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Apuntes de L´ ogica Matem´ atica 2. L´ ogica de Predicados Francisco Jos´ e Gonz´ alez Guti´ errez adiz, Abril de 2005

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Apuntes de Logica Matematica

2. Logica de Predicados

Francisco Jose Gonzalez Gutierrez

Cadiz, Abril de 2005

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Universidad de Cadiz Departamento de Matematicas

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Leccion 2

Logica de Predicados

Contenido2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Predicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.2 Universo del Discurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.3 Predicados y Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1 Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2 Valor de Verdad del Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3 Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.4 Valor de Verdad del Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.5 Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Calculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.1 Implicacion Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.2 Equivalencia Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.3 Leyes de De Morgan Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.4 Regla general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.5 Proposiciones al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.6 Predicados al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.7 Asociatividad y Distributividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1 Definiciones

Cualquier teorıa cientıfica aspira a enunciar leyes, postulados, definiciones, teoremas, etc... con unavalidez mas o menos universal y, en cualquier caso, bien precisada. A menudo interesa afirmar que todoslos individuos de un cierto campo tienen la propiedad p o que algunos la tienen.

El calculo proposicional no es suficientemente fuerte para hacer todas las afirmaciones que se necesitanen matematicas. Por ejemplo, afirmaciones como “x = 5” o “x > y” no son proposiciones ya queno son necesariamente verdaderas o falsas. Sin embargo, asignando valores concretos a las variables xe y, las afirmaciones anteriores son susceptibles de ser verdaderas o falsas, es decir, se convierten enproposiciones.

En castellano tambien ocurren situaciones similares, por ejemplo,

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Ella es alta y rubia.

El vive en el campo.

Ella, el y el campo se utilizan como variables,

x es alta y rubia.

x vive en y

2.1.1 Predicado

Es una afirmacion que expresa una propiedad de un objeto o una relacion entre objetos. Estasafirmaciones se hacen verdaderas o falsas cuando se reemplazan las variables (objetos) por valoresespecıficos.

Ejemplo 2.1 La afirmacion “p(x) : x es alta y rubia” es un predicado que expresa la propiedad delobjeto x de ser “alta y rubia”. Si sustituimos la variable x por un valor determinado, por ejemplo Laura,entonces el predicado se transforma en la proposicion “Laura es alta y rubia” que podra ser verdaderao falsa. El predicado “q(x) : x vive en y” expresa una relacion entre los objetos x e y. Si sustituimos xpor Pedro e y por Madrid, obtendremos la proposicion “Pedro vive en Madrid”. �

Ejemplo 2.2 Los predicados se usan frecuentemente en sentencias de control en lenguajes de progra-macion de alto nivel. Por ejemplo, la sentencia

Si x > 5, entonces z := y

incluye el predicado “x > 5”. Cuando se ejecuta la sentencia, el valor de verdad de la afirmacion “x > 5”se determina usando el valor que tenga la variable x en ese momento. El predicado se convierte en unaproposicion cuyo valor verdadero es verdad o falso. �

Ejemplo 2.3 El predicado “p(x, y) : x + y > 5” tiene dos variables.

2.1.2 Universo del Discurso

Llamaremos de esta forma al conjunto al cual pertenecen los valores que puedan tomar las variables. Lonotaremos por U y lo nombraremos por conjunto universal o, simplemente, universo. Debe contener,al menos, un elemento.

Ejemplo 2.4 En una posible evaluacion del predicado “p(x) : x > 5”, elegirıamos probablemente unconjunto numerico, por ejemplo los numeros enteros, como universo del discurso. No tendrıa sentidoelegir el conjunto de los colores del arco iris ya que podrıamos encontrarnos con situaciones tales como“azul > 5”. �

2.1.3 Predicados y Proposiciones

Si p(x1, x2, . . . , xn) es un predicado constante con n variables y asignamos los valores c1, c2, . . . , cn acada una de ellas, el resultado es la proposicion p(c1, c2, . . . , cn).

Para transformar un predicado en proposicion, cada variable del predicado debe estar “ligada”.

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Ejemplo 2.5 Consideremos el predicado p(x, y) : x + y = 5 en el universo de los numeros enteros. Enprincipio las variables x e y pueden tomar cualquier valor entero, es decir estan “libres”.

Si asignamos a x el valor 2 y a la y el valor 3, entonces el predicado p(x, y) se transforma en laproposicion p(2, 3) : 2 + 3 = 5 que es verdad.

Si hubieramos asignado los valores 1 y 2 a las variables x e y, respectivamente, entonces resultarıala proposicion p(1, 2) : 1 + 2 = 5 que es falsa.

En ambos casos, las variables x e y han pasado de estar libres a estar ligadas. Hemos ligado las variablesasignandoles unos valores determinados del universo del discurso. �

Ejemplo 2.6 Las variables enteras x e y tienen los valores iniciales 3 y 8, respectivamente. Determinarlos valores de x e y despues de la ejecucion de cada una de las proposiciones siguientes. (El valor de xdespues de la ejecucion de (a) se convierte en el valor de x para la proposicion del apartado (b) y asısucesivamente). (La operacion Div devuelve la parte entera de un cociente; por ejemplo, 8 Div 4=2 y 9Div 2=4).

(a) Si y − x = 5, entonces x = x− 2;

(b) Si [(2y = x) y (x Div 4 = 1)], entonces x = 4y − 3;

(c) Si [(x < 8) o (y Div 2 = 2)], entonces x = 2y, de lo contrario y = 2x;

(d) Si [(x < 20) y (x Div 6 = 1)], entonces y = y − x− 5;

(e) Si [(x = 2y) o (x Div 2 = 5)], entonces y = y + 2;

(f) Si [(x Div 3 = 3) e (y Div 3 6= 1)] entonces y = x;

(g) Si yx 6= 35, entonces x = 3y + 7;

Solucion

Los valores iniciales sonx:=3, y:=8

(a) y − x = 5 −→ x := x− 2;

y − x = 8 − 3 = 5, es decir la hipotesis es verdadera. Consecuentemente se sigue la conclusion yx := x− 2 = 3− 2 = 1. Los nuevos valores de x e y son, por tanto,

x:=1, y:=8

(b) (2y = x) ∧ (x Div 4 = 1) −→ x := 4y − 3;

2y = x es falsa y x Div 4 tambien (1 Div 4 = 0), luego

(2y = x) ∧ (x Div 4)

es falsa y, consecuentemente, no se sigue la conclusion. Los valores de x e y siguen siendo losmismos que en el apartado anterior.

(c) (x < 8) ∨ (y Div 2 = 2) −→ x := 2y, de lo contrario y := 2x;

x < 8 es verdadera y y Div 2 = 2 es falsa (8 Div 2 = 4) luego

(x < 8) ∨ (y Div 2 = 2)

es verdad y, consecuentemente, se sigue la primera de las dos conclusiones, de aquı que los nuevosvalores de x e y sean

x:=16, y:=8

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(d) (x < 20) ∧ (x Div 6 = 1) −→ y := y − x− 5;

x < 20 es verdad y x Div 2 = 5 es falsa, luego

(x < 20) ∧ (x Div 6 = 1)

es falsa y, consecuentemente, no se sigue la conclusion, es decir, los valores de x e y no varıan.

(e) (x = 2y) ∨ (x Div 2 = 5) −→ y := y + 2;

x = 2y es verdad y x Div 2 = 5 es falsa, luego la hipotesis,

(x = 2y) ∨ (x Div 2 = 5)

es verdadera y, consecuentemente, y := y + 2 = 8 + 2 = 10. Los nuevos valores de x e y son, portanto,

x:=16, y:=10

(f) (x Div 3 = 3) ∧ (y Div 3 6= 1) −→ y := x;

x Div 3 = 3 es falsa e y Div 3 6= 1 es verdadera, por lo tanto la hipotesis

(x Div 3 = 3) ∧ (y Div 3 6= 1)

es falsa y los valores de x e y no cambian.

(g) yx 6= 35 =⇒ x := 3y + 7;

Como yx = 10 · 16 = 160 6= 35, la hipotesis es verdadera de aquı que se siga la conclusion yx := 3y + 7 = 3 · 10 + 7 = 37. Los valores finales de x e y son, por tanto,

x:=37, y:=10

Nota 2.1 En los lenguajes de programacion, aparecen estructuras de decision del tipo “Si...Entonces”.En este contexto, el condicional “si p entonces q” significa que se ejecutara q unicamente en caso de quep sea verdadera. Si p es falsa, el control pasa a la siguiente instruccion del programa. �

Ejemplo 2.7 Para cada segmento de programa contenido en los apartados siguientes, determinar elnumero de veces que se ejecuta la sentencia x := x + 1

(a) y := 1

Si y < 2 o y > 0 entonces

x := x + 1

de lo contrario

x := x + 2

(b) y := 2

Si (y < 0 e y > 1) o y = 3 entonces

x := x + 1

de lo contrario

x := x + 2

(c) y := 1

Hacer mientras y < 3

Comienzox := x + 1

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y := y + 1Fin

(d) y := 1

Hacer mientras (y > 0 e y < 3) o y = 3

Comienzox := x + 1y := y + 1

Fin

(e) y := 1

Hacer mientras y > 0 e y < 4

ComienzoSi y < 2 entonces

y := y + 1de lo contrario

y := y + 2x := x + 1

Fin

Solucion

(a) Sean

p(y) : y < 2

q(y) : y > 0

Otra forma de escribir el segmento de programa propuesto serıa

y:=1

Si p(y) ∨ q(y) es verdad entonces

x := x + 1

Si p(y) ∨ q(y) es falso entonces

x := x + 2

Como el valor de y es 1, ambos predicados se convierten en proposiciones verdaderas, por lo tantop(y) ∨ q(y) es verdad y la sentencia x := x + 1 se ejecuta una vez.

(b) Sean

p(y) : y < 0

q(y) : y > 1

r(y) : y = 3

Otra forma de escribir el segmento de programa propuesto serıa:

y := 2

Si [p(y) ∧ q(y)] ∨ r(y) es verdad entonces

x := x + 1

Si [p(y) ∧ q(y)] ∨ r(y) es falso entonces

x := x + 2

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Pues bien, para que [p(y) ∧ q(y)] ∨ r(y) sea una proposicion verdadera, bastara con que lo sea unade las dos. Como el valor de y es 2, r(y) sera una proposicion falsa, de aquı que tenga que serverdad la conjuncion p(y) ∧ q(y) para lo cual lo tendran que serlo ambas, lo cual es imposible yaque cuando p(y) sea verdad, q(y) sera falsa y viceversa. Consecuentemente, la sentencia x := x + 1no se ejecuta ninguna vez.

(c) Sea p(y) : y < 3. Entonces, el segmento de programa propuesto sera

y := 1

Hacer mientras p(y) sea verdad

Comienzox := x + 1y := y + 1

Fin

El predicado p(y) sera una proposicion verdadera para aquellos valores de y que sean estrictamentemenores que 3 y dado que el valor inicial de y es 1 y aumenta en una unidad (y := y + 1) cada vezque se ejecutan las sentencias entre comienzo y fin, la sentencia x := x+1 se ejecutara dos veces.

(d) Sean

p(y) : y > 0

q(y) : y < 3

r(y) : y = 3

Utilizando notacion logica, el segmento de programa propuesto se escribira:

y := 1

Hacer mientras [p(y) ∧ q(y)] ∨ r(y) sea verdad

Comienzox := x + 1y := y + 1

Fin

Pues bien, los valores de y que hacen del predicado [p(y) ∧ q(y)] ∨ r(y) una proposicion verdaderaseran aquellos que conviertan en proposiciones verdaderas, al menos, a uno de los dos predicados,[p(y) ∧ q(y)] o r(x).

Los valores de la variable y que hacen de p(y) ∧ q(y) una proposicion verdadera son aquellosque hacen proposiciones verdaderas a los dos predicados p(y) y q(y), es decir y > 0 e y < 3, olo que es igual y = 1 o y = 2.

Para que el predicado r(y) sea una proposicion verdadera, la variable y ha de valer 3.

Consecuentemente, [p(y) ∧ q(y)] ∨ r(y) es verdad para

y = 1 ∨ y = 2 ∨ y = 3

Dado que el valor inicial de y es 1 y aumenta en una unidad cada vez que se ejecuta comienzo...fin,la sentencia x := x + 1 se ejecutara tres veces.

(e) Sean

p(y) : y > 0

q(y) : y < 4

r(y) : y < 2

Podemos escribir el segmento de programa en la forma:

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y := 1

Hacer mientras p(y) ∧ q(y) sea verdad

ComienzoSi r(y) es verdad entonces

y := y + 1Si ¬r(y) es verdad entonces

y := y + 2x := x + 1

Fin

El primer y el segundo condicional entre comienzo y fin se ejecutaran para los valores de lavariable y que hagan de los predicados p(y) ∧ q(y) ∧ r(y) y p(y) ∧ q(y) ∧ ¬r(y), respectivamente,proposiciones verdaderas. Pues bien,

p(y) ∧ q(y) ∧ r(y) : (y > 0) ∧ (y < 4) ∧ (y < 2)

es decir,p(y) ∧ q(y) ∧ r(y) : y = 1

yp(y) ∧ q(y) ∧ ¬r(y) : (y > 0) ∧ (y < 4) ∧ (y > 2)

o sea,p(y) ∧ q(y) ∧ ¬r(y) : (y = 2) ∨ (y = 3)

Como el valor inicial es y = 1, se ejecutara el primer condicional y el valor de y sera 2. La segundavez se ejecutara el segundo condicional, la sentencia x := x + 1 y la variable y toma el valor 4 queya no verifica la condicion inicial, con lo que el programa termina.

Consecuentemente, la sentencia x := x + 1 se ejecuta una vez. �

Ejemplo 2.8 ¿Cuantas veces se imprime el valor de x en el siguiente programa?

x := 10

y := 1

Hacer mientras y 6 7

Comienzo

z := 1Hacer mientras z 6 y + 3

ComienzoSi [(x > 8) o ((y > 5) y (z < 10))] entonces imprimir x

z := z + 1Fin

x := x− 1y := y + 1

Fin

Solucion

Sean

p(y) : y 6 7

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q(z, y) : z 6 y + 3

r(x) : x > 8

s(y) : y > 5

t(z) : z < 10

los predicados cuyas variables son x, y, z perteneciendo las tres al universo de los enteros positivos.

Utilizando estos predicados, el programa podra escribirse en la forma:

x := 10

y := 1

Hacer mientras p(y) sea verdad

Comienzoz := 1Hacer mientras q(z, y) sea verdad

ComienzoSi [r(x) ∨ (s(y) ∧ t(z))] es verdad entonces imprimir x

z := z + 1Fin

x := x− 1y := y + 1

Fin

La variable x se imprimira para los valores de x, y, z que hagan que el predicado

[p(y) ∧ q(z, y)] ∧ [r(x) ∨ (s(y) ∧ t(z))]

sea una proposicion verdadera. Aplicando la distributividad de ∧ respecto de ∨, obtendremos

[p(y) ∧ q(z, y) ∧ r(x)] ∨ [p(y) ∧ q(z, y) ∧ s(y) ∧ t(z)]

que sera una proposicion verdadera para los valores de las variables que hagan verdadera, al menos, auna de las dos. Pues bien,

p(y) ∧ q(z, y) ∧ r(x) sera verdad unicamente para aquellos valores de x, y, z que hagan de los trespredicados, tres proposiciones verdaderas.

Si observamos los valores iniciales de las tres variables, p(y) sera verdad siete veces y por cada unade ellas, q(z, y) sera verdad y + 3 veces. Sin embargo, la variable x solo puede tomar dos valores.En efecto, como su valor inicial es 10, tendremos

x := 10 ∧ r(x) : x > 8

de donde resulta quer(x) : (x = 9) ∨ (x = 10)

Por lo tanto,

p(y) ∧ q(z, y) ∧ r(x)⇐⇒ [p(y) ∧ q(z, y) ∧ (x = 10)] ∨ [p(y) ∧ q(z, y) ∧ (x = 9)]

Ahora bien, para x = 10 y para x = 9, la variable y toma los valores 1 y 2, respectivamente, luego

p(y) ∧ q(z, y) ∧ r(x)⇐⇒ [p(1) ∧ q(z, 1) ∧ (x = 10)] ∨ [p(2) ∧ q(z, 2) ∧ (x = 9)]

Como p(1) : 1 6 7 y p(2) : 2 6 7 son verdad siempre, las dos proposiciones entre corchetes seranverdad cuando lo sean q(z, 1) y q(z, 2), respectivamente. Resumiendo

p(y) ∧ q(z, y) ∧ r(x)⇐⇒ q(z, 1) ∨ q(z, 2)⇐⇒ (z 6 4) ∨ (z 6 5)

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Por otra parte, p(y) ∧ q(z, y) ∧ s(y) ∧ t(z) al igual que la anterior, sera verdad unicamente paralos valores de las variables que hagan de los cuatro predicados, cuatro proposiciones verdaderas.Ahora bien, observemos lo siguiente:

p(y) ∧ s(y)⇐⇒ (y 6 7) ∧ (y > 5)⇐⇒ (y = 6) ∨ (y = 7)

luego,

p(y) ∧ q(z, y) ∧ s(y) ∧ t(z) ⇐⇒ [(y = 6) ∧ q(z, y) ∧ t(z)] ∨ [(y = 7) ∧ q(z, y) ∧ t(z)]

⇐⇒ [q(z, 6) ∧ t(z)] ∨ [q(z, 7) ∧ t(z)]

⇐⇒ [q(z, 6) ∧ (z < 10)] ∨ [q(z, 7) ∧ (z < 10)]

⇐⇒ [(z 6 9) ∧ (z < 10)] ∨ [(z 6 10) ∧ (z < 10)]

⇐⇒ (z 6 9) ∨ (z 6 9)

En definitiva,

[p(y) ∧ q(z, y) ∧ r(x)] ∨ [p(y) ∧ q(z, y) ∧ s(y) ∧ t(z)] =⇒ (z 6 4) ∨ (z 6 5) ∨ (z 6 9) ∨ (z 6 9)

Luego x se imprime un total de veintisiete veces. �

2.2 Cuantificadores

Otra forma de ligar las variables individuales es cuantificarlas.

2.2.1 Cuantificador Universal

Si p(x) es un predicado cuya variable es x, entonces la afirmacion

“para todo x, p(x)”

es una proposicion en la cual se dice que la variable x esta universalmente cuantificada.

La frase “para todo” se simboliza con ∀, sımbolo que recibe el nombre de “cuantificador universal”.

Ası pues, “para todo x, p(x)” se escribe “ ∀x, p(x)”. El sımbolo ∀x puede interpretarse tambien como“para cada x”, “para cualquier x” y “para x arbitrario”.

Ejemplo 2.9 En el universo del discurso de los numeros enteros, la proposicion “todo numero esestrictamente menor que el siguiente” puede escribirse en la forma ∀x, x < x + 1. �

Ejemplo 2.10 Sean p(x, y, z) : xy = z, q(x, y) : x = y y r(x, y) : x > y y sea el universo del discursoU , el conjunto de los numeros enteros. Transcribir las siguientes proposiciones a notacion logica.

(a) Si y = 1, entonces xy = x para cualquier x.

(b) Si xy 6= 0, entonces x 6= 0 e y 6= 0.

(c) Si xy = 0, entonces x = 0 o y = 0.

(d) 3x = 6 si, y solo si x = 2.

(e) No existe solucion para x2 = y, a menos que y > 0.

(f) x < z es una condicion necesaria para que x < y e y < z.

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(g) x 6 y e y 6 x es una condicion suficiente para que y = x.

(h) Si x < y y z < 0, entonces xz > yz.

(i) No es cierto que x = y y x < y.

(j) Si x < y, entonces para algun z tal que z < 0, xz > yz.

(k) Existe un x tal que para cada y y z, es xy = xz.

Solucion

(a) Si y = 1, entonces xy = x para cualquier x.

∀y [q(y, 1) −→ ∀x, p(x, y, x)]

(b) Si xy 6= 0, entonces x 6= 0 e y 6= 0.

∀x,∀y [¬p(x, y, 0) −→ ¬q(x, 0) ∧ ¬q(0, y)]

(c) Si xy = 0, entonces x = 0 o y = 0.

∀x, ∀y [p(x, y, 0) −→ q(x, 0) ∨ q(0, y)]

(d) 3x = 6 si, y solo si x = 2.∀x [p(3, x, 6)←→ q(x, 2)]

(e) No existe solucion para x2 = y, a menos que y > 0.

∀y [r(0, y) −→ ¬∃x : p(x, x, y)]

(f) x < z es una condicion necesaria para que x < y e y < z.

∀x,∀y,∀z [r(y, x) ∧ r(z, y) −→ r(z, x)]

(g) x 6 y e y 6 x es una condicion suficiente para que y = x.

∀x,∀y [¬r(x, y) ∧ ¬r(y, x) −→ q(x, y)]

(h) Si x < y y z < 0, entonces xz > yz.

∀x, ∀y,∀z [r(y, x) ∧ r(0, z) −→ ∀u, ∀v (p(x, z, u) ∧ p(y, z, v)) −→ r(u, v)]

(i) No es cierto que x = y y x < y.∀x, ∀y [¬q(x, y) ∧ r(y, x)]

(j) Si x < y, entonces para algun z tal que z < 0, xz > yz.

∀x, ∀y [r(y, x) −→ ∃z : (r(0, z) ∧ ∀u, ∀v (p(x, z, u) ∧ p(y, z, v) −→ r(u, v)))]

(k) Existe un x tal que para cada y y z, es xy = xz.

∃x : [∀y,∀z,∀u, ∀v (p(x, y, u) ∧ p(x, z, v) −→ q(u, v))]

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2.2.2 Valor de Verdad del Cuantificador Universal

Sea p(x) un predicado cuya variable x toma valores en un universo del discurso U .

∀x, p(x) es verdad si el predicado p(x) es una proposicion verdadera para todos los valores de xen el universo U .

∀x, p(x) es falsa si hay, al menos, un valor de x en U para el cual el predicado p(x) sea unaproposicion falsa.

Ejemplo 2.11 Estudiar en el universo de los numeros enteros, el valor de verdad de las siguientesafirmaciones:

(a) ∀x, x < x + 1

(b) ∀x, x = 5

Solucion

(a) ∀x, x < x + 1

El predicado p(x) : x < x + 1 es una proposicion verdadera si sustituimos x por cualquier numeroentero, luego la proposicion cuantificada ∀x, x < x + 1 es verdad.

(b) ∀x, x = 5

Esta proposicion dice que “todos los numeros enteros son iguales a 5”. Pues bien, el predicadop(x) : x = 5 es una proposicion falsa, por ejemplo, para x = 1, luego la proposicion cuantificada∀x, x = 5 es falsa. �

2.2.3 Cuantificador Existencial

Si p(x) es un predicado cuya variable es x, entonces la afirmacion

“existe un x tal que p(x)”

es una proposicion en la que diremos que la variable x esta existencialmente cuantificada.

La frase “existe [al menos]” se simboliza con ∃, sımbolo que recibe el nombre de cuantificador existencial.

Por tanto, “existe un x, tal que p(x)” se escribe “∃x : p(x)” y puede leerse tambien como “para algunx, p(x)” o “existe, al menos, un x, tal que p(x)”.

2.2.4 Valor de Verdad del Cuantificador Existencial

Sea p(x) un predicado de variable x que toma valores en un universo del discurso U .

∃x : p(x) es verdadera, si el predicado p(x) es una proposicion verdadera para, al menos, uno delos valores de x en U .

∃x : p(x) es falsa, si el predicado p(x) es una proposicion falsa para todos los valores de x en U .

Nota 2.2 Un cuadro resumen de los valores de verdad de los cuantificadores podrıa ser el siguiente:

Verdad Falso∀x, p(x) p(x) es verdad para cada x p(x) es falsa para, al menos, un x

∃x : p(x) p(x) es verdad para, al menos, un x p(x) es falsa para todos los valores de x

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Ejemplo 2.12 Estudiar en el conjunto de los numeros enteros, el valor de verdad de las afirmacionessiguientes:

(a) ∃x : x < x + 1

(b) ∃x : x = 5

(c) ∃x : x = x + 1

Solucion

(a) ∃x : x < x + 1

La proposicion es “existe, al menos, un entero que es menor que el siguiente”.

El predicado p(x) : x < x + 1 es una proposicion verdadera para cualquier entero x, por tanto, laproposicion cuantificada es verdad.

(b) ∃x : x = 5

La traduccion de la proposicion al lenguaje ordinario es “existe, al menos, un entero igual a 5”.

El predicado p(x) : x = 5 es una proposicion verdadera cuando x toma el valor 5, luego laproposicion cuantificada es verdad.

(c) ∃x : x = x + 1

La proposicion es “existe, al menos, un numero entero que es igual al siguiente”

El predicado p(x) : x = x + 1 es una proposicion falsa para cualquier numero entero x, por tantola proposicion cuantificada es falsa. �

2.2.5 Alcance de un Cuantificador

En una expresion ∀x [p(x) . . .] o ∃x : [p(x) . . .], la porcion de la expresion a la que se aplica ∀x o ∃xse llama alcance del cuantificador y se indicara entre corchetes a menos que sea evidente.

Ejemplo 2.13 En cada una de las expresiones simbolicas siguientes, describir el alcance de cadacuantificador y decir que variables estan ligadas y cuales estan libres.

(a) ∀x [p(x) ∧ ∃y : (t(x, y) ∧ r(x))]

(b) ¬∃x : [p(x) ∧ ∃y : (t(x, y) ∨ r(z))]

(c) ¬∃x : [p(x) ∧ ∃y : (t(x, y) ∨ r(y))]

Solucion

(a) El alcance de ∀ es toda la formula. El alcance de ∃ es la formula (t(x, y) ∧ r(x)). La variable x estaligada por el cuantificador ∀ y la y por el ∃, luego no hay variables libres.

(b) El alcance de ¬∃ es el resto de la formula y el alcance de ∃ es t(x, y)∨ r(z). La variable z esta libre,pero x e y estan ligadas por el cuantificador ∃.

(c) Los alcances son los mismos que en (b). La y en r(y) esta libre, pero en t(x, y) esta ligada. �

Ejemplo 2.14 Consideremos el universo de los numeros enteros y sea p(x, y, z) el predicado x−y = z.Transcribir las siguientes afirmaciones a notacion logica.

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(a) Para cada x e y, existe algun z tal que x− y = z.

(b) Para cada x e y, existe algun z tal que x− z = y.

(c) Existe un x tal que para todo y, y − x = y.

(d) Cuando el 0 se resta de cualquier entero, el resultado es el entero original.

(e) 3 restado de 5 da 2.

Solucion

(a) Para cada x e y, existe algun z tal que x− y = z.

∀x [∀y(∃z : p(x, y, z))]

(b) Para cada x e y, existe algun z tal que x− z = y.

∀x [∀y(∃z : p(x, z, y))]

(c) Existe un x tal que para todo y, y − x = y.

∃x : [∀y, p(y, x, y)]

(d) Cuando el 0 se resta de cualquier entero, el resultado es el entero original.

∀x, p(x, 0, x)

(e) 3 restado de 5 da 2.p(5, 3, 2)

Ejemplo 2.15 Sean p(x, y, z), q(x, y, z) y r(x, y) los predicados “x + y = z”, “x · y = z” y “x < y”,respectivamente.

Expresar en el universo de los numeros enteros no negativos las afirmaciones siguientes:

(a) Para cada x e y, existe un z tal que x + y = z.

(b) Ningun x es menor que cero.

(c) Para todo x es x + 0 = x.

(d) Para todo x, x · y = y para todo y.

(e) Existe un x tal que x · y = y para cada y.

Solucion

(a) ∀x [∀y(∃z : p(x, y, z))]

(b) ∀x [¬r(x, 0)] o bien, ¬∃x : r(x, 0)

(c) ∀x, p(x, 0, x)

(d) ∀x [∀y, q(x, y, y)]

(e) ∃x : [∀y, q(x, y, y)] �

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Ejemplo 2.16 Determinar cuales de las siguientes proposiciones cuantificadas son verdad si el universoes el conjunto de los numeros enteros.

(a) ∀x [∃y : (x · y = 0)]

(b) ∃y : [∀x (x · y = 1)]

(c) ∃y : [∀x (x · y = x)]

Solucion

(a) ∀x [∃y : (x · y = 0)]

“Dado cualquier numero entero, existe otro tal que el producto de ambos es cero”

La proposicion∃y : x · y = 0

es verdad para cualquier entero x ya que bastarıa tomar y = 0. Por lo tanto,

∀x [∃y : (x · y = 0)]

es una proposicion verdadera.

(b) ∃y : [∀x (x · y = 1)]

“Puede encontrarse un numero entero tal que su producto por cualquier entero sea 1”

La proposicion∀x, x · y = 1

es falsa ya que bastarıa tomar x 6= 1 para que x · y 6= 1 cualquiera que sea el y que se elija. Por lotanto, la proposicion

∃y : [∀x (x · y = 1)]

es falsa.

(c) ∃y : [∀x (x · y = x)]

“Existe, al menos, un numero entero tal que al multiplicarlo por cualquier entero lo deja igual”.

La proposicion∀x, x · y = x

sera verdadera o falsa dependiendo del y que elijamos. En particular, si tomamos y = 1, laproposicion ∀x, x · y = x es verdad para todos los enteros. Consecuentemente,

∃y : [∀x (x · y = x)]

es una proposicion verdadera. �

Nota 2.3 Una afirmacion con variables cuantificadas se puede expresar mediante las proposicionesque se obtienen asignando valores a las variables de los predicados que ocurren en la afirmacion.

− Si el universo del discurso es finito esta relacion puede hacerse explıcita. Por ejemplo, supongamosque el universo consiste en los enteros 1,2,3 y 4, entonces la proposicion:

∀x, p(x)

equivale a la proposicionp(1) ∧ p(2) ∧ p(3) ∧ p(4)

y la proposicion∃x : p(x)

es equivalente a lap(1) ∨ p(2) ∨ p(3) ∨ p(4)

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− Si el universo del discurso es infinito una proposicion con cuantificadores no puede representarsesiempre por un numero finito de conjunciones o disyunciones de proposiciones sin cuantificadores.Sin embargo, podemos extender el concepto y a veces es conveniente expresar una afirmacionuniversal o existencialmente cuantificada como una conjuncion o disyuncion infinita, respectiva-mente. Por ejemplo, consideremos como universo del discurso el conjunto de los numeros enterosno negativos y sea p(x) el predicado “x > 4”. Entonces, la proposicion,

∀x, p(x)

puede interpretarse como la conjuncion infinita

p(0) ∧ p(1) ∧ p(2) ∧ p(3) ∧ p(4) ∧ · · ·

la cual es falsa ya que, por ejemplo, p(0) es falsa.

Asimismo, la proposicion∃x : p(x)

puede interpretarse como la disyuncion infinita

p(0) ∨ p(1) ∨ p(2) ∨ p(3) ∨ p(4) ∨ · · ·

la cual es verdad, ya que al menos uno de los operandos, por ejemplo p(5), es verdad. �

Ejemplo 2.17 Sea el universo del discurso U = {0, 1}. Encontrar conjunciones y disyunciones finitasde proposiciones que no usen cuantificadores y que sean equivalentes a las siguientes:

(a) ∀x, p(0, x)

(b) ∀x [∀y, p(x, y)]

(c) ∀x [∃y : p(x, y)]

(d) ∃x : [∀y, p(x, y)]

(e) ∃y [∃x : p(x, y)]

Solucion

(a) ∀x, p(0, x)

La forma equivalente pedida esp(0, 0) ∧ p(0, 1)

(b) La proposicion cuantificada ∀x [∀y (p(x, y))] puede expandirse en la forma:

[∀y, p(0, y)] ∧ [∀y, p(1, y)]

la cual puede interpretarse como

[p(0, 0) ∧ p(0, 1)] ∧ [p(1, 0) ∧ p(1, 1)]

que por la asociatividad de ∧ equivale a

p(0, 0) ∧ p(0, 1) ∧ p(1, 0) ∧ p(1, 1)

(c) Expandimos la proposicion ∀x [∃y : p(x, y)] a

[∃y : p(0, y)] ∧ [∃y : p(1, y)]

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la cual equivale a[p(0, 0) ∨ p(0, 1)[ ∧ [p(1, 0) ∨ p(1, 1)]

y aplicando la distributividad de ∧ respecto de ∨,

[(p(0, 0) ∨ p(0, 1)) ∧ p(1, 0)] ∨ [(p(0, 0) ∨ p(0, 1)) ∧ p(1, 1)]

es decir,

(p(0, 0) ∧ p(1, 0)) ∨ (p(0, 1) ∧ p(1, 0)) ∨ (p(0, 0) ∧ p(1, 1)) ∨ (p(0, 1) ∧ p(1, 1))

(d) ∃x : [∀y, p(x, y)] se expande en la forma:

[∀y, p(0, y)] ∨ [∀y, p(1, y)]

la cual equivale a la proposicion

[p(0, 0) ∧ p(0, 1)] ∨ [p(1, 0) ∧ p(1, 1)]

y por la distributividad de ∨ respecto de ∧,

[(p(0, 0) ∧ p(0, 1)) ∨ p(1, 0)] ∧ [(p(0, 0) ∧ p(0, 1)) ∨ p(1, 1)]

es decir,

(p(0, 0) ∨ p(0, 1)) ∧ (p(0, 1) ∨ p(1, 0)) ∧ (p(0, 0) ∨ p(1, 1)) ∧ (p(0, 1) ∨ p(1, 1))

(e) La proposicion con cuantificadores ∃y [∃x : p(x, y)] puede expandirse a:

[∃x : p(x, 0)] ∨ [∃x : p(x, 1)]

que es equivalente a la proposicion,

p(0, 0) ∨ p(1, 0) ∨ p(0, 1) ∨ p(1, 1)

En el ejemplo siguiente veremos como el orden en que se ligan las variables es vital y puede afectarprofundamente el significado de una afirmacion.

Ejemplo 2.18 Si el universo del discurso es el conjunto de las personas casadas, evaluar las afirmacionessiguientes:

(a) ∀x [∃y : (x esta casada con y)]

(b) ∃y : [∀x (x esta casada con y)]

Si el universo es el conjunto de los numeros enteros, evaluar:

(c) ∀x [∃y : (x + y = 0)]

(d) ∃y : [∀x (x + y = 0)]

Solucion

Los cuantificadores se evaluan de izquierda a derecha.

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(a) ∀x [∃y : (x esta casada con y)]

La transcripcion de la proposicion es “para cada persona que elijamos en el universo del discurso,existe otra que esta casada con ella”.

Pues bien, dada una persona cualquiera x, la proposicion

∃y : x esta casada con y

es verdadera, por lo tanto,∀x [∃y : (x esta casada con y)]

es verdad.

(b) ∃y : [∀x (x esta casada con y)]

La transcripcion es “Existe una persona y del universo del discurso tal que todas las demas estancasadas con ella”.

Pues bien, la proposicion∀x(x esta casada con y)

es falsa para cualquier y que tomemos en el universo, por tanto,

∃y : [∀x (x esta casada con y)]

es una proposicion falsa.

(c) ∀x [∃y : (x + y = 0)]

“Dado cualquier numero entero, existe otro tal que la suma de ambos es cero”.

Pues bien, dado cualquier numero entero x, la proposicion

∃y : x + y = 0

es verdad ya que siempre puede encontrarse otro entero y que cumpla la ecuacion x+y = 0 (bastarıatomar y = −x). Por lo tanto la proposicion

∀x [∃y : (x + y = 0)]

es verdad.

(d) ∃y : [∀x (x + y = 0)]

“Existe, al menos, un numero entero y tal que su suma con cualquier otro numero entero es cero”.

La proposicion∀x, x + y = 0

es falsa para todos los y del universo del discurso. En efecto, bastarıa tomar un x 6= 0 y x 6= −ypara que x + y 6= 0. Por lo tanto,

∃y : [∀x (x + y = 0)]

es una proposicion falsa.

Observese que las dos parejas de proposiciones se diferencian unicamente en el orden de los cuantificadoresuniversal y existencial y, sin embargo, sus valores de verdad son distintos. �

Nota 2.4 Cuando se asignan valores a las variables de un predicado para transformarla en unaproposicion, los valores de verdad de esta pueden cambiar dependiendo del universo del discurso quese elija. Por ejemplo, la proposicion “∀x, x es negativo” sera verdad si el universo del discurso son losnumeros enteros negativos y falsa si son los enteros positivos. En el ejemplo siguiente buscamos universosque hagan que determinadas proposiciones sean verdaderas. �

Ejemplo 2.19 Especificar un universo del discurso para el cual las proposiciones siguientes sean verdad.Elegir el universo como un conjunto de numeros enteros tan grande como sea posible.

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(a) ∀x, x > 0

(b) ∀x, x = 3

(c) ∀x [∃y : (x + y = 248)]

(d) ∃y : [∀ (x, x + y < 0)]

Solucion

(a) La proposicion ∀x, x > 0 significa que x sea mayor que cero, cualquiera que sea x, luego U es elconjunto de los enteros positivos.

(b) ∀x, x = 3, significa que cualquiera que sea x, valga 3, luego U es el subconjunto de los enterosformado unicamente por el 3.

(c) ∀x [∃y (: x + y = 248)]. El universo del discurso que hace que esta proposicion sea verdad es elconjunto de los enteros, ya que dado cualquier entero x, bastarıa tomar y = 248 − x para que laproposicion ∃y : x + y = 248 fuese verdad.

(d) ∃y : [∀x (x + y < 0)]. El universo que hace verdadera esta proposicion es el de los enteros negativos,ya que fijando un y en el la proposicion ∀x(x + y < 0) es verdad. �

2.3 Calculo de Predicados

La version de la logica que trata con proposiciones cuantificadas se llama logica de predicados. Laintroduccion de cuantificadores no solo amplıa la fuerza expresiva de las proposiciones que se puedenconstruir, sino que tambien permite elaborar principios logicos que explican el razonamiento seguido encasi todas las demostraciones matematicas.

Una transcripcion cuidadosa de los desarrollos matematicos incluyen, a menudo, cuantificadores, predi-cados y operadores logicos.

Ejemplo 2.20 Consideremos como universo del discurso el conjunto de los numeros enteros y sean

p(x) : x es no negativo.

q(x) : x es par.

r(x) : x es impar.

s(x) : x es primo.

Expresar en notacion logica las siguientes afirmaciones:

(a) Existe un entero par.

(b) Todo numero entero es par o impar.

(c) Todos los numeros primos son no negativos.

(d) El unico numero primo par es el 2.

(e) No todos los enteros son pares.

(f) No todos los primos son impares.

(g) Si un entero no es impar, entonces es par.

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Solucion

(a) Existe un entero par.∃x : q(x)

(b) Todo numero entero es par o impar.∀x [q(x) ∨ r(x)]

(c) Todos los numeros primos son no negativos.

∀x [s(x) −→ p(x)]

(d) El unico numero primo par es el 2.

∀x [s(x) ∧ q(x) −→ x = 2]

(e) No todos los enteros son pares.¬ [∀x, q(x)]

(f) No todos los primos son impares.¬∀x, [s(x) −→ r(x)]

(g) Si un entero no es impar, entonces es par.

∀x [¬r(x) −→ q(x)]

Observese que en el ejemplo anterior, los cuantificadores estan al comienzo de cada afirmacion. Sinembargo, no siempre es ası, los cuantificadores pueden ir en cualquier parte y su situacion es importante.

Ejemplo 2.21 Consideremos en el universo de los numeros enteros el predicado p(x, y, z) : xy = z.Transcribir a notacion logica las afirmaciones siguientes:

(a) Si x = 0, entonces xy = x para todos los valores de y.

(b) Si xy = x para cada y, entonces x = 0.

(c) Si xy 6= x para algun x, entonces x 6= 0.

Solucion

Sea p(x, y, z) : xy = z, entonces

(a) Si x = 0, entonces xy = x para todos los valores de y.

∀x [x = 0 −→ ∀y, p(x, y, x)]

(b) Si xy = x para cada y, entonces x = 0.

∀x [∀y (p(x, y, x) −→ x = 0)]

(c) Si xy 6= x para algun x, entonces x 6= 0.

∃x : [¬p(x, y, x) −→ x 6= 0]

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La proposicion (b) afirma que si xy = x para todos los valores de y, entonces x vale cero. Si en su lugarescribimos

∀x [∀y (p(x, y, x) −→ x = 0)]

la transcripcion no es correcta, ya que en tal caso estarıamos afirmando que si xy = x, entonces x = 0para cada x y para cada y, lo cual es falso ya que, por ejemplo, tomando x = y = 1, tendremos que xy = xy, sin embargo, x no es cero. Por tanto, el lugar en el que se coloca el cuantificador es fundamental. �

Los ejemplos anteriores ilustran la gran variedad de formas en las que pueden hacerse afirmaciones quecontengan predicados, cuantificadores y operadores logicos.

Nota 2.5 El valor de verdad de una proposicion compuesta depende, generalmente, del conjuntouniversal donde las variables ligadas estan cuantificadas. Sin embargo, existen ejemplos importantesdonde el valor de verdad no depende ni del universo del discurso ni de los valores que las variables tomenen el mismo.

2.3.1 Implicacion Logica

Sean A1 y A2 dos afirmaciones que contienen predicados. Diremos que A1 implica logicamente A2 sipara cualquier universo del discurso que elijamos y para cualquier valor de las variables en el mismo,A2 es verdad cuando A1 lo sea.

2.3.2 Equivalencia Logica

Sean A1 y A2 dos afirmaciones que contienen predicados. Diremos que A1 equivale logicamente aA2 si para cualquier universo del discurso que elijamos y para cualquier valor de las variables en elmismo, A1 y A2 tienen los mismos valores de verdad.

Observese que las definiciones son analogas a las dadas para la implicacion y equivalencia logica deproposiciones. Ahora se exige que las condiciones se verifiquen para cualquier universo del discurso ycualquier valor de las variables en el mismo.

2.3.3 Leyes de De Morgan Generalizadas

Constituyen una clase importante de equivalencias logicas y son las siguientes:

1. ¬∀x, p(x)⇐⇒ ∃x : ¬p(x)

2. ¬∃x : p(x)⇐⇒ ∀x,¬p(x)

3. ∀x, p(x)⇐⇒ ¬∃x : ¬p(x)

4. ∃x : p(x)⇐⇒ ¬∀x,¬p(x)

Demostracion

Sea U un universo del discurso arbitrario, p(x) un predicado cualquiera, y x cualquiera de U .

Veamos que en todos los casos las dos proposiciones tienen los mismos valores de verdad.

1. ¬∀x, p(x)⇐⇒ ∃x : ¬p(x)

Si ¬∀x, p(x) es verdad, entonces ∀x, p(x) es falso, luego existe, al menos, un x en U para el cualp(x) es falso, o lo que es igual para el que ¬p(x) es verdad, es decir ∃x : ¬p(x) es verdad.

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Si ¬∀x, p(x) es falso, entonces ∀x, p(x) es verdad, luego p(x) es verdad para cualquier valor de x y¬p(x) falso. Por lo tanto, ∃x : ¬p(x) es falso.

2. ¬∃x : p(x)⇐⇒ ∀x,¬p(x)

Si ¬∃x : p(x) es verdad, entonces ∃x : p(x) es falso, luego p(x) es falso para todos los valores de x,es decir ¬p(x) es verdad para cualquier x de U y, consecuentemente, ∀x,¬p(x) es verdad.

Si ¬∃x : p(x) es falso, entonces ∃x : p(x) es verdad, luego p(x) es verdad para algun valor de x, deaquı que exista un x para el cual ¬p(x) es falso y, por lo tanto, ∀x,¬p(x) es falso.

3. ∀x, p(x)⇐⇒ ¬∃x : ¬p(x)

Si ∀x, p(x) es verdad, entonces p(x) es verdad para cualquier x o lo que es igual ¬p(x) es falso paratodo x de U , es decir ∃x : ¬p(x) es falso y, por tanto, ¬∃x : ¬p(x) es verdad.

Si ∀x, p(x) es falso, entonces hay, al menos, un valor de x para el cual p(x) es falso o para el que¬p(x) es verdad, es decir ∃x : ¬p(x) es verdad y, consecuentemente, ¬∃x : ¬p(x) es falso.

4. ∃x : p(x)⇐⇒ ¬∀x,¬p(x)

Si ∃x : p(x) es verdad, entonces p(x) es verdad para algun valor de x en U , luego existe un x en Upara el cual ¬p(x) es falso, es decir, ∀x,¬p(x) es falso y, consecuentemente, ¬∀x,¬p(x) es verdad.

Si ∃x : p(x) es falso, entonces p(x) es falsa para todos los valores de x en U , es decir ¬p(x) esverdad, luego ∀x,¬p(x) es verdad y, por lo tanto, ¬∀x¬p(x) es falso.

Tenemos, pues, que cada una de las proposiciones anteriores son verdaderas independientemente delconjunto universal que elijamos y las variables de predicado que utilicemos, por lo tanto de acuerdo conla definicion, son logicamente equivalentes. �

Nota 2.6 Observese que segun lo que acabamos de probar, la equivalencia 1. es cierta para cualquierpredicado luego sera cierto para ¬p(x). Entonces,

¬∀x,¬p(x)⇐⇒ ∃x : ¬¬p(x)

y si sustituimos ¬¬p(x) por p(x), resulta

¬∀x,¬p(x)⇐⇒ ∃x : p(x)

que es la cuarta ley de De Morgan, de la cual, negando ambos miembros, y en virtud de la equivalencialogica entre una proposicion y su contrarrecıproca, obtenemos,

¬¬∀x,¬p(x)⇐⇒ ¬∃x : p(x)

es decir,∀x,¬p(x)⇐⇒ ¬∃x : p(x)

que es la segunda ley de De Morgan. Si ahora se la aplicamos a ¬p(x), obtendremos

∀x,¬¬p(x)⇐⇒ ¬∃x : ¬p(x)

o sea,∀x, p(x)⇐⇒ ¬∃x : ¬p(x)

que es la tercera ley de De Morgan. �

Nota 2.7 Las leyes de De Morgan generalizadas pueden utilizarse repetidamente para negar cualquierproposicion con cuantificadores.

Por ejemplo, podemos utilizarlas para negar la proposicion

∃w : [∀x (∃y : (∃z : p(w, x, y, z)))]

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En efecto,

¬∃w : [∀x (∃y : (∃z : p(w, x, y, z)))] ⇐⇒ ∀w [¬∀x(∃y : (∃z : p(w, x, y, z)))] {Segunda ley}

⇐⇒ ∀w [∃x : (¬∃y : (∃z : p(w, x, y, z)] {Primera ley}

⇐⇒ ∀w [∃x : (∀y(¬∃z : p(w, x, y, z)))] {Segunda ley}

⇐⇒ ∀w [∃x : (∀y(∀z,¬p(w, x, y, z)))] {Segunda ley}

2.3.4 Regla general

La negacion de una proposicion con cuantif icadores es logicamente equivalente a la proposicion quese obtiene sustituyendo cada ∀ por ∃, cada ∃ por ∀ y reemplazando el predicado por su negacion.

Ejemplo 2.22 Construir la negacion de la proposicion

∀x [∀y (∃z : x < z < y)]

Solucion

De acuerdo con la regla general, la negacion de la proposicion anterior es:

∃x : [∃y : (∀z,¬(x < z < y))]

si ahora aplicamos las leyes de De Morgan del calculo proposicional a la proposicion ¬(x < z < y),tendremos

¬(x < z < y) ⇐⇒ ¬ [(x < z) ∧ (z < y)]

⇐⇒ ¬(x < z) ∨ ¬(z < y)

⇐⇒ x > z ∨ z > y

Por tanto, la negacion de ∀x [∀y(∃z : (x < z < y))] es logicamente equivalente a

∃x : [∃y : (∀z, x > z ∨ z > y)]

Ejemplo 2.23 Negar la afirmacion “todas las empresas fabrican algun componente de todos los orde-nadores”.

Solucion

Sean los predicados

p(x, y): la empresa x produce el componente y

y

q(y, z): y es un componente del ordenador z

La afirmacion propuesta escrita en lenguaje simbolico serıa

∀x [∀z(∃y : (p(x, y) ∧ p(y, z)))]

y su negacion, de acuerdo con la regla general sera:

∃x : [∃z : (∀y : ¬(p(x, y) ∧ q(y, z)))]

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la cual, a su vez, es logicamente equivalente a

∃x : [∃z : (∀y : ¬p(x, y) ∨ ¬q(y, z))]

que podemos escribir en forma de condicional sin mas que utilizar la implicacion logica conocida comoimplicacion,

∃x : [∃z : (∀y : p(x, y) −→ ¬q(y, z))]

cuya interpretacion es

“pueden encontrarse una empresa y un ordenador tales que si un componente cualquiera estafabricado por la empresa, entonces no pertenece al ordenador”.

Observese que tambien podıamos haber escrito

∃x : [∃z : (∀y : q(y, z) −→ ¬p(x, y))]

cuya interpretacion es

“pueden encontrarse una empresa y un ordenador tales que si un componente cualquierapertenece al ordenador, entonces no esta fabricado por la empresa”.

Observese tambien que otra forma equivalente de la negacion es

∃x : [∃z : (¬∃y : p(x, y) ∧ q(y, z))]

cuya interpretacion es

“existen una empresa y un ordenador tales que la empresa no fabrica ningun componente delordenador”

o tambien

“existen una empresa y un ordenador tales que el ordenador no tiene ningun componentefabricado por la empresa.”

Ahora estudiaremos de que forma afectan a los cuantificadores lo conectores logicos conjuncion y disyuncion.

2.3.5 Proposiciones al Alcance de un Cuantificador

Si una proposicion esta dentro del alcance de un cuantificador mediante una conjuncion o unadisyuncion, entonces puede situarse fuera del alcance del mismo.

(a) ∀x [p(x) ∨ q]⇐⇒ [∀x, p(x)] ∨ q

(b) ∃x : [p(x) ∨ q]⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ q

(c) ∃x : [p(x) ∧ q]⇐⇒ [∃x : p(x)] ∧ q

(d) ∀x [p(x) ∧ q]⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ q

Demostracion

Supondremos que U es un universo del discurso arbitrario, p(x) cualquier predicado, x un elementocualquiera de U y q una proposicion cualquiera.

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(a) ∀x [p(x) ∨ q]⇐⇒ [∀x, p(x)] ∨ q.

Veamos que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad.

Si ∀x [p(x) ∨ q] es verdad, entonces p(x) ∨ q es verdad para todos los valores de x en U luego unade las dos proposiciones ha ser verdad para todo x.

− Si p(x) es verdad para todos los valores de x en U , entonces ∀x, p(x) es verdad y, consecuente-mente [∀x, p(x)] ∨ q es verdad.

− Si q es verdad, entonces [∀x, p(x)] ∨ q es verdad.

luego en ambos casos, [∀x, p(x)] ∨ q es verdad.

Si ∀x [p(x) ∨ q] es falso, entonces existe al menos un x para el cual p(x) ∨ q es falso de aquı quep(x) sea falso para ese x y q tambien, luego [∀x, p(x)] es falso, q es falso y, consecuentemente,[∀x, p(x)] ∨ q es falso.

(b) ∃x : [p(x) ∨ q]⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ q.

Veamos si ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad.

Si ∃x : p(x) ∨ q es verdad, entonces existe un x, para el cual p(x) ∨ q es verdad, luego una de lasdos proposiciones ha de ser verdad.

− Si p(x) es verdad para algun x, entonces ∃x : p(x) es verdad y, consecuentemente, [∃x : p(x)]∨qtambien lo es.

− Si q es verdad, entonces [∃x : p(x)] ∨ q tambien lo es.

es decir, en cualquier caso [∃x : p(x)] ∨ q es verdad.

Si ∃x : [p(x) ∨ q] es falso, entonces p(x) ∨ q es falso para todos los valores de x, luego p(x) es falsopara cualquier x de U y q tambien, es decir ∃x : p(x) es falso y q falso, luego [∃x : p(x)]∨q es falso.

(c) ∃x : [p(x) ∧ q]⇐⇒ [∃x : p(x)] ∧ q.

Si ∃x : [p(x) ∧ q] es verdad, entonces p(x)∧q es verdad para algun valor de la variable x, luego p(x)y q han de ser verdad para este x de aquı que ∃x : p(x) sea verdad y q tambien y, consecuentemente,[∃x : p(x)] ∧ q es verdad.

Si [∃x : p(x) ∧ q] es falso, entonces p(x)∧q es falso para todos los valores de la variable x, luego p(x)y q han de ser, ambos, falsos para todos esos valores, de aquı que ∃x : p(x) sea falso y q tambien.Consecuentemente, [∃x : p(x)] ∧ q es falso.

Tambien podemos probarlo de otra forma. En efecto, en el apartado (a) hemos visto que

∀x [p(x) ∨ q]⇐⇒ [∀x, p(x)] ∨ q

de aquı que sustituyendo los predicados por sus negaciones, tengamos

∀x [¬p(x) ∨ ¬q]⇐⇒ [∀x,¬p(x)] ∨ ¬q

y negando ambos miembros,

¬∀x [¬p(x) ∨ ¬q]⇐⇒ ¬ [(∀x,¬(p(x)) ∨ ¬q]

y aplicando las leyes de De Morgan en el segundo miembro

¬∀x [¬p(x) ∨ ¬q]⇐⇒ [¬∀x,¬p(x)] ∧ q

y por las leyes de De Morgan generalizadas,

∃x : ¬ [¬(p(x) ∨ ¬q]⇐⇒ [∃x : ¬¬p(x)] ∧ q

es decir,∃x : [¬¬p(x) ∧ ¬¬q]⇐⇒ [∃x : p(x)] ∧ q

y, consecuentemente,∃x : [p(x) ∧ q]⇐⇒ [∃x : p(x)] ∧ q

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(d) ∀x [p(x) ∧ q]⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ q.

Si ∀x(p(x) ∧ q) es verdad, entonces p(x) ∧ q es verdad para todos los valores de x en U de aquıque p(x) y q sean, ambos, verdad para cualquier x. Por lo tanto, ∀x, p(x) es verdad y q tambien y,consecuentemente, [∀x, p(x)] ∧ q es verdad.

Si ∀x [p(x) ∧ q] es falso, entonces hay algun valor de la variable x para el cual p(x) ∧ q es falso, deaquı que una de las dos proposiciones sea falsa.

− Si p(x) es falsa para algun valor de la variable x, entonces ∀x, p(x) es falsa y, consecuentemente,[∀x, p(x)] ∧ q sera falsa, independientemente del valor de verdad de q.

− Si q es falsa, entonces [∀x, p(x)] ∧ q es falsa.

Al igual que el apartado anterior, lo probaremos de otra forma. En efecto, en el apartado (b) vimosque

∃x : [p(x) ∨ q]⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ q

luego si sustituimos cada proposicion por su negacion, tendremos

∃x : [¬p(x) ∨ ¬q]⇐⇒ [∃x : ¬p(x)] ∨ ¬q

y negando ambos miembros,

¬∃x : [¬p(x) ∨ ¬q]⇐⇒ ¬ [(∃x : ¬p(x)) ∨ ¬q]

es decir,¬∃x : [¬p(x) ∨ ¬q]⇐⇒ [¬∃x : ¬p(x)] ∧ q

de aquı que, por las Leyes de De Morgan generalizadas, tengamos

∀x,¬ [¬p(x) ∨ ¬q]⇐⇒ [∀x,¬¬p(x)] ∧ q

o sea,∀x [¬¬p(x) ∧ ¬¬q]⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ q

y, consecuentemente,∀x [p(x) ∧ q]⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ q

Ejemplo 2.24 Probar las siguientes equivalencias:

(a) ∀x [p −→ q(x)]⇐⇒ p −→ [∀x, q(x)]

(b) [∀x, p(x)] −→ q ⇐⇒ ∃x : [p(x) −→ q]

Solucion

(a) ∀x [p −→ q(x)]⇐⇒ p −→ [∀x, q(x)]

En efecto,∀x [p −→ q(x)] ⇐⇒ ∀x [¬p ∨ q(x)] {Implicacion}

⇐⇒ ∀x [q(x) ∨ ¬p] {Conmutatividad de ∨}

⇐⇒ [∀x, q(x)] ∨ ¬p {2.3.5 (a)}

⇐⇒ ¬p ∨ [∀x, q(x)] {Conmutatividad de ∨}

⇐⇒ p −→ [∀x, q(x)] {Implicacion}

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(b) [∀x, p(x) −→ q]⇐⇒ ∃x : [p(x) −→ q]

En efecto,[∀x, p(x)] −→ q ⇐⇒ [¬∀x, p(x)] ∨ q {Implicacion}

⇐⇒ [∃x : ¬p(x)] ∨ q {Leyes de De Morgan}

⇐⇒ ∃x : [¬p(x) ∨ q] {2.3.5 (a)}

⇐⇒ ∃x : [p(x) −→ q] {Implicacion}

2.3.6 Predicados al Alcance de un Cuantificador

Los predicados con variables no ligadas por un cuantificador que esten dentro del alcance del mismomediante una conjuncion o una disyuncion pueden situarse fuera del alcance del cuantificador.

(a) ∀x [p(x) ∨ q(y)]⇐⇒ [∀x, p(x)] ∨ q(y)

(b) ∀x [p(x) ∧ q(y)]⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ q(y)

(c) ∃x : [p(x) ∨ q(y)]⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ q(y)

(d) ∃x : [p(x) ∧ q(y)]⇐⇒ [∃x : p(x)] ∧ q(y)

Demostracion

La demostracion es identica a la hecha en la proposicion anterior. �

2.3.7 Asociatividad y Distributividad

(a) ∀x [p(x) ∧ q(x)]⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ [∀x, q(x)]

(b) ∃x : [p(x) ∧ q(x)] =⇒ [∃x : p(x)] ∧ [∃x : q(x)]

(c) ∃x : [p(x) ∨ q(x)]⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ [∃x : q(x)]

(d) [∀x, p(x)] ∨ [∀x, q(x)] =⇒ ∀x, [p(x) ∨ q(x)]

Demostracion

Sea U un universo del discurso cualquiera y p(x), q(x) dos predicados arbitrarios, siendo x cualquierelemento de U

(a) ∀x [p(x) ∧ q(x)]⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ [∀x, q(x)]

Veamos que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad.

Si ∀x [p(x) ∧ q(x)] es verdad, entonces p(x) ∧ q(x) es verdad para todos los valores de x en U ,luego p(x) y q(x) son, ambas, verdad para cualquier x de U , es decir ∀x, p(x) es verdad y ∀x, q(x)tambien, luego [∀x, p(x)] ∧ [∀x, q(x)] es verdad.

Por otra parte, si ∀x [p(x) ∧ q(x)] es falso, entonces existe, al menos, un valor de x en U para elcual p(x) ∧ q(x) es falsa luego una de las dos ha de ser falsa.

− Si p(x) es falsa para algun valor de x, entonces ∀x, p(x) es falsa y, consecuentemente, laproposicion [∀x, p(x)] ∧ [∀x, q(x)] es falsa.

− Si q(x) es falsa, el razonamiento es identico al anterior.

Por lo tanto, en ambos casos, la proposicion es falsa.

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La relacion anterior suele enunciarse informalmente diciendo que “el cuantificador universal esdistributivo respecto del conectivo logico conjuncion.”

(b) ∃x : [p(x) ∧ q(x)] =⇒ [∃x : p(x)] ∧ [∃x : q(x)]

Veamos que si la primera de las proposiciones es verdad, entonces la segunda tambien lo es. Enefecto si ∃x : [p(x) ∧ q(x)] es verdad, entonces p(x)∧ q(x) es verdad para algun x en U , luego p(x)y q(x) son verdad, ambas, para ese x, de aquı que ∃x : p(x) sea verdad y ∃x : q(x) tambien y,consecuentemente, [∃x : p(x)] ∧ [∃x : q(x)] es verdad.

Veamos que, sin embargo, no se da la equivalencia logica como en el apartado anterior.

En efecto, la afirmacion ∃x : [p(x) ∧ q(x)] nos dice que existe un valor de x en el universo para elcual p(x) y q(x) son, ambas, verdad.

Por otra parte, [∃x : p(x)] ∧ [∃x : q(x)] afirma que existe un valor de x en el universo tal que p(x)es verdad y que existe un valor de x para el cual es verdad q(x).

Veamos un contraejemplo que pone de manifiesto lo que decimos. Supongamos que U es el conjuntode los numeros enteros y sea p(x) : x es un numero par y q(x) : x es un numero impar. Entonces,“existe, al menos, un numero entero par y existe, al menos, un numero entero impar”, luego

[∃x : p(x)] ∧ [∃x : q(x)]

es una proposicion verdadera, en tanto que “existe, al menos, un numero entero que es, al mismotiempo, par e impar”, es decir,

∃x : [p(x) ∧ q(x)]

es una proposicion falsa, luego no se verifica la implicacion contraria.

(c) ∃x : [p(x) ∨ q(x)]⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ [∃x : q(x)]

Veamos que si la segunda es falsa, entonces la primera tambien lo es (equivale a probar que si laprimera es verdad, la segunda tambien). En efecto, si [∃x : p(x)] ∨ [∃x : q(x)] es falsa, entonces∃x : p(x) es falsa y ∃x : q(x) tambien, luego p(x) y q(x) son, ambas, falsas para todos los valoresde x en U , de aquı que para cualquier valor de x, p(x) ∨ q(x) sea falsa y, consecuentemente,∃x : [p(x) ∨ q(x)] es una proposicion falsa.

Por otra parte, si ∃x : [p(x) ∨ q(x)] es falsa, entonces p(x)∨ q(x) es falsa para todos los valores de xen U , luego p(x) es falsa y q(x) es falsa para cualquier x, de aquı que ∃x : p(x) sea falsa, ∃x : q(x)tambien y, consecuentemente, [∃x : p(x)] ∨ [∃x : q(x)] sea una proposicion falsa.

Veamos otra forma de demostrar lo mismo. En el apartado (a), hemos visto que

∀x [p(x) ∧ q(x)]⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ [∀x, q(x)]

siendo cierto este resultado para cualquier predicado, luego tambien lo sera para sus negaciones, esdecir,

∀x [¬p(x) ∧ ¬q(x)]⇐⇒ [∀x,¬p(x)] ∧ [∀x,¬q(x)]

negando ahora ambos miembros, resulta

¬∀x [¬p(x) ∧ ¬q(x)]⇐⇒ ¬ [(∀x,¬p(x)) ∧ (∀x,¬q(x))]

ası pues,∃x : ¬([¬p(x) ∧ ¬q(x)]]⇐⇒ [¬∀x,¬p(x)] ∨ [¬∀x,¬q(x)]

es decir,∃x : [¬¬p(x) ∨ ¬¬q(x)]⇐⇒ [∃x : ¬¬p(x)] ∨ [∃x : ¬¬q(x)]

de aquı que∃x : [p(x) ∨ q(x)]⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ (∃x : q(x)]

La relacion anterior suele enunciarse informalmente diciendo que “el cuantificador existencial esdistributivo respecto del conectivo logico disyuncion”

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(d) [∀x, p(x)] ∨ [∀x, q(x)] =⇒ ∀x, [p(x) ∨ q(x)] En efecto, si [∀x, p(x)] ∨ [∀x, q(x)] es verdad, entoncesuna de las dos proposiciones ha de ser verdad.

Si ∀x, p(x) es verdad, p(x) ha de ser verdad para todos los valores de x, luego p(x)∨ q(x) es verdady, consecuentemente, ∀x [p(x) ∨ q(x)] es verdad.

Si ∀x, q(x) es verdad, se razona exactamente igual.

Otra forma de demostrar lo mismo es la siguiente: en el apartado (b) vimos que

∃x : [p(x) ∧ q(x)] =⇒ [∃x : p(x)] ∧ [∃x : q(x)]

Si ahora sustituimos los predicados por sus negaciones,

∃x : [¬p(x) ∧ ¬q(x)] =⇒ [∃x : ¬p(x)] ∧ [∃x : ¬q(x)]

negamos ambos miembros, y aplicamos la “contrarrecıproca”, resulta

¬ [∃x : ¬p(x)] ∧ [∃x : ¬q(x)] =⇒ ¬∃x : [¬p(x) ∧ ¬q(x)]

luego,[¬∃x : ¬p(x)] ∨ [¬∃x : ¬q(x)] =⇒ ∀x¬ [¬p(x) ∧ ¬q(x)]

es decir,[∀x,¬¬p(x)] ∨ [∀x,¬¬q(x)] =⇒ ∀x [¬¬p(x) ∨ ¬¬q(x)]

de donde se sigue que[∀x, p(x)] ∨ [∀x, q(x)] =⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]

Por razones analogas a las del apartado (b) no se da la equivalencia logica. �

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