)

Expresiones

x1, x2, x3, x4, …, xn = Cantidades externas

X = Conjunto de Cantidades Externas { x1, x2, x3, x4, …, xn }.

xi (t) = Valor de xi en el instante t.

Xi = El conjunto de todos los posibles valores de la cantidad xi

T = El conjunto de todos los instantes de tiempo donde (0 <= t <= t max)

L = Nivel de resolución { X1, X2, X3, … , Xn, T }

S = Conjunto completo de estados en una relación binaria { s1, s2, s3, s4, …, sn }.

R (S,S) C S2

= Conjunto completo de transiciones entre estados en una relación binaria

Si el sistema se considera sobre un periodo largo de tiempo, entonces toda transición si � sj contenida en R (s , s)

puede asociarse con una probabilidad condicional ℑ (si / sj ) de transición al estado sj si el sistema esta en estado

si.

∑ ℑ (si / sj ) = 1

DEFINICION DE SITEMAS

1. Definición por el conjunto de cantidades externas y nivel de resolución.

SSSS = es un conjunto dado que contiene las cantidades externas x1, x2, x3, x4, …, xn y el tiempo t considerado al

nivel de resolución L = { X1, X2, X3, … , Xn, T }

SSSS = { X, t, L }

2. Definición por la actividad dada

SSSS = conjunto de variaciones en el tiempo de algunas cantidades bajo consideración.

SSSS = Conjunto dado de valores xi (t) para todo i = 1, 2, …, n y para todo t ∈ Τ

SSSS = {x1 (t), x2 (t), x3 (t), …, xn (t)} : t ∈ Τ, xi (t) ∈ Xi , i=1, 2, …, n.

3. Definición por el comportamiento permanente.

SSSS = Es una relación atemporal dada entre valores actuales y/o pasados y/o futuros de las cantidades

externas, todo elemento puede o no estar asociado con una probabilidad de ocurrencia.

SSSS = R1 <= j < m (x Pj) definida sobre un producto cartesiano Xm

j = 1 Pj junato con una correspondencia

biunívoca (i, ∝ ) ↔ j. A veces con una correspondencia a � ℑ(a) que significa una probabilidad de

ocurrencia ℑ(a) a cada elemento de la relación R.

m

SSSS = xR (Pj) C X Pj

1<j<m j-1

SSSS = { R (xPj),a � ℑ(a) : a ∈ R, ℑ(a) <= 1 , ∑ ℑ(a) = 1 } 1<j<m

Donde Pj = Xi si (i, ∝ ) ↔ j para cualquier ∝.

4. Definición por estructura UC Real.

SSSS = Conjunto dado de elementos, junto con sus comportamientos permanentes y un conjunto de

acoplamientos entre los elementos, de una parte, y entre los elementos y el ambiente.

S S S S = Conjunto dado consistente del conjunto B de relaciones absolutas b1, b2, …, bu entre las cantidades

principales de los elementos b1, b2, …, bu respectivamente, y el conjunto C de todos los acoplamientos

entre los elementos del conjunto A.

SSSS = { b1, b2, …, bu, Cij : i,j = 0, 1, …, u; i ≠ j } = { B, C}

5. Definición por estructura ST Real.

SSSS= Es un conjunto dado de estados junto con un conjunto de transiciones entre los estados; cada

transición puede. Aunque no lo necesita, estar asociada a una probabilidad de ocurrencia.

SSSS= { S, R ( S, S) }

SSSS= { S, R ( S, S), (si, sj) � ℑ( sj/si) : (si,sj) ∈ R (S, S), ℑ(sj/si) <= 1, ∑j ℑ( sj/si) =1}

Ejemplos:

Definición 1: El sistema que representa el tiempo atmosférico en un cierto lugar, digamos la ciudad de Pereira, se

define por las siguientes cantidades y nivel de resolución.

Tiempo: las medidas se toman 6 veces al dia

Temperatura en superficie: rango de 0 ºC – 50ºC y medida con una presión de 1ºC

Temperatura a 1500mts: rango de 5 ºC – 40ºC y medida con una presión de 1ºC

Humedad relativa definida con una variación de 0% a 100% y medida con una presión de 1%, valores a

considerar 0,1,…., 99, 100%.

Precipitación entre dos medidas. Se espera con una variación de 0 a 5 pulgadas y medida de precisión de

0,1 pulgadas. Solo se consideran valores entre 0.1, 0.2,…, 4, 9,5.

Velocidad del viento en la superficie: con variación de 0 a 150 km/h y una medida de precisión de 1 km/h.

Valores considerados 0, 1, …, 149,150.

Dirección del viento: dentro del rango de 0º a 360º y con una precisión del 10º. Valores considerados 0º,

10º , …, 360º.

Presión Barométrica: Rango 28 mm Hg a 32 mm Hg, con una precisión de 0,2 mm Hg

Visibilidad: Rango 0 a 5 km con una medida de precisión de 0.1 km.

Definición 2. Una actividad dada. El sistema de señales de transito en una intersección se define por la actividad

periodica. Direcciones Norte- Sur, Sur-Norte , Este- Oeste, Oesta-Este, (NS,SN,EO,OE) respectivamente, y los

giros NE,SE.

Definición 3: Un comportamiento permanente dado. El sistema económico usado para un fondo de retiro de un

hombre de A años de edad que espera retirarse a la edad B y vivir hasta la edad C. Se representa por la relación

representada por las siguientes ecuaciones y desigualdades.

12p2 – ( 1+p1) B-A

– 1 = 12p4 – 1- ( 1+p1) B-C

p1 p1

Expresa el requerimiento de la inversión total en la fecha de de retiro igual a la renta total después del retiro.

p2 <= 0,1 p3

Expresa la exigencia de que el deposito mensual no exceda del 10% de la renta mensual en el año t.

p4 <= 0,6 p3

Expresa el requisito de la renta mensual después del año de retiro no sea inferior al 60% de la renta mensual en t.

p1 (t) = x1 (t) = interés anual medio simple por peso de inversión en el año t

p2 (t) = x2 (t) = deposito mensual del año t.

p3 (t) = x3 (t) = renta mensual del año t.

p4 (t) = x1 (t + B-A) = renta mensual en el año t + B – A.

Definición 4. Una estructura UC dada. El sistema que mantiene la temperatura en una habitación entre 15ºC -

35ºC. consiste de 4 elementos termómetro, regulador, calentador, y refrigerador. Los elementos están asociados

con las siguientes cantidades y demuestran los siguientes comportamientos permanentes:

Termómetro: Temperatura T (continua entre 0ºC – 60ºC, con una fuerza F (continua de 0.03 a 0,1 newton)

representado por F=10-3

T

Regulador: tres potenciales eléctricos diferentes V1, V2, V3 (cada uno de los cuales es igual a 0 o a 110 voltios),

fuerza F, su comportamiento permanente se representa asi

F v1 v2 v3

Cualquier valor 0 0 0

F<0,062 110 0 110

0,062 <= F < 0,07 110 0 0

F<= 0,07 110 110 0

Calentador: Potencial V2, produce el calor H por segundo (o nada o el equivalente a 1 kw). El comportamiento por

la instrucción: si v2=0, entonces H=o, y si v2=110 voltios, entonces h=1kw.

Refrigerador: Potencial v3, Produce el frio C por segundo (o nada o el equivalente a -1kw). El comportamiento

permanente se expresa por la siguiente sentencia: si v3=0 , entonces c=0 y si v3=110 v, entonces c=-1kw.

El ambiente del sistema contiene 4 de las cantidades asociadas con los elementos: temperatura T, potencial v1,

calor H, fio C.

Aunque el comportamiento entre los elementos se deducen directamente de las especificaciones, los tabulamos

aquí de forma mas explicita..

Acoplamiento

Entre Contiene

Termómetro regulador Fuerza F

Termómetro y Calentador -

Termómetro y refrigerador -

Termómetro ambiente Temperatura T

Regulador y Calentador Potencial v2

Regulador y refrigerador Potencial v3

Regulador y ambiente Potencial v1

Calentador y Refrigerador -

Calentador y ambiente Calor H

Refrigerador y ambiente Frio C

V2

F v3

T V1 H

Diagrama de bloques de la estructura UC del sistema empleados para mantener la temperatura de una habitación

entre 15º C – 35º C

Definicion 5. Una estructura ST dada. El sistema legal colombiano para que las necesidades y deseos de los

ciudadanos (abreviados como D) entren en una nueva ley puede ser definido por una estructura ST, sean las

cantidades asociadas con el sistema y los valores definidos como sigue:

P1 = atractivo político de D (bajo = 0, alto= 1)

P2 = D posee patrocinador en el Congreso (no=0, si=1)

Termometro Interruptor Calentador

Refrigerador

Ambiente

P3 = Estatus de D en la cámara de representantes (rechazado o no considerado=0, aprobado con mayoría simple

= 1, aprobado con mayoría de dos tercios=2)

P4= estatus de D en el Senado (iguales valores que el anterior)

P5 = Aprobación presidencial de D (no=0, si=1)

P6= D es llevado a los tribunales (no=0, si=1)

P7= estatus legal de D (ninguno=0, proyecto de ley=1, estatuto=2, ley=3)

0000000 1100001

1000000

1101001

1112113

1111113

1121113

1110001

1102001

1120001

1112001

1111001

1121001

1112102

1111102

1121102

1122002

1122012

1121112

1111112

1112112

1122013

RELACIONES CAUSALES

Es el conjunto de relaciones entre las cantidades del sistema, es decir, no hemos diferenciado entre cantidades

producidas por el ambiente que causan sucesos dentro del sistema, y aquellas que son sus resultados (cantidades

que son producidas por el sistema y simultáneamente causan acontecimientos en el sistema).

Las cantidades que se producen por el ambiente y causan sucesos en el sistema son independientes de este y las

llamaremos cantidades independientes. Y las cantidades producidas pro el sistema, es decir, derivadas de

cantidades independientes y son dependientes del sistema las llamaremos cantidades dependientes.

Recordamos que las cantidades externas son aquellas producidas por el ambiente y las producidas por el sistema

o bien esta dado directamente, la clasificación de las cantidades externas no se puede suponer por anticipado,

debe deducirse si es posible, de las relaciones atemporales dadas o descubiertas y de los datos conocidos sobre

el sistema.

Nuestro pensamiento se caracteriza por el hecho de que imaginamos todos los sucesos en la realidad ocurriendo

en forma de pares bien ordenados (causa, resultado) a menos que exista una clara separación entre las

cantidades. Para hablar de Relación Causal debemos tener una clara separación entre cantidades dependiente e

independientes; y donde cada cantidad dependiente pueda expresarse explicita y únicamente como una función de

las restantes cantidades y las cantidades independientes no pueden expresarse explícitamente o sus expresiones

explicitas sean ambiguas.

Relaciones atemporales que no se pueden expresar como relaciones causales

1. Aquellas relaciones en que la división entre cantidades dependiente e independientes no es única.

t= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x= 1 0 -1 2 3 -2 5 -3 0.5 1.5 3.5

y= -1 4 9 -6 -11 14 -21 19 1.5 -3.5 -13.5

z= 0 -3 -6 3 6 -9 12 -12 -1.5 1.5 7.5

Son solo valore actuales de muestras que se pueden expresar por las ecuaciones

2x + y + z - 1 = 0 ó x - y - 2z - 2 = 0

x = 1/5 (4 – y) x= 1/3 (z+3) y=4-5x y= -1/3(5z+3) Z=3x-3 Z=-1/5(3Y+3)

Es posible expresar cualquier cantidad externa del sistema como dependiendo de forma única de cualquier otra

cantidad externa, hay varias relaciones, donde cada una de las cuales podría ser causal. Si no se conoce mas que

la actividad del sistema, no hay razón alguna para preferir como relación causal una de ellas.

2. En una relación Fi (Función continua), x1,x2,…,xn (variables continuas) n>m

Fi (x1,x2,…,xn)=0 , i=1,2,…, m

Cuando el determinante funcional de Fi con respecto a cualquier m variables del conjunto no sea nulo, las

variables no pueden expresarse explícitamente y no se puede alguna relación causal.

3. Cuando una variable xi depende de las variables xj,xk, no puede expresar po una única función, no existe

relación causal.

Xi = F1 (xj,xk) xi= F2(xj,xk) F1 diferente F2

Para que exista causalidad debe:

• Existir una clara separación entre las cantidades dependientes e independientes

o La cantidad dependiente debe expresarse explícitamente de modo único como una función

de las cantidades independientes.

o La Cantidad independiente no debe expresarse de modo único como una función de las otras

cantidades.

Ejemplo:

Determinar Cual de las relaciones R1, R2 entre las cantidades x,y,z, expresadas en la siguiente tabulación,

pueden considerarse como causal.

R1 R2

X y z x y z

0 0 0 0 1 0

0 0 1 1 1 0

0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

Debemos comprobar por separado cada cantidad única dependiendo de cualquiera de las otras

R1 x vale 0 1 para y = z = 0 de modo x no depende de modo único de y z

y vale 0 1 para x = z = 0 de modo y no depende de modo único de x z

z Vale 0 1 para x = y = 0 de modo y no depende de modo único de x y

Entonces R1 no representa evidencia alguna de relación causal, por que ninguna de las cantidades depende de

modo único de las otras dos.

R2 x vale 0 1 para y = 1 z = 0 de modo x no depende de modo único de y z

z Vale 0 1 para x = 0 y = 1 de modo y no depende de modo único de x y

y vale 0 1 para x diferente z de modo y depende de modo único de x z

x,z son cantidades independientes y y es la cantidad dependiente por lo tanto R2 es una relación Causal.

Cantidades de entrada son las cantidades producidas por el ambiente y las cantidades de salida son aquellas

producidas por el sistema; las cantidades de entrada pueden ser función de las cantidades de salida que son

características de los sistemas retrospectivos. También las cantidades de salida no necesitan depender de modo

único de las cantidades de entrada que son característica de los sistemas probabilísticos.

Las cantidades externas en las producidas por el ambiente y las producidas por el sistema o esta dada a priori o es

posible una hipótesis razonable sobre la clasificación en base a datos experimentales, o en el peor de los casos no

existe ningún juicio para su clasificación. Si la clasificación es conocida, sin considerar su origen diremos que se

conoce un control del sistema.

Si por el contrario, deseamos puntualizar que el control del sistema no es conocido diremos que el sistema es

neutral

Los sistemas cuyos comportamientos son causales son también sistemas controlados pero no al revés, aunque

los términos de cantidades de entrada y salida se apliquen a estos sistemas. Los términos d cantidad

independiente e independiente solo se utilizan en relación a los sistemas causales.

Taller

1. Algunas de las relaciones entre variables discretas están dadas en la forma de las siguientes tablas.

Determinar para cada relación si es causal o no

a b c

x y z x y z x y z

0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 1 2 0 1 2 0 1 0

0 2 0 0 2 1 0 1 1

1 0 1 1 0 2 1 1 1

1 1 2 1 1 1 1 1 2

1 2 1 1 2 0 1 1 2

2 0 1 2 0 1 2 0 0

2 1 0 2 1 0 2 0 1

2 2 2 2 2 2 2 0 2

2. Determinar si la relación atemporal de siguiente actividad es Causal o no.

a. Solo se consideran valores instantáneos de las cantidades

b. Se consideran dos valores consecutivos de cada cantidad.

t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

x = 0 1 1 2 1 0 0 0 2 0 1 1 1 0 2 2

y = 0 0 1 1 2 1 0 0 2 1 0 1 1 2 2 2

3. Un historiados se intereso particularmente en tres culturas antiguas C1, C2, C3. Investigo mas de 100 lugares

donde esperaba descubrir algún resto de aquellas culturas. Descubrió bien ninguna de las tres culturas, o

la C1 sola, o las C2 y C3 juntas, o las C1 y C2 mezcladas. Por tanto, descubrió que existía una relación

entre las existencias de las tres culturas. Es esta relación causal si no se conoce nada mas sobre C1,C2 y

C3?

SISTEMAS CONTROLADOS

Las cantidades de entrada y salida se conocen en la mayoría de los casos lo que nos conlleva a suponer que se

tiene el control del sistema.

Si el control de un sistema no es conocido entonces la primera tarea es determinarlo supuesto que es posible

hacerlo, investigando el comportamiento del sistema (o los comportamientos de sus elementos) desde el punto de

vista de las relaciones causales y otras consideraciones.

Si el control del sistema no es conocido y no puede determinarse de modo único en base a todo el conocimiento

disponible sobre el sistema. Entonces el ambiente no puede separarse por completo del sistema, en consecuencia

no puede hacerse ninguna conclusión adecuada sobre el mismo. Antes de resolver un problema relativo, el control

de este debe conocerse.

Cuando hablamos sistemas controlados, consideramos el conjunto de valores como estímulos instantáneos por

los que el ambiente afecta al sistema. De igual manera el conjunto de valores instantáneos de salida son

considerados como respuesta instantánea del sistema.

Cantidades de Estímulos

Entrada

Cantidades de Entrada Cantidades de entrada Extra

Extra del Sistema del Ambiente

Cantidades de Respuestas

Salida

Diagrama de acoplamientos entre el sistema controlado y el ambiente

Investigar Definición de los sistemas controlados en base a las definiciones básicas de sistemas (5)

SISTEMA

CONTROLADO AMBIENTE