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Page 1: Portafolio algebra

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Page 2: Portafolio algebra

2

ÍNDICE

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES___________________________________7

Introducción _____________________________________________________________ 7

Conjunto de los números reales _____________________________________________ 7

Conjunto de los números naturales __________________________________________ 7

Conjunto de los números enteros ____________________________________________ 8

Conjunto de los números racionales __________________________________________ 8

Conjunto de los números reales _____________________________________________ 8

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES_________________________________9

LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL _______________________________ 10

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS __________________________ 12

Propiedad conmutativa. ___________________________________________________ 12

Propiedad Anti conmutativa _______________________________________________ 13

Ejemplos _____________________________________________________________ 14

Propiedad distributiva. ___________________________________________________ 14

Divisores del cero ________________________________________________________ 15

Elementos distinguidos ___________________________________________________ 15

Elemento neutro _________________________________________________________ 16

Elemento involutivo ______________________________________________________ 17

Elemento absorbente _____________________________________________________ 17

Operación inversa _______________________________________________________ 17

POTENCIACION Y RADICACION __________________________________________ 18

POTENCIACION _________________________________________________________ 18

Propiedades de la potenciación _____________________________________________ 19

Potencia de potencia _____________________________________________________ 19

Multiplicación de potencias de igual base ____________________________________ 19

División de potencias de igual base _________________________________________ 19

Propiedad distributiva ____________________________________________________ 19

Propiedad conmutativa ___________________________________________________ 19

Potencia de exponente 0 __________________________________________________ 20

Potencia de exponente 1 __________________________________________________ 20

Page 3: Portafolio algebra

3

Potencia de base 10 ______________________________________________________ 20

RADICACIÓN ____________________________________________________________ 20

OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y

DIVISIÓN. _______________________________________________________________ 23

SUMA: _________________________________________________________________ 24

RESTA: ________________________________________________________________ 25

MULTIPLICACIÓN: ____________________________________________________ 27

DIVISION: _____________________________________________________________ 33

División entre fracciones _________________________________________________ 31

División de polinomios entre monomios. _____________________________________ 34

División entre polinomios. ________________________________________________ 35

PRODUCTOS NOTABLES _________________________________________________ 36

Otros casos de productos notables (o especiales): ______________________________ 38

Cubo de una suma _______________________________________________________ 40

Cubo de una diferencia ___________________________________________________ 41

MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS ______________________________ 41

Aplicaciones del mcm _____________________________________________________ 46

1. Reducir fracciones a común denominador. _________________________________ 47

2. Resolver problemas de la vida práctica. ____________________________________ 49

Aplicaciones del mcd _____________________________________________________ 50

1. Simplificar una fracción hasta su irreducible. _______________________________ 50

2. Resolver problemas de la vida práctica. ____________________________________ 51

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN _____ 52

Descripción: ____________________________________________________________ 52

Ecuaciones de primer grado _________________________________________________ 52

Ecuaciones literales de primer grado __________________________________________ 52

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS) ___________________ 52

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita ________________________________ 53

Solución de ecuaciones cuadráticas _______________________________________ 53

Solución por completación de cuadrados _____________________________________ 53

Solución por la fórmula general ____________________________________________ 57

PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES _____________ 58

Page 4: Portafolio algebra

4

Inverso aditivo __________________________________________________________ 58

Propiedad del doble negativo ______________________________________________ 58

Operaciones con los números Reales ________________________________________ 59

1. Sumar números reales ________________________________________________ 59

Restar números reales __________________________________________________ 59

Multiplicar números reales ______________________________________________ 60

Propiedades de los números reales. _________________________________________ 60

APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES ______________________________ 61

Ecuaciones lineales de primer grado ________________________________________ 61

a) ecuaciones lineales propiamente tales _____________________________________ 62

b) ecuaciones fraccionarias ________________________________________________ 65

c) ecuaciones literales ____________________________________________________ 66

Sistemas de ecuaciones lineales _____________________________________________ 67

Sistema compatible indeterminado ______________________________________ 68

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas __________________________ 68

CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES __ 69

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales _________________________ 69

Método de reducción _____________________________________________________ 70

Ejemplo _______________________________________________________________ 71

Ejemplo _______________________________________________________________ 72

Método de sustitución ____________________________________________________ 73

Ejemplo _______________________________________________________________ 74

Método de Gauss ________________________________________________________ 75

Ejemplo _______________________________________________________________ 75

EXPRESIONES ALGEBRAICAS ____________________________________________ 76

10 Ejemplos de Términos Semejantes: _______________________________________ 76

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA ____________________ 76

MONOMIO. ____________________________________________________________ 76

BINOMIO ______________________________________________________________ 76

TRINOMIO. ____________________________________________________________ 77

POLINOMIO. ___________________________________________________________ 77

GRADO DE UN MONOMIOS _______________________________________________ 78

GRADO DE UN POLINOMIO ______________________________________________ 78

Page 5: Portafolio algebra

5

ORDENAR UN POLINOMIO _______________________________________________ 80

NOMENCLATURA ALGEBRAICA _________________________________________ 81

DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL ________________________________________ 81

Métodos para la factorización de polinomios _________________________________ 81

Binomios ______________________________________________________________ 81

Trinomios _____________________________________________________________ 82

Polinomios ____________________________________________________________ 82

Factorizar un monomio ___________________________________________________ 83

Factorizar un polinomio __________________________________________________ 83

Factor común. ___________________________________________________________ 84

Factor común de un polinomio______________________________________________ 85

Factor común por agrupación de términos ___________________________________ 85

Trinomio cuadrado perfecto _______________________________________________ 86

Raíz cuadrada de un monomio _____________________________________________ 86

Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto ______________________ 86

Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto ________________________ 87

Trinomios de la forma x2 + px + q __________________________________________ 88

Regla práctica para factorizar el trinomio ___________________________________ 88

Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1) ______________________________ 88

CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M __________________________________ 89

Mínimo Común Múltiplo (mcm) entre polinomios _______________________________ 89

Ejercicios _______________________________________________________________ 89

OPERACIONES CON FRACCIONES ________________________________________ 97

SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES ____________________________________ 97

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS _______________________ 97

DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS _______________________________ 98

ECUACIONES CUADRATICAS ____________________________________________ 98

Factorización: ___________________________________________________________ 99

Raíz cuadrada: _________________________________________________________ 99

Completando el cuadrado: _______________________________________________ 100

Fórmula cuadrática: ____________________________________________________ 102

Clasificación ___________________________________________________________ 103

Page 6: Portafolio algebra

6

Completa ______________________________________________________________ 104

Completa General _____________________________________________________ 106

Completa Particular ___________________________________________________ 106

Incompleta_____________________________________________________________ 107

Incompleta Binomial __________________________________________________ 107

Incompleta Pura ______________________________________________________ 108

Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas __________________________ 108

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS _____________________________ 109

Propiedades de la suma de números enteros _________________________________ 112

Multiplicación de números enteros_________________________________________ 113

Regla de los signos _____________________________________________________ 113

Propiedades de la multiplicación de números enteros __________________________ 113

Propiedades de la división de números enteros _______________________________ 114

Potencia de números enteros________________________________________________ 114

Propiedades: _________________________________________________________ 114

Potencias de exponente entero negativo _________________________________ 115

RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO __ 111

Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado _____________ 113

Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar ___________________________ 118

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS _____________________ 119

PROGRAMACIÓN LINEAL_______________________________________________121

Page 7: Portafolio algebra

7

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Introducción

El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el llamado

sistema de los números reales.

Números tales como 1, 3,√

, π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en

mediciones cuantitativas.

Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos

comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los números naturales o

enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de

definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales1.

En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales

(asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas), de

las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades.

En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto R de los números reales.

Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los números naturales y se efectúan

las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo más a la necesidad de resolver ciertas

ecuaciones en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la

solución, que a un desarrollo axiomático del mismo.

Conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre

ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:

Conjunto de los números naturales

El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z corrientemente se

presenta así:

N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.

La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.

Page 8: Portafolio algebra

8

Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas

numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.

Conjunto de los números enteros

El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta así:

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.

En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución

en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2.

Puede notarse que N ⊂ Z.

Conjunto de los números racionales

El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera

{

}

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación

ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.

Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.

Conjunto de los números reales

Se define como. ℜ= ∪

En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y

multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas también

axiomas de campo). (Peano, 1889)

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Al conjunto de los números reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo numérico a

partir de los números naturales. En cada una de las ampliaciones se avanza y mejora respecto

de la anterior.

Page 9: Portafolio algebra

9

Con los números naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar (a- b) si

a < b. Se definen así los números negativos o enteros negativos que al unirse con el cero y los

naturales constituyen el conjunto de los números enteros (Z). Con los números enteros (Z) se

puede sumar, restar, multiplicar pero no dividir si a no es múltiplo de b.

Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el conjunto de

los números racionales.

Todo número racional se puede expresar como un número decimal exacto

o como un número decimal periódico, es decir con infinitas cifras

decimales que se repiten

Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir ( si b ¹ 0). Si bien

el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para realizar las

diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de él (

, , p , entre otros). Surgen los números irracionales para dar respuesta a estas instancias.

Los números irracionales se pueden expresar como números decimales de infinitas cifras

decimales no periódicas.

Los números irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los números

reales (R).

Page 10: Portafolio algebra

10

Los números reales cumplen propiedades comprendidas en tres categorías: propiedades

algebraicas, propiedades de orden y de completitud. Las propiedades algebraicas establecen

que los números reales pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos (excepto por

cero) obteniéndose otro número real.

LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL

En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los

números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los números reales

llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre

el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real

le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un

único número real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario

sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para

medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y

se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un

punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:

Se asocia al origen el número 0,

Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades

del origen en la dirección positiva,

Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de distancia del

origen en la dirección negativa.

Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le

corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta

recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de los números reales.

También se la conoce como eje coordenado o eje real.

Page 11: Portafolio algebra

11

El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".

Ejemplo.

Orden

Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes:

dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea

igual a b.

Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al númeroa está a la

izquierda del punto que representa al número b.

Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha del

que representa a b.

Si a = b, los puntos se superponen.

La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al punto b si

el número real a es menor que el número real b (a < b). ([email protected])

Page 12: Portafolio algebra

12

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS

En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones

de A x A en A:

Son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o, más

abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades,

usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos sistemas matemáticos

Propiedad conmutativa.

Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna *:

se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es conmutativa

en A si:

Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de

operar b con a.

La adición en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales, reales y

complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b elementos de mismo

cualquier conjunto indicado

La multiplicación es asociativa en cualquiera de los conjuntos

La división en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b≠ b:a, salvo para 1 y -1.

El producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo.

El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB ≠ BxA.

Page 13: Portafolio algebra

13

Propiedad Anti conmutativa

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual

al opuesto de operar b con a.

Como ejemplo si en 3-E el espacio de vectores de tres componentes, decimos:

Se tiene con el producto vectorial :

Y

En general, para cualquier par de vectores a, b:

Para los enteros, se ve que la sustracción

Es anti conmutativa, pues si:

Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria en A:

Se dice que * es asociativa si, solo si:

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a

operar a con el resultado de operar b con c.

También se puede decir que la operación * no es asociativa si se cumple:

Page 14: Portafolio algebra

14

Existen a, b, c en A que cumplen que operando a con b y el resultado con c es distinto de

operar a con el resultado de operar b con c.

Ejemplos

La adición y la multiplicación con números pares son asociativas.

La sustracción en el conjunto Z de los enteros no es asociativa

La adición en el conjunto Z[i] es asociativa

el producto vectorial de vectores en el espacio R3 no es asociativo; esto es: (uxv)xw ≠

ux(vxw), donde u,v y w son vectores y x indica el producto vectorial.

Si en en el conjunto R de los reales definimos a*b = ab +a+b +1, * es asociativo en R. (α)

Propiedad distributiva.

Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas:

Que expresaremos se dice que la operación es distributiva por la derecha de si se cumple:

Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectores ux (v+ w) =uxv +

uxw

Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN + MQ.

Es importante el orden de factor en la definición de R-módulos a izquierda.

Del mismo modo se dice que la operación es distributiva por la izquierda de si se cumple:

Ejemplo el caso del producto de matrices que no es conmutativo. Se tiene (M+N)P= MP+ NP,

la simple yuxtaposición indica el producto de matrices.

La composición de funciones reales en un intervalo cerrado respecto de la suma de funciones:

(f +g)º=, donde f,g, h son funciones cualesquiera del caso señalado.

Una operación es distributiva sobre otra si es distributiva por la derecha y por la izquierda.

Page 15: Portafolio algebra

15

Los conjuntos numéricos gozan de la distributiva por ambos lados.

Al definir un anillo se indican las dos formas distributivas

a(b+c) = ab +ac, por la izquierda; y por la derecha, (b+ c)a = ba +ca. Pues, al semi grupo

multiplicativo no se exige la conmutatividad.

Ver si se cumple a*(b+ c) = a*b + a*c siendo * la operación definida en (α) y , + la suma usual

en R.

Sea A con la operación * si a*b =a*c implica que b=c, se dice que se ha simplificado a por la

izquierda. Y si de b*a =c*a de deduce b=a se dice que se ha simplificado por la derecha. Si se

puede simplificar por ambos lados se haba de simplificación o cancelación.

En el caso de la suma de números (de cualquier naturaleza) a+ b= a + c , cancelando a, resulta

b=c

En el caso de los grupos es importante el orden. No todo grupo es conmutativo, para el caso,

los grupos simétricos.

Divisores del cero

.

Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se dice que a y

b son divisores del 0.

Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0.

En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos módulo 6 con la multiplicación * de restos,

resulta 2*3=0.

Sean las funciones reales: f / f(x) =0 si x≥0 y f(x)=1 en otro caso, g(x)= 1 si x≥0 y g(x) =0 en

otro caso; tanto f y g no son nulas pero sí su producto θ(x) = 0 para todo x real.

Sea el conjunto Z[4] = {0,1,2,3} de los restos módulo 4; con la adición tenemos que en este

caso 2+2 = 0. De modo que no siempre "dos más dos dan cuatro".

Elementos distinguidos

Page 16: Portafolio algebra

16

Elemento neutro

Si se tiene el conjunto A, no vacío, provisto de una operación binaria *, que indicaremos:

(A,*),

Diremos que el elemento es el elemento neutro por la derecha si:

Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda e', tal que e'*a = a, e = e'; hecho

que se conoce como unicidad del elemento neutro. Ejemplo:

En los sistemas aditivos Z, Q, R de los enteros, racionales y reales el 0 cero es el elemento

neutro aditivo. Esto es a+0= 0+ a =a.

En los mismos sistemas, pero con la multiplicación, el 1 uno es el elemento neutro

multiplicativo. a.1 = 1.a = a.

En el conjunto de los racionales con la operación a*b = a+b +ab , el elemento neutro es 0.

En el conjunto de las matrices cuadradas con la multiplicación, el elemento neutro es la matriz

que tiene unos en la diagonal principal y los demás elementos son cero.

En la composición de funciones de variable real, el elemento neutro es la función I(x) = x para

todo x.

Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria:

Diremos que a' es simétrico de a si:

Donde es el elemento neutro.

El 2 es el simétrico de -2 en Z con la adición; 1/2 es el simétrico de 2 en Q* con la

multiplicación. En el casos de los sistemas algebraicos aditivos, el simétrico se

llama opuesto o inverso aditivo, en el caso de los multiplicativos se llama: inverso

multiplicativo.

Page 17: Portafolio algebra

17

Elemento involutivo

Se llama así al elemento d de A, con la operación binaria *, tal que d*d= d.

el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicación en el conjunto Z de los

enteros.

Elemento absorbente

Se denomina así al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la

operación *.

0 es elemento absorbente se un sistema numérico multiplicativo.

El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en el conjunto de

partes de U.

Operación inversa

Sea A un conjunto con una operación binaria *:

Por lo que cabe la ecuación:

Pero si se da el caso de que:

Donde se trata de conocer el elemento y, se recurre a operación inversa. Si A admite

elementos simétricos, se define: (S.R)

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

POTENCIACIÓN

ROF. José Luis Gallardo

Page 18: Portafolio algebra

18

La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él mismo. Es

muy práctica, elegante, útil y fácil.

Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el exponente es la

cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.

Así por ejemplo:

Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y obtenemos

125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.

Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces es una

potenciación.

Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X 8.

Si se escribe en forma exponencial se anota, 85.

En este caso, al número ocho se lo llama base (número que se va a multiplicar por

sí mismo) y al cinco se le denomina exponente (número de veces que se va a multiplicar al

ocho por sí mismo).

De acuerdo con lo anterior, se puede decir que:

85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768

Elevar a una potencia el número 10

Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10.

Por ejemplo lo elevamos a la cuarta:

104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000

Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros.

Así se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones (100.000.000)...

Page 19: Portafolio algebra

19

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son las siguientes:

Potencia de potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la

multiplicación de los primeros exponentes.

Multiplicación de potencias de igual base

La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y

exponente igual a la suma de los mismos exponentes.

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual

a la resta de los exponentes respectivos.

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es

con respecto a la suma ni a la resta.

En particular:

(a + b)m = am + bm

(a &#8722; b)m = am &#8722; bm

Se cumple en los siguientes casos:

Si m=1.

Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.

Si a y b son iguales a 0 y m&#8800;0.

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en

que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.

En particular:

ab = ba

Si y sólo si a=b.

Page 20: Portafolio algebra

20

Potencia de exponente 0

Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.

a0 = 1 si se cumple que

Potencia de exponente 1

Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.

a1 = a

Potencia de base 10

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el

exponente.

101 = 10

Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un exponente

106 = 1000000

104 = 10000

RADICACIÓN

sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división es la operación

inversa de la multiplicación.

La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama “radicación”.

Observa que 82=64 entonces 64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64.

De la misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un número que

elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que:

Page 21: Portafolio algebra

21

Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al exponente dos),

pero estas no son las únicas que existen, como podrás ver en cursos posteriores.

Raíz cuadrada

1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el número en grupos de

dos cifras, empezando por la derecha

Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64

2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo más

próximo al número del primer grupo, empezando por la izquierda).

En nuestro ejemplo el primer número es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se

acerca más a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.

3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del número del primer grupo

En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del número del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1

4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo

En nuestro ejemplo nos quedaría 156

5- después multiplicamos por 2 el número que hemos calculado hasta el momento de la raíz.

En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4

6- A continuación tenemos que buscar un número que multiplicado por el número que resulta

de multiplicar por 10 el número anterior y sumarle el número que estamos buscando se

acerque lo más posible al número que tenemos como resto. Ese número será el siguiente

número de la raíz.

En nuestro ejemplo el número seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el número que se aproxima

más a 156 y la raíz seria 23...

7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el número obtenido del que

queríamos obtener realmente.

En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27

8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el número

del siguiente grupo

En nuestro ejemplo: 2701

Page 22: Portafolio algebra

22

9- A continuación repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46

10- después repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo el número seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el número que se aproxima

más a 2701 y la raíz seria 235...

11- después repetimos el paso 7

En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376

12- A continuación repetimos el paso 8

En nuestro ejemplo: 37664

13 A continuación repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470

14- A continuación repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo el número seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el número que se

aproxima más a 37664 y la raíz seria 2358

15- A continuación repetimos el paso 7

En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto es cero.

Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas

Este método se debe a Newton

Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor

utilizando la siguiente fórmula:

ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)

Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación 2,

entonces:

a1 = 2

a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250

a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236

Page 23: Portafolio algebra

23

OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y

DIVISIÓN.

SUMA:

Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo

grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado.

Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo

en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado,

para que en cada columna queden los términos de igual grado.

También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la

EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.

EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)

A = - 3x2 + 2x

4 - 8 - x

3 + 1/2 x

B = -5x4 - 10 + 3x + 7x

3

2x4 - x

3 - 3x

2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)

+

-5x4 + 7x

3 + 0x

2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)

______________________________

-3x4 + 6x

3 - 3x

2 + 7/2 x - 18

A + B = -3x4 + 6x

3 - 3x

2 + 7/2 x - 18

En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se

rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede en

columna el término a término con el otro polinomio.

EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)

A = -3x2 + 5x - 4 (grado 2)

B = 4x3 - 5x

2 + 2x + 1 (grado 3)

0x3 - 3x

2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)

+

4x3 - 5x

2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)

Page 24: Portafolio algebra

24

____________________

4x3 - 8x

2 + 7x - 3

A + B = 4x3 - 8x

2 + 7x – 3

La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los

términos con coeficiente cero.

EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)

A = 9 + 5x3 - 4x

2 + x

B = 4x2 - 3 - 2x

5x3 - 4x

2 + x + 9

+

0x3 + 4x

2 - 2x - 3

____________________

5x3 + 0x

2 - x + 6

A + B = 5x3 - x + 6

Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un

solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar

que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno,

ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante.

EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)

A = 4x3 + 5

B = -2x + x2

4x3 + 0x

2 + 0x + 5

+

0x3 + x

2 - 2x + 0

____________________

Page 25: Portafolio algebra

25

4x3 + x

2 - 2x + 5

A + B = 4x3 + x

2 - 2x + 5

Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que

tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma "parte literal"). Para sumar

estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en

columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es

mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal.

EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)

A = -3xy2 + 4 - 7x

2y

2 - 6x

2y - 5xy

B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x

3y

A + B = (-3xy2 + 4 - 7x

2y

2 - 6x

2y - 5xy) + (8xy - 2xy

2 + 10 + 4x

3y) =

-3xy2 + 4 - 7x

2y

2 - 6x

2y - 5xy + 8xy - 2xy

2 + 10 + 4x

3y =

-3xy2 - 6x

2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy

2 + 4x

3y - 7x

2y

2 =

-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy

2 + 4x

3y - 7x

2y

2

RESTA:

EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)

A = - 3x2 + 9x

4 - 8 - 4x

3 + 1/2 x

B = 5x4 - 10 + 3x + 7x

3

9x4 - 4x

3 - 3x

2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)

-

5x4 + 7x

3 + 0x

2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)

______________________________

La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:

Page 26: Portafolio algebra

26

9x4 - 4x

3 - 3x

2 + 1/2 x - 8

+

-5x4 - 7x

3 + 0x

2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)

______________________________

4x4 - 11x

3 - 3x

2 - 5/2 x + 2

A - B = 4x4 - 11x

3 - 3x

2 - 5/2 x + 2

Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se

resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el

"opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.

Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la

suma.

EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)

A = 5x - 4 - 3x2 (grado 2)

B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x

2 (grado 3)

0x3 - 3x

2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)

-

4x3 - 5x

2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)

____________________

0x3 - 3x

2 + 5x - 4

+

-4x3 + 5x

2 - 2x - 1 (el polinomio B con los signos cambiados)

____________________

-4x3 + 2x

2 + 3x - 5

A - B = -4x3 + 2x

2 + 3x - 5

Page 27: Portafolio algebra

27

Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros

términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los

polinomios, para que término a término con el otro polinomio.

MULTIPLICACIÓN:

¿Cómo se multiplican los polinomios?

Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se aplica la

Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender polinomios,

muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios.

Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:

(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo

que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada término de una expresión

con cada término de la otra:

(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =

Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...". "Juntar era

en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En este ejemplo sólo

tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro número no hay,

queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve también la suma de

polinomios: "juntar las x con las x, los números con los números..." es en realidad "sumar los

términos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios)

= x2 + 2x - 15

Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la

multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las ecuaciones,

pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener muchos términos. Por

ejemplo:

A = -9x3 + x + 4x5

B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x

(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) =

Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del otro.

Page 28: Portafolio algebra

28

EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)

A = -3x2 + 2x

4 - 8 - x

3 + 5x

B = -5x4

-3x2 + 2x

4 - 8 - x

3 + 5x

X -5x4

______________________________

15x6 - 10x

8 + 40x

4 + 5 x

7 - 25x

5

A x B = 15x6 - 10x

8 + 40x

4 + 5 x

7 - 25x

5

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la

letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicación de

potencias de igual base.

También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego

aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos

maneras.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)

A = 4x3 - 5x

2 + 2x + 1

B = 3x - 6

4x3 - 5x

2 + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo)

X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo)

____________________

-24x3 + 30x

2 - 12x - 6

+

Page 29: Portafolio algebra

29

12x4 - 15x

3 + 6x

2 + 3x

_________________________

12x4 - 39x

3 + 36x

2 - 9x - 6

A x B = 12x4 - 39x

3 + 36x

2 - 9x - 6

A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer polinomio. Si

ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también completos y ordenados, y

es más fácil en columna según su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los

resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de

números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino

que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una

columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de

igual grado queden en la misma columna.

explicación ejemplo 2

EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y

ordenándolos)

A = -9x2 + x + 5x

4

B = 3 - 2x2

5x4 + 0x

3 - 9x

2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)

X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)

______________________________

15x4 + 0x

3 - 27x

2 + 3x + 0

0x5 + 0x

4 + 0x

3 + 0x

2 + 0x

-10x6 + 0x

5 + 18x

4 - 2x

3 + 0x

2

________________________________________

-10x6 + 0x

5 + 33x

4 - 2x

3 - 27x

2 + 3x + 0

Page 30: Portafolio algebra

30

A x B = -10x6 + 33x

4 - 2x

3 - 27x

2 + 3x

Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es más fácil

ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en

orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar

todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recién aprende el tema, pero

luego cuando se tiene más práctica se preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el

EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicación sin completar los polinomios.

En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.

EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí

ordenándolos)

A = -9x2 + x + 5x

4

B = 3 - 2x2

5x4 - 9x

2 + x (polinomio A incompleto pero ordenado)

X -2x2 + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado)

_____________________

15x4 - 27x

2 + 3x

-10x6 + 18x

4 - 2x

3

____________________________

-10x6 + 33x

4 - 2x

3 - 27x

2 + 3x

A x B = -10x6 + 33x

4 - 2x

3 - 27x

2 + 3x

Page 31: Portafolio algebra

31

En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado de

multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que queden en

columna los términos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para hacer espacios,

etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en

dónde ubicar cada término. En ese caso es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3:

completar y ordenar a los dos polinomios para que todos los términos vayan saliendo en orden

y no haya qué pensar en dónde ponerlos.

EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)

A = -3x2y

3 + 4 - 7x

2y

2 - 6x

3y

3

B = 5x4y + 8x - 2x

3y - 10

A x B = (-3x2y

3 + 4 - 7x

2y

2 - 6x

3y

3).(5x

4y + 8x - 2x

3y - 10) =

-15x6y

4 - 24x

3y

3 + 6x

5y

4 + 30x

2y

3 + 20x

4y + 32x - 8x

3y - 40 - 35x

6y

3

- 56x3y

2 + 14x

5y

3 + 70x

2y

2 - 30x

7y

4 - 48x

4y

3 + 12x

6y

4 + 60x

3y

3 =

-15x6y

4 + 12x

6y

4 - 24x

3y

3 + 60x

3y

3 + 6x

5y

4 + 30x

2y

3 + 20x

4y + 32x

- 8x3y - 40 - 35x

6y

3 - 56x

3y

2 + 14x

5y

3 + 70x

2y

2 - 30x

7y

4 - 48x

4y

3

+ 12x6y

4 =

-3x6y

4 + 36x

3y

3 + 6x

5y

4 + 30x

2y

3 + 20x

4y + 32x - 8x

3y - 40 - 35x

6y

3 - 56x

3y

2 + 28x

5y

3 +

70x2y

2 - 30x

7y

4 - 48x

4y

3 + 12x

6y

4

Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos,

completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo renglón"

aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los términos, hay que sumar los

exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de igual base.

Luego, se "juntan" los términos semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este

ejemplo solamente hubo dos términos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los demás quedan

como están.

Page 32: Portafolio algebra

32

EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el

segundo)

A = -9x2 + x + 5x

4

B = 3 - 2x2

5x4 + 0x

3 - 9x

2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)

X -2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado)

______________________________

15x4 + 0x

3 - 27x

2 + 3x + 0

-10x6 + 0x

5 + 18x

4 - 2x

3 + 0x

2

________________________________________

-10x6 + 0x

5 + 33x

4 - 2x

3 - 27x

2 + 3x + 0

A x B = -10x6 + 33x

4 - 2x

3 - 27x

2 + 3x

Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del -27x2, y es

porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás salió ordenado por

grado.

EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar)

A = -9x2 + x + 5x

4

B = 3 - 2x2

Page 33: Portafolio algebra

33

9x2 + x + 5x

4 (polinomio A incompleto y desordenado)

X 3 - 2x2 (polinomio B incompleto y desordenado)

__________________________

- 10x6 + 18x

4 - 2x

3

+ 15x4 - 27x

2 + 3x

_________________________________________

- 10x6 + 33x

4 - 2x

3 - 27x

2 + 3x

A x B = - 10x6 + 33x

4 - 2x

3 - 27x

2 + 3x

Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos el espacio

que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos es -

10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más para los grados anteriores

(grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario

para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado

es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que

faltan. Así quedan más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los

resultados debajo en la columna correspondiente.

DIVISIÓN:

División entre fracciones

En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las

reglas de división de fracciones de la aritmética.

Se aplica ley de signos

Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el

dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el

divisor de la división (esto se llama división cruzada)

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

Page 34: Portafolio algebra

34

Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero

(nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

Ejemplos:

División de polinomios entre monomios.

Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio,

esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.

Pasos:

Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.

Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por

el monomio.

Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizó en el capítulo

anterior.

Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos:

Page 35: Portafolio algebra

35

División entre polinomios.

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir

son los siguientes.

Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden

ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los

términos que faltan.

El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el

primer miembro del divisor.

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este

producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo parcial

o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.

Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este

producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer

término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el término que

se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Ejemplos:

Page 36: Portafolio algebra

36

PRODUCTOS NOTABLES

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los

valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran

frecuentemente y que es preciso saber factora las a simple vista; es decir, sin necesidad de

hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy

utilizados en los ejercicios.

A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se

muestra la forma de factora las (mostrada como un producto notable).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

Page 37: Portafolio algebra

37

a2 + 2ab + b

2 = (a + b)

2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el

doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda

cantidad.

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma a2 + 2ab + b

2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora

la como (a + b)2

Nota:

Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 – 2ab + b

2 = (a – b)

2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad,

menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la

segunda cantidad.

Demostración:

Page 38: Portafolio algebra

38

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma a2 – 2ab + b

2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora

la como (a – b)2

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios

conjugados)

(a + b) (a – b) = a2 – b

2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera

cantidad, menos el cuadrado de la segunda

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora

la como a2 – b

2

Otros casos de productos notables (o especiales):

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Demostración:

Veamos un ejemplo explicativo:

Page 39: Portafolio algebra

39

Tenemos la expresión algebraica

x2 + 9 x + 14

Obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )

¿Cómo llegamos a la expresión?

a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2

b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x

c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Así, tenemos:

x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora

la como (x + a) (x + b)

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora

la como (x + a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

Page 40: Portafolio algebra

40

x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos como (x –

a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a)

(nx + b)

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx

y nx).

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma mnx2 + ab + (mb + na)x debemos identificarla de inmediato y saber que podemos

resolver como (mx + a) (nx + b).

Cubo de una suma

a3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3 = (a + b)

3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma a3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos resolverla como (a + b)3.

Page 41: Portafolio algebra

41

Cubo de una diferencia

a3 – 3a

2b + 3ab

2 – b

3 = (a – b)

3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma a3 – 3a

2b + 3ab

2 – b

3debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos resolverla como (a – b)3.

A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión

algebraica que lo representa:

Producto notable Expresión algebraica Nombre

(a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2 Binomio al cuadrado

(a + b)3 = a

3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3 Binomio al cubo

a2 - b

2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados

a3 - b

3 = (a - b) (a

2 + b

2 + ab) Diferencia de cubos

a3 + b

3 = (a + b) (a

2 + b

2 - ab) Suma de cubos

a4 - b

4 = (a + b) (a - b) (a

2 + b

2) Diferencia cuarta

(a + b + c)2 = a

2 + b

2 + c

2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado

Máximo Común Divisor De Polinomios

El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de

importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como sub

problemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen como cálculo

prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica, además de otros

cálculos en álgebra.

En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del algoritmo

de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrás, es fácil de

entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del álgebra computacional,

Page 42: Portafolio algebra

42

este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas se han desarrollado

algoritmos mejorados usando técnicas un poco más sofisticadas.

En esta primera parte vamos a entrar en la teoría básica y en los algoritmos (relativamente)

más sencillos, el algoritmo "resultante PRS'' (aquí lo llamaremos PRS resultante) y el

algoritmo heurístico (conocido como "GCDHEU''). Este último algoritmo es muy eficiente en

problemas de pocas variables y

Se usa también como complemento de otros algoritmos. De hecho, se estima que el 90% de

los cálculos de MCD's en MAPLE se hacen con este algoritmo [13].

No se puede decir con certeza que haya un "mejor'' algoritmo para el cálculo del MCD de dos

polinomios.

Los algoritmos más usados, para calcular MCD en son "EZ-GCD'' (Extended Zassenhaus

GCD), GCDHEU y "SPMOD'' (Sparse Modular Algorithm) [16]

GCDHEU es más veloz que EZGCD y SPMOD en algunos casos, especialmente para

polinomios con cuatro o menos variables. En general, SPMOD es más veloz que EZGCD y

GCDHEU en problemas donde los polinomios son "ralos'', es decir con muchos coeficientes

nulos y éstos, en la práctica, son la mayoría.

En la segunda parte, en el próximo número, nos dedicaremos a EZGCD y SPMOD. Estos

algoritmos requieren técnicas más sofisticadas basadas en inversión de homomorfismos vía el

teorema chino del resto, iteración lineal p-ádica de Newton y construcción de Hensel. Como

CGDHEU es un algoritmo modular, aprovechamos para iniciar con parte de la teoría necesaria

para los dos primeros algoritmos.

En este trabajo, primero vamos a presentar los preliminares algebraicos, el algoritmo de

Euclides, el algoritmo primitivo de Euclides, el algoritmo PRS Sub resultante y el algoritmo

heurístico, además del algoritmo extendido de Euclides. Las implementaciones requieren, por

simplicidad, construir un par de clases para manejo de polinomios con coeficientes racionales

grandes ("BigRational'') y para manejo de polinomios con coeficientes enteros grandes

Page 43: Portafolio algebra

43

("BigInteger'').(Escuela de Matemática - Centro de Recursos Virtuales (CRV). Instituto

Tecnológico de Costa Rica)

EJERCICIOS

Ejemplo a) Hallar el mcd de 4a^2+4ab y 2a^4-2a^2b^2

1°) Se resuelven las expresiones dadas:

–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Se aplicó Caso I de Factorización)

–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b) (Se aplicó Caso I y IV de

Factorización)

2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de 4a y 2a^2 son 2a

Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)

Por lo tanto, el mcd de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la Solución.

NOTA: Al resolver es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores o

Factorización, según el Caso que le corresponda.

___________________________________________________________

Ejemplo b) Hallar el mcd de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4

1°) Se resuelve las expresiones dadas:

–> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización

–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización.

–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización.

Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)

Por lo tanto, el mcd de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.

___________________________________________________________

Ejercicio 112.

Page 44: Portafolio algebra

44

1) Hallar el mcd de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab

Factora las expresiones dadas:

–> 2a^2 +2ab = 2a(a +b) Se aplicó el Caso I de Factorización.

–> 4a^2 -4ab = 2ª (2a -2b) Se aplicó el Caso I de Factorización.

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de 2a(a +b) y 4a(a -b) es = 2a

Por lo tanto el mcd de 2a^2 +2ab y 4a^2 -4ab es = 2a <– Solución.

_________________________________________________________

2) Hallar el mcd de 6x^3y -6x^2y, 9x^3y^2 +18x^2y^2

Factora las expresiones dadas:

–> 6x^3y -6x^2y = 3x^2y (2x -2)

–> 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de 3x^2y(2x -2) y 3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y

Por lo tanto el mcd de 6x^3y -6x^2y y 9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y <–

Solución.

_________________________________________________________

3) Hallar el mcd de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3

Factora las expresiones dadas:

–> 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)

–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de 4a^2b^2(3b) y 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2

Por lo tanto el mcd de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2 <– Solución.

__________________________________________________________

4) Hallar el mcd de ab +b y a^2 +a

Page 45: Portafolio algebra

45

Factora las expresiones dadas:

–> ab +b = b(a +1)

–> a^2 +a = a(a +1) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de b(a +1) y a(a +1) es = (a +1)

Por lo tanto el mcd de ab +b y a^2 +a es = a +1 <– Solución.

___________________________________________________________

5) Hallar el mcd de x^2 -x y x^3 -x^2

Factora las expresiones dadas:

–> x^2 -x = x(x -1)

–> x^3 -x^2 = x^2(x -1) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1)

Por lo tanto el mcd de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1) <– Solución.

___________________________________________________________

6) Hallar el mcd de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2

Factora las expresiones dadas:

–> 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)

–> 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplicó el Caso I

Factor común de (3)(5)(x)(x)(2a -x) y (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x

Por lo tanto el mcd de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 es = 5x <– Solución.

___________________________________________________________

7) Hallar el mcd de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4

Factora las expresiones dadas:

–> 18a^2x^3y^4 = 6a^2xy^4(3x^2)

–> 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 = 6a^2xy^4(x -3) Se aplicó el Caso I para ambas expresiones.

Factor común para 6a^2xy^4(3x^2) y 6a^2xy^4(x -3) es = 6a^2xy^4

Page 46: Portafolio algebra

46

Por lo tanto el mcd de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 es = 6a^2xy^4 <–

Solución.

___________________________________________________________

8) Hallar el mcd de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2

Factora las expresiones dadas:

–> 5a^2 -15a = 5a(a -3)

–> a^3 -3a^2 = a^2(a -3) Se aplicó el Caso I, para ambas expresiones.

Factor común de 5a(a -3) y a^2(a -3) es = a(a-3)

Por lo tanto el mcd de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2 es = a(a -3) <– Solución.

Aplicaciones del mcm

1. Reducir fracciones a común denominador.

Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones:

Factor izamos los denominadores:

12 = 22 x 3

9 = 32

18 = 2 x 32

Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. El mcm

(12, 9, 18) = 22 • 3

2 = 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo denominador.

2. Resolver problemas de la vida práctica.

Ejemplo: Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el destello de

luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro faro aparece cada 12

segundos. ¿Habrá algún momento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Si

es así, ¿cada cuántos segundos coincidirán los dos?

Solución: Buscamos una cantidad de segundos que sea múltiplo de 8 y de 12 y que a la vez sea

el más cercano. Es decir, estamos buscando el mcm (8, 12).

Factora

8 y 12:

8 = 23

12 = 22 x 3

Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, y

calculamos el mínimo común múltiplo.

mcm (8, 12) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.

Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se verán al mismo tiempo cada 24

segundos.

Page 47: Portafolio algebra

47

Aplicaciones del mcd

1. Simplificar una fracción hasta su irreducible.

Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción:

Hallamos el MCD (360, 336).

Para ello factora el numerador y el denominador.

360 = 23 x 32 x 5

336 = 24 x 3 x 7

Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:

MCD (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.

Dividimos el numerador y el denominador entre 24

360 = 360: 24 = 15

336 336: 24 14

Y obtenemos la fracción equivalente irreducible:

2. Resolver problemas de la vida práctica.

Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas cuadradas. La

cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño tengo que comprar las

baldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y sean lo más grande posible?

¿Cuántas baldosas tengo que comprar?

Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180, y el más

grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de 270 y 180.

Factora 270 y 180:

270 = 2 x 33 x 5

180 = 22 x 33 x 5

Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:

MCD (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90.

Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina sin tener

que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:

270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.

180: 90 = 2. Dos baldosas de ancho.

Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.

Page 48: Portafolio algebra

48

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN

Descripción:

La función cuadrática es una función de los reales en los reales

cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax2 + bx + c (a≠0) y cuyo

dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas

utilizamos principalmente el método de factorización.

Ejemplos:

1) Resuelva x 3 2x − 1 9 .

Solución:

Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero

multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después

factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es

conveniente verificar la solución final en la ecuación original.

x 3 2x 1 9

2x2 x 6x 3 9

2x2 5x 3 9 0

2x2 5x 12 0

2x 3 x 4 0

2x 3

0

2x

3

x

3/2

Page 49: Portafolio algebra

49

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una

incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denominan

ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno.

Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un lado a otro

de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y

los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la igualdad de la expresión.

Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como

se ilustra en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación:

(x + 3)2 – (x - 1)

2 = 3x – (x – 4)

a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión

x2 + 6x + 9 – (x

2 – 2x + 1) = 3x – x + 4

x2 + 6x + 9 – x

2 + 2x – 1 = 3x – x + 4

b) Trasponemos los términos:

x2 + 6x – x

2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;

c) Reducimos términos semejantes:

6x = -4 ;

d) Dividimos por 6:

x = -4/6

e) Simplificamos por 2:

x = -2/3

Ecuaciones literales de primer grado

Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales además de

la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas letras del alfabeto y

como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se suponen valores constantes).

Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación

Page 50: Portafolio algebra

50

del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la

ecuación, factora por ella para poder despejarla.

Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)

Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y

trasponemos términos:

a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a

b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b

c) Cuando se factora al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b

d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):

(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)

Ejemplos de planteo de ecuaciones:

Ejemplo 1:

Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.

Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:

(x + 1)2 – x

2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:

x2 + 2x + 1 – x

2 = 9

2x + 1 = 9

x = 4;

Por lo tanto los números son 4 y 5.

Ejemplo 2:

Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman 97. ¿Qué

edad tiene el menor?

Page 51: Portafolio algebra

51

Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de

las edades es 97, obtenemos la ecuación:

x + 2x + 1 = 97

3x = 96

x = 32

Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es

65.

Respuesta: la edad del menor es 32.

Ejemplo:

1.-Resolución de la ecuación 2x - 3 = 2

1º paso: Se suma a los dos miembros 3.

2x -3 + 3 = 2 + 3

2x = 5

2º pasó. Se divide los dos miembros por 2.

2x /2 = 5/2

2.- Resolución de la ecuación 3x -2 = x + 5

1º paso: Restamos x a los dos miembros.

3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5

2º pasó. Sumamos 2 a los dos miembros.

2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7

3º pasó. Dividimos por 2, el coeficiente de la x

2x/2 = 7/2

SOLUCIÓN: x = 7 / 2

3.- Resolución de la ecuación 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5

Page 52: Portafolio algebra

52

1º paso: Se simplifica los dos miembros.

6x - 4 = 12 - 3x

2º paso: Sumamos 3x a los dos miembros.

6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12

3º paso. Sumamos 4 a los dos miembros.

9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16

4º paso: Dividimos por 9

SOLUCIÓN: x = 16 / 9

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente

se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.

Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la

incógnita, haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la

solución de la ecuación.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de

segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque

pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que

corresponda en cada caso particular.

Page 53: Portafolio algebra

53

Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0,

donde a, b, y c son números reales.

Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)

–6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas

mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

Solución por factorización

En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el

otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factora, tenemos que

convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya

que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual

a cero.

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Page 54: Portafolio algebra

54

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factora esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

Si

2x − 3 = 0

2x = 3

Si

x + 4 = 0

x = −4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x − 1) = 9

2x2 + 5x − 12 = 0

2x2 + 5x = 12

2x2 − 12 = − 5x

2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que Factorizar e igualar sus factores a cero y

luego resolver en términos de x:

Ahora, si

x = 0

o si

x− 4 = 0

x = 4

Page 55: Portafolio algebra

55

Solución de cuadrados

Se llama método de la de cuadrados porque se puede completar un cuadrado

geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones

algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)2 = n

En la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un

binomio.

Partiendo de una ecuación del tipo

x2 + bx + c = 0

Por ejemplo, la ecuación

x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x

2 + 8x − 48 = 0

Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado

de la suma de un binomio del tipo

(ax + b)2

Que es lo mismo que

(ax + b) (ax + b)

Que es lo mismo que

ax2 + 2axb + b

2

En nuestro ejemplo

x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese

número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el

cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b

2) el tercer término corresponde al cuadrado

del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así

tenemos

x2 + 8x + 16 = 48 + 16

x2 + 8x + 16 = 64

La cual, factor izando, podemos escribir como sigue:

(x + 4) (x + 4) = 64

Page 56: Portafolio algebra

56

Que es igual a

(x + 4)2 = 64

Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

Nos queda

x + 4 = 8

Entonces

x = 8 − 4

x = 4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se

logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.

Veamos otro ejemplo:

Partamos con la ecuación

x2 + 6x − 16 = 0

Hacemos

x2 + 6x = 16

Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una

expresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).

Para encontrar el término que falta hacemos

(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor

real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).

Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:

x2 + 6x = 16

x2 + 6x + 9 = 16 + 9

x2 + 6x + 9 = 25

Resuelve, y queda

(x +3) (x + 3) = 25

Page 57: Portafolio algebra

57

(x + 3)2 = 25

La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x +

3)2, y así la ecuación se resuelve con facilidad:

Extraemos raíz cuadrada

y queda

x + 3 = 5 y x + 3 = −5

( 52 = 5 y también (−5)

2 = 5

Entonces

x = 5 − 3

x = 2

Y

x = − 5 − 3

x = − 8

La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.

Solución por la fórmula general

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la

siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos

(−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a

identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier

ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene

que ver con las técnicas de factorización.

Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0

Page 58: Portafolio algebra

58

Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –

Así es que las soluciones son

PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES

Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir números

Reales.

Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en

direcciones opuestas se denominan:

Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.

3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3

El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.

La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).

Inverso aditivo

Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.

Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número debe ser

positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo.

Propiedad del doble negativo

Para cualquier número real a, -(-a) = a

Page 59: Portafolio algebra

59

Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9

Valor absoluto

El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el valor

absoluto de 0 es 0.

Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.

La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no negativo,

es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso aditivo (opuesto9

del número.

El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por ejemplo.

Operaciones con los números Reales

1. Sumar números reales

Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)

Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.

La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números

negativos será un número negativo.

Ejemplo.

-5 + (-9)

Solución:

Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.

Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo

negativo antes del valor.

Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo)

Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del

número con el valor absoluto más grande.

Page 60: Portafolio algebra

60

La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el

signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto.

Ejemplo.

3 + (-8)

Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto más

pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.

Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor que

el número 3, por lo que la suma es negativa.

3 + (-8) = -5

Restar números reales

Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la

regla siguiente.

a – b = a + (-b)

Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a

Ejemplo.

5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.

5 – 8 = 5 + (-8) = -3

Multiplicar números reales

Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,

multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,

multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Ejemplo

Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un

número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par

de números negativos.

Propiedad del cero en la multiplicación

Page 61: Portafolio algebra

61

Para cualquier número a,

Dividir números reales

Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus

valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus

valores absolutos. La respuesta es negativa.

Ejemplos.

Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la

fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.

Propiedades de los números reales.

Propiedades de los números reales.

APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES

Pasos para la solución de problemas:

1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras.

2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta.

Page 62: Portafolio algebra

62

3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x.

4. Expresar las demás cantidades en términos de x.

5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.

6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados.

7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible.

8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.

Ejemplos

El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. ¿Cuántos

estudiantes practican deporte?

Solución:

Como

, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2, es

decir: 240 · 0,2 = 48.

Ejemplo

Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.

En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres aprobaron. Si

en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron el examen?

Solución:

Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60

Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33

Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)

Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91

Page 63: Portafolio algebra

63

Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124

Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces

Ejemplos

La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el doble

que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada uno?

Solución

Laurita=x

Pedro=2x (dos veces más que Laura)

juanita=5x (cinco veces más que Laurita)

x+2x+5x=160

8x=160

x=160/8

x=20

con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a pedro 40 y

a juanita 100 millones..

Ejemplos

Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan

dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a cada tasa si el

ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la inversión total?

Solución:

Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a invertir al 6%.

Page 64: Portafolio algebra

64

Establecemos:

(Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total

Sustituimos los valores

(9%) P + (6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000)

Resolvemos para P:

.09P + .06 (18,000 − P) = .08*(18,000)

.09P + 1,080 − .06P = 1,440

.09P − .06P = 1,440 − 1,080

.15P = 360

P = (360) / (.15)

P = 2,400

Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 = $15,600 al

6%.

Ecuaciones lineales de primer grado

Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente

sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se

escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema

cartesiano.

Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

a) ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no

se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.

Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.

Page 65: Portafolio algebra

65

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192

4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182

b) Ecuaciones Fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones

algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo

común múltiplo de los denominadores (mcm)

Ejemplo:

mcm de 2, 4 y 3 = 12

Page 66: Portafolio algebra

66

c) Ecuaciones Literales

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el

paso de reducir términos semejantes se factora por "x" para despejarla.

Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.

Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto

es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.

Gráficamente, la situación es la siguiente

Page 67: Portafolio algebra

67

Sistema compatible indeterminado

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Se puede ver:

Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la

segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos

formas de expresar la misma ecuación.

Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:

Page 68: Portafolio algebra

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CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

a) 2 x + y = 6 2

x - y = 2

a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos

soluciones de la primera ecuación son:

x = 1, y = 4; x = 2, y = 2

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 1, y= 0; x = 2, y = 2

Las rectas se cortan en un punto que será la solución: x = 2, y = 2. Por tanto, el sistema

será compatible determinado. Vemos la representación más abajo

.x + y = 3 2

x + 2 y = 6

Page 69: Portafolio algebra

69

b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos

soluciones de la primera ecuación son:

x = 0, y = 3; x = 3, y = 0

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 1, y = 2; x = 2, y = 1

Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas soluciones). Por

tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la representación más abajo

b) x + y = 3

x + y = - 1

c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos

soluciones de la primera ecuación son:

x = 0,y = 3; x = 3,y = 0

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 0, y =-1; x = -2, y = 1

Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no tiene

solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la representación siguiente:

Page 70: Portafolio algebra

70

Graficas

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método de reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de

incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.

Page 71: Portafolio algebra

71

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la

ecuación por dicho número.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho

(izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman.

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar

ambas ecuaciones.

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .

Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Page 72: Portafolio algebra

72

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones

algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la

ecuación

No contendría dicha incógnita.

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una

ecuación con solo una incógnita, digamos .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras

ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

Es equivalente a este otro

Page 73: Portafolio algebra

73

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al

miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .

Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .

Método de sustitución

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener

la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.

Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

Ejemplo

Intentemos resolver

La primera ecuación se puede reescribir de la forma

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

Page 74: Portafolio algebra

74

Sustituyendo por en

Se tiene que

Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida

obtenemos una ecuación de una sola incógnita

Cuya solución es .

Método de Gauss

Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello

tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas

la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un

sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones,

como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque

al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en

todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.

Ejemplo

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

Page 75: Portafolio algebra

75

Es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.

Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones), obtenemos la siguiente

matriz triangular superior:

Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

Que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocupación para obtener :

En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la tercera

ecuación ( ), para obtener:

Page 76: Portafolio algebra

76

La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que resolvemos para

obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por 1 ( ). Esto nos da

una ecuación en :

Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o

más operaciones algebraicas.

TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos

no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el

coeficiente, la parte literal y el grado.

GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus factores

literales.

GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de

dicha letra.

CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal, el

término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene

radical, e irracional el que tiene radical.

TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto.

TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto.

TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte

literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.

10 Ejemplos de Términos Semejantes:

Page 77: Portafolio algebra

77

1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).

2. xy2 es un término semejante a -3y

2x ya que ambos tienen la misma literal (xy

2 = y

2x)

3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb

4. 4bx2 no es semejante a 4b

2x ya que el literal bx

2 no es igual al b

2x.

5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)

6. 4(jk)3 es semejante a 9j

3k

3 porque (jk)

3 = j

3k

3

7. 5ty es semejante a 3ty

8. 5kl4 es semejante a -2kl

4

9. 68lky5 es semejante a -96lky

5

10. 378ab3c

2 no es semejante a 378a

2b

3c

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA

MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.

TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.

Page 78: Portafolio algebra

78

POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.

GRADO DE UN MONOMIOS

Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El

monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.

El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto

a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.

GRADO DE UN POLINOMIO

Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:

9.5 ¿Cuál es el grado de: ?

9.6 ¿Cuál es el grado de: ?

ORDENAR UN POLINOMIO

Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en cuenta su

grado:

9.8 Ordena el polinomio:

Page 79: Portafolio algebra

79

Respuesta:

ORDENAR UN POLINOMIO RESPECTO A UNA LETRA

Si hay dos o más letras se deben indicar respecto a que letra se ordena.

Ejemplo:

9.9 Ordena respecto a ‘x’, el polinomio:

Respuesta:

9.10 Ordena con respecto a ‘z’:

Respuesta:

9.11 Escribe un trinomio ordenado de quinto grado (los números y letras los que prefieras)

Respuesta: (con respecto a ‘c’) :

9.12 ¿De qué grado son las expresiones:

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80

Respuestas:

1) Primer grado

2) Quinto grado

GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO. Es el grado de su término de mayor grado.

GRADO DE UN POLINOMIO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el mayor

exponente de dicha letra en el polinomio.

CLASES DE POLINOMIOS. Un polinomio es entero cuando ninguno de sus término tiene

denominador literal; fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en el

denominador; racional cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene radical;

homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto; heterogéneo cuando

sus términos no son del mismo grado.

POLINOMIO COMPLETO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el que contiene todos

los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga dicha letra en

el polinomio.

POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el

cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenada, van aumentando o

disminuyendo.

ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus términos de modo que los exponentes de una

letra escogida como letra ordenada queden en orden descendente o ascendente.

NOMENCLATURA ALGEBRAICA

1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no

denominador y a si tienen o no radical:

Page 81: Portafolio algebra

81

S o l u c i o n:

2. Dígase el grado absoluto de los términos siguientes:

solución:

3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales:

4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y heterogéneos

Solución:

Page 82: Portafolio algebra

82

5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres

negativos, fraccionarios e irracionales

Solución:

6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado, quinto

grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado

Solución:

7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x;

otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y; otro de cinco

factores literales que sea de décimo grado con relación a la b

Solución:

DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL

- Factores

Page 83: Portafolio algebra

83

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de

estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se

obtiene: a y b, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a

2 +

ab de tal manera que:

(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15

Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15

Métodos para la factorización de polinomios

Todo Polinomio se puede Factorizar utilizando números reales, si se consideran los números

complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

Binomios

Diferencia de Cuadrados

Suma o diferencia de Cubos

Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma x²+bx+c

Trinomio de la forma ax²+bx+c

Polinomios

Factor común

Factorizar un monomio

Se descompone el término en el producto de factores primos.

Ejemplo:

Factorizar un polinomio

No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores

distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo son

divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que sólo

son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras

Page 84: Portafolio algebra

84

expresiones algebraicas. Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1

porque sólo es divisible por a + b y por la unidad.

A continuación diferentes casos de descomposición factorial.

Caso I: Factor común

Factor común.

Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.

Ejemplos:

a) Descomponer en factores a2 + 2a

a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente de un

paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente

entre a2 y a y 2a ya

Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)

b) Factorizar 10b - 40ab2

Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se

escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común es b ya que se haya en

los dos términos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor común será 10b

Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)

c) Descomponer en factores:

10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)

Factor común de un polinomio

a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)

Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se escribe (a+b) como

coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben los cocientes de

dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).

Factora se obtiene:

Page 85: Portafolio algebra

85

x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)

x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by

Obteniendo:

x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by

Factor común por agrupación de términos

Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y luego se

extrae el factor común de cada uno.

Ejemplos

a) Factorizar ax + by +ay + by

Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor

común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos también en

un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es positivo se obtiene:

ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)

ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes

ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) Factora

Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el

mismo resultado.

Trinomio cuadrado perfecto

Una cantidad es trinomio cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.

Así, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.

En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a

2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a

2, 4a es la

raíz cuadrada de 16a2.

Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a

2, luego (-4a) es también raíz de 16a

2, por lo que la raiz

cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).

Page 86: Portafolio algebra

86

Raíz cuadrada de un monomio

Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su coeficiente

numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.

Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b

4 es 5ab

2

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el

producto de dos binomios iguales.

Así, a2 + 2ab + b

2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b

Por tanto:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a

2 + 2ab + b

2

Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer

término son cuadrados perfectos (o tienen la raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo

término equivale al doble del producto de éstas raíces cuadradas.

Ejemplo:

a) a2 - 4ab + 4b

2 es cuadrado perfecto porque:

Raíz cuadrada de a2 = a

Raíz cuadrada de 4b2 = 2b

Doble producto de estas raíces 2 x a x 2b = 4ab

Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto

Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas raíces

por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz cuadrada del

trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.

Page 87: Portafolio algebra

87

Ejemplo:

a) El trinomio a2 + 8ab + 16b

2 es cuadrado perfecto ya que:

Raíz cuadrada de a2 = a raíz cuadrada de 16b

2 = 4b

Doble producto de las raíces: 2 x a x 4b = 8ab

Trinomios de la forma x2 + px + q

En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un trinomio

de la forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q

Por tanto:

Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos factores: (x

+ a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma algebraica sea p y cuyo

producto sea q

Regla práctica para factora el trinomio

1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, es decir, la

raíz cuadrada del primer término del trinomio.

2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en

el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do

término del trinomio y el signo del tercer término del trinomio.

3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos números

cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el

valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de

los binomios.

4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos números

cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el

Page 88: Portafolio algebra

88

valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el primer

término del primer binomio, y el menor, es el segundo término del segundo binomio.

Ejemplos:

Descomponer en factores:

a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20

b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12

c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28

Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1)

Observemos que el producto:

(ax + b)(cx + d) = acx2 + adx + bcx + db

= acx2 + (ad + bc)x + db, es de la forma mx

2 + px + q (haciendo m = ac, p = ad + bc y q = bd).

Luego, siempre que sea posible hallar a, b, c, d, será posible Factorizar

¿Cómo determinar estos números?

a) Se selecciona una descomposición factorial de m y otra de q:

m = ac y q = bd

b) Se calculan los productos cruzados ad y bc, y se adicionan estos productos:

c) Si bc + ad = p, entonces los factores del trinomio dado son (ax+b) y (cx+d). En caso

contrario se ensaya con otra combinación de factores para m y para q

Ejemplos:

a) 2x2 +11x + 12 m = 2 = 2 x 1 q = 12 = 3 x 4

Page 89: Portafolio algebra

89

Luego 2x2 +11x + 12 = (2x + 3)(x + 4)

Si no se obtiene el coeficiente p, entonces se ensaya con otras factorizaciones.

Por ejemplo: 2 = 1 · 2, 12 = 6 · 2, 12 = 1 · 12, 12 = 4 · 3, 12 = 2 · 6

También puede que ambos factores sean negativos, pues el resultado es positivo:

2 = (-1) · (-2) , 12 = (-6) · (-2)

Mínimo Común Múltiplo (mcm) entre polinomios

Recordemos primero con un ejemplo cómo se calculaba el mínimo común múltiplo entre

números enteros:

Hallar el mínimo común múltiplo entre 120 y 36.

Primero había que "factora" o descomponer a los números. Así:

Luego, en el mcm había que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores" (los

números que aparecen en la columna derecha de la factorización), y había que ponerlos con el

mayor exponente con el que aparecen, ya sea en un número o en el otro.

Habría que aclarar que los factores tienen que ser todos números primos

mcm = 23.32.5

Page 90: Portafolio algebra

90

Porque:

Los factores que aparecieron en las descomposiciones son: 2, 3 y 5. Y hay que

ponerlos todos.

El 2: El exponente más alto con que aparece el 2 es 3. "Porque en el 120, el 2 está tres

veces en la columna de la derecha", en cambio en el 36 el 2 está menos veces (dos

veces). En el mcd entonces, al 2 hay que ponerlo elevado a la tercera: 23 (Aclaremos,

por la dudas, que el exponente que se le pone a un factor es igual a la cantidad de

veces que aparece en la descomposición de un número, en la columna de la derecha).

El 3: El exponente más alto con que aparece el 3 es 2. Porque en el 36, el 3 está dos

veces", en cambio en el 120 el 3 está una sola vez. Por eso en el mcm al 3 hay que

ponerlo elevado a la potencia segunda: 32.

El 5: El 5 aparece solamente en la descomposición del 120. Y aparece una sola vez, lo

que significa que su exponente es 1, aunque no se lo pone: 5 = 51. En el m.c.m hay

que poner el 5. Y el 5 hay que ponerlo así, sin exponente (o con el 1), porque

obviamente es el mayor exponente con que aparece (porque otro 5 no hay).

Más sobre el MCM entre números en: CALCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

(MCM)

Bueno, para hallar el mínimo común múltiplo entre polinomios, hay que hacer exactamente lo

mismo. Con la diferencia de que los que se "factora" ya no son números, sino polinomios. Y

los factores son también polinomios. Ya no se factora dividiendo, con las 2 columnas, sino

que para factora los polinomios se usan los Casos de Factores. Los siguientes son ejemplos

donde se busca el mcm Por practicidad, para algunos de esos ejemplos uso polinomios que ya

se factora.

Page 91: Portafolio algebra

91

Ejercicios

Hallar el MCM de:

* Hallar el MCM de los polinomios:

P(x) = (x + 4)3(x – 7)

2(x + 6)8(x + 7)

3

F(x) = (x + 6)2(x – 7)

3(x + 7)4(x – 6)

2

S(x) = (x + 2)3(x + 6)

4(x + 4)8(x + 7)

2

a) (x + 7)4(x + 6)

8(x + 4)

8

b) (x + 7)4(x + 6)

8

c) (x + 7)4(x + 6)

8(x + 4)

8(x – 7)

3(x – 6)

2(x + 2)

3

d) (x + 7)4(x + 6)

8(x + 4)

8(x – 7)

3(x – 6)

2

e) (x + 7)4(x + 4)

8(x – 7)

3(x – 6)

2(x + 2)

3

Hallar el MCM de los polinomios:

F(x) = (x + 5)4(x – 6)

2(x + 9)

3(x – 1)

4

S(x) = (x + 5)2(x – 6)

4(x + 7)

2(x – 1)

3

a) (x +5)(x – 6)(x – 1)

b) (x + 5)2(x – 6)

2(x – 1)

3

c) (x + 5)4(x – 6)

4(x – 1)

4(x + 9)

3(x + 7)

2

d) (x + 1)(x – 2)(x + 9)

e) (x – 1)3(x – 6)

4

1

6

12

Page 92: Portafolio algebra

92

18

24

30

Page 93: Portafolio algebra

93

36

42

48

(Baldor, 2013)

OPERACIONES CON FRACCIONES

Page 94: Portafolio algebra

94

SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES

Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se resuelven las

sumas y las restas cuando tenemos fracciones.

En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones tienen igual

denominador, y cuando tienen distintos denominadores.

En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual denominador, es

una fracción que tendrá el mismo denominador que las fracciones dadas y su numerador será

la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas.

En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por dos

caminos.

Uno de ellos, implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual

será el denominador de la fracción resultado, en tanto que el numerador será la suma

algebraica de números que surgen de dividir el mínimo común múltiplo que hemos

determinado, por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas, y al resultado de

cada una de estas divisiones se lo multiplica por su respectivo numerador, se hace la suma

algebraica del numerador y ya está.

El otro camino implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, y

después, expresar cada una de las fracciones como fracciones equivalentes cuyos

denominadores serán el mínimo común múltiplo que se ha determinado, con lo cual se

consigue transformar una suma algebraica de fracciones de distinto denominador en una suma

algebraica de igual denominador, que se resuelve como ya hemos visto.

Page 95: Portafolio algebra

95

Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones algebraicas

fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresión con igual denominador, se mantiene

el denominador y se suman o restan sus denominadores según sea el caso.

Por otra parte, cuando se tienen expresiones de distinto denominador, la cuestión se complica

un poco. Primero hay que determinar el mínimo común múltiplo (mcm) de los polinomios

Page 96: Portafolio algebra

96

que están en el denominador, y después debemos optar por el camino de dividir este mcm por

cada denominador para después multiplicar por los numeradores, o bien transformar esta

suma de distinto denominador en una de igual denominador usando fracciones equivalentes,

si quieres liarte con divisiones y multiplicaciones de polinomios.

Lo primero que hay que hacer es hallar el m.c.m para lo cual hay que Factorizar todos los

denominadores. El m.c.m estará formado por todos los factores que hemos hallado, pero si

alguno se repite, este se pone una sola vez, y si algún factor que se repite aparece con distinto

exponente, debe ir con el mayor de los exponentes.

Veamos un par de ejemplos:

* Ejemplo 1:

* Ejemplo 2:

Una vez que tenemos el mcm de los denominadores, se procede de la siguiente manera:

Se determina que factores faltan en cada denominador para obtener el m.cm. ; y una vez que

se tienen estos factores, se multiplican por el denominador y numerador de cada fracción.

Al hacer esto, se ha transformado, la suma de fracciones de distinto denominador, en una de

igual denominador, la que se resuelve del modo que se ha explicado previamente.

Page 97: Portafolio algebra

97

Para terminar. Veamos un ejemplo numérico:

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y los

denominadores entre sí.

Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los polinomios

que están en los numeradores, entre sí, y de igual manera se multiplican entre sí los

polinomios que están en los denominadores.

Page 98: Portafolio algebra

98

En la práctica, procederemos de la siguiente manera:

1) Factora todos los polinomios.

2) Simplificamos lo que se pueda.

3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron.

Veamos un ejemplo:

DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

La división de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto cruzado entre

los numeradores y los denominadores.

Caso contrario, se multiplica la primera por la recíproca de la segunda. (Traducción: se

invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la división en una

multiplicación, y se resuelve el ejercicio como un producto).

Page 99: Portafolio algebra

99

Desarrollando por el segundo método.

Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera. Es decir hay

que invertir la segunda fracción y resolverla como una multiplicación.

Formula:

En la práctica, procederemos de la siguiente manera:

1) se factora todos los polinomios.

2) Invertimos la segunda fracción y simplificamos lo que se pueda.

3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron.

Page 100: Portafolio algebra

100

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Definición Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son

ecuaciones poli nómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones poli nómicas de

grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.

Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a,

b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

Ejemplos: x2 - 9 = 0; x

2 - x - 12 = 0; 2x

2 - 3x - 4 = 0

La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el

término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas.

El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación

cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos:

factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.

Factorización:

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el

lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero

cada factor y se despeja para la variable.

Ejemplos

1) x2 - 4x = 0

2) x2 - 4x = 12

3) 12x2 - 17x + 6 = 0

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este

método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.

Raíz cuadrada:

Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.

Page 101: Portafolio algebra

101

Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente

a :

Ejemplos

1) x2 - 9 = 0

2) 2x2 - 1 = 0

3) (x - 3)2 = -8

Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto

cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

x2 + bx + ?

Regla para hallar el último término de x2 + bx +?: El último término de un trinomio cuadrado

perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto

es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son

x2 + bx es :

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio

cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el

cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.

Ejemplos

1) x2 + 6x + 7 = 0

Page 102: Portafolio algebra

102

2) x2 – 10x + 5 = 0

3) 2x2 - 3x - 4 = 0

Fórmula cuadrática:

La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula

cuadrática:

La expresión:

Conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a

continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de

acuerdo con el valor del discriminante.

Valor de:

Tipo de solución

positivo dos soluciones reales

cero una solución real

negativo dos soluciones imaginarias

Ejemplos

1) x2 + 8x + 6 = 0

2) 9x2 + 6x + 1 = 0

Page 103: Portafolio algebra

103

3) 5x2 - 4x + 1 = 0

Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.

1) x2 - x - 20 = 0 (por factorización)

2) x2 - 8 = 0 (por raíz cuadrada)

3) x2 - 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado)

4) 9x2 + 6x = 1 (fórmula cuadrática)

Clasificación

Completa

Una ecuación cuadrática se denomina completa si sus coeficientes son no nulos.

Completa General

Es General porque es más de 1 es decir como ej: aX2=2X2 o 5X2 u otros que sean mayor a

1...

ax²+bx+c=0

ej: 3x²+5x+7

Completa Particular

Una ecuación de segundo grado es completa particular si el coeficiente a es igual a 1 (a=1)

ejemplo: x² + 3x + 1 = 0

Incompleta

Una ecuación cuadrática se llama incompleta si carece del término de primer grado, término

libre o ambos.

Incompleta Binomial

Page 104: Portafolio algebra

104

Si el término libre es cero (aX"2" es al cuadrado) aX2 +bX +c=0 ------> C=0

ej: 4X2 -5x=0

Incompleta Pura

¿Si el coeficiente de x es cero. por ejemplo ax2(el 2 significa al cuadrado)entonces: ax2+c =

0?

bx=0

ej: 5x2-1=0

FÓRMULA GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS

Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la forma:

.

Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de que cumplen con la

expresión, si es que existen.

Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera

forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle"

(ya sea porque nos sonría la buena fortuna, o por aproximación).

Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza

Bruta"). Después, conforme nos vamos enfrentando a más problemas que involucran

ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que

aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente

a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa"

por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de

Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada

Page 105: Portafolio algebra

105

como multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple

observación" los valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).

Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se

encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real").

El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula

General".

Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:

Si es menor que los resultados de X serán dos valores con parte real y parte

imaginaria. Es decir, el resultado será un número complejo.

Si es mayor que obtendremos dos valores distintos de X reales.

Y si es igual que obtendremos dos valores de X reales e iguales.

Al término se le llama discriminante.

Tomando en cuenta el orden de los términos: "a", "b" y "c"=x²-6x+9

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:

a + b

3 + (−5)

Page 106: Portafolio algebra

106

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2

− 3 = − 3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

(−5) + 0 = − 5

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

− (−5) = 5

Propiedades de la resta de números enteros

1. Interna:

a − b

10 − (−5)

2. No es Conmutativa:

a - b ≠ b - a

Page 107: Portafolio algebra

107

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor

absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación

de la regla de los signos.

Regla de los signos

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

(−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:

a · b

2 · (−5)

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

3. Conmutativa:

Page 108: Portafolio algebra

108

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

(−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10

-16 = -16

6. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna:

(−2): 6

2. No es Conmutativo:

a: b ≠ b : a

6: (−2) ≠ (−2): 6

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor

absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación

de las siguientes reglas:

Page 109: Portafolio algebra

109

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades:

a0 = 1 ·

a1 = a

am

· a n

= am+n

(−2)5

·(−2)2

= (−2)5+2

= (−2)7 = −128

am

: a n

= am - n

(−2)5

: (−2)2

= (−2)5 - 2

= (−2)3 = −8

(am

)n

= am · n

[(−2)3]2 = (−2)

6 = 64

an

· b n

= (a · b) n

(−2)3

· (3)3

= (−6) 3 = −216

an

: b n = (a : b)

n

(−6)3 : 3

3 = (−2)

3 = −8

Potencias de exponente entero negativo

Raíz cuadrada de un número entero

Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.

Page 110: Portafolio algebra

110

El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado

número.Fuente especificada no válida.

ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS

Las ecuaciones que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden

expresar de la forma: ax2n

+bxn+c=0, con a 0; mediante el cambio de variable z=x

n se pueden

expresar como una ecuación de segundo grado así: az2+bz+c=0

Una vez resuelta esta ecuación, las soluciones de la ecuación original se determinan

resolviendo x= .Entre estas ecuaciones se hallan las bicuadradas, ecuaciones de cuarto

grado en las que no aparecen términos de tercero ni de primer grado.

Ejemplos: x4 - 5x

2 +4 = 0 ; x

4 - 4 = x

2 - 1

Para resolver este tipo de ecuaciones se procede inicialmente igual que para las de segundo

grado, es decir, operar hasta que no haya denominadores y expresar la ecuación con el

segundo miembro igualado a 0.

Gráficamente se pueden resolver como en el caso de las de segundo grado, representando la

gráfica correspondiente al primer miembro de la ecuación una vez igualado a 0.

Ejemplo, resuelve x4 - 5x

2 + 4 = 0

1. realizamos un cambio de variable, x2 = z, y reescribimos la ecuación: z

2 - 5z + 4

= 0

2. resolvemos esta ecuación, z1 = 1 y z2 = 4

3. las soluciones de la ecuación inicial son:

Page 111: Portafolio algebra

111

B) Ejemplo, resuelve

1. aislamos la raíz,

2. elevamos al cuadrado,

3. desarrollamos y resolvemos, 36x2+4x-11=0, cuyas soluciones son

4. hacemos la comprobación en la ecuación inicial y sólo la primera de las raíces

es solución de la ecuación original, la segunda no.

RESOLUCIÓN POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO

En este tipo de expresión, hace falta un término cuadrático, para transformar a la expresión

original en un trinomio cuadrado perfecto.

Dicho término cuadrático se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que en realidad

estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresión básica en nada.

La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la expresión básica que

necesitaba esa adición para transformar dicha parte básica en un trinomio cuadrado perfecto.

La parte negativa queda agregada al final de todo.

Se factora la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado perfecto.

Ahora se tendrá una diferencia de cuadrados, en la cual el primer término es el trinomio

cuadrado perfecto factora, y la otra es la parte negativa de las dos expresiones cuadráticas que

se agregaron.

Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a factora, como tal, y deja la expresión original

totalmente factora, mediante la completa de un trinomio cuadrado perfecto y de llevar todo a

una diferencia de cuadrados.

Page 112: Portafolio algebra

112

Cuando mencionamos el caso cinco es porque un autor decidió enumerar los casos, para

nosotros es conocido como completar del trinomio cuadrado perfecto, entonces para hacerlo

recordemos que es el trinomio cuadrado perfecto. Recordemos que sabíamos que era un

trinomio cuadrado perfecto si tomábamos las raíces y encontrábamos el doble producto.

En este caso la factorización es muy simple, pongamos las raíces en un paréntesis y

pongamos entre ellas el signo del doble producto y elevemos al cuadrado, esa es la

factorización del trinomio cuadrado perfecto. Pero vamos a ver ahora trinomios donde no

encontramos ese doble producto pero haciendo un artilugio matemático podemos lograrlo

para luego volver esa expresión en una diferencia de cuadrados que es otro caso distinto. Para

averiguar si es cuadrado perfecto tomamos las raíces siempre de los que estén solos. El

problema de las matemáticas es que si yo sumo algo también se lo debo restar porque al

restarlo no afectó la expresión. Luego de eso si se puede factora. Aunque hagamos de

completar y obtuvimos un trinomio, simplemente tuve una diferencia y para factora se deben

obtener productos. Entonces se debe hacer una diferencia de cuadrados porque lo bueno del

trinomio cuadrado perfecto es que cuando yo lo factora siempre se me genera un cuadrado y

si la expresión que sume y reste no me queda al cuadrado entonces el caso no aplica, o sea

que no podemos usar el caso cinco. Siempre que haya completado tengo que darme cuenta

que lo que vaya a sumar o restar tenga raíz. Al tener las dos raíces y el doble producto ya

puedo empezar a factora, poniendo entre paréntesis las raíces, el signo de la mitad que en este

caso sí importa. Con esto dejamos por explicado cómo se resuelven trinomios y binomios

utilizando y completado del trinomio cuadrado perfecto.

2 Comentarios en: factorización poro completa del trinomio cuadrado perfecto

Paola Arteaga dice:

En el minuto 11:30, al momento de desarrollar el trinomio, la solución debería ser

(a↑2+2b↑2)↑2, puesto que colocaste como raíz de 4b↑4 = b↑2; así que el resultado sería

(a↑2+2b↑2+2ab)(a↑2+2b↑2-2ab).

Nos quedó faltando el 2 que acompaña a b^2. Vamos a tener una anotación en el video para

corregirlo. Muchas gracias por el comentario.

Page 113: Portafolio algebra

113

Recuerda que igual tenemos una mejor versión de este tema que puedes ver en:

EJERCICIOS

2

X + 6X + 9 es un T.C.P.

Si es un TCP factor izado:

1°) X y 9 son cuadrados por lo tanto:

2°) doble producto: 2 x Xx 3 = 6X

3°) factor ando: X + 6X + 9 = (X + 3)

Para resolver una ecuación de segundo grado por la competición de cuadrados se siguen los

siguientes pasos:

1) se forma la mitad del coeficiente de X: b., luego se eleva al

2) se adiciona a ambos lados de la igualdad

3) se factor iza

4) se hallan las raíces (X1, X2).

Solución de ecuaciones cuadráticas para completar del cuadrado

Demostremos el método de completar del cuadrado con un ejemplo.

Ejemplo 3

Resolver la siguiente ecuación cuadrática .

Solución

El método de completar de cuadrados es como se muestra a continuación.

1. Reescribir como

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114

2. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto al lado derecho necesitamos añadir la

constante. Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación.

3. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar el lado derecho de la ecuación.

4. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados.

Respuesta y

Si el coeficiente del término no es uno, debemos dividir toda la expresión por este número

antes de completar el cuadrado.

Ejemplo 4

Resolver la siguiente ecuación cuadrática .

Solución:

1. Dividir todos los términos por el coeficiente del término .

2. Reescribir como

3. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto en el lado derecho necesitamos añadir la

constante . Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación.

4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar.

Page 115: Portafolio algebra

115

5. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados.

Respuesta y

Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar

Una ecuación en forma estándar se escribe como . Para resolver una

ecuación en esta forma primero movemos el término constante al lado derecho de la ecuación.

Ejemplo 5

Resolver la siguiente ecuación cuadrática .

Solución

El método de completar de cuadrados se aplica como sigue:

1. Mover la constante al otro lado de la ecuación.

2. Reescribir como

3. Sumar la constante a ambos lados de la ecuación

Page 116: Portafolio algebra

116

4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar.

5. Sacar la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.

Respuesta y

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS

Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente usadas

en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir

trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser

incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos

satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y

pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la

determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día,

desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado

funciones cuadráticas para su diseño.

Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican

juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con un área.

Si ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación

cuadrática. Porque la cantidad de un producto vendido normalmente depende del precio, a

veces usamos una ecuación cuadrática para representar las ganancias como un producto del

Page 117: Portafolio algebra

117

precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata

con la gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un

puente suspendido.

Ejemplos:

Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12

Solución:

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.

x 2 + 4 x - 12 = 0

Paso 2: Factorizar

x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0

Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x

x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2

Paso 4: Verificar la solución.

Verificar x=-6

x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 ( -

6 ) -12 = 0 36 - 24 - 12 = 0 0 = 0

Verificar x=2

x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) -

12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 - 3 = 5 x

Solución:

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.

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118

2 x 2 - 5 x - 3 = 0

Paso 2: Factorizar

2 x 2 - 5 x - 3 = 0 ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 0

Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x

2 x + 1 = 0 2 x = - 1 x = - 1 2 x - 3 = 0 x = 3

Paso 4: Verificar la solución.

Verificar x=-1/2

2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( - 1 2 ) 2 - 3 = 5 ( -

1 2 ) 2( 1 4 ) - 3 = 5 ( - 1 2 ) 1 2 - 3 = -

5 2 - 5 2 =- 5 2

Verificar x=3

2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( 3 ) 2 -

3 = 5 (3 ) 2 ( 9 ) - 3 = 15 18 -

3 = 15 15= 15

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

En el capítulo 1 definimos el valor absoluto de un número real , que representamos por ,

mediante

También observamos en dicho capítulo que representa la distancia del origen al punto , y

de forma más general que representa la distancia entre y .

Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy bien con

respecto a la multiplicación y la división, pero no así con respecto a la adición y la

sustracción.

Propiedades del valor absoluto. Si y son números reales arbitrarios entonces

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119

1.

2.

3. ,

4. (Desigualdad triangular)

5. y

La interpretación geométrica de nos proporciona una justificación de las siguientes

dos propiedades

Sea . Entonces

6. es equivalente a

7. es equivalente a o

Gráficamente tenemos

Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solución de desigualdades, es la

siguiente

8. es equivalente a

En las propiedades (6) a (8) el símbolo puede remplazarse por .

Ejemplo. Resolvamos la desigualdad .

Utilizando la propiedad (6), tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

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120

Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo .

Ejemplo. Resolvamos la desigualdad .

La propiedad (7) nos dice que la desigualdad es equivalente a

Resolviendo

o sea

Por lo tanto, la solución de la desigualdad dada es

Ejemplo Resolvamos la desigualdad .

Utilizando la propiedad (8) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades

equivalentes:

Elaborando un diagrama de signos tenemos

Signo de + - -

Signo de - - +

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121

Signo de - + -

Vemos que la solución de la desigualdad es .

PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se

resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de

inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal en los que interviene

un gran número de variables.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función

objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de

restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de ordenador,

sino de un término militar, programar, que significa 'realizar planes o propuestas de tiempo

para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate'.

Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en 1776, se

considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó en su libro Métodos

matemáticos para la organización y la producción (1939) y la desarrolló en su trabajo Sobre

la transferencia de masas (1942). Kantoróvich recibió el premio Nobel de economía en 1975

por sus aportaciones al problema de la asignación óptima de recursos humanos.

La investigación de operaciones en general y la programación lineal en particular recibieron

un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de momentos más importantes fue la

aparición del método del simplex. Este método, desarrollado por G. B. Dantzig en 1947,

consiste en la utilización de un algoritmo para optimizar el valor de la función objetivo

teniendo en cuenta las restricciones planteadas. Partiendo de uno de los vértices de la región

factible, por ejemplo el vértice A, y aplicando la propiedad: si la función objetivo no toma

su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte del vértice A y a lo

largo de la cual la función objetivo aumenta. se llega a otro vértice.

El procedimiento es iterativo, pues mejora los resultados de la función objetivo en cada

etapa hasta alcanzar la solución buscada. Ésta se encuentra en un vértice del que no parta

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122

ninguna arista a lo largo de la cual la función objetivo aumente.

Aunque a lo largo de esta unidad únicamente se resuelven problemas de programación

lineal bidimensional, este tipo de análisis se utiliza en casos donde intervienen cientos e

incluso miles de variables.

OBJETIVOS

Resolver gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos

incógnitas

Conocer la programación lineal y sus aplicaciones a la vida cotidiana.

Plantear y resolver situaciones con programación lineal.

Conocer dos ejemplos típicos: problema del transporte y de la dieta.

2. DESARROLLO

Construcción de los Modelos de Programación Lineal

De forma obligatoria se deben cumplir los siguientes requerimientos para construir un modelo

de Programación Lineal.

Requerimiento 1. Función objetivo. (F.O).

Debe haber un objetivo (o meta o blanco) que la optimización desea alcanzar.

Requerimiento 2. Restricciones y decisiones.

Debe haber cursos o alternativas de acción o decisiones, uno de los cuáles permite alcanzar el

objetivo.

Requerimiento 3. La F.O y las restricciones son lineales.

Deben utilizarse solamente ecuaciones lineales o desigualdades lineales.

Modelo estándar de Programación Lineal

Optimizar Z = C1X1+ C1X2 +….+ Cn Xn).

Función objetivo.

Sujeta a a11X1+ a11X2 +…..+ a1nXn) £ b1

A21X1+ a21X2 +…..+ a2nXn) £ b1

Restricciones

Am1X1+ am1X2 +…..+ amn Xn) £ bm

Debiendo ser

X1 ³ 0, X2 ³ 0, ….. Xn ³ 0

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123

Dónde:

Xj : variables de decisión, j = 1,2.., n.

n : número de variables.

m : número de restricciones.

aij , bi , cj constantes, i = 1,2.., m.

PASOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO

1. Definir las variables de decisión.

2. Definir el objetivo o meta en términos de las variables de decisión.

3. Definir las restricciones.

4. Restringir todas las variables para que sean no negativas.

La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o

minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que

llamaremos restricciones.

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia

militar, etc.

Función objetivo

En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una

función objetivo, que es una función lineal de varias variables:

f(x,y) = ax + by.

Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por

inecuaciones lineales:

a1x + b1y ≤ c1

a2x + b2y ≤ c2

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124

... ... ...

anx + bny ≤ cn

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

Solución factible

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones,

determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona

de soluciones factibles.

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Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles

básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o

mínima según el caso).

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DOCUMENTO DE DEBERES

EJERCICIOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

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SISTEMA DE ECUACIONES

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TRABAJOS EN CLASE

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TABLA DINÁMICA

DEBER DE PROGRAMACIÓN LINEAL

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LINKOGRAFÍA

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www.monografias.com › Matemáticas

matematica1.com/category/inecuaciones-con-valor-absoluto/