Autor: David Lopez Cedula: 19665740Materia: AlgebraProfesor: Domingo Méndez

República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación SuperiorInstituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”San Cristóbal, Estado Táchira

Relaciones Binarias

Concepto

• Sean A y B conjuntos no vacíos, se llama relación binaria a cualquier subconjunto del producto cartesiano AxB.

• Esta relación se puede denotar de diversas formas:• 1- Como pares ordenados (a, b).• 2- Indicando que aRb.• 3- Como una mezcla entra los dos anteriores

R(a,b).

A los conjuntos A y B se les conoce como conjunto de partida y conjunto de llegada. Al conjunto de elementos de A que aparecen en la relación se llama dominio y se representa Dom(R) .

Al conjunto de elementos de B que aparecen en la relación se llama imagen y se representa Im(R) .

Características

A={0, 1, 2, 3}, B={0, 1, 2, 3, 4, 5}, RA,B={<0,1>, <0,2>, <0,3>, <0,4>}

A={0,1,2,3}, RA

2=A2={<0, 0>, <1, 1>, <2, 2>, <3,3>}.

Ejemplos

Para representar las relaciones binarias podemos utilizar dos tipos de gráficos:

a)El diagrama cartesiano: donde representaremos los ejes cartesianos, y en cada eje los elementos de cada conjunto.

Representaremos las relaciones por medio de puntos ( si el eje es similar al eje de coordenadas) o por medio de cruces si lo representamos mediante cuadrículas.

b) Diagrama sagital o flechas (mediante diagramas de Venn): representaremos los elementos del conjunto dentro del círculo y representaremos las relaciones mediante flechas.

Representaciones

Ejemplos

Representar la siguiente relación: R(M)={(a,b), (b,c), (d,b)}

Cuadricula Diagrama de venn

PropiedadesLas relaciones binarias se dividen en dos grandes grupos: las homogéneas y las heterogéneas, en dependencia de si los conjuntos A y B coinciden o no respectivamente; cada una con sus propiedades que permiten sub-clasificaciones.

Relaciones Homogéneas• una relación binaria homogénea es la

que se da entre los elementos de un único conjunto, llamando A al conjunto, tendríamos:

representada en la figura, se puede ver que solo hay un

conjunto, el A y que la relación entre los elementos

es interior al conjunto, en este caso representado por

las flechas.

Relaciones Heterogéneas• Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se

llama heterogénea cuando A es distinto de B:

Lo que también se llama correspondencia matemática

A la derecha podemos ver un diagrama sagital, en el cual

se representan los dos conjuntos de la relación

binaria, asociando a cada pincel la cara que está

pintada del mismo color.

Propiedades fundamentales de las relaciones binarias.

• Las relaciones binarias homogéneas hayan otras clasificaciones en tanto sus elementos satisfacen una serie de propiedades que veremos a continuación.

Relaciones reflexivas• Sea R una relación sobre A, se dice que es reflexiva si y

solo si todo elemento de A está relacionado consigo mismo.

• El caso más singular es el de las relaciones puramente reflexivas, también conocidas como identidades cuya formulación es IA2={<x,x>| para toda x en A}.

Propiedades fundamentales de las relaciones binarias.

Relaciones irreflexivas• Una relación binaria homogénea R sobre el

conjunto A es irreflexiva si no hay ni un solo par de la forma <x,x> en R.

Propiedades fundamentales de las relaciones binarias.

Relaciones simétricas• La relación R sobre A es simétrica cuando

para todo par <x,y> de R, su inverso <y,x> también pertenece a la relación.

Propiedades fundamentales de las relaciones binarias.

Relaciones anti-simétricas• Dados dos elementos del conjunto si el

primer elemento está relacionado con el segundo, entonces, el segundo no está relacionado con el primero: xRy → y noR x.

Propiedades fundamentales de las relaciones binarias.

Relaciones transitivas• Sea R una relación sobre A2, ésta se dice

transitiva si y solo si a R pertenecen los pares <x,y> e <y,z>, entonces <x,z> también.

Propiedades fundamentales de las relaciones binarias.

Relaciones totales• Se dice que una relación binaria homogénea

R sobre el conjunto A es total cuando entre dos elementos cualquiera distintos x,y de A xRy ó yRx.

Propiedades fundamentales de las relaciones binarias.

Propiedad conexa • Dados dos elementos cualesquiera del

conjunto estos están relacionados. O bien xRy o bien yRx.

https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binariahttp://matematica.laguia2000.com/general/relaciones-binariashttp://www.ecured.cu/Relaci%C3%B3n_binaria

Referencias