redes

Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015

Investigacion Operativa II 1

31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 1

INVESTIGACIN

OPERATIVA II

MG. ROSMERI MAYTA H2015


REDESHoy en da podemos ver muchas cosas que nospueden parecer de lo mas cotidianas, como:

Carreteras Lneas telefnicas Lneas de televisin por cable El transporte colectivo metro Circuitos elctricos de nuestras casas,automviles, y tantas cosas mas; lo que nopensamos frecuentemente es que estos formanparte de algo que en matemticas se denominacomo grafos o redes


APLICACIONES

Se utiliza para modelar diversassituaciones tales como:

Sistemas de aeropuertos

Flujo de trfico

y responder a preguntas como: Qutiempo es ms corto?, Cmo es msbarato?, o Qu camino es ms corto?. .


RED DEL CAMINO MAS CORTO


APLICACIONES DE REDES

Realizar planificacin de actividades

Minimizar tiempo de ejecucin. Qutarea debo hacer primero?

Para representar circuitos elctricos, deaguas etc... , y preguntar, estn todas lascomponentes conectadas


RED ELECTRICO




DISEO DE UNA RED DE LNEAS DE TRANSMISIN DE

ENERGA ELCTRICA DE ALTO VOLTAJE.


DISEO DE REDES DE TRANSPORTE

PARA MINIMIZAR EL COSTO TOTAL


RED DE DISTRIBUCINLa empresa ABC S.A. Utiliza la red de

distribucin para hacer llegar sus deproductos a los diversos departamentos,mediante el uso de transportes, de unaflota de vehculos y transportes de cargapara hacerlos llegar desde las plantasindustriales hacia las oficinas de ventas,pasando antes por los almacenes ydistribuidoras.


DISEO DE UNA RED DE DISTRIBUCIN


DISEO DE UNA RED DE TUBERAS DE GAS NATURAL, CON EL OBJETIVO DE MINIMIZAR EL COSTO DE CONSTRUCCIN

En la siguiente figura se da el millaje de loseslabones factibles que conectan 9 pozos de gasnatural mar adentro con un punto de entrega cercade la orilla. Debido a que la ubicacin del pozo 1 esla ms cercana a la playa, est equipado consuficiente capacidad de bombeo y almacenamientopara bombear la produccin de los 8 pozosrestantes al punto de entrega. Determine la redmnima de ductos que vinculen los pozos con elpunto de entrega.


DETERMINE LA RED MNIMA DE DUCTOS QUE VINCULEN LOS POZOS CON EL PUNTO DE ENTREGA.




Otras aplicaciones

Diseo de redes de telecomunicacin (redes defibra ptica, de computadores, telefnicas, detelevisin por cable, etc.)

Determinacin de la ruta ms corta que unedos ciudades en una red de caminos existentes.

Diseo de una red de cableado en equipo elctrico (como sistemas de computo) para minimizar la longitud total del cable.


DEFINICIN._Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de lneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos ( o vrtices ).

La red se puede representar:a) Matemticamente.Si existe un: X = {Xi /i = 1,2,3,,n}A = {(Xi,Xj/ Xi ,Xj X}G = {X,A} Esto es una grfica o red


b) Grficamente.


c) Matricialmente.


DEFINICIONES Arcos dirigidos: Se dice que un arco es dirigido cuando

el arco tiene flujo en una direccin (como en una callede un sentido). La direccin se indica agregando unacabeza de flecha al final de la lnea que representa elarco.

Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodosque une, siempre se coloca primero al nodo de dondeviene y despus el nodo a donde va, esto es, un arcodirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como ABy no como BA. Otra Manera es AB.

Representacin de un Arco Dirigido

A B


Arcos no dirigidos: Si el flujo a travs de un arco se permite en ambas direcciones (como una tubera que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones), se dice que es un arco no dirigido

. Representacin de un Arco No Dirigido

A B




Trayectoria dirigida: Una trayectoria dirigidadel nodo i al nodo j, es una sucesin de arcoscuya direccin (si la tienen) es hacia el nodo j,de manera que el flujo del nodo i al nodo j, atravs de esta trayectoria es factible.

Trayectoria no dirigida: Una trayectoria nodirigida del nodo i al nodo j es una sucesin dearcos cuya direccin (si la tienen) pueden serhacia o desde el nodo j. Con frecuencia algunatrayectoria no dirigida tendr algunos arcosdirigidos hacia el nodo j y otros desde l (esdecir, hacia el nodo i).


Los elementos que participan en una red ensus tres formas anteriores son ;


Ejemplo:


( X1, X2 ) es adyacente a ( X2, X4 )( X1, X3 ) es adyacente a ( X3, X4 )

ARCOS ADYACENTESDos arcos son adyacentes si tienen un vrtice en comn.


VRTICES ADYACENTESDos vrtices son adyacentes si son diferentes y existe al menos un arco que los une.

X1 es adyacente a X4X2 es adyacente a X3X4 no es adyacente a X5


ARCO INCIDENTE A L INTERIOR DE UN VRTICE.

Es aquel arco cuyo extremo terminal es ese vrtice.Nodo X3 ( Fig. anterior)( X2, X3) es un arco incidente( X3, X4) no es un arco incidente

ARCO INCIDENTE AL EXTERIOR DE UN VRTICE

Es aquel cuyo extremo inicial es el vrtice mismo.

Nodo X3 : ( X3, X4) es A. I. exteriormente.




SUBGRFICA O SUBREDUna subgrfica de G ={X,A} es un subconjunto

de ptos. de la red original, tal que Y c X y por arcos de A, que unen los vrtices de Y.

Y = {X1, X2, X3, X4}X = {X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7}


CAMINO.Es una sucesin de arcos entre dos vrtices tal

que el extremo final en uno es el extremo inicial del siguiente.

[ X1 , X3, X6, X7 ]LONGITUD DE UN CAMINO.Es el nmero de arco que contiene la

secuencia y se representa por l() .l() = 7

CIRCUITO.Es un camino donde XI = XF , es decir el nodo

inicial coincide con el final.


LAZO O ANILLO.Es un circuito que contiene un solo arco.


RED SIMTRICA.La red es simtrica G = { X, A } si para todo ( Xi , X j) existe un ( Xj , X i ).Entonces ( Xi , X j ) tambin es un elemento del conjunto A.


RED ANTISIMTRICA.G es antisimtrica para todo ( Xi , Xj ) porque existe ( Xi,Xj , ) A / ( Xj , Xi ) no pertenece a A.


GRFICAS NO ORIENTADAS.




ARISTA.Se define arista de una grfica G a un conjunto

de vrtices ( Xi , Xj ) tales que Xi Xj , (Xi , Xj ) A y/o ( Xj , Xi ) A; o sea es elsegmento que une dos vrtices adyacentes.

CADENA.Es una secuencia de aristas.CICLO.Es una cadena en la que Xi Xj , es decir,

coincide el vrtice inicial con el final.


MODELOS DE REDESLos problemas de optimizacin de redes sepueden representar en trminos generales atravs de uno de estos cuatro modelos:Modelo de la ruta ms corta.Modelo de minimizacin de redes(Problema del rbol de mnima expansin).Modelo del flujo mximo.Modelo del flujo del costo mnimo.


MODELO DE LA RUTA MS CORTAEl objetivo es encontrar la ruta ms corta (latrayectoria con la mnima distancia total) delorigen al destino.

Se dispone de un algoritmo bastante sencillopara este problema. La esencia delprocedimiento es que analiza toda la red a partirdel origen; identifica de manera sucesiva la rutams corta a cada uno de los nodos en ordenascendente de sus distancias (ms cortas),desde el origen; el problema queda resuelto enel momento de llegar al nodo destino


ALGORITMO DEL ETIQUETADO(CAMINO MAS CORTO)

Para determinar el camino mas corto enuna red acclica.

Procedimiento:1. Se asigna la etiqueta m1 = 0 ( pto.

inicial).2. Se asigna una etiqueta mj = min. ( mi

+ dij ) donde dij es la distancia entre i,j( i=1,2,,j-1 ).


3. Cuando se ha asignado al nodoterminal n, su etiqueta mn. Entoncesmn esLa longitud es la longitud del caminomas corto entre el nodo inicial yterminal.Para hallar el camino mas cortoempezamos en el nodo n yretrocedemos considerando los nodostales que:

mi + dij = mj ; j = n, n-1, n-2, , 1


PROBLEMA (CAMINO MAS CORTO)

Se tiene la siguiente red que representa la ubicacin de 8 ciudades, los arcos representan distancias. Calcular el camino mas corto para ir de la ciudad 1 a la ciudad 8.




1. m1 = 02. m2 = m1 + d12 = 0+4 = 43. m3 = m1 + d13 = 0+7 = 74. m4 = m1 + d14 = 0+5 = 55. m5 = min.{ m2 + d25 , m3 + d35 }

{ 4+6 , 7+9 } = 106. m6=min.{ m3 + d36 , m4 + d46 }

{ 7+3 , 5+8 } = 10


7. m7= min.{ m5 + d57 , m3 + d37 , m6 + d67 }

{ 10+4 , 7 +3 , 10+5 } = 10

8. m8 =min.{ m5 + d58 , m7 + d78 }{ 10+10 , 10+8 } = 18

Sol. : 1-3-7-8


PROBLEMAAcabo de comprar ( tiempo 0 ) un automvilde $ 12 000, el costo de mantenimiento anualdepende de la edad del automvil al inicio delao. Para evitar los altos costos demantenimiento de un automvil mas viejo,puedo dar como adelanto mi automvil ycomprar uno nuevo. El precio que reciba alcash como adelanto depende de esperar almomento de la transaccin (ver tabla 2).Para simplificar los clculos suponemos queen cualquier momento me cuesta $ 12000 comprar un automvil nuevo. Mi meta esminimizar el costo incurrido durante losprximos 5 aos.


Formule el problema como camino mas corto y calcular la solucin optima.


SOLUCION:Nro. de nodos ( 1,2,3,4,5,6 ) i




C16 = 2000 + 4000 + 5000 + 9000 + 12000 + 12000 0 = 44000

C24 = 12000C25 = 21000C26 = 31000C35 = 21000C46 = 12000C23 = 7000C34 = 7000C45 = 7000


C56 =7000La solucin optimaAplicando el algoritmo la solucin optima es

31,0001-3-4-6Esto quiere decir que el auto se adquiere al inicio

del ao 1, luego remplazar pasado dos aos(nodo 3),luego pasado 1 ao (nodo 4 )reemplazar que desde estar al servicio hasta elfinal del quinto ao.


PROBLEMAUna empresa est desarrollando un plan dereposicin de automviles para un horizontede planeacin de 4 aos que comienza el 1de enero del 2001 y termina el 31 dediciembre del 2004, al iniciar dicho ao setomo la decisin de que si un auto se debemantener en operacin o se debe sustituir.Un automvil debe estar en servicio durante1-3 aos, la tabla sgte. muestra el costo dereposicin en funcin del ao de adquisicindel vehculo y los aos que tienen enfuncionamiento. Determinar la poltica optimade la empresa.


Datos del problema


Construyendo la red


Aplicando el algoritmo

m1 = 0m2 = min ( m1 + d12 ) = 0 + 4000 = 4000m3 = min ( m2 + d23 , m1 + d13 ) = ( 4000 +

4300 , 0 + 5400 ) = 5400M4 = min ( m3 + d34 , m2 + d24 ) = ( 5400 +

4800 , 4000 + 6200 ) = 9800m5 = min ( m4 + d45 , m3 + d35 , m2 + d25 )

= ( 9800 + 4900 , 5400 + 7100 , 4000 + 8700 ) = 12500




1 3 5Esto quiere decir que un automvil debe ser

adquirido al inicio de ao 2001,luegoremplazar despus de dos aos, al iniciar elao 2003. El auto en reposicin debe estaral servicio hasta el final del 2004.

El costo total de reposicin es de 12,500


FORMULACIN DEL PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA EN PROGRAMACIN LINEAL

F.O. : Max. Z = YF - YIS. A : Yj YI CIJs.r.s. Yi , Yj

La cantidad de restricciones es igual a lacantidad de nodos, el problema del dualtendr tantas variables como cantidad denodos hay en la red.


Ejemplo.-En la siguiente red formule un P.L para el problema de la ruta mas corta. Teniendo como punto inicial el nodo 1 y el nodo 5 como nodo final


SOLUCIN.Max. Z = Y5 - Y1S.a : Y2 - Y1 100

Y3 - Y1 30Y3 - Y2 20Y4 - Y2 15Y4 - Y3 10Y5 - Y3 60Y5 - Y4 50


Realizar un programa en lingo para determinar la ruta mas corta.


PROBLEMA DE CAMINO MAS CORTO

El parque Seervada esta organizado de tal manera quese dispone de una entrada y una serie de caminos quepasan por 5 estaciones intermedias que conducen almirador, el cual representa la estacin terminal.

El administrador del parque debe resolver el problemade determinar la ruta mas corta desde la entrada almirador.

En la figura siguiente se identifican 7 estaciones delparque como nodos, con la entrada en el nodo (o) y elmirador como el nodo (t). La informacin disponible encada arco representa la distancia entre nodos medidosen millas




PROBLEMA

A

B

C

E

4

D

3

O T

2

5

4

2

7

1

4

4

6

5

5

7


Resultados con el Storm: LONGITUD MINIMA SHORTEST PATHS FROM NODE 1 Destination Distance Path NODE 2 2.0000 NODE 2 NODE 3 4.0000 NODE 2--NODE 3 NODE 4 4.0000 NODE 4 NODE 5 8.0000 NODE 2--NODE 3--NODE 5 NODE 6 8.0000 NODE 4--NODE 6 NODE 7 13.0000 NODE 2--NODE 3--NODE 5--NODE 7 RESULTADO: De los resultados con el Storm notamos que el camino mas corto

entre la entrada al mirador es de 13 millas y el camino por donde debe pasar es por O A_C D - T.


A

C

D

3

O T

2

2

45


Codificacin en lingo


RESULTADOSGlobal optimal solution found.Objective value:

13.00000Total solver iterations: 9


RBOL DE EXPANSIN MNIMA

El modelo de minimizacin de redes o problema del rbol de mnima expansin tiene que ver con la determinacin de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en al solucin del problema




RBOL DE EXPANSIN MNIMA

Un rbol es un grafico conexo y sin ciclos. Losrboles cumplen que dados cualquier par devrtices, existe un nico camino simple que losconecta.

Un rbol de expansin en un grafico es un rbolque contiene a todos los vrtices del grafo. Si setrata de un grafo pesado, se llama rbol deexpansin mnimo del grafo a aquel rbol deexpansin del mismo cuyo peso sea mnimo.

Se trata de encontrar un camino en el grafopesado que conecte a todos sus vrtices con elmenor peso posible.


ALGORITMO DEL ARBOL DE EXPANSIN MNIMA

PROCEDIMIENTO:1.-Empiece en cualquier nodo i de la red y

nala con el nodo j que es el mas prximo al nodo i, ahora los nodos i y j pertenecen a C, y el arco i-j formar parte del rbol de expansin mnima. Los nodos restantes pertenecen a un C.

2.-Escoja el nodo de C que est mas prximo a algn nodo conectado. Sea M el nodo de C mas prximo de N, entonces el arco MN formar parte del rbol de expansin mnima y el nodo N pertenecer a C.


3.-Repetir el paso 2 hasta encontrar el rbol de expansin mnima que une todos los nodos, cualquier empate se puede romper en forma arbitraria. Ejemplo.En la tabla se muestra la distancia entre lasciudades A, B, C, D, E. Es necesario construirun sistema de carreteras que conecte estasciudades. Suponga que por razones polticasno se puede construir carreteras entre A y B ytampoco entre C y E Cul es lo mnimorequerido?



A, B, C, D, EC = {} C = {A, B, C, D, E}C = {A} C = { B, C, D, E}C = {A, E} C = { B, C, D}C = {A, E, B} C = { C, D,}C = {A, E, B, D} C = { C}C = {A, E, B, D, C} C = {}La longitud mnima de carreteras para unir las

ciudades es de 409.


PROBLEMA Una determinada provincia del pas posee 5 distritos

(A,B,C,D,E) que an no cuenta con luz elctrica, el gobierno regional desea realizar un proyecto para electrificar dichos poblados, conectndolos con la hidroelctrica que se encuentra en la capital de la provincia P. Un estudio tcnico ha recomendado que los cables elctricos deban seguir las rutas de los caminos que unen dichos poblados.

En la siguiente tabla se da las longitudes en (km.) de los caminos que unen en forma directa a 2 poblados:




Se desea que la luz llegue al poblado de manera que la longitud total de cable sea mnima.



SOLUCIN C = {} C= {P, A, B, C, D, E} C = {P} C= {A, B, C, D, E} C = {P, A} C= {B, C, D, E} C = {P, A, D} C= {B, C, E} C = {P, A, D, E} C= {B, C} C = {P, A, D, E, B} C= {C} C = {P, A, D, E, B, C} C= {} La distancia mnima para la red hidroelctrica segn el Mtodo rbol

de expansin es 86 Km. Lo cual se puede establecer mediante la grfica el camino:

Segn el camino: (P-A), (A-D), (D-E), (A-B), (E-C) La suma de las distancias: 20 + 15 + 15 + 18 + 18 = 86 Distancia: 86 Km.



CORRIDO EN LINGO Y SOFTWARE 86 KM


ALGORITMO DE DIJKSTRA

Se utiliza para hallar el camino mas corto de en una red dirigidaProcedimiento

1) Para comenzar, poner al nodo 1, la etiqueta permanente igual a cero

2) A cada nodo i conectado al nodo 1, ponemos una etiqueta temporal igual a la longitud del arco que une al nodo y al nodo i.

El resto de nodos tendra una etiqueta temporal igual a infinito




3) Escoge el nodo con la etiqueta temporal mas pequea y convierta esta etiqueta en permanente.

4) Para cada nodo j que ahora tiene una etiqueta temporal y que esta conectado al nodo i con un arco, remplazamos la etiqueta temporal del nodo j por


Nueva etiqueta=min [etiq.temporal actual del nodo j, etiq. Permanente del nodo i + longitud del arco(i,j)]

5) Convertir la etiqueta mas pequea e una etiqueta permanente.

6) Continuar con este proceso hasta que todos los nodos tenga una etiqueta permanente.


ALGORITMO DE DIJKSTRA

PROBLEMA Juan Carlos quiere llegar lo ms rpido

posible a su trabajo para ello deberescoger la ruta que debe tomar elautobs para recorrer la menor distancia yllegar a tiempo a su trabajo. El diagramade las rutas es el siguiente. Las distanciasestn dadas en km.


Grfica


Solucin


Formulacin




Programacin en Lingo


Corrida en Lingo


PROBLEMA CAMINO MAS CORTOCuesta $70 comprar un telfono en una gran tiendasupngase que pueda tener un telfono durante a lo mascinco aos, y que el costo estimado de mantenimiento paracada ao de uso es el siguiente: ao1; $30 ao2; $40 ao3; $50 ao4 $70 ao 5 $80. Acabo de comprar un nuevotelfono1.- Formule el problema como un camino mas corto2.- Determine como minimizar el costo total de comprar yusar un telfono durante los prximos 5 aos suponiendoque un telfono se deprecia 10% cada ao del valor de lacompra.


Solucin:

C01 = 30+70-63 = 37 C02 = 30+40+70-56 = 84 C03 = 30+40+50+70-49 = 141 C04 = 30+40+50+70+70-42 = 218 C05 = 30+40+50+70+80+70-35 = 305


DIAGRAMA

11

51

21

31

4 61

37 37 37 37 37

305

218

141

84

14184

84

141

84

218


Corrida en storm




Programa en lingo


Corrida en lingo


PROBLEMA RBOL DE EXPANSIN MNIMA

La ciudad de Saltown consiste en cincosubdivisiones el alcalde Jhon Lin quiereconstruir lneas telefnicas para asegurar quelas subdivisiones se puedan comunicar entre s.Las distancias entre las subdivisiones se dan enla figura Cul es la longitud mnima de la lneatelefnica requerida?

Suponga que entre las subdivisiones 1 y 4 no sepuede construir ninguna lnea telefnica.


GRFICA


APLICANDO EL ALGORITMO

1) {1} {2,3,4,5}2) {1,3} {2,4,5}3) {1,3,5} {2,4}4) {1,3,5,4} {2}

LONGITUD: 15


CORRIDA CON EL SOFTWARE



31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 91 31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 92

Global optimal solution found at step: 42

Objective value: 15.00000

Branch count:

Resultados de programacin en Lingo


PROBLEMA

La figura da el millaje de los eslabones factiblesque conectan 9 pozos de gas natural maradentro con un punto de entrega cerca de laorilla . Debido a que la ubicacin del pozo 1 esla ms cercana a la playa, est equipado consuficiente capacidad de bombeo yalmacenamiento para bombear la produccin delos 8 pozos restantes al punto de entrega.Determine la red mnima de ductos quevinculen los pozos con el punto de entrega.


31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 95 31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 96

Solucin optima es 41




PROBLEMA

Un camin debe viajar de Nueva York alos ngeles. Como se ilustra en lafigura, existen varias rutas, el nmeroasociado con cada arco es el nmerode galones de combustible querequiere el camin para atravesar elarco. Hallar la ruta de Nueva York a losngeles que utilice la mnima cantidadde combustible.



Reordenando a travs de nmeros en vez de nombre de ciudades, la estructura seria la misma.


SOLUCIN CON LINGO:Codificacin del Programa en PL


Aplicando el Lingo se obtiene que la cantidad mnima de combustible requerida es de 2000 galones de gasolina


PROBLEMADISEO DE UNA RED TELEFONICA LOCAL.

Una zona de nueva urbanizacin planea el tendido de la lneatelefnica. El esquema de la siguiente figura muestra los puntos en losque es posible situar intercambiadores de lneas y los cables quepueden tenderse entre dichos puntos.El tendido de cada tramo de cable lleva asociado un coste proporcionala la distancia que separa los puntos entre los que se tiende. En lafigura se muestran los costes expresados en millones de soles. Lazona entera quedar comunicada en el momento en que dos puntoscualesquiera estn conectados.El objetivo que se persigue es realizar la intercomunicacin al menorcoste posible.




SOLUCIN21

4

3

8

7

6 9

10

1

10

5

13

14

8

7

96

7 10

7

6

5

18

12

3

20

8

5

4

9

RED TELEFONICA


21

4

3

8

7

6

9

10

1

105

7

6

6

5 3

5

4

7

L=10+7+6+3+5+4+6+7+5=53.


PROBLEMA En el transporte intermodal, los camiones remolque

cargados se mueven entre las terminales de ferrocarrilcolocado la caja en carros especiales (camas bajas).La figura muestra la ubicacin de las principalesterminales de ferrocarril de Estados Unidos, y las vasactuales de FC. El objetivo es decidir cuales vas sedeben revitalizar para manejar el trfico intermodal. Enespecial, se debe unir la terminal de Los ngeles (LA)en forma directa con la de Chicago (CH) para dar cabidaal intenso trfico esperado. Por otra parte, todas losterminales restantes se pueden enlazar, en formadirecta o indirecta, de tal modo que se minimice lalongitud total (en millas) de las vas seleccionadas.Determine los segmentos de vas de ferrocarriles que sedeben incluir en el programa de revitalizacin.



Solucin Los nodos sern denotados por nmeros de la siguiente manera: Para asegurar que las Ciudades de Los ngeles y Chicago denotados por los nodos

uno y dos respectivamente, queden necesariamente unidos como condicin delproblema, entonces se empezar incluyndolos en el conjunto C, quedando el restoen el conjunto C.

1) C= {1,2} ; C= {3, 4, 5, 6,7}; 1Iteracin: Min {1100, 2600, 1400, 2000, 1000, 900,800}=800 2) C= {1, 2,5}; C= {3, 4, 6,7} 2Iteracin: Min {1100, 2600, 1400, 200, 1000, 900,200}=200 3) C= {1, 2, 5,6}; C= {3, 4,7} 3Iteracin: Min {1100, 1400, 2000, 1000, 900,1300}=900 4) C= {1, 2, 5, 6,7}; C= {3,4} 4Iteracin: Min {1100, 2000, 1000,780}=780 5) C= {1, 2, 5, 6, 7,4}; C= {3} 5Iteracin: Min {1100, 1300,2000}=1100 4) C={1,2,5,6,7,4,3} ; C={0} El total de es 5780





Finalmente a la respuesta obtenida es necesario sumarle ladistancia de 2000 de Los ngeles a Chicago como condicin delproblema, llegando a la misma conclusin obtenida en lasolucin algebraica:3780+2000=5780.

FIN31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 110

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