redes no valoradas - estadistica

29
Instrumentos Estadísticos Avanzados Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández REDES NO VALORADAS

Upload: others

Post on 13-Feb-2022

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Instrumentos Estadísticos AvanzadosFacultad Ciencias Económicas y EmpresarialesDepartamento de Economía AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fernández

REDES NO VALORADAS

Page 2: REDES NO VALORADAS - Estadistica
Page 3: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   1

REDES NO VALORADAS

• Definiciones y teoremas

• Representaciones gráficas y matemáticas

• Tipo de redes

• Conceptos no orientados

• Algoritmos

• Aplicaciones

ne todas las i

• Definiciones y teoremas

• Representaciones gráficas y matemáticas

• Algoritmo de Prim

• Algoritmo de Kruskal

• Algoritmo de Boruvka

• Algoritmo de Sollin

• Algoritmo de Dikjstra

• Algoritmo de Ford

• Algoritmo de Floyd‐Warshall

• Otros Algoritmos

Page 4: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   2

GRAFO ‐  TAD GRAFO

Un Grafo es una entidad matemática introducida por Euler en 1736 para representar entidades (vértices)que pueden relacionarse libremente entre sí, mediante el concepto de arista.

Se puede definir un TAD (Tipo Abstracto de Datos) Grafo basado en estas ideas, el cual contieneelementos sobre los que esta definida una relación de vecindad o adyacencia. Un vértice puederelacionarse con cualquier otro vértice y establecer cualquier número de relaciones.

Hay muchas situaciones en las cuales el modelado más conveniente de los datos de una aplicación esmediante grafos, por ejemplo la representación de una red de carreteras, calles, telecomunicaciones,electrificación, internet, planificación de tareas, etapas de un proceso industrial, etc.

GRAFO ‐   MATRIZ DE ADYACENCIA

Un Grafo es un conjunto de objetos, llamados vértices o nodos, conectados entre sí.

A las conexiones entre los objetos se las denomina aristas o arcos.

Si en un Grafo se indica con un 1 la existencia de conexión y con un 0 la falta de existencia de ella, este sepuede representar con una matriz que proporciona la misma información que el Grafo.

Ejemplo:  Un archipiélago formado por cuatro islas A, B, C y Destablece un sistema de comunicación por avión. Por falta demedios, no todas las islas están conectadas entre sí. El grafo queaparece al margen representa las conexiones que se ofrecen.

Las islas A, B, C y D son los vértices del grafo y las conexiones

A B , A C , B D , C B , D A→ → → → →

son  las aristas o arcos del grafo.

La matriz de adyacencia es:

12

21

                     

0 1 1 0a 1  indica que existe comunicación de la isla A hacia B      

0 0 0 1

0 1 0 0a 0   indica que no existe comunicación de la isl

1 0 0 0

A B C D      Destino         

A

BOrigen

C

D

⎛ ⎞

→=⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

=⎜ ⎟⎝ ⎠

 

a B hacia A

Sí las aristas o arcos de un grafo están orientadas, como en el ejemplo, el grafo se denomina GrafoDirigido o Dígrafo (sus aristas vienen dados por pares ordenados).

Page 5: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   3

MATRIZ DE ADYACENCIA ASOCIADA A LOS GRAFOS

Los Grafos pueden ser no dirigidos o dirigidos

Grafo dirigido o Dígrafo:  Las aristas o arcos están orientadas.

A B C      Destin                               

1 1 1

M

o     

A

Origen     1  0B

C

0    

0 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

→=

A B C D      Destino     

A

BOrigen    

                                

0 0 0 1

1 0 0 1M    

0 1 0 0 C

D 0 0 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A B C D      Destino     

A

BOrigen    

                                

0 0 0 1

1 0 1 1M    

0 0 1 0 C

D 0 0 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A B C D      Destino     

A

BOrigen     

                               

1 0 1 0

0 1 1 0M    

0 1C

D

1 0

1 0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

                

1 1M

A

   

B

A

1 0⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 6: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   4

A B C

A

B

                 

0 0 1

M   1 1

C

0    

1 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

           

0 0 1 0

1 0 1 0M    

0 1 0 0

1 0

A B C D      

A

B C

D 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Pueblos unidos por carreteras

   

A B C D E       Destino     

A

B

COrigen

                      

0 1 0 0 1

1 0 0 1 1

0 0 0 1 1    

0 1 1 0 0

1 1 1

D

0 0E

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Un grafo G(V,A)  está formado por un conjunto no vacío V de vértices o nodos y otro conjunto A de

aristas o lados constituidos por pares no ordenados de vértices distintos.

Algebraicamente, un grafo es la terna G (V, A, )= ϕ , donde V es un conjunto no vacío de vértices, A es un

conjunto de aristas y ϕ  es la función de incidencia.

                    V  es un conjunto formado por              

: A Vsubconjuntos de 1 o 2 elementos de V

•• ⎧

ϕ ⎯⎯→ ⎨⎩

Los Grafos se pueden representar gráficamente mediante diagramas y en forma matricial  con la matriz deadyacencia y la matriz de incidencia.

MATRIZ DE ADYACENCIA

Sea un grafo G (V, A, )= ϕ  con un conjunto de vértices  { }1 2 3 nV v , v , v , , v=  y  un conjunto de aristas

{ }1 2 3 mA a , a , a , , a= , se define la matriz de adyacencia del grafo G como una matriz booleana de

xn n :

( ) i ja ij ij

i j

1 si v  es adyacente a v                 M (G) m   donde   m

0 si v  no es adyacente a v⎧

= = ⎨⎩

Page 7: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   5

Todas las matrices de adyacencia M de un GRAFO SIMPLE (sin aristas paralelas y sin bucles) son matricessimétricas con diagonal principal formada por ceros.El resto de elementos son unos, formando dos triángulos (uno superior y otro inferior).

GRAFO SIMPLE :   a

0 1 1 1

1 0 1 1M

1 1 0 1

1 1 1 0

= aTr (M ) 0 0 0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ → = + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Para determinar si un grafo tiene o no tiene triángulos, los ALGORITMOS (secuencia de pasos lógicos quepermiten solucionar un problema) a menudo devuelven como salida tres vértices que cumplen dichacondición.

Otro enfoque es encontrar la traza de  3M ,  el Grafo no contiene triángulos  3Tr (M ) 0⇔ =

                

11

223 3a a 11 22 33 44

33

44

m

mM Tr(M ) m m m m

m

m

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= → = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Matriz de adyacencia del grafo

(relaciona vértices con vértices)

a

1 2 3 4 5

15

2 5i

3 i 1 ii 1

4

5

                       

0  2  1   0  0

2 0  0  1  0

1 0  2  0  0M (G)     

0 1  0  0  

v v v v v

v gr(1) 3

v gr (2) 3gr (v ) 10

v gr(3) 3  gr(v )

v gr (4) 1 5 aristas         0

0 0  0  0  0v gr(5) 0

==

⎛ ⎞ → =⎧→ =

=⎪→ = =⎨

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎪→ = ⎩→ =

∑ ∑ 2.5 10=

Cada arista hace incrementar en uno el grado de cada vértice de sus extremos (si son distintos) o en 2 si setrata de un bucle.

En un Grafo Un vértice es aislado   grado(vértice) 0                             

Un vértice es colgante o pendiente   grado(vértice) 1   

⇔ =⎧⎨ ⇔ =⎩

El Grado (gr) de un vértice es la cantidad de aristas incidentes en el vértice.

En todo Grafo la suma de los grados de los vértices es igual al doble de la cantidad de aristas, es decir,

igr (v ) 2 A=∑

Page 8: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   6

Bucle o Lazo:  Arista que está asociada a dos vértices idénticos ( 2a  es un bucle).

Vértices Adyacentes:  Son los vértices unidos por alguna arista

                                          2v  es adyacente a   1v  y   4v  pero no es adyacente  a  3v

Aristas Adyacentes:  Son las aristas que tienen un único vértice en común, siendo distintas y no paralelas.

                                       1a  y  3a  son aristas adyacentes

Aristas Incidentes:  Son las aristas que tienen un vértice como extremo.

2                                 v  es adyacente a   1v  y   4v  pero no es adyacente  a  3v

Aristas Múltiples o Paralelas:  Dos o más aristas que son incidentes en al menos dos vértices. Las aristasparalelas tienen los mismos vértices en común o inciden sobre los  mismos vértices.  Son muy utilizadas enredes eléctricas.                              i j i j i ja  paralela a a      (a ) (a )  con a a⇔ ϕ = ϕ ≠

                              1a  y  5a  son aristas paralelas o múltiples.

Grafo Sencillo o Simple:  No tiene aristas múltiples, tiene una sola arista entre dos vértices. En general, ungrafo que no tiene bucles ni  aristas paralelas o dirigidas.

Multigrafo o Pseudografo:  Grafo que contiene aristas paralelas. De esta forma,  dos nodos pueden estarconectados por más de una  arista.Los Multigrafos podrían utilizarse, por ejemplo, para modelar las posibles conexiones de vuelo ofrecidaspor una aerolínea. En este caso se tendría un grafo dirigido, donde cada nodo es una localidad y dondepares de aristas paralelas conectan localidades, según un vuelo es hacia o desde una localidad a la otra.

MATRIZ DE INCIDENCIA

Sea un grafo G (V, A, )= ϕ  con un conjunto de vértices  { }1 2 3 nV v , v , v , , v=  y  un conjunto de aristas

{ }1 2 3 mA a , a , a , , a= , se define la matriz de incidencia del grafo G como una matriz booleana de  xn n :

( ) i ji i j i j

i j

1 si v  es incidente a a                  M (G) m   donde   m

0 si v  no es incidente a a⎧

= = ⎨⎩

Matriz de adyacencia y matriz de incidencia del grafo.

Page 9: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   7

Matriz de Adyacencia (relaciona vértices con vértices):

        

1 2 3 4 5

a

15

2i

3 i 1

4

5

                       

0  1  0   1   1

1 0  1  1  0

0 1  0  1  1M (G)       

1 1  

  v v v v v

v gr(1) 3

v gr(2)

1  

3gr(v ) 2.8 16

v gr(3) 3 

v gr(4) 4 8 aristas         v gr(5)

0  1

1 0  1  1  0 3

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

→ =⎧→ =

= =⎪→ = ⎨

⎪→ = ⎩→

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ =

Matriz de Incidencia (relaciona vértices con aristas):

        

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

i

5

                    

1  1  0   1   0   0  0  0

1  0  1   0   0   1  0  0

0  0  1   0   0   0  1  1M (G)   

0  0  0   1   1   1  1  0

0  1  0   0   1   0  0  1

   a a a a a a a a

v

v

v

v

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

CAMINOS DE UN GRAFO

Las sucesivas potencias de la Matriz de Adyacencia (M) de un Grafo dirigido (Dígrafo) indican el númerode caminos diferentes que se pueden seguir para ir de un vértice a otro. En esta línea,

2M  indica el número de caminos diferentes de longitud 2 para ir de un vértice a otro. Es decir, elnúmero de caminos diferentes para ir de un vértice a otro pasando por otro vértice.

3M  indica el número de caminos diferentes de longitud 3 para ir de un vértice a otro. Es decir, elnúmero de caminos diferentes para ir de un vértice a otro pasando, en su intermedio, por dos vértices.

Ejemplo:  El Jefe de Recursos Humanos de una empresa quiere saberquién es el líder de un grupo de 5 personas (A, B, C, D, E). Para ello,hace entrevistas personales por parejas, estableciendo quién tieneascendencia sobre el otro. Representa las encuestas en un grafodirigido de cinco vértices, donde A B→  indica que A domina a  B.

¿Quién es el Líder?   

Page 10: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   8

Matriz de Adyacencia:   M  =

   

0 1 1 0 1 A domina a 3 personas

0 0 0 1 0 B domina a 1 persona  

0 1 0 0 1 C domina a 2 per

A B C D E        

sona

 

A

s   

1 0 1 0 1 D domina a 3 personas

1 1 0 0 0 E domina a 2 perso

B

nas

C

D

E

→⎛ ⎞⎜ ⎟ →⎜ ⎟⎜ ⎟ →⎜ ⎟

→⎜ ⎟⎜ ⎟ →⎝ ⎠

Para analizar quien es el líder del grupo se suman las líneas de la Matriz de Adyacencia, obteniendocuantos trabajadores son influidos por una persona (domina). Tanto A como D dominan a 3 personas, no

pudiendo decidir quién es en líder. Se hace necesario calcular  2M

2

0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 5

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 3

0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 3M MxM x    

1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 3 1 0 2 7

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 4

→⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ →= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

→⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ →⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Los elementos de  2M  indican el número de caminos diferentes de longitud 2 que se pueden seguir para irde un vértice a otro. Es decir, dominios de segundo orden.

Más en concreto, cantidad de trabajadores que son influenciados por personas que domina ciertapersona. Por ejemplo, sí A domina a B y B domina a C, es lógico pensar que A domina a C.

     2

                     

80 1 1 0 1 1 2 0 1 1 1 3 1 1 240 0 0 1 0 1

A B C D E      

0 1 0 1 1 0 1 1 150 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 2 0 1 1M M   

1 0 1 0 1 1 3 1 0 2 2 3 2 0 3 101 1 0 0 0 0

   

1 1 1 1 1 2 1 1 1

A

6

B

C

D

E

→⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

→⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

→⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ →⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La matriz  2(M M )+ representa la cantidad de dominios de primer y segundo orden que ejerce cada

trabajador sobre el resto de personas del grupo.Pudiendo afirmar que el trabajador D es el líder del grupo.

Page 11: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   9

a)  Indica todos los caminos de longitud 3 que se pueden seguir de C a D.

b)  Indica todos los caminos de longitud 4 que se pueden seguir de C a A.

A B C D      Destino                                                                            

0 0 1 1

1 0 1 1Matriz de Adyacencia:  M

 

A

BOrigen     

0 1 0 0    

C

D 1 0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a)  Para encontrar los caminos de longitud 3 hay que hacer  3M

        2 x x

0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1M M M    

0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

       3 2x x

A B C D      Destino                                                                                            

1 0 2 21 1 0 0 0 0 1 12 1 2 21 1 1 1 1 0 1 1

M M M1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0

 

0

A

B

C

D

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

   

⎞⎟⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

El número de caminos de longitud 3 que se pueden seguir para ir de C a D viene dado por elemento

de la tercera fila y cuarta columna de  3M , es decir,  34a 1= .

Hay un único camino  C B A D→ → →

b)  Para encontrar los caminos de longitud 4 hay que hacer  4M

4 3x x

A B C D      Destino                                                                                           

1 2 1 11 0 2 2 0 0 1 13 2 3 32 1 2 2 1 0 1 1

M M M1 1 1 1 0 1 0 0 2 1 2 21 1 0 0 1 0 0

   

0 1

A

B

0 2

C

D 2

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎝

⎠ ⎠ ⎝

   

⎞⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

Page 12: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   10

El número de caminos de longitud 4 que se pueden seguir de C a A viene dado por el elemento de la

tercera fila y primera columna de  4M , es decir,  31a 2= .

Con lo que hay dos caminos:  C B A D A

C B C B A

→ → → →⎧⎨ → → → →⎩

Escribir la matriz de adyacencia del grafo adjunto y decir cómoes esa matriz.

                                                          

0 1 1 1

1 0 1 1Matriz de A

   A B C D

A

Bdyacencia :  M(G)

1 1 0 1

D 0

C

1 1 1

= Tr(M) 0 0 0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ → = + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Como ocurre con todas las Matrices de Adyacencia de un Grafo Simple (sin aristas paralelas y sinbucles),  se trata de una  matriz simétrica con diagonal principal formada por ceros.  El resto deelementos son unos, formando dos triángulos (uno superior y otro inferior).

Matriz de Adyacencia en forma simplificada:  

1 0 0

M(G)  1 1 0

1 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Escribir la matriz de adyacencia del grafo adjunto  ydeducir los campos de longitud 4 de A a D.¿Posee triángulos el grafo?

          a

A B C                                                              

0 1 1 0

1 0 0 1Matriz de Ady

D

acencia :  M (G)1 0 0

A

B

C

0D

1

0 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

El grafo no contiene triángulos  aTr M (G) 0•⎡ ⎤⇔ =⎣ ⎦

2a x

0 1 1 0 0 1 1 0 2 0 0 2

1 0 0 1 1 0 0 1 0 2 2 0M (G) 

1 0 0 1 1 0 0 1 0 2 2 0

0 1 1 0 0 1 1 0 2 0 0 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Page 13: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   11

3a x

2 0 0 2 0 1 1 0 0 4 4 0

0 2 2 0 1 0 0 1 4 0 0 4M (G) 

0 2 2 0 1 0 0 1 4 0 0 4

2 0 0 2 0 1 1 0 0 4 4 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

El grafo no contiene triángulos  3aTr M (G) 0 0 0 0 0⎡ ⎤⇔ = + + + =⎣ ⎦

Para calcular los caminos de longitud 4 es necesario calcular  4aM :

4a x

                                                                                    

0 4 4 0 0 1 1 0 8 0 0 84 0 0 4 1 0 0 1 0 8 8 0

M (G) 4 0 0 4 1 0 0 1 0 8 8 00 4 4 0 0

A

1 1 0 8 0 0 8

B C D

A

B

C

D

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Caminos de longitud 4 de A a D:    14

A B A B D A BD BD A C A B D A C D BDm  8

A B A C D A BD C D A C A C D A C D C D⎧

= ⎨⎩

Un grafo tiene 12 aristas, 2 vértices de grado 4, 1 vértice de grado 3, 5 vértices de grado 2 y elresto de vértices son colgantes. ¿Cuál es la cantidad total de vértices del grafo?. Dibujar unaposibilidad.

igr (v ) 2 A=∑

X X X X X2 A (2 4) (1 3) (5 2) (b 1) 2 12 b 3= + + + = → =  Vértices colgantes (grado 1)

Número total vértices:   iv 2 1 5 3 11= + + + =∑  Vértices.

                    

Page 14: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   12

CICLO o CIRCUITO. REGIÓN

Los Grafos pueden ser no dirigidos o dirigidos. Los Grafos dirigidos reciben el nombre de Dígrafos. Paramuchas aplicaciones es necesario indicar el sentido de las aristas.

En los Dígrafos o Grafos dirigidos se indica el sentido de las aristas.Si el Grafo indica,  por ejemplo, las calles de un pueblo y los vértices las esquinas, para obtener el caminomás corto en automóvil entre dos esquinas dadas es necesario conocer el sentido de las calles.

Un Dígrafo es la terna G (V,A, )= δ , donde V es un conjunto no vacío de vértices, A es un conjunto de

aristas y δ  la función de incidencia:   x: A V Vδ ⎯⎯→

La función de incidencia se dice dirigida, haciendo corresponder a cada arista un Par Ordenado devértices, el primero se llama Extremo Inicial  de la arista  y el segundo Vértice Final.

Los Caminos y Ciclos se definen de la misma forma que para los Grafos no dirigidos, respetando el sentidode las aristas.

CAMINO:  Sucesión de aristas adyacentes distintas.

CICLO o CIRCUITO:  Es un camino cerrado, el vértice inicial coincide con el final.

LONGITUD DEL CAMINO:  Cantidad de aristas que lo componen.

CAMINO SIMPLE:  Cuando todos los vértices son distintos.

CAMINO ELEMENTAL:  Cuando todas las aristas son distintas.

GRADO DE UNA REGIÓN:  Longitud del camino que la bordea.

a)  Grado de cada vértice y caminos de A hacia F de longitud 3 y 5

b)  Ciclos de longitud 3, 4, 5 y 7

a)

 

Un Camino posible es  C (A; B; C; F)= , también

se puede nombrar un camino mediante vértices yaristas: C (A, 1 ; B, 2 ; C, 3 ; F)=

Long(C) 3=  porque tiene 3 aristas.

Otro Camino posible de longitud 5 puede ser

C (A , 5 ; D, 6 ; C , 4 ; E , 8 ; E , 9 ; F)=

Page 15: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   13

b)  Un posible Ciclo o Circuito de longitud 3 sería:

      C (C , 4 ; E , 9 ; F, 3 ; C)=

 

 

Un posible Ciclo o Circuito de longitud 4 sería

C (A , 5 ; B , 2 ; C , 6 ; D, 5 ; A)=

Un posible Ciclo o Circuito de longitud 5 sería:

C (A , 1 ; B , 2 ; C , 6 ; D , 7 ; D, 5 ; A)=

 

Un posible ciclo o circuito de longitud 7 sería:

C (A , 1 ; B , 2 ; C , 4 ; E , 9 ; F , 3 ; C , 6 ; D , 5 ; A)=

Dados los grafos  1G  y   2G  adjuntos,

encontrar el grafo unión  1 2G G G= ∪

y el grafo  { }G A−

Page 16: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   14

GRAFO  k ‐ REGULAR

Un grafo G (V, A, )= ϕ  es k‐regular  i igr(v ) k v V k N⇔ = ∀ ∈ ∀ ∈

GRAFO COMPLETO

Es un grafo simple donde cada par de vértices está conectado por una arista. Es un grafo k‐regular contodos sus vértices de grado  (n 1)−

Un grafo completo de n vértices tiene n(n 1)

2−

 aristas y se denota por  nk

Los   nk   son grafos simples de n vértices, donde cada vértice es adyacente a todos los demás.

Para que un grafo completo fuera disconexo habría que eliminar todos los vértices.

             

GRAFO BIPARTIDO

Es un grafo G (V, A, )= ϕ  cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos disjuntos U y W, es decir, tal

que se verifica que U W V∪ =  y  U W∩ = φ . De este modo, las aristas sólo pueden conectar vértices de

un conjunto con vértices del otro.

En el grafo  { }V 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8 , 9=

{ }U 1, 2 , 3 , 4 , 5=   y     { }W 6, 7 , 8 , 9=

donde U W V∪ =  y  U W∩ = φ

Todas las aristas que hay, tienen un extremo en U y el otroen W

{ }V 1, 2 , 3 , 4 , 5= ,  { }U 1, 2 , 3=  ,  { }W 4 , 5=

Un Grafo Bipartido no exige que tenga que existir arista entre todo par devértices (uno de U y el otro de W), solo exige que las aristas que existan debende estar comprendidas entre un vértice de cada subconjunto.

No hay una arista entre 2 y 4, cuando podía haber ocurrido.

Page 17: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   15

PROPIEDADES GRAFO BIPARTIDO

Un grafo G es bipartito si y solo si no tiene ciclos de longitud impar.

Un grafo es bipartido si sus vértices pueden colorearse utilizando dos colores de forma que no existaninguna arista que conecte dos vértices  del mismo color.

Cuando los dos subconjuntos U y W tienen la misma cantidad de vértices o cardinalidad, el grafobipartido G es balanceado.

Si todos los vértices del mismo lado de la bipartición tienen el mismo grado, G se llama grafobirregular.

En general  nk  no es bipartido, porque tres vértices están conectados entre sí y forman un ciclo de

grado impar.

GRAFO BIPARTIDO COMPLETO

Un grafo bipartido G (V, A, )= ϕ , es decir, que está formado por dos conjuntos disjuntos de vértices U y

W,  es completo cuando todas las posibles aristas unen esos vértices.

El grafo completo bipartito G con particiones

de tamaño  U n=  y   W m=  se denota por

n,mk

SUBGRAFO

Un subgrafo de un grafo G (V, A, )= ϕ  es un grafo  AG (V , A , )•• • •= ϕ  tal que V V• ⊆ , A A• ⊆  ,  A•ϕ  es la

función ϕ  restringida a A• .

Un subgrafo se obtiene:

Suprimiendo uno o varios vértices y las aristas incidentes en ellos. Al suprimir un vértice el subgrafo

resultante es  vG

Suprimiendo solamente una o varias aristas. Al suprimir una arista el subgrafo resultante es  aG

Sea el grafo G (V, A, )= ϕ

Page 18: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   16

Un subgrafo  1 HG G=  se obtiene al

eliminar los vértices  { }H A , E , G=

Subgrafo  2 CG G=  obtenido al eliminar el vértice C, interrumpiendo la

comunicación.

En el diseño de redes se trata de evitar puntos de corte, esto es, nodosque si tienen algún problema de funcionamiento interrumpen lacomunicación entre los otros.

GRAFO CONEXO

Un grafo es conexo cuando de cualquier vértice sepuede llegar a cualquier otro a través de un camino.

   

Grafo no conexo ya que entre los vértices A y F no existe ningúncamino.

No obstante, como se refleja debajo, está formado por dos subgrafosconexos, conocidos como componentes conexas.

Componentes Conexas:

RELACIÓN DE CONEXIÓN

Dado un grafo G (V, A, )= ϕ , en el conjunto de vértices  { }1 2 3 nV v , v , v , , v=  se define la relación:

                          i j i j i jv R v Existe un camino de v  a v  o bien v v⇔ =

La relación es de equivalencia, en consecuencia, pueden hallarse las clases de equivalencia, a las que sedenomina componentes conexas.

Page 19: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   17

ISTMO O PUNTO DE CORTE

Dado un grafo conexo G (V, A, )= ϕ ,  un vértice o nodo  v V∈  es un Istmo  vG⇔  es no conexo.

Es decir, un Istmo es un vértice que si se suprime desconecta el grafo.

CONECTIVIDAD:   Es el menor número de vértices cuya supresión desconecta al grafo.

El grafo conexo tiene conectividad 1=  pues al suprimir elvértice C o el vértice D queda no conexo.

Los vértices C y D son istmos.

El grafo conexo tiene conectividad 2=  ya que se necesita suprimir dosvértices para que el subgrafo restante sea no conexo.

Sean los vértices C y D los vértices que se suprimen.

PUENTE

Dado un grafo conexo G (V, A, )= ϕ  con un  conjunto de vértices  { }1 2 3 nV v , v , v , , v= y un conjunto

de aristas  { }1 2 3 mA a , a , a , , a= , se define:

                           a A∈  es un Puente  aG⇔  es no conexo.

Es decir, un Puente es una arista tal que su supresión desconecta al grafo.

Una arista es un Puente ⇔ No está contenida en ningún ciclo.

Un grafo sin puentes equivale a un grafo conexo con conectividad 2

GRAFO EULERIANO

Un camino de Euler es una trayectoria que contiene todas las aristas de G y recorre cada arista una solavez.

Si un grafo tiene un camino euleriano, se dice que el grafo es euleriano

Condición necesaria y suficiente para que en un grafo exista un camino euleriano:

El grafo debe ser conexo.

Todos los vértices deben tener grado par, o a lo sumo dos vértices con grado impar.

En general  nk  para n par y  n 2>  no es euleriano porque todos sus vértices tienen grado  (n 1)−  impar.

Page 20: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   18

CICLO EULERIANO

Cuando el camino euleriano comienza y termina en el mismo vértice se denomina ciclo euleriano (circuitoó camino cerrado).

Es decir, un ciclo euleriano es un ciclo que pasa por todas las aristas una sola vez.

Condición necesaria y suficiente para que en un grafo exista un ciclo euleriano:

El grafo debe ser conexo.

Todos los vértices deben tener grado par.

El grafo es un camino euleriano.

No es ciclo euleriano porque hay dos vértices de grado 3

El grafo tiene un ciclo euleriano porque todos sus vérticestienen grado par.

Encontrar un camino eulerianoen el grafo:

El camino euleriano no es único.

Camino Euleriano 1

Page 21: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   19

Camino Euleriano 2

Encontrar un ciclo euleriano enel grafo:

Un ciclo de Euler  1C

{}

1C A , 1 ; C , 2 ; D , 3 ; E , 4 ; F , 5 ; B , 6 ; A , 7 ;

E , 8 ; B , 9 ; C , 10 ; E , 11 ; A             

=

Otro ciclo de Euler  2C

{}

1C A , 1 ; E , 2 ; D , 3 ; C , 4 ; E , 5 ; F , 6 ; B , 7 ;

E , 8 ; A , 9 ; B , 10 ; C , 11 ; A             

=

Page 22: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   20

Analizar si el grafo adjunto es euleriano y bipartido.

El grafo no es euleriano porque los grados de los vértices no son todos pares.

Un grafo es bipartido si sus vértices pueden colorearse utilizando dos colores deforma que no exista ninguna arista que conecte dos vértices  del mismo color.

Es bipartido porque se puede colorear con dos colores.

CAMINO HAMILTONIANO

Sea un grafo con  V 3≥  sin vértices aislados (con grado cero; es decir, un vértice que no es punto final de

ninguna arista).

Un  camino hamiltoniano pasa una sola vez por cada vértice.

No es necesario que pase por todas las aristas, pues en muchos casos repetiría vértices y no sería caminohamiltoniano.

Si ese camino es cerrado se denomina Ciclo Hamiltoniano.

Si un grafo contiene un  Ciclo Hamiltoniano se conoce como Grafo Hamiltoniano.

Condiciones suficientes para caracterizar Grafos Hamiltonianos:

Teorema de Dirac:  Si para todo vértice  iv  de un grafo simple G (V, A, )= ϕ , con n 3≥  vértices se

verifica que  ig(v ) n 2  ≥ ⇒ G es un grafo hamiltoniano.

Teorema de Ore:  Sea un grafo simple G (V, A, )= ϕ , con n 3≥  vértices. Sí se verifica que

g(v) g(w) n   v,w V+ ≥ ∀ ∈  con  v w≠  y no adyacentes, entonces el grafo G posee un ciclo

hamiltoniano.

Corolario 1:  Un grafo simple G (V, A, )= ϕ , con n 2≥  vértices, si verifica:  in 1

g(v )2−

≥ → G tiene

un camino hamiltoniano.

Corolario 2:  Un grafo simple G (V, A, )= ϕ , con n 3≥  vértices tiene un ciclo hamiltoniano si

n 1A 2

2

−⎛ ⎞≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 23: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   21

En el grafo anterior, un posible ciclo hamiltoniano sería:

{ }C A , 1 ; C , 2 ; D , 3 ; E , 4 ; F , 5 ; B , 6 ; A=

Un camino hamiltoniano pasa una sola vez por cadavértice.

Encontrar un camino hamiltoniano en el grafo:

Un posible ciclo hamiltoniano es:

{}

1C A , 1 ; J, 2 ; I, 3 ; H , 4 ; G, 5 ; F , 6 ; E , 7 ;

D , 8 ; C , 9 ; B , 10 ; A                        

=

Un camino hamiltoniano pasa una sola vez por cada vértice.

Page 24: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   22

Dado el grafo G con matriz de adyacencia

        Analizar sí 

Es Conexo               

Es Euleriano           

Es un Multigrafo    

⎧⎪⎨⎪⎩

0 1 0 1 1

1 0 1 0 0

0 1 0 1 1M

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Considerando el conjunto de vértices  { }A , B , C , D , E , el grado de cada vértice se obtiene sumando los

elementos de cada fila.

0 1 0 1 1

1 0 1 0 0

0 1 0 1 1M

1 0 1 0 1

1 0 1 1

              A B C D E

A gr(A) 3

B gr(B) 2

C gr(C) 3

D gr(D) 3

E gr(E) 30

⎛ ⎞⎜ ⎟

→ =→ =→

⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜

==

→⎟⎝ ⎠

→=

Representando el Grafo asociado a la matriz de adyacencia se observa que es Conexo, es decir, todoslos vértices están conectados a través de un camino. No hay ningún vértice aislado de los demás.

No es un Grafo Euleriano porque tiene 4 vértices con grado impar, para que sea un Grafo Eulerianotienen que ser todos de grado par (a lo sumo dos vértices con grado impar).

Un Multigrafo o Pseudografo es un grafo que está facultado para tener aristas múltiples; es decir,aristas que relacionan los mismos nodos.Para que sea un Multigrafo debe haber en la matriz de adyacencia más de un número superior a 1,indicando con estos números que dos vértices se conectan con más de una arista.En consecuencia, no es Multigrafo.

Dada la matriz de adyacencia del grafo G,analizar si es un pseudografo.

1 1 1 0

1 1 0 1M

1 0 1 1

0 1 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11

22

33

44

Lazom 1 1 1 0

Lazo1 m 1 0 1

MLazo

1 0 m 1 1Lazo

0 1 1 m 1

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎝ ⎠

En los Pseudografos o Multigrafos se permiten Lazos oBucles, es decir, aristas cuyos extremos coinciden.

Se trata de un Pseudografo

Page 25: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   23

Analizar si el grafo adjunto es euleriano, bipartido y pseudografo.

El grafo es conexo (desde cualquier vértice se puede llegar a cualquier otro vértice a través de uncamino)  y todos los vértices tienen grado par, luego es un grafo euleriano.

Un grafo bipartido no tiene ciclos de longitud impar. El grafo tiene ciclos de longitud impar (3 y 5),luego no es bipartido.

De otra parte, un grafo es bipartido si sus vértices pueden colorearse utilizandodos colores de forma que no exista ninguna arista que conecte dos vértices  delmismo color.

Se observa que no es bipartido.

Un multigrafo o pseudografo es un grafo que contiene aristas paralelas, aristas con los mismos nodoso vértices iniciales y finales. En esta línea, no es un pseudografo porque no tiene vértices con aristasorigen y extremo final.

Analizar si el grafo es:  Euleriano 

Hamiltoniano

Bipartido

⎧⎪⎨⎪⎩

No es un grafo Euleriano porque hay seis vértices que tienen grado 3, cuando en un grafo Euleriano sepermite a lo sumo dos vértices de grado impar.

Un grafo que contiene un ciclo Hamiltoniano se denomina grafo Hamiltoniano.

El subgrafo de la figura contiene un ciclo Hamiltoniano (cerrado y pasa una vez porcada vértice)

Un grafo es bipartito (o bipartido) no tiene ciclos de longitud impar.  En consecuencia, no es bipartidoporque el ciclo asociado a la figura es de longitud impar.

Por otro lado, un grafo es bipartido si sus vértices pueden colorearse utilizandodos colores de forma que no exista ninguna arista que conecte dos vértices  delmismo color.

Por tanto, no es bipartido.

Page 26: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   24

Determinar qué grafos son bipartidos:

Un grafo es bipartido si sus vértices pueden colorearse utilizando dos colores de forma que no existaninguna arista que conecte dos vértices  del mismo color.

Es bipartido, la partición de  { }V A , B , C , D , E=  tal que  { }1V B, D , C=  y

{ }2V A , E= , siendo  1 2V V V= ∪  y   1 2V V∩ = φ

Es bipartido, la partición de  { }V A , B , C , D , E , F=  es  { }1V B, D , E=  y

{ }2V A , C , F= , siendo  1 2V V V= ∪  y   1 2V V∩ = φ

Es bipartido, la partición de  { }V A , B , C , D , E , F=  es

{ }1V A , D , E, F=  y   { }2V C , B= , siendo  1 2V V V= ∪  y

1 2V V∩ = φ

Analizar si el grafo es:  Euleriano 

3 regular

Hamiltoniano

⎧⎪⎨⎪⎩

a)  No puede ser un grafo Euleriano porque todos los vértices son de grado 3 excepto el vértice D que esde grado 2.

Page 27: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas   25

b)  No puede ser un grafo 3‐regular porque todos los vértices tendrían que tener grado 3, siendo el vérticeD de grado 2.

c)  Es un grafo hamiltoniano porque el camino del subgrafo es unciclo hamiltoniano al ser un camino cerrado, que pasa por todoslos vértices una sola vez.

nSea el grafo completo k (n par, n 3) es: ≥Euleriano 

Hamiltoniano

Bipartido

⎧⎪⎨⎪⎩

Se analizan dos grafos completos para decidir por las opciones.

Los  grafos completos se indican por  nk  ,  grafos simples de n

vértices,  en donde cada vértice es adyacente a todos los demásvértices.

a)  Para que un grafo sea euleriano debe ser conexo y todos los vértices deben de tener grado par o a lasumo dos vértices con grado impar.

3k  es euleriano  y   4k  no es euleriano

En general  nk   para n par  y  n 2>  no es euleriano porque todos sus vértices tienen grado  (n 1)−  impar.

b)  Los dos grafos completos son hamiltonianos (pasa una sola vez por cada vértice), basta escoger losciclos:

{ }{ }

3 1 2 3 1

4 1 2 3 4 1

k : C v , 1 ; v , 2 ; v , 3 ; v                        

k : C v , 1 ; v , 2 ; v , 3 ; v , 4 ; v

==

c)  En general   nk  no es bipartido, porque tres vértices están conectados entre sí y forman un ciclo de

grado impar.

Page 28: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas

Page 29: REDES NO VALORADAS - Estadistica

Portal Estadística Aplicada ‐ Redes No Valoradas

Instrumentos Estadísticos AvanzadosFacultad Ciencias Económicas y EmpresarialesDepartamento de Economía AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fernández