2.1.- Formalización de enunciados en lenguaje ordinario

Una de las tareas más importantes para poder aplicar la lógica a los diferentes campos del saber humano es la formalización, también conocida como codificación. De manera muy simple, podemos decir que la formalización es la traducción de proposiciones dadas en lenguaje ordinario a fórmulas lógicas bien formadas. En este quehacer nos enfrentaremos con lo que muchos autores conocen como la “tiranía del lenguaje coloquial”, que tiene que ver con las  ambigüedades y la dependencia que tienen los significados de los contextos donde se presentan, ya que ambas son características propias del lenguaje natural.

Para Redmon (1) una regla empírica para formalizar desde el lenguaje ordinario al simbolismo lógico es: traduzca el sentido, no las palabras. La finalidad es que la oración-proposición del lenguaje ordinario y la fórmula lógica expresen el mismo sentido, es decir, que la fórmula lógica represente de la manera más fiel posible lo que la oración quiere decir. Es importante apuntar aquí que estamos dando por hecho que todas las oraciones que queremos formalizar son proposiciones, de ahí la denominación oración-proposición.

2.1.1.- Formalización de proposiciones simples

Sabemos que toda oración está compuesta por sujeto y predicado. Por ejemplo, en la oración Napoleón es emperador de Francia, Napoleón es el sujeto y es emperador de Francia es el predicado. En la oración Andrés es futbolista, el sujeto es Andrés y el predicado es es futbolista. En la oración Juan se enfermó, el sujeto es Juan y se enfermó es el predicado. Todas estas oraciones afirman un sólo hecho, es decir, son proposiciones simples. Este tipo de proposiciones simples pueden formalizarse con la codificación Ps, donde P es el predicado y s el sujeto.

Es decir, Napoleón es emperador de Francia se codifica como En (que se lee emperador Napoleón), Andrés es futbolista se formaliza como Fa (que se lee futbolista Andrés), y Juan se enfermó, se formaliza como Ej (que se lee enfermó Juan).

2.1.2.- Formalización de proposiciones compuestas

Aquellas oraciones donde aparece al menos un conectivo lógico implica que se formalizarán como proposiciones compuestas. En este caso, es común representar cada proposición atómica por una letra minúscula, y relacionarlas entre si por el conectivo adecuado.

Recuerda que los conectivos lógicos son: la negación (no esto, es falso esto), la conjunción (esto y aquello, esto pero aquello, esto que aquello), la disyunción (esto o lo otro), la implicación (si esto entonces aquello, aquello si esto, aquello sólo si esto) y la doble implicación lógica (esto si y sólo si aquello).

Por ejemplo: Napoleón no es emperador de Francia. Sea p = Napoleón es emperador de Francia. Por tanto Napoleón no es emperador de Francia se codifica como ~p.

Otro ejemplo: Andrés es futbolista y Juan se enfermó. En este caso, sea p = Andrés es futbolista y q = Juan se enfermó. La proposición compuesta es: p ∧ q.

Un ejemplo más: París está en Francia si el cielo es azul. Sea p = París está en Francia, y q = el cielo es azul. Por tanto, esta proposición se codifica como: q → p.

Nota en este caso, que esta oración puede re-expresarse como Si el cielo es azul, entonces París está en Francia, que es el sentido que codificamos. Es decir, la parte de la oración que sigue al “si”, debe ir al lado izquierdo del símbolo de la implicación.

Otro ejemplo: Luis murió ayer, pero no estaba enfermo. Sea p = Luis murió ayer y q = Luis estaba enfermo. Esta proposición compuesta se formaliza como p ∧ ~q. Nota que la palabra “pero” se interpreta como “y”.

La oración José estudia periodismo o Luis estudia ingeniería se codifica como p ∨ q, siendo p = José estudia periodismo y q = Luis estudia ingeniería.

La oración Si llueve y hay sol se ve el arcoiris, se codifica como p ∧ q → r, donde p = Llueve, q = hay sol y r = se ve el arcoiris.

2.1.3.- Formalización de proposiciones universales y particulares

Todas las oraciones-proposiciones anteriores tienen sujeto monario, es decir, se refieren a un sólo sujeto. Cuando el sujeto de la oración no es singular, es decir, se trata de un sujeto polinario, hay dos posibilidades: el sujeto alude a todos los elementos de un conjunto o alude sólo a una parte de ellos.

Cuando el sujeto polinario se refiere a todos los elementos de un conjunto, se dice que se trata de proposiciones de tipo universal. Cuando el sujeto no agota todos los elementos del conjunto, se trata de proposiciones particulares. Estas proposiciones requieren de unos operadores llamados cuantificadores: el cuantificador universal ( ,∀ que se lee para todo) para las proposiciones universales, y el cuantificador existencial (∃, que se lee existe al menos uno) para las proposiciones particulares. En ambos casos, el sujeto, que designa a los miembros del conjunto, será identificado por un variable, por ejemplo, x.

Por ejemplo, la proposición Todos los hombres somos mortales se codifica:

∀x: Hx → Mx

Que se lee: Para toda x, si x es hombre, entonces x es mortal. Es decir, Hx se lee hombre x y Mx se lee mortal x.

La proposición Algunos hombres son ingratos se codifica:

∃x: Hx ∧ Ix

Que se lee: Existe al menos una x, tal que si x es hombre, x es ingrato. Es decir, Ix se lee ingrato x.

Observa el uso de la implicación en el caso de proposiciones universales y de la conjunción en el caso de las proposiciones particulares.

Por ejemplo, la frase Todo lo que brilla es oro, se codificaría así:

∀x: Bx → Ox

que se lee: Para toda x, si x brilla, entonces x es oro.

La frase No todo lo que brilla es oro, se codifica así:

~∀x: Bx → Ox

2.1.4.- Lenguajes P y Ps

Hasta ahora hemos visto dos formas de codificar proposiciones. Para codificar proposiciones simples, usamos la forma Ps (predicado-sujeto), conocida como lenguaje Ps. Para proposiciones compuestas propusimos representar cada proposición simple como una literal, una letra minúscula. Esto de conoce como lenguaje P. En general, el lenguaje P se recomienda para formalizar proposiciones compuestas y el lenguaje Ps se recomienda para codificar proposiciones cuantificadas.

Oración-Proposición Codificación

Mario juega fútbol. Jmdonde J = juega fútbol y m= Mario (en lenguaje Ps).

Si no llueve, voy al cine. ~l → cdonde l= Llover y c= ir al cine (en lenguaje P).

Estoy contento si no voy a la escuela pero no estoy enfermo.

~v ∧ ~e → cdonde v = ir a la esuela, e = estar enfermo y c = estar contento (en lenguaje P).

Si gano las elecciones, reduciré los impuestos. g → rdonde g = ganar las elecciones y r = reducir impuestos.

Si está nublado, pero no llueve, entonces el sol está brillando.

n ∧ ~l → bdonde n = está nublado, l = llueve y b = el sol brilla.

Luis es inteligente o estudia todos los días. i ∨ edonde i = Luis es inteligente y e = Luis estudia todos los días.

Don Quijote es feliz si y sólo si, Dulcinea esta feliz.

q ↔ ddonde q = Don Quijote está feliz y d = Dulcinea está feliz.

Nadie es profeta en su tierra. ~∃x: Px ∧ Txdonde Px = x es profeta y Tx = x está en su tierra (en lenguaje Ps)

Algunos científicos creen en la creación. ∃x: Cx ∧ Bxdonde Cx = x es científico y Bx = x cree en la creación.

Las palomas son blancas. ∀x: Px → Bx

donde Px = x es paloma y Bx = x es blanca

Algunos políticos son honestos ∃x: Px ∧ Hxdonde Px = x es político y Hx = x es honesto

Todos los nacidos en México son mexicanos ∀x: Nx → Mxdonde Nx = x nació en México y Mx = x es mexicano.

Algunos mexicanos son rubios. ∃x: Mx ∧ Rxdonde Mx = x es mexicano y Rx = x es rubio.

Algunos futbolistas no juegan limpio ∃x: Fx ∧ ~Jxdonde Fx = x es futbolista y Jx = x juega limpio.

2.1.5.- Interpretación de fórmulas lógicas

El complemento de la formalización es la interpretación. Por interpretación entendemos traducir una fórmula lógica a lenguaje natural. Esto es importante para poder interpretar los resultados que arroja la manipulación de las fórmulas que representan una situación dada. Es decir, para aplicar la lógica a algún problema o escenario dado, debemos primero formalizar o codificar el problema. Las fórmulas lógicas obtenidas se manipularán por medio de las reglas de la Lógica Proposicional, que estudiaremos más adelante, y los resultados de esa manipulación deberán ser interpretados para regresar al lenguaje del problema o circunstancia en estudio.

Vamos a ilustrar la interpretación por medio de algunos ejemplos: Sean p, q y r las siguientes proposiciones:

p = llueveq = el sol brillar = el cielo está nublado

Y sean las siguientes proposiciones:

a) (p ∧ q) → rb) ~p ↔ (q ∨ r)c) ~( q ∨ p) ∧ rd) ~(p ↔ (q ∨ r))

Algunas posibles interpretaciones de las proposiciones anteriores son:

a) Si llueve y el sol brilla, entonces el cielo está nublado.a) El cielo esta nublado si llueve y el sol brilla.

b) El sol brilla o el cielo está nublado, si y sólo si no llueve.b) Es falso que llueve, si y sólo si está nublado o el sol brilla.b) No llueve si y sólo si el sol brilla o el cielo está nublado.

c) El cielo está nublado, pero es falso que el sol brilla o llueve.c) Es falso que el sol brilla o llueve, pero el cielo está nublado.

c) El falso que el sol brilla o llueve y el cielo está nublado.

d) Es falso que, llueve si y sólo si está nublado o el sol brilla.d) Llueve si y sólo si está nublado o el sol brilla, es falso.d) No es cierto que, llueve si y sólo si está nublado o el sol brilla.

Resumen

En esta sección vimos la formalización y la interpretación dentro de la Lógica Proposicional. A continuación te presento una tabla que ilustra los diferentes conectivos lógicos y algunas oraciones que los interpretan.

Conectiva Representación Ejemplos de oraciones que la interpretan

Negación ~p No p,es falso p,no es cierto p.

Conjunción p ∧ q P y q,p pero q,p sin embargo q,p no obstante q,p a pesar de q.

Disyunción p ∨ q ó p ó q ó ambos,al menos p ó q,como mínimo p ó q.

Implicación p → q Si p entonces q,p sólo si q,q si p,q cuando p,q es necesario para p,para p es necesario q,p es suficiente para q,para q es suficiente p,no p a menos que q.

Bicondicional p ↔ q P es necesario y suficiente para q,q si y sólo si q.

Espero que con estos ejemplos estés listo para la primera tarea de este segundo módulo del curso: Tarea 3.- Formalización e Interpretación de algunas proposiciones. ¡Suerte y a trabajar realizando estos ejercicios!