Regla de Simpson

HistoriaLa frmula fue utilizada por primera vez porEvangelista Torricelli, pero debe su nombre al matemtico InglsThomas Simpson. Corresponde a la regla del tonel queJohannes Keplerya haba formulado en1615.Sobre la historia de su surgimiento, Kepler informa en la dedicatoria de su publicacin posterior: Despus de que la primera esposa de Kepler haba muerto enPragaen 1611, Kepler se cas nuevamente - en Linz, donde ahora trabajaba - en 1613. Para la boda compr algunos toneles de vino. Puesto ya el vino en la bodega, el vendedor concurri con una vara de medir y determin el contenido para todos los barriles sin pensar o calcular, utilizando un mismo mtodo, consistente en que introduca la punta de metal de la vara de medir a travs de la piquera , en diagonal hacia los bordes de ambos fondos y la marca en la piquera arrojaba la medida del volumen del contenido. Kepler se sorprendi con aquello de que una diagonal a travs del medio del barril pudiera dar una medida sobre el volumen contenido y puso en duda la exactitud de este mtodo, debido a que, por ejemplo, un barril muy bajo que tuviera una base algo ms ancha y por eso un volumen contenido mucho menor podra tener el mismo radio a la vista.3A raz de esto, Kepler formul en 1615 el escritoNova Stereometria doliorum vinariorum(Nuevo clculo del contenido de barriles de vino), en el que buscaba mtodos verificables para el clculo del contenido de los toneles de vino. Uno de estos mtodos consisti en aproximar la curvatura del barril por una parbola, dado que los clculos con ayuda de parbolas ya se podan realizar muy exactamente desde Arqumedes.4Entre otras cosas, Kepler describi en este texto una frmula para el clculo de la capacidad (ms precisamente, del volumen) de barriles de vino con formas irregulares. Esta frmula arroja valores exactos para eltroncode la pirmide (incluida lapirmide), laesfera, elparaboloide elptico, elhiperboloide de una hojay todas las dems superficies de un cuerpo que pueden ser generadas por secciones planas perpendiculares al eje del cuerpo

La funcinf(x) (azul) es aproximada por una funcin cuadrticaP(x) (rojo).Enanlisis numrico, lareglaomtodo de Simpson(nombrada as en honor deThomas Simpson) y a veces llamada regla deKepleres un mtodo deintegracin numricaque se utiliza para obtener laaproximacinde laintegral:.IntroduccinEnintegracin numrica, una forma de aproximar una integral definida en unintervalo[a,b] es mediante laregla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproximafpor un polinomio deprimer grado, para luego calcular la integral como suma de las reas de los trapecios formados en esos subintervalos . El mtodo utilizado para la regla de Simpson sigue la misma filosofa, pero aproximando los subintervalos defmediante polinomios de segundo grado.Derivacin de la regla de SimpsonConsideramos elpolinomio interpolantede orden dos, que aproxima a la funcin integrandoentre los nodosx0=a,x1=bym= (a+b)/2. La expresin de ese polinomio interpolante, expresado a travs de lainterpolacin polinmica de Lagrangees:

As, la integral buscada1

es equivalente a:

dondeE(f) es el trmino de error; por lo tanto, se puede aproximar como:

ErrorEl trmino errorE(f), llamadoerror global, corresponde a1

dondeypertenece alintervalo[a,b].Se puede calcular una estimacin del error cometido al aproximar la integral mediante este mtodo. Si las cuatro primeras derivadas def(x) son continuas en el intervalo, entonces el error (entrminos absolutos) est acotado como2

donde, de nuevoy.

Regla de Simpson compuestaEn el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeo, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la frmula compuesta de Simpson. Se divide el intervalo [a,b] ennsubintervalos iguales (connpar), de manera que, dondepara.Aplicando la regla de Simpson a cada subintervalose tiene:

Sumando las integrales de todos los subintervalos, se llega a:

El mximo error viene dado por la expresin