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1
Regla generalizada de la potencia
DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS
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2
¿Cómo se puede derivar la siguiente función? 23 )3( xy
Naturalmente, se puede efectuar el cuadrado del
binomio…. y derivar la
función resultante
96 36 xxy
Pero ahora, ¿cómo haríamos para derivar
????)3( 203 xy
Por supuesto, el problema no pasa por elevar el
binomio a la potencia 20.
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3
Con el fin de hallar una regla para estos casos,
analicemos el primer ejemplo. Podríamos conjeturar
que la derivada de la función es 23 )3( xy
)1(...............)3(2' 3 xy
Es decir, estamos considerando la función interior
como si fuera una variable (u)
Calculando la derivada de la expresión desarrollada
se obtiene 96 36 xxy5 2y' 6 x 18 x
3 2
2 3
y' 2( x 3 ) 3 x
y' 6 x ( x 3 )
Factorizando
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4
Se observa, que derivar con la regla de potencias no
es suficiente cuando se tiene la potencia de una
función, faltó el factor que es justamente la
derivada de dicha función.
23x
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5
Ahora, se va a derivar . Hay tres pasos
a seguir.
203 )3( xy
203 )3( x 1. Se bloquea la función )3( 3 xu
2. Se deriva la función externa 20)(u
193
19
)3(20
)(20
x
u
3. Se multiplica por la derivada
de la función interna u.
2193 3)3(20 xx
1932 )3(60 xx
El paso 3 por lo general se omite.
OJO!!!!...no olvidarlo
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6
Derivar 2)45()( xxf
Claramente podemos identificar y recordando la regla de la cadena
tenemos que
)5)(45(2 xdx
df
dx
dhxhn
dx
df n 1)(
)45(10 x
4050 x
Ejemplo
h( x ) 5x 4
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Derivar
Sea 367)( 2 xxxf
6143672
12
12
xxx
dx
df
21
2 367
37
xx
x
367
372
xx
x
La función puede escribirse también de la siguiente forma:
21
2 367)( xxxf
y
367)( 2 xxxf
21
2 367)( xxxf
Ejemplo
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Derivar
Sea
23
2
)6(
63)(
xx
xxf
223
232232
1
23
2
)6(
)63)(6(2)63()6)(6(
)6(
63
2
1
xx
xxxxxxx
xx
x
dx
df
43
22332
1
2
23
)6(
)63()6(6)6(
63
)6(
2
1
xx
xxxxxx
x
xx
43
24243
2
23
)6(
)36369(366)6(
63
)6(
2
1
xx
xxxxxx
x
xx
Ejemplo
12 2 2
3 2 3 2
3x 6 3x 6f ( x )
( x 6 x ) ( x 6 x )
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Cuando analizamos el ejemplo inicial, pudimos, a
partir de , plantear: 23 )3( xy
2
3
entonces
3
uy
xu
Esta última expresión se puede derivar respecto a u.
udu
dy2
Pero nosotros deseamos hallar por lo que
escribimos dx
dy
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10
Lo cual es cierto desde el punto de vista de las
fracciones algebraicas, pero una derivada es el
límite de una razón de cambio, no una fracción.
Sin embargo, apliquemos la última expresión a
nuestro problema.
)3(6
6
32entonces
32
32
2
2
2
xx
xudx
dy
xudx
du
du
dy
xdx
duu
du
dy
Y esto es correcto según la diapositiva 3
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Regla de la Cadena
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12
Regla de la cadena en notación
de Leibniz
Si , y además son dos funciones diferenciables, entonces:
dy dy dt
dx dt dx
y f t t g x
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Derivar 12 3 xy
Solución: Hacemos
uuf
xxu
2)(
1)( 3
entonces )(ufy
escribimos
22/1
21 3xu
dx
du
du
df
dx
dy
reemplazando u
12
3
3
2
x
x
dx
dyRpta
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𝐭𝐚𝐧 𝜶 =sen 𝛼
cos 𝛼 𝐜𝐨𝐭 𝜶 =
1
tan 𝛼 =
cos 𝛼
sen 𝛼 𝐬𝐞𝐜 𝜶 =
1
cos 𝛼 𝐜𝐬𝐜 𝜶 =
1
sen 𝛼
tan( ) c tan( ) 1 cos( ) sec( ) 1 sin( ) c sec( ) 1
① 𝒅 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒅𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝑥 .
𝒅𝒙
𝒅𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ②
𝒅 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒅𝒙 = −𝐬𝐞𝐧 𝑥 .
𝒅𝒙
𝒅𝒙 = −𝐬𝐞𝐧 𝒙
③ 𝒅 𝒕𝒂𝒏 𝒙
𝒅𝒙 = 𝑑
sen 𝑥
cos 𝑥 =
cos 𝑥 𝑑𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙
④ 𝒅 𝒄𝒐𝒕 𝒙
𝒅𝒙 = 𝑑
cos 𝑥
sen 𝑥 =
sen 𝑥 𝑑𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
−𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 = −𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙
⑤ 𝒅 𝒔𝒆𝒄 𝒙
𝒅𝒙 = 𝑑
1
cos 𝑥 =
cos 𝑥 𝑑 1 − 1 𝑑𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1
cos 𝑥.𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙 . 𝐭𝐚𝐧 𝒙
⑥ 𝒅 𝒄𝒔𝒄 𝒙
𝒅𝒙 = 𝑑
1
sen 𝑥 =
sen 𝑥 𝑑1 − 1 𝑑𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
−𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
−1
sen 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −𝐜𝐬𝐜 𝒙 . 𝐜𝐨𝐭 𝒙
Derivadas de Funciones Trigonométricas
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15
Derive 3xseny
3 3
3 2
2 3
dysin x ' x '
dx
dycos x 3x
dx
dy3x cos x
dx
Ejemplo.
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16
xy 3cos
Ejemplo.
Derive
3
2
2
dycos x ' cos x ' x '
dx
dy3cos x sin x 1
dx
dy3 sin( x )cos ( x )
dx
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17
2y ln x sen x
2
2
dyln x sen x ' x sen x
dx
dyln x sen x ' ln x sen x ' x ' sen x x s en x '
dx
dy 12ln xsen x 1 sen x cos x x
dx xsen x
dy 2ln( xsen( x )).( sen( x ) x cos( x ))
dx xsen( x )
Ejemplo.
Derive
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18
' ' '2 2 22
2 2
22
2
dycos 3x 6 cos 3x 6 3x 6 3x 6 '
dx
dy2.cos 3x 6 sen 3x 6 2 3x 6 3
dx
dy12( 3x 6 ).cos( 3x 6 ) sen 3x 6
dx
dy6 3x 6 sen 2 3x 6
dx
Ejemplo.
Derive 22f ( x ) cos 3x 6
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19
'' 'dfcos cos cos x cos cos x cos x
dx
dfsen cos cos x sen cos x sen x
dx
dfsen cos cos x sen cos x sen x
dx
Ejemplo.
Derive f ( x ) cos cos cos x
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20
' ' 'dfsen ln x 6 ln x 6 x 6
dx
df 1cos ln x 6 1
dx x 6
cos ln x 6df
dx x 6
Ejemplo.
Derive f ( x ) sen ln x 6
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21
' ' '2 2 2 2
3 2 2
3 2 2
dfsen x x sen x x x x
dx
df2 sen x x cos x x 2x 1
dx
df2 2x 1 sen x x cos x x
dx
Ejemplo.
Derive 2 2f ( x ) sen x x
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22
' ' '3
2
2
dfcos 5x 1 cos 5x 1 5x 1
dx
df3.cos 5x 1 sen 5x 1 5
dx
df15cos ( 5x 1) sen( 5x 1)
dx
Ejemplo.
Derive 3f ( x ) cos 5x 1
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23
Ejemplo.
Derive
35 2
35 2
35 2
''
3 'x x x 8 5 2 5 2
2x x x 8 5 2 4
2 x x x 85 2 4
dye x x x 8 x x x 8
dx
dye 3 x x x 8 5x 2x 1
dx
dy3 x x x 8 5x 2x 1 e
dx
3
5 2x x x 8e
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24
' ' 'dfsen ln x 6 ln x 6 x 6
dx
df 1cos ln x 6 1
dx x 6
cos ln x 6df
dx x 6
Ejemplo.
Derive f x sen ln x 6
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25
2 '2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 1
2
5. 5. 5.( ) '( ) 2. .
5. 5. .2.( ) 5. .( . )'( ) 2. .
( )
x x x
x e x e x e
x x x e x x e
x e x e
e e ef x f x
e x e x e x
e e e x e e e xf x
e x e x
Ejemplo.
Derive
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26
4 3 '
3
ln 2 ln 2 ln 2( ) '( ) 4. .
ln 2 (1/ ). (ln 2).(1/ 2 )'( ) 4. .
x x xf x f x
x x x
x x x x xf x
xx
433
3 '3 33 3
33 (2/3) 1 3 23 3
3
( ) .ln( 4 )
'( ) 4. .ln( 4 ) . .ln( 4 )
1'( ) 4. .ln( 4 ) . (2 / 3). .ln( 4 ) . .(3 4)
4
f x x x x
f x x x x x x x
f x x x x x x x x xx x
Ejemplo.
Derive