Resuelve los siguientes problemas:

1. Una regadera goteando desperdicia 36 litros de agua en 24 horas. ¿Cuántos litros tirará en 72 horas?

2. Una alberca tarda 5 horas en llenarse usando una manguera de la que sale agua a 3 litros por minuto. ¿Cuánto tardará la alberca en llenarse si se toma una manguera cuya salida es de 6 litros por minuto?

3. Una secretaria escribió un reporte de 12 páginas en 50 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en escribir un reporte de 18 páginas? En otro reporte tardó 5 horas, ¿cuántas páginas tenía este?

4. La tarifa de taxis en un país es de 10 pesos iniciales, más 2 pesos por cada kilómetro recorrido. ¿Cuánto hay que pagar por un viaje de 20 kilómetros? y ¿por uno de 40 kilómetros?

Llena las tablas siguientes de acuerdo a la situación planteada:

Edad de Luisa:

Edad de su mamá:

15 40305

800

Cantidad de naranjas:

Precio en pesos:

36 121812

6030

Lado del cuadrado:

Área del cuadrado:

2 46

168

20

La proporcionalidad puede considerarse como la piedra angular

de las matemáticas, la física y muchas otras ciencias.

La mayoría de las matemáticas de nuestra vida cotidiana están

basadas en este concepto: el precio de productos, el cambio de

moneda, porcentajes, las cantidades de los ingredientes en recetas

de cocina.

Las ideas de proporcionalidad son en general, mal entendidas.

Esto se debe a que este tema es enfocado en el aula de una

manera mecánica: la regla de tres.

Los objetivos que se persiguen dentro de este tema son:

Que el niño vaya construyendo las nociones más

importantes conectadas con el concepto de

proporcionalidad como son las nociones de razón y de

variación.

Aplicar las ideas de proporcionalidad a problemas

reales y darle al alumno los suficientes elementos para

decidir cuándo esta aplicación es la indicada y cuándo

no lo es.

Ideas importantes.

La idea básica sobre la cual se van construyendo los demás

conceptos que integran la proporcionalidad es la de

COMPARACIÓN:

Una aditiva, por medio de su diferencia.

Otra multiplicativa, por medio de su cociente (a la cual

llamamos razón ¿ejemplos?)

La razón contiene la relación de los tamaños entre las dos

cantidades pero pierde la información sobre sus magnitudes

originales (debemos explicar la utilidad de trabajar con una

comparación entre dos cantidades y no con sus valores originales.

Ejemplo: "Toda la tienda tiene el 20% de descuento").

Una segunda idea importante es la de VARIACIÓN de una cantidad

relativa a otra.

La variación proporcional es solo una de ellas.

Debemos saber diferenciarla de otras.

Variación proporcional.

En 30 días una fábrica produce 600 coches:

Días: Coches:30 60090 1,80015 3001 20

365 7,300

Veamos ahora otro tipo de variaciones.

Juan tiene 4 años y su hermano Pedro tiene 12. ¿Cómo cambiarán

estas edades con el tiempo?

Edad de Juan: Edad de Pedro:4 128 1612 202 1040 48

Se van a repartir 720 monedas de oro entre los ganadores de un

juego de lotería:

# de ganadores: Monedas cada uno:2 3604 1806 12010 7220 36

Variación de la estatura de un niño con su edad:

Edad (años): Estatura (cm.):0 405 10010 14015 16520 180

¿Qué caracteriza entonces a la variación proporcional?

Transfiere cambios multiplicativos entre las cantidades.

Las razones se mantienen constantes.

En una variación de proporcionalidad inversa es el producto de las cantidades y no su

razón el que se mantiene constante.

Enfoques a la proporcionalidad.

Enfoque # 1: Uso de tablas y razonamiento pre-proporcional.

# de lápices: Costo:12 624 126 3

30 (24 + 6) 15120 60

Enfoque # 2: Unitario. (Utilizar porcentajes “unitarios”)

6 ÷ 12 = $ 0.50 cada lápiz

12 ÷ 6 = 2 lápices por cada peso

Enfoque # 3: Razonamiento proporcional (constancia de la razón).

Enfoque # 4: Algorítmico (regla de tres).

Resuelve los siguientes problemas usando una tabla y por el método unitario:

1. Hace algún tiempo, daban 40 dólares por 500 pesos. ¿Por cuántos pesos se podían cambiar 60 dólares? ¿30 dólares?

2. Un pirata tiene el siguiente mapa de una isla en la que fue enterrado un tesoro. Sin embargo, no tiene unidades.

20

18

26

12

Piedra Árbol

9

El pirata camina de la piedra al árbol cuenta 54 pasos. Ayúdale a saber cuántos de sus pasos son cada una de las medidas dadas en el mapa.

Consideraciones teóricas.

Etapas de desarrollo:

1. - Incompleta: Ignora parte de los datos o da una

respuesta ilógica.

2. - Cualitativa: Toma ya en cuenta todos los datos, pero

solo puede hacer consideraciones cualitativas

("necesita más", "necesita menos", etc.).

3. - Aditiva: Usa diferencias*.

4. - Pre-proporcional.

5. - Razonamiento proporcional.

*Problema: Una jarra de agua de naranja se hace con 4 naranjas y

7 vasos de agua, ¿cuántos vasos de agua hay que mezclar con 6

naranjas para que tenga el mismo sabor?

Respuesta aditiva: Como 6 naranjas son 2 más que 4 naranjas,

necesitaremos 2 vasos más de agua, o sea 9.