Mg. Samuel Oporto Díaz

Cinemática Directa

INTELIGENCIA ARTIFICIAL

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Mapa Conceptual del Curso

Inteligencia y Conocimiento

Patrones

Agentes

Coordinación y

Sincronización

Robótica de Manipuladores

Robótica Móvil

Procesamiento de Imágenes

Redes Neuronales

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Tabla de Contenido

1. REPRESENTACIÓN POSICIÓN Y ORIENTACIÓN

2. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

3. Parámetros Denavit-Hartenber

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ObjetivosAl final del curso el alumnos estará en capacidad de:• Describir y analizar movimientos rígidos.• Describir las ecuaciones cinemáticas de un manipulador y

operar con los resultados de las ecuaciones.• Resolver problemas de cinemática inversa

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REPRESENTACION DE POSICION Y ORIENTACION EN

EL ESPACIO

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Orientación de los ejes en 3-D

Regla de la mano derecha

Z+

Y+

X+

Z+

Y+

X+

X

Z

Y

ZY

X

Z

YX

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Ejercicio 1• Para los siguientes sistemas de referencia, indique la

orientación de los ejes (el lado positivo).

X

Y

Z

Y X

Z

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Sistema de Referencia• Es el sistema de coordenadas con respecto al cual se

realizan los cálculos.• Se hace uso del sistema de coordenadas cartesianas.

x

yz

xy

z

β

Pi

Pf

Px

x

X’

Xi

Y’

Yi

I x

{A}

{B}

{C}

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Movimiento del efector final• La manipulación de piezas mediante un robot implica

conocer la posición del efector final y la orientación que tiene, con respecto a la base del robot.

x

y

z

x

y

z

POSICION ORIENTACION

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POSICION• Una vez que se establece un sistema de coordenadas,

podemos localizar cualquier punto en el espacio con un vector de posición (3x1).

• Se indica con un superíndice el sistema de coordenadas al cual dicho vector es referido.

AP =

px

py

pz

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ORIENTACION• Para describir la orientación de un cuerpo respecto de un

sistema de coordenadas dado, se le asigna solidariamente a este, otro sistema de coordenadas.

• Luego se da la “descripción” de este sistema de coordenadas “relativa” al sistema de coordenadas de referencia.

• Existen varios métodos para representar la orientación:– Matriz de Rotación.– Ángulos de Euler (ZXZ y ZYZ)– Roll, pitch y yaw.– Vector -ángulo (o par de rotación).– Cuaternios.

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Giro en ángulo positivo

Eje +

θ +

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ORIENTACION

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TRANSFORMACION DE COORDENADAS

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ROTACION• Cómo expresar la rotación de coordenadas.• Se implementará la función R( eje, ángulo)

• La función indica la orientación del nuevo sistema de referencia con respecto al primero, cuando se rota cierto eje en cierto ángulo.

• La rotación positiva se considera tomando en consideración la regla de la mano derecha.

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Matrices de Rotación• Sean dos sistemas de coordenadas:• Uno OXYZ, con OX, OY y OZ como sus ejes de

coordenadas; otro OUVW, con OU, OV, OW

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• Donde Puvw

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• Recordando la definición de las componentes de un vector tenemos :

• Utilizando la definción de producto escalarm encontramos las componentes , , y , a lo largo de los OX, OY, OZ respectivamente o las proyecciones de P sobre los ejes respectivos:

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• O expresado en forma matricial

Matriz de Orientación

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• Utilizando esta forma de notación, la matriz R que estamos buscando es:

• Análogamente, se pueden obtener las coordenadas de con las coordenadas de

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• Si el sistema de coordenadas OUVW se gira un angulo respecto al eje OX, para kkegar a una nueva posición en el espacio, enteronces el punto , que tiene coordenadas

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• Matriz de rotación respecto a OX con ángulo

𝑅=( 𝑖𝑥 ∙ 𝑖𝑢 𝑖𝑥 ∙ 𝑗𝑣 𝑖𝑥 ∙𝑘𝑤

𝑗𝑦 ∙ 𝑖𝑢 𝑗 𝑦 ∙ 𝑗𝑣 𝑗𝑦 ∙𝑘𝑤𝑘𝑧 ∙𝑖𝑢 𝑘𝑧 ∙ 𝑗𝑣 𝑘𝑧 ∙𝑘𝑤

)𝑅𝑥 ,∝=(1 0 0

0 cos∝ −sin∝0 sin∝ cos∝ ) z

x

y

w

v

u

∝

∝

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𝑅𝑥 ,∝=(1 0 00 cos∝ −sin∝0 sin∝ cos∝ )

𝑅𝑦 ,∅=( cos∅ 0 sin∅0 1 0

−sin∅ 0 cos∅ )

𝑅𝑧 ,𝜃=(c os𝜃 −sin 𝜃 0sin 𝜃 cos𝜃 00 0 1)

ROTACIÓN EN EL EJE X

ROTACIÓN EN EL EJE Y

ROTACIÓN EN EL EJE Z

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Ejemplos con Matrices de rotación básicas• Dados dos puntos y con respecto al sistema de coordenadas girado

OUVW, determinar los puntos correspondientes a y , con respecto al sistema de referencia si ha sido rotado 60° con respecto al eje OZ

𝑏𝑥𝑦𝑧=(c os60 −sin 60 0sin 60 cos 60 00 0 1) (¿ )=( ¿ )= (¿ )

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• Para encontrar la posición de teniendo

• Para encontrar la posición de teniendo

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• Las matrices de rotación básicas, se pueden multiplicar entre si para representar una secuencia de rotación finita

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Matriz de rotación compuesta• Además de girar respecto de los ejes principales del

sistema de referencia OXYZ, el sistema de coordenadas giratorio OUVW puede también rotar respecto de su propio eje principal. En este caso la matriz de rotación se puede obtener de las siguientes reglas:

1. Inicialmente ambos sistemas de coordenadas son coincidentes, de aquí que la matriz de rotación es una matriz identidad I3 de 3x3

2. Si el sistema de coordenadas giratorio OUVW está girando respecto

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Ejemplo de matriz de rotación compuesta• Para desarrollar una matriz de rotación que representa una rotación del

ángulo respecto del eje OX, seguida por una rotación del ángulo respecto del eje OZ, seguida por una rotación del ángulo respecto del eje OY, la matriz de rotación resultante que representa estas rotaciones es:

• Para desarrollar una matriz de rotación que representa una rotación del ángulo respecto del eje OU, seguida por una rotación del ángulo respecto del eje OW, seguida por una rotación del ángulo respecto del eje OV, la matriz de rotación resultante que representa estas rotaciones es:

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Ejemplo

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Ejercicio…Matlab

Activida 1

Determine la matriz de rotación que represente:• Un giro de 35° alrededor del eje OZ• Un giro de 75° alrededor del eje OV• Un giro de 60° alrededor del eje OW

• Actividad 2

Determinar las coordenadas de los puntos y con respecto del sistema de coordenadas si el sistema OUVW ha hecho los siguientes giros:• Un giro de 45° alrededor del eje OX• Un giro de 60° alrededor del eje OV• Un giro de 30° alrededor del eje OW

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Coordenadas Homogéneas• Las matrices que indican la posición y orientación de un

espacio no es suficiente para describir un espacio.• Por lo que es necesario incluir algunos conceptos

adicionales.• La nueva matriz incluye la perspectiva y la escala.

• T = =R3x3 p3x1

f1x3 w1x1

Rotación Traslación

Perspectiva Escalado

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TRASLACION• Cómo expresar la traslación de sistemas de coordenadas:• Sea el espacio {B} que se desplaza P con respecto al

espacio {A}

XA

YA

ZA{A}

XB

YB

ZB{B}

P

AB T =

1 0 0 px

0 1 0 py

0 0 1 pz

0 0 0 1

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Ejemplo

Sea el espacio {A} y el vector AP = [2 3 4]T.

1. Indique la matriz de transformación para trasladar el espacio {A} en una distancia dada por el vector P.

Esta matriz permite trasladar cualquier punto en el espacio {B} hacia el espacio {A}.

𝑇𝐵𝐴 =(

1 0 0 20 1 0 30 0 1 40 0 0 1

)𝑇𝐵𝐴 =(

1 0 0 𝑝𝑥

0 1 0 𝑝𝑦

0 0 1 𝑝 𝑧

0 0 0 1)

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Ejemplo

2. Indique la ubicación, en el espacio {A} de los siguientes puntos dados en el espacio {B}.

[1 2 3]T, [3 4 5]T, [3 2 1]T

𝑇𝐵𝐴 =(

1 0 0 𝑝𝑥

0 1 0 𝑝𝑦

0 0 1 𝑝 𝑧

0 0 0 1)∗(

𝑝𝑢

𝑝𝑣

𝑝𝑤

1)

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Ejemplo 2• Matriz de transformación de

B hacia A.

3451

1 0 0 20 1 0 30 0 1 40 0 0 1

5791

=

1231

1 0 0 20 1 0 30 0 1 40 0 0 1

3571

=

3211

1 0 0 20 1 0 30 0 1 40 0 0 1

5551

=

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3. Indique la ubicación, en el espacio {B} de los siguientes puntos dados en el espacio {A}.

[1 2 2]T, [3 3 5]T, [3 2 2]T

𝑇𝐴𝐵 =(

1 0 0 −𝑝 𝑥

0 1 0 −𝑝 𝑦

0 0 1 −𝑝 𝑧

0 0 0 1)∗(

𝑝 𝑥

𝑝 𝑦

𝑝 𝑧

1)

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Ejemplo• Matriz de transformación de

A hacia B.

3451

1 0 0 -20 1 0 -30 0 1 -40 0 0 1

5791

=

1231

1 0 0 -20 1 0 -30 0 1 -40 0 0 1

3571

=

3211

1 0 0 -20 1 0 -30 0 1 -40 0 0 1

5551

=

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Matriz de rotación y traslación homogénea compuesta

• Las matrices de roatción y traslación homogéneas se pueden multiplicas juntas para obtener una matriz de transformación homogéneas compuestas(T). En este caso la matriz T, se puede obtener de las siguientes reglas:

1. Inicialmente ambos sistemas de coordenadas son coincidentes, de aquí que la matriz de transformación homogénea es una matriz I4 de 4x4.

2. Si el sistema de coordenada rotante OUVW está rotando/trasladándose respecto de uno de los ejes principales del sistema OXYZ, entonces pre multiplicar la matriz de rotación homogénea previa (resultante) por una matriz de traslación/rotación básica apropiada.

3. Si el sistema de coordenadas rotante OUVW esta rotado/trasladándose respecto de su propio eje principal, entonces pos multiplicar la matriz de rotación homogénea previa (resultante) por una matriz de rotación/traslación básica apropiada

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Ejemplo• Dos puntos y se trasladan a una distancia de unidades a lo

largo del eje OX y unidades a lo largo del eje OZ, utilizando la matriz de transformación homogénea apropiada, determinar los nuevos puntos correspondientes y

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Matriz de Rotación sobre un eje “r”

• Para calcular :

1. Despejar de:

2. Donde:

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Actividad 3• Se requiere determinar una matriz T que represente una

rotación de ángulo respecto al eje OX, seguida por una traslación de b unidades a lo largo del eje girado OV

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Actividad 4• Encontrar una matriz de transformación homogénea T que

represente una rotación de ángulo respecto del eje OX, seguida por una traslación de a unidades a lo largo del eje OX, Seguida por una traslación de d unidades a lo largo del eje OZ, seguida por una rotación de ángulo respecto del eje OZ

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Parámetros Denavit-Hartenber

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Procedimiento de colocación de Sistemas de Referencia a cada elemento

1. Identificar los enlaces y ejes de las articulaciones y trazar líneas imaginarias a lo lardo de ellos.

2. Buscar la normal común entre los dos ejes consecutivos.

3. El origen del SR estará en la intersección entre la normal y el eje.

4. Colocar el eje Z a lo largo del eje.

5. Colocar el eje X a lo largo de la normal común.

6. Colocar el eje Y de tal manera que complete el sistema.

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• Las transformaciones en cuestión son las siguientes:

1. Rotación alrededor del eje un ángulo Para a alinear el eje con el

2. Traslación a lo largo de una distancia ; vector Para coincidir los ejes y

3. Traslación a lo a largo a una distancia ; vector Para coincidir los orígenes

4. Rotación alrededor del eje , un ángulo

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• De este modo, basta con identificar los parámetros (“”), para obtener matrices T y relacionar así todos y cada uno de los eslabones del robot.

• Como se ha indicado, para que la matriz relacione los sistemas ( ) y (), es necesario que los sistemas se hayan escogido de acuerdo a unas determinadas normas.

• Estas, junto con la definición de los 4 parámetros de Denavit-Hartenberg, conforman el algoritmo para la resolución del problema cinemático directo

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• 4 parámetros:,– 2 relativos a la forma y tamaño del eslabón: – 2 describen posición relativa del eslabón respecto su predecesor:

• Los parámetros de forma y tamaño pueden determinarse en tiempo de diseño

• Los parámetros de posición relativa varían, – variable si la rotación es articular ( es constante)– variable si al rotación es prismática (es constante)

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• Desplazamiento del enlace (d).. Distancia medida a lo largo del eje de la articulación i desde el punto donde ai-1 intersecta el eje hasta el punto donde ai intersecta el eje.– di es variable si la articulación es prismática– di posee signo

• Ángulo de la articulación (). Ángulo entre las prependiculares comunes ai-1 y ai medido sobre el eje del enlace i.– es variable si la articulación es de rotación– () posee signo definido por la regla de la mano derecha

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• Los parámetros de DHd tiene el siguiente significado:

• El parámetro es la distancia de separación´´on desde la intersección del eje , con el eje , hasta el origen del sistema i-ésimo medida a lo largo del eje .

• El parámetro es el ángulo entre al eje respecto del eje • El parámetro es la distancia desde el origen del sistema i-

1 hasta la intersección del eje con el eje medida a lo largo de

• El parámetro es el ángulo al eje referido a • a es la única magnitud positiva, las demás tienen signo

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Ejes de Rotación

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Ejes x, y, z. PrincipalesEl origen, está donde se interceptan los dos primero ejes de rotación

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Eje Z. Sobre el eje de rotación correspondiente

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Eje X. Sobre la normal que se forma entre

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Eje Y. La normal entre y , siguiendo la regla de la mano derecha

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𝒚𝟏

𝒙𝟑

𝒛𝟑

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𝒚𝟏

𝒙𝟑

𝒛𝟑

Art. I 1 2 3 4 5 6

90° 0° 90° 0° 0° 0°

El parámetro es el ángulo al eje referido a

𝒁 𝟎

𝑿𝟎 𝑿𝟏

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𝒚𝟏

𝒙𝟑

𝒛𝟑

Art. I 1 2 3 4 5 6

-90° 0° 90° -90° 90° 0°

El parámetro es el ángulo entre al eje respecto

del eje

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𝒚𝟏

𝒙𝟑

𝒛𝟑

Art. I 1 2 3 4 5 6

0 431.8 -20.32 0 0 0

0 0 0 0

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62/44

𝒚𝟏

𝒙𝟑

𝒛𝟑

Art. I 1 2 3 4 5 6

90° 0° 90° 0° 0° 0°

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Matriz del Brazo

0𝑇 6=0𝑇 1 ∙1𝑇 2 ∙2𝑇 3 ∙3𝑇 4 ∙4𝑇 5 ∙5𝑇 6

0𝑇 6=[ 𝑋 6 𝑌 6 𝑍 6 𝑃6

0 0 0 1 ]=[0𝑅6 0𝑃60 1 ]=[𝑛 𝑠 𝑎 𝑝

0 0 0 1 ]=¿

Vector normal de la mano

Vector de desplazamiento de la mano

Vector de aproximación de la mano

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Conceptos de robótica• Cadena cinemática abierta formada por eslabones y

articulaciones:– Rotación– Prismáticas

• Estudio cinemático

• Estudio dinámico

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Conceptos de geometría espacial• Consideraremos como sistemas de referencia los formados

por tres ejes rectilíneos (X,Y,Z):

– Ortogonales (perpendiculares 2 a 2)– Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de

cada eje son iguales)– Dextrógiros (el tercer eje es producto a vectorial de los

otros 2)

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Conceptos de geometría espacial• Las coordenadas de un punto P(x,y,z), son las

proyecciones de dicho punto perpendicular a cada eje.

• Utilización de las llamadas coordenadas generalizadas:

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Traslaciones y Rotaciones

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Matriz de Transformación T

• Matriz de dimensión 4X4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro.

• relaciona el sistema de referencia solidario al punto terminal con un sistema de referencia fijo (mundo).

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Cinemática directa

• Encontrar la forma explicita de la función que relaciona el espacio de articulaciones del robot (dimensiones de los eslabones y giros relativos) con el espacio cartesiano de posiciones/orientaciones.

(x, y, z, α, β, γ) = f (q1,q2,...,qn)

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Resolución cinemática directa

Sn = T . S0

• Sn es el origen del sistema de referencia del extremo del robot (pinza) en coordenadas generalizadas

• S0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot.

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Cinemática inversa

• Consiste en determinar la configuración que debe adoptar un robot para una posición y orientación del extremo conocidas.

• No existe solución única.

(q1,q2,...,qn) = f(x, y, z, α, β, γ)

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Obtención de la matriz T

• Sencillo para cadenas cinemáticas abiertas de cualquier número de grados de libertad, pero complejo para el caso de cadenas cinemáticas cerradas.

• Parámetros de D-H.

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Algoritmo

• Elegir un sistema de coordenadas fijo (X0, Y0, Z0) asociado a la base del robot

• Localizar el eje de cada articulación Z:• Si la articulación es

rotativa, el eje será el propio eje de giro.

• Si es prismática, el eje lleva a dirección de deslizamiento.

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Algoritmo• Situar los ejes X el la

línea normal común a Zi-1 y Zi.

• Si estos son paralelos, se elige la línea normal que corta ambos ejes

• El eje Yi debe completar el triedro dextrógiro

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Algoritmo• Parámetros de D-H:• αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano perpendicular

a Xi. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd).

• ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi, a lo largo de Xi. El signo lo define el sentido de Xi.

• θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi, sobre el plano perpendicular a Zi,. El signo lo determina la rmd.

• di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi, con el eje Xi. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento.

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Algoritmo• αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano perpendicular

a X. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd).

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Algoritmo• ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi, a lo largo de Xi. El signo

lo define el sentido de Xi.

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Algoritmo• θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi, sobre el plano

perpendicular a Zi,. El signo lo determina la rmd.

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Algoritmo• di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del

sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi, con el eje Xi. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento.

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Ejemplo

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Obtención de T• Matriz de transformación desde el sistema i-1 hasta el i.

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Resolución cinemática directa

• Resolución cinemática directa Sn = T . S0

• Sn es el origen del sistema de referencia de la pinza en coordenadas generalizadas

• S0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot.

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Puma 560

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Mg. Samuel Oporto Díaz

Cinemática Inversa

INTELIGENCIA ARTIFICIAL

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Estrategias de soluciones cerradas• Debeos intentar conseguir siempre, una solución cerrada,

es decir, una solución analítica matemática.

• Por ello, casi todos los manipuladores industriales de la actualidad, están diseñados con suficiente complicidad con para que pueda desarrollarse una solución de forma cerrada, ejemplos de una circunstancias que facilitan el análisis son:

Los tres primeros elementos de un brazo, están contenidos en un plano

En muchos robots los tres grados de libertad últimos, dedicados fundamentalmente a orientar el extremo del robot, corresponden a giros sobre ejes que se cortan en un punto

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Condiciones para que exista una solución cerrada• Se han hecho estudios que demuestran que todos los

sistemas con articulaciones angulares prismáticas que tengan un total de 6 grados de libertad en una sola cadena en serie, pueden resolverse. No obstante, esta solución es numérica. Solo en casoso especiales los robots con seis grados de libertat pueden resolver analíticamente.

• Estos robots

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Métodos analíticos• Métodos geométricos:

– Se suele utilizar para obtener los valores de las primeras variables articulares, que son las que posicionan le robot(prescindiendo de la orientación de su extremo)

– Utiliza relaciones geométricas y trigonométricas sobre los elementos del robot

• Método de transformada inversa:– Despejar las n variables qi en función de las componentes de los

vectores n, o, a y p

• Desacoplo cinemático:– Para determinar robots con 6 grados de libertad– Resolución independiente de los grados de libertad que

posicionana y de los que orientan

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Métodos analíticos• Método de reducción polinómica:

– Consiste en transformar las ecuaciones trascendentales obtenidas por métodos algebraicos o geométricos para que adopten una forma polinómica, mas fáciles en principio de resolver.

–

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Espacio de Trabajo

• Espacio de trabajo diestro: es el volumen de trabajo que puede alcanzar el efector final, con todas las orientaciones.

• Espacio de trabajo alcanzable: es el volumen de espacio que puede alcanzar ele efector final en por lo menos una orientación

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