RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO

RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTOLa recta tangente a la curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a,(a)) y cuya pendiente es igual a (a).

RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTOLa ecuacin de la recta normal que pasa por el punto (a,(a)) a la recta es perpendicular a la recta tangente en dicho punto.Recordemos que: L1 L 2 m1.m 2= - 1 mT.mN= -1(a). mN= - 1mN=

Ejm 1:Encontrar la ecuacin de la recta tangente y la recta normal a una curva f(x) = en el punto de x = 1.1er paso: Encontrar la ordenada correspondiente: Y = f(1) = = 2P (1,2)2do paso: Calculamos la mT:mT= (x) (x) = 3 = (1) = 3() = 3 = mTLa E.R.T:y 2 = 3(x 1)y 2 = 3x 33x y 1 = 0La E.R.N:y 2 = - ( x 1 )3y -6 = -x + 1x+ 3y 7 = 0

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

Si es una funcin derivable en entonces:

Que es otra funcin la cual puede derivarse es decir:

A esta funcin la llamaremos la segunda derivada de y si a la funcin se vuelve a derivar, se obtiene otra funcin:

A esta funcin la llamaremos la tercera derivada de y as sucesivamente se tiene, que la derivada de la funcin es:

Y se denomina n-sima derivada de con respecto a .Propiedades de las derivadas de orden superior:

Si , existen en un intervalo, entonces:1.

2. (regla de Leibniz)3.

Si

si

si

Ejemplo: 1.

Hallar si Solucin

. . .

2. Hallar :

DERIVADA DE UNA FUNCIN IMPLCITASi x e y satisfacen la ecuacin E(x,y)=0, sta puede algunas veces resolverse para y, y obtenerse la derivada. No obstante, puede resultar ms sencillo derivar la ecuacin trmino a trmino y despejar de la ecuacin resultante la derivada.Ejemplo: Sea:

Derivando con respecto a x se tiene:

MTODO PRCTICO PARA HALLAR LA DERIVACIN IMPLCITASe aplica la siguiente frmula:

Donde:

es la derivada de con respecto a x y a la variable y se le considera como una constante, y es la derivada de con respecto a y y a la variable x se le considera constante.Ejemplo:

Hallar :Sea: