Recurrencia

Programación II

27-28 de enero de 2009

Recurrencia

• Un concepto es recursivo si está definido a partir de su mismo

• Cada definición recursiva tiene un caso base y un caso recursivo

• Una función recursiva llama a su misma con otros valores de entrada

• Mayor dificultad: encontrar la definición recursiva

Ejemplo: Factorial

funcion Factorial(n:natural) devuelve natural

si (n=0) entonces

devuelve 1; caso base

sino

devuelve n*Factorial(n-1);

fsi

ffuncion caso recursivo

Ejecución

• ¿Qué pasa cuando ejecutamos una función recursiva?– relacionado con la ejecución de programas en

general– ayuda en la interpretación de funciones

recursivas

• Vamos a estudiar un modelo simplificado de la máquina

La pila

• La máquina mantiene una pila para controlar la ejecución

• Cada elemento en la pila es un registro de activación

• Cuando el código entra en un bloque, se añade un elemento

• Cuando sale, se remueve

Registro 4

Registro 3

Registro 2

Registro 1

Registro de activación

• Cada registro de activación contiene los siguientes componentes:– Parámetros– Variables locales/resultados intermedios– Resultado final

• Cada componente puede ser de valor o de referencia

Referencia

• Un parámetro, una variable o el resultado de una función puede ser de referencia – Ejemplo: puntero en C

• Una referencia no contiene el valor mismo

• En cambio, contiene la dirección a la ubicación en memoria donde halla el valor

int c=5;

int *d=&c;c 5

d

Ejemplo: Factorial

• Suponemos que queremos saber cuál es el resultado de Factorial(3)

• Usamos el modelo de la pila para analizar la llamada Factorial(3)

• Introducimos los registros de activación correspondientes

Ejemplo: Factorial

Factorial(3)

Ejemplo: Factorial

Factorial(3)

n 3

Factorial(n-1)

Resultado

Ejemplo: Factorial

Factorial(3)

n 3

Factorial(n-1)

Resultado

n 2

Factorial(n-1)

Resultado

Ejemplo: Factorial

n 1

Factorial(n-1)

Resultado

Factorial(3)

n 3

Factorial(n-1)

Resultado

n 2

Factorial(n-1)

Resultado

Ejemplo: Factorial

n 1

Factorial(n-1)

Resultado

n 2

Factorial(n-1)

Resultado

Factorial(3)

n 3

Factorial(n-1)

Resultado

n 0

Factorial(n-1)

Resultado

Ejemplo: Factorial

n 1

Factorial(n-1) 1

Resultado

n 2

Factorial(n-1)

Resultado

Factorial(3)

n 3

Factorial(n-1)

Resultado

n 0

Factorial(n-1)

Resultado

Ejemplo: Factorial

n 1

Factorial(n-1) 1

Resultado

Factorial(3)

n 3

Factorial(n-1)

Resultado

n 2

Factorial(n-1) 1

Resultado

Ejemplo: Factorial

Factorial(3)

n 3

Factorial(n-1) 2

Resultado

n 2

Factorial(n-1) 1

Resultado

Ejemplo: Factorial

Factorial(3) 6

n 3

Factorial(n-1) 2

Resultado

Ejemplo: Factorial

Factorial(3) 6

Ejercicio 1.5

• Escribir una función recursiva EsPrimo que devuelve si o no un número natural n es primo

• Usar la pila para interpretar el resultado de EsPrimo(5)

Ejercicio 1.5

funcion EsPrimo(n:natural) devuelve booleano

devuelve Primo(n,2);

ffuncion

Ejercicio 1.5

funcion Primo(n,k:natural) devuelve booleano

si (k >= n) entonces

devuelve cierto;

sino si (n mod k = 0) entonces

devuelve falso;

sino

devuelve Primo(n,k+1);

fsi

ffuncion

Ejercicio 1.5

EsPrimo(5)

Ejercicio 1.5

EsPrimo(5)

n 5

Primo(n,2)

Resultado

Ejercicio 1.5

EsPrimo(5)

n 5

Primo(n,2)

Resultado

n 5

k 2

Primo(n,k+1)

Resultado

Ejercicio 1.5

n 5

k 2

Primo(n,k+1)

Resultado

EsPrimo(5)

n 5

Primo(n,2)

Resultado

n 5

k 3

Primo(n,k+1)

Resultado

Ejercicio 1.5

n 5

k 3

Primo(n,k+1)

Resultado

n 5

k 2

Primo(n,k+1)

Resultado

EsPrimo(5)

n 5

Primo(n,2)

Resultado

n 5

k 4

Primo(n,k+1)

Resultado

Ejercicio 1.5

n 5

k 4

Primo(n,k+1)

Resultado

n 5

k 5

Primo(n,k+1)

Resultado

Ejercicio 1.5

n 5

k 4

Primo(n,k+1) cierto

Resultado

n 5

k 5

Primo(n,k+1)

Resultado

Ejercicio 1.5

n 5

k 3

Primo(n,k+1) cierto

Resultado

n 5

k 2

Primo(n,k+1)

Resultado

EsPrimo(5)

n 5

Primo(n,2)

Resultado

n 5

k 4

Primo(n,k+1) cierto

Resultado

Ejercicio 1.5

n 5

k 2

Primo(n,k+1) cierto

Resultado

EsPrimo(5)

n 5

Primo(n,2)

Resultado

n 5

k 3

Primo(n,k+1) cierto

Resultado

Ejercicio 1.5

EsPrimo(5)

n 5

Primo(n,2) cierto

Resultado

n 5

k 2

Primo(n,k+1) cierto

Resultado

Ejercicio 1.5

EsPrimo(5) cierto

n 5

Primo(n,2) cierto

Resultado

Ejercicio 1.5

EsPrimo(5) cierto

Ejercicio: Fibonacci

• La serie Fibonacci empieza por

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …

• Tiene una definición recursiva:

F(0) = 1

F(1) = 1

F(n) = F(n-2) + F(n-1), n > 1

Fibonacci

funcion F(n:natural) devuelve natural

si (n <= 1) entonces

devuelve 1;

sino

devuelve F(n-2)+F(n-1);

fsi

ffuncion

Ejercicio: Fibonacci

• Usar la pila para interpretar el resultado de F(4)

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

n 2

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

n 2

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

n 0

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

n 2

F(n-2) 1

F(n-1)

Resultado

n 0

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

n 2

F(n-2) 1

F(n-1)

Resultado

n 1

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

n 2

F(n-2) 1

F(n-1) 1

Resultado

n 1

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2) 2

F(n-1)

Resultado

n 2

F(n-2) 1

F(n-1) 1

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2) 2

F(n-1)

Resultado

n 3

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2) 2

F(n-1)

Resultado

n 3

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

n 1

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2) 2

F(n-1)

Resultado

n 3

F(n-2) 1

F(n-1)

Resultado

n 1

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2) 2

F(n-1)

Resultado

n 3

F(n-2) 1

F(n-1)

Resultado

n 2

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2) 2

F(n-1)

Resultado

n 3

F(n-2) 1

F(n-1)

Resultado

n 2

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

n 0

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2) 2

F(n-1)

Resultado

n 3

F(n-2) 1

F(n-1)

Resultado

n 2

F(n-2) 1

F(n-1)

Resultado

n 0

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2) 2

F(n-1)

Resultado

n 3

F(n-2) 1

F(n-1)

Resultado

n 2

F(n-2) 1

F(n-1)

Resultado

n 1

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2) 2

F(n-1)

Resultado

n 3

F(n-2) 1

F(n-1)

Resultado

n 2

F(n-2) 1

F(n-1) 1

Resultado

n 1

F(n-2)

F(n-1)

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2) 2

F(n-1)

Resultado

n 3

F(n-2) 1

F(n-1) 2

Resultado

n 2

F(n-2) 1

F(n-1) 1

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4)

n 4

F(n-2) 2

F(n-1) 3

Resultado

n 3

F(n-2) 1

F(n-1) 2

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4) 5

n 4

F(n-2) 2

F(n-1) 3

Resultado

Ejercicio: Fibonacci

F(4) 5

Tipos de recursividad

Recursividad Directa Indirecta

Simple

Múltiple

F(x)

F(x) G(x)F(x)

G(x)F(x)

Recursividad indirecta

• Determinar si un número natural n es par– caso base: n = 0 es un número par– caso recursivo: n es par si n – 1 es impar

• Determinar si un número natural n es impar– caso base: n = 0 no es un número impar– caso recursivo: n es impar si n – 1 es par

Par e impar

funcion Par(n:natural) devuelve booleanosi (n = 0) entonces

devuelve cierto;sino devuelve Impar(n – 1); fsi ffuncion

funcion Impar(n:natural) devuelve booleanosi (n = 0) entonces

devuelve falso;sino devuelve Par(n – 1); fsi ffuncion

Tipos de recursividad

Recursividad Directa Indirecta

Simple

Factorial(n)

Suma(V,i,n)

Primo(n,k)

Par(n) – Impar(n)

Múltiple

Fibonacci(n)

Transformación

• Todo algoritmo recursivo se puede transformar en un algoritmo iterativo (con bucles)

• Más difícil para recursividad múltiple y/o indirecto

• No obstante, para recursividad simple y directo hay una transformación general

Función recursiva

funcion Recursiva(x:tipo) devuelve tipo

si B(x) entonces

devuelve S;

sino

devuelve F(x, Recursiva(T(x)));

fsi

ffuncion

x: parámetros T(x): llamada recursiva

B(x): condición F(x,y): acción recursiva

S: acción caso base

Función equivalente iterativa

funcion Iterativa(x:tipo) devuelve tipo

resultado S;mientras no(B(x)) hacer

resultado F(x, resultado); x T(x);fmientras

devuelve resultado;

ffuncion

Ejemplo: Factorial

funcion Factorial(n:natural) devuelve natural

si (n = 0) entonces

devuelve 1;

sino

devuelve n*Factorial(n-1);

fsi

ffuncion

x: n T(x): n - 1

B(x): n = 0 F(x,y): n*y

S: 1

Función equivalente iterativa

funcion Factorial(n:natural) devuelve natural

resultado 1;mientras no(n = 0) hacer

resultado n*resultado; n n - 1;fmientras

devuelve resultado;

ffuncion

Ejemplo: Primo

funcion Primo(n,k:natural) devuelve booleanosi (k >= n) entonces

devuelve cierto; sino si (n mod k = 0) entonces devuelve falso; sino devuelve Primo(n,k+1); fsiffuncion

x: n, k T(x): n, k+1B(x): k >= n F(x,y): si (n mod k = 0) falsoS: cierto sino y

Función equivalente iterativa

funcion Primo(n,k:natural) devuelve booleanoresultado cierto;mientras no(k >= n) hacer

si (n mod k = 0) entonces resultado falso; sino resultado resultado; n n; k k + 1;fmientrasdevuelve resultado;

ffuncion