reflexiones sobre el pensamiento didactico sandra parada y pluvinage

Relime, Vol. 17 (1), Marzo de 2014

REFLEXIONES DE PROFESORES DE MATEMTICAS SOBRE ASPECTOS RELACIONADOS 83

SANDRA EVELY PARADA, FRANCOIS PLUVINAGE

REFLEXIONES DE PROFESORES DE MATEMTICAS SOBREASPECTOS RELACIONADOS CON SU PENSAMIENTO DIDCTICO

CONSIDERATIONS ON DIDACTIC THINKINGBY TEACHERS OF MATHEMATICS

RESUMEN

En este artculo se dan a conocer resultados de una investigacin que tuvo como objetivo ayudar a profesores de educacin bsica a reflexionar sobre la actividad matemtica que promueven en sus estudiantes durante la clase. Para ello se propuso un modelo de reflexin que les ayudara a analizar aspectos concretos de su prctica docente. En este documento, se describen los elementos que componen dicho modeloy se reportan algunos resultados del proceso reflexivo de dos profesores (uno de preescolar y otro de secundaria). Las reflexiones de los profesores les permitieron centrar su atencin sobre la actividad matemtica de sus estudiantes, prever sus posibles respuestas y tomar consciencia de las dificultades deaprendizaje. Con respecto a la planeacin realizada antesde la aplicacin del modelo, se valor el diseo de actividades conun propsito claro de aprendizaje matemtico.

ABSTRACT

This article shows the results from a research, whose main objective was to help basic education teachers to think about the mathematical activity they promote in their students during class. Consequently, we suggest a model of reflection that could help the teachers to analyze specific aspects in their teaching practice. This document describes the elements in which this model was made, and it also shows some of the results from the ref lective process of two teachers (one from pre-schooland the other from junior high school). Their considerations

PALABRAS CLAVE:

- Modelo de reflexin- Desarrollo profesional- Pensamiento didctico- Actividad matemtica

KEY WORDS:

- Model of reflection- Professional development- Didactic thinking- Mathematical activity

Revista Latinoamericana de Investigacin en Matemtica Educativa (2014) 17 (1): 83 -113.Recepcin: Agosto 31, 2011 / Aceptacin: Junio 10, 2013. DOI: 10.12802/relime.13.1714



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on the subject allowed them to focus their attention on their students mathematical activity, to anticipate the probable answers, and to be aware of the learning disabilities. Inregard to the planning before carrying out the model, we evaluated the design of the activities with a clear mathematics learning purpose.

RESUMO

Neste artigo, so publicados os resultados de uma pesquisa que teve como objetivo ajudar os professores de educao bsica a refletir sobre a atividade matemtica que promovem em seus estudantes durante a aula. Para isso, props-se um modelo de reflexo que os ajudaria a analisar aspectos concretos de sua prtica docente. Neste documento, os elementos que compem esse modelo so descritos, e foram reportados alguns resultados do processo reflexivo de dois professores (um de pr-escolar e outro de ensino fundamental). As reflexes dos professores permitiram centrar sua ateno sobre a atividade matemtica de seus estudantes, prever suas possveis respostas e tomar conscincia das dificuldades de aprendizagem. Com respeito ao planejamento realizado antes da aplicao do modelo, foi valorada a criao de atividades com um propsito claro de aprendizagem matemtica.

RSUM

Dans cet article on prsente les rsultats dune recherche dont lobjectif est daider les professeurs dcole primaire rflchir sur lactivit mathmatique quils encouragent chez leurs tudiants dans la salle de classe. Pour cela on a propos un modle de rflexion qui les aiderait faire lanalyse desaspects concrets dans leur pratique de classe. Dans ce document, on dcrit les lments qui composent le modle eton prsente quelques rsultats du processus rf lexif chez deux professeurs (lun dcole maternelle lautre de collge). Les rflexions des professeurs leur ont permis de centrer leurattention sur lactivit mathmatique de leurs tudiants, prvoir leurs possibles rponses et avoir conscience de leurs difficults dapprentissage. Par rapport lorganisation avant lapplication du modle, ils ont prvu la cration dactivits avec un objectif dapprentissage mathmatique bien clair.

MOTS CLS:

- Modle de rflexion- Dveloppement professionnel- Pense didactique- Activit mathmatique

PALAVRAS CHAVE:

- Modelo de reflexo- Desenvolvimento profissional- Pensamento didtico- Atividade matemtica



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1. INTRODUCCIN

La literatura revisada de investigaciones sobre formacin de profesores de matemticas muestra que varios de los estudios en esta rea se enfocan en elanlisis de sus conocimientos matemticos, sus concepciones, actitudes y creencias.En estas investigaciones se analizan las relaciones entre cmo se comprende y se ensea la matemtica, y su relacin con el aprendizaje de los estudiantes. Tenemos por ejemplo que Thompson (1992) estudi las relaciones entre los conocimientos, concepciones y creencias de los profesores mientras que Fennema y Loef (1992),Grossman, Wilson y Shulman (2005) centraron su inters en conocer y comprendersus conocimientos matemticos.

Otras investigaciones resaltan las experiencias de reflexin de los profesores y en el trabajo con ellos sobre su prctica docente. Podemos mencionar las deFlores (2007), Kwon y Orrill (2008) y Turner (2008) en las que se muestran evidencias de que la reflexin sobre la experiencia profesional contribuye al desarrollo de los conocimientos matemticos y pedaggicos de los profesores en servicio. As, con este trabajo, se quiso favorecer la reflexin de los profesores dematemticas desde una perspectiva objetiva y crtica para atender las preocupacionesde sus rutinas diarias y aportar herramientas que les permitiera verse como protagonistas y gestores de la actividad matemtica que se desarrolla en el aula.

2. ASPECTOS TERICOS Y CONCEPTUALES

Para alcanzar el objetivo de la investigacin, se dise un modelo metodolgico para coadyuvar a los profesores en sus procesos de reflexin. Con la palabra modelo no pretendemos mostrar un prototipo ideal para el desarrollo profesional de los profesores de matemticas pues, como dice Dewey (1989), el camino de la reflexin no es nico ni cerrado, y su xito depende de la prudencia de los sujetos para despejar sus dudas.

Adems, la reflexin no implica tan slo un conjunto de ideas sino una ordenacin secuencial de stas, en la que cada una determina la siguiente como su resultado mientras que cada resultado, a su vez, apunta y remite a las que les precedi (Dewey, 1989). La reflexin es un proceso de resolucin de conflictos y de dudas a la vez que provee una oportunidad para revisar su actuacin.



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Dewey (1989) menciona que los profesores experimentan inseguridades que los llevan a analizar su experiencia durante la accin o despus de ella. Asimismo, Freire (1997) seala que ensear exige reflexin crtica sobre la prctica y que sta encierra el movimiento dialctico entre hacer y pensar sobre lo que se hace. Freire resalta que, en la formacin permanente de los profesores, es fundamental trabajar sobre la ref lexin crtica y sobre la prctica. Por su lado, Shulman (1986, pp. 11-12) enfatiza el uso de estudios de casos para la enseanza de varias disciplinas y recomienda este recurso en la formacin docente.

Consecuentemente, en esta investigacin coincidimos con las ideas de losautores mencionados y, por ende, propiciamos experiencias y herramientas paraque los profesores ref lexionaran sobre su prctica docente. Para este fin, el modelo diseado en esta investigacin (ver Figura 1) se construy alrededordel significado de la actividad matemtica que surge del tringulo pedaggico tomado de Saint-Onge (1997) en el que identif ica la relacin profesor -conocimiento como relacin didctica, la relacin profesor - alumno comomediacin y la relacin alumno - conocimiento como estudio.

Figura 1. Bosquejo del modelo de reflexin

El modelo le sugiere al profesor considerar procesos y aspectos para la reflexin que le permitan atender elementos puntuales de su prctica docente. ste consta de tres etapas: primera experiencia de reflexin, reflexin-sobre-la accin mediada por herramientas de anlisis y nueva experiencia de reflexin. Los componentes del modelo se describen como sigue.

(ME: matemtica escolar, P: profesor, E: estudiante)

Evaluacin de loslogros esperados:

Reflexin -sobre- la accin

Planeacin de clase:Reflexin -para- la accin

La clase:Reflexin -en- la accin

Uso y s

eleccin

de instr

umentos

Uso del lenguajematemtico

Pensamientomatemtico

Pensam

iento

didctic

o

Planeacin de clase:Reflexin -para- la accin

La clase:Reflexin-en- la accin

Actividadmatemtica

M E

P E

Evaluacin de loslogros esperados:

Reflexin -sobre- la accin

Eventosseleccionados

Descripcin delmomento con su transcripcin.Ubicacinterritorial en el video.

Preguntas de ref lexin

Las preguntasdeben orientar la ref lexin que se espera de ese momento sin juicios de valor



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2.1. Actividad matemtica

La actividad matemtica aqu es entendida en trminos de Chevallard, Bosch y Gascn (1997) quienes explican que hacer matemtica es un trabajo del pensamiento que construye conceptos para resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de los conceptos as construidos, que rectifica los conceptos para resolver esos nuevos problemas, que generaliza y unifica poco a poco esos conceptos en universos matemticos que se articulan entre ellos,se estructuran, se desestructuran y se reestructuran. Al lado de la resolucin de problemas meramente matemticos, la matemtica como actividad introduce en muchos casos una componente fundamental: la matematizacin. Matematizar, segn Treffers (1987), es organizar y estructurar la informacin que aparece en un problema, identificar los aspectos matemticos relevantes, descubrir regularidades, relaciones y estructuras.

2.2. Procesos de reflexin

Dentro de este modelo, recuperamos algunas ideas de Dewey (1989) y de Schn (1992) para caracterizar los procesos de reflexin antes, durante y despus de la actividad matemtica que se desarrolla en la clase:

i. La reflexin-para-la accin surge en la interaccin de la matemtica escolar y el profesor, cuando el profesor analiza la actividad que seva a llevar a cabo en el aula, es decir, la forma como el maestro planea la clase, comprende la temtica de estudio, disea y selecciona los recursosque implementar en el aula.

ii. La reflexin-en-la accin est presente en la interaccin del profesory el estudiante cuando el profesor establece esa relacin meditica entreel conocimiento y el estudiante; tambin est presente en la formacomo conduce el aprendizaje esperado por parte de los estudiantesy en la capacidad de responder a las situaciones inesperadas de la clase.

iii. La reflexin-sobre-la accin cumple una funcin crtica de lo ocurrido en el aula; la forma como el profesor evala la interaccin entre el conocimiento matemtico escolar y el estudiante, desde la perspectiva de la consecucin de los objetivos de aprendizaje esperados.

2.3. Aspectos para la reflexin

El modelo propone que los profesores centren sus reflexiones en los siguientes aspectos:



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2.3.1. Pensamiento matemtico

El pensamiento, segn Vega (1984), es una actividad global del sistema cognitivo que ocurre cuando nos enfrentamos a una tarea o problema, con un objetivo y con incertidumbre sobre la forma de realizarla. Acentuamos entonces que el pensamiento matemtico del profesor resulta cuando ste necesita hacer usar sus conocimientos sobre el contenido matemtico escolar para desarrollar la prctica profesional (proponer tareas, seleccionar, usar y disear recursos, comunicarse en el aula, hacer adaptaciones curriculares, evaluar y profesionalizarse).

De este modo, es conveniente que el profesor domine de los contenidos matemticos que ensea y adems conozca los objetivos de aprendizaje correspondiente al grado en que labora para que pueda utilizarlos como gua para la enseanza.

2.3.2. Pensamiento didctico

En nuestro modelo hacemos explicitas las diferencias entre lo pedaggico y lo didctico. Altet (1997) distingue en la enseanza dos campos de prctica:uno didctico, de estructuracin y gestin de contenidos y otro pedaggico, de gestin y de control interactivo de los hechos de la clase.

As, en la pedagoga se consideran aspectos educativos generales (factores psicosociales, socioculturales y humanos) que estructuran los procesos deenseanza - aprendizaje intervinientes en cada contexto educativo. Ladidctica estudia los procesos de enseanza - aprendizaje de una materia, en nuestro caso de las matemticas.

Por lo tanto, cuando el profesor domina los contenidos pedaggicos y didcticos de la materia puede, concordando con Shulman (1987), encontrar formas ms tiles de representar los contenidos mediante analogas,ilustraciones, ejemplos, explicaciones, y demostraciones que permitan hacerla ms comprensible a los estudiantes por lo cual el profesor necesita tener claridad en su pensamiento matemtico escolar con el objeto de guiar a sus estudiantes hacia laactividad matemtica esperada.

En el modelo, este pensamiento, reiteramos, ocurre en las prcticas profesionales del profesor de matemticas y durante los tres procesos de reflexin: i) para-la-accin al realizar adaptaciones curriculares en la planeacin de la clase); ii) en-la-accin (en la clase) durante la conduccin de la actividad matemtica prevista; y iii) sobre-la-accin al evaluar los aprendizajes de los estudiantes y hacer, nuevamente, adaptaciones curriculares para lo que sigue.



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2.3.3. Uso y seleccin de instrumentos

Consideramos instrumentos a todos los materiales y recursos didcticos que el profesor emplea para promover la actividad matemtica en el aula, entre ellos: los problemas, las preguntas, la hojas de trabajo, los materiales didcticos (manipulables y observables) y las tecnologas digitales.

2.3.4. Uso del lenguaje matemtico

La matemtica tiene, segn Chevallard (1991), un lenguaje propio que da claridad a los objetos matemticos para comunicarlos de manera precisa. Los smbolos y trminos matemticos son determinantes para favorecer la comprensin.Empero, en las matemticas no se trata siempre de la misma lengua verbal ni, mucho menos, escrita; pues es por ejemplo el lgebra introduce reglas de clculo que distinguen su lengua de la lengua que corresponde al clculo numrico (Filloy, 1999).

2.4. Herramientas para la reflexin

En nuestro modelo consideramos que para que el profesor reflexione crtica y objetivamente, sobre los aspectos mencionados anteriormente, requiere de herramientas que lo ayuden a analizar sus prcticas profesionales. Ellas son:

2.4.1. Las rutas cognitivas

Las caracterizamos aqu retomando algunas ideas de trabajos de Robert yRogalski, (2005):

- Se basan en la actividad matemtica que el profesor propone a los estudiantes.

- Son un instrumento para esbozar la estructura de los contenidos matemticos que se proponen estudiar.

- Consideran los procesos matemticos que podran realizar los estudiantes para responder a la actividad matemtica que propone el profesor y que dan paso a una nueva actividad para tratar los objetos matemticos propuestos para la clase (ver Figura 2).



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Actividad matemtica propuesta por el profesor

Proceso matemtico esperado o realizado por el estudiante

Respuestas del proceso realizado por el estudiante

Evaluacin de laactividad esperada

Actividad matemtica propuesta por el profesor

Proceso matemtico esperadoo realizado por el estudiante

Respuestas del proceso realizado por el estudiante

Evaluacin de laactividad esperada

Figura 2. Esquema de ruta cognitiva

Las rutas cognitivas en el estudio se usan como herramienta de anlisis para el investigador y de reflexin para el profesor, ya que permiten organizarlos objetivos de la clase con respecto a los procesos matemticos esperados.

2.4.2. Estudios comparativos

Se obtiene de la comparacin entre las rutas cognitivas de la clase planeada y la clase realizada. Con este comparativo se pretende promover la reflexin en los profesores sobre los objetivos de aprendizaje que se proponen y los que finalmente logran.

2.4.3. Eventos de la clase

Los vdeos se constituyen en este modelo en un material fundamental para el anlisis de las actividades de planeacin, la clase y la reflexin colectiva, ya que la constante observacin de ellos permite identificar eventos que podran servirpara que el profesor reflexione (sobre situaciones que cambian el curso de la actividad, el cambio de objetivos o el desarrollo de procesos matemticos



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no considerados antes). As, el estudio comparativo se complementa con la presentacin de eventos clave de la clase, en los que se evidencian situaciones deconflicto del profesor, sus reacciones y respuestas ante las preguntas y dificultades de los estudiantes.

Al respecto, Dewey (1989) menciona que cuando se empieza a reflexionar, necesariamente se inicia la observacin para tomar nota de las condiciones, observaciones que pueden realizarse mediante el uso directo de los sentidos, otras a travs del recuerdo de observaciones previas, propias o ajenas.

2.4.4. Gua de observacin de los eventos de la clase

De los eventos identificados se genera otra herramienta (ver Figura 3) para orientar la reflexin de los profesores por medio de preguntas que provoquen introspeccin sobre cmo gestion mi clase hoy?, qu oportunidades di para promover actividad matemtica?, qu oportunidades de aprendizaje dej pasar?

Evento seleccionado Pregunta de reflexin Aspecto de reflexin

Descripcin del momento, con su respectiva transcripcin. Ubicacin temporal en video con el fin de ubicarlo en el mismo, con minutosy segundos.

(Para el desarrollo de la actividad se sugiere hacer un videoclip del momento seleccionado)

La pregunta debe orientar la reflexin que se espera de ese momento, evitando emitir juicios de valor, pues lo que se espera es que el maestro se exprese sobre lo que observa de su propiop desempeo en el aula.

Identificacin del tema sobre el cual se pretende promover la reflexin del maestro.

Figura 3. Gua de observacin de los eventos seleccionados

Los eventos seleccionados, usados como herramienta de reflexin se sustentan en ideas de Schn (1992, p.110) quien habla de la escalera de reflexin, cuando decir / escuchar y demostrar / imitar se combinan, como generalmente sucede, ofrece una gran variedad de modos y objetos de ref lexin posiblesque pueden coordinarse para llenar el vaco inherente a cada subproceso:preguntar, contestar, aconsejar, escuchar, demostrar, observar, imitar, criticar. Con los eventos se pretende favorecer un dilogo con el profesor a travsde preguntas.



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3. ASPECTOS METODOLGICOS

En la investigacin de Parada (2009), con la cual se relaciona este artculo, se pretendi promover la reflexin profesional de los profesores de matemticas desde una perspectiva objetiva y crtica mediada por algunas herramientas queles permitieran verse como protagonistas en los procesos de enseanza y aprendizaje. Al respecto, Ponte y Santos (1998) mencionan que no basta con que en los programas de formacin de profesores se discuta sobre la matemtica y elcurrculo; es importante, adems, que el profesor tenga mente abierta para corregiry mejorar de acuerdo a su experiencia. Concordando con los autores, ademsde la actitud de cambio del profesor tambin hace falta orientarlo para que pueda enfocarse en aspectos puntuales de la actividad matemtica que promueve en sus aulas; es por ello que proponemos un modelo que gue esta ref lexin. Las preguntas de investigacin que guiaron el estudio en mencin fueron:Cul puede ser la influencia, sobre la gestin de la clase, de la reflexin guiadapor el modelo? En particular, qu cambios se observan en la funcin del profesor como mediador entre los estudiantes y los contenidos curriculares? Paradar algunas respuestas a estas preguntas, es preciso realizar una observacin de las prcticas de los profesores antes, durante y despus de sus acciones en el aula.

3.1. Fases de la investigacin

La investigacin que aqu se reporta es de tipo cualitativo y los investigadores fueron quienes construyeron las herramientas para posteriormente guiar la reflexin de los profesores (vase el 2.4). La exploracin se desarrolla a travs de las tres fases descritas a continuacin.

3.1.1. Fase inicial: primera experiencia de reflexin

Esta fase tena como objetivo indagar sobre los aspectos que los maestros consideraban a la hora de planear sus clases y las maneras como reflexionaban sobre los alcances de la clase en relacin con el propsito de aprendizaje trazado. sta se dividi en tres partes: a) planeacin colectiva de una clase, b) puesta en escena de la clase planeada (por un profesor del grupo) y c) reflexin colectiva de lo planeado con relacin a lo alcanzado sin intervencin de los investigadores. Para la actividad de reflexin colectiva se present al grupo de profesores el vdeo de la clase y se emple una gua de observacin de los eventos seleccionados



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para provocar introspeccin sobre cmo di mi clase hoy?, qu oportunidades parapromover actividad matemtica dej pasar?

3.1.2. Anlisis de la fase inicial: construccin de herramientas para favorecerla reflexin

Adems de los documentos (planeaciones y hojas de trabajo diseadas para los estudiantes) entregados por los profesores, el anlisis se apoy sobre las grabaciones en video de la sesin de planeacin, de la clase y de la sesin de reflexin posterior. Este anlisis fue realizado por los investigadores con el fin de construir algunas herramientas (las mencionadas en el 2.4) que ayudaran al profesor a centrar la atencin en sus dificultades y fortalezas en relacin con los aspectos descritos en 2.4.

3.1.3. Proceso de reflexin con los profesores mediado por las herramientasde anlisis

El objetivo de esta etapa fue presentar las herramientas de reflexin construidas en la etapa anterior y con ellas hacer un ejercicio de reflexin con los maestros. Para Dewey (1989) la reflexin de las personas sobre diferentes aspectos de su vida surge del pensamiento individual y social. De ah que este modelo propone procesos de reflexin individuales y colectivos, a saber:

a. Ref lexin - sobre - la accin individualizada y mediada por las herramientas de anlisis. Esta sesin se realiza entre los investigadores y cada profesor, aqu se muestra el estudio comparativo apoyado de episodios seleccionados de la clase.

b. Reflexin-sobre-la accin colectiva. En esta sesin el profesor, con quien se reflexiona previamente, hace una exposicin a su grupo de trabajo para enriquecer y clarificar sus ideas, para motivar a los compaeros a reflexionar sobre la actividad matemtica que promueven en el aula y,tambin, para que pares se discutan circunstancias y alternativas de apoyo.

3.1.4. Nueva experiencia de reflexin

Finalmente, a los profesores (caso de nuestro estudio) se les propuso planear individualmente una nueva clase acorde al calendario escolar, poner en escena esa clase y reflexionar individualmente sobre la actividad matemtica planeada y



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lograda en esta oportunidad. Aqu se toman como datos la planeacin escrita del profesor (entregada con una semana de anterioridad con sus respectivas hojas de trabajo), el vdeo de la clase (el cual es tomado por el investigador, entregando una copia al profesor para su reflexin) y la reflexin escrita entregada por el profesor. En esta experiencia esperbamos observar cmo los profesores hacan uso delas reflexiones y herramientas de anlisis diseadas y trabajadas en las experienciasde reflexin previas.

Consecuentemente, de las etapas anteriores que constituyen el proceso metodolgico de la investigacin, se estructuran las tres etapas de desarrollo del modelo terico que aqu presentamos y de las cuales presentamos algunos resultados de dos casos de estudio.

3.2. Contexto de la investigacin y casos de estudio

La investigacin se aplic dentro del contexto del programa de Maestra en Educacin Especialidad Matemtica (MEEM) bajo la direccin y coordinacin delDepartamento de Matemtica Educativa del Cinvestav-IPN, que est dirigida aprofesores de educacin bsica1 del Estado de Mxico. Dicho programa se desarrolldurante tres aos, donde los alumnos en formacin cursaron nueve seminarios ya la vez trabajaron un proyecto de desarrollo (como tesis de grado). Para elproceso de la investigacin se seleccionaron tres casos de estudio2, bajo los siguientes criterios:

- Ser uno de los profesores que dict la clase planeada de forma colectiva (ver 3.1.1).

- Laborar en un nivel de enseanza diferente: uno de preescolar, otro de primaria y otro de secundaria.

- Haber trabajado un contenido matemtico diferente de acuerdo con el nivel de enseanza en el cual labora.

1 La educacin bsica en Mxico est compuesta por los niveles de preescolar, primaria (6 grados) y secundaria (3 grados).2 Bogdan y Biklen (1991), explican que un caso de estudio analizado desde el enfoque cualitativo comienza por la recoleccin de los datos que luego son revisados y explorados con el fin de tomar decisiones acerca de los objetivos del trabajo. Los anteriores aspectos se organizan y distribuyen en un tiempo, se seleccionan las personas que se irn a entrevistar y los aspectos en que se va a profundizar.



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Aqu se reportan las reflexiones de dos de ellos como casos de estudio:

- Jos, profesor de matemticas con varios aos de experiencia, ensea enuna escuela de secundaria en la Ciudad de Mxico. Licenciadoen educacin media, especialidad matemtica. La tesis de maestra de Jos est relacionada con la adquisicin del lenguaje algebraico y el uso de la calculadora graficadora Voyage 200 en su prctica docente.

- Lucas, psiclogo educativo que ensea en el tercer grado de preescolar en un jardn del sector rural del Estado de Mxico. En esta institucin ha desarrollado sus seis aos de labor docente. l realiza su proyecto de desarrollo sobre el pensamiento numrico en preescolar, especficamente sobre cardinalidad y ordinalidad de los nmeros naturales y las relaciones de orden entre ellos.

Un tercer caso se observ pero no se reporta en este escrito pues tiene ciertas particularidades que nos ha permitido abordarlo desde otras perspectivas y sobre otros de los aspectos para la reflexin que proponemos en nuestro modelo. Dichos estudios aparecen en otras publicaciones como Parada y Sacristn (2010) y en Parada, Figueras y Pluvinage (2011). En dicho caso se puede observar cmo la seleccin de recursos por parte del maestro lo conduce a un error de carcter conceptual, cuando aborda el tema de equidescomposicin de figuras planas.

4. CASOS DE ESTUDIO: REFLEXIONES DE LOS PROFESORES

En investigaciones previas sobre este tema se han buscado, por un lado, precisionessobre lo que es el conocimiento necesario para ensear y, por otro lado, caracterizaciones de las formas cmo los profesores se desempean en sus clases. Entre ellas rescatamos los aportes de Shulman (1986) quien propone, adems de la distincin clsica entre categoras de conocimiento (del contenido, pedaggico y curricular), la consideracin de tres formas de conocimiento del profesor: propositional knowledge, case knowledge y strategic knowledge (p. 10).Shulman (1987) tambin enfatiza que el profesor transforma su comprensin,sus habilidades y actitudes, en representaciones y acciones pedaggicas.

En nuestro estudio no tendran relevancia preguntas sobre el conocimiento de los contenidos matemticos por los profesores (refirindonos a 2.3.1). Reconstruimos a partir de ideas de Shulman (1987) lo que aqu entendemos como



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pensamiento didctico: el conocimiento de la matemtica con el propsito deensearla y ste como la mezcla entre el desarrollo meramente matemtico y la aplicacin de la didctica. El profesor llega a esta mezcla gracias a una comprensin de cmo determinados temas y situaciones problemas se organizan, se representan y se adaptan curricularmente. En los siguientes apartados presentamos algunas de las reflexiones que los dos casos de estudio expresaron sobre este aspecto.

4.1. Reflexiones emergentes en el caso de Jos

Nos interesamos en la reflexin de Jos y su grupo (seis profesores de educacin secundaria) sobre el propsito curricular: Resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d. Se trata de disear una hoja detrabajo para los estudiantes que tenan a su disposicin la calculadoraVoyage 200.

4.1.1. Primera experiencia de reflexin

En esta etapa no se hizo intervencin en los procesos de ref lexin de los profesores pues, como se mencion, se quera observar cmo ellos analizaban sus propias prcticas. No obstante, en esta experiencia, los investigadoresfueron acompaando los procesos de reflexin para, en y sobre- la -accin.

En la planeacin colectiva, Jos enfatiz en los conocimientos yhabilidades previas que deben tener los estudiantes: saber representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver una ecuacin con coeficientes enteros. El profesor coment que l ya haba trabajado con sus estudiantes el algoritmo y el uso de la calculadora, enfatizando en que el propsito de aprendizaje era: identificar la ecuacin del problema, resolverla con lpiz y papel, luego con la calculadora y, al finalizar, exponer los resultados. Para ello, propuso que los estudiantes resolvieran la hoja de trabajo mostrada en la Figura 4.

Jos fue cuestionado por sus colegas sobre dos aspectos de su propuestade planeacin:

i) Trabajar slo un problema en 50 minutos, lo que Jos resolvi seleccionando otro problema similar. No obstante, si el tiempo de la clase no alcanzaba ste quedara de tarea.



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ii) Faltaba un momento de la clase para la formalizacin del contenido de estudio, Al respecto, l respondi que ese era el objetivo de las ltimas preguntas de la hoja de trabajo.

Problema 1Hallar dos nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 143

a) Encuentra la ecuacin y escrbela.

b) Qu dificultades encuentran para definir la ecuacin?

c) Resuelve en equipo, conforme la tabla con lpiz y papel y con la calculadora voyage 200 el problema; usa los comandos solve, approx y propFrac, si te es necesario.

SOLUCIN CON LPIZ Y PAPEL SOLUCIN CON LA CALCULADORA

COMPROBACIN:

SOLUCIN: SOLUCIN:

d) Cul de las dos formas te fue ms fcil resolver y Por qu?

e) Qu estrategias tomaron para resolver el problema presentado con lpiz y papel y cuales con la calculadora?

f) Qu comandos utilizaste para resolver el problema?

Figura 4. Hoja de trabajo de la clase de Jos

Jos y su grupo no se percataron de que el problema que proponan se poda resolver usando slo aritmtica, pues al pedir hallar dos nmeros naturales consecutivos, esto indica aproximarse de la mitad de 143, al hacer esto los resultados 71 y 72 surgen fcilmente. Los profesores no previeron que la mayora de los estudiantes buscara los resultados con lpiz y papel o con una calculadora tradicional.Es ms, si algn estudiante deseara hacer la traduccin del enunciado verbal para resolver el problema obtendra una ecuacin de la forma x + (x+1) = 143, misma que se diferencia del tipo de ecuacin que se pretenda estudiar, que era de la forma ax + b = cx + d.



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4.1.1.1. Reflexiones-para-la accin

Para Jos es importante que los estudiantes centren su anlisis en la formulacin de una ecuacin, poniendo nfasis en que su papel en la clase ser de mediador y apoyo para que ellos la encuentren usando lenguaje algebraico.

En este aspecto, Jos nos deja ver uno de sus esquemas de enseanza: (1) proponer la representacin del problema verbal por medio de una ecuacin, y (2) hacer uso de la calculadora para comprobar resultados. Tambin se evidencian esquemas ensu forma de evaluar y en el diseo de sus hojas de trabajo, que mantiene con elmismo estilo, variando nicamente los problemas. Estas afirmaciones las hacemos con base en todas las experiencias de reflexin que tuvieron lugar a lo largo de la investigacin.

Desde nuestra mirada, podemos ver en esta primera parte que Jos manifiesta deseos de superacin y mejoramiento de su prctica docente, pero le cuesta trabajo reflexionar sobre las sugerencias que le hacen sus compaeros, y es un aspecto en el que esperbamos que el modelo propuesta incidiera en l, pues consideramos que los procesos de reflexin individuales pueden ser enriquecidos cuando se discuten o se comparten colectivamente.

4.1.1.2. Reflexiones-en-la accin

Las acciones y reacciones de Jos con su grupo de estudiantes en clase nos dejan apreciar su esquema de trabajo: (1) indicaciones generales, (2) lectura de la hoja de trabajo, (3) desarrollo de la hoja de trabajo por parte de los estudiantes y (4) proceso de comunicacin de resultados.

Cuando Jos lee los incisos de la hoja de trabajo y llega al inciso c (ver Figura 4), propone la actividad as:

Hay que resolver a lpiz y papel y luego se van con la calculadora. Si alguien dice: No puedo. Quiero hacerlo con calculadora primero, hay la libertad.

A partir de esta explicacin, la actividad matemtica tom otro rumbo: ms de la mitad del grupo us la calculadora para buscar por ensayo y error los valores de la incgnita de la ecuacin, slo algunos estudiantesplantearon la ecuacin dejando de lado los procesos a lpiz y papel. En la clasese observaron estudiantes con dificultades para introducir la ecuacin en lacalculadora y, aunque identificaron las respuestas 71 y 72, no usaron su sintaxis.



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Para finalizar, Jos solicit a los estudiantes que pasaran al frente a socializar sus respuestas usando el view screen. Un grupo encontr la ecuacin como lo esperaba Jos, haciendo uso de la sintaxis de la calculadora, los demsgrupos encontraron las respuestas esperadas por ensayo y error (usando la calculadora Voyage 200, la calculadora tradicional, as como lpiz y papel). Jos acept las respuestas de los estudiantes, sin pedirles justificaciones o argumentaciones sobre las operaciones, propiedades, reglas usadas para encontrarlas respuestas al problema. El profesor tampoco realiz justificaciones matemticas para explicar o hacer correcciones a quienes socializaron sus respuestas.

De este modo, se observ que Jos segua esquemas didcticos que pueden depender de la forma como l conceba las matemticas a partir de suexperiencia docente, lo que evidenciamos en sus expresiones:

en la hoja de trabajo planteo el inciso b: qu dificultades encontraste para definir la ecuacin? Porque por la experiencia he encontrado que los equipos no hallan cmo encontrar [la ecuacin] del problema.

Las reacciones de Jos en clase lo alejaron del propsito planeado, pues l desarroll su discurso alrededor de las respuestas del problema, ms que en los procesos, mismos que le permitiran reforzar la traduccin del problema verbal en la ecuacin.

El profesor busc incentivar y motivar constantemente a los estudiantes, tal vez por eso evit hacer correcciones y profundizar en las dificultades que se presentaron particularmente. Sin embargo, no fue claro por qu deseabacomparar los procesos realizados con lpiz y papel con los de la calculadora, y tampoco por qu los puso en trminos de cul fue ms fcil? (ver de la Figura 2,inciso d). Al parecer Jos crea que se hacen los mismos procesos y que slo se cambia de espacio de trabajo.

4.1.1.3. Reflexiones-sobre- la accin

Jos consider, en esa primera reflexin de la fase inicial (ver inciso 3.2), que la clase que l gestion gener en los estudiantes la actividad matemtica prevista y que adems se alcanzaron los objetivos propuestos, l lo expres as:

lograron plantear la ecuacin, que es uno de los problemas ms fuertesya encontrada la ecuacin a lpiz y papel, todava hay problemas con ellos, se les dificulta el uso del algoritmo. Es ms fcil con la calculadora.



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Jos pens en ese momento que las actividades planteadas favorecierona la mayora de los estudiantes porque llevaban ms de un ao trabajando estos conceptos con la calculadora y que la mayora de los alumnos aprendi el contenido de la clase. No obstante, su reflexin es:

De acuerdo a lo vivido, para m los conocimientos matemticos ms importantes fueron: el planteamiento de la ecuacin el conocimiento de un nmero consecutivo se trae desde el primer ao, aun as cuestamuchsimo. Hay que rescatar el que los nios empiecen a trabajar con el concepto de incgnita.

En esta primera oportunidad que Jos tuvo para reflexionar de manera guiada sobre su prctica docente, se propici que l pensar en algunos elementos que no haba tenido en cuenta antes, entre ellos: entender el significado de la actividad matemtica, identificar los objetivos de aprendizaje planeados y, sobre todo, confrontarlos con lo logrado por el estudiante en la clase.

4.1.2. Reflexiones- sobre- la accin mediadas por las herramientas de anlisis

Del anlisis de la etapa inicial de Jos surge el comparativo de rutas cognitivas (ver Figuras 5 y 6) y la seleccin de eventos en los que Jos actu o reaccion frente a las inquietudes de los estudiantes, reacciones que desencadenaron o no la actividad matemtica esperada.

Figura 5. Ruta cognitiva de clase planeada Figura 6. Ruta cognitiva de los procesos realizados por los estudiantes durante la clase

Problema verbal Encontrar la solucindel problema

Interpretacin del enunciado del problema

Traduccin a la ecuacinx+(x+1)=143

Revisin de hojas detrabajo anteriores conejercicios similares

Repeticinde procesos

Uso de comandos

Solucin numricaSolucin numrica

Usando papel y lpiz

Hacenoperacionesaritmticas

Operenalgebraicamentea lpiz y papel

Usando propiedades algebraicas


Introducenla ecuacin

Comprobacin sustituyendo valoresComprobacin sumando

los dos valores

Usando la (Calculadora Voyage 200)

Resolver la ecuacin

Usando una herramientatecnolgica

(CalculadoraVoyage 200)

Uso de comandos

aproxsolv propFra

solve propFrac

Usando un procedimiento

Usandopapel

y lpiz

Reduccin

Despeje

Ecuaciones deprimer gradoax+b=cx+d

Traduccin?

Problema verbal Encontrar la solucindel problema

Interpretacin del enunciado del problema

Traduccin a la ecuacinx+(x+1)=143

Revisin de hojas detrabajo anteriores conejercicios similares

Repeticinde procesos

Uso de comandos

Solucin numricaSolucin numrica

Usando papel y lpiz


Operenalgebraicamentea lpiz y papel

Usando propiedades algebraicas


Introducenla ecuacin

Comprobacin sustituyendo valoresComprobacin sumando

los dos valores

Usando la (Calculadora Voyage 200)

Resolver la ecuacin

Usando una herramientatecnolgica

(CalculadoraVoyage 200)

Uso de comandos

aproxsolv propFra

solve propFrac

Usando un procedimiento

Usandopapel

y lpiz

Reduccin

Despeje

Ecuaciones deprimer gradoax+b=cx+d

Traduccin?



100



En el apartado siguiente se exhiben las reflexiones expresadas por Jos,las cuales fueron inducidas por las herramientas de anlisis antes expuestas.

4.1.2.1. Reflexiones individualizadas

En la ref lexin individualizada, los investigadores presentaron evidencias de aspectos relacionados con su pensamiento pedaggico y didctico; sus primeras reacciones fueron justificaciones enfatizando en las dificultades de los estudiantes. Posteriormente, se mostr al profesor un episodio en el que los estudiantes sacaron una hoja de trabajo desarrollada en una clase anterior donde aparece el problema: Hallar dos nmeros pares consecutivos cuya suma sea 462 evidenciando que elformato era exacto al que present en la clase pasada. Luego, se le mostr otro evento (del final de la clase, donde entrega otra hoja de trabajo) con el problema: Hallar dos nmero enteros IMPARES consecutivos, cuya suma sea 644. Al respecto le preguntamos al profesor: por qu adems de conservar el diseo de las hojas tambin propone el mismo tipo de problema? Y el profesor respondi que los estudiantes tienen dificultad para comprender la expresin nmeros consecutivos, por eso necesita reiterar ejercicios del mismo tipo.

De lo anterior, se observa en el esquema de enseanza de Jos un fuerte nfasis en que los estudiantes lleguen a la respuesta esperada de un problema, lo que es explcito cuando dice: En matemticas, el alumno puede resolver un problema de la forma que quiera, pero siempre y cuando llegue al resultado correcto.

Ante las evidencias presentadas a Jos sobre aspectos relacionados con su pensamiento didctico, unas de sus primeras ref lexiones fueron: a lo mejor no darles directamente la calculadora, que no tengan la hoja y tengan a la vez la calculadora Porque a lo mejor el uso de la herramienta ya se vici.Entonces lo que hay que hacer es darle otro sentido, otra forma, se van a replantear las actividades, pues en el mismo video se est observando que no es la forma adecuada.

Tambin se invit a Jos para que reflexionara sobre la forma como se socializaron las respuestas y el porqu estuvieron ausentes sus correcciones a los procedimientos realizados por los estudiantes: Bueno, primero la intencin ah no era encauzarlo as directamente y decirle , sino ver a los otros equipos cmo lo resolvieron para darse cuenta de los errores que tenan.



102



Algunas ref lexiones por parte del profesor, luego de enfrentarse con las evidencias de su forma de ensear los contenidos matemticos, fueron: Hay que retomar la hoja otra vez, los momentos de trabajo, que los alumnoslleguen primero a buscar su ecuacin y, ya que tengan su ecuacin, a resolverlo con lpiz y papel y el tercer momento podra ser darles la calculadora. Comprubalo con la calculadora pero siguiendo la sintaxis que es lo que se necesita. Uno de los alcances del proceso de reflexin con Jos es que pudo comprender que los procesos realizados a lpiz y papel son diferentes que los que se realizan con la calculadora.

4.1.2.2. Ref lexiones expuestas por Jos a sus colegas

Al parecer, cuando Jos lleg a esta sesin, tuvo la oportunidad de analizar la forma en como se ref lexion sobre la primera etapa del proceso y quiso compartirlo con sus compaeros, algunas de sus expresiones fueron:

Despus de veinte aos de trabajo, nunca nos haban filmado y nunca nos habamos analizado as. El anlisis lo hacemos siempre, revisamos una clase, cmo nos sali, si nos gust o no. Como maestros nos damos cuenta del trabajo que hacen los alumnos y el trabajo que nosotros no hacemos....

Para encontrar la solucin de la ecuacin, les dimos dos caminos al alumno: a un lado con lpiz y papel, y al otro con calculadora. Yo les di la facilidad de que lo resolvieran como pudieran. Para m, eso fue un error, porque a lo mejor la hoja no estaba bien estructurada, por eso los alumnos se fueron por cuatro caminos para llegar al resultado. Pero lo importante no era que llegaran as, porque con este problema sencillo pueden hacerlo, pero con problemas mucho ms difciles a lo mejor no va a ser apropiado el mtodo que usan. Y sera mejor que hicieran lgebra.

La reflexin guiada por las herramientas favoreci, en Jos y su grupo, el anlisis de episodios y situaciones que no haban percibido como oportunidades para su desarrollo profesional.

4.1.3. Nueva experiencia de ref lexin

En la nueva experiencia Jos plane una clase sobre sistemas algebraicos y present una hoja de trabajo en la que prioriz los procesos a lpiz y papel. En la clase se observ en l una actitud ms reflexiva en las interacciones con los estudiantes, lo cual constituy un avance en el pensamiento didctico de Jos.



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Es importante reconocer que en la nueva experiencia de reflexin, Jos quiso implementar las reflexiones realizadas en este aspecto en la primera experiencia de reflexin, especialmente present modificaciones en el diseo de sus hojas detrabajo. El profesor expres que en esta oportunidad enfatizara ms en la traduccin a la ecuacin (aspecto relacionado con el lenguaje que constituye el 2.3.4) y que cuando ya hayan terminado los procesos usando lpiz y papel, les entregarlas calculadoras para que, posteriormente, realicen los procesos que se piden conel apoyo de ellas.

Jos recalc que para l el trabajo en equipos es de gran importancia, pero tambin, que ste necesita la intervencin del profesor cuando emergen dificultades. Aqu se observ mayor comprensin por parte del profesor sobre lo que significa ser mediador entre el contenido matemtico escolar y el estudiante.

4.2. Reflexiones emergentes en el caso de Lucas

El grupo de Lucas estuvo compuesto por seis profesores de preescolar, en el cual Lucas es el nico hombre. La sesin de planeacin colectiva de este grupo, Lucas la inici con una breve descripcin de los nios que conformaban el grado de tercero de preescolar con quienes l trabajaba (grupo conformado por 26 alumnos, 15 de ellos estuvieron con l el ao anterior y lograron buen conteo oral hasta treinta. Los dems nios se iniciaban en el conteo y reconocimiento delos nmeros hasta el diez) El profesor coment que estaba enfrentando dificultades debido a las diferencia socio -cognitivas de los nios, por ello tuvo que dividir el grupo en 5 equipos, cada uno con un monitor, siendo ste el de mayor habilidades matemticas.

Posteriormente, los profesores se remitieron al programa de preescolar para seleccionar el tema de acuerdo con campo formativo3 de pensamiento matemtico. El grupo opt por trabajar el aspecto numrico y la competencia: utilizar los nmeros en situaciones variadas que implican poner en juego los principios del conteo. Los profesores eligieron este propsito por la necesidad de ser tratado

3 El programa de preescolar est estructurado en seis campos formativos y competencias: desarrollo personal y social, lenguaje y comunicacin, pensamiento matemtico, exploracin y conocimiento del mundo, expresin y apreciacin artstica y desarrollo fsico y salud. El campo de pensamiento matemtico se organiza en dos aspectos relacionados con la construccin de nociones matemticas bsicas: Nmero, y Forma, espacio y medida (SEP, 2004).



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por la mayora del grupo en clases ulteriores a su plan de trabajo. Para el trabajode la competencia antes mencionada, los profesores seleccionaron una actividadque se llamaba las caritas, la cual fue expuesta por Lucas as:

las caritas, me parece una actividad buena porque ellos tienen que ver la estrategia a utilizar para repartir una vez ya en la actividad con losdados ellos tienen que contar o sobre contar Finalmente les puedo decir que me pongan en un papel la cantidad que cada quien gan Ah ya estamos viendo el nmero como su representacin.

4.2.1. Primera experiencia de ref lexin

Luego de seleccionar la actividad expuesta anteriormente por Lucas, el grupo de profesores comenz a disear el plan de la clase de acuerdo con los parmetros que en preescolar se usan: tiempo, procesos esperados, manifestacin, contenido, objetivo del nio y materiales. Finalmente, y despus de una discusin, organizaron las actividades de la clase as: 1) organizar el grupo en cinco equipos, 2) dar las instrucciones o reglas del juego, 3) repartir las fichas, 4) dar paso al desarrollo de la actividad y, 5) plantear preguntas para establecer relaciones de orden a travs de la comparacin de cantidades.

4.2.1.1. Ref lexiones-para- la accin

Para Lucas y su grupo de trabajo, fue de gran importancia conocer las caractersticas del grupo, entre ellas los pre-saberes de los nios, porque fueron la base para planear las actividades de la clase. Esta aseveracin coincide con lo que expone Ponte (2001), l menciona que las decisiones pedaggicas del profesor dependen de la existencia de un conocimiento sobre el contenido que se ensea y acerca de lo que conocen los estudiantes. Una de las reflexiones de Lucas al respecto fue: La dificultad para m es con los que acaban de ingresar, porque en ellos he notado que para realizar sus actividades observan a los dems, yos que estn aprendiendo con sus compaeros.

Por ltimo, Lucas, al identificar las caractersticas individuales y grupales de sus estudiantes, pudo prever posibles dificultades didcticas que podra enfrentar en la clase y tambin el tiempo para el desarrollo de las actividades.



104



4.2.1.2. Ref lexiones- en- la accin

Lucas inici la clase pidindoles a los nios que repartieran equitativamente un nmero de fichas. Se observ que los nios realizaron la reparticin con tres estrategias diferentes: 1) arbitrariamente y balanceando cantidades,2) repartiendo la misma cantidad a cada nio y verificando cuntas sobrabanpara hacer un nuevo reparto, y 3) repartiendo de uno en uno hasta que seacababan con el total de f ichas. Despus de que Lucas verific que, efectivamente, cada grupo tena bien repartidas las fichas, dio paso al siguiente episodio.

En un segundo momento, se sigui trabajando la cardinalidad de los nmeros naturales con operaciones implcitas en cada una de las consignas deljuego. El juego consista en que se daban una serie de tarjetas (las cualesguiaban el juego) y un recipiente con fichas. La primera consigna4 dada eradecidir quin iba a empezar el juego y quin lo segua. Las tarjetas tenanuna imagen y cada una tena una indicacin, de esta manera: carita feliz (sejugaba el dado y se tomaban las fichas del recipiente que los puntos del dadoindicaba), carita triste (se deban devolver al recipiente las fichas que indicaban los dados), flecha (indicaba que se devolva el juego) y tarjeta en blanco (indicaba que se conceda el turno). Durante el desarrollo del juego se presentaron algunas dificultades debido a la insuficiente explicacin de lo que indicaba cada tarjeta y en otros casos a las interpretaciones de los nios.

La instruccin de la f lecha fue imprecisa para los nios pues ellos no entendieron cmo se devolvan. La mayora de los nios interpret la f lecha segn la direccin que observaban en ella de acuerdo a la forma como la estaban viendo, como se puede leer en el siguiente fragmento.

Alumno: Qu hacemos con esta? Lucas: Se regresa al juego. Alumno: Hacia dnde? Hacia all? [Indica con la direccin de la flecha de la

tarjeta] o hacia all? [Voltea la tarjeta hacia la otra direccin]

No obstante, el significado que algunos nios le dieron al manejo de la ficha en blanco result interesante, pues en cuanto la tomaban le asignaron la etiqueta de

4 Un apoyo importante de la intervencin educativa para que los nios fortalezcan su capacidad deobservacin es el uso de preguntas o consignas que no slo promuevan la identificacin de detalles, sino la descripcin de lo que se observa y la comparacin entre elementos, que pueden dar lugar a la elaboracin de explicaciones a partir de lo observado SEP (2004, p.83).



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cero, cuyo significado y representacin eran desconocidos hasta entonces. Sin embargo, como a las dems tarjetas le asignaban un valor numrico, para ellos fue natural decirle cero.

Alumno: Profesor, si cae cero qu vamos a hacer? Lucas: Ah, si sale cero no hacen nada. A quin le toc? Alumno: A ella. Lucas: Entonces a ella no le toca nada, porque esa dice nada.

Lucas no da explicaciones a la interpretacin del nio, pero le explica que no hace nada, como cuando se le suma cero a una cantidad y queda igual, pues en las otras tarjetas sumaban y restaban sin darse cuenta. Durante la actividad el profesor fue atendiendo las particularidades de sus estudiantes, lo que llev a que se extendiera el tiempo. Cuando el profesor dio por terminado el juego, les pidi que cada uno contara las fichas que tenan y les plante la instruccin as:

Ahora necesitamos saber quin tiene ms fichas. En cada mesa les voy a colocar unos papelitos y cada quin tiene que anotar en ese papel la cantidad que haya ganado.

Despus de verificar que los estudiantes haban contado correctamente sus fichas, Lucas da paso al trabajo de la representacin numrica de cantidades. Para ello se us una tira numrica que estaba dispuesta en la parte superior del pizarrn. Los nios despus de contar las fichas que tenan, tomaron una vara de madera, se acercaron a la tira numrica, contaron hasta el nmero que corresponda a la cantidad de sus fichas, lo observaron y lo copiaron (Figura 7).

Figura 7. Representacin de la cantidad apoyndose en la tira numrica

La actividad favoreci a la mayora de los nios en el desarrollo de sus estrategias cognitivas porque luego de que copiaban el nmero de la tira se devolvan a compararlo y rectificarlo, pero hubo nios que al contar mal escriban



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el nmero al que llegaban sin ser el correspondiente a la cantidad que tenan. Finalmente, Lucas recogi la hoja donde cada nio represent la cantidad que tenan, verificando si el nmero haba quedado bien escrito para pasar a la actividad de cierre.

Lucas trabaj las relaciones de orden mayor, menor o igual a travsde preguntas como: Quin tiene ms fichas?, quin tiene menos fichas?Estas preguntas las resolvieron observando en la tira numrica, es decir, quin estaba ms lejos a la derecha o la izquierda. Finalmente, el profesor hizo preguntas como quin fue el primero, el segundo, el tercero? Aqu Lucas fue mencionando el lugar que le corresponda a cada nio segn la posicin que ocupaba en latira numrica.

4.2.1.3. Ref lexiones-sobre-la accin

En la sesin de reflexin colectiva Lucas mencion que la actividad ayud a nivelar a los estudiantes que tenan dificultades para construir sus nocionesde conteo. Pero aludi que haba realizado, en una clase posterior, actividades derefuerzo personalizado con los nios que tuvieron dificultades al resolverlas tareas propuestas. No obstante, el profesor manifest frustracin porque no todos los nios desarrollaron la actividad matemtica que l esperaba.

Para Lucas la planeacin fue importante pues la estructura y orden de las consignas le permitieron prever las posibles respuestas y dificultades de los nios. Empero, tuvo claro que deba llevar la actividad segn el ritmo de los estudiantes y por ello deba realizarle algunas adaptaciones.

Para sus compaeras, segn lo que manifestaron en esta sesin de reflexin colectiva, Lucas se desvi de los objetivos propuestos y no se enfoc en lo que se haba acordado con relacin a la cardinalidad. Sin embargo, despus de observar el video de la clase concluyeron que la gestin de la clase por parte de Lucas haba favorecido las habilidades comunicativas de los estudiantes, la ampliacin del rango de conteo oral y la evocacin de conocimientos previos que les facilit la justificacin de sus respuestas.

Para Lucas es importante dar las mismas oportunidades a los nios en clase para as lograr que los nios avanzados ayuden a los que apenas comienzan con la construccin de la serie oral. Finalmente, en esta reflexin, se mencion que Lucas ampli las preguntas de acuerdo con las inquietudes de los nios y que por medio de ellas fue conduciendo a los nios para lograr los objetivos formulados para la clase.



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4.2.2. Ref lexiones-sobre- la accin mediadas por las herramientas de anlisis

Del proceso descrito, seleccionamos una serie de episodios de la clase en los que consideramos vala la pena ayudar a reflexionar a Lucas, especialmente para que revisara las maneras especficas de la enseanza de las matemticas en este nivel. Esto porque l ha desarrollado aprendizajes didcticos desde la experiencia docente, dado que su formacin profesional es en psicologa.

4.2.2.1. Ref lexiones individualizadas

Con relacin a aspectos relacionados con su pensamiento didctico se le mostr a Lucas un episodio en el cual una nia va contando con un dedo cada punto del dado y con la otra mano va agarrando la ficha. Con esto se quera saber si Lucas haba previsto las posibles estrategias de los nios para resolver la situacin y si las actividades planeadas tenan un propsito.

Lucas constantemente expres autocrticas y cuestionamientos de sus propias acciones, adems dijo que retomara esta experiencia como aprendizaje. En este caso, aunque el profesor era ref lexivo y consciente de su labor, este ejercicio de anlisis con el apoyo de las herramientas result provechoso, dado que los profesores no alcanzaban a ver todas las situaciones que se presentaban durante la clase. Otro aspecto relevante del pensamiento didctico de Lucas fue el uso de la tira numrica, se le indag de dnde surgi la idea y cmo haba sorteado las dificultades que podran surgir con su uso.

Posteriormente, se le present y explic a Lucas el estudio comparativo de la clase planeada y la lograda (ver Figuras 8 y 9); esto para guiar los procesos de ref lexin de Lucas sobre la actividad matemtica que posibilit parasus estudiantes. En este caso, no se realiz slo una ruta cognitiva de la clase realizada, sino una de cada una de las partes en que sta termin desarrollndose, esto por su extensin y complejidad.

Lucas, al analizar dicho comparativo, pudo identificar aspectos en los que l considera debe seguir trabajando Ahora vuelvo a ver esto, me queda claroque cuando planeo una actividad, necesito ver en qu momento tengo que hacer una evaluacin; necesito, como docente, reflexionar de lo que hago y digo.



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Utilizar los nmeros en situaciones variadas queimplican poner en juego los principios de conteo

Situaciones con dados y tarjetas

2. Representacinnumrica

ORDINALIDAD DELOS NATURALES

Establecerrelaciones

de orden,=


de orden,=

Establecersecuencias

de orden

Identificarfrecuencias

Calculardiferencias

Verif icar

Contarposiciones

=+ _=

Repartir

Contar

Utilizar los principios de conteo

Relacionaruno a uno

Escribir elnmero detarjetas con

las quese qued

Contar enla tira

numricabuscandola corres-pondencia

de lacantidadcon el

nmero

Dice losnmeros que sabe, en

orden ascendente, empezandopor el uno y a partir de

nmeros diferentesal uno, ampliando el

rango de conteo

1. Cardinalidad

Distribuyendo lasf ichas a los

integrantes del equipoequitativamente

Tirando el dado,tomando o devolviendolas fichas que l indica

3. Ordinalidad

EVALUACIN

Quin tiene msfichas? quin

tiene menosfichas? quienes

tienen igualnmero

de fichas?

Quin tienems fichas?quin tiene

menosfichas?

quienestienen igual

nmerode fichas?

Identificar el orden delos nmeros de acuerdo

a las cantidadesque representa

Quinfue el

primero?el

segundo?tercero?

etc.

Adicionar

Comparandocantidadesde fichas

entrelos nios

Cunto lefalta a _para tenerlas mismas

que _ ?Cuntasms Tiene_ que _ ?

Comparandocuantostenan

la mismacantidad

ORDENADO DEMAYOR A MENOR

Figura 8. Ruta cognitiva de la claseplaneada por Lucas y su equipo de trabajo

Figura 9. Ruta cognitiva del episodio finalde la clase puesta en escena por Lucas

Por ltimo, fue interesante observar que, aunque Lucas tena grandes fortalezas en su prctica, haba aspectos que se escapan a luz de sus ojos en medio de la actividad de clase, por eso se rescata la relevancia de la reflexin sobrela accin con el apoyo de las herramientas de anlisis pues se pueden evidenciar aspectos de la clase que merecen atencin.

4.2.2.2. Ref lexiones expuestas por Lucas a sus colegas

Lucas exhibi a sus compaeras las rutas cognitivas elaboradas de la actividad planeada y la desarrollada por los nios. Frente a las evidencias mostradas y los comentarios que acompaaron los episodios presentados anteriormente por Lucas, sus colegas manifestaron un cambio de pensamiento en relacin con la primera reflexin y le resaltaron al profesor el haber aprovechado al mximo las situaciones que se dieron en la clase a favor del aprendizaje de los nios.

Utilizar los nmeros en situaciones variadas queimplican poner en juego los principios de conteo

Situaciones con dados y tarjetas

2. Representacinnumrica

ORDINALIDAD DELOS NATURALES


de orden,=


de orden,=

Establecersecuencias

de orden

Identificarfrecuencias

Calculardiferencias

Verif icar

Contarposiciones

=+ _=

Repartir

Contar

Utilizar los principios de conteo

Relacionaruno a uno

Escribir elnmero detarjetas con

las quese qued

Contar enla tira

numricabuscandola corres-pondencia

de lacantidadcon el

nmero

Dice losnmeros que sabe, en

orden ascendente, empezandopor el uno y a partir de

nmeros diferentesal uno, ampliando el

rango de conteo

1. Cardinalidad

Distribuyendo lasf ichas a los

integrantes del equipoequitativamente

Tirando el dado,tomando o devolviendolas fichas que l indica

3. Ordinalidad

EVALUACIN

Quin tiene msfichas? quin

tiene menosfichas? quienes

tienen igualnmero

de fichas?

Quin tienems fichas?quin tiene

menosfichas?

quienestienen igual

nmerode fichas?

Identificar el orden delos nmeros de acuerdo

a las cantidadesque representa

Quinfue el

primero?el

segundo?tercero?

etc.

Adicionar

Comparandocantidadesde fichas

entrelos nios

Cunto lefalta a _para tenerlas mismas

que _ ?Cuntasms Tiene_ que _ ?

Comparandocuantostenan

la mismacantidad

ORDENADO DEMAYOR A MENOR



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4.2.3. Nueva experiencia de ref lexin

La nueva experiencia realizada por Lucas se desarroll tres semanas despus del proceso de reflexin inicial. El profesor plane otra actividad sobre el mismo tema, pues para l se requera reforzar el conteo con algunos nios del grupo. En la nueva actividad, los estudiantes tenan que usar vasos y cucharas para trabajar sobre cantidades de agua.

Lucas en su nueva experiencia coment que encontr dificultades en el desarrollo de la clase. En el primer evento seleccionado mostr que tuvo que buscar alternativas porque los nios manifestaron cansancio. Para contrarrestar dicho cansancio el profesor tuvo que proponer una actividad en-la accin (usando monedas) para captar la atencin de los nios y para que ellos comprendieran el valor posicional de las cifras. En esto se manifiesta un avance de Lucas en el uso y la seleccin de instrumentos (vase el 2.3.3). En la reflexin-sobre-la accin de Lucas sobre aspectos relacionados con su pensamiento didctico, evidenci que pudo identificar que le falt un registro de los errores de cada equipo para comentarlos y aprovecharlos y con ello dar ms explicaciones.

Finalmente, Lucas manifest que todo el proceso de reflexin le dejo ver que cada clase trae sus propios retos, que aunque sean previstos requieren de la reflexin-en-la accin del docente y de sus habilidades pedaggicas y didcticas que permitan conseguir la actividad matemtica esperada por parte de los estudiantes.

5. CONCLUSIONES

El proceso de ref lexin les permiti a los dos profesores valorar la planeacin a travs de una organizacin de contenidos que los condujera gradualmente ala consecucin de los objetivos de aprendizaje por parte de sus estudiantes.El estudio comparativo, como herramienta para reflexionar, permiti valorar el nivel de matematizacin logrado por los estudiantes en la clase, comparado conla actividad matemtica planeada.

De los elementos observados relacionados con las preguntas de investigacin( 3) destacamos los siguientes: Las ref lexiones que se realizaron durante laaplicacin del modelo posibilitaron que los docentes casos de estudio se concientizaran sobre la necesidad de pensar en las posibles respuestas de losestudiantes a las tareas y a las dificultades que haban enfrentado en la faseinicial del experimento:



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- Jos no haba percibido que los estudiantes no tradujeron el problema verbal a una ecuacin por el tipo de problema que propuso y por el uso de la calculadora.

- Lucas se haba propuesto actividades cuya demanda cognitiva va ms all de lo que los nios podan comprender a esa edad.

Tanto en Jos como Lucas observamos un inters por captar la atencin de los estudiantes mediante la realizacin de actividades variadas y motivantes.Las herramientas de anlisis ayudaron a los profesores a valorar que las actividades requieren tener un propsito de aprendizaje especfico y, adems,que es conveniente prever alternativas para las posibles dificultades que enfrentan los estudiantes para realizarlas.

Este estudio mostr la importancia de confrontar a los docentes con sus maneras de ensear. En los profesores casos de estudio se pudo observar el impacto que las reflexiones realizadas tuvieron en sus esquemas de enseanza, ellos reconocieron que las actividades planeadas pueden transformarse por las interacciones que se dan en la clase y que sus esquemas pueden flexibilizarse para atender de la mejor manera las situaciones de aprendizaje. En el sentidode Shulman (1986), podemos acertar que el experimento tuvo efectos de adquisicin y enriquecimiento del conocimiento profesional de los docentes.Es as como esta investigacin nos abre una ruta de investigacin que permite aportar herramientas de desarrollo profesional docente basadas en procesos reflexivos individuales y colectivos.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

Altet, M. (1997). Les pdagogies de lapprentissage. Paris, France: PUF.Bogdan, R. & Biklen, S. (1991). Investigao qualitativa em educao. Uma introduo teoria

e aos mtodos. Porto, Portugal: Porto Editora.Chevallard, Y. (1991). Dimension instrumentale, dimension smiotique de lactivit mathmatique.

Sminaire de Didactique des Mathmatiques et dInformatique de Grenoble. Grenoble,France: LSD2, IMAG-Universit Joseph Fourier.

Chevallard, Y., Bosch, M., & Gascn, J. (1997). Estudiar matemticas. El eslabn perdido entre la enseanza y el aprendizaje. Barcelona, Espaa: ICE/Horsori.

Dewey, J. (1989). Cmo pensamos. Nueva exposicin de la relacin entre pensamiento reflexivoy proceso educativo. Barcelona, Espaa: Paids.

Fennema, E., & Loef, M. (1992). Teachers knowledge and its impact. In D. A. Grows (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 147-164). New York, USA: Macmillan Publishing Company.



112



Filloy, E. (1999). Aspectos tericos del lgebra educativa. D.F., Mxico: Grupo Editorial Iberoamrica.Flores, P. (2007). Profesores de Matemticas Reflexivos: Formacin y Cuestiones de Investigacin.

Revista de Investigacin en Didctica de la Matemtica, 1 (4), 139-159.Freire (1997). Pedagoga de la Autonoma. D.F., Mxico: Siglo XXI.Grossman, P., Wilson, S., & Shulman, L. (2005). Profesores de sustancia: El conocimiento de la materia

para la enseanza. Profesorado. Revista de Currculo y Formacin de Profesorado, 9 (2), 1-25.Kwon, N. Y. & Orrill, Ch. H. (2008). A comparison study of a teachers reflection. In O. Figueras,

J. L. Cortina, S. Alatorre, T. Rojano y A. Sepulveda (Eds.), Proceedings of the 32nd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education(Vol. 1, p. 352). Morelia, Mxico: PME.

Parada, S. (2009). Reflexin sobre la prctica profesional: actividad matemtica promovida por el profesor en su saln de clases (Tesis de maestra indita). Centro de investigacin y estudios avanzados del Instituto Politcnico Nacional, D.F., Mxico.

Parada, S. E. & Sacristn, A. I. (2010). Teachers Reflections On The Use Of Instruments In Their Mathematics Lessons: A Case-Study. In M. Pinto & T. Kawasaki (Eds.), Proceedings of the 34th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education(Vol. 4. pp. 25-32). Belo Horizonte, Brazil: PME.

Parada, S., Figueras, O. & Pluvinage, F. (2011). Un modelo para ayudar a los profesores a reflexionar sobre la actividad matemtica que promueven en sus clases. Revista de educacin y pedagoga, 59, 85-102.

Ponte, J. P. (2001). A investigao sobre o professor de Matemtica: Problemas e perspectivas. Educao Matemtica em Revista, 11, 10-13.

Ponte, J. P. & Santos, L. (1998). Prticas lectivas num contexto de reforma curricular. Quadrante, 7 (1), 3-33.

Robert, A. & Rogalski, J. (2005). A cross-analysis of the mathematics teachers activity. Anexample in a French 10th-grade class. Educational Studies in Mathematics, 59(3), 269-298.

Saint-Onge, M. (1997). Yo explico pero ellos aprenden? Bilbao, Espaa: Ediciones mensajero.Schn, D. (1992). La formacin de profesionales reflexivos. Madrid, Espaa: Paids/MEC.Secretara de Educacin Pblica (2004). Plan y programas de educacin preescolar. D.F.,

Mxico: SEP.Shulman, L. S. (1986). Those who understand: knowledge growth in teaching. American

Educational Research Association, 15 (2), 4-14.Shulman, L. S. (1987). Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. Harvard

Educational Review, 57 (1), 1-22.Thompson, A. (1992). Teachers beliefs and conceptions: a synthesis of the research. In D. A.

Grows (Ed.), International Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning(p. 127-146). New York, USA: Macmillan.

Treffers, A. (1987). Three dimensions: A model of goal and theory description in mathematics education: The Wiskobas project. Dordrecht, The Netherlands: Reidel.

Turner, F. (2008). Growth in teacher knowledge: Individual reflection and community participation. In O. Figueras, J. L. Cortina, S. Alatorre, T. Rojano, & A. Sepulveda (Eds.), Proceedings ofthe 32nd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp. 353-360). Morelia, Mxico: PME.

Vega, M. de (1984). Introduccin a la psicologa cognitiva. Madrid, Espaa: Alianza.



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Autores

Sandra Evely Parada. Universidad Industrial de Santander, Colombia. [email protected]

Francois Pluvinage. Departamento de Matemtica Educativa, Cinvestav - IPN, [email protected]

201404a.pdf201404a GDE.pdf

reflexiones sobre el pensamiento didactico sandra parada y pluvinage

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