Metodos Lineales Multipaso

Relacion 3. Analisis Numerico. 4 de Matematicas

1) Hallar el l.m.m. de 2 pasos mas exacto, y calcular el primer termino en su E.L.T.

2) Hallar el orden y la constante de error del metodo de Quade:

yn+4 −(

819

)(yn+3 − yn+1) − yn =

(6h

19

)(fn+4 + 4fn+3 + 4fn+1 + fn)

y estudiar su cero-estabilidad.

3) Comprobar que el orden del l.m.m.

yn+2 − yn+1 =(

h

12

)(4fn+2 + 8fn+1 − fn) ,

es cero. Aplicar el metodo para aproximar la solucion del problema y′ = 1, y(0) = 0 enx = 1 y comprobar que el metodo es divergente.

4) Comprobar que el orden del l.m.m.

yn+2 + (b − 1)yn+1 − byn =(

h

4

)((b + 3)fn+2 + (3b + 1)fn) ,

es 2 si b 6= −1 y es 3 si b = −1. Demostrar que el metodo es cero-inestable si b = −1y comprobar la divergencia al aplicarlo al problema de Cauchy y′ = y, y(0) = 1 con losvalores iniciales y0 = y1 = 1.

5) Dado un l.m.m. de polinomios caracterısticos ρ(z), σ(z), se construye la sucesion de poli-nomios:

ρ1(z) = ρ(z), ρj+1(z) = zρ′j(z) j = 1, 2 . . .σ1(z) = σ(z), σj+1(z) = zσ′j(z) j = 1, 2 . . .

Demostrar que el l.m.m. es de orden p si y solo si:

ρ1(1) = 0, ρj+1(1) = jσj(1) j = 1, 2 . . . , pρp+2(1) 6= (p + 1)σp+1(1)

6) Demostrar que un l.m.m. tiene orden p si y solo si:

L [xr;h] = 0, r = 0, 1, . . . p, L[xp+1;h

]6= 0

Comprobar ademas que la constante de error Cp+1 esta dada por:

(p + 1)!hp+1Cp+1 = L[xp+1;h

]7) Hallar el rango de α para los cuales el l.m.m.

yn+3 + α (yn+2 − yn+1) − yn =(3 + α)

2h (fn+2 + fn+1)

es cero-estable. Comprobar que existe un valor de α para el que el metodo es de ordencuatro, pero si el metodo es cero-estable el orden no pueda ser mayor que dos.

1

8) Para ρ(z) = z3 − z2 + z4 −

14 , determinar σ(z) de grado 2 tal que el l.m.m. sea de orden 3.

9) Para σ(z) = z2, determinar ρ(z) de grado 2 tal que el l.m.m. sea de orden 2. (Nota: noexigir α2 = 1.)

10) Suponiendo que el predictor es de orden p∗ y el corrector p, demostrar que puede obtenerseun estimador parecido al de Milne cuando p∗ > p, pero esto no es posible cuando p∗ < p.

11) Escribir los algoritmos de los metodos predictor-corrector usando los metodos Adams-Bashforth-Moulton de cuarto orden en los modelos siguientes:

a) PEC.

b) PECE.

c) PMEC.

d) PMECE.

P:

yn+4 − yn+3 =(

h

24

)(55fn+3 − 59fn+2 + 37fn+1 − 9fn) ,

C:

yn+3 − yn+2 =(

h

24

)(9fn+3 + 19fn+2 − 5fn+1 + fn) ,

12) Determinar un metodo de 3 pasos y orden 3 con la raız −1 en ρ(z), en funcion de β3 y β0.Dibujar su region de cero-estabilidad y calcular su constante de error.

13) Hallar la clase de los metodods de 2 pasos y orden 3 en funcion del parametro β2. ¿Paraque valores de β2 son los metodos cero-estables? Expresar el coeficiente de error como unafuncion de β2. ¿Pertenece el metodo de Adams-Moulton a esta familia?

14) Se denomina metodo de Nystrom de k pasos, al l.m.m. con ρ(z) = zk − zk−2 y explıcito.

a) Estudiar las relaciones que deben verificar los coeficientes del segundo polinomiocaracterıstico. ¿Cual es el maximo orden alcanzable?

b) Encontrar el metodo de Nystrom de 2 pasos.

c) Calcular el error de truncatura local del metodo obtenido en (b).

d) Estudiar la convergencia del metodo obtenido en (b).

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