regla de la cadena para derivar funciones …...de las cuales se identifica con la letra “u” y...

InstruccionesRealizarlasactividadesdeestedocumentoenelcuaderno,asícomolosejemplosdelosvideoscuyasligasestánanexadasalfinaldecadatema.Enviarfotografíasdecadaunode losproblemas indicando el númerode ejercicio y ejemplo al quepertenece,encerrando la respuesta final. CADA HOJA deberá tener en la parte superior elnombre, primer apellido y el grupo. Es muy importante que las fotografías y losejemplosdelosvideosseanlegiblesyesténordenadosdelocontrarionosetomaránencuenta.PuedeshacerundocumentoenWordconlasimágenesordenadas.LÍMITE EL VIERNES 24 DE ABRIL DE 2020 (No se tiene que esperar a ese día, lopuedesenviarantes).FORMADEENTREGA:ENVIARALCORREO:[email protected]

REGLADELACADENAPARADERIVARFUNCIONESCOMPUESTAS

Delenunciadoregladelacadena, lapalabracadenaserefierea lasfuncionesquesecomponendeotrasfunciones,esdecir,comosifueranloseslabonesdeunacadena.Paradeterminarladerivadadelafuncióncompuestaesnecesariodeterminarlasdosfuncionesenformaindividualyderivarlasdeigualmanera.Siy=f(u)esunafuncióndiferenciable de u y u = g(x) es una función diferenciable de x, entonces para lafuncióncompuestay=f(g(x)),laderivadadefconrespectoaxesigualalproductodeladerivadadefconrespectoauporladerivadadeuconrespectoax.La regla de la cadena permite demostrar la formula fundamental de derivaciónnúmero6,quesedenominareglageneraldelaspotencias.EJEMPLO1Derivarlafunción𝑦 = 2𝑥 − 1 !SoluciónObsérveseque se tiene como funciónuna expresión algebraica (binomio) elevada aunapotencia(alcubo).Lasexpresionesalgebraicasserepresentaránconlasletras“u”o“v”ylosexponentesconlaletra“n”,porlotantotenemos:

𝑦 = 2𝑥 − 1 !v=2x–1n=3

vn

Estonosindicaqueparaderivarlafunciónseseleccionalafórmula6:!(!

!)!"

= 𝑛𝑣!!! !(!)!"

Porlotanto:𝑦! = 3(2𝑥 − 1)!!! !(!!!!)

!"=3(2𝑥 − 1)! ∙ (2)

Multiplicamosel3yel2𝑦! = 6(2𝑥 − 1)! EJEMPLO2Derivarlafunción𝑦 = 5− 𝑥! !"SoluciónObsérveseque se tiene como funciónuna expresión algebraica (binomio) elevada aunapotencia(diez).Lasexpresionesalgebraicasserepresentaránconlasletras“u”o“v”yelexponentedelapotenciaconlaletra“n”,porlotantotenemos:

𝑦 = 5− 𝑥! !"v=5− 𝑥!n=10Estonosindicaqueparaderivarlafunciónseseleccionalafórmula6:!(!

!)!"

= 𝑛𝑣!!! !(!)!"

Porlotanto:𝑦! = 10(5− 𝑥!)!"!! !(!!!

!)!"

=10(5− 𝑥!)! ∙ (−2𝑥)Multiplicamosel10yel-2x𝑦! = −20𝑥(5− 𝑥!)!

vn

EJEMPLO3Derivarlafunción𝑦 = 𝑥! − 9𝑥Estafuncióntambiénsepuederepresentarcomo:𝑦 = 𝑥! − 9𝑥

!!

SoluciónObsérveseque se tiene como funciónuna expresión algebraica (binomio) elevada auna potencia en forma de fracción (un medio). Las expresiones algebraicas serepresentaránconlasletras“u”o“v”yelexponentedelapotenciaconlaletra“n”,porlotantotenemos:

𝑦 = 𝑥! − 9𝑥!!

v=𝑥! − 9𝑥n=!

!

Estonosindicaqueparaderivarlafunciónseseleccionalafórmula6:!(!

!)!"

= 𝑛𝑣!!! !(!)!"

Porlotanto:𝑦! = !

!(𝑥! − 9𝑥)

!!!! !(!

!!!!)!"

En el exponente tenemos una fracciónmenos un entero. Para facilitar la operaciónconvertimoselenteroenfracción.Comonuestrafracciónestáenmedios,elenteroloconvertimosenmedios.Unenterotienedosmedios:𝑦! = !

!(𝑥! − 9𝑥)

!!!

!!!(!!!!!)

!"= !

!(𝑥! − 9𝑥)!

!! ∙ (2𝑥 − 9)

Cuandosetienecomoresultadounapotenciaconexponentenegativo,serecomiendacambiaraldenominadorlabaseyalhacerloelsignodelexponentecambiaasusignocontrario.

𝑦! =1 ∙ (2𝑥 − 9)

2(𝑥! − 9𝑥)!!

𝑦! =(2𝑥 − 9)

2(𝑥! − 9𝑥)!!

vn

Un exponente!

!representa una base con raíz cuadrada, por lo tanto el resultado

tambiénsepuederepresentarcomo:

𝑦! =(2𝑥 − 9)2 𝑥! − 9𝑥

NOTA.Estetemaestádesarrolladoenellibroenlaspáginas70y71.Videoconejemploshttps://www.youtube.com/watch?v=ln1__PbeqsA

ACTIVIDAD1

Utilizandolaregladelacadena,determinaladerivadadelassiguientesfunciones:1. 𝑦 = 𝑥! + 10𝑥 !2.𝑦 = 7𝑥 + 2𝑥!! Estafuncióntambiénsepuederepresentarcomo𝑦 = 7𝑥 + 2𝑥!

!!

3.𝑦 = 8+ 5𝑥 !4.𝑦 = 2𝑥 + 𝑥! !! Estafuncióntambiénsepuederepresentarcomo𝑦 = 2𝑥 + 𝑥!

!!

5.𝑦 = 5𝑥! + 10𝑥!! !!6.𝑦 = 5𝑥 + 4 !7.𝑦 = 2𝑥 + 1 !

DERIVADADELPRODUCTODEDOSFUNCIONES(REGLADELPRODUCTO)

Seaplicacuandosetienedosexpresionesalgebraicasofuncionesquesemultiplican,unadelascualesseidentificaconlaletra“u”ylaotraconlaletra“v”.La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera función por laderivadadelasegunda,máslasegundafunciónporladerivadadelaprimera.Estoes,seaplicalafórmula7:

𝑑 𝑢𝑣𝑑𝑥 = 𝑢

𝑑(𝑣)𝑑𝑥 + 𝑣

𝑑(𝑢)𝑑𝑥

EJEMPLO1Derivalafunción𝑦 = (4𝑥 − 7)(5𝑥! + 2)Solución:Tenemoscomofunciónelproductodedos funcionesoexpresionesalgebraicas.A laprimera se le identifica como “u” y se le obtiene su derivada, a la segunda se leidentificacomo“v”yseleobtienesuderivada.

𝑦 = (4𝑥 − 7)(5𝑥! + 2)

uv

𝑢 = 4𝑥 − 7Suderivadaes:𝑑(𝑢)𝑑𝑥 = 4

𝑣 = 5𝑥! + 2Suderivadaes:𝑑(𝑣)𝑑𝑥 = 10𝑥

Sustituimosenlafórmula7:! !"!"

= 𝑢 !(!)!"

+ 𝑣 !(!)!"

𝑦! = 4𝑥 − 7 10𝑥 + (5𝑥! + 2)(4)Cadaunodelostérminosdelprimerbinomiosemultiplicanpor10xycadatérminodelsegundobinomiosemultiplicapor4.𝑦! = 40𝑥! − 70𝑥 + 20𝑥! + 8Se reducen términos semejantes, en este caso hay dos términos que contienen x2 yambossonpositivos,porlotantosesumanyseconservaelsigno.𝑦! = 60𝑥! − 70𝑥 + 8

EJEMPLO2Derivalafunción𝑦 = (3− 𝑥)(2+ 𝑥)Solución:Tenemoscomofunciónelproductodedos funcionesoexpresionesalgebraicas.A laprimera se le identifica como “u” y se le obtiene su derivada, a la segunda se leidentificacomo“v”yseleobtienesuderivada.

𝑦 = (3− 𝑥)(2+ 𝑥)

uv

𝑢 = 3− 𝑥Suderivadaes:𝑑(𝑢)𝑑𝑥 = −1

𝑣 = 2+ 𝑥Suderivadaes:𝑑(𝑣)𝑑𝑥 = 1


= 𝑢 !(!)!"

+ 𝑣 !(!)!"

𝑦! = 3− 𝑥 1 + (2+ 𝑥)(−1)Cadaunodelostérminosdelprimerbinomiosemultiplicanpor1ycadatérminodelsegundobinomiosemultiplicapor-1.𝑦! = 3− 𝑥 − 2− 𝑥Se reducen términos semejantes, en este caso hay dos términos que contienen x yambossonnegativos,porlotantosesumanyseconservaelsigno.Tambiéntenemosdostérminosconstantesunopositivo(3)yotronegativo(-2),por lotanto,alserdediferente signo, se restan y se conserva el signo del número mayor; en este casopositivo.𝑦! = −2𝑥 + 1

EJEMPLO3Derivalafunción𝑦 = (8𝑥 + 3)(2𝑥 − 5)Solución:Tenemoscomofunciónelproductodedos funcionesoexpresionesalgebraicas.A laprimera se le identifica como “u” y se le obtiene su derivada, a la segunda se leidentificacomo“v”yseleobtienesuderivada.

𝑦 = (8𝑥 + 3)(2𝑥 − 5)

uv

𝑢 = 8𝑥 + 3Suderivadaes:𝑑(𝑢)𝑑𝑥 = 8

𝑣 = 2𝑥 − 5Suderivadaes:𝑑(𝑣)𝑑𝑥 = 2


= 𝑢 !(!)!"

+ 𝑣 !(!)!"

𝑦! = 8𝑥 + 3 2 + (2𝑥 − 5)(8)Cadaunodelostérminosdelprimerbinomiosemultiplicanpor2ycadatérminodelsegundobinomiosemultiplicapor8.𝑦! = 16𝑥 + 6+ 16𝑥 − 40Se reducen términos semejantes, en este caso hay dos términos que contienen x yambossonpositivos,porlotantosesumanyseconservaelsigno.Tambiéntenemosdostérminosconstantesunopositivo(6)yotronegativo(-40),porlotanto,alserdediferente signo, se restan y se conserva el signo del número mayor; en este casonegativo.𝑦! = 32𝑥 − 34Videoconejemploshttps://www.youtube.com/watch?v=pBNpkZbOQMI

ACTIVIDAD2

Utilizandolaregladelproducto,determinaladerivadadelassiguientesfunciones:

1.𝑦 = 𝑥! + 4 3𝑥 + 6 2.𝑦 = 𝑥! − 1 𝑥! + 1 3.𝑦 = 3𝑥 + 4 4𝑥 − 6 4.𝑦 = 4𝑥 − 6 2𝑥 + 1 5.𝑦 = 3𝑥 + 7 𝑥! − 9 6.𝑦 = 7𝑥 − 2 3𝑥 + 5 7.𝑦 = 9𝑥 − 9 2𝑥 + 3

DERIVADADEUNCOCIENTEDEFUNCIONES(REGLADELCOCIENTE)

Seaplicacuandosetienedosexpresionesalgebraicasofuncionesquesedividen,unadelascualesseidentificaconlaletra“u”ylaotraconlaletra“v”.La derivada de un cociente de funciones es igual a una fracción que tiene pornumerador:eldenominadorporladerivadadelnumerador,menoselnumeradorporladerivadadeldenominador,todoentreelcuadradodeldenominador.Estoes,seaplicalafórmula8:

𝑑 𝑢𝑣

𝑑𝑥 =𝑣 𝑑 𝑢𝑑𝑥 − 𝑢 𝑑 𝑣

𝑑𝑥𝑣!

EJEMPLO1Derivalafunción𝑦 = !!!!

!!!!

Solución:Tenemos como función el cociente dedos funciones o expresiones algebraicas.A laprimera se le identifica como “u” y se le obtiene su derivada, a la segunda se leidentificacomo“v”yseleobtienesuderivada.

u

𝑦 =5− 6𝑥𝑥! − 5

v

𝑢 = 5− 6𝑥Suderivadaes:𝑑(𝑢)𝑑𝑥 = −6

𝑣 = 𝑥! − 5Suderivadaes:𝑑(𝑣)𝑑𝑥 = 2𝑥

Sustituimosenlafórmula8:! !

!!"

=!! !!" !!

! !!"

!!

𝑦! =𝑥! − 5 −6 − (5− 6𝑥)(2𝑥)

𝑥! − 5 !

Enelnumeradorcadaunodelostérminosdelprimerbinomiosemultiplicanpor-6ycada términodel segundobinomio semultiplica por 2x cambiando el signo a signocontrariodebidoaquefueradeésteproductohayunsignodemenos.

𝑦! =−6𝑥! + 30− 10𝑥 + 12𝑥!

𝑥! − 5 !

Sereducentérminossemejantes,enestecasohaydostérminosconx2,unodesignonegativoyotro con signopositivo,por loque se restan losvaloresy se conservaelsignodelnúmeromayor,enestecasoespositivo.

𝑦! =6𝑥! − 10𝑥 + 30

𝑥! − 5 !

EJEMPLO2Derivalafunción𝑦 = !!

!!!!


u

𝑦 =𝑥!

𝑥! + 5

v

𝑢 = 𝑥!Suderivadaes:𝑑(𝑢)𝑑𝑥 = 2𝑥

𝑣 = 𝑥! + 5Suderivadaes:𝑑(𝑣)𝑑𝑥 = 2𝑥


!!"

=!! !!" !!

! !!"

!!

𝑦! =𝑥! + 5 2𝑥 − (𝑥!)(2𝑥)

𝑥! + 5 !

Enelnumeradorcadaunodelostérminosdelprimerbinomiosemultiplicanpor2xyenelsegundoproductoelmonomiosemultiplicapor2xcambiandoelsignoasignocontrariodebidoaquefueradeésteproductohayunsignodemenos.

𝑦! =2𝑥! + 10𝑥 − 2𝑥!

𝑥! + 5 !

Sereducentérminossemejantes,enestecasohaydostérminosconx3,unodesignonegativo y otro con signo positivo, pero al tener el mismo coeficiente, éstos secancelan.

𝑦! =10𝑥

𝑥! + 5 !

EJEMPLO3Derivalafunción𝑦 = !!!!

!!!!


u

𝑦 =2𝑥 + 53𝑥 + 7

v

𝑢 = 2𝑥 + 5Suderivadaes:𝑑(𝑢)𝑑𝑥 = 2

𝑣 = 3𝑥 + 7Suderivadaes:𝑑(𝑣)𝑑𝑥 = 3


!!"

=!! !!" !!

! !!"

!!

𝑦! =3𝑥 + 7 2 − (2𝑥 + 5)(3)

3𝑥 + 7 !

Enelnumeradorcadaunodelostérminosdelprimerbinomiosemultiplicanpor2ycada término del segundo binomio semultiplica por 3 cambiando el signo a signocontrariodebidoaquefueradeésteproductohayunsignodemenos.

𝑦! =6𝑥 + 14− 6𝑥 − 15

3𝑥 + 7 !

Se reducen términossemejantes,enestecasohaydos términosconx,unodesignonegativo y otro con signo positivo, pero al tener el mismo coeficiente, éstos secancelan. También tenemos dos términos constantes, uno de signo positivo (14) yotrodesignonegativo(-15)porloqueserestanyseconservaelsignodelmayor,enestecasoesnegativo.

𝑦! =−1

3𝑥 + 7 !

Videoconejemplos:https://www.youtube.com/watch?v=mHFDtLKsNjM

ACTIVIDAD3

Utilizandolaregladelcociente,determinaladerivadadelassiguientesfunciones:

1. 𝑦 =5𝑥 − 24𝑥 − 6

2. 𝑦 =6𝑥 + 78𝑥 + 9

3. 𝑦 =𝑥! + 1𝑥! − 4

4. 𝑦 =𝑥! + 11− 𝑥!

5. 𝑦 =𝑥!

2𝑥! − 7

6. 𝑦 =𝑥!

𝑥! − 1

7. 𝑦 =𝑥! + 23𝑥 − 1

regla de la cadena para derivar funciones …...de las cuales se identifica con la letra “u” y...

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