Estabilidad Absoluta de Metodos Lineales Multipaso

Relacion 4. Analisis Numerico. 4 de Matematicas

1) Consideremos la familia de l.m.m. siguiente:

yn+2 − (1 + a)yn+1 + ayn =(

h

12

)((5 + a) fn+2 + 8 (1− a) fn+1 − (1 + 5a) fn)

i) Determinar los valores de a que hacen el metodo convergente.

ii) Estudiando el discriminate del polinomio de estabilidad, calcular los intervalos deestabilidad absoluta y relativa.

2) Estudiando el signo del discriminante del polinomio de estabilidad de los l.m.m.:

yn+2 − (1 + a)yn+1 + ayn =(

h

2

)((3− a) fn+1 − (1 + a) fn) , −1 ≤ a < 1

Determinar sus intervalos de estabilidad absoluta y relativa.

3) Dada la familia uriparametrica de l.m.m.

yn+3 + α (yn+2 − yn+1)− yn =(

(3 + α)h

2

)(fn+2 + fn+1)

i) ¿Para que valores de α son los metodos convergentes?

ii) Calculando aproximaciones de segundo orden a las raıces de su polinomio de estabi-lidad, determinar la forma de sus intervalos de estabilidad absoluta y relativa.

4) Hallar el intervalo de estabilidad absoluta del metodo AB de 2 pasos:

i) Utilizando el criterio de Schur para polinomios.

ii) Usando el criterio de Routh-Hurwitz.

5) Estudiar el intervalo de estabilidad absoluta del metodo:

yn+1 = yn +(

h

2

)(fn + fn+1) +

(h2

12

)(f ′n − f ′n+1)

donde f ′ = fx + fyf . ¿Cual es el orden de este metodo?

6) Dado un l.m.m. de segundo polinomio caracterıstico σ(r) = r2 se pide:

i) Encontrar un polinomio ρ(r) de segundo grado para el que el metodo resulte de orden2. ¿Es el metodo cero-estable?

ii) Calcular su constante de error.

iii) Encontrar su intervalo de estabilidad absoluta.

1

7) Utilizando la formula de cuadratura de Radau de orden dos∫ 1

−1g(t)dt ∼=

(12

)g(−1) +

(32

)g

(13

)y la regla de los trapecios para aproximar los pasos intermedios.

i) Escribir un metodo RK.

ii) Estudiar su orden.

iii) Calcular su intervalo de estabilidad absoluta.

8) Comprobar que para Ns = 2 el metodo de Gragg puede escribirse como un metodo deRunge-Kutta. Estudiar el orden del metodo obtenido y su estabilidad absoluta.

2