relaciones

Universidad Católica del Norte

Departamento de Matemática

Cecilia Alejandra Cabello Bugueño

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2. RELACIONES Las relaciones son un caso particular de producto cartesiano, más aún, son un subconjunto del

producto cartesiano de conjuntos. Las relaciones son condiciones que posee la variable 𝒴 con

respecto a la variable 𝒳 en los pares ordenados (𝒳, 𝒴).

Definición N°2: Relación de 𝑨 𝒆𝒏 𝑩

Dado los conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵, se llama relación definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵 a cualquier subconjunto del

producto cartesiano 𝐴 × 𝐵.

Por comprensión lo anterior:

𝑅, es la relación definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵 si, y sólo si 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵 (relación).

(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅, también se escribe 𝑎 𝑅 𝑏.

(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⟺ 𝑎 𝑅 𝑏

Ejemplo Nº6:

a- Si 𝐴 es el conjunto de todos los países y 𝐵 es el conjunto de todos los ríos, podemos definir una

relación:

𝑅 = {(𝒳, 𝒴): 𝒴 𝑒𝑠𝑡á 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝒳/ 𝒳 ∈ 𝐴 , 𝒴 ∈ 𝐵 }

Algunos pares de 𝑅 son:

𝑅 = {(𝐶ℎ𝑖𝑙𝑒, 𝐿𝑜𝑎), (𝐸𝑔𝑖𝑝𝑡𝑜, 𝑁𝑖𝑙𝑜), (𝐶ℎ𝑖𝑙𝑒, 𝐵𝑖𝑜 − 𝐵𝑖𝑜)}

b- Sea 𝐴 = {0, 1, 2 ,3} 𝑦 𝐵 = {0, −1, −2}

Entonces, 𝐴 × 𝐵 = {(0,0), (0. −1), (0, −2), (1,0), (1, −1), (1, −2),(2,0), (2, −1), (2, −2), (3,0), (3, −1), (3, −2)

}

𝑅1 = {(0,0), (0, −1), (2, −1)} ⊆ 𝐴 × 𝐵

𝑅2 = {(1,0), (1, −1), (3,0), (3, −1)} ⊆ 𝐴 × 𝐵




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c- Relaciones definidas en ℕ × ℕ

ℕ = {1, 2, 3, … } ℝ = {1, 2, 3, … }

Entonces, algunos casos particulares son

𝑅1 = {(1,1), (1,2)}

𝑅2 = {(1, 3), (2,3), (4,5)}

Relación de 𝑨 en 𝑨

Se llama relación definida en 𝐴 a cualquier subconjunto de 𝐴 × 𝐴.

Ejemplo Nº7:

1. Sea 𝐴 = {0, 1, 2}, las siguientes son relaciones definidas en 𝐴

𝐴 × 𝐴 = {(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)}

𝑅1 = {(0, 2), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}

𝑅2 = {(0, 0), (2, 0), (1, 0)}

𝑅3 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑦 = 0} ⊆ 𝐴 𝑥 𝐴

Notemos que si 𝐴 es un conjunto finito con 𝑛 elementos, entonces el número de subconjuntos de

𝐴 es 2𝑛. Además, si 𝐴 × 𝐵 tiene 𝑚 · 𝑛 elementos, el número de Relaciones que se pueden definir

de 𝐴 en 𝐵 es 2𝑚·𝑛.

Ejemplo Nº8:

a- Sea 𝐴 = {1, 3, 5 ,7, 9}, luego ⋕ 𝑛 = 5

Número de subconjunto: 2𝑛 = 25 = 32 subconjuntos.

b.- Sea ⋕ 𝐴 = 3 ∧ ⋕ 𝐵 = 4,

Entonces el número de Relaciones de 𝐴 × 𝐵

⋕ (𝐴 × 𝐵) 𝑒𝑠 ∶ 2𝑚·𝑛 = 23·4 = 212




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2.1 REPRESENTACION GRÁFICA DE UNA RELACIÓN.

Si una relación está definida en conjuntos numéricos, se pueden representar de la siguiente

manera:

Figura 2.1. Circunferencia de centro

(0,0) y radio 1.

Figura 2.2. Primer cuadrante plano cartesiano

𝑅2 = {(𝑥, 𝑦 )/𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0} ⊆ ℝ 𝑥 ℝ

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

Y

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

X

Y

2.2 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA RELACIÓN.

Definición Nº3: Dominio

Se llama Dominio de una relación 𝑅 definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, al conjunto formado por todas las

primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación.

Dicho por comprensión, esto es:

𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {𝑥/(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}

Ejemplo N°9:

a.-Sea 𝐴 = {1,2,3} 𝑦 𝐵 = {1,2}, 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 = 𝑦}




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Los pares ordenados de la relación son:

𝑅 = {(1,1)(2,2)}

Luego, el dominio de la relación es:

𝐷𝑜𝑚 𝑅 = {1,2} ⊆ 𝐴

b.- Sea 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} 𝑦 𝐵 = {𝑐, 𝑑, 𝑒}

𝑅 = {(𝑎, 𝑐)(𝑎, 𝑑)(𝑏, 𝑐)(𝑐, 𝑒)}

Luego, el dominio de la relación es:

𝐷𝑜𝑚 𝑅 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝐴

Definición Nº4: Recorrido

Se llama Recorrido de una relación 𝑅 definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, al conjunto de los segundos

componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación.

Dicho por comprensión, esto es:

𝑅𝑒𝑐 𝑅 = {𝑦: 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑥 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}

Ejemplo Nº10:

a.-Sea 𝐴 = {1,2,3} 𝑦 𝐵 = {1,2}, 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 = 𝑦}


𝑅 = {(1,1)(2,2)}

Luego, el recorrido de la relación es:

𝑅𝑒𝑐 𝑅 = {1,2} ⊆ 𝐵

b.- Sea 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} 𝑦 𝐵 = {𝑐, 𝑑, 𝑒}

𝑅 = {(𝑎, 𝑐)(𝑎, 𝑑)(𝑏, 𝑐)(𝑐, 𝑒)}

Luego, el recorrido de la relación es:

𝐷𝑜𝑚 𝑅 = { 𝑐, 𝑑, 𝑒} ⊆ 𝐵




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2.3. RELACIÓN INVERSA (𝐑−𝟏)

“La relación inversa de la relación padre es la relación hijo, y la relación inversa de la relación

hermano es ella misma. La relación inversa de divide es ser múltiplo.”

Definición N°5: RELACIÓN INVERSA (𝐑−𝟏)

Dada una relación definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, tiene una relación inversa (𝑅−1), cuyos elementos son los

pares conmutados de 𝑅.

Por comprensión, esto es:

𝑅−1 = {(𝒴, 𝒳)/(𝒳, 𝒴) ∈ 𝑅}

Si la relación viene dada por los pares de la forma (𝒳, 𝒴 ), los pares de la relación inversa se

invierten, es decir, (𝒴, 𝒳).

Si 𝑅 es una relación definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, entonces 𝑅−1 es una relación definida de 𝐵 𝑒𝑛 𝐴.

𝑅: 𝐴 → 𝐵 Entonces, 𝑅−1: 𝐵 → 𝐴

Además, si 𝑅−1 es una relación inversa de 𝑅, entonces:

𝐷𝑜𝑚 𝑅 = 𝑅𝑒𝑐 𝑅−1 𝑦 𝑅𝑒𝑐 𝑅 = 𝐷𝑜𝑚 𝑅−1

El diagrama sagital se tiene la relación 𝑇 de 𝐴 en 𝐵 y su relación inversa 𝑇−1 de 𝐵 en 𝐴.

𝑇−1 = {(1, 𝑎), (2, 𝑏), (3, 𝑏)}

Figura 2.3




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Ejemplo N°11:

a.- En un conjunto de personas consideramos la relación:

𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦}

La relación inversa es:

𝑅−1 = {(𝑦, 𝑥)/ 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦}

b.- Si 𝑇 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑥2} ⊆ ℝ 𝑥 ℝ

La relación inversa es:

𝑇−1 = {(𝑦, 𝑥)/ 𝑦 = 𝑥2} ⊆ ℝ 𝑥 ℝ

2.4 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN 𝐀𝐱𝐀.

Una relación 𝑅definida en un conjunto 𝐴 puede cumplir las siguientes propiedades:

a) Propiedad Refleja:

Una relación 𝑅definida en un conjunto 𝐴, satisface la propiedad refleja si, y sólo si, (𝑎, 𝑎) ∈ 𝑅 para

todo elemento de 𝑎 ∈ 𝐴.

Para que una relación sea refleja deben estar todos los pares ordenados de la forma (𝑥, 𝑥), para

todos los elementos del conjunto.

Ejemplo N°12:

Para 𝐴 = {0, 1, 2, 3} y se definen las relaciones siguientes:

𝑅1 = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (1, 2), (3, 1), (3, 3)}

𝑅 1Satisface la propiedad refleja: ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∶ 𝑎 𝑅 𝑎

𝑅2 = {(0,0), (1, 1), (2, 2)}

𝑅2 No satisface la propiedad refleja, pues el par (3, 3) ∉ 𝑅2




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b) Propiedad Simétrica

La relación 𝑅 definida en un conjunto 𝐴, satisface la propiedad simétrica si, y sólo si (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅,

entonces (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅.

Una relación cumple la propiedad simétrica si en sus pares ordenados se encuentra el par (𝒳, 𝒴),

entonces necesariamente debe estar el par (𝒴, 𝒳), en el caso de estar en la relación esta el par

(𝒳, 𝒴), y no esta el par (𝒴, 𝒳), entonces la relación ya no cumple la propiedad simétrica.

Una relación 𝑅 satisface la propiedad simétrica si, y sólo si, 𝑅 = 𝑅−1.

Ejemplo N°13:

En 𝐴 = {1, 3, 5, 7, 9}. Sean las relaciones.

𝑅1 = {(1, 3), (1, 5), (1, 1), (5, 1)}

𝑅1−1 = {(3, 1), (5, 1), (1, 1), (1, 5)}

𝑅1 No satisface la propiedad simétrica pues (1, 3) ∈ 𝑅, pero (3, 1) ∉ 𝑅1. Además, 𝑅 ≠ 𝑅−1

𝑅2 = {(1, 1), (1, 3), (3, 1)}

𝑅2 Satisface la propiedad simétrica; además 𝑅2−1 = 𝑅

c) Propiedad Transitiva

Una relación 𝑅 definida en un conjunto 𝐴, satisface la propiedad transitiva si, y sólo si, (𝑎, 𝑏) ∈

𝑅 ∧ (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (𝑎, 𝑐) ∈ 𝑅.

La propiedad transitiva indica que si en la relación se encuentran los pares (𝑎, 𝑏) 𝑦 (𝑏, 𝑐), entonces

también debe estar dentro de la relación el par(𝑎, 𝑐). Debemos notar que deben estar ambos

pares ((𝑎, 𝑏) ∧ (𝑏, 𝑐) ) para verificar la propiedad transitiva, en el caso de que estuviese sólo un

par no significa que la relación no sea transitiva.

Ejemplo N°14:

a.- Sea 𝐴 = {1,2} y la relación 𝑅 = {(1,2)(2,1)(2,2)(1,1)}, verifiquemos que 𝑅 es una relación

que cumple la propiedad transitiva

(1,2) ∈ 𝑅 𝑦 (2,1) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (1,1) ∈ 𝑅




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(2,1) ∈ 𝑅 𝑦 (1,1) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (2,1) ∈ 𝑅

(2,1) ∈ 𝑅 𝑦 (1,2) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (2,2) ∈ 𝑅

(2,2) ∈ 𝑅 𝑦 (2,1) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (2,1) ∈ 𝑅

(1,1) ∈ 𝑅 𝑦 (1,2) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (1,2) ∈ 𝑅

Luego, la relación 𝑅 es una relación que cumple la propiedad transitiva.

b.- Sea 𝐴 = {1,2} y la relación 𝑆 = {(1,2)(2,1)(2,2)}, verifiquemos si 𝑆 cumple la propiedad

transitiva

(1,2) ∈ 𝑆 𝑦 (2,1) ∈ 𝑆 , 𝑝𝑒𝑟𝑜 (1,1) ∉ 𝑆

Luego, la relación 𝑆, no cumple la propiedad transitiva.

d) Propiedad Antisimétrica

La relación 𝑅 definida en un conjunto 𝐴, satisface la propiedad antisimétrica si, y sólo si ∀ 𝑎, 𝑏 ∈

𝐴 ; (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 𝑦 (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅. Entonces, 𝑎 = 𝑏.

Para todos los elementos del conjunto A se forman los pares ordenados (𝑎, 𝑏) y los pares de la

forma (𝑏, 𝑎) que están en la relación 𝑅, entonces necesariamente los elementos son los mismos,

es decir, 𝑎 = 𝑏.

Ejemplo N°15:

Sea el conjunto 𝐴 = {1, 2, 3}.

Se define 𝑅1 como la relación definida en 𝐴𝑥𝐴

𝑅1 = {(1, 1), (1, 2)}

𝑅1 Cumple con la propiedad antisimétrica.

Sea 𝑅2 una relación definida en 𝐴𝑥𝐴

𝑅2 = {(1, 2), (1, 3), (3, 1)}

𝑅2 No cumple la propiedad simétrica y tampoco cumple la propiedad antisimétrica.




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2.5 TIPOS DE RELACIONES

Las relaciones si satisfacen algunas propiedades vistas anteriormente, son denominadas por:

a) Relación Equivalencia

Una relación 𝑅 definida en un conjunto 𝐴, es una relación de equivalencia si, y sólo si 𝑅 cumple

con las propiedades refleja, simétrica y transitiva. Esto es, debe cumplir las tres propiedades de

manera simultánea. Si una de estas no se cumple, la relación no es de Equivalencia.

Ejemplo N°16:

Sea 𝐴 = {1,2,3} y se define una relación por 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑥 = 𝑦}


𝑅 = {(1,1), (2,2), (3,3)}

Luego, la relación es una Relación de equivalencia.

b) Relación de Orden

Una relación 𝑅 definida en un conjunto 𝐴 es una relación de orden si, y sólo si 𝑅 cumple las

propiedades refleja, antisimétrica y transitiva. Esto es, tiene que cumplir con las tres propiedades

de manera simultánea (refleja, antisimétrica y transitiva), si una de estas no se cumple, la relación

no es una Relación de Orden.

Ejemplo N°17:

Sea 𝐴 = {1,2,3} y se define la relación 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ≤ 𝑦}

Luego, la relación es una Relación de Orden

relaciones

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