relacion 5 problemas mtodos numericos
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8/20/2019 Relacion 5 problemas mtodos numericos
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Problemas stiff
Relación 5. Análisis Numérico. 4 de Matemáticas
1) Hallar el radio stiff del sistema diferencial: u = −10u + 9v,v = 10u − 11v.
¿Cuál es la mayor longitud de paso que puede utilizarse con un método de Runge-Kuttade cuatro evaluaciones y orden cuatro?
2) Hallar la solucíon teórica del problema:
y = −100y + cos x,y(0) = 1.
¿En qué sentido puede decirse que la ecuación anterior es stiff? ¿Cuál es el mayor valor hque puede utilizarse para aproximar la solución con la regla de Euler?
3) Hallar la aproximación (2, 2) de Padé a la función exp(q ).
4) Comprobar que el método Runge-Kutta impĺıcito de orden 4:
yn+1 − yn =h
2
(k1 + k2) ,
k1 = f xn +
12 +
√ 36
h, yn +
14
hk1 +
14 +
√ 36
hk2
,
k2 = f xn +
12 −
√ 36
h, yn +
14 −
√ 36
hk1 +
14
hk2
,
es A-estable
5) Dado el método de paso fraccionario:
yn+ 2
3
= yn +h
3
f n+ 2
3
+ f n
,
yn+1 = yn +h
4
3f
n+ 23
+ f n
.
(i) Escribirlo como un método Runge-Kutta.
(ii) Comprobar que su funcíon de estabilidad es la aproximación Padé (2, 1) a la funciónexponencial.
(iii) ¿Es este método A(0)-estable?
6) Estudiar la A(0)-estabilidad del método semi-explı́cito de Runge-Kutta de orden 4:
yn+1 − yn =h
6
(k1 + 4k2 + k3) ,
k1 = f (xn, yn) ,
k2 = f xn +
h
2 , yn + h
4k1 + h
4k2,
k3 = f (xn + h, yn + hk2) .
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7) Comprobar la A-estabilidad del método de Runge-Kutta:
yn+1 − yn =h
2
(k1 + k2) ,
k1 = f (xn, yn) ,
k2 = f xn + h, yn +
h2
(k1 + k2).
¿Cuál es el orden del método?
8) Consideremos el M.L.M.:
yn+1 − yn =
h
2
y(1)n+1 + y
(1)n
−
h2
12
y(2)n+1 − y
(2)n
,
donde el supeŕındice denota orden de derivada respecto de x.
(i) Comprobar su consistencia.
(ii) Demostrar que el método es cero-estable.
(iii) Calcular su orden y su constante de error.
(iv) Calcular su funcíon de estabilidad. ¿Tiene alguna propiedad importante su región deestabilidad absoluta?.
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