FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENERIA CIVIL.

ASIGNATURA: Matemática y Lógica

TEMA:

Monografía: Conjunto Relaciones y Funciones. DOCENTE: Julio Díaz Beltrán

¿

INTEGRANTES:

Oro Bobadilla Jonaykher Infante Acuña Neider

CICLO: I

AÑO: 2014

CARRERA:

Unidad Tema Subtema Objetivos IV Relaciones y funciones

4.1 Relaciones 4.2 Funciones • Entender y definir el concepto de relación así como las

diferentes representaciones de una relación • Entender, aprender y utilizar las propiedades de las relaciones • Conocer y clasificar los tipos de relaciones:

o De equivalencia o De orden o Función

• Graficar una relación

• Entender y definir el concepto de función • Conocer y utilizar los tipos de funciones

o Biyectiva o Inyectiva o Suprayectiva

• Conocer y obtener de una función o La función inversa o Una función compuesta

• Conocer y diseñar funciones recursivas

En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones y relaciones matemáticas y sus aplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida cotidiana.

Para empezar a hablar de lo que son las relaciones y funciones es necesario empezar a hablar sobre el

Par Ordenado (PO), y ¿por qué la importancia de de saber la definición de para ordenado? La

Importancia del PO se desprende de la simplicidad (facilidad, claridad, comodidad) con que a partir de el

Se puede estructurar una red de definiciones con los principales elementos de la matemática clásica.

La fecunda utilización del PO se puede observar en la lista siguiente, que obvia todo comentario:

El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema. Un ejemplo, en los números Naturales se establece la relación “… es menor que ...”. Bajo esta relación R el número 2 se relaciona con el 3: 2 es menor que 3, pero no así al contrario (3 no es menor que 2).

Una relación es binaria cuando se establece entre dos objetos. Un ejemplo: R : x < y .

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado (también llamada pareja ordenada) consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que aparece (primero a, después b) indica la relación: a Rb de a con b.

Una relación asocia un elemento de un conjunto A con un elemento de otro conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A.

* Para A= {a, b, c} R1= {(a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c)} ⇒ R1 = A × A

* Para A = {España, Inglaterra, Italia} B= {Paris, Roma, Madrid}

•

R2: (España, Paris) (Inglaterra, Roma) (Italia, Madrid) * R3: (Pepe, María) (Pepe, Laura) (Pepe, Tere)

Otro ejemplo: Representaciones gráficas de relaciones Gráfica de relaciones no numéricas

1 2 3 4

( x, y) ( y, y) ( y, z) ( z, x)

Relación: ...es más grande que...

• R = {( x, y) / x < y} relación: x < y • Es menor que = {( x, y) / x < y}

x R y si R: ...es menor que... Definición: Sea R una relación ⇒

a R b = (a, b) ∈ R R = {( x, y), ( y, z), ( y, y), ( z, z)}

z R y es verdadera? no

y Rz es verdadera? Si Si xRy, xRz, zRy, yRz, zRz, son verdaderas, ¿Cuál es la relación R? R = {(x, y ), (x, z ), (z, y ), (y, z ), (z, z )}

- Relaciones de equivalencia - Relaciones de orden - Funciones

Características (propiedades)

xRx : ∀x ∈ S ⇒ xRx ( x está relacionada con x ) Ejemplo: El conjunto de alumnos que se encuentra en su salón de clase S = {Pedro, Javier, Esteban} R : está en la misma habitación Pedro R Pedro → reflexividad

∀x, y ∈ S . Si x R y ⇒ y Rx

Ejemplo: Pedro R Javier ⇒ Javier R Pedro Esta relación puede ser: ... hermano de...

• Una relación R , definida sobre un conjunto S es una

relación de equivalencia ⇔ • tienen las tres propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva

B

A = {Familia Rodríguez} Miembro Edad Peso Estatura

Papá Alfonso (A) 42 77 1.80 Mamá Beatriz (B) 40 57 1.68 Hijo 1 Carlos (C) 19 61 1.88 Hijo 2 David (D) 17 66 1.63 Hijo 3 Elena (E) 15 48 1.53 R1: … es papá de … (A, C) (A, D) (A, E) R2: … es mas alto que … (C, A) (C, B) (C, D) (C, E) (A, B) (A, D) (A, E) (B, D) (B, E) (D, E). R3: … es mas grande que … (A, B) (B, C) (C, D) (D, E), (A, C) (B, D) (C, E), (A, D) (B, E) (A, E)

Intuitivamente una función es una regla que asocia elementos de un conjunto A con elementos de un conjunto B de modo que el elemento del conjunto A se asocia con uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

En otras palabras, una función es una máquina que transforma elementos en otros elementos y cada elemento puede transformarse en un único elemento, no en dos o tres.

Definición: Sean A y B dos conjuntos. Una función de A en B es un conjunto de

pares ordenadas de A x B (a, b) con la propiedad de que cada elemento de A es el primer Componente de una pareja ordenada y para todo a ∈ A, si (a, b) y (a, c) pertenece a f entonces b = c (porque a no se repite en otra pareja)

A: Dominio de la función B: Condominio Imagen son los elementos de B que forman el segundo componente de la

pareja ordenada. Ejemplo:

A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {conjunto de calificaciones en base a 10} B= {NA, S, B, MB} = {conjunto de símbolos que representan un

Rendimiento escolar A × B son todas las posibles relaciones

⎧(0, NA)(1, NA) ⎪

... (10, NA) ⎫ ⎪ ⎪(0, S )(1, S ) (10, S ) ⎪

⎪(0, B)(1, B ) (10, B ) ⎬

⎪⎩(0, MB )(1, MB) (10, MB) ⎪⎭ A × B = 44 parejas R : Si NA = no acreditada ⇒ calificación 0 - 5

Si S = suficiente ⇒ calificación 6 - 7 Si B = bien ⇒ calificación 8 - 9 Si MB = muy bien ⇒ calificación 10

⇒ es una función porque a cada elemento de A corresponde solo uno de B a la relación se le llama regla de correspondencia f , entonces, b = f(a) un elemento del conjunto B está en función de un elemento del conjunto A.

Nomenclatura

y = f ( x) : de una función es el conjunto de los valores que puede tomar x o

que toma x para que exista la función. o rango de una función es el conjunto de los valores que se

obtienen al sustituir los valores del dominio en la función.

Tipos de funciones

A una función en la que a cualquiera par de elementos diferentes del dominio les corresponde imágenes diferentes se le llama función inyectiva (significa uno a uno)

Un ejemplo es la función cuadrática

y = ax 2 + bx + c cuyo dominio y cuyo

codominio son los reales. Así, para

y = 3x 2 + 2x + 1 cuya gráfica es

1

la función no toma los valores menores a -2.

Si todo elemento del codominio de una función f es imagen de al menos un elemento de su dominio, entonces f es una función suprayectiva

Las funciones trigonométrica (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) son del tipo suprayectiva (o sobreyectiva). El dominio son los reales y el codominio es [-1, 1] por lo que para más de un valor de x le corresponde el mismo valor de y.

⎣x ⎦ : (función suelo) redondea hacia el entero. Ejemplos: y = ⎣3.01⎦ = 3 y = ⎣− 3.01⎦ = − 4

y = ⎣3.51⎦ = 3 y = ⎣− 3.51⎦ = − 4

y = ⎣3.91⎦= 3 y = ⎣− 3.91⎦ = − 4

TRUNC( x) : da como resultado la parte entera. Ejemplos: y = trunc(3.01) = 3 y = trunc(−3.01) = −3

y = trunc(3.51) = 3 y = trunc(−3.51) = −3

y = trunc(3.91) = 3 y = trunc(.3.91) = −3

fog Si f : A → B y g : B → C la función compuesta fog : A → C se define

fog (a ) = f (g (a ))∀a ∈ A . Ejemplo: A = {1,2,3,4,5} B = {w, x, y, z} C = {a, b, c} Si f = {(1, w)(2, x )(3, y )(4, z )(5, z )} y g = {(w, a)(x, b)(y, c)(z, c)} f : A → B g : B → C fog : A → C{(1, a)(2, b)(3, c)(4, c )(5, c)}

Bueno este tema es muy importante , ya que como hemos podido observar, nos habla de un amplio panorama de lo que es una función de conjuntos y sobre todo una función en la cual se representa como una gráfica y sobre todo una representación gráfica en la cual nosotros vamos a entender y a comprender lo que es un planteamiento de conceptos y es un punto muy importante , conocer todo estos tipos de métodos para llegar a un resultado transparente y sobre todo como nuestro profesor dice , con procedimiento esa es una de las conclusiones más importantes , que uno debe resaltar siempre , bueno eh aprendido junto a mis compañeros desarrollando esta monografía a cómo construir un tema amplio y sintetizado y sobre todo que es útil y que es muy curioso.