Árboles semánticos para lógica modal con algunos

Árboles semánticos para lógica modal conalgunos resultados sobre sistemas normales

(Tesis doctoral)

Francisco J. Salguero Lamillar

Árboles semánticos para lógica modalcon algunos resultados sobre sistemas

normales

Francisco José Salguero Lamillar

Tesis doctoral presentada para la obtención del título de Doctor en Fi-losofía por Francisco J. Salguero Lamillar, bajo la dirección del Dr. EmilioDíaz Estévez.

Departamento de Filosofía, Lógica y Filosofía de la Cienciay Estética y Teoría de las Artes

Universidad de Sevilla1991

Non enim tanta fuit antiquorum scriptorum perfectio ut non et nostrodoctrina indigeat studio, nec tantum in nobis mortalibus scientia potest

crescere ut non ultra possit augmentum recipere.Abelardo

Prólogo

Este texto se corresponde con la versión LATEX de la tesis doctoral que fuedefendida en la Universidad de Sevilla en febrero de 1991. En esta versión sehan corregido algunas erratas tipográficas y se han renumerado los teoremas,lemas, corolarios y definiciones mediante el uso del entorno Teorema. Por lodemás, el texto es fiel al original, que puede consultarse en https://idus.us.es/handle/11441/15337;jsessionid=5B82236B430F758792B98692898A2DD9?

El director de la tesis fue el profesor Emilio Díaz Estévez, a quien siempreestaré agradecido por su magisterio y su amistad. El tribunal lo presidióJorge Pérez Ballestar, Ángel Nepomuceno Fernández fue el secretario, y LuisVillegas Forero, Inmaculada Pérez de Guzmán Molina y Alfredo BurriezaMuñiz los vocales. Desafortunadamente, algunas de estas personas ya noestán, pero, aunque han transcurrido más de treinta años, con todas ellasestoy en deuda por su ayuda, sus correcciones y comentarios de aquella épocaremota y, sin embargo, viva en mi memoria y en mi ánimo.

En Sevilla a 12 de abril de 2021.

Introducción

Suele hablarse en lógica de dos perspectivas diferentes desde las que abor-dar los lenguajes formales: la una sintáctica, semántica la otra. La primeratrataría de establecer a partir de unas reglas primitivas de transformación yde unos pocos axiomas el mayor número de teoremas posibles, independien-temente de la interpretación que se dé a los signos lingüísticos constitutivos;la segunda tendría la intención, precisamente, de fundamentar las verdadesdel sistema en una interpretación adecuada de esos signos. Así, mientrasque el análisis sintáctico de las modalidades lleva al estudio de determinadasverdades lógicas intuitivas para desarrollar a partir de ellas unos axiomas yunas reglas de derivación que permitan fundamentar un cálculo válido paraenunciados modales, el análisis semántico aborda el estudio de los propiosconceptos modales para desarrollar a partir de ellos su lógica. Pero en cual-quier caso, tal dualidad entre la sintaxis y la semántica de un lenguaje formaly los dos enfoques a que da lugar no es tal y sí tan sólo una distinción metodo-lógica, dos modos de abordar un mismo problema con método y herramientasdiferentes. En el presente trabajo he seguido el segundo de ambos caminoscon los ojos siempre puestos en el primero; transitarlo supone introducirse enel terreno de la intensionalidad, caballo de batalla de la lógica del lenguajenatural y elemento de discordia entre los que propugnan una ciencia lógicapuramente extensional y los que abogan por una lógica menos limitada en sucampo de acción, esto es: por una teoría general de las modalidades. Escribo,por tanto, sobre la lógica modal en sentido lato o, lo que es lo mismo, sobre

la lógica de aquellos conceptos anejos por su gramática a los de necesidad yposibilidad.

De este modo, el objeto principal del trabajo que sigue a estas líneas espresentar desde un punto de vista lógico-filosófico la discusión actual acer-ca de las modalidades y ofrecer un análisis semántico de algunos sistemasmodales distinguidos por su relevancia para la lingüística y la filosofía enparcelas como la ética (teoría de las normas), la epistemología (teoría del co-nocimiento) o la semántica (teoría del significado y la referencia). Para ello,en el primer capítulo ofrezco una sintética aproximación histórica a la lógicamodal mediante la cual pretendo introducir la discusión filosófica posteriorsobre el significado de las modalidades (en el sentido amplio del término) quese desarrolla en el capítulo dos.

El capítulo tres está dedicado a presentar una semántica lógica para lasmodalidades, basada, fundamentalmente, en el concepto de conjunto modelo(model set), acuñado por Jaakko Hintikka. Trabajar con conjuntos modelosen lugar de con mundos posibles permite ofrecer sistemas modelos —llamadospor algunos autores marcos (frames)— muy adecuados para el procedimientosemántico de decisión que ofrezco más adelante, además de simplificar en granmedida algunos de los problemas presentados anteriormente en el seno de lateoría del significado. En cuanto al procedimiento de decisión aludido, éste sebasa en el de las tablas semánticas de Beth, refinado por Smullyan en su libroFirst-order Logic y usado con los mismos propósitos que los míos por MelvinFitting en Proof Methods for Modal and Intuitionistic Logics, con evidentesventajas sobre la versión que Kripke usara en su artículo “Semantical Analysisof Modal Logic I: Normal Modal Propositional Calculi”.

El procedimiento de árboles semánticos que presento tiene interesantesventajas sobre otros procedimientos semánticos para lógica modal más habi-tuales. Aun así, no es nuevo su uso, excepto por lo que se refiere a algunosaspectos que considero relevantes como, por ejemplo, la unificación de las re-glas de construcción del árbol para los operadores modales o el tratamiento

de las secuencias arbóreas infinitas, tanto por causa de la iteración de moda-lidades como por causa de la iteración cuantificacional en el caso de la lógicade predicados modal.

El procedimiento de árboles modales va a mostrar su gran utilidad paraobtener resultados semánticos acerca de los diferentes sistemas modales tra-tados. Además, proporciona los elementos suficientes para una fácil pruebade completitud y corrección de los sistemas de lógica modal denominadosnormales a través de su relación, algo más que estrecha, con el cálculo CD*,presentado en el último capítulo de este trabajo. Este cálculo CD* tienetambién la virtud de ser fácilmente implementable en lenguajes de alto niveladecuados para la manipulación simbólica, como pueden ser LISP o PRO-LOG, faceta que no ha sido tratada en este trabajo, aunque pienso que es unelemento más a considerar en próximas investigaciones y extensiones de losresultados aquí obtenidos.

Índice general

1. Breve reseña histórica acerca de la lógica modal 11.1. Las modalidades en la antigüedad y en la Edad Media . . . . 11.2. Las modalidades en la lógica matemática. Los sistemas de Le-

wis y la semántica de los mundos posibles . . . . . . . . . . . 10

2. La semántica de los mundos posibles 172.1. Los problemas de la intensionalidad . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Mundos posibles y semántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3. La relación de alternatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Conjuntos modelos 333.1. La noción de conjunto modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Algunos resultados con conjuntos modelos y mundos posibles . 40

4. Un procedimiento semántico de decisión 464.1. Árboles semánticos para la lógica modal alética de proposiciones 464.2. El teorema fundamental de los árboles semánticos . . . . . . . 524.3. El procedimiento de los árboles semánticos aplicado a los sis-

temas normales de lógica modal proposicional . . . . . . . . . 594.4. El uso de los árboles semánticos como tablas semánticas . . . 644.5. Árboles semánticos infinitos por causa de la iteración de ope-

radores de modalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5. Cuantificación y modalidad 745.1. La opacidad referencial en lógica modal alética de predicados

con identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2. Identificación cruzada y funciones de individuación . . . . . . 815.3. Presuposiciones de existencia e indicadores rígidos . . . . . . . 86

6. Árboles semánticos para lógica modal cuantificacional 926.1. Árboles semánticos para lógica modal con cuantificadores . . . 926.2. El teorema fundamental de los árboles semánticos para lógica

modal de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3. Algunos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.4. Árboles semánticos infinitos por causa de la iteración de ope-

radores cuantificacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7. La interpretación deóntica de las modalidades 1087.1. Lenguajes normativos y lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2. La reinterpretación deóntica de los operadores de modalidad . 1137.3. La reducción de la lógica deóntica a la lógica modal alética.

El sistema SK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8. Corrección y completitud 1298.1. El cálculo CD* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.2. Corrección y completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9. Apéndice 1409.1. Otros procedimientos semánticos de decisión . . . . . . . . . . 1409.2. Un cálculo deductivo natural modal . . . . . . . . . . . . . . . 145

Bibliografía 153

Capítulo 1

Breve reseña histórica acerca dela lógica modal

1.1. Las modalidades en la antigüedad y en la

Edad Media

El término “modalidad” significa la forma o modo en que algo es. En elcontexto lógico hace referencia a la forma de ser un enunciado, dicho así,en un sentido amplio. Pero lo que en última instancia viene a significar lamodalidad en lógica, como se verá más adelante, es que la evaluación de losenunciados modales ha de realizarse no sólo en función de su acción descrip-tiva de la realidad, en tanto que se adecuen a ella, sino también en función deuna especie de autorreferencia que se da por el hecho de que los operadoresmodales indican —de un modo que habrá de ser determinado— la relaciónque el enunciado modalizado, esto es, el enunciado que cae bajo el alcancede un operador modal, mantiene con otros enunciados de la teoría.

La precedente definición de modalidad es, hasta cierto punto, confusa,probablemente porque al exponerla tal cual se hayan dado por supuestosmuchos de los problemas de índole filosófica que se encuentran involucrados

1

CAPÍTULO 1. BREVE RESEÑA HISTÓRICA... 2

desde antiguo en el estudio de los modos. Sin embargo, sirve ahora porquede ella se siguen dos aspectos importantes para entender la naturaleza lógicade las modalidades; a saber: que los enunciados modales no son enunciadospuramente referenciales ya que no se limitan a describir una realidad sino queal mismo tiempo dicen desde una perspectiva lógica cómo es esa descripción1

y que una semántica para la lógica de los enunciados modales exige establecerrelaciones de dependencia entre el valor de la función de verdad correspon-diente a cada enunciado y el valor de la función de verdad que corresponde aotros enunciados pertenecientes al mismo sistema. De igual modo, adelantami actitud a la hora de considerar formalmente los conceptos modales, puesqueda claro que opto por tratarlos como operadores en el mismo sentido enque la cuantificación es tratada en la lógica de predicados de primer orden2.

Sin embargo, es conveniente hacer algunas acotaciones históricas al sig-nificado y el uso lógico de las modalidades antes de tratar los aspectos másimportantes que aportan al análisis lógico de los lenguajes naturales.

La lógica modal es una parte menos conocida de la obra lógica de Aristó-teles, probablemente porque sus comentaristas dedicaron un mayor esfuerzoa describir los mecanismos de la silogística asertórica. En los Analíticos, obracumbre de la lógica en la antigüedad clásica, empero, se apuntan tambiénlas formas del silogismo modal, que más tarde, en la Edad Media, a tenorsin duda de las discusiones teológicas y metafísicas, serán más estudiadasy comentadas de lo que lo fueron en los siglos precedentes y, curiosamente,también en los posteriores, casi hasta la aparición de los trabajos de Lewissobre la implicación estricta.

Aristóteles distingue hasta cuatro modos de enunciación: lo necesario (τὸ᾿vαναγκαῖον), lo imposible (τὸ ᾿vαδυνατόν), lo posible (τὸ δυνατόν) y lo contin-

1Esta definición de la modalidad parece que dejara a un lado las modalidades llamadasde re para tener en cuenta sólo las modalidades de dicto. En efecto, algo de esto hay si sepuede, como así es mi parecer, reducir las modalidades de re a las de dicto.

2Esta puntualización tiene más que ver con la filosofía de la lógica —por ejemplo,algunos de los asuntos que en esta tesis se discuten en relación a las posturas referencialistasde Quine— que con la lógica misma.


gente (τὸ ἐνδεχόμενον), que dan lugar a otras tantas clases de proposicionesmodales3. El siguiente es el cuadro de oposiciones modales que propone Aris-tóteles4:

Este análisis, realizado en el Περὶ ἑρμηνείας le permite estudiar la con-versión de las proposiciones modales entre sí. De esta forma se ponen losfundamentos para tratar lógicamente en pie de igualdad las proposicionesmodales y las proposiciones asertóricas, lo que lleva a cabo Aristóteles en suobra lógica principal, los Primeros analíticos5. Tras dedicar varias páginasa las figuras del silogismo asertórico, Aristóteles continúa con los silogismosmodales en análogos términos y los expone siguiendo esquemas similares a losusados para los silogismos asertóricos6. Se dividen allí los silogismos modalesen ocho grupos según que las premisas sean necesarias, asertóricas o posibles,manteniendo las figuras del silogismo asertórico en cada grupo, de modo quese obtiene el siguiente cuadro7:

3Cfr. Aristóteles: Περὶ ἑρμηνείας, capítulos XII y XIII, 21a34–23a25. En esta obra,que Alejandro de Afrodisia colocó en su edición inmediatamente antes de los Analíticos,Aristóteles estudia la oposición entre los enunciados asertóricos y los modales y realizatambién una iluminadora discusión acerca de los futuros contingentes en relación con lasmodalidades y el principio de tercio excluso.

4Ibidem. Cfr. también Kneale, W. & Kneale, M.: The Development of Logic, II, 7.5Cfr. Aristóteles: Αναλιτικά πρότερα, A, III, 25a27-25b26.6Αναλιτικά πρότερα, A, VIII-XXII, 29b29-40b16.

7Cfr. Bocheński, I. M.: Historia de la lógica formal, §15, D, página 98. En el cuadro, lasmayúsculas indican el modo de la proposición: necesaria (N), asertórica (A), posible (P).


Grupo 1 2 3 4 5 6 7 8

Premisa mayor N N A P P A P NPremisa menor N A N P A P N P

En cada grupo, el modo de la conclusión depende tanto del modo de laspremisas como de su cantidad (esto es, si son universales o particulares) y susigno (negativas o afirmativas), no cumpliéndose una de las más importantesreglas del silogismo asertórico: que la conclusión sigue siempre a la premisamás débil, puesto que un silogismo del grupo 2 y del modo bArbArA puedetener una conclusión necesaria, como pone de relieve Bocheński8.

Normalmente se entiende que la silogística de Aristóteles tiene más rela-ción con la moderna lógica de clases que con la lógica de enunciados. Estose hace extensible al tratamiento lógico de las modalidades que el filósofollevó a cabo. Raramente, por ejemplo, cuando Aristóteles utiliza el términoτὸ ᾿vαναγκαῖον se está refiriendo a la necesidad lógica; se trata más bien dela necesidad ontológica o física9. Sí hace referencia a la necesidad lógica eltérmino ᾿vανάγκη cuando lo usa para introducir la conclusión del silogismo,pero entonces ha de entenderse que significa “se sigue necesariamente de laspremisas” o algo similar, siempre en un contexto ajeno al de la lógica mo-dal. Su discípulo Teofrasto, en cambio, aunque siguió al maestro en todo loreferente a la doctrina del silogismo asertórico, consideró el modo haciendoreferencia a la proposición toda y no sólo a la relación entre los términos10,discrepando de Aristóteles en lo referente al sistema de oposiciones y con-

8Loc. cit., página 99.9Esta apreciación tiene cierta relación con la posterior distinción realizada por lo lógicos

medievales entre modalidades de re y modalidades de dicto, distinción a la que dedicarémás adelante algunas líneas.

10En The Development of Logic los Kneale piensan que Aristóteles asumió de un mo-do no explícito en su discusión de la conversión entre las proposiciones modales que “eloperador modal modifica toda la frase en la que ocurre y no solamente una palabra ouna expresión dentro de la frase”. Pero más adelante añaden: “Aristóteles fue llevado, portanto, a comprender que en una frase declarativa modal el operador modal constituye elpredicado principal de la frase y es, por decirlo así, exterior y no interior al resto de lafrase. Mantiene esta posición acerca de ’es contingente’ en los Primeros Analíticos (25b19-25) de modo que parece ser su opinión madura aunque, como veremos, se aleje de ella

versiones e, incluso, a los modos de la conclusión en algunos de los gruposreferidos11.

También desarrolló una teoría lógica modal de las proposiciones la Stoa,y aunque no es fácil determinar hasta qué punto esta afirmación no es unaextrapolación de los actuales conceptos a los antiguos, ya que la filosofíaestoica, en general, y la lógica, en particular, han llegado fragmentaria eindirectamente hasta hoy, se sabe, sin embargo, que trabajaron sobre cues-tiones relacionadas con los modos de verdad de las proposiciones, como lohicieran también los megáricos, de quienes la lógica estoica fue heredera. Así,por ejemplo, Diodoro Crono definió los modos de las proposiciones apelandoal carácter temporal de la verdad, de forma que se puede elaborar con talesdefiniciones un cuadro de oposición semejante al aristotélico presentado másarriba12. Estas son, haciendo uso de una variable temporal al reexponerlas,las siguientes:

1. “p es posible en [un tiempo] t′” por (p en t′) ∨ ∃t(t′ < t ∧ (p en t))

2. “p es imposible en t′” por ¬(p en t′) ∧ ∀t(t′ < t→ ¬(p en t))

algunas veces”. Precisamente porque no sólo se aleja de esta opinión a menudo, sino quela construcción de los silogismos modales que propone contradice esta tesis de los Kneale,creo que la concepción de las modalidades en Aristóteles es más cercana, utilizando laterminología medieval anunciada, a las modalidades de re que a las de dicto. Cfr. Kneale,W. & Kneale, M.: The Development of Logic, II, 7.

11Las teorías de Teofrasto sobre el silogismo modal están expuestas por Alejandro deAfrodisia en su In Aristotelis Analyticorum Priorum Librum I Commentarium. Allí sesimplifica notablemente la teoría aristotélica del silogismo modal a costa de hacer el sistemade Teofrasto incoherente, como indica Bocheński en su libro La logique de Théophraste.Parece que Teofrasto mantuvo el principio de que la conclusión siempre sigue a la premisamás débil, pero aceptando silogismos en que esto no ocurre así, como quedó señalado másarriba. Seguramente, como indican los Kneale en su libro, Teofrasto aceptó esta regla enun sentido débil cuando se aplicaba al silogismo modal, pero se dejó engañar por ejemplosplausibles del maestro y la ambigüedad del uso de “necesariamente” en la conclusión, unavez que Teofrasto opta por modalidades que afectan a toda la proposición y no a algunode sus términos. Cfr. Kneale, W. & Kneale, M.: The Development of Logic, II, 9.

12Las fuentes para las definiciones diodóricas de las modalidades son Cicerón: De fato,17 y, especialmente, Boecio: De interpretatione, I, 234/22–235/11. Al respecto, cfr. Mates,B.: Lógica de los estoicos, páginas 68ss., Bocheński, I. M.: Historia de la lógica formal, §19,F, páginas 125–126 y Kneale, W. & Kneale, M.: The Development of Logic, III, 2.

3. “p es necesaria en t′” por (p en t′) ∧ ∀t(t′ < t→ (p en t))

4. “p es no necesaria en t′” por ¬(p en t′) ∨ ∃t(t′ < t ∧ ¬(p en t))

Filón de Megara y Crisipo de Alejandría dedicaron también parte de su obralógica, según se conoce por Cicerón, al análisis de los modos de verdad.Ambos mantuvieron que una proposición es posible sólo en el caso de quepueda ser verdadera en virtud de su naturaleza interna. Pero, como sugiereBenson Mates, también las circunstancias externas que hacen verdadera auna proposición determinan su posibilidad, si no impiden que sea verdadera,o su necesidad, si tales circunstancias externas impiden que sea falsa13. Estamisma concepción es aplicable a la lógica estoica, en general, aunque conalguna complicación más14.

El análisis anterior, junto con la relación entre modalidad y temporali-dad establecida por el megárico Diodoro Crono, supone, a mi entender, eldesarrollo antiguo de la lógica modal más próximo a las actuales técnicas deinterpretación lógica y uno no puede dejar de sentir una profunda admiraciónpor la perspicacia de estos autores. A pesar de todo, la lógica de proposicio-nes desarrollada por estoicos y megáricos no dio mayores frutos en el períodomedieval, a causa, sin duda, del desconocimiento de su obra por parte de loscomentaristas. Realmente, el auge de los estudios lógicos en la Edad Mediase debió principalmente a los muchos comentarios que se hicieron sobre elórganon aristotélico, la única fuente de la ciencia lógica durante varios siglos.La obra de un hombre a caballo entre la antigüedad y el nuevo orden políticoy cultural de Europa, el latino Boecio, es extremadamente importante en talsentido, puesto que fue este autor quien introdujo en el occidente medievallos primeros comentarios sobre la obra lógica de Aristóteles. A través de sustraducciones latinas de las Categoriae y del De interpretatione llegaron a los

13Cicerón: De fato, 12. Mates sigue un pasaje de Diógenes Laercio quien atribuye aCrisipo esta interpretación de la necesidad y la posibilidad. Cfr. Diógenes Laercio: Vidade filósofos ilustres, VII, 75. Cfr. también Boecio: De interpretatione, I, 234/22–235/11.

14Cfr. Kneale, W. & Kneale, M.: The Development of Logic, III, 2.


filósofos medievales los únicos textos aristotélicos que realmente estuvieron asu alcance15. Sus comentarios a las diferentes obras del filósofo fueron estu-diados en la Edad Media y sirvieron de base para la mayoría de los tratadosde lógica. Así, en el tratado De syllogismo hypothetico, Boecio no sólo tratalos silogismos hipotéticos, como ya hiciera anteriormente con los categóricos,sino que también, muy influido por la lógica proposicional de los estoicos,expone su teoría sobre las proposiciones modales (cum modo). En ella esta-blece dos grupos de tres proposiciones cada uno y expone diversos teoremasal respecto, relacionados con la oposición y la conversión de las proposicio-nes modales. Además, como se ha visto, en su comentario al Περὶ ἑρμηνείαςrevisó también las teorías de otras escuelas, como es el caso de la estoica yla megárica.

Aunque quizás lo más interesante para conocer el tratamiento que losfilósofos medievales dieron a la lógica modal sea revisar el Opusculum depropositionibus modalibus de Tomás de Aquino, donde el santo trata las di-ferencias entre las proposiciones de inesse y las modales, relacionándolas conla división de los juicios hecha por el de Stagira, creo que merece la pena tra-tar antes la más famosa discusión medieval sobre cuestiones de lógica modal,protagonizada seguramente por Anselmo de Canterbury y su argumento enfavor de la existencia de Dios. En el Liber Apologeticus contra Gaunilonemrespondentem pro insipiente, en el que respondía a las críticas hechas por elabate Gaunilón al argumento expuesto en el Proslogium, Anselmo recurre alcarácter necesario que acompaña a la idea de Dios para evitar la comparacióncon la fabulosa isla perdida de que habla el monje de Marmoutier. Razonadiciendo que si Dios es posible —es decir: si la idea de un ser totalmenteperfecto y necesario es posible— entonces Dios existe y negarlo sería incurriren contradicción, haciendo depender toda la fuerza de su argumentación de

15Parece ser que Boecio tradujo también los Primeros Analíticos, los Tópicos y el Desophisticis elenchis, aunque estos textos no parece que circularan en igual medida que losanteriormente mencionados. Cfr. Kneale, W. & Kneale, M.: The Development of Logic,capítulo IV.


los conceptos de necesidad y posibilidad16.La distinción entre modalidades de re y modalidades de dicto es, sin lugar

a dudas, el logro más importante de los lógicos medievales en este terreno.Aristóteles había tratado en su obra las modalidades siempre como moda-lidades de re (acerca del objeto), pudiéndose interpretar raramente que enalgún texto el filósofo trate acerca de las modalidades de dicto (acerca de laproposición). Fue por lo tanto un acontecimiento importante en la lógica me-dieval, dedicada casi exclusivamente al comentario del órganon aristotélico,la aparición de esta distinción, que, como queda reseñado, estaba latente enlas posiciones de Teofrasto frente a la teoría aristotélica del silogismo modal.A este respecto es muy interesante la obra de Tomás de Aquino antes rese-ñada y, en concreto, el siguiente texto17:

16Este argumento se podría formalizar en el lenguaje objeto, que será descrito másadelante, del siguiente modo:

♦α→ α

Como se verá con posterioridad, esta fórmula es un teorema del sistema S5 de Lewis.Anselmo niega contra Gaunilón que el Ser necesario sea meramente posible (contingente),lo que se podría formalizar así:

α ∧ ♦(α ∨ ¬α)

Este enunciado no es absurdo, sino que tiene un modelo; precisamente cuando v(α, µ1) = 1.Es decir, que el enunciado del insipiens es verdadero precisamente cuando Dios existe,de donde se sigue lo contradictorio de negar su existencia, si se admite su posibilidad.Cfr. Obras completas de San Anselmo, Editorial Católica, B.A.C., Madrid, 1952, páginas407–437.

17Tomás de Aquino: Opusculum de propositionibus modalibus, 5–16. Sigo la traducciónque aparece en la edición española del libro de Bocheński, páginas 195–196. Cfr. tambiénPedro Abelardo: Dialectica, p. 206; William of Shyreswood: Introductiones in logicam, 40,10ss.; Pedro Hispano: Summulae logicales, 1.28 y William Ockham: Summa totius logicae,I 7, 11–13; 82ss. Aunque la terminología no es la misma en los autores más antiguos(Abelardo habla de expositio de sensu y expositio de rebus o también de expositio percompositionem y expositio per divisionem y Shyreswood demodi secundum constructionemy secundum rem), todos están haciendo referencia a la misma distinción entre modalidadesde dicto y modalidades de re.


«De las sentencias modales, unas son acerca del dictum; otras,acerca de la cosa. Las sentencias modales acerca del dictum sonaquellas en las que el dictum entero es sujeto y el modo predicado[...]. Una sentencia modal acerca de la cosa se da cuando se colocael modo dentro del dictum [...]. Y se ha de saber que todas lassentencias modales acerca del dictum son singulares, porque enellas el modo se propone de este o aquel proceso como de unsingular. La sentencia modal acerca de la cosa se concibe, encambio, como universal, particular, singular o indefinida, segúnel sujeto del dictum, como en las sentencias asertóricas [...]. Seha de saber también que se llama afirmativa o negativa a unasentencia modal según la afirmación o negación del modo y nosegún la afirmación o negación del dictum».

Tomás de Aquino distingue por tanto entre dos tipos diferentes de sentenciasmodales según el lugar que ocupe la palabra que introduce el modo en la frase.Antes, había definido el modo como “una determinación de la cosa”, perocon la precaución de establecer tres clases distintas: el modo que determinaal sujeto de la sentencia, el que determina al predicado y un tercero quedetermina a la composición del predicado con el sujeto. Este último es el queda lugar a las sentencias modales propiamente dichas, puesto que los otrosdos dan lugar a sentencias de inesse. Esta misma concepción se encuentratambién en Alberto Magno18 y la mayoría de los autores de la época. Así,en el Pseudo-Escoto se pueden encontrar dos sistemas de silogística modal,uno de sentencias modales en sentido compuesto (de dicto) y otro en sentidodividido (de re)19. William Ockham va aún más allá y propone un sistemasilogístico mixto en el que las sentencias modales puedan ser tanto de re como

18Alberto Magno: Librum I Priorum Analyticorum.19Los comentarios anónimos In universam logicam quaestiones, conocidos como el

Pseudo-Escoto por haber sido atribuidos primeramente a Duns Escoto, añaden una nove-dad interesante a la concepción medieval de la modalidad. Según el autor de esta obra,además de los cuatro modos habituales también son modos de la frase “verdadero” y “falso”,modos que nombra Tomás de Aquino en un texto algo anterior al aducido más arriba, aun-


de dicto, con lo que amplia cuantiosamente el ya grande número de formaspropias del silogismo modal20.

1.2. Las modalidades en la lógica matemática.

Los sistemas de Lewis y la semántica de

los mundos posibles

Este amplio interés por la lógica modal en la Edad Media no tiene, sin em-bargo, contrapartida en los siglos posteriores. Es difícil encontrar autores quetraten las modalidades en un sentido lógico. La obra lógica más representati-va desde el Renacimiento hasta el siglo XIX, la Lógica de Port Royal21, quesirvió como modelo al resto de las obras sobre lógica aparecidas con posterio-ridad y que se consideró durante dos siglos como el manual oficial de lógicaclásica, no trata para nada el silogismo modal, ciñéndose por su contenido alas materias que Aristóteles trató en las Categorías, Sobre la interpretacióny los siete primeros capítulos del libro uno de los Primeros Analíticos.

Una ruptura tan tajante en ciertos aspectos con el saber y la ciencia de-sarrollados en la Edad Media explica que los grandes pensadores del XVII,el XVIII y gran parte del XIX, como dice Bocheński, fueran, por lo que a

que para rechazarlos, diciendo: «Ahora bien, los modos que determinan la composición sonseis: “verdadero”, “falso”, “necesario”, “posible”, “imposible” y “contingente”. Sin embargo,“verdadero” y “falso” no añaden nada a la significación de la sentencia asertórica [...]. Conlos otros cuatro modos no sucede esto, [...] por lo cual vamos a dejar de lado “verdadero”y “falso” y vamos a considerar los otros cuatro». (Cfr. Tomás de Aquino: Opusculum depropositionibus modalibus, 5–16). Pero no se detiene ahí el Pseudo-Escoto, sino que añadea los anteriores los modos subjetivos “por sí”, “dudoso”, “sabido”, “creído”, “conocido”, “apa-rente”, “querido” y “preferido”, prefigurando un concepto de las modalidades que no se harepetido hasta el siglo XX. Cfr. In librum I Priorum Analyticorum Aristotelis Quaestiones,25, 5ss., en Duns Escoto: Opera Omnia.

20William Ockham: Summa totius logicae, parte III. También Ockham, como el Pseudo-Escoto y quizás influido por éste, habla de modos subjetivos, incluyéndolos en algunos desus silogismos.

21Nicole, P. & Arnault, A.: Logique ou l’art de penser, obra mejor conocida por la Logiquedu Port Royal y editada por vez primera en 1662.


la lógica respecta, sencillamente unos ignorantes, con la excepción de Leib-niz, a quien muchos consideran el padre de la actual lógica matemática. Sinembargo, la obra lógica de Leibniz permaneció desconocida en su mayor par-te hasta el final del siglo XIX, por lo que no influyó decisivamente en eldesarrollo posterior de esta ciencia.

Sí lo hicieron, en cambio, Peano y Frege —este último con cierto retrasopero grandemente a través de Russell—, autores que no trataron la moda-lidad en sus obras puesto que estaban más interesados por el lenguaje dela aritmética y de las matemáticas en general. Hay, sin embargo, un lógicoque, indirectamente, introduce la modalidad en su sistema dos años antes delBegriffschrift de Frege. Hugh MacColl publicó en el año 1877 en las actas dela sociedad londinense de matemáticas un trabajo sobre lógica de enuncia-dos (que en muchos aspectos se adelantó a los trabajos de Frege) en el que,al definir el concepto de inconsistencia, apela a la noción de posibilidad22.Más tarde23, esto daría lugar a consideraciones más amplias sobre una lógicamodal de las que sin duda obtuvo algún provecho C. I. Lewis, quien es elverdadero fundador de la moderna lógica de las modalidades24.

El principal interés de Lewis cuando inició sus investigaciones sobre lasmodalidades era evitar las denominadas paradojas de la implicación materialque, a su juicio, entorpecían los brillantes resultados obtenidos por el sistemade Russell. El concepto de implicación material ya había sido expresamenterechazado (o al menos deslindado en la propia notación) en la obra de Mac-Coll25. Pero MacColl no contaba con el poderoso instrumento que supuso el

22MacColl, H.: “The calculus of equivalent statements and integration limits” en Procee-dings of the London Mathematics Society, 9 (1877/78), pp. 9–20 y 177–186.

23MacColl, H.: Symbolic Logic and its Applications, de 1906.24Cfr. Lewis, C. I.: A Survey of Symbolic Logic, página 292, donde el autor reconoce su

deuda con MacColl, y página 293, donde da una definición de consistencia en función deloperador de imposibilidad de forma similar a lo que hiciera éste.

25En Symbolic Logic and Its Applications, MacColl niega que una implicación del tipo—y aquí sigo la notación que le atribuyen Hughes y Cresswell en Introducción a la lógicamodal— (A : B) sea equivalente a la disyunción (A′+B). Introduce dos símbolos ε y η (por“necesario” e “imposible”, respectivamente) tales que (A : B) = (A′ + B)ε = (A·B′)η. De


establecimiento de un sistema axiomático para la lógica en Principia Mathe-matica. Lewis, en cambio, sí y ya desde 1912 mostró su inconformidad conla noción de implicación material allí usada. Las paradojas de la implicaciónponían al descubierto, según Lewis, la artificialidad de dicha noción, por loque se propuso en varios artículos el desarrollo de una lógica axiomática en laque la implicación tuviese otro sentido, más fuerte y más natural a la vez, queaquél de la obra de Russell. Lewis no pretendía construir un sistema lógicosobre la base del rechazo de las tesis p → (q → p) y ¬p → (p → q), sinosobre otro concepto diferente de implicación del que no pudieran derivarsedichos teoremas, esto es: sobre el concepto de implicación estricta.

Con A Survey of Symbolic Logic C. I. Lewis desarrolló una teoría lógicade la implicación estricta que desembocó en la formalización del sistema delas modalidades clásicas. Más tarde, en colaboración con C. H. Langford,escribió un segundo libro escuetamente titulado Symbolic Logic en el quese utiliza un lenguaje con variables proposicionales p, q, r, etcétera y comosímbolos primitivos los signos ∼ para la negación, para la conjunción y ♦para la posibilidad, definiéndose a partir de ellos el signo de modo que

p q =def∼ ♦(p ∼ q)

El núcleo de la obra lo constituye el sistema lógico de A Survey of SymbolicLogic, a partir del cual se desarrollan dos sistemas más, menos fuertes que elprimero. Ambos sistemas se conocen como S1 y S2, en tanto que el sistemaprimitivo de A Survey of Symbolic Logic es conocido como S3, apareciendo enun apéndice de la obra junto a otros dos sistemas (S4 y S5) obtenidos a partirde las observaciones de O. Becker acerca de la reducción de las modalidadesde A Survey of Symbolic Logic26. Las siguientes son las bases axiomáticas de

modo que se tiene que un enunciado del tipo “A implica B” es equivalente a “Es necesarioque no A o que B” y a “Es imposible que A y que no B”.

26Cfr. Becker, O.: “Zur Logik der Modalitäten”. Becker propuso dos principios de re-ducción para evitar la proliferación indefinida de modalidades en el sistema de Lewis yaunque éste siempre abogó en favor de los sistemas sin los principios de reducción, sinembargo los introdujo en Symbolic Logic como los axiomas que más adelante se denomi-


los sistemas de Lewis27:

Sistema S1Axiomas

[S1.1] (p q) (q p)[S1.2] (p q) p[S1.3] p (p p)[S1.4] ((p q) r) (p (q r))[S1.5] p∼∼ p[S1.6] ((p q) (q r)) (p r)[S1.7] (p (p q)) q

Reglas(Adj) ` α,` β ⇒` α β(MP) ` α,` α β ⇒` β(SU) ` α(p)⇒` α(q/p), donde p y q son dos fbfs.

cualesquiera y q sustituye uniformementetodas las apariciones de p en α

(TI) Si ` α y β difiere de α solamente en quedonde en α aparece la fbf. γ en β aparece lafbf. δ y si ` (γ δ) (δ γ) entonces ` β

S1 contiene el sistema de Principia Mathematica de modo que no era ne-cesario adoptarlo como base. Por el contrario, Lewis pretendió de esta forma

nan [S4.1] y [S4.2]. Más tarde, J. C. McKinsey y W. T. Parry darían algunas pruebassobre las reducciones de las modalidades en los sistemas de Lewis. Cfr. McKinsey J. C.:“A Reduction in the Number of Postulates for C. I. Lewis’ System of Strict Implication” y“Proof that there are Infinitely Many Modalities in Lewis’ System S2”, así como Parry, W.T.: “The Postulates for ’Strict Implication’” y “Modalities in the Survey System of StrictImplication”.

27Los siguientes axiomas están numerados de forma convencional, no como los numeraraLewis en Symbolic Logic (B1 − B7). Aparecen también allí otros dos axiomas de los queel primero es el que más adelante de denomina [S2.1] y el segundo el extraño axioma

B9 : (∃p, q)(∼ (p q) ∼ (p∼ q))

que Lewis incluyó probablemente para evitar una interpretación del signo que lo asi-milara a la implicación material en la regla de Modus Ponens. Por otra parte, el axioma[S1.5] no es independiente del resto de la base axiomática, como demostrara McKinsey ensu artículo “A Reduction in the Number of Postulates for C. I. Lewis’ System of StrictImplication”, por lo que se puede prescindir de él.


confeccionar un sistema lógico más potente que el de Principia Mathematicay a la vez más riguroso por lo que al concepto de implicación se refería. Lasbases axiomáticas para los restantes sistemas de Lewis se obtienen a partirde S1 añadiéndole, en cada caso, uno de los siguientes axiomas28:

[S2.1]: ♦(p q) ♦p

[S3.1]: (p q) (∼ ♦q ∼ ♦p)

[S4.1]: ∼ ♦ ∼ p∼ ♦ ∼∼ ♦ ∼ p

[S5.1]: ♦p∼ ♦ ∼ ♦p

La interpretación del signo como la necesidad de la implicación materialse debe al propio Lewis, quien pensaba que p q se satisface en el sistemacuando p→ q es una tautología. Pero esta interpretación, que se contradiceincluso con el mismo desarrollo axiomático de Lewis, no ofrecía el resultadoque él mismo pretendía, sino que era algo asumido por los lógicos desde Frege:la necesidad lógica entendida como validez lógica. Sería el tratamiento queGödel hiciera en 1932 de un sistema equiparable a S4 el que daría la verdaderadimensión de lo que hoy se entiende por un sistema de lógica modal29. Gödelpropuso el sistema S4 sobre una base axiomática de Principia Mathematicamás los axiomas:

1. p→ p

2. p→ ((p→ q)→ q)

3. p→ p

y la regla28De todos los sistemas de Lewis, S5 es el más fuerte puesto que contiene a los demás.

En realidad, se puede demostrar fácilmente que S1 ⊂ S2 ⊂ S3 ⊂ S4 ⊂ S5.29Cfr. Gödel, K.: “Una interpretación del cálculo conectivo intuicionista” en Obras com-

pletas, Alianza Editorial, Madrid, 1981, pp.: 115–116.

(N) : ` α⇒` α

Gödel no utilizó el operador (que en los sistemas de Lewis puede definir-se como ∼ ♦ ∼), sino la letra B por Beweisbar (demostrable). Con todo,presentó S4 de una forma simple y elegante que se ha adoptado con posterio-ridad frente a la base axiomática de Lewis. Indirectamente, también relacionalas modalidades con lo que podríamos llamar lógica epistémica. Con poste-rioridad, Von Wright propondría explícitamente interpretar el operador como “se sabe que”, inaugurando una corriente dentro de la lógica modalmuy importante por sus consecuencias lógicas y filosóficas30.

En sus comienzos, por tanto, la lógica modal moderna estuvo marcadapor los diferentes tratamientos axiomáticos que partían de los sistemas desa-rrollados por Lewis y Langford. El estudio semántico de las modalidades, encambio, no se desarrollaría hasta algunas décadas después, cuando los fun-damentos de la teoría de modelos estuvieron suficientemente consolidados.En este sentido, la obra de R. Carnap Meaning and Necessity, en la que elfilósofo centroeuropeo desarrolla una teoría conjunta de la necesidad física yla necesidad lógica, marcó un hito importante31. En esta obra se encuentrael origen de la denominada semántica de los mundos posibles, desarrolladaen sus aspectos de teoría de modelos por el lógico S. Kripke, quien sin dudase inspira en las reflexiones de filosofía de la lógica tejidas por Carnap entorno al concepto state of affairs. En síntesis, para Kripke un modelo parauna fórmula bien formada α es una función Φ(P,H) cuyos argumentos sonel conjunto de las subfórmulas atómicas de α, P , y un mundo o conjuntomodelo cualquiera H, tal que H ∈ K, asociada a una estructura modelo< G,K,R >, donde G es un conjunto modelo cualquiera, K un conjunto de

30Cfr. Von Wright, G. H.: An Essay in Modal Logic, publicado en 1951. Allí propone laconsideración de diversos tipos de modalidad: la alética (de la necesidad), la epistémica(del conocimiento), la deóntica (de la obligación) y la existencial (la clásica cuantificaciónsobre un dominio). Del mismo año es su artículo “Deontic Logic”, que inaugura la modernalógica deóntica.

31La primera edición es de 1947 y la segunda y definitiva del año 1956.


conjuntos modelos y R una relación llamada de alternatividad. El rango dela función Φ es el conjunto V, F32.

A partir de aquí, la semántica de los mundos posibles fundada en lasestructuras modelos kripkeanas ha conformado los fundamentos de la actualinvestigación semántica de multitud de lógicas no clásicas. En este sentido,importante ha sido también el tratamiento que de la semántica de los mundosposibles hiciera Jaakko Hintikka referido a la lógica epistémica y a la lógicadoxástica (o de la creencia) en su libro Knowledge and Belief. El conceptode conjunto modelo, emparentado con los trabajos de E. W. Beth sobre ladecisión en lógica clásica de predicados, ha abierto nuevas perspectivas para eldesarrollo semántico de las lógicas modales, en general. Sin duda, una parteimportante de la literatura filosófica referida a cuestiones de metodologíay teoría de la referencia y del significado ha avocado el tratamiento de lasemántica de las modalidades por lo que la interpretación de éstas aporta alámbito de la metodología y la epistemología.

32Cfr. Kripke, S.: “Semantical Analysis of Modal Logic I: Normal Modal PropositionalCalculi” y “Semantical Analysis of Modal Logic II: Non-Normal Modal Propositional Cal-culi”. También es interesante confrontar algunos aspectos de su libro Naming and Necessitycon el de Carnap, aunque se trata de una obra posterior.

Capítulo 2

La semántica de los mundosposibles

2.1. Los problemas de la intensionalidad

Habrá de entenderse por enunciado en este trabajo de investigación, siem-pre que no se diga lo contrario, cualquier fórmula bien formada del lenguajeobjeto; es decir: cualquier serie finita de signos del lenguaje objeto construidasegún las reglas de formación habituales. En este caso, los signos del lenguajeobjeto son los propios de la lógica de predicados de primer orden a los que seañaden algunos operadores más, cuyo uso es similar al de los cuantificadores,y que llamaré operadores modales, representados por los signos (para lanecesidad) y ♦ (para la posibilidad). Su válida combinatoria a la hora deconstruir las fórmulas va a ser aquí la usual en la lógica de predicados deprimer orden con identidad, con la única salvedad de la adición de los ope-radores modales antes mencionados. Los signos del lenguaje objeto serán,por tanto, las letras predicativas mayúsculas Q,R, S, T , con la posibilidadde aumentar su número en caso de necesidad añadiendo a su derecha unoo más apóstrofes; las letras variables individuales minúsculas x, y, z, con laposibilidad de aumentar su número mediante la adición de subíndices; las le-

17

CAPÍTULO 2. LA SEMÁNTICA DE LOS MUNDOS POSIBLES 18

tras constantes individuales minúsculas a, b, c, también susceptibles de llevarsubíndices; los signos constantes lógicos tradicionales ¬,∧,∨,→; los opera-dores cuantificacionales ∀ y ∃ y los operadores modales y ♦. El uso delos paréntesis es también el habitual en los tratados de lógica. Usaré ade-más como signos metalingüísticos las letras griegas minúsculas α, β, γ, δ, quepueden multiplicarse añadiéndoles apóstrofes según las necesidades, acom-pañadas o no por letras constantes o variables individuales entre paréntesis;las primeras indican cualesquiera fórmulas y las segundas, constantes o va-riables que aparecen en ellas. Así, por ejemplo, α(a), β(x, y) o γ(x, b) sonesquemas de fórmulas o enunciados metalingüísticos que las sustituyen1. Unenunciado modal será, entonces, aquél cuyo valor de verdad sea una funciónde los signos constantes lógicos más los operadores cuantificacionales más losoperadores modales. De esta forma, el enunciado2

(1) ¬♦∃x(Qx ∧ ¬Qx)

puede leerse en lenguaje natural: “no es posible que haya un individuo quesea y no sea algo a la vez”. O el enunciado

(2) ∀xy((Rxy ∨ x = y)→ Ryx)

se puede leer: “es necesario que para cualesquiera dos individuos, si el unomantiene una determinada relación con el otro o ambos son el mismo indivi-duo entonces el segundo mantiene esa misma relación con el primero”.

Las modalidades plantean graves problemas al proyecto lógico tradicionalque de algún modo puede verse representado por la obra de lógicos comoWillard van Orman Quine y Donald Davidson3. En general, dos principios

1Una definición más rigurosa del concepto de fórmula se dará en el próximo capítulo,definición 3.1.

2En este capítulo me referiré siempre a las fórmulas del lenguaje como enunciadospuesto que para la argumentación pertinente éstas sólo aparecen como formalizaciones dealgún enunciado del lenguaje natural.

3«Existe una persistente corriente subterránea en gran parte de la moderna lógicaal efecto de que la lógica de primer orden es de alguna manera definitiva, de que nada


importantes de la lógica cuales son los de Sustituibilidad de la Identidad (SI)

y Generalización Existencial (GE) no parecen ser operativos en contextosmodales4. Y en particular, por lo que se refiere a la lógica deóntica, no esfácil considerar verdaderos o falsos los enunciados normativos, lo que suponeque no se vea claramente la posibilidad de tratarlos desde un punto de vistalógico-formal, siempre que haya que atenerse a la concepción clásica de laciencia lógica, heredada de aquellos que a principios de siglo pusieron susfundamentos.

Antes de comenzar a hacer matizaciones, se puede decir que en los con-textos modales el Principio de Extensionalidad (que es fundamental en laevaluación de los enunciados de la gramática normada que propone Quine,elemento principal de la concepción lógica subyacente a sus “New Founda-tions”) no es válido5. De aquí que, por oposición a aquellos lenguajes formalesen los que sí es válido, los que incluyenoperadores de modalidad sean conside-rados lenguajes intensionales. Esta circunstancia propicia que en contextosde este tipo aparezcan problemas de valoración y cuantificación de varia-bles individuales, lo que da pie a que los principios (SI) y (GE) no seanoperativos. Unos ejemplos serán suficientes para comprender el problema.

es verdaderamente inteligible a menos que se lo presente en forma de lógica de primerorden. Este punto de vista ha sido defendido por Quine y por Davidson, entre otros (enpalabras de Susan Haack, para Quine “la extensionalidad es la piedra de toque de lainteligibilidad” —siendo el caso que la lógica de primer orden es extensional, mientras quelas lógicas modales no lo son)». Cfr. A. Galton: “Temporal Logics and Computer Science:An Overview” en A. Galton (ed.): Temporal Logics and Their Applications, página 8.

4Ambos principios se pueden enunciar como sigue:

(SI): α(a), (a = b) |= α(b)

Esto es: dados dos términos a y b tales que a es igual a b, la sustitución de uno por elotro en un enunciado verdadero no supondrá nunca que el enunciado se vuelva falso niviceversa.

(GE): α(a) |= ∃xα(x)

Es decir: si es verdad que un individuo concreto tiene una propiedad cualquiera entoncestambién lo es que hay al menos un individuo que tiene esa propiedad.

5Cfr. Quine, W.V.O.: Philosophy of Logic.


Tomando como referencia la oración “Juan cree que Larra fue un escritorespañol del siglo XIX” y suponiendo que sea cierto lo que declara, se puedepensar con sentido que es posible sustituir en la oración el nombre “Larra” porel pseudónimo bajo el que ese escritor solía escribir sus artículos, “Fígaro”, sinque el valor de verdad de la oración se vea modificado; o lo que es lo mismo,que se pueden sustituir dos términos que son coextensivos, ya que tienenun mismo y único referente, el uno por el otro salva veritate. Sin embargo,esto no es así. Basta reflexionar un poco para caer en la cuenta de que siJuan no conociese el pseudónimo del romántico Larra o pensase que Fígaroes sólo el nombre de un célebre barbero sevillano, la oración resultante tras lasustitución, esto es, la oración “Juan cree que Fígaro fue un escritor españoldel siglo XIX”, dejaría de ser verdadera. En efecto, la creencia es uno de esosconceptos que introducen en nuestro lenguaje la intensionalidad.

Con la necesidad y la posibilidad pasa exactamente lo mismo. Sea porejemplo el enunciado

(3) “Necesariamente 40 es menor que 41”6,

donde las cifras “40” y “41” pueden tomarse como los nombres de dos números,no como los números mismos. Se trata de una verdad trivial de la aritméticaque no plantea más problemas. También es verdadero el enunciado

(4) “El número de años transcurridos desde la primera publicación de lanovela La vida breve es 40”.

Pero si se sustituye en (3) el término “40” por el término “el número deaños...”, lo que es posible ya que ambos tienen el mismo referente, se obtieneel siguiente enunciado:

(5) “Necesariamente el número de años transcurridos desde la primera pu-blicación de la novela La vida breve es menor que 41”,

6Para mayor claridad en la exposición considero que la cadena literal que aparece entrecomillas es el nombre del enunciado correspondiente del lenguaje objeto.


que es a todas luces falso, puesto que dentro de dos hará cuarenta y dos añosde la primera edición de esta gran novela de Juan Carlos Onetti, inexorable-mente.

Al igual que el principio (SI) fallaba en los ejemplos anteriores, el princi-pio (GE) lo hace en el siguiente. Sea el enunciado perteneciente al lenguajeobjeto

(6) Qa ∧ (a = 9) ∧ ♦(a > 9)

Si éste es un enunciado verdadero entonces el enunciado (7) debe serlo tam-bién, pues ha sido obtenido a partir de (6) por generalización existencial:

(7) ∃x(Qx ∧ (x = 9) ∧ ♦(x > 9))

Pero si se interpretan (6) y (7) respectivamente como los enunciados

(6’) “El número de los planetas es igual a nueve, pero puede ser mayor”

(7’) “Hay un número que es igual a nueve y que puede ser mayor que nueve”

se observa cuán lejos de la verdad está (7’).El fallo de estos dos principios (en realidad el fallo del principio de ex-

tensionalidad) supone la revisión de la semántica lógica que sigue los plan-teamientos más clásicos, si lo que se pretende es incluir las modalidades enel ámbito de los lenguajes formales. También el carácter no declarativo dedeterminados conceptos modales supone la revisión de la semántica lógicatradicional, en particular de la noción de verdad lógica. Este es el caso de losconceptos normativos. Los enunciados propios de la lógica deóntica, es decir,aquellos enunciados que incluyen conceptos normativos, no son realmente niverdaderos ni falsos, según el sentido que al término verdad suele dársele enlógica. En efecto, uno se inclina con facilidad a decir que el enunciado

(8) “Si es necesario que α entonces es el caso que α”

es verdadero. Pero ¿qué se puede decir del siguiente enunciado análogo?:


(9) “Si es obligatorio que α entonces es el caso que α”

Si se piensa de él que es verdadero —o falso— en seguida uno se da cuentade que lo es de forma diferente o por diverso motivo que (8); aunque lonormal será considerarlo al margen de cualquier posible valor de verdad. Peroentonces, ¿cómo se puede interpretar un enunciado normativo desde un puntode vista lógico? Es factible pensar en la posibilidad de sustituir en este casolos valores de verdad tradicionales por otros valores como, por ejemplo, el par“bueno/malo”. Sin embargo esto, desde una perspectiva estrictamente lógica,no supone ninguna ganancia con respecto a la situación anterior (simplementehabría dos fórmulas distintas para hablar de la verdad de un enunciado) ysí una evidente pérdida de claridad y simplicidad, además de los problemasfilosóficos que introduciría en nuestro análisis un supuesto valor de bondad.

El lógico escandinavo Jørgen Jørgensen ha propuesto en este sentido uncélebre dilema que es necesario plantear llegados a este punto7. Resumida-mente, el dilema de Jørgensen establece que o bien se mantiene la concepciónclásica de la ciencia lógica según la cual ésta sólo trataría con enunciados alos que conviniese el ser verdaderos o falsos, descartando así como objetosuyo aquellos enunciados cuyo valor no sea una función de verdad de suscomponentes lógicos pertinentes, o bien se considera a estos últimos objetolegítimo de la lógica y es menester que la concepción clásica sea modificada.Precisamente entiendo que a este toro hay que cogerlo por el segundo de suscuernos para evitar los recortes fastidiosos que resultarían de desterrar todosaquellos conceptos que no encuentran su sitio en la ciencia lógica normal silo agarramos por el primero. Y precisamente, también, ésta es la finalidadúltima del presente trabajo de investigación: extender la lógica clásica depredicados de primer orden al ámbito de las modalidades, sus capacidades ysus métodos, sin que esta ampliación sea traumática.

7Cfr. Jørgensen, J.: “Imperatives and Logic” y Kalinowski, G.: La logique des normes,pp.: 58–59.


2.2. Mundos posibles y semántica

El uso normal que se hace en español de giros lingüísticos como “es nece-sario que” o “es posible que” suele ir acompañado de una imagen mental dela realidad con pretensiones de totalidad. Grosso modo, un hablante españoltenderá a expresar su convicción de que algo siempre ha sido, es y será de unadeterminada factura, ocurra lo que ocurra con el resto del mundo, asertandosu necesidad; y dirá que es posible aquello que, ocurra o no, es compatiblecon esa misma realidad que concibe como un todo.

El traslado de los términos “necesario” y “posible” a la lógica suponetambién trasladar su significado del modo más preciso que se pueda. Uno delos resultados de esta mudanza desde la semántica natural hasta la semánticaextensional de los lenguajes formales es lo que se ha dado en llamar semánticade los mundos posibles, nombre bajo el que se conocen los desarrollos dela lógica modal en el terreno del significado realizados entre los años 50y 60 de forma más o menos concertada por varios autores entre los quedestacan Rudolf Carnap, Richard Montague, Saul Kripke, Stig Kanger yJaakko Hintikka8. Aunque la semántica de los mundos posibles se halla muyalejada de lo que tradicionalmente se entiende por metafísica, la deuda conla filosofía de Leibniz y con la teoría de la figuración de Wittgenstein esevidente; uno no se encuentra aquí ante una simple coincidencia fraseológica,como puede comprobarse en el siguiente texto de Meaning and Necessity :

8Este método de análisis semántico, cuya noción principal es la de mundo posible, hatenido una fuerte implantación entre los lógicos escandinavos y anglosajones, principal-mente, a mi entender, a causa de tres acontecimientos importantes. En primer lugar elhito que supuso para la filosofía del empirismológico la aparición en 1947 de la obra de R.Carnap Meaning and Necessity y el uso lógico que allí se dio al concepto metafísico estadode cosas (state of affairs); en segundo lugar, la obra de R. Montague y el énfasis que sobrela semántica de los mundos posibles como piedra angular de su teoría del lenguaje y comoherramienta de análisis filosófico puso en 1957; y finalmente, tampoco hay que considerarextraño a este proceso el desarrollo en los últimos tiempos de la teoría matemática demodelos.


«Una clase de sentencias de S1 que contenga para cada sen-tencia atómica o esta sentencia o su negación, pero no ambas,y ninguna otra sentencia, se llama una descripción del estado(state-description) de S1, porque obviamente da una descripcióncompleta de un estado posible del universo de los individuos conrespecto a todas las propiedades y relaciones expresadas por lospredicados del sistema. Así las descripciones de estados represen-tan los mundos posibles de Leibniz o los posibles estados de cosasde Wittgenstein»9.

El propio Carnap reconoce pues esta deuda, por lo que a él concierne, ycomo sin duda su obra está en la base de la teoría semántica de los mundosposibles es lícito establecer una relación estrecha entre ésta y las teoríasmetafísicas antes mencionadas. De hecho, la proximidad entre los conceptos“estado de cosas” y “mundo posible” se entiende bien a través del pasajecitado. Intuitivamente ambos términos son sinónimos; su referente común esuna determinada descripción del mundo, puesto que los dos indican un cursoconcreto de acontecimientos y hechos que tiene como elementos los objetos deldiscurso y al que hacen referencia los enunciados del mismo. De este modo sepuede decir, por ejemplo, que la fantástica Descripción del mundo de MarcoPolo y la rigurosa Historia de la decadencia y ruina del imperio romanode Edward Gibbon describen sendos mundos posibles, al igual que lo hacenLewis Carroll en Alicia a través del espejo e Isaac Newton en sus PrincipiaMathematica. También puede decirse de diversas teorías matemáticas quedescriben diferentes mundos posibles: por ejemplo, los postulados y teoremasde la geometría de Euclides describen un mundo posible distinto del queretratan los de la geometría de Bolyai János.

La concepción metafísica de los mundos posibles debe precisarse, restrin-giéndola a límites propios de la lógica para que se adecúe más a los propósitosque ha de servir. El concepto “complete novel ” introducido mediante una me-

9R. Carnap: Meanig and Necessity, página 9.


táfora literaria por el americano R. Jeffrey en su obra The Logic of Decision10

da pie a esta otra definición más rigurosa, aunque menos intuitiva: un mundoposible es el referente —o aún mejor, el descriptum— de un conjunto cohe-rente de enunciados de un determinado lenguaje, conjunto que no puede seraumentado por la adición de un nuevo enunciado sin volverse inconsistente11.

De la definición de modalidad que di en la introducción se dejaba en-tresacar que la particularidad semántica de los lenguajes que la formalizanconsiste precisamente en que no es posible determinar aisladamente el valorde verdad de un enunciado que contenga operadores modales. La evaluaciónde un enunciado modal depende de la evaluación de otros (algunos, si no to-dos) enunciados del sistema al que pertenece el primero. Se percibe ahora porqué la noción de mundo posible dada anteriormente puede ser tan útil en estecampo si se entiende que a fin de cuentas el conjunto de todos los enunciadosverdaderos de un sistema es equivalente a una descripción exhaustiva de unposible estado de cosas. Con esta clave en la mente es fácil determinar elsignificado de los enunciados del lenguaje que incluyen operadores modales.Así el enunciado

(8) α→ α

se traduce por

(8’) “Si en todos los mundos posibles es el caso que α entonces es el caso queα”.

Y análogamente el enunciado

(10) ¬α→ ♦¬α

se traduce por

(10’) “Si no es el caso que α entonces hay al menos un mundo posible en elque no es el caso que α”.

10Op. cit. páginas 196–197.11Cfr. J. Hintikka: Models for Modalities, pp.: 153–154.


Seguramente esta transcripción de los antiguos giros por los nuevos “en todoslos mundos posibles es el caso que” y “hay al menos un mundo posible en elque es el caso que” no contribuye, desde una perspectiva lingüística, a aclararel significado de “necesario” y “posible”; en todo caso, a hacerlo menos natural.Sin embargo, desde el punto de vista de la lógica, la semántica de los mundosposibles proporciona una útil herramienta para la resolución de los problemasque plantea la intensionalidad. Puede decirse que la semántica de los mundosposibles permite extensionalizar los lenguajes intensionales.

El fallo del principio (SI) en contextos modales —que atrae y suponeel fallo de (GE)— puede verse corregido a través de lo que se ha dado enllamar identificación cruzada (cross-world identification) que ha de realizarsemediante las llamadas funciones de individuación (individuation functions).Lo que estos nuevos conceptos añaden al análisis semántico de las modali-dades es, hasta cierto punto, casi trivial. La identificación cruzada consisteen el establecimiento de la identidad entre dos miembros de mundos posiblesdiferentes12. Una idea intuitiva de lo que significa la identificación cruzada lada la suposición de que todos los individuos idénticos de los diversos mundosposibles están conectados entre sí objetivamente en virtud de su corporeidado rol desempeñado en una teoría por una especie de hilo de Ariadna —losautores anglosajones hablan de “world lines”— que conduce de un estado decosas a otro. La identificación de un individuo consiste precisamente en seguiruno de estos hilos inter mundos. Para J. Hintikka, estos hilos de Ariadna for-man una subclase de la clase de las funciones intensionales que Carnap llamóconceptos individuales. Es esta subclase la que recibe por parte del filósofofinlandés el nombre de funciones de individuación, de las que, reproduciendosus propias palabras, no es difícil ver que son las entidades más importantessobre las que hay que cuantificar en contextos modales13, para más adelante

12Aunque relacionados entre sí por la relación de alternatividad, que se tratará másadelante.

13«They are the most important entities we have to quantify over in these truth-conditions». Cfr. The Intentions of Intentionality, página 89.


añadir:

«Resumiendo, la semántica de Frege-Carnap explica el com-portamiento de la identidad en contextos modales (y contextos deactitud proposicional) pero no el comportamiento de los cuantifi-cadores en tales contextos. La diferencia entre los dos problemases casi como la modificación de un cuantificador. En el caso dela identidad, el problema es decir cuándo dos términos singula-res se refieren al mismo individuo en cada mundo posible (de uncierto tipo). En el caso de la cuantificación, tenemos que pregun-tar cuándo uno y el mismo término singular se refiere al mismoindividuo en todos los mundos posibles (de una clase determina-da)»14.

2.3. La relación de alternatividad

Del mismo modo que un cuantificador liga una variable, cabe la posibi-lidad de pensar que un operador de modalidad ligue todo un enunciado. Enla fórmula

(11) ♦∃xα(x)

α(x) cae bajo el alcance del cuantificador existencial en tanto que ∃xα(x)

se encuentra en el ámbito del operador de posibilidad. Se dice entonces que∃xα(x) es un enunciado modalizado. El valor de verdad de (11) está enfunción, por supuesto, del valor de verdad del enunciado modalizado, pero nopuede depender exclusivamente de él porque, si así fuera, el operador modal

14J. Hintikka: “Carnap’s Heritage” en The Intentions of Intentionality, página 90. Lacursiva es del propio autor. Cfr. también sobre estemismo aspecto el artículo “Existentialand Uniqueness Presuppositions” en Models for Modalities, nota 13, página 147. En de-finitiva, las funciones de individuación proporcionan los indicadores rígidos (los nombrespropios) de cada individuo, con lo que puede establecerse su identidad de un mundo posiblea otro.


no añadiría nada relevante al significado lógico del enunciado modalizado y,por ende, tampoco a la lógica de predicados de primer orden. Sería un simpleadorno y nada más. Un enunciado modal como el precedente no dependesemánticamente sólo de las asignaciones y valoraciones correspondientes delos enunciados modalizados que caigan bajo el alcance de los operadoresmodales ni de los signos constantes lógicos que en él ocurran, sino que tambiéndepende de otros factores por determinar relacionados con el significado deexpresiones como “es posible que”, “es necesario que”, etcétera.

La adaptación de la noción de mundo posible a los lenguajes formales pa-ra los que se la requiere, con el fin de que sea útil para establecer los criteriosde valoración de enunciados como (11), exige aún una mayor precisión en latraducción de tales expresiones que la hasta ahora alcanzada. Cabe evitarla ambigüedad resultante de traducirlas por “en algunos mundos posibles esel caso que” y “en todos los mundos posibles es el caso que”, siendo así quesiempre se puede imaginar una infinidad de mundos posibles, si se tienenen cuenta tan sólo aquellos estados de cosas alternativos al actual que sonverdaderamente relevantes. Esto solamente es posible si se limita el conceptode mundo posible y se trabaja no con descripciones globales del mundo sinocon descripciones parciales. Por el momento, seguiré llamando a estas des-cripciones parciales mundos posibles (nombrados con las letras minúsculasgriegas µ, ν ó λ) y consideraré que se trata de conjuntos no vacíos y fini-tos de enunciados de algún modo pertinentes para la teoría. De esta forma,tanto los mundos posibles entendidos como conjuntos de enunciados, comoel número de éstos a considerar en la evaluación de un enunciado modal se-rán finitos. “Relevancia” y “pertinencia” no dejan de ser nociones ambiguastambién, pero basten por el momento para continuar con la aproximaciónintuitiva que sirve como soporte a la discusión filosófica y lingüística desa-rrollada en este capítulo sobre los lenguajes intensionales y la semántica delos mundos posibles.

Según lo dicho, habría entonces que reformular los enunciados (8’) y (10’)


de la sección anterior del siguiente modo:

(8”) “Si en todos los mundos posibles relevantes para (o alternativos a) elactual es el caso que α entonces es el caso que α (en el mundo posibleactual)”.

(10”) “Si no es el caso que α (en el mundo posible actual) entonces hay almenos un mundo posible relevante para (o alternativo a) el actual enel que no es el caso que α”.

Un enunciado como (11), por tanto, habrá de ser evaluado dentro de unagalaxia o sistema de mundos posibles relevantes para el actual, de tal modoque si µ es el mundo posible actual y hay algún mundo posible relevante paraµ, digamos λ, tal que el enunciado modalizado de (11) pertenece a λ entoncesdiremos que efectivamente es el caso que (11).

Esto significa que al adoptar la semántica de los mundos posibles, elvalor de verdad de los enunciados del lenguaje deja de ser solamente unafunción de los valores de verdad de sus componentes y pasa a ser, además,una función del valor de verdad de otros enunciados pertenecientes al mismosistema. Por tanto, decir de un enunciado modal α que es el caso —esto es:que α es verdadero— es encontrar un conjunto de enunciados µ y un sistemade mundos posibles de algún modo relevantes para µ (llámese Ω) tales queα ∈ µ ∈ Ω.

Por lo tanto, de todo lo dicho se sigue que un sistema tal involucra laexistencia de una nueva función que, junto con las funciones de verdad tra-dicionales, permite evaluar el enunciado modal α. Dicha función recibe elnombre de relación de alternatividad, que es un concepto básico en la se-mántica de los mundos posibles y que por su especial condición merece quese le dedique algún tipo de análisis previo a su definición formal15.

15Algunos autores prefieren llamarla de accesibilidad o de relevancia lógica. Aquí adoptola terminología de Hintikka, quien en su libro The Intentions of Intentionality destaca laimportancia de la relación de alternatividad en la semántica de los mundos posibles: «En


Cabe definir la relación de alternatividad diciendo que un mundo posiblees alternativo a otro si el estado de cosas que describe parcialmente el primeroes una alternativa al que describe el segundo. O dicho de otro modo, sipudiera darse el estado de cosas descrito por el primero en lugar del quedescribe el segundo. Ahora bien, de esta definición podría desprenderse quetodos los mundos posibles tienen que ser alternativos entre sí, ya que seríalícito pensar que cualquier descripición parcial de un mundo posible suponeuna alternativa a cualquier otra, lo que supondría una trivialización hasta lainutilidad de este concepto. Conviene, por tanto, establecer más firmementecuándo una descripción parcial del mundo puede ser una alternativa conrespecto a otra.

Supónganse dos teorías físicas —es decir, dos descripciones parciales delmundo— que sólo se diferencien entre sí por los enunciados

(13) “Al nivel del mar el agua hierve a 100ºC”

(14) “Al nivel del mar el agua hierve a 110ºC”.

Ambas descripciones pueden ser una alternativa, la una de la otra. Piénseseahora en el significado del enunciado

(14’) “Es posible que al nivel del mar el agua hierva a 110ºC”.

Este último supone, según los criterios semánticos propuestos, la existencia deun mundo posible tal como aquél a cuya descripción pertenecería el enunciado(14), aunque el propio (14’) podría estar entre los enunciados del mundoposible descrito por el conjunto de los enunciados al que pertenece (13) —asícomo entre los enunciados del conjunto al que pertenece (14)—. Pero ¿quéocurre si en el primero de ambos mundos posibles hay algo como eso quellamamos “agua” mientras que en el segundo no? Evidentemente, el término

general, con una ligera simplificación uno puede decir que todo lo que queremos decir en lasemántica de la lógica modal puede ser dicho en términos de la relación de alternatividad».Op. cit., página 28.


“agua” habría de tener referentes distintos en ambos casos, de donde se sigueque se daría una diferencia en el significado del enunciado (14’) en un mundoposible y en otro; es decir: ninguno de los dos supondría una alternativa realcon respecto al otro, al menos por lo que se refiere al punto de ebullición delagua.

Considero que esto es un efecto propio del hecho de que los enunciadostoman una parte de su significado de la teoría en la que se encuadran, delsistema descriptivo de la realidad en el que se encuentran. Este sistema supo-ne en última instancia una amplia red lingüística en la que reside el criteriode verdad apropiado para los enunciados que la componen, lo que se perci-be de forma paradigmática cuando se trata con enunciados de los llamadosteóricos. La relación de alternatividad se establece entre dos de estas redeslingüísticas, lo que significa una comunidad de términos y una comunidad deconstantes lógicas, aunque no, evidentemente, de enunciados; en definitiva,la traducibilidad de los enunciados propios de la una a los de la otra16. Así,por ejemplo, cabe considerar alternativas las teorías astronómicas geocéntri-ca y heliocéntrica contempladas como un conjunto de enunciados referidosal cosmos. El significado de las constantes lógicas que aparecen en ambosconjuntos de enunciados es el mismo y también sus términos constantes indi-viduales en relación a sus referentes (los planetas, el sol, las estrellas), a pesarde que sufran un desplazamiento semántico del uno al otro. Lo que significaque dos conjuntos de enunciados que describen mundos posibles diversos pe-ro alternativos han de tener algo en común: los términos individuales —auncontando con los desplazamientos semánticos, cuyos problemas asociados in-tenta resolver la teoría de las funciones de individuación— y el significado delos signos constantes lógicos —es decir, las condiciones que determinan unconjunto modelo—.

Por tanto, dos mundos posibles son alternativos desde el punto de vista16Cfr. las teorías de la referencia y de la indeterminación de la traducción expuestas por

Quine respectivamente en “Two Dogmas of Empiricism” en From a Logical Point of Viewy en Word and Object.

de la teoría del significado solamente si es posible establecer un criterio detraducibilidad entre sus enunciados, aunque éstos sean completamente dife-rentes e incluso contradictorios; es pensable un mundo en el que sea falsotodo lo que en el actual es verdadero, pero los enunciados que componensus descripciones tendrán sentido a partir de idénticos principios lógicos ylingüísticos, por lo que existe la potestad de que ambos sean alternativos.

Así definida, la relación de alternatividad permite sistematizar el signifi-cado de los giros del lenguaje natural “es posible que” y “es necesario que”de forma análoga a como se hiciera más arriba, aunque dando lugar a lassiguientes traducciones:

“Es posible que α” =trad. ∀µ∃λ(♦α ∈ µ & µ<λ & α ∈ λ)

“Es necesario que α” =trad. ∀µ∀λ(α ∈ µ & µ<λ ⇒ α ∈ λ)

La relación de alternatividad < se establece entre conjuntos de enunciadosy no entre los enunciados mismos. No será necesario para el lógico especi-ficar de qué tipo de relación se trata ya que lo verdaderamente importantees determinar en cada caso qué conjuntos de enunciados pertenecientes a undeterminado sistema están relacionados entre sí y las propiedades de la re-lación que mantienen. Las traducciones anteriores, además, impiden que setomen los operadores modales como dos maneras tipográficamente diferentesde decir que un enunciado es satisfactible o universalmente válido, en cadacaso. La confusión de las modalidades con propiedades de los enunciados (co-mo por ejemplo la confusión del operador con el predicado metalingüístico“analítico”) también queda descartada con esta traducción que, además, abreuna perspectiva de estudio de las modalidades desde la lógica de predicadosde segundo orden.

Capítulo 3

Conjuntos modelos

3.1. La noción de conjunto modelo

Definición 3.1. El conjunto F de las fórmulas bien formadas (abreviada-mente fbfs.) es el más pequeño conjunto de secuencias de signos del lenguaje1

que cumple las siguientes condiciones:

1. ⊥ es una fbf.

2. Si t y s son términos2 y Q una letra predicativa entonces:

a) t = s es una fbf.

b) Qt1t2 . . . tn es una fbf.

3. Si α y β son fbfs. entonces:

a) ¬α es una fbf.

b) α ∧ β es una fbf.1En el capítulo anterior se dio una definición más informal de fórmula, exponiéndose

entonces una lista de signos que son los que aquí se asume como signos del lenguaje conla sola adición del signo ⊥.

2Un término es una variable individual o una constante individual.

33

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS MODELOS 34

c) α ∨ β es una fbf.

d) α→ β es una fbf.

4. Si α(x) es una fbf. entonces:

a) ∀xα(x) es una fbf.

b) ∃xα(x) es una fbf.

5. Toda fbf. precedida por un operador modal es también una fbf.

6. Nada más es una fbf.

Definición 3.2. Un conjunto modelo (que será designado por una de lasletras minúsculas del alfabeto griego λ, µ, ν, susceptibles de llevar subíndice)es un conjunto no vacío de fórmulas sin variables libres3 que satisface lassiguientes condiciones:

(C.⊥): Para todo µ ∈ Ω, ⊥ /∈ µ

(C.¬): Si α ∈ µ entonces ¬α /∈ µ

(C.∨): Si (α ∨ β) ∈ µ entonces α ∈ µ o β ∈ µ

(C.∧): Si (α ∧ β) ∈ µ entonces α ∈ µ y β ∈ µ

(C.→): Si (α→ β) ∈ µ entonces ¬α ∈ µ o β ∈ µ

(C. =): Si α(a) ∈ µ y (a = b) ∈ µ entonces α(b) ∈ µ

(C.∃): Si ∃xα(x) ∈ µ entonces α(b) ∈ µ para al menos una constante indivi-dual b ∈ D(µ)

(C.∀): Si ∀xα(x) ∈ µ entonces α(b) ∈ µ para toda constante individualb ∈ D(µ)

3En lo sucesivo se usará el término sentencia como sinónimo de fórmula sin variableslibres.

(C.♦): Si ♦α ∈ µ ∈ Ω entonces hay al menos un λ ∈ Ω tal que µ<λ y α ∈ λ

(C.): Si α ∈ µ ∈ Ω y si λ ∈ Ω y µ<λ entonces α ∈ λ

Definición 3.3. Una clase modelo Ω es un conjunto no vacío de conjuntosmodelos.

Definición 3.4. Un sistema modelo (S−modelo) es una cuádrupla ordenada〈Ω,<, D,〉4 donde Ω es una clase modelo, < es una relación llamada dealternatividad que se establece entre los conjuntos modelos pertenecientes aΩ de modo que < ⊆ Ω2, D es una función definida en Ω tal que, para cadaconjunto modelo µ ∈ Ω, D(µ) es el conjunto de las constantes individualesque aparecen en las fórmulas de µ y es una relación que se establece entrelos elementos de Ω y del conjunto F de las fbfs. tal que:

µ α si y sólo si (syss) α ∈ µµ ¬α syss no µ α

µ ¬(a = a) syss µ ⊥µ α ∧ β syss µ α y µ β

µ α ∨ β syss µ α o µ β

µ α→ β syss µ ¬α o µ β

4Jaakko Hintikka, a quien debo los conceptos y la terminología usados, define un sistemamodelo como un par ordenado 〈Ω,<〉. Yo he optado por añadir a la definición, con laidea de hacerla más versátil, un dominio D, que no es relevante para la lógica modal deproposiciones pero que sí será un elemento importante para la lógica modal de predicados,y la relación —evidentemente emparentada con el conjunto C de las condiciones queaparecen en la definición de conjunto modelo—, en el mismo sentido en que S. Kripkedefine sus estructuras modelos, pero sin restringir a un conjunto modelo cualquiera elprimero de los elementos de la tripla ordenada. De este modo queda abierta la posibilidadde la adición o modificación de tales condiciones, lo que permitirá extender sin problemasesta teoría semántica a otros ámbitos intensionales, como el epistémico, el deóntico o eltemporal, o incluso a otras concepciones no clásicas de los signos constantes lógicos. Cfr.Hintikka, J.: Models for Modalities, página 61, Kripke, S.: “Semantical analysis of modallogic I: Normal modal propositional calculi”, páginas 68ss. así como “Semantical analysis ofmodal logic II: Non-normal modal propositional calculi”, pp.: 206–220 y también Fitting,M.: “Tableau Methods of Proof for Modal Logics”, página 238.

µ (a = b) syss µ α(a)↔ α(b)5

µ ∃xα(x) syss µ α(b) para algún b ∈ D(µ)

µ ∀xα(x) syss µ α(b) para todo b ∈ D(µ)

µ ♦α syss ∃λ ∈ Ω tal que µ<λ y λ α

µ α syss ∀λ ∈ Ω, si µ<λ entonces λ α

No debe confundirse un S − modelo con un modelo que satisface unafórmula. En general, un S −modelo no es una interpretación, sino un mar-co general para las interpretaciones semánticas de los enunciados modales.Dicho de otro modo, un S − modelo es un sistema de conjuntos modelosrelacionados entre sí y son precisamente los conjuntos modelos (en tanto quepertenecientes a una clase modelo) los que determinan un modelo para unenunciado concreto; el S −modelo provee de interpretaciones pero no es élmismo una interpretación. Si así no fuera, sería fácil despojar de toda rele-vancia lógica a los operadores modales. Por ejemplo, si se dijera siguiendo ladefinición de S − validez que el enunciado

(12) ∃xα(x)

es válido si y sólo si para toda interpretación = ∃xα(x)= = 1, se estaríatratando el operador modal de necesidad en el mismo sentido en el que sedice que el enunciado modalizado es válido. Esto significa que (12) sería lomismo que

(12’) |= ∃xα(x)

y en verdad para ese viaje no se necesitaban tales alforjas6.5La fórmula α↔ β es una abreviatura de (α→ β) ∧ (β → α).6Creo que de algún modo Rudolf Carnap comete este error en Meaning and Necessity.

Allí propone interpretar la necesidad lógica en función de su concepto de L–verdad y dice:«39–1. Para cualquier sentencia “...”, “N(...)” es verdadera si y sólo si “...” es L–verdadera»(página 174). Pero si se tiene en cuenta que al comienzo del libro (página 8) definió elconcepto L–verdadero diciendo que «L–verdadero se utiliza como un explicatum de lo queLeibniz llamó verdad necesaria y Kant verdad analítica», lo que traslada luego (página 10)a la teoría de modelos mediante la siguiente definición: «Una sentencia ςi es L–verdadera


Definición 3.5. Una fórmula α es S − satisfactible syss para algún S −modelo hay un µ ∈ Ω tal que α ∈ µ.

Definición 3.6. Una fórmula α es S − valida (abreviadamente |=S α) sysspara todo S −modelo y para todo conjunto modelo µ ∈ Ω, α ∈ µ.

Definición 3.7. Una fórmula α es consecuencia lógica de un conjunto novacío de fórmulas Γ en el sistema S (abreviadamente Γ |=S α) syss hay unafórmula γ que es la fórmula que se consigue al conjuntar mediante el signo ∧todas las fórmulas de un subconjunto finito Γ′ ⊂ Γ tal que |=S γ → α.

Con el aparato semántico descrito es fácil dar cuenta de los sistemas axio-máticos más importantes de la lógica modal. En concreto, de los denominadossistemas normales de lógica modal, por cuyos sistemas modelos se interesaprincipalmente este trabajo puesto que permiten una aproximación global aproblemas relacionados con la teoría de la referencia, la teoría de las normasy la epistemología.

Sea un conjunto de axiomas cualquiera para la lógica de proposicionessimilar al de la base axiomática de los Principia Mathematica PM y lossiguientes axiomas y reglas de inferencia:

[K]: (α→ β)→ (α→ β)

[D]: α→ ♦α

[T]: α→ α

[B]: α→ ♦α

[S4]: α→ α

(en S1) =Df ςi vale en toda descripción de estado (en S1)» —que es lo mismo que decirque ςi es satisfactible por cualquier modelo (siempre en S1)—, entonces se comprueba queefectivamente para Carnap la necesidad lógica y el concepto de analiticidad o universalvalidez son lo mismo, con lo que el operador de necesidad N y el signo |= se confunden.

[S5]: ♦α→ ♦α

(MP): ` α, ` α→ β ⇒ ` β

(N): ` α ⇒ ` α

(E): ` α↔ β ⇒ ` α↔ β

Kripke denomina sistema normal de lógica modal a todo aquél que sea unaextensión del sistema cuya base axiomática es la siguiente:

PM + [K] + [T ] + (MP ) + (N)7.

En general se puede decir que un sistema normal de lógica modal estoda extensión del sistema K que sea cerrada respecto de la regla (N) denecesariedad. Esto deja a un lado el sistema estándar de lógica deóntica D,cuya base axiomática se define por:

PM + [K] + [D] + (MP ) + (E)8,

pero no a los denominados sistemas básicos de lógica deóntica, cuyo principalexponente es el sistema KD, que sí son cerrados respecto de (N)9.

Volviendo a la semántica descrita, determinados cambios en la definiciónde la relación diádica <, por ejemplo, aportarían diferentes sistemas modelos

7Cfr. Kripke, S.: “Semantical Analysis of Modal Logic I: Normal Modal Propositio-nal Calculi”, pp.: 67–69 y “Semantical Analysis of Modal Logic II: Non-Normal ModalPropositional Calculi”, pp.: 207–209.

8En el capítulo siete se trata con más detalle el sistema estándar de lógica deóntica.9La semántica de los sistemas normales es especialmente atractiva para el estudio de

los problemas de referencialidad en lenguajes intensionales. Por otra parte, estos sistemasincluyen aquellos axiomas y teoremas más interesantes para una primera aproximación ala lógica deóntica y a la lógica epistémica desde una perspectiva filosófica. En efecto, losaxiomas [K] + [D] dan lugar, como se ha dicho, a lo que se denomina sistemas básicosde lógica deóntica, en tanto que si se los complementa con [S4] o con [S5] —esto es, sise toma como base axiomática [K] + [D] + [S4] o bien [K] + [D] + [S5]— se obtienendiversas lógicas de la creencia. Del mismo modo, [K] + [T ] fundamentan los sistemas delógica modal alética y con [S4] o con [B] (o [S5] en su lugar) proveen de sistemas para lalógica epistémica o del conocimiento.

de acuerdo con los principales sistemas axiomáticos normales. Con < reflexivase obtiene un S −modelo que conviene al sistema T propuesto por Feys en1937 (así como al sistema M de Von Wright, equivalente a T como demostróen 1953 Sobocinski)10. Igualmente, si < es reflexiva y transitiva se obtiene unS −modelo semántico del sistema axiomático propuesto por Lewis en 1932que conocemos como S4, y si es reflexiva y simétrica se tiene el sistema B(o Sistema Brouweriano) propuesto por Kripke en 1963. Del mismo modo, si< es euclidiana (o, paralelamente, reflexiva, simétrica y transitiva) se tieneel equivalente semántico de S5 de Lewis, etcétera. El siguiente cuadro ofrecela definición de la relación de alternatividad para algunos de los sistemasmodales normales más importantes:

Sistema Propiedad Cláusulas que cumple larelación

K ——— ———KD Serialidad ∀λ∃µ(λ<µ)

T Reflexividad ∀µ(µ<µ)

B ReflexividadSimetría

∀µ(µ<µ)

∀λµ(λ<µ⇒ µ<λ)

S4 ReflexividadTransitividad

∀µ(µ<µ)

∀λµν(λ<µ & µ<ν ⇒ λ<ν)

S5 Euclidianeidad ∀λµν(λ<µ & λ<ν ⇒ µ<ν)

Cada uno de los S − modelos semánticos que surgen de definir en unsentido o en otro la relación de alternatividad como en el cuadro anteriorpuede recibir el nombre, respectivamente, de K − modelo, T − modelo (oM −modelo), D −modelo, y así sucesivamente11.

10Cfr. R. Feys: “Les logiques nouvelles des modalités”; G.H. Von Wright: An Essay inModal Logic; B. Sobocinski: “Note on a modal system of Feys-Von Wright”.

11Se puede pensar de forma análoga en los S−modelos correspondientes a otros sistemasaxiomáticos de lógica modal modificando Ω mediante la introducción de cambios, bien enla definición de <, bien en el conjunto C. Así, por ejemplo, J. Hintikka ofrece en Models forModalities, pp.: 60–61, las siguientes condiciones como las propias de un sistema semántico

3.2. Algunos resultados con conjuntos modelos

y mundos posibles

Teorema 3.8. (Lema de Hintikka): Todo conjunto modelo µ es simultá-neamente S − satisfactible.

Demostración. El teorema es evidente por la definiciones de conjunto modeloy S − satisfactibilidad. Sea 〈Ω,<, D,〉 un S −modelo cualquiera tal queµ ∈ Ω. Luego para todo α ∈ µ, α es S − satisfactible por la definición3.5.

Definición 3.9. Un conjunto Γ finito de fórmulas es semánticamente con-sistente si y sólo si es simultáneamente S − satisfactible.

Definición 3.10. Un conjunto máximamente consistente en sentido semánti-co M es un conjunto de fórmulas semánticamente consistente y ejemplificado(es decir, para toda fbf. de la forma ∃xδ(x), si ∃xδ(x) ∈M entonces hay almenos una constante individual b tal que δ(b) ∈ M) de modo que ningunaextensión propia de M es semánticamente consistente12.

Definición 3.11. Un conjunto veritativo V es un conjunto de sentencias talque para cualesquiera sentencias α y β:

equivalente a M :

(C.M*): Si Mα ∈ µ ∈ Ω entonces hay en Ω al menos un conjunto modelo λ alternativoa µ tal que α ∈ λ

(C.N): Si Nα ∈ µ entonces α ∈ µ

(C.N+): Si Nα ∈ µ ∈ Ω y si λ ∈ Ω y λ es alternativo a µ entonces α ∈ λ

12Por una extensión propia de M se entiende la adición de una fórmula cualquiera γtal que γ /∈M. Se puede observar que todo mundo posible, tal y como fue definido en elcapítulo anterior, es el descriptum de un conjunto de sentencias máximamente consistenteen sentido semántico.


1. ⊥ /∈ V

2. α ∈ V syss ¬α /∈ V

3. (α ∨ β) ∈ V syss α ∈ V o β ∈ V

4. (α ∧ β) ∈ V syss α ∈ V y β ∈ V

5. (α→ β) ∈ V syss ¬α ∈ V o β ∈ V

6. ∃xα(x) ∈ V syss hay al menos una constante individual b tal queα(b) ∈ V

7. ∀xα(x) ∈ V syss para toda constante individual b, α(b) ∈ V

8. ♦α ∈ V syss, para algún conjunto veritativo V′ tal que ♦δ|δ ∈ V′ ⊆V, α ∈ V′

9. α ∈ V syss, para todo conjunto veritativo V′ tal que δ|δ ∈ V ⊆V′, α ∈ V′

Lema 3.12. Para todo conjunto modelo µ hay un conjunto veritativo V talque µ ⊂ V.

Demostración. Extendiendo el conjunto modelo µ a un conjunto veritativo:Sean A = 〈α1, ...〉 la secuencia de todas las fórmulas de F con una y sólo

una variable libre, P = 〈a1, ...〉 la secuencia de todos los parámetros que noocuren en µ y B = 〈β1, ...〉 la secuencia de todas las sentencias del lenguaje.Sea Vω = V0 ∪V1 ∪ ..., donde V0 = µ y Vn+1 = Vn ∪ ∃xδ(x)→ δ(b/x),siendo δ la enésima fórmula de A y b el primer parámetro de P que no estáni en Vn ni en δ. Sea Vω = V0∪V1∪ ..., donde V0 = Vω y Vn+1 = Vn∪βnsi no Vn |=S ¬βn o bien Vn+1 = Vn en caso contrario, siendo βn la enésimasentencia de B. Se obtiene de este modo un conjunto Vω del que se puedeprobar:


1. Vω es simultáneamente S − satisfactible. En efecto, V0 es simultá-neamente S − satisfactible por el teorema 3.8. Ahora bien, si Vn essimultáneamente S − satisfactible entonces Vn+1 también lo es. Su-póngase que Vn+1 no es simultáneamente S − satisfactible. Entonces,como por hipótesis Vn sí lo es, es que Vn |=S ¬(∃xδ(x)→ δ(b/x)). Portanto, Vn |=S ∃xδ(x) y Vn |=S ¬δ(b/x). Pero, como b es un parámetronuevo con respecto a Vn y δ, entonces se tiene que Vn |=S ∀x¬δ(x)

y de aquí que Vn |=S ¬∃xδ(x), lo que hace que Vn no sea simultá-neamente S − satisfactible, contra la hipótesis. De todo esto se sigueque Vω es simultáneamente S− satisfactible y por tanto lo es V0, pordefinición. Basta entonces con demostrar que si Vn es simultáneamenteS − satisfactible también lo es Vn+1, lo que es evidente por el propioproceso de construcción.

2. Vω es un conjunto veritativo. En efecto:

a) ⊥ /∈ Vω, puesto que Vω es simultáneamente S − satisfactible.

b) α ∈ Vω syss ¬α /∈ Vω, puesto que, en el supuesto de que α ∈ Vω

entonces, si también ¬α ∈ Vω entonces Vω no es simultáneamenteS − satisfactible, contrariamente a la hipótesis, y en el supuestode que ¬α /∈ Vω entonces, por el criterio de construcción de Vω,α ∈ Vω.

c) (α∨β) ∈ Vω syss α ∈ Vω o β ∈ Vω, puesto que en el supuesto deque (α∨ β) ∈ Vω, si α /∈ Vω y β /∈ Vω entonces ¬α ∈ Vω y ¬β ∈Vω; luego Vω |=S ¬β. Pero es evidente que (α∨β),¬α |=S β y portanto Vω no es simultáneamente S−satisfactible, contrariamentea lo ya demostrado. Y en el supuesto de que α ∈ Vω o β ∈ Vω, si(α∨β) /∈ Vω entonces ¬(α∨β) ∈ Vω y por tanto Vω |=S ¬(α∨β);pero α |=S (α ∨ β) y nuevamente Vω no sería simultáneamenteS − satisfactible.

d) (α ∧ β) ∈ Vω syss α ∈ Vω y β ∈ Vω, puesto que en el supuesto


de que (α ∧ β) ∈ Vω, si α /∈ Vω o β /∈ Vω entonces ¬α ∈ Vω o¬β ∈ Vω; luego Vω |=S ¬α o Vω |=S ¬β, aunque es evidente que(α∧β) |=S α y (α∧β) |=S β, por lo que Vω no es simultáneamenteS − satisfactible, contrariamente a lo ya demostrado. Y en elsupuesto de que α ∈ Vω y β ∈ Vω, si (α ∧ β) /∈ Vω entonces¬(α∧β) ∈ Vω y por tanto Vω |=S ¬(α∧β); pero α, β |=S (α∧β)

y nuevamente Vω no sería simultáneamente S − satisfactible.

e) (α→ β) ∈ Vω syss ¬α ∈ Vω o β ∈ Vω, puesto que en el supuestode que (α → β) ∈ Vω, si ¬α /∈ Vω y β /∈ Vω entonces α ∈ Vω y¬β ∈ Vω; luego Vω |=S ¬β. Pero es evidente que (α→ β), α |=S β

y por tanto Vω no es simultáneamente S − satisfactible, contra-riamente a lo que ya ha sido demostrado. Y en el supuesto de que¬α ∈ Vω o β ∈ Vω, si (α → β) /∈ Vω entonces ¬(α → β) ∈ Vω

y por tanto Vω |=S ¬(α → β); pero ¬α |=S (¬α ∨ β), o lo que eslo mismo Vω |=S (α→ β) y nuevamente Vω no sería simultánea-mente S − satisfactible.

f ) ∃xα(x) ∈ Vω syss hay al menos una constante individual b talque α(b) ∈ Vω, puesto que en el caso de que ∃xα(x) ∈ Vω, porel criterio de construcción debe haber al menos una fórmula deltipo ∃xα(x) → α(b) ∈ Vω, y por tanto Vω |=S α(b); y en el casode que α(b) ∈ Vω, si ∃xα(x) /∈ Vω entonces ¬∃xα(x) ∈ Vω y, portanto, ∀x¬α(x) ∈ Vω, de donde Vω |=S ¬α(b) y Vω no es simul-táneamente S − satisfactible, contrariamente a lo establecido.

g) ∀xα(x) ∈ Vω syss, para toda constante individual, α(b) ∈ Vω,puesto que en el caso de que ∀xα(x) ∈ Vω entonces Vω |=S α(b); yen el caso de que α(b) ∈ Vω, si ∀xα(x) /∈ Vω entonces ¬∀xα(x) ∈Vω y, por tanto, ∃x¬α(x) ∈ Vω, de donde Vω |=S ¬α(b) porel propio criterio de construcción y Vω no es simultáneamenteS − satisfactible, contrariamente a lo establecido.

h) ♦α ∈ Vω syss, para algún conjunto veritativoV tal que ♦δ|δ ∈ V ⊆


Vω, α ∈ V, puesto que en el caso de que ♦α ∈ Vω, si, para to-do conjunto veritativo V como el caracterizado, α /∈ V entonces¬α ∈ Vω. Por tanto Vω |=S ¬α, lo que significa, por la definición3.6, que para todo conjunto µ ∈ Ω, ¬α ∈ µ. Luego Vω |=S ¬αy de aquí que Vω |=S ¬♦α, no siendo Vω S − satisfactible. Porotra parte, si hay un conjunto veritativo V del tipo descrito conrespecto a Vω tal que α ∈ V entonces ♦α ∈ Vω.

i) α ∈ Vω syss, para todo conjunto veritativoV tal que δ|δ ∈ Vω ⊆V, α ∈ V, puesto que si α ∈ Vω, entonces, por la propia ca-racterización del conjunto veritativo V, α ∈ V. Por otro lado, sipara todo conjunto veritativo V del tipo descrito α ∈ V entoncesVω |=S α y, por la definición 3.6,Vω |=S α y por tanto α ∈ Vω.

Corolario 3.13. Todo conjunto veritativo Vω es un conjunto máximamenteconsistente en sentido semántico M.

Lema 3.14. (Lema de Lindenbaum): Todo conjunto modelo µ es un sub-conjunto de algún conjunto máximamente consistente en sentido semánticoM.

Demostración. La demostración es directa a partir del lema 3.12 y su coro-lario.

Teorema 3.15. (Teorema de compacidad): Dado un conjunto (finito oinfinito) de fórmulas Γ , si, para todo subconjunto finito Γ0 ⊂ Γ , Γ0 es simul-táneamente S−satisfactible, entonces Γ es simultáneamente S−satisfactible.

Demostración. Sea Γ0 un subconjunto finito cualquiera de Γ . Como por hi-pótesis Γ0 es simultáneamente S−satisfactible entonces, por el teorema 3.8,Γ0 puede ser extendido a un conjunto modelo. Por tanto, por el lema 3.14hay un conjunto máximamente consistente en sentido semántico M, obtenido


por el mismo procedimiento por el que se obtiene el conjunto Vω más arribacon la salvedad de que en este caso A = 〈α1, ...〉 es la secuencia de todas lasfórmulas de Γ con una y sólo una variable libre, P = 〈a1, ...〉 la secuencia detodos los parámetros que no ocuren en Γ0 y B = 〈〈γ1, ...〉 , β1, ...〉 la secuenciade todas las sentencias del lenguaje cuyo primer elemento es la secuencia detodas las sentencias de Γ , tal que Γ0 ⊂ Γ ⊆ M, por lo que Γ es al menosconsistente en sentido semántico y por lo tanto, atendiendo a la definición3.9, Γ es simultáneamente S − satisfactible.

Capítulo 4

Un procedimiento semántico dedecisión

4.1. Árboles semánticos para la lógica modal

alética de proposiciones

En este capítulo me propongo establecer un procedimiento semántico dedecisión para los sistemas normales de lógica modal de proposiciones. Elprocedimiento se basa directamente en la semántica de los mundos posibles,por una parte, y el método de tablas o árboles semánticos de E. W. Beth yRaymond Smullyan, por otra1.

Definición 4.1. Un árbol semántico es una secuencia de secuencias de ex-presiones del tipo β/n, donde β es una fórmula del lenguaje y n es un índice

1Cfr. E. W. Beth: “Semantic Entailment and Formal Derivability”, en J. Hintikka (ed.):The Philosophy of Mathematics, pp.: 9–41, y Raymond Smullyan: First-Order Logic, res-pectivamente. M. Fitting ha aplicado también el método de tablas semánticas a la lógicamodal en su libro Proof Methods for Modal and Intuitionistic Logics, con notables resul-tados de los que también me considero deudor. Tampoco puedo, ni debo, olvidar aquíel magisterio del profesor Emilio Díaz Estévez ni su trabajo inédito “Reducciones finitasde árboles semánticos infinitos”, al cual también debo lo esencial del procedimiento aquíexpuesto.

46

CAPÍTULO 4. UN PROCEDIMIENTO SEMÁNTICO DE DECISIÓN 47

numérico (siendo n > 0), tal que se constituye a partir de una primera expre-sión α/1 según las reglas de construcción que se establecerán debidamente2.En rigor llamaré a esta secuencia de secuencias de expresiones que tiene aα/1 como primera de todas ellas árbol S de α, o esquemáticamente ASα.

Definición 4.2. Una fórmula cualquiera δ está asociada a un índice i en lasecuencia Σ de ASα syss en Σ aparece la expresión δ/i.

Las reglas de formación del árbol semántico que van a ser establecidas acontinuación son una aplicación formal del concepto de conjunto modelo parael análisis semántico de una fórmula modal. En síntesis, pueden describirsecomo la traslación al procedimiento de las tablas semánticas del conjunto decondiciones C. En este sentido, es posible concebir el árbol semántico comouna secuencia de enunciados metalingúísticos acerca de un conjunto Ω deconjuntos modelos que puede mostrarse efectivamente por el solo agrupa-miento, según corresponda, de todas las fórmulas que aparecen en el árbolen el conjunto modelo que determine el índice al que cada fórmula está aso-ciada3, siendo así que a partir de ASα es posible obtener en tal caso unS −modelo que satisfaga a α.

Definición 4.3. Una expresión de ASα está debidamente marcada o, sim-plemente, marcada syss aparece junto a ella uno de los siguientes signos:< ¬ >,< ∨ >,< ∧ >,<→>, o uno o más índices numéricos —o bien uno omás parámetros— entre <>.

2Opto por tratar los índices que acompañan a las fórmulas en el árbol como parte delmetalenguaje y no del lenguaje objeto. Ambas opciones están presentes en la literaturasobre árboles modales. La primera, por ejemplo, se encuentra en Copeland, B. J.: “TenseTrees: A Tree System for Kt”. La segunda, en cambio, puede encontrarse en Fitting,M.: “Tableau Methods of Proof for Modal Logics” y en Davidson, Jackson & Pargetter:“Modal Trees for T and S5”. Considero que el tratamiento de los índices como parte delmetalenguaje es más elegante, además de reforzar el carácter semántico de los árbolesmodales.

3Con la salvedad de aquellos árboles que resulten cerrados, pues en ellos no podráninterpretarse los índices como conjuntos modelos stricto sensu, como se verá más adelante.

Una de estas marcas junto a una expresión significa que ya ha sido apli-cada a la misma alguna de las reglas de formación del árbol semántico, en-cabezadas por las siguientes:

(R.∨) : Si la primera expresión no marcada de Σ ⊂ ASα es de la forma(β ∨ γ)/i entonces se obtienen dos secuencias diferentes Σ1 y Σ2

tales que Σ1 = Σ + β/i y Σ2 = Σ + γ/i y se marca la expresióncon el signo < ∨ >.

(R.∧) : Si la primera expresión no marcada de Σ ⊂ ASα es de la forma(β ∧ γ)/i entonces se añaden a la secuencia Σ tanto la expresiónβ/i como la expresión γ/i y se marca la expresión con el signo< ∧ >.

(R.→) : Si la primera expresión no marcada de Σ ⊂ ASα es de la forma(β → γ)/i entonces se obtienen dos secuencias diferentes Σ1 y Σ2

tales que Σ1 = Σ+¬β/i y Σ2 = Σ+ γ/i y se marca la expresióncon el signo <→>.

Como se adelantara, es fácil observar la correspondencia directa que hay entreestas tres reglas y las condiciones (C.∨), (C.∧) y (C. →), respectivamente.Con el objeto de añadir nuevas reglas de formación del árbol semántico sepueden establecer nuevas condiciones; por ejemplo, a partir de las anterioresy la condición (C.¬):

(C.¬¬): Si ¬¬α ∈ µ entonces α ∈ µ.

(C.¬∨): Si ¬(α ∨ β) ∈ µ entonces ¬α ∈ µ y ¬β ∈ µ.

(C.¬∧): Si ¬(α ∧ β) ∈ µ entonces ¬α ∈ µ o ¬β ∈ µ.

(C.¬ →): Si ¬(α→ β) ∈ µ entonces α ∈ µ y ¬β ∈ µ.

(C.¬♦): Si ¬♦α ∈ µ entonces ¬α ∈ µ.

(C.¬): Si ¬α ∈ µ entonces ♦¬α ∈ µ.

Estas nuevas condiciones son fácilmente derivables apelando a las anotadas enel capítulo anterior. Derivo, como ejemplo, (C.¬∧). Supóngase que ¬(α∧β) ∈µ; entonces por (C.¬) no se da el caso que (α ∧ β) ∈ µ; luego por (C.∧) noes el caso que α ∈ µ y β ∈ µ; esto es: o bien no es el caso que α ∈ µ o bienno lo es que β ∈ µ (o ambos); y apelando nuevamente a (C.¬) se obtiene que¬α ∈ µ o ¬β ∈ µ . (C.¬♦) y (C.¬) se fundamentan intuitivamente.

De estas seis condiciones se siguen las reglas correspondientes:

(R.¬¬): Si la primera expresión no marcada de Σ ⊂ ASα es de la forma¬¬β/i entonces se añade a la secuencia Σ la expresión β/i y semarca con el signo < ¬ >.

(R.¬∨): Si la primera expresión no marcada de Σ ⊂ ASα es de la forma¬(β∨γ)/i entonces se añaden a la secuencia Σ tanto la expresión¬β/i como la expresión ¬γ/i y se marca con el signo < ¬ >.

(R.¬∨): Si la primera expresión no marcada de Σ ⊂ ASα es de la forma¬(β ∧ γ)/i entonces se obtienen dos secuencias diferentes Σ1 yΣ2 tales que Σ1 = Σ + ¬β/i y Σ2 = Σ + ¬γ/i y se marca con elsigno < ¬ >.

(R.¬ →): Si la primera expresión no marcada de Σ ⊂ ASα es de la forma¬(β → γ)/i entonces se añaden a la secuencia Σ las expresionesβ/i y ¬γ/i y se marca con el signo < ¬ >.

(R.¬♦): Si la primera expresión no convenientemente marcada de Σ ⊂ASα es de la forma ¬♦β/i entonces se añade a la secuencia Σ laexpresión ¬β/i y se marca con el signo < ¬ >.

(R.¬): Si la primera expresión no convenientemente marcada de Σ ⊂ASα es de la forma ¬β/i entonces se añade a la secuencia Σ laexpresión ♦¬β/i y se marca con el signo < ¬ >.

Se puede prever que a estas nueve reglas de construcción del árbol semánticohaya que añadir las correspondientes a las condiciones propias de la cuan-tificación y de los operadores modales aléticos. Las primeras se verán en elcapítulo siguiente puesto que, como queda dicho ya, la cuantificación en loscontextos no puramente referenciales, que es el caso de los contextos modales,supone problemas específicos que han de tratarse a su vez específicamente.Por otra parte, las condiciones (C.♦) y (C.) darán lugar a tantas reglasde formación cuantas definiciones de la relación de alternatividad haya quemanejar en relación con el S −modelo según el que se evalúe la fórmula queda lugar al árbol. La regla correspondiente a (C.♦) es común a todos losS-modelos de los sistemas normales de lógica modal:

(R.♦): Si la primera expresión de Σ ⊂ ASα no convenientemente mar-cada es de la forma ♦β/i entonces se añade a la secuencia Σ laexpresión β/j, donde j es el menor índice mayor que i no apare-cido hasta el momento en la secuencia, y se marca con < j >.

Las reglas correspondientes a (C.), en cambio, difieren en función del S −modelo elegido para revisar la fórmula.

Definición 4.4. Se dice que un índice j es relevante para otro índice i en lasecuencia Σ de ASα (abreviadamente, i ∼ j) syss el índice j aparece en Σal marcar una fórmula del tipo ♦β asociada al índice i.

La noción de relevancia entre índices también podría denominarse deK−relevancia (lo que podría escribirse i ∼K j para dos índices cualesquierai y j), por lo que cabe definir las nociones oportunas de relevancia para cadasistema normal T , B, S4 y S54:

4La noción de relevancia entre índices en el árbol semántico está evidentemente empa-rentada con la relación de alternatividad definida entre los miembros de una clase modelo.Las definiciones de T − relevancia, B − relevancia, etcétera son la forma de trasladar alos árboles lo que se dijo en el capítulo anterior sobre la relación de alternatividad y suspropiedades en los diversos sistemas modelos. En este sentido, cabe destacar la definiciónde S5−relevancia que no recoge ninguna restricción especial relacionada con la definición

Definición 4.5.a) ∀i, j ∈ Σ i ∼T j syss i ∼ j o i = j

b) ∀i, j ∈ Σ i ∼B j syss i ∼ j o j ∼ i

c) ∀i, j ∈ Σ i ∼S4 j syss i ∼ j o ∃k ∈ Σ i ∼ k ∼ j

d) ∀i, j ∈ Σ i ∼S5 j

(RS.): Si la primera expresión no debidamente marcada en Σ ⊂ ASα

es de la forma β/i entonces se añaden a la secuencia Σ todaslas expresiones β/j1, ...β/jn, estando j1, ...jn por todos los índicesque aparecen en la secuencia tales que i ∼S jk para 1 ≤ k ≤ n, yse marca con < j1, ...jn >

5.

Es conveniente establecer un orden de aplicación de las reglas de formacióndel árbol cuando en una misma secuencia hay más de una fórmula no conve-nientemente marcada. Con este fin, las reglas anteriores pueden ser divididasen tres grupos diferentes:

1. Aquellas reglas que provocan la aparición de nuevos índices en el árbol:(R.♦).

2. Aquellas reglas que provocan la bifurcación del árbol: (R.∨), (R.→) y(R.¬∧).

3. El resto de las reglas de formación del árbol semántico.

Dados una secuencia abierta Σn ⊂ ASα y un conjunto de expresiones noconvenientemente marcadas Γ ⊂ Σn, las reglas de formación del árbol debenaplicarse a Γ en orden de prioridad inverso al establecido en su división porgrupos anterior.

de relevancia entre índices, puesto que la relación de alternatividad en S5 es una relaciónde equivalencia: todos los índices que aparecen en la secuencia Σ son relevantes los unospara los otros. La definición de D − relevancia aparece en el capítulo siete, dedicado a lainterpretación deóntica de los operadores de modalidad.

5En esta regla (RS .), la ese subscrita está por cualquiera de los sistemas tratados K,T , etcétera. A partir de esta regla, por tanto, podrá hablarse de las reglas (RK .), (RT .)y así sucesivamente.


Definición 4.6. Se dice que una secuencia Σn es cerrada si y sólo si aparecenen ella dos expresiones de la forma β/i y ¬β/i, donde la fórmula β es atómica;esto es: no ocurre en ella ninguno de los signos ∧,∨,→, ni operadores lógicosy, por tanto, no se le puede aplicar ya ninguna de las reglas de construcción.El cierre de una secuencia se simboliza mediante un aspa al final de la misma.Cuando todas las secuencias de un árbol son cerradas se dice que el árbolmismo es cerrado.

Evidentemente, cuando una secuencia Σ es cerrada, el índice i al queaparecen asociadas las fórmulas β y ¬β no puede ser interpretado como unconjunto modelo, puesto que por la definición 3.2 si β ∈ µi entonces ¬β /∈ µi.Luego en una secuencia tal los índices no representan conjuntos modelos,debiendo ser interpretada la secuencia como un intento fallido por construirun S −modelo que satisfaga la fórmula inicial.

4.2. El teorema fundamental de los árboles se-

mánticos

Definición 4.7. Se dice que una expresión β/i perteneciente a una secuenciaΣ depende de cualquier otra expresión α/j aparecida en la secuencia si β/ies α/j o aparece en Σ por la aplicación de una de las reglas de formación delárbol sobre una expresión γ/h ∈ Σ que dependa de α/j.

Teorema 4.8. Si α es S−satisfactible entonces hay al menos una secuenciaΣn ⊂ ASα tal que si, para un índice cualquiera i y una fórmula cualquieraβ, β/i ∈ Σn depende de α/i entonces β es también S − satisfactible.

Demostración. El teorema se demuestra por inducción sobre el número deaplicaciones de las reglas de formación del árbol. Sea m dicho número ym = 0. Entonces Σn = α/1 y por hipótesis α es S − satisfactible. Quede

demostrado el teorema para cualquier m > 0 y demuéstrese ahora que tam-bién vale para m+ 1. La m+ 1− esima aplicación de las reglas de formacióndel árbol puede ser de una de las siguientes:

(R.∧) sobre una expresión del tipo (γ ∧ δ)/i. Luego se obtienen en lasecuencia Σn las expresiones γ/i y δ/i. Como (γ∧δ) es S−satisfactiblepor la hipótesis de la inducción hay un µi que es consistente, pues ha decumplir la condición (C.¬), tal que (γ∧δ) ∈ µi, γ ∈ µi y δ ∈ µi; y por lasdefiniciones 3.2 (de conjunto modelo) y 3.5 (de S − satisfactibilidad),γ y δ han de ser ambas S − satisfactibles.

(R.∨) sobre una expresión de la forma (γ ∨ δ)/i. Luego se obtienen dossecuencias diferentes a partir de Σn, tales que la primera es Σn + γ/i

y la segunda es Σn + δ/i. Por hipótesis de la inducción (γ ∨ δ) esS − satisfactible, lo que significa que hay un conjunto modelo µi talque o bien γ ∈ µi o bien δ ∈ µi; de modo que por la definición 3.2(de conjunto modelo) y la definición 3.5 (de S − satisfactibilidad) almenos una de ambas fórmulas γ o δ es S − satisfactible.

(R. →) sobre una expresión de la forma (γ → δ)/i. Luego se obtienendos secuencias diferentes a partir deΣn tales que la primera esΣn+¬γ/iy la segunda es Σn + δ/i. Por hipótesis de la inducción (γ → δ) es S −satisfactible, de donde se sigue que hay un conjunto modelo µi tal queo bien ¬γ ∈ µi o bien δ ∈ µi; de modo que nuevamente por la definición3.2 (de conjunto modelo) y la definición 3.5 (de S − satisfactibilidad)al menos una de ambas fórmulas ¬γ o δ es S − satisfactible6.

(R.♦) sobre una expresión del tipo ♦δ/i. Luego se obtiene δ/j, siendoj un índice nuevo tal que i ∼S j. Hay, por tanto, un µi y un µj talesque ♦δ ∈ µi y δ ∈ µj y µi<µj, y por tanto, por las definiciones 3.2 y3.5, δ es S − satisfactible.

6La prueba para (R.¬∧), (R.¬∨), (R.¬ →), etcétera se desarrolla en términos idénticos.

(RS.) sobre una expresión de la forma δ/i. Luego se obtiene lasecuencia < α/1, ...δ/i, δ/j1, ...δ/jn >, donde j1, ...jn ∈ Σn y i ∼Sj1, ...i ∼S jn. Hay, por lo tanto unos µi, µj1 , ...µjn tales que δ ∈ µi, δ ∈µj1 , ...δ ∈ µjn , con µi<µj1 , ...µi<µjn y nuevamente por las definiciones3.2 y 3.5, δ es S − satisfactible7.

Definición 4.9. Se llama secuencia asociada a la secuencia Σn ⊂ ASα ala n-tupla ordenada < F0,F1, ...Fn > tal que F0 es el conjunto de todaslas fórmulas elementales de Σn (es decir, las fórmulas atómicas y atómicasnegadas que aparecen en Σn) y Fm, con 0 < m ≤ n, el más pequeño conjuntode fórmulas de Σn, tal que:

1.

a) ¬¬δ/i ∈ Fm syss δ/i ∈ Fm−1.

b) ¬(δ ∧ η)/i ∈ Fm syss ¬δ/i ∈ Fm−1 o ¬η/i ∈ Fm−1.

c) ¬(δ∨η)/i ∈ Fm syss una de las dos fórmulas ¬δ/i o ¬η/i pertenecea Fm−1 y la otra pertenece a Fj con j ≤ m− 1.

d) ¬(δ → η)/i ∈ Fm syss una de las dos fórmulas δ/i o ¬η/i pertenecea Fm−1 y la otra pertenece a Fj con j ≤ m− 1.

e) ¬δ/i ∈ Fm syss ♦¬δ/i ∈ Fm−1.

f ) ¬♦δ/i ∈ Fm syss ¬δ/i ∈ Fm−1.

g) ¬∀xδ(x)/i ∈ Fm syss ∃x¬δ(x)/i ∈ Fm−1.

h) ¬∃xδ(x)/i ∈ Fm syss ∀x¬δ(x)/i ∈ Fm−1.

2. δ ∨ η/i ∈ Fm syss δ/i ∈ Fm−1 o η/i ∈ Fm−1.

3. δ ∧ η/i ∈ Fm syss una de las dos fórmulas δ/i o η/i pertenece a Fm−1y la otra pertenece a Fj con j ≤ m− 1.

7La prueba para (R.¬♦) y (R.¬) se desarrolla de la misma forma.

4. δ → η/i ∈ Fm syss ¬δ/i ∈ Fm−1 o η/i ∈ Fm−1.

5. δ/i ∈ Fm syss, siendo < j, k, ...n > la secuencia de todos los ín-dices que aparecen en Σn tales que i ∼S j, i ∼S k, ...i ∼S n, δ/j ∈Fm−1, δ/k ∈ Fm−1, ...δ/n ∈ Fm−1.

6. ♦δ/i ∈ Fm syss hay un índice j ∈ Σn tal que i ∼S j y δ/j ∈ Fm−1.

7. ∀xδ(x)/i ∈ Fm syss, siendo < ak, ...an > la secuencia de todos losparámetros que aparecen en Σn en cualesquiera fórmulas asociadas acualquier índice j tal que j ∼S i, δ(ak)/i ∈ Fm−1, ...δ(an)/i ∈ Fm−1.

8. ∃xδ(x)/i ∈ Fm syss aparece un parámetro ak en la secuencia Σn talque δ(ak)/i ∈ Fm−1.

Lema 4.10. Para toda fórmula α y toda secuencia Σn no cerrada de ASα,hay un S −modelo que S − satisface simultáneamente a todas las fórmulasde Σn.

Demostración. Este lema se demuestra por inducción sobre el subíndice delos conjuntos de la secuencia asociada a Σn. Se crea un S − modelo talque para todas las fórmulas pertenecientes a la secuencia F0 asociada a lasecuencia Σn, si α/i ∈ F0 entonces α ∈ µi, siendo Ω = µ1, ...µm, donde mrepresenta al número de índices que aparecen en Σn y 1 ≤ i ≤ m, observandola relación de alternatividad las cláusulas propias del S−modelo en cuestión.Efectivamente, por la definición 3.2 de conjunto modelo, un S−modelo comoel anterior hace S − satisfactibles a todas las fórmulas elementales de F0

puesto que no se viola en ningún caso la condición (C.¬), lo que es obvio yaque la secuencia no es cerrada. Supóngase ahora que el lema es válido paratodas las fórmulas pertenecientes a Fn. Se demuestra entonces que tambiénlo es para todas las fórmulas pertenecientes a Fn+1 indagando todos los casosposibles. Sea β una fórmula cualquiera tal que β/i ∈ Fn+1:

1.

a) Sea β : ¬¬δ. Por hipótesis ¬¬δ/i ∈ Fn+1 y por la definición4.9(1a) δ/i ∈ Fn. Como por hipótesis de la inducción δ es S −satisfactible es que hay un S −modelo < Ω,<, D,> y un con-junto modelo µi ∈ Ω tal que δ ∈ µi, (definición 3.5). Si β no fueraS−satisfactible entonces, por la definición 3.4, para todo µi ∈ Ω,no µi ¬¬δ, de donde µi ¬δ y por tanto ¬δ ∈ µi, contra (C.¬)

y la hipótesis de la inducción.

b) Sea β : ¬(δ∧η). Por hipótesis, ¬(δ∧η)/i ∈ Fn+1. Por la definición4.9(1b) ¬δ/i ∈ Fn o ¬η/i ∈ Fn. De este modo, como por lahipótesis de la inducción toda fórmula indexada perteneciente aFn es S − satisfactible, por la definición 3.5 hay un S −modelo< Ω,<, D,> y un µi ∈ Ω tal que ¬δ ∈ µi o ¬η ∈ µi. Supóngaseque β no es S − satisfactible. Entonces por la definición 3.4 esque para todo conjunto modelo µi ∈ Ω, no µi ¬(δ∧η), de dondeµi (δ∧ η); entonces µi δ y µi η y por tanto δ ∈ µi y η ∈ µi,contraviniendo (C.¬).

c) Sea β : ¬(δ ∨ η). La prueba se desarrolla como en el caso anterior.

d) Sea β : ¬(δ → η). Como en los casos anteriores.

e) Sea β : ¬δ. Por hipótesis ¬δ/i ∈ Fn+1. Por la definición 4.9(1e)♦¬δ/i ∈ Fn, y, por la hipótesis de la inducción, ♦¬δ es S −satisfactible, lo que significa, atendiendo a la definición 3.5, quehay un S −modelo < Ω,<, D,> y un µi ∈ Ω tal que ♦¬δ ∈ µi;luego por (C.♦) en la definición 3.2 hay un µj ∈ Ω tal que µi<µjy ¬δ ∈ µj. En el supuesto de que β no fuese S−satisfactible, porla definición 3.4 para todo µi ∈ Ω no µi ¬δ; de aquí se sigueque µi δ y de aquí que ∀µj ∈ Ω tal que µi<µj, µj δ; y portanto δ ∈ µj. Pero como por hipótesis de la inducción ¬δ ∈ µj, seviola la condición (C.¬) en la definición 3.2 de conjunto modelo.

f ) Sea β : ¬♦δ. Como en el caso anterior, pero apelando a (C.).

2. Sea β : δ ∨ η. Por hipótesis, δ ∨ η/i ∈ Fn+1. Por la definición 4.9(2) setiene que δ/i ∈ Fn o η/i ∈ Fn y por hipótesis de la inducción o bien δes S − satisfactible o bien lo es η. Luego, por la definición 3.5 hay unS −modelo < Ω,<, D,> y un µi ∈ Ω tal que δ ∈ µi o η ∈ µi. Pero siβ no fuera S − satisfactible entonces, por la definición 3.4, para todoµi ∈ Ω, no µi δ ∨ η; entonces µi ¬(δ ∨ η); luego µi ¬δ ∧ ¬η; deaquí que tanto µi ¬δ como µi ¬η; y por tanto ¬δ ∈ µi y ¬η ∈ µi,contrariando (C.¬).

3. Sea β : δ∧ η. La demostración sigue el curso del caso anterior. Hay quetener en cuenta para el paso de la inducción que por la definición 4.9(3)sólo una de las dos subfórmulas de β pertenecerá a Fn, perteneciendola otra a Fk; pero k ≤ n, por lo que el paso de la inducción es correcto.

4. Sea β : δ → η. Como en los casos anteriores.

5. Sea β : δ. Por hipótesis, δ/i ∈ Fn+1. De nuevo por la definición4.9(5) se tiene que < δ/j3, δ/k, ...δ/m >∈ Fn, donde j, k, ...m ∈ Σn yi ∼S j, i ∼S k, ...i ∼S m. Por hipótesis de la inducción, todas las fórmu-las pertenecientes a Fn, son S−satisfactibles. Luego hay en virtud dela definición 3.5 un S −modelo < Ω,<, D,> y unos µj, µk, ...µm ∈ Ω

tales que µi<µj, µi<µk, ...µi<µm y δ ∈ µj, δ ∈ µk, ...δ ∈ µm. Si β nofuera S−satisfactible entonces, apelando a la definición 3.4, para todoµi ∈ Ω, no µi δ; luego µi ¬δ, lo que significa que µi ♦¬δy por tanto que ∃µj ∈ Ω tal que µi<µj y µj ¬δ, de donde se ob-tiene que ¬δ ∈ µj, contra (C.¬) y lo establecido en la hipótesis de lainducción.

6. Sea β : ♦δ. De aquí que ♦δ/i ∈ Fn+1. Por la definición 4.9(6) desecuencia asociada δ/j ∈ Fn, donde j es un índice tal que j ∈ Σn yi ∼S j. Por hipótesis de la inducción δ es S − satisfactible. Luego por

la definición 3.5 hay un S-modelo < Ω,<, D,> y un µj ∈ Ω tal queµi<µj y δ ∈ µj. En el supuesto de que β no fuese S − satisfactible

entonces, por la definición 3.4, para todo µi ∈ Ω, no µi ♦δ; es decir,µi ¬♦δ; luego µi ¬δ; de aquí que ∀µj ∈ Ω tal que µi<µj, µj ¬δ;y por tanto ¬δ ∈ µj, violándose una vez más la condición (C.¬).

Lema 4.11. Dada una fórmula S−satisfactible cualquiera α, hay al menosuna secuencia Σn ⊂ ASα tal que se puede mostrar un S −modelo que hacea todas las fórmulas de Σn simultáneamente S − satisfactibles.

Demostración. Este segundo lema se demuestra por inducción sobre la lon-gitud de una secuencia cualquiera Σn ⊂ ASα. Sea long(Σn) = 1. Por tantoΣn =< α/1 >. Como por hipótesis α es S − satisfactible queda demostra-do el lema. Supóngase ahora que ha sido demostrado para long(Σn) = m

y demuéstrese para long(Σn) = m + 1. Sea β/i la m + i − esima fórmulade la secuencia Σn. Por hipótesis de la inducción hay un S − modelo queS− satisface a todas las fórmulas de la secuencia Σn− β/i. Si una vez aña-dida a la secuencia la última fórmula no hay ningún S−modelo que satisfagaa todas las fórmulas de la secuencia entonces para cualquier S −modelo sepuede encontrar una fórmula en la secuencia Σn que no es S− satisfactible.Esta fórmula ha de ser β, lo que va contra lo establecido por el teorema 4.8, yaque β/i depende de α/1 por sucesivas aplicaciones de las reglas de formacióndel árbol y debe haber alguna secuencia en la que β sea S − satisfactible.Por tanto, debe haber un S −modelo que satisfaga a todas las fórmulas dela secuencia Σn =< α/1, ...β/i >.

El siguiente teorema es una prueba mediata de corrección y completitud.Lo llamo teorema fundamental de los árboles semánticos8.

8Tanto el nombre como el teorema mismo los debo a Díaz Estévez, E.: “Reduccionesfinitas de árboles semánticos infinitos”. Más adelante, en el capítulo ocho, se utilizaráeste teorema para demostrar la completitud de los sistemas normales de lógica modalproposicional. Es en este sentido que lo considero una prueba mediata.


Teorema 4.12. (Teorema fundamental de los árboles semánticos):ASα es cerrado syss α no es S − satisfactible.

Demostración. Este teorema se demuestra en dos partes:

1. Si α fuese S−satisfactible entonces por el lema 4.11 habría una secuen-ciaΣn ⊂ ASα cuyas fórmulas serían simultáneamente S−satisfactibles.Pero si Σn fuese cerrada sería, por definición de cierre, porque apare-cieran en la secuencia una fórmula atómica y su negación, por lo quelas fórmulas de Σn no serían simultáneamente S − satisfactibles. Dedonde si Σn es cerrada entonces α no es S − satisfactible.

2. Si ASα no es cerrado es porque hay una secuencia Σn abierta. Por ellema 4.10 siΣn es abierta entonces es posible mostrar un S−modelo queS−satisface a todas las fórmulas de Σn. Luego α es S−satisfactible.Y por contraposición si α no es S − satisfactible entonces ASα escerrado.

Corolario 4.13. α es S − valida (|=S α) syss AS¬α es cerrado.

Corolario 4.14. α es consecuencia lógica de un conjunto no vacío de fór-mulas Γ en el sistema S (Γ |=S α) syss hay una fórmula γ que es la fórmulaque se consigue al conjuntar mediante el signo ∧ todas las fórmulas de unsubconjunto finito Γ ′ ⊂ Γ tal que AS¬(γ → α) es cerrado.

4.3. El procedimiento de los árboles semánticos

aplicado a los sistemas normales de lógica

modal proposicional

En virtud del Corolario 4.13 del teorema 4.12 queda claro que puede utili-zarse el procedimiento de los árboles semánticos como una prueba semántica

de S − validez simplemente construyendo el árbol de la negación de la fór-mula que se quiere demostrar S − valida y comprobando que cada una delas secuencias que lo constituyen es cerrada. Siguiendo esta línea se puedefácilmente mostrar que los diferentes S−modelos aquí tratados son los equi-valentes semánticos de los sistemas axiomáticos normales de lógica modal; esdecir: que toda fórmula demostrable en un sistema dado S es S−valida. Lassiguientes son las pruebas de T −validez de los dos axiomas que caracterizanal sistema T de Feys9:

[T ] α→ α

¬(α→ α)/1<¬>α/1<1>

¬α/1α/1×

[T ] o axioma de la necesidad es, consecuentemente al árbol desarrolladoarriba y a lo expuesto, T − valido, ya que la única secuencia del árbol escerrada, lo que significa que la fórmula ¬(α → α) no tiene ningún T −modelo que la satisfaga10.

9Cfr. Feys, R.: Modal Logics, p.: 123. Los D −modelos serán tratados en un capítuloaparte por su interés para la teoría de las normas.

10El axioma de la necesidad no sólo es T − valido, sino también B− valido, S4− validoy S5 − valido, como se puede comprobar con facilidad. La verdad es que toda fórmulaT−valida esB−valida o S4−valida, y toda fórmulaB−valida o S4−valida es S5−valida,a su vez, sin que se dé tal relación en el sentido contrario. De los sistemas normales delógica modal, S5 es, evidentemente, el más fuerte, pudiéndose probar la inclusión del restode los sistemas normales de lógica modal de proposiciones en este último mediante elprocedimiento de los árboles semánticos.

[K] (α→ β)→ (α→ β)

¬((α→ β)→ (α→ β))/1<¬>(α→ β)/1<1,2>

¬(α→ β)/1<¬>α→ β/1<→>α/1<1,2>

¬β/1<¬>

¬α/1α/1×

β/1α/1

♦¬β/1<2>

¬β/2α→ β/2<→>

α/2

¬α/2×

β/2×

Este segundo axioma del sistema T expuesto por Feys es, evidentemente,el axioma característico del sistema K, el cual, por su simplicidad, sólo esinteresante en la medida en que el resto de los sistemas denominados normalesson una extensión suya. El árbol para [K], aplicando (RK .) en lugar de(RT .), sería el siguiente:

¬((α→ β)→ (α→ β))/1<¬>(α→ β)/1<2>

¬(α→ β)/1<¬>α/1<2>

¬β/1<¬>♦¬β/1<2>

¬β/2α→ β/2<→>

α/2

¬α/2×

β/2×

El siguiente es el árbol T de la negación del axioma característico de S4:

[S4] α→ α

¬(α→ α)/1<¬>α/1<1,2>

¬α/1<¬>♦♦¬α/1<2>

♦¬α/2<3>

¬α/3α/1α/2

El árbol se acaba sin que se produzca cierre alguno si se emplea la regla(RT .), lo que significa que [S4] no es T − valido desde el momento enque se puede establecer a partir de la secuencia abierta un modelo que T −satisface su negación. Sin embargo, se puede ampliar el árbol utilizando laregla (RS4.) en lugar de (RT .), esto es: marcando la segunda expresióndel árbol también con < 3 >, puesto que si 1 ∼ 2 y 2 ∼ 3 entonces, por ladefinición 4.5(c), 1 ∼S4 3, con lo que AS4¬[S4] queda del siguiente modo:

¬(α→ α)/1<¬>α/1<1,2,3>

¬α/1<¬>♦♦¬α/1<2>

♦¬α/2<3>

¬α/3α/1α/2α/3×

Otro tanto pasa con AT¬[B], la negación del axioma característico delsistema B:

[B] α→ ♦α

¬(α→ ♦α)/1<¬>α/1

¬♦α/1<¬>♦¬α/1<2>

¬α/2<2>

¬α/2

AT¬[B] se acaba sin cerrarse, por lo que puede mostrarse un modelo queT − satisface a la negación del axioma característico del sistema B. Enrealidad no sólo se trata en el caso anterior de AT¬[B], sino que también esAS4¬[B], por lo que [B] no es tampoco S4 − valida. Lo mismo ocurre si sedesarrolla AB¬[S4], por lo que los sistemas S4 y B son independientes entresí:

¬(α→ α)/1<¬>α/1<1>

¬α/1<¬>♦♦¬α/1<2>

♦¬α/2<3>

¬α/3α/1

El siguiente árbol, aplicando (RB.), sí es una prueba de que |=B [B]:

¬(α→ ♦α)/1<¬>α/1

¬♦α/1<¬>♦¬α/1<2>

¬α/2<1>

¬α/1×

Efectivamente, por la definición 4.5(b), como 1 ∼ 2 entonces 2 ∼B 1 y laexpresión ¬α/2 se marca con < 1 >, dando lugar al cierre.

La S5−validez del axioma característico de S5 se demuestra con el cierrede AS5¬[S5], la negación de su axioma característico:

[S5] ♦α→ ♦α

¬(♦α→ ♦α)/1<¬>♦α/1<2>

¬♦α/1<¬>α/2

♦¬α/1<3>

¬α/3<1,2>

¬α/1¬α/2×

Un árbol T (o S4 o B), en cambio, no se hubiera cerrado:

¬(♦α→ ♦α)/1<¬>♦α/1<2>

¬♦α/1<¬>α/2

♦¬α/1<3>

¬α/3<3>

¬α/3El sistema S5 es independiente de los demás sistemas normales de lógica

modal de proposiciones, pero no así al revés, dándose el caso que [K], [T ],[S4] y [B] son teoremas de S5, lo que resulta evidente si se comprueba quetodo árbol T , S4 y B es a su vez un árbol S5.

4.4. El uso de los árboles semánticos como ta-

blas semánticas

El procedimiento de los árboles semánticos no sólo permite demostrar laS − validez de aquellas fórmulas que son teoremas de cualquiera de los sis-temas lógicos tratados, sino que también es efectivo para otros menesterestales como obtener un modelo para las fórmulas que son S − satisfactibleso decidir si una fórmula es consecuencia lógica de otra u otras en un deter-minado sistema. En este último caso el procedimiento es simple si se apela al

Corolario 4.14 del teorema 4.12. Sea, por ejemplo, la siguiente demostraciónde consecuencia lógica mediante el procedimiento de los árboles semánticos:

α,♦β |=T ♦(α ∧ β)

¬[(α ∧ ♦β)→ ♦(α ∧ β)]/1<¬>α ∧ ♦β/1<∧>¬♦(α ∧ β)/1<¬>α/1<1,2>

♦β/1<2>

¬(α ∧ β)/1<1,2>

β/2α/1α/2

¬(α ∧ β)/1<¬>¬(α ∧ β)/2<¬>

¬α/1×

¬β/1

¬α/2×

¬β/2×

El uso de los árboles semánticos como tablas para obtener modelos defórmulas S− satisfactibles se fundamenta en la demostración del lema 4.11.Se ha dicho que cuando un árbol tiene todas sus ramas cerradas la fórmulainicial no es S − satisfactible y, por tanto, su negación es universalmenteválida. Pero si alguna de las secuencias que componen el árbol no se cierraentonces, merced a lo establecido por el lema 4.10, puede encontrarse unmodelo efectivo que S − satisface a la fórmula inicial del siguiente modo: apartir de una de las secuencias abiertas se adjudica cada fórmula que aparezcaen la misma a un conjunto modelo µ1, µ2, etcétera, según el índice al que seencuentre asociada en el árbol y se marca con un 1 en la tabla (si el signoprincipal de la fórmula es ¬ entonces se coloca en la tabla la fórmula sin lanegación, la cual, por la condición (C.¬) en la definición 3.2, no perteneceal mismo conjunto modelo y se marca con un 0 en la tabla); la definiciónde índices relevantes provee la relación de alternatividad entre conjuntos

modelos.Con estos elementos es fácil establecer un modelo de cualquier fórmu-

la satisfactible en cualquiera de los sistemas normales de lógica modal deproposiciones. Sea, por ejemplo, AT(α→ β) ∧ ¬(α ∨β).

(α→ β) ∧ ¬(α ∨β)/1<∧>(α→ β)/1<1,2,3>

¬(α ∨β)/1<¬>α→ β/1<→>¬α/1<¬>¬β/1<¬>

¬α/1♦¬α/1<2>

♦¬β/1<3>

¬α/2α→ β/2<→>¬β/3

α→ β/3<→>

¬α/2

¬α/3 β/3×

β/2

¬α/3 β/3×

β/1♦¬α/1<2>

♦¬β/1<3>

¬α/2α→ β/2<→>¬β/3

α→ β/3<→>

¬α/2

¬α/3 β/3×

β/2

¬α/3 β/3×

De las ocho secuencias que componen este árbol, cuatro son abiertas; loque supone que se pueden dar cuatro T −modelos diferentes de la fórmulainicial. Basta con confeccionar cuatro tablas de las que doy una a título deejemplo:

T α β α→ β α β ♦¬α ♦¬β α ∨ β (α→ β) (α→ β) ∧ ¬(α ∨ β)

µ1 0 — 1 0 0 1 1 0 1 1

µ2 0 — 1 — — — — — — —

µ3 0 0 1 — — — — — — —

Esta tabla corresponde a la primera secuencia abierta por la izquierda enel árbol. Se trata de un T −modelo de la fórmula (α→ β) ∧ ¬(α ∨β)

en el que Ω =< µ1, µ2, µ3 > y la relación < posee la propiedad reflexiva, demodo que se puede establecer el siguiente y simple gráfico que explicita larelación de relevancia entre índices en el árbol, estando Φn por el conjuntode las fórmulas de la secuencia asociadas al índice n:

4.5. Árboles semánticos infinitos por causa de

la iteración de operadores de modalidad

Los árboles semánticos son, como se ha visto, secuencias de fórmulas inde-xadas que se obtienen a partir de una fórmula inicial cualquiera. En esencia,se trata de un procedimiento analítico que disuelve en sus componentes bási-cos una fórmula del lenguaje, pudiéndose prever el desarrollo de la secuenciapor la mera forma de la fórmula inicial, ya que es factible diseñar árbolessemánticos característicos de tipos diferentes de fórmulas si se las agrupa si-guiendo criterios puramente estructurales. Esta observación, por otra parteobvia, tiene interés para el estudio de aquellas secuencias que, en virtud dela aplicación de las reglas de formación (R.) y(R.♦) se desarrollan infinita-mente sin que se dé un cierre efectivo de todas sus ramas o queden todas lasexpresiones que las componen debidamente marcadas; lo cual significa que sepuede encontrar algún tipo de fórmula cuyo árbol ni se cierra ni se termina,por lo que se hace imposible decidir, apelando al procedimiento descrito, si lafórmula inicial es S−satisfactible o no lo es, así como mostrar un S−modeloefectivo en el caso de que lo fuera.

El método de los árboles semánticos pretende ser decisorio. De hecho, taly como queda expuesto, es un procedimiento efectivo de decisión para algunos

sistemas normales de lógica modal de proposiciones como, por ejemplo, parael sistema modal T , pero falla por lo que respecta a los sistemas S4 y S5,ya que para ambos cabe la posibilidad de encontrar árboles modales que sedesarrollan hasta el infinito en el sentido apuntado más arriba. Obsérvese,por ejemplo, AS4¬(♦α→ ♦α)11:

¬(♦α→ ♦α)/1<¬>♦α/1<1,2,3,4...>

¬♦α/1<¬>♦α/1<2>

♦¬α/1<1,2,3,4...>

α/2♦α/2<3>

♦¬α/1<4>

♦¬α/2α/3♦α/3♦¬α/3¬α/4♦α/4♦¬α/3

...

La existencia de secuencias infinitas en S4 y S5 se debe a la proliferaciónde índices generada por la iteración de operadores modales y a la particu-lar naturaleza de la relación de alternatividad, que es transitiva en ambossistemas. En general puede mostrarse que si en una secuencia cualquiera Σde un árbol S4 o S5 aparece una fórmula tal que uno o más operadores deposibilidad caen bajo el alcance de uno o más operadores de necesidad o bienΣ es cerrada o bien no se termina, desarrollándose indefinidamente.

Efectivamente, las segunda y cuarta fórmulas indexadas de la secuenciaanterior son del tipo descrito. De hecho, si se observa la secuencia con de-

11Esta fórmula es usada también como ejemplo por Hughes y Cresswell para ilustrarsu regla de las cadenas repetidoras, con el que el aquí expuesto, sugerido por el profe-sor Alfredo Burrieza, tiene un indudable débito. Cfr. Hughes, G. E. & Cresswell, M. J.:Introducción a la lógica modal, pp.: 98–101.

tenimiento, son ellas las responsables de que el árbol se prolongue hasta elinfinito. Generalizando la estructura de esta secuencia se observa el desarrollonormal de un árbol S4 infinito12:

...♦nm♦kα/i<j>♦n−1m♦kα/j<k>

...m♦kα/l<l,m,n,o...>m−1♦kα/l<l,m,n,o...>

...♦kα/l<m>♦k−1α/m<n>

m−1♦kα/m<m,n,o...>...

♦kα/m<o>

♦k−2α/nm−1♦kα/n<n,o...>

...♦kα/n♦k−1α/o

m−1♦kα/o<o...>...

♦kα/o...

La estructura de un árbol S5 infinito es similar aunque algo más complejapuesto que todas las expresiones cuyo signo principal sea el operador hande marcarse con la totalidad de los índices aparecidos en la secuencia.

Lo importante aquí es apreciar que en una secuencia sin fin de este tipomás tarde o más temprano acaban reproduciéndose estructuras anteriormen-te aparecidas. En el caso anterior, las fórmulas asociadas a los índices m y

12He suprimido las repeticiones de expresiones en el siguiente esquema para evitar quese prolongue tediosamente.

o son las mismas y, por el desarrollo del árbol, puede preverse que a partirdel punto donde ha quedado abandonado se volverá a reproducir una se-cuencia idéntica de fórmulas asociadas a otro índice aún por aparecer. Estasobservaciones llevan a la conclusión de que, interpretados los índices comomundos posibles, si µo es una alternativa a µm y lo componen exactamentelos mismos enunciados que a éste entonces µm y µo son el mismo mundoposible; o dicho de otro modo, los conjuntos modelos µm y µo son iguales,puesto que los componen los mismos elementos, lo que hace que la relación <que mantienen pueda reinterpretarse matemáticamente como una relación deigualdad: µm = µo. Tal apreciación permite definir una nueva e importantenoción referente a los índices que aparecen en una secuencia arbórea:

Definición 4.15. Se dice que un índice j es congruente con otro índice i enla secuencia Σ de ASα (abreviadamente, i 'S j) syss i ∼S j y para todafórmula γ ∈ Σ asociada a j, γ también está asociada a i.

El concepto de congruencia va a permitir obtener un procedimiento paraevitar el decurso infinito de la secuencia mediante la siguiente restricción alas reglas (RS4.) y (RS5.)13:

Restricción: Si i 'S j en la secuencia Σ y para toda fórmula γ ∈ Σ,γ/i ∈ Σ y γ/j ∈ Σ entonces se escribe el signo X tras cada fórmulaγ/j ∈ Σ y se la considera marcada a efectos exclusivamente de la propiasecuencia Σ.

13Davidson, Jackson y Pargetter proponen en su artículo “Modal Trees for T and S5”una regla especial para S5 que evita el decurso hasta el infinito de los árboles para estesistema. Esta regla es, traducida a la terminología empleada por mí, la siguiente:

(RS5.♦): Si la primera expresión de Σ ⊂ ASα no convenientemente marcada es de laforma ♦β/i entonces se añade a la secuencia Σ la expresión β/j, donde j esel menor índice mayor que i no aparecido hasta el momento en la secuencia,excepto en el caso de que ya hubiera en Σ una expresión del tipo β/k en cuyocaso j = k, y se marca con < j > .

En este sentido cfr. también Burrieza, A. y León, J. C.: “Modal Trees: Correction to aDecision Procedure for S5 (and T)”, página 386.

De modo que el árbol anterior se desarrollaría de la siguiente guisa:

¬(♦α→ ♦α)/1<¬>♦α/1<1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11>

¬♦α/1<¬>♦α/1<2>

♦¬α/1<1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11>

♦¬α/1<3>

α/2♦α/2<4>

♦¬α/2<5>

¬α/3♦α/3<6>

♦¬α/3<7>

α/4X♦α/4X♦¬α/4X¬α/5♦α/5<8>

♦¬α/5<9>

α/6♦α/6<10>

♦¬α/6<11>

¬α/7X♦α/7X♦¬α/7Xα/8X♦α/8X♦¬α/8X¬α/9X♦α/9X♦¬α/9Xα/10X♦α/10X♦¬α/10X¬α/11X♦α/11X♦¬α/11X


El árbol se termina enseguida sin ningún problema y es fácil construir apartir de él un modelo que S4− satisface a la fórmula ¬(♦α→ ♦α). Enéste se consideran únicamente cinco mundos posibles: µ1, µ2, µ3, µ5 y µ6, deforma que el siguiente diagrama representa la relación de alternatividad entreellos a través de la relación de relevancia entre los índices de la secuencia:

La tabla que sigue, unida al diagrama anterior, provee un S4 −modelopara la fórmula ¬(♦α → ♦α), interpretados los conjuntos Φ1, Φ2, etc.como conjuntos modelos14:

S4 α α ♦α ♦α ♦α ♦α→ ♦α

µ1 — 0 1 1 0 0µ2 1 0 1 — — —µ3 0 0 1 — — —µ5 0 0 1 — — —µ6 1 0 1 — — —

Este procedimiento es útil también para evitar árboles excesivamentecomplejos en determinadas pruebas de S − validez. Así por ejemplo, en elcaso de AS4¬(♦♦α→ ♦α), donde es el caso que |=S4 ♦♦α→ ♦α,se obtiene el siguiente diagrama de la relación de relevancia si no se aplica larestricción:

14Los conjuntos de fórmulas seguidos por el signo X no se tienen en cuenta para laconfección del modelo que satisface a la fórmula inicial, aunque los coloco en el diagramapara una mejor comprensión del desarrollo del árbol semántico anterior.


En cambio, aplicando la restricción el diagrama se vuelve más simple —ytambién, por supuesto, AS4¬(♦♦α→ ♦α)—:

En este caso, los dos diagramas expuestos no pueden considerarse comouna representación de la relación de alternatividad, puesto que los conjuntosde fórmulas Φ1, Φ2, etc. no pueden ser interpretados como conjuntos mode-los, al ser el árbol cerrado, lo que se simboliza en los diagramas anterioresmediante el aspa que aparece justamente al lado del conjunto de fórmulasinconsistente. Aun así, cada diagrama ilustra perfectamente la estructurade las secuencias arbóreas a las que me he referido, al menos a los efectospertinentes.

Capítulo 5

Cuantificación y modalidad

5.1. La opacidad referencial en lógica modal

alética de predicados con identidad

La cuantificación en contextos modales supone la emergencia de algunosproblemas que ya fueron apuntados en el capítulo dos y que afectan princi-palmente a un posible tratamiento extensional de las modalidades. El fallode los principios de sustituibilidad de la identidad (SI) y de generalizaciónexistencial (GE) exige aquí el análisis de las causas y un especial esfuerzopor encontrar una solución que permita ampliar el método de decisión ex-puesto en el capítulo anterior a la lógica de predicados de primer orden conidentidad, dejando a salvo ambos principios.

El fallo de (SI) se relaciona con la existencia de lo que QUINE llama “con-textos referencialmente opacos”, “opacidad referencial” o simplemente “opa-cidad”1. Un ejemplo bastará para establecer claramente el concepto. Sea ésteel enunciado verdadero

(15) “ ‘Fígaro’ lleva tilde en su sílaba tónica”.1Cfr. Quine, W. V. O.: From a Logical Point of View, pp.: 139–159, y Palabra y objeto,

pp.: 153–166 y 175–179.

74

CAPÍTULO 5. CUANTIFICACIÓN Y MODALIDAD 75

Se dice que el término entrecomillado ‘Fígaro’ que aparece en (15) no ocupauna posición puramente referencial desde el momento en que el enunciado

(16) “Fígaro = Larra”

es cierto y sin embargo no es posible sustituir un término por el otro en (15)salva veritate, puesto que como resultado se obtendría el enunciado falso

(15’) “ ‘Larra’ lleva tilde en su sílaba tónica”.

La opacidad referencial de (15) y (15’) —a partir de ahora adopto la termino-logía de Quine— se debe al hecho de que los términos ‘Fígaro’ y ‘Larra’ no seusan, como en (16), sino que sólo se mencionan. El entrecomillado determinaaquí un contexto referencialmente opaco. Quine reduce a éste otros casos deopacidad. Por ejemplo, el que se da en el enunciado

(17) “Giorgione era llamado así a causa de su gran estatura”,

donde no se puede sustituir el apodo del pintor italiano por su apellido, Bar-barelli de Castelfranco, sin que el enunciado de esta forma obtenido se vuelvafalso. Tanto ‘Giorgione’ como ‘Giorgio Barbarelli de Castelfranco’ tienen unmismo y único referente, pero no son términos intercambiables en (17) porla misma razón por la que no lo eran ‘Fígaro’ y ‘Larra’ en (15), lo que se veclaramente cuando se parafrasea (17) del modo siguiente:

(17bis) “Giorgione era llamado ‘Giorgione’ a causa de su gran estatura”.

El término ‘Barbarelli de Castelfranco’ puede sustituir a la instancia referen-cial del término ‘Giorgione’ en (17bis) salva veritate, pero no a la instanciano referencial, que es la que aparece entrecomillada.

El entrecomillado proporciona un buen ejemplo para comprender qué sonlos contextos opacos y cómo se comporta la referencialidad en ellos. Sin em-bargo, no es el caso más interesante para los propósitos de este capítulo.También Quine hace hincapié en señalar que en los contextos que caen bajo


el alcance de determinados verbos y giros lingüísticos el fallo de (SI) se debea las mismas causas que en los ejemplos anteriores. ‘Creer’, por ejemplo, esuno de los verbos que introducen contextos opacos en el discurso. El ejemploque aparece en el capítulo dos puede servir de nuevo:

(18) “Juan cree que Larra fue un célebre escritor español del siglo XIX”.

Si se sustituye en (18), que es un enunciado efectivamente verdadero, el tér-mino ‘Larra’ por ‘Fígaro’, merced a (16) se obtiene el enunciado

(18’) “Juan cree que Fígaro fue un célebre escritor español del siglo XIX”,

cuyo valor de verdad depende de las creencias de Juan y no tiene por qué serel mismo de (18). El enunciado que introduce el verbo ‘creer’ en (18) y quese encuentra a su derecha se halla en un contexto opaco, lo que significa queel término ‘Larra’ no es sustituible salva veritate por el término correferente‘Fígaro’. Se verá mejor si se transforma (18) en el enunciado

(18bis) “Juan cree ‘Larra fue un célebre escritor español del siglo XIX’”.

Idéntico fenómeno se observa en otros verbos de los llamados de actitudproposicional como ‘saber’, ‘percibir’, ‘esperar’, etcétera. Para evitar la opa-cidad introducida por éstos, Quine propone transformar el enunciado (18),siguiendo con el ejemplo, en el enunciado

(18*) “Juan cree como un célebre escritor español del siglo XIX a Larra”,

interpretando el sintagma verbal ‘creer como un célebre...’ como si de un pre-dicado diádico se tratara, en cuyo caso el término ‘Larra’ sí mantendría unaposición puramente referencial2. Llamaré a (18bis) la interpretación opaca de(18) y a (18*) la interpretación transparente.

En otros casos esta doble interpretación de un enunciado modal es muchomás natural y evidente. Sirva como ejemplo el enunciado

2Cfr. Quine, W. V. O.: From a Logical Point of View, pp.: 141–143, y también Church,A.: “On Carnap’s analysis of statements of assertion and belief”.


(19) “Juan vio en la puerta al decano de la facultad”

y sea verdadero el enunciado

(20) “El decano de la facultad es el presidente del claustro universitario”.

Si merced a estos dos enunciados se colige

(21) “Juan vio en la puerta al presidente del claustro universitario”,

y en el supuesto de que Juan no sepa que el decano de la facultad y elpresidente del claustro universitario son la misma persona, (19) puede consi-derarse transparentemente —en cuyo caso (21) es un enunciado verdadero—o puede considerarse de forma opaca —lo que haría de (21) un enunciadofalso—. Todo depende de la interpretación que se haga del verbo de actitudproposicional: si por ver se entiende percibir, se introduce un contexto opacoy, por tanto, hay que enfrentar (21) como un enunciado intensional; si por verse entiende abarcar algo dentro del propio campo ocular mediante el órganode la vista y en un momento dado entonces se trata el verbo como si fueraun predicado diádico que pone en relación al sujeto con un campo visual.

La consideración opaca de los verbos de actitud proposicional compor-ta su tratamiento lógico modal; es decir, su formalización como operadoreslógicos. En este caso, si se piensa en los ejemplos anteriores, lo que se es-tablece es una relación entre un sujeto, Juan, y el objeto de sus creenciaso percepciones, que es un estado de cosas. Por el contrario, su interpreta-ción transparente permite tratar los enunciados en que aparecen de formapuramente extensional, puesto que los verbos de actitud proposicional seconsideran como predicados diádicos que ponen en relación dos términos quese refieren a sendos individuos.

Esto que se ha discutido en relación con los verbos de actitud proposicio-nal es trasladable a las modalidades aléticas tal cual. Los enunciados (3)–(5)constituyen un buen ejemplo de opacidad referencial introducida por el tér-mino “es necesario”. Del mismo modo se encuentra un contexto opaco en elsiguiente enunciado:


(22) “Es necesario que los animales cordiados tengan corazón”.

La zoología enseña que corazón y riñón son dos vísceras que aparecen siemprejuntas y que no hay ningún animal, conocido al menos, que posea una sintener también la otra. Por lo tanto, a la luz de la experiencia, el enunciado

(23) “los animales cordiados = los animales reniados”

es verdadero, pero no así el enunciado

(22’) “Es necesario que los animales reniados tengan corazón”,

que resulta de sustituir un término por otro en (22), puesto que nada obligalógicamente a que ambas vísceras aparezcan conjuntamente en las mismasespecies3.

En definitiva, la posible interpretación opaca de determinados enuncia-dos es lo que hace que el principio (SI) falle en los mismos, dando lugar a laintroducción de la intensionalidad en la lógica cuando ésta se ocupa de ellos.También es la causa del fallo de (GE), como señala acertadamente Quine,puesto que no es posible cuantificar en contextos opacos4. Por tanto, la in-terpretación transparente de los enunciados en los que aparecen verbos deactitud proposicional o giros de modalidad, tratándolos como si fueran pre-dicados diádicos, evita el fallo del principio (SI), y aquéllos se dejan tratar deforma puramente extensional, con lo que la lógica general de las modalidadesse reduce a la lógica de predicados de primer orden.

Encuentro varias objeciones a esta propuesta de Quine. En primer lugar,si bien es verdad que el fallo del principio (SI) en contextos intensionalesse debe a la interpretación opaca de determinados enunciados, o dicho de

3Se está hablando siempre de necesidad lógica. No entro aquí en si es fisiológicamentenecesario o no que los animales reniados también tengan corazón.

4Quine en Palabra y Objeto establece la siguiente máxima: «Un término singular inde-terminado situado fuera de una construcción opaca no liga variable dentro de la construc-ción». En último análisis esta máxima supone que un cuantificador situado a la izquierdade un operador modal no podrá ligar un término individual situado a su derecha. Cfr. loc.cit., página 159.


otro modo, si bien es cierto que la interpretación opaca de determinadoscontextos los hace intensionales, también lo es que la propuesta quineanaacaba con la enfermedad merced a la muerte del enfermo y no sugiere otracosa que el abandono del estudio de la lógica modal por inútil, a pesar de lalarga tradición que tiene detrás el análisis lógico de los verbos modales.

La segunda objeción es más importante. Pueden encontrarse fácilmenteenunciados modales para los que no es posible de ningún modo dar unainterpretación transparente. Considérese, por ejemplo, el enunciado

(24) “Juan cree que vio en la puerta al decano de la facultad”.

La iteración de verbos de actitud proposicional en este enunciado no permiteun tratamiento completamente transparente. En cualquier caso sólo es posi-ble interpretar transparentemente el contexto más restringido que introduceel verbo ‘vio’, pero no el más amplio, bajo cuyo alcance se encuentra, intro-ducido por el verbo ‘cree’, que relaciona ineludiblemente el término ‘Juan’con un estado de cosas y no con un individuo, lo que hace del contexto enel que se encuentra el término individual ‘el decano de la facultad’ opaco enúltima instancia.

Existe aún otra objeción importante a la teoría de Quine. Se trata de laconocida paradoja de Sleigh-Kaplan5, que el propio Quine aceptó como unacontraprueba de su propuesta, al menos en los términos en que él la desarrollóen su artículo “Quantifiers and Propositional Attitudes”6.

5La paradoja recibe el nombre de los autores que la propusieron por vez primera, alparecer independientemente el uno del otro. Cfr. Sleigh, R. C.: “On a Proposed System ofEpistemic Logic”, Noûs 2 (1968), pp.: 391–398, y Kaplan, D.: “Quantifying in”, Synthese,19 (1968), pp.: 178–214.

6Quine, W. V. O.: “Quantifiers and Propositional Attitudes”, The Journal of Philo-sophy, vol. 53 (1956), pp.: 177–187. Reimpreso en The Ways of Paradox, pp.: 183–194, acuya paginación me remito en las referencias de los siguientes párrafos. Quine aceptó lavalidez del argumento en los siguientes términos: «En 1958 yo pensaba que si

(1) Raúl cree que Ortcutt es un espía,

entonces, suponiendo que Ortcutt existe,

(2) Raúl cree de Ortcutt que es un espía.


La paradoja puede desarrollarse del modo siguiente. Supóngase que semodifica (24) en el siguiente sentido:

(25) “Juan cree que el hombre que vio en la puerta es decano de facultad”.

La interpretación transparente de (25), que permite sin problemas la genera-lización existencial, obliga a Quine a definir el sentido transparente de ‘cree’frente a su sentido opaco. QUINE establece en el mencionado artículo respec-to a esta distinción que el tipo de exportación que lleva desde la interpretaciónopaca de (25), que escribo (25)O, a su interpretación transparente, que escri-bo (25)T , es de implicación7. Sleigh propone entonces la necesidad de admitirla siguiente definición del sentido transparente de ‘cree’, que reescribo:

(25)T es verdadera si y sólo si hay un término singular definido atal que “a = el hombre que Juan vio en la puerta” es verdaderay (25(a/el hombre que Juan vio en la puerta))O es verdadera8.

Pero si, como es lógico pensar, Juan cree que hay decanos y cree también, porejemplo, como dice Kaplan9, que difieren ampliamente en altura y que portanto uno de ellos es el más bajo de todos, entonces es verdadero el enunciado

(26)O “Juan cree que el decano más bajo de todos es decano”.

Posteriormente, sin embargo, Sleigh planteó una dificultad relacionada con este punto.Como todos nosotros, Juan cree que hay espías, pero, a diferencia de Raúl, no abrigasospechas acerca de ninguna persona determinada. Juan también cree, razonablemente,que no hay dos nacimientos que sean por completo simultáneos. En consecuencia, Juancree que el espía más joven es un espía. Por lo tanto, si la inferencia de (1) a (2) escorrecta, Juan cree del espía más joven que es un espía. Pero entonces, por generalizaciónexistencial a partir de esta construcción transparente, podemos inferir después de todo quehay alguien a quien Juan cree un espía. Kripke me observó que esta paradoja de Sleighpuede resolverse si rechazamos la forma de inferencia que lleva de (1) a (2)». Cfr. Synthese,vol. 19, nº 1–2, (1968), pp.: 307–308.

7Cf. op. cit., página 190.8Cfr. Sleigh, R. C.: “Sobre el artículo de Quine ‘Cuantificadores y actitudes proposi-

cionales’” en Simpson T. M. (ed.): Semántica filosófica. Problemas y discusiones, página236.

9Cfr, Kaplan, D.: “Quantifying in”, partes VI y VII. El argumento de Kaplan es muyparecido al de Sleigh, hasta el punto de que utilizan ejemplos similares.


Pero por la definición anterior se obtiene que también (26)T es verdadera,por lo que se puede aplicar (GE) para obtener

(25’) “∃x(Juan cree que x es decano de facultad)”,

contrariamente a los presupuestos de Quine.De la paradoja de Sleigh-Kaplan solamente se sigue que no queda na-

da claro el sentido en que la interpretación transparente de un enunciadose relaciona con la interpretación opaca para sustituirla con ventaja frenteal problema de la cuantificación, y en concreto que esta relación no puedeser de implicación. Esto es suficiente motivo, según creo, junto con las otrasrazones apuntadas, para considerar que interesa mantener la interpretaciónopaca de los enunciados que incluyen nociones modales frente a la interpreta-ción transparente propuesta por Quine. Lo que hace necesario encontrar unmétodo que permita traducir a una semántica extensional la intensionalidadasociada a ese carácter referencialmente opaco de los enunciados modales.Para ello hay que añadir a la semántica de los mundos posibles descrita enlos capítulos anteriores varios conceptos nuevos que paso a considerar.

5.2. Identificación cruzada y funciones de indi-

viduación

La interpretación opaca de los enunciados modales es la fuente de su inten-sionalidad que, como se ha dicho, impide la cuantificación con sentido sobrevariables individuales que aparezcan en contextos referencialmente opacos.En definitiva, puede decirse que el fallo de (SI) provoca el fallo de (GE)10.Sin embargo, la interpretación opaca de estos enunciados es más natural yprovechosa desde el punto de vista de la lógica que la interpretación trans-parente, por lo que no es posible sino a riesgo de pagar un muy alto precio

10Esta es la opinión que mantiene Quine tras realizar un análisis similar al que apareceen la sección anterior. Hintikka, sin embargo, piensa que ambos fallos son independientes.Cfr. supra nota 14, capítulo 2.


prescindir de la primera en favor de esta otra. Es necesario por todo ello quela semántica de los mundos posibles provea un modo de resolver el fallo deambos principios sin renunciar a dicha interpretación.

En lógica, los términos individuales cumplen una función similar a la quecorresponde a los nombres propios en las lenguas naturales. Los términosindividuales han de tener como referente inmediato individuos concretos deldominio, pero esto no ocurre en los contextos referencialmente opacos, en losque la referencia de los términos individuales se vuelve ambigua y oscura.Los contextos intensionales, en concreto los propiamente modales, anulanesta función referencial de los términos individuales en relación con aspectosdeterminados de la lógica de predicados de primer orden, como en el casode la cuantificación. Ya me he referido a la máxima que Quine establece alrespecto. Basándose en ese principio, el filósofo norteamericano llega a negarla posibilidad de establecer una lógica modal cuantificada11.

Cuando no cabe la posibilidad de determinar de forma unívoca qué indi-viduo o individuos del dominio satisfacen en un momento concreto un enun-ciado del tipo indicado, que en la notación propuesta podría escribirse α(x),tampoco tiene sentido un enunciado en el que se diga que alguno o todos losindividuos del dominio lo satisfacen. Esto es: no tiene sentido ningún enun-ciado cuantificado del tipo ∃xα(x) o del tipo ∀xα(x). O lo que es igual: no esposible inferir de la sentencia α(b) la sentencia ∃xα(x), que es precisamentelo que permite hacer el principio lógico de generalización existencial.

11«De hecho, si falla la referencialidad de forma que vicie (GE) y (SI), la cuantifica-ción tiene poco sentido. Porque ¿qué sentido tendría preguntar si existe un individuo quesatisface una sentencia abierta F (x) si la satisfacción por parte de un individuo de estasentencia abierta no depende de él sino también de la forma en que nos referimos a él?».Cfr. Hintikka, J.: “Quine on quantifying in: a dialogue” en The Intentions of Intentiona-lity and Other New Models for Modalities, p.: 106. Hintikka toma estas palabras de unacinta magnética grabada durante una discusión mantenida entre Dagfin Føllesdal, DavidKaplan, Burton Dreben, Charles Parsons, el propio Jaakko Hintikka y Willar van OrmanQuine, a quien las atribuye por su contenido aunque no afirma que las pronunciara el mis-mo Quine. Aduzco, sin embargo, este texto porque considero que resume correctamentelas ideas que Quine expresa en diversos lugares.


En definitiva, Quine tiene razón y no es posible una lógica modal concuantificadores a menos que pueda encontrarse un método que permita esta-blecer de forma unívoca la correspondencia entre los términos y sus respecti-vos relata, aun cuando dichos términos aparezcan en contextos opacos y, portanto, intensionales, lo que vendría a significar la urgencia de hallar un méto-do que posibilitase el tratamiento extensional de los denominados lenguajesintensionales. La solución a este problema va a llevar el título genérico deidentificación cruzada y está íntimamente relacionada con la esencia mismadel concepto ya familiar de mundo posible12.

La identificación cruzada permite la restauración de la referencialidadde los términos que aparecen en contextos opacos únicamente a condiciónde que se abandone la tradicional teoría de la referencia, según la cual untérmino solamente significa algo cuando es posible establecer su referenciaen relación con individuos actuales. Tal teoría es demasiado estrecha paralos propósitos de esta tesis e indeseable en general por lo que a su aplicacióna las teorías científicas concierne; precisamente es su asunción, propiciadapor la aceptación de los supuestos epistémicos del empirismo lógico, la queobliga a Quine a mantener una postura adversa hacia la lógica modal13. Aesta teoría de la referencia se suele oponer una teoría más flexible que sueledenominarse teoría del significado y que propone que la significación de untérmino no se limita al correlato objetual que sustituye en el lenguaje, sinoque también supone la forma en que esa correlación se establece. Se trata aquí,evidentemente, de la célebre distinción fregueana entre sentido y referencia14.

12El término inglés es crossed identification y a veces también se usa el término crossworld identification, que podría traducirse, utilizando una analogía deportiva, por identifi-cación mundo a través, lo que da una idea aproximada de lo que la identificación cruzadapretende si se la considera en el marco de la semántica de los mundos posibles.

13Cfr. Quine, W. V. O.: Word and Object, sobre todo los capítulos 3, 4 y 6, y From aLogical Point of View. Para observar la evolución a este respecto en la obra de uno de losclásicos del empirismo lógico, cfr. también Carnap, R.: The Logical Structure of the World,Meaning and Necessity y Philosophical Foundations of Physics.

14Cfr. Frege, G.: “Sobre sentido y referencia”. Precisamente la distinción fregueana entresentido y referencia (Sinn und Bedeutung) aparece para explicar los fallos del principio


En el caso de la identificación cruzada, lo que se busca no es el referentede un término individual entre los objetos actuales del dominio; se busca laregla o función que lleva desde el uso del término hasta su referencia —dieArt des Gegebenseins de la que hablaba Frege— en cada uno de los mundosposibles manejados. Aunque no siempre se encuentre la referencia de untérmino individual en el estado de cosas observado —porque, como señala elpropio Frege, no a todo sentido corresponde una referencia—15, cada vez quese entienda el significado del término lo que se hará será aprehender la funciónque determina su referencia en los diferentes mundos posibles alternativos alactual. En definitiva, la identificación de los diversos referentes de un términoindividual de un mundo posible a otro será factible merced a una función tal.Este tipo de funciones recibe el nombre de funciones de individuación16.

“Identificación cruzada” y “función de individuación” son dos vocablostécnicos que definen simplemente una actividad que el ser humano suele rea-lizar con frecuencia, cual es la del reconocimiento. El hombre está habituadoa reconocer a personas y objetos fuera de aquellos ámbitos en que le sonfamiliares. Así, aunque no cabe duda de que la composición en el cuadro deVelázquez Las Meninas confiere a cada una de las figuras una personalidadpropia, uno es capaz de reconocer a cualquiera de ellas fuera de su contextopictórico, e incluso reconocerlas a todas en los estudios que Pablo Ruiz Pi-casso hizo de la célebre pintura. Se puede pensar en el cuadro original comosi fuera un mundo posible y en los estudios abstractos de Picasso como si se

de extensionalidad que el propio Frege enuncia, equivocándose también Frege al hablar dereferencia solamente respecto de las cosas actualmente existentes en el mundo real. Creoque no se debe hablar, por tanto, de dos teorías enfrentadas (la teoría de la referencia y lateoría del significado), sino de dos concepciones más o menos estrechas de la referenciali-dad de los términos individuales, pues como Jaakko Hintikka ha escrito, «la teoría de lareferencia es la teoría del significado para ciertos tipos simples de lenguaje». Cfr. Hintikka,J.: Models for Modalities, p.: 87.

15Ibidem, páginas 52 y siguientes.16Por el término “funciones de individuación” traduzco el término inglés individuating

functions, que debo a Hintikka, quien lo utiliza abundantemente en sus obras Models forModalities y The Intentions of Intentionality, a las que me remito.


tratase de mundos posibles alternativos. En tal caso, unas veces es la relaciónespacial, otras el volumen o la forma, la postura o algún rasgo característicolo que permite decir que se reconoce a los personajes de una pintura a otra.La relación espacial, el volumen, la forma, la postura son aquí diversas fun-ciones de individuación. Sin ellas no habría posibilidad de decir que tanto LasMeninas de Velázquez como Las Meninas de Picasso representan la mismaescena: al propio Diego Velázquez retratando a los monarcas en presencia delas infantas y algunos personajes pintorescos de la corte.

La cuantificación sobre variables individuales que aparecen en contex-tos opacos y la restauración de (GE) va a descansar sobre estas funciones,porque ellas garantizan el cumplimiento de una condición ineludible en lasemántica propuesta para aplicar (GE) sobre dichas variables individuales.Es necesario que, supuesta la existencia de un individuo, llámeselo x, enun mundo posible cualquiera, se establezca rígidamente su referente; es de-cir, es necesaria la condición de que la variable en cuestión tome el mis-mo valor en todos los mundos posibles alternativos a tener en cuenta paradeterminar el valor de verdad del enunciado. Esto es precisamente lo quequeda garantizado si se puede definir una función de individuación f talque f(x,D(µ1)) = f(x,D(µ2))... = f(x,D(µn)), donde x es una variable in-dividual cualquiera y D(µ1), D(µ2), ...D(µn) son los dominios de conjuntosmodelos entre los que se ha definido la relación de alternatividad.

Cada uno de los rangos de estas funciones llamadas de individuación vaa aportar, por tanto, una interpretación rígida de los términos —variablesindividuales— que aparecen en contextos referencialmente opacos, lo quehace de cada una de ellas «los principales ingredientes de las condicionesde verdad para los enunciados cuantificados. Ellas son las entidades másimportantes sobre las que tenemos que cuantificar en estas condiciones deverdad»17.

17Hintikka, J.: The Intentions of Intentionality, página 89. Cfr. también Models forModalities, páginas 104–106.

Sentado lo hasta aquí dicho, ya es posible una definición más rigurosa delas funciones de individuación mediante los conceptos propios de la semánticade los mundos posibles:

Definición 5.1. El conjunto φ de las funciones de individuación es tal quepara toda función f ∈ φ y para todo par de dominios D(µ) y D(λ) tal queµ<λ, si f(x,D(µ)) = a y f(x,D(λ)) = b, entonces si µ (a = b), tambiénλ (a = b).

Como podía preverse por lo dicho en el capítulo dos y todas las consi-deraciones hechas hasta ahora sobre identificación cruzada, las funciones deindividuación y la relación de alternatividad están implicadas íntimamentelas unas con la otra y al revés, y ambas nociones con lo que podría deno-minarse el problema de la existencia y de la permanencia intermundos en lasemántica de los mundos posibles, una variante del problema filosófico delesencialismo que en este momento paso a considerar.

5.3. Presuposiciones de existencia e indicado-

res rígidos

Se ha dicho en la sección anterior que la semántica adoptada tiene quecumplir una condición sin la que no es posible restablecer en contextos refe-rencialmente opacos la operatividad del principio (GE). Esta condición diceque, supuesta la existencia de un individuo cualquiera en un mundo posible,tal individuo debe permanecer identificable en todos los mundos posibles al-ternativos al primero. Se ha definido entonces, en virtud de los conceptosde conjunto modelo y de relación de alternatividad, una nueva noción, lade función de individuación, que permite a la semántica cumplir la condi-ción referida. Esta sección está dedicada a determinar cómo se incluyen yson operativas las funciones de individuación en la semántica de los mundosposibles.


En la definición de conjunto modelo (definición 3.2), las condiciones pro-pias de los cuantificadores aparecen, siguiendo la interpretación tradicionalde la cuantificación, de la siguiente forma:

(C.∃): Si ∃xα(x) ∈ µ entonces α(b) ∈ µ para al menos una constanteindividual b ∈ D(µ).

(C.∀): Si ∀xα(x) ∈ µ entonces α(b) ∈ µ para toda constante individualb ∈ D(µ).

Como quedan formuladas, las dos condiciones (C.∃) y (C.∀) presuponen laexistencia actual en un dominio concreto del individuo b que sustituye a lavariable x en la fórmula α desde el momento en que responden, como que-da dicho, a la interpretación clásica —también llamada objetual— de loscuantificadores. Considero que esta presuposición existencial no estorba lospropósitos de este capítulo, aunque sí es cierto que, al proveer las funcio-nes de individuación a los términos individuales de referentes tanto actualescomo no actuales, la existencia de individuos particulares en un mundo posi-ble concreto debe establecerse explícitamente en relación con los individuosexistentes en los mundos posibles alternativos.

Algunos autores, como Ruth Barcan Marcus, han propuesto como alter-nativa, a este respecto, una interpretación sustitucional de la cuantificación18.La cuantificación sustitucional supone que un enunciado cuantificado exis-tencialmente es verdadero sólo en el caso de que lo sea alguna instancia de lasubfórmula que cae bajo el alcance del cuantificador obtenida al sustituir lavariable ligada por un nombre propio. De idéntica manera será verdadero unenunciado cuantificado universalmente si y sólo si son verdaderos todos los ca-sos de sustitución de la variable ligada por nombres propios en la subfórmula

18Cfr, Marcus, R. B.: “Modalities and Intensional Languages” así como las reiteradascríticas a la interpretación sustitucional de la cuantificación en Quine, W. V. O.: “Onto-logical Relativity” y “Existence and Quantification” en Ontological Relativity and OtherEssays, y “Reply to Professor Marcus”, “The variable” y “Truth and disquotation” en TheWays of Paradox and Other Essays. Cfr. también Kripke, S.: “Is there a problem aboutsubstitutional quantification?”.


que cae bajo el alcance del cuantificador. El atractivo de esta interpretaciónde los cuantificadores reside en que, adoptándola para la semántica de losmundos posibles, se evitan, como queda dicho, las presuposiciones existen-ciales. Plantea, sin embargo, un problema nada grato para los propósitosperseguidos y es que la interpretación sustitucional de la cuantificación exigeque todos los objetos del universo manejado tengan su nombre propio, exi-gencia sumamente restrictiva en algunos aspectos ya que no permite tratarcon universos lo suficientemente ricos; en ellos, a efectos de la cuantificación,podría decirse de los objetos innominados que no existen y esa consecuenciano interesa. Por ejemplo, la admisión de los números reales como entidadesdel dominio hace imposible asignar un nombre a cada uno de los individuosdel mismo porque el conjunto de los números reales no es enumerable, lo quese demuestra fácilmente por el método de la diagonal de Cantor, mientrasque sí lo es el conjunto de todos los nombres propios, a cuyos elementos seles puede asignar emulando a Gödel enteros distintos. Esto implica la im-posibilidad de dar un nombre propio a cada uno de los números reales, porlo que en el dominio habrá entidades innominadas de las que un lenguajeformal con cuantificación no podrá decir nada.

Por ello, para los propósitos de esta tesis, la interpretación de los cuanti-ficadores en las fórmulas modalizadas ha de quedar desembarazada no ya delas presuposiciones existenciales que comporta, sino de sus presupuestos departicularidad, a fin de que, incluso cuando se trate con individuos posiblesen lugar de con objetos actualmente existentes, también los primeros pue-dan ser parte del rango de la cuantificación19. De otro modo, la caricaturadel concepto de individuo posible que Quine realiza en las primeras páginasde From a Logical Point of View para desterrar del círculo de los términoscuantificables aquellos que aparecen en contextos modales, conforme a suconcepción empírico-referencial de la categoría de los términos cuantificables

19Todo este análisis se debe a J. Hintikka: “Existential Presuppositions and UniquenessPresuppositions” en Models for Modalities, pp.: 112–147.


que se resume en su famoso adagio «ser es ser el valor de una variable ligada»,se convertiría de hecho en un retrato hiperrealista20. Por tanto, es necesarioadaptar (C.∃) y (C.∀) a esta exigencia; es decir, es necesario introducir enambas condiciones una cláusula que permita sustituir una variable individualpor un término, por ejemplo el término b, sin que éste tenga necesariamenteuna referencia entre los individuos de un dominio concreto y sí entre los deuna clase de dominios representada por el conjunto φ de las funciones deindividuación.

Si se quisiera establecer, por ejemplo, un sistema sin presuposiciones exis-tenciales, habría que modificar (C.∃) y (C.∀) de forma que fuese necesariodeclarar explícitamente la existencia de cada individuo b en cada mundoposible; esto es, habría que añadirles la condición de que el individuo cuyotérmino sustituye a la variable individual existe, puesto que se van a permitirtérminos que no designan a individuos actualmente existentes. Esta condi-ción se puede establecer mediante la adición de una cláusula de existencia,formalizada en el lenguaje objeto por el enunciado

(27) ∃x(x = b)

y modificando (C.∃) y (C.∀) de la siguiente manera:

(C.∃0): Si ∃xα(x) ∈ µ entonces α(b) ∈ µ y ∃x(x = b) ∈ µ para al menosuna constante individual b ∈ D(µ).

(C.∀0): Si ∀xα(x) ∈ µ y si ∃x(x = b) ∈ µ entonces α(b) ∈ µ para todaconstante individual b ∈ D(µ).

Ahora bien, las condiciones (C.∃0) y (C.∀0) que determinan un sistema sinpresuposiciones de existencia son demasiado restrictivas21. No se trata desuspender los supuestos sobre la referencia del término b entre los individuos

20Cfr. Quine, W. V. O.: “On what there is” en From a Logical Point of View.21Aceptar estas cláusulas puede desembocar en una free logic para las modalidades,

puesto que (27) traduce perfectamente el significado que el predicado predefinido E en lafórmula Eb (existe b) tiene.

de un dominio D(µ), sin más, sino de establecer que la referencia del tér-mino b que aparece en las fórmulas del conjunto modelo no tiene por quéencontrarse en D(µ) y sí en, por ejemplo, D(λ), siendo µ<λ; o lo que es lomismo, el asunto que aquí se trata no es el de la existencia de un individuoconcreto en un mundo posible, sino el de su permanencia en el resto de losmundos alternativos al primero. Esto se consigue sustituyendo la cláusula deexistencia en (C.∃0) por lo que llamo un indicador rígido22:

(27’) ∃x(x = b).

Las condiciones propias de la cuantificación quedan entonces del siguientemodo:

(C.∃∗): Si ∃xα(x) ∈ µ entonces α(b) ∈ µ y ∃x(x = b) ∈ µ para al menosuna constante individual b ∈ D(µ).

(C.∀∗): Si ∀xα(x) ∈ µ y si ∃x(x = b) ∈ µ entonces α(b) ∈ µ para todaconstante individual b ∈ D(µ).

No es difícil comprobar que el enunciado (27’) no sólo establece la existenciaen un mundo posible de un individuo cualquiera —esto es, la referencia de untérmino individual b en un conjunto modelo µ—, sino su permanencia en elresto de los mundos posibles alternativos al primero —es decir, la rigidez dela referencia del término individual b en los conjuntos modelos alternativos aµ— merced a la interpretación que del operador de necesidad ha sido dadaen la semántica propuesta.

De este modo desaparecen los problemas que la interpretación opaca delos enunciados modales lleva aparejados. Pero, además se desvanece una dis-tinción medieval relacionada con la dualidad de interpretaciones —la opacay la transparente— de estos enunciados. Me estoy refiriendo a la distinción

22Por indicador rígido traduzco el término inglés rigid designator usado frecuentementepor Saul Kripke quien lo definió como un índice que «designa al mismo objeto en todoslos mundos posibles; [...] en todos los mundos posibles donde el objeto en cuestión existe».Cfr. Kripke, S.: “Identity and Necessity”.


entre modalidades de dicto y modalidades de re. En resumen, tal distinciónestá fundada en la ambigüedad de significados que surge en los contextosmodales con respecto a la relación de los operadores con los términos indi-viduales que aparecen bajo su alcance: si aquéllos se refieren a la cosa (dere) o si hacen referencia a lo que se dice de la cosa (de dicto). Esto se puedeparafrasear en términos de la semántica de los mundos posibles diciendo queel alcance del operador modal puede pensarse de dos modos diferentes, de losque es el primero interpretarlo como si hiciese referencia al individuo concretorelacionado con un término bajo su alcance en el mundo actual, y el segundocomo si la referencia la hiciese a todos los diversos individuos que correspon-den a un término en los diferentes mundos posibles que hay que considerarpara la evaluación del enunciado modal. Así el enunciado “Necesariamente elmédico siempre tiene razón” indica una necesidad de re si se piensa que estáreferido a una persona en particular que se dedica a la medicina, en tantoque indica una necesidad de dicto si se refiere a cualquier individuo que seamédico de profesión. Pero tan pronto como se tiene la referencia del término‘el médico’ rígidamente establecida en todos los mundos posibles medianteel método de las funciones de individuación ya no tiene sentido considerarambas interpretaciones como diferentes. Puede afirmarse, por tanto, que losenunciados modales en general gozan de los privilegios de los contextos dere por lo que a la cuantificación se refiere, incluso cuando, por interés en laformalización, se prefiere la interpretación opaca a la transparente y entoncesse los considera principalmente como enunciados modales de dicto.

Capítulo 6

Árboles semánticos para lógicamodal cuantificacional

6.1. Árboles semánticos para lógica modal con

cuantificadores

Una vez desarrollado el método de las funciones de individuación y resuel-tos los problemas que plantea la cuantificación en contextos modales ya esposible ampliar las reglas de construcción del árbol expuestas en el capítuloanterior de forma que el método entonces descrito pueda ser empleado enun lenguaje con cuantificadores e identidad. El método no podrá ser un pro-cedimiento efectivo de decisión, pero aporta un semialgoritmo que permiteobtener modelos y conclusiones de validez para la mayoría de las fórmulas dela lógica modal con cuantificadores.

Para un lenguaje de este tipo que mantenga los presupuestos existencialesde la cuantificación, las reglas de construcción del árbol correspondientes alas condiciones (C.∃) y (C.∀) son las siguientes:

(R.∃): Si la primera expresión no convenientemente marcada de la se-cuencia Σ ⊂ ASα es de la forma ∃xβ(x)/i entonces se añade a

92

CAPÍTULO 6. ÁRBOLES SEMÁNTICOS PARA LÓGICA... 93

Σ la expresión β(ak)/i, donde ak es un parámetro nuevo aún noaparecido en la secuencia, y se marca con el signo < ak >.

(R.∀): Si la primera expresión no convenientemente marcada de la se-cuencia Σ ⊂ ASα es de la forma ∀xβ(x)/i entonces se añaden ala secuencia Σ las expresiones β(a1)/i, β(a2)/i, ...β(an)/i, estandoa1, a2, ...an por todos los parámetros aparecidos en la secuencia, ola expresión β(a1)/i si no hubiera aparecido ninguno, y se marcacon el signo < a1, a2, ...an >.

En (R.∃) el requisito de que el parámetro ak sea nuevo garantiza el cumpli-miento de la cláusula de la indicación rígida en el sentido de que no permiteque en µi haya ninguna variable individual que no tenga referente en D(µi).(R.∀), sin embargo, no cumple con esta cláusula ya que podría darse el casode que uno de los términos am, con m ≤ n, no tuviese referente ni en D(µi)

ni en ningún otro dominio D(µj), siendo µi<µj. Se trata de una regla pocogeneral, tan sólo válida en el caso de que haya un único dominio D(µi) ode que para cualesquiera µi y µj, D(µi) = D(µj). Sin embargo, es posiblemodificarla a fin de que sirva también para los casos en que no se dé estahomogeneidad de dominios:

(R.∀∗): Si la primera expresión no convenientemente marcada de la se-cuencia Σ ⊂ ASα es de la forma ∀xβ(x)/i entonces se añaden a lasecuencia Σ las expresiones β(ak)/i, ...β(an)/i, donde ak, ...an sontodos los parámetros aparecidos en la secuencia a partir de cual-quier expresión ∃yδ(y)/j tal que j ∼S i—o la expresión β(am)/i,donde am es un parámetro nuevo en Σ, si no hubiera aparecidoninguno tal—, y se marca con el signo < ak, ...an >.

A estas reglas hay que añadir algunas otras, análogamente a lo hecho pa-ra la lógica modal de proposiciones. Estas serán las correspondientes a lascondiciones (C. =), (C.¬∀) y (C.¬∃):

(R. =): Si la primera expresión no convenientemente marcada de la se-cuencia Σ ⊂ ASα es de la forma (an = ak)/i entonces se sustitu-yen en Σ todas las apariciones del parámetro de mayor subíndicede la igualdad en fórmulas asociadas a cualquier índice j tal quei ∼S j por el parámetro de menor subíndice y se marca con elsigno <=>1.

(R.¬∀): Si la primera expresión no convenientemente marcada de la se-cuencia Σ ⊂ ASα es de la forma ¬∀xβ(x)/i entonces se añade aΣ la expresión ∃x¬β(x)/i y se marca con el signo < ¬ >.

(R.¬∃): Si la primera expresión no convenientemente marcada de la se-cuencia Σ ⊂ ASα es de la forma ¬∃xβ(x)/i entonces se añade aΣ la expresión ∀x¬β(x)/i y se marca con el signo < ¬ >.

Junto con estas reglas habría que modificar la definición 4.6 de cierre de unasecuencia:

Definición 6.1. Se dice que una secuencia Σn es cerrada syss aparecen enella o bien dos expresiones de la forma β/i y ¬β/i, donde la fórmula β esatómica, o bien una expresión del tipo ¬(a = a), donde a es un parámetrocualquiera de la secuencia.

Con esto queda descrito en líneas generales el método de los árboles parasu aplicación a los sistemas normales de lógica modal de predicados de primerorden.

1Normalmente no se utilizarán parámetros con subíndices en la construcción del árbol,sino las letras minúsculas a, b, c, etcétera, por lo que el criterio de sustitución puede seralfabético, por ejemplo.

6.2. El teorema fundamental de los árboles se-

mánticos para lógica modal de predicados

A los sistemas de lógica modal de predicados de primer orden correspon-dientes a los sistemas K, T , B, S4 y S5 los llamaré, respectivamente, K∗,T ∗, B∗, S4∗ y S5∗, Un sistema S y su correspondiente sistema S∗ se dife-rencian exclusivamente por lo que se refiere a la base axiomática en que sefundamentan, de forma que S∗ añade a los axiomas de S los propios de lalógica de predicados de primer orden.

Definición 6.2. Un S −modelo es de dominio fijo syss para todo µ, λ ∈ Ω,si µ<λ entonces D(µ) = D(λ). Un S −modelo es de dominio variable syssno es de dominio fijo.

Según la definición anterior, en los sistemas modelos de dominio fijo se dala igualdad entre las poblaciones de los diferentes mundos posibles alternati-vos a otro cualquiera y la de este último, lo que garantiza el reconocimientode cada individuo en cada mundo posible. Se ha visto, en cambio, que elfallo del principio (GE) en los lenguajes intensionales está emparentado conla dificultad de establecer criterios de homogeneidad entre las poblacionesde los diferentes mundos posibles, lo que significa que no siempre es factibletrabajar con sistemas modelos de dominio fijo.

Una diferencia interesante entre S −modelos de dominio variable y S −modelos de dominio fijo la establece la S − validez de la Fórmula Barcan:

[FB] ∀xα(x)→ ∀xα(x).

[FB] es un teorema solamente en las llamadas lógicas simétricas, esto es:en B∗ y en S5∗. En los demás sistemas mencionados antes, [FB] no es unteorema, a menos que se añada como axioma. Al respecto, puede demostrarseel siguiente teorema:

Teorema 6.3. |=S [FB] para todo S −modelo de dominio fijo.

Demostración. Supóngase un S − modelo cualquiera de dominio fijo y su-póngase que para todo conjunto modelo µ ∈ Ω, no es el caso que µ ∀xα(x)→ ∀xα(x); entonces µ ¬(∀xα(x)→ ∀xα(x)) y de aquí queµ ∀xα(x) y µ ¬∀xα(x); por lo tanto µ α(a) para todo a ∈ D(µ)

y también µ ♦∃x¬α(x); entonces λ α(a) y λ ∃x¬α(x), de dondeλ ¬α(a) para algún a ∈ D(λ); esto es, α(a) ∈ λ y ¬α(a) ∈ λ, contra(C.¬). Luego, para todo µ ∈ Ω, µ ∀xα(x) → ∀xα(x) y por tanto∀xα(x)→ ∀xα(x) ∈ µ.

Añadida a aquellos sistemas en los que no es un teorema, [FB] provocala conversión de sus respectivos S−modelos en S−modelos de dominio fijo.Se pueden considerar, por tanto, los S − modelos de dominio fijo como uncaso especial de los S −modelos de dominio variable. Estos últimos puedenser de dos tipos diferentes.

En primer lugar están los S −modelos de dominio variable en los que secumple el siguiente requisito de inclusión o requisito de dominios anidados :

∀µ, λ ∈ Ω, µ<λ⇒ D(µ) ⊆ D(λ).

Con este requisito se obtienen S−modelos de dominios variables anidadosdel tipo de los que usan Hughes y Cresswell2. Son S −modelos en los que lafórmula

[FB′] ∀xα(x)→ ∀xα(x)

es S− valida, pero no lo es [FB], excepto en el caso límite en el que D(µ) =

D(λ), caso que se produce, por ejemplo, cuando la relación de alternatividadcumple la cláusula de simetría.

Teorema 6.4. No para todo S −modelo de dominios variables anidados esel caso que |=S [FB].

Demostración. El siguiente S−modelo de dominios variables anidados es uncontraejemplo de [FB]:

2Hughes, G. E & Cresswell, M. J.: Introducción a la lógica modal, pp.: 147ss.

Ω = µ, λ | µ<λ D(µ) = a D(λ) = a, b

α(a) α(b) ∀xα(x) α(a) ∀xα(x) ∀xα(x)

µ 1 — — 1 1 0λ 1 0 0 — — —

En segundo lugar se tiene aquellos S − modelos en los que no se da elrequisito de inclusión, de modo que puede ser que, para cualesquiera dosmundos posibles con diferentes poblaciones µ y λ tales que µ<λ, se dé elcaso de que a ∈ D(µ) y a /∈ D(λ). En un caso tal no se trata de que lasextensiones predicativas cambien de un mundo a otro respecto del individuoa, sino de que en λ la extensión predicativa de un predicado cualquiera P conrespecto a la constante individual a es el conjunto vacío, por lo que no puededarse que λ Pa. El problema aquí es decidir si el enunciado Pa tiene algúnvalor de verdad a pesar de que no existe el individuo a en el mundo posibleactual. Kripke3 ha propuesto una semántica con estas características en laque el enunciado Pa sí tendría un valor de verdad en λ independientementede que a ∈ D(λ) o a /∈ D(λ). La semántica de Kripke da lugar a sistemasde lógica modal libre, donde tan sólo son teoremas aquellos enunciados queestán cerrados con respecto a la cuantificación universal4. En la semánticade Kripke, [FB] no es ni siquiera S5∗ − valida, por lo que no se la puedeconsiderar aquí como modelo para el sistema S5∗, donde se ha dicho que síes un teorema [FB]5.

Basta considerar, por tanto, S−modelos de dominios variables anidadospara los sistemas normales de lógica modal de predicados de primer orden.En este sentido, y con objeto de incluir el requisito de dominios variables

3Kripke, S.: “Semantical Considerations on Modal Logic”, Acta Philosophica Fennica,16 (1963), pp.: 83–94.

4Cfr. al respecto Hughes & Cresswell: Introducción a la lógica modal, pp.: 153–156.5Ibidem.

anidados en la semántica, es conveniente redefinir la noción de S −modeloque se dio en la definición 3.4:

Definición 6.5. Un S∗ − modelo es una quíntupla ordenada < Ω,<, D,, f >, donde Ω, <, D y son como en la definición 3.4 y f ∈ φ es unafunción tal que para cualesquiera dos conjuntos modelos µi, µj ∈ Ω, si µi<µjentonces f(x,D(µi)) ∈ D(µj), para una variable cualquiera x.

Definición 6.6. Una fórmula α es S∗−satisfactible syss hay un S∗−modeloy un µ ∈ Ω tal que α ∈ µ. Una fórmula α es S∗ − valida syss para todoS∗ −modelo y todo µ ∈ Ω, α ∈ µ.

A partir de estas nuevas definiciones de los principales conceptos de lasemántica se hace necesaria la reformulación de los teoremas del capítulocuatro y la ampliación de sus demostraciones del siguiente modo.

Teorema 6.7. Si α es S∗—satisfactible entonces hay al menos una secuen-cia Σ ⊂ ASα tal que si, para un índice cualquiera i y una fórmula cualquieraβ, β/i ∈ Σn depende de α/1 entonces β es también S∗ − satisfactible.

Demostración. Como la demostración del teorema 4.8, pero revisando lossiguientes casos adicionales:

(R.∀∗) sobre una expresión de la forma ∀xδ(x)/i. Luego se obtiene lasecuencia < δ(ak)/i, ...δ(an)/i >, donde < ak, ...an > son todos losparámetros aparecidos en la secuencia Σ en cualesquiera fórmulas aso-ciadas a cualquier índice j tal que j ∼S∗ i. Por tanto, hay al menos unosµi, µj ∈ Ω tales que µj<µi y para todo parámetro am si am ∈ D(µj)

entonces am ∈ D(µi) y δ(ak) ∈ µi, ...δ(an) ∈ µi y por las definiciones3.2 y 6.6, δ(ak), ...δ(an) son S∗ − satisfactibles.

(R.∃) sobre una expresión de la forma ∃xδ(x)/i. Luego se obtiene laexpresión δ(an)/i, donde an es un parámetro nuevo. Por hipótesis de

la inducción hay un µi tal que ∃xδ(x) ∈ µi y δ(an) ∈ µi, y por lasdefiniciones 3.2 y 6.6 δ(an) es S∗ − satisfactible.

Lema 6.8. Para toda fórmula α y toda secuencia Σn no cerrada de ASα,hay un S∗−modelo que S∗−satisface simultáneamente a todas las fórmulasde Σn.

Demostración. Como el lema 4.10, pero añadiendo los siguientes casos:

1.

g) Sea β : ¬∀xδ(x). Por hipótesis, ¬∀xδ(x)/i ∈ Fn+1. Por la defi-nición 4.9(1g), ∃x¬δ(x)/i ∈ Fn. Por hipótesis de la inducción∃x¬δ(x) es S∗ − satisfactible, por lo que hay un µi ∈ Ω tal que∃x¬δ(x) ∈ µi y, para algún an ∈ D(µi), ¬δ(an) ∈ µi. Si β no fueraS∗ − satisfactible entonces, por las definiciones 3.2 y 6.6, paracualquier conjunto modelo µi ∈ Ω no es el caso que µi ¬∀xδ(x),de donde µi ¬¬∀xδ(x); entonces µi ∀xδ(x) y de aquí queµi δ(an) para todo an ∈ D(µi); y por tanto δ(an) ∈ µi, violán-dose la condición (C.¬).

h) Sea β : ¬∃xδ(x). Como en el caso anterior.

7. Sea β : ∀xδ(x). Por hipótesis, ∀xδ(x)/i ∈ Fn+1. Luego por la definición4.9(7), δ(an)/i ∈ Fn, ...δ(am)/i ∈ Fn, donde an, ...am son los parámetrosque aparecen en las fórmulas asociadas a todo índice j tal que j ∼S∗ i.Por hipótesis de la inducción, por tanto, hay al menos unos µi, µj ∈ Ω

tales que µj<µi y para todo parámetro ak si ak ∈ D(µj) entoncesak ∈ D(µi) y δ(an) ∈ µi, ...δ(am) ∈ µi. Si β no fuera S∗ − satisfactibleentonces por la definiciones 3.2 y 6.6 es que, para cualquier µi ∈ Ω, noµi ∀xδ(x); luego µi ¬∀xδ(x), es decir, µi ∃x¬δ(x); de aquí sesigue que µi ¬δ(an) para algún an ∈ D(µi); de donde ¬δ(an) ∈ µi,contrariamente a lo derivado de la hipótesis de la inducción.


8. Sea β : ∃xδ(x). Por hipótesis ∃xδ(x)/i ∈ Fn+1. Por la definición 4.9(8)δ(ak)/i ∈ Fn. Por la hipótesis de la inducción δ(ak) es S∗−satisfactible,por lo que ha de haber un µi ∈ Ω tal que δ(ak) ∈ µi. Si β no fueraS∗ − satisfactible entonces, para cualquier µi ∈ Ω, no µi ∃xδ(x);por tanto µi ¬∃xδ(x); luego µi ∀x¬δ(x), de donde se sigue queµi ¬δ(ak) para todo ak ∈ D(µi), y por tanto ¬δ(ak) ∈ µi, contravi-niendo (C.¬)

Lema 6.9. Dada una fórmula S∗—satisfactible cualquiera α, hay al menosuna secuencia Σn ⊂ ASα tal que se puede mostrar un S∗ −modelo que hacea todas las fórmulas de Σn simultáneamente S∗ − satisfactibles.

Demostración. Como la del lema 4.11 pero apelando al teorema 6.7.

Teorema 6.10. (Teorema fundamental de los árboles semánticos):AS∗α es cerrado syss α no es S∗ − satisfactible.

Demostración. Este teorema se demuestra como el teorema 4.12, pero ape-lando a los lemas 6.8 y 6.9.

Corolario 6.11. α es S∗ − valida (|=S∗ α) syss AS∗¬α es cerrado.

Corolario 6.12. α es consecuencia lógica de un conjunto no vacío de fórmu-las Γ en el sistema S∗ (Γ |=S∗ α) syss hay una fórmula γ, que es la fórmulaque se consigue al conjuntar mediante el signo ∧ todas las fórmulas de unsubconjunto Γ ′ ⊂ Γ , tal que AS∗¬(γ → α) es cerrado.

6.3. Algunos resultados

Con todo este aparato se hace posible aplicar el procedimiento a los sis-temas de lógica modal de predicados de primer orden correspondientes a lossistemas K∗, T ∗, B∗, S4∗ y S5∗. Valga como ejemplo el árbol de la siguientefórmula, que es una versión de la negación de la Fórmula Barcan:

¬[∀x(α(x)→ β(x))→ ∀x(α(x)→ β(x))]/1<¬>∀x(α(x)→ β(x))/1<a>¬∀x(α(x)→ β(x))/1<¬>(α(a)→ β(a))/1<1,2>

♦∃x¬(α(x)→ β(x))/1<2>

α(a)→ β(a)/1<→>∃x¬(α(x)→ β(x))/2α(a)→ β(a)/2<→>

¬α(a)/1¬(α(b)→ β(b))/2<¬>

¬α(a)/2α(b)/2¬β(b)/2

β(a)/2α(b)/2¬β(b)/2

β(a)/1¬(α(b)→ β(b))/2<¬>

¬α(a)/2α(b)/2¬β(b)/2

β(a)/2α(b)/2¬β(b)/2

El árbol se termina sin haberse cerrado. Esto quiere decir que hay almenos un contraejemplo (cuatro en este caso) de [FB]. Obsérvese que enla construcción del árbol el parámetro b que aparece al marcar una fórmulaasociada al índice 2 no marca a la fórmula ∀x(α(x) → β(x)) asociada alíndice 1, por lo que se ha asumido al construirlo que no 2 ∼S 1 (en definitiva,que µ1 no es alternativo a µ2); esto es, que la relación de alternatividad nocumple la cláusula de simetría. [FB] no es, efectivamente, ni K∗ − valida

ni T ∗ − valida ni S4∗ − valida. El siguiente es un modelo falsificador de lafórmula ∀x(α(x)→ β(x))→ ∀x(α(x)→ β(x)):

Ω = µ1, µ2 tal que µ1<µ1, µ2<µ2, µ1<µ2

D(µ1) = a, D(µ2) = a, b y f(x,D(µ1)) = a y f(x,D(µ2)) = a

S4∗ α(a) α(b) β(a) β(b) α(a)→ β(a) α(b)→ β(b)

µ1 0 — — — 1 —µ2 0 1 — 0 1 0

Sin embargo, si se añade la cláusula de simetría se comprueba que laFórmula Barcan es tanto B∗ − valida como S5∗ − valida:

¬[∀x(α(x)→ β(x))→ ∀x(α(x)→ β(x))]/1<¬>∀x(α(x)→ β(x))/1<a,b>¬∀x(α(x)→ β(x))/1<¬>(α(a)→ β(a))/1<1,2>

♦∃x¬(α(x)→ β(x))/1<2>

α(a)→ β(a)/1<→>∃x¬(α(x)→ β(x))/2α(a)→ β(a)/2<→>

¬α(a)/1¬(α(b)→ β(b))/2<¬>(α(b)→ β(b))/1<1,2>

¬α(a)/2α(b)/2¬β(b)/2

α(b)→ β(b)/1<→>α(b)→ β(b)/2<→>

¬α(b)/1

¬α(b)/2×

β(b)/2×

β(b)/1...

β(a)/2α(b)/2¬β(b)/2

...

β(a)/1¬(α(b)→ β(b))/2<¬>(α(b)→ β(b))/1<1,2>

¬α(a)/2α(b)/2¬β(b)/2

...

β(a)/2α(b)/2¬β(b)/2

...

En este segundo árbol, al darse el caso de que µ2<µ1, el término b tiene lamisma referencia en D(µ1) que la que tiene en D(µ2) y por tanto aparece enlos enunciados de ambos conjuntos modelos. Se puede comprobar entoncesque, aunque se ha descartado la presuposición de que en µ1 y en µ2 exis-tan los mismos individuos, no se ha suprimido la presuposición de que enambos mundos posibles existan individuos. En los dos árboles, la expresión∀x(α(x)→ β(x))/1 ha sido marcada con un parámetro que hasta entoncesno había aparecido en la secuencia. En realidad, en ese momento aún nohabía aparecido ningún parámetro en el árbol. Esto representa una violaciónde la cláusula de existencia y por tanto de la condición (C.∀0) del capítuloanterior, pero no de la cláusula de la indicación rígida que, a pesar de queparece más restrictiva, permite obtener conclusiones que en un sistema sinpresuposiciones existenciales no son posibles. Por tanto diré, no que la se-mántica de los mundos posibles está exenta de presuposiciones de existencia,sino, siguiendo a J. Hintikka, que no tiene presuposiciones de particularidad6.

6.4. Árboles semánticos infinitos por causa de

la iteración de operadores cuantificaciona-

les

Se pueden encontrar también secuencias infinitas por la aparición inin-terrumpida de parámetros en el árbol al aplicar las reglas propias de loscuantificadores. Por ejemplo, la secuencia sin modalidades siguiente:

6Hintikka demuestra también que, en un sentido definido, los sistemas con presuposi-ciones de existencia son un subsistema de aquellos que prescinden de ellas. El sistema aquíexpuesto está a medio camino entre ambos. Para la demostración cfr. Hintikka, J.: “Exis-tential Presuppositions and their Elimination” en Models for Modalities, páginas 34–37.

∀x∃y(¬α(x, x) ∧ α(x, y))/1<a,b,c...>∃y(¬α(a, a) ∧ α(a, y))/1¬α(a, a) ∧ α(a, b)/1<∧>∃y(¬α(b, b) ∧ α(b, y))/1<c>

¬α(a, a)/1α(a, b)/1

¬α(b, b) ∧ α(b, c)/1<∧>∃y(¬α(c, c) ∧ α(c, y))/1<d>

¬α(b, b)/1α(b, c)/1

...

Por lo general, de toda fórmula satisfactible en la que se dé un cuantifica-dor existencial bajo el alcance de otro universal se obtendrá un árbol infinito,de forma similar a lo que ocurría cuando en un árbol aparecía una fórmulamodalizada en la que un operador de posibilidad caía bajo el alcance de unode necesidad. Como puede preverse, por tanto, la causa de que el árbol ante-rior no se termine es análoga a la que se estudió en la sección 4.5 y la soluciónque aportaré responde, por ello, a criterios parecidos a los de entonces7. Si enel caso anterior era necesario restringir la aparición de nuevos índices en elárbol para evitar su decurso infinito, en el caso de los árboles que no acabanpor la proliferación de parámetros hay que restringir las reglas propias de lacuantificación8.

7Hay que tener en cuenta que la lógica de predicados de primer orden no es decidibley que por eso mismo el método de los árboles semánticos no puede aportar un modeloefectivo para todas las fórmulas satisfactibles. En concreto, la existencia de fórmulas queson satisfactibles solamente en dominios infinitos comporta ya la imposibilidad de evitar laaparición de secuencias arbóreas infinitas. Sin embargo, como es el caso de la fórmula cuyoárbol se desarrolla más arriba, se puede encontrar mediante este método un modelo quesatisfaga a las que lo sean en dominios finitos, a pesar de tener su prefijo cuantificacionaldispuesto del modo ya indicado.

8El método que sigue para evitar determinado tipo de árboles infinitos se denominade árboles provisionales y ha sido desarrollado para lógica de predicados de primer ordenpor Emilio Díaz Estévez en el artículo inédito “Reducciones finitas de árboles semánticosinfinitos”.

Definición 6.13. Se entiende por signo de provisionalidad un par de barrasverticales a derecha e izquierda de una expresión δ/i ∈ Σn ⊂ ASα. Si δ/iaparece con n barras verticales a derecha e izquierda, con n ≥ 1, se diráque δ/i tiene n signos de provisionalidad o, simplemente, que δ/i es n −provisional.

Definición 6.14. Si γ/i, δ/j ∈ Σn ⊂ ASα y δ/j es provisional, se dice quela expresión γ/i origina la provisionalidad de δ/j syss δ/j depende de γ/i enΣn, γ/i tiene un signo de provisionalidad menos que δ/j y para cualquier ex-presión η/k ∈ Σn de la cual dependa δ/j y tenga un signo de provisionalidadmenos que δ/j, γ/i depende de η/k.

Definición 6.15. Un cierre provisional es aquél que se produce si y sólo sien la secuencia Σ ocurre un par de fórmulas de las que una es la negaciónde la otra y al menos una de las dos es provisional. En el caso de que en lasecuencia Σ se dé un cierre provisional, se tacha la fórmula provisional concuya aparición se origina el cierre de la secuencia, así como todas las fórmulascon igual número de signos de provisionalidad de las que dependa y la marcaque da lugar a dicha fórmula provisional.

(R.∃∗): Si la primera expresión no convenientemente marcada de la se-cuencia Σn ⊂ ASα es de la forma ∃xβ(x)/i, entonces se añadea Σ la expresión β(ak)/i, donde ak es el parámetro de menorsubíndice no tachado como marca de ∃xβ(x)/i, de modo que:

a) Si ak ya ha aparecido en Σ, la expresión β(ak)/i se escribe conun signo más de provisionalidad que los que tenga ∃xβ(x)/i y semarca con el signo |< ak >|

b) Si ak aún no ha aparecido en Σ, la expresión β(ak)/i se escribecon los mismos signos de provisionalidad que tenga ∃xβ(x)/i yse marca con el signo < ak >

Con la restricción anterior, el árbol propuesto más arriba se termina delsiguiente modo:

∀x∃y(¬α(x, x) ∧ α(x, y))/1<a,b>∃y(¬α(a, a) ∧ α(a, y))/1|<a>|

(((((((

(((((

|¬α(a, a) ∧ α(a, a)/1|<∧>((((

(((|¬α(a, a)/1|

|α(a, a)/1|¬α(a, a) ∧ α(a, b)/1<∧>∃y(¬α(b, b) ∧ α(b, y))/1|<a>|

¬α(a, a)/1α(a, b)/1

|¬α(b, b) ∧ α(b, a)/1|<∧>|¬α(b, b)/1||α(b, a)/1|

El árbol proporciona un S∗−modelo para la fórmula inicial con un únicoconjunto modelo µ1 —lo que es evidente puesto que no hay ninguna ocurren-cia de operadores modales en la fórmula— y un dominio D(µ1) = a, b:

α(a, a) α(a, b) α(b, a) α(b, b)

µ1 0 1 1 0

El siguiente es un caso similar pero con una fórmula modal al inicio delárbol:

¬(∃xα(x)→ ∃xα(x))/1<¬>∃xα(x)/1<1,2,3...>

¬∃xα(x)/1<¬>∃xα(x)/1<a>

∀x♦¬α(x)/1<a,b,c...>α(a)/1

♦¬α(a)/1<2>

¬α(a)/2∃xα(x)/2

α(b)/2♦¬α(b)/1<3>

¬α(b)/3∃xα(x)/3<c>

α(c)/3...

El árbol infinito anterior no pararía aunque se aplicase el método de losíndices congruentes porque se trata no de un árbol S4∗ o S5∗ sino de un árbolT ∗. En realidad son los parámetros que van apareciendo indefinidamente enel árbol los que provocan que éste no pare. Pero si le aplicamos la restricciónde la provisionalidad se obtiene la secuencia siguiente:

¬(∃xα(x)→ ∃xα(x))/1<¬>∃xα(x)/1<1,2,3...>

¬∃xα(x)/1<¬>∃xα(x)/1<a>∀x♦¬α(x)/1<a,b>

α(a)/1♦¬α(a)/1<2>

¬α(a)/2∃xα(x)/2|<a>|

|α(a)/2|

α(b)/2♦¬α(b)/1<3>

¬α(b)/3∃xα(x)/3|<a>||α(a)/3|

En este caso tenemos que la secuencia anterior se corresponde conAT ∗¬(∃xα(x)→∃xα(x)) y que aporta un modelo que T ∗ − satisface a la fórmula inicial:

Ω = µ1, µ2, µ3 D(µ1) = a D(µ2) = a, b D(µ3) = a, b

T ∗ α(a) α(b)

µ1 1 —µ2 0 1µ3 1 0

El siguiente es el esquema propio de la relación de relevancia entre índices:

Capítulo 7

La interpretación deóntica de lasmodalidades

La lógica de las normas o lógica deóntica1 se ocupa, en general, de trestipos diferentes de enunciados: los enunciados imperativos, los enunciadosde valoración y los enunciados normativos2. Parece que los tres tengan algoen común, pero queda poco claro hasta qué punto ese algo es discernible desu aspecto puramente lingüístico y por tanto relevante para la lógica. Eneste sentido, por ejemplo, aunque cabe preguntarse por el tipo de relacionesque vigen entre los enunciados pertenecientes a cada una de las clases antesmencionadas, sobre todo por lo que respecta a la posibilidad de establecerun modelo único de interpretación para la lógica deóntica en general, o biensi es posible encontrar el modo de reducir dos cualesquiera de ellas a latercera, ninguna de estas consideraciones tiene valor sin antes determinar lo

1El término deontik referido a la lógica de las normas fue usado por vez primera por E.Mally en Grundgesetze des Sollens. Elemente der Logik des Willens, de 1926. Posterior-mente, Von Wright utilizó la expresión en su importante articulo “Deontic Logic”, con elque se inauguró el estudio actual de esta disciplina de la lógica.

2Von Wright realiza una distinción análoga entre nociones deontológicas o normativas,nociones axiológicas o de valor y nociones praxiológicas. Cfr. Un ensayo de lógica deónticay la teoría general de la acción, páginas 11–13. Cfr. también Kutschera, F.: Fundamentosde ética, capítulo primero, donde se distingue entre conceptos y principios deónticos yconceptos y principios axiológicos y se establece su interdependencia.

108

CAPÍTULO 7. LA INTERPRETACIÓN DEÓNTICA... 109

principal; esto es: si es posible establecer una lógica de la praxis similar ala lógica del razonamiento teórico. Esta última cuestión puede resumirse conla siguiente pregunta: ¿si lo verdadero y lo falso son los referentes lógicosde los enunciados asertórico-descriptivos, cuáles son los de los enunciadosimperativos, valorativos o normativos?

En mi opinión, la teoría semántica de los mundos posibles, además deproporcionar mecanismos de análisis y decisión para la lógica deóntica, per-mite al filósofo de las normas y la moral (así como al filósofo del lenguajey de la lógica interesado por estos temas) evitar la servidumbre de la éticay la filosofía práctica con respecto a conceptos como el de verdad, obscuroscuando se aplican fuera de su ámbito normal de uso3.

Sin embargo, no me voy a detener en consideraciones de tipo filosóficomás que para analizar someramente desde una perspectiva lingüística losenunciados pertenecientes a los tipos antes mencionados. El objeto de esteanálisis será establecer los límites para la aplicación del procedimiento dedecisión de los árboles semánticos, desarrollado en los capítulos anteriores,en el ámbito de la lógica de los lenguajes normativos.

7.1. Lenguajes normativos y lógica

Entiendo que, desde un punto de vista lógico, los enunciados imperativos,como es el caso de

(29) “Pon esta carta en el correo”,3El criterio empirista de significado adoptado por los filósofos verificacionistas de la

corriente del empirismo lógico durante el primer tercio de siglo llevó a algunos autores anegar que los enunciados normativos tuviesen sentido, ya que no eran ni verdaderos nifalsos. Esta postura rancia no es hoy en día defendida por nadie, con excepción de losrecalcitrantes que aún manejan la vieja teoría empirista del significado sin tener en cuentalas modificaciones que el concepto de verdad ha sufrido, sobre todo en relación con elestatuto epistemológico de las teorías científicas y su aplicación en la interpretación de larealidad que pretenden explicar. Cfr. en este sentido Warnock, M.: Ethics since 1900.


no difieren de los enunciados normativos del tipo “es obligatorio que...”. Estopermite traducir (29) por otro enunciado cuya estructura normativa es máspropicia para el análisis lógico:

(29’) “Es obligatorio que pongas esta carta en el correo”.

Hay una objeción inmediata para este tipo de traducciones. Viene a decir quemientras que no parece aceptable preguntarse por el valor de verdad de (29),sí se respondería a cualquier pregunta sobre si (29’) es verdadero o falso, lo quehace sospechar que no existe correspondencia lógica entre ambos enunciadosy que por tanto no es posible traducir el uno por el otro. No obstante, si seexamina (29’) con atención se comprueba que la aseveración

(30) “Es verdad que es obligatorio que pongas esta carta en el correo”

no dice nada sobre lo que acaece (sobre todo no dice que sea cierto que lacarta se haya puesto de hecho en el correo), sino que solamente habla sobrela existencia de la prescripción, por lo que (29’) es un enunciado verdade-ro o falso en un sentido muy distinto del que tiene decir de un enunciadoasertórico-descriptivo que es o bien lo uno o bien lo otro. Por ello, la re-ticencia apuntada sobre la traducibilidad de los enunciados imperativos aenunciados normativos queda, a mi entender, salvada en primera instancia.De hecho, no encuentro ningún contraejemplo para este tipo de traducción.Si acaso, aquellas órdenes que suponen una secuencia de acciones habrían deser traducidas incluyendo matices temporales4. Pero esto no es un problemainabordable.

4Supóngase un juego cuyas reglas estuvieran redactadas como prescripciones del tipo

(31) “Si el dado marca seis, ve a la casilla tal y tira de nuevo”,

análoga a la norma

(31’) “Si el dado marca seis, es obligatorio que antes vayas a la casilla tal y que despuéstires de nuevo el dado”.


Por su parte, los enunciados de valoración se dividen en dos grupos: elde los enunciados valorativos absolutos y el de los enunciados valorativosrelativos. Los primeros son del tipo

(32) “Esto es bueno” o “Es bueno que tal y tal”

por oposición a

(33) “Esto es malo” o “Es malo que tal y tal”.

Los segundos son del tipo

(34) “Esto es mejor que aquello”.

“Bueno” y “malo” son valores, como lo son “verdadero” y “falso”, “bonito” y“feo”, etcétera. En realidad, los enunciados valorativos absolutos constituyenlo que se llama a menudo juicios de valor, en tanto que los enunciados va-lorativos relativos dan lugar a la lógica de la preferencia, que mantiene conrespecto a los juicios de valor una relación similar a la que mantiene la lógicade las normas. Esta es: los juicios de valor están en un nivel de lenguajediferente al de los enunciados normativos o de preferencia; un enunciado deltipo

(33bis) “Matar es malo”

se encuentra en el mismo nivel con respecto a

(35) “Está prohibido matar”

que

(36) “Es verdad que los planetas giran alrededor del Sol”

con respecto a

(37) “Es necesario que los planetas giren alrededor del Sol”,


lo que se explica por un análisis exhaustivo de los conceptos de analiticidady verdad.

En líneas generales, el establecimiento de una lógica de las normas suponela aceptación de un principio general de racionalidad prioritariamente sobreel principio de extensionalidad, con el consiguiente cambio de perspectiva conrespecto a conceptos ya de antiguo acuñados como es el caso del concepto deverdad o el de validez5, pero esta discusión conduciría a terrenos diferentesde los que aquí interesan. Lo importante en este caso es que los modelossemánticos adoptados para los lenguajes normativos no deben diferir esen-cialmente de los modelos apropiados para la lógica clásica de predicados deprimer orden.

En definitiva, lo que se ha hecho es adoptar una postura acorde con lasolución dada al dilema planteado por el lógico nórdico Jørgen Jørgensen,enunciado en el capítulo dos de este trabajo. Ha bastado un cambio de pers-pectiva sin que fuera necesario cambiar la herramienta de análisis. Así, por loque se refiere a los lenguajes normativos, el díscolo concepto lógico de verdaddeja paso al mas manejable y eficiente de pertenencia a un sistema normati-vo, asemejándose a lo propuesto para los enunciados asertórico-descriptivos,que son verdaderos si y solamente si pertenecen a un sistema teórico —estoes: si y solamente si tienen un modelo que los satisface6.

5Charles L. Stevenson ofrece en el capítulo VII de Ética y lenguaje un buen análisis deestos términos en relación con el lenguaje ético.

6Ahora bien, si surgen problemas de índole filosófica, éstos no son más recalcitrantes quelos que ya existían en el ámbito de la filosofía práctica. El ¿qué debemos hacer? kantianomantiene su privilegiada posición de pregunta clave de la ética y la política. Pero ahoraes fácil determinar si de lo que se cree deber hacer se sigue consistentemente otro tipo deacciones o no. O dicho de otro modo, si cabe plantearse razonablemente el paso del deberser al ser o si, por el contrario, no existe ningún puente que lleve del reino de los fines ala realidad de los facta humana, con lo que no cabría pasar de lo uno a lo otro tampocoen este sentido (lo que, dicho sea de paso, no es menos intuitivo que la célebre falacianaturalista).


7.2. La reinterpretación deóntica de los opera-

dores de modalidad

El giro lingüístico “es obligatorio que” puede interpretarse en español endos sentidos diferentes. Uno es el sentido que señala la expresión alemanaTun-Sollen (traducible por deber hacer) y el otro el que indica la expresiónSein-Sollen (traducible por deber ser). Ambos sentidos marcan la diferenciade matiz que media entre los enunciados imperativos y los enunciados emi-nentemente normativos, como es el caso de los que describen las reglas o laestrategia en un juego. Sin embargo, queda dicho que, para los propósitosde la lógica y el alcance de las consideraciones a desarrollar en este capítulo,los primeros pueden ser traducidos a enunciados del tipo de estos últimos.De modo que voy a dejar a un lado no sólo la lógica de la preferencia, sinotambién la lógica de la acción7, que tanto tienen que ver con la lógica de lasnormas puras, y voy a dedicar las siguientes consideraciones a la extensióndel procedimiento de los árboles semánticos a un sistema de lógica deónticatan restringido como es el caso del sistema estándar de lógica deóntica, quellamaré sistema D8.

7Creo que puede considerarse a Von Wright el padre de los modernos tratamientos de lalógica deóntica en la mayoría de sus aspectos, incluidos, claro está, los relacionados con ladecisión y la acción humanas. Así, sus estudios The Logic of Preference, Norm and Actiony An Essay in Deontic Logic and the General Theory of Action se encuentran en la basede todas las consideraciones que aquí se apuntan. Asimismo, como estudios introductoriosa las lógicas de la decisión, la preferencia y la acción, cfr. Rescher. N. (ed.): The Logic ofDecision and Action y también The Logic of Action and Preference.

8El nombre de sistema estándar de lógica deóntica lo tomo de Bengt Hanson, quiense refiere a él como «el más pequeño conjunto [de fórmulas] que cumple los siguientesrequisitos: (i) para cualquier fórmula α de BL [un calculo básico de proposiciones], αes una fórmula del sistema estándar de lógica deóntica SDL; (ii) la negación de cualquierfórmula de SDL es una fórmula de SDL; (iii) la disyunción de cualesquiera dos fórmulasde SDL es una fórmula de SDL». Cfr. Hanson, B.: “An Analysis of Some Deontic Logics”,en Hilpinen, R. (ed.): Deontic Logic: Introductory and Systematic Readings, página 122.Aquí, para mayor agilidad, se amplía la definición de Hanson para los signos ♦, ∧ y →en idénticos términos. El sistema D que se analiza en este capítulo es el sistema DM queaparece en Fitch, F. B.: “Tree Proofs in Modal Logic”, página 152.

Al interpretar deónticamente los operadores modales hay que tener encuenta que habrá que trabajar con sistemas lógicos atípicos con respecto alo que se podría llamar la generalización modal del axioma de Aristóteles.Esto es, el principio α → α de lógica modal alética (análogo al principio∀xα(x) → α(a) de lógica cuantificacional) no tiene un equivalente deónti-co, puesto que del hecho de que algo sea obligatorio no se sigue de ningúnmodo que ese algo sea de hecho. En cambio, sí debe funcionar el principioα → ♦α (cuyo análogo es ∀xα(x) → ∃xα(x) en lógica cuantificacional).En última instancia, tales peculiaridades se deben a que no se puede admi-tir en un sistema estándar de lógica deóntica una regla similar a la regla denecesariedad

` α⇒` α,

que sí vale en los sistemas de lógica modal alética estudiados9. Ni siquiera esadmisible el teorema de T

` α→ ♦α.

Estas restricciones hacen que D sea aún más débil que T . De hecho,incluyendo algunas pequeñas modificaciones en la definición de T −modelose obtiene un D−modelo. Así, las condiciones definidas en su momento paralos operadores de modalidad no varían al reinterpretarlos deónticamente:

(C.): Si α ∈ µ ∈ Ω entonces para todo λ ∈ Ω tal que µ<λ, α ∈ λ.

(C.♦): Si ♦α ∈ µ ∈ Ω entonces hay un λ ∈ Ω tal que µ<λ y α ∈ λ.

Pero si, como queda expuesto, no puede derivarse en el sistema la fórmula αa partir de α, es imprescindible que el conjunto modelo λ no sea el mismoque el conjunto modelo µ (λ 6= µ); lo que es tanto como decir que no es el casoque µ<µ, con la excepción de un mundo posible perfecto en el que nunca se

9Por lo tanto, el sistema estándar de lógica deóntica no es un sistema normal de lógicamodal.

infrinjan las normas. Cabe calificar por ello los D −modelos como sistemasmodelos atípicos para los que la definición de la relación de alternatividad noha de contemplar la propiedad reflexiva para todos los conjuntos modelos deΩ10; en cuyo caso, atendiendo a la definición de la relación de alternatividaddada en el capítulo uno, deberá cumplir alguna cláusula apropiada que larestrinja en el sentido adecuado. Esta es la que llamo cláusula aliorrelativa yque defino del modo siguiente: Si µi ∈ Ω entonces, si hay en Ω al menos unµj tal que µj<µi entonces µi<µi11.

En cualquier otro caso, un conjunto modelo no es alternativo a sí mismo.Por tanto, aunque los D − modelos no son sistemas modelos normales enel sentido de Kripke, tampoco son totalmente extraños al conjunto de lossistemas modelos normales estudiados en este trabajo, por lo que cabríacalificarlos como sistemas modelos cuasi-normaIes12. Así, el cuadro de laspropiedades de la relación de alternatividad de la sección 3.1 tendrá que sercompletado del modo siguiente:

Sistema Propiedad Cláusulas que cumple larelación

D SerialidadAliorrelatividad

∀λ∃µ(λ<µ)

∀µ(∃λ(λ<µ)⇒ (µ<µ))

10Cfr. Kripke, S.: “Semantical Analysis of Modal Logic I: Normal Modal PropositionalCalculi”, página 95: «Si desechásemos la condición de que < sea reflexiva, esto equivaldríaa abandonar el axioma modal A → A. De este modo, podríamos obtener sistemas deltipo requerido por la lógica deóntica».

11El motivo de condicionar que µ<µ a que haya algún ν tal que ν<µ es que no se puededescartar el hecho de que las normas no siempre se incumplen, excepto cuando no es posibleobedecerlas. Ahora bien, siempre que es posible cumplir una norma se puede pensar enun mundo posible alternativo al actual en el que ésta sí se cumple. No se debe confundiresta consideración con el planteamiento del principio sollen-können, que se analizará másadelante.

12Cfr. Schotch, P. K. & Jennings R. E.: “Non-Kripkean Deontic Logic”, en Hilpinen, R.:New Studies in Deontic Logic, quienes proponen diversas estructuras modelos no kripkea-nas para la lógica deóntica.

Estas restricciones de losD−modelos se reflejan en las reglas de formacióndel árbol a través de la modificación de la definición de índices relativos alañadir la siguiente cláusula:

Definición 7.1. Como la definición 4.5, pero añadiendo:

e) ∀i, j ∈ Σ, i ∼D j syss i ∼ j o i = j y ∃k ∈ Σ tal que k ∼ i.

Aplicando (RD.) puede probarse la D − validez de los principales teo-remas del sistema estándar de lógica deóntica13. Los tres primeros árbolesprueban la D − validez de los axiomas característicos de D.

[AD1] α→ ♦α14

¬(α→ ♦α)/1<¬>α/1<2>

¬♦α/1<¬>¬α/1<2>

α/2¬α/2×

13He hecho una selección de las leyes y principios que Von Wright estudia en “DeonticLogic”. Concretamente, los teoremas [TD4]− [TD10] se corresponden con las que él llamóleyes sobre el compromiso (laws of commitment), que dan lugar a las famosas paradojassobre el compromiso, como la de Ross [TD11].

14En este árbol, el índice 2 no aparece en la secuencia al marcar una fórmula del tipo♦β, por lo que no es relativo al índice 1. Sin embargo, es necesario que haya al menosun µ1<µ2 por la definición dada de la relación de alternatividad en D, que contempla lacláusula de serialidad o idealización. O dicho de otro modo, un enunciado normativo deobligación sólo tiene sentido si hay al menos un mundo posible (ideal o no) en el que lanorma se cumple.

[AD2] (α ∧ β)↔ (α ∧β)

¬[(α ∧ β)↔ (α ∧β)]/1<¬>(α ∧ β)/1<2>

¬(α ∧β)/1<¬>

¬α/1<¬>♦¬α/1<2>

¬α/2α ∧ β/2<∧>

α/2×

¬β/1<¬>♦¬β/1<2>

¬β/2α ∧ β/2<∧>

α/2β/2×

[AD3] (α ∨ ¬α)

¬(α ∨ ¬α)/1<¬>♦¬(α ∨ ¬α)/1<2>

¬(α ∨ ¬α)/2<¬>¬α/2α/2×

[TD1] ♦α ∨ ♦¬α

¬(♦α ∨ ♦¬α)/1<¬>¬♦α/1<¬>¬♦¬α/1<¬>¬α/1<2>

¬¬α/1<2>

¬α/2¬¬α/2<¬>

α/2×

[TD2] (α ∨β)→ (α ∨ β)

¬[(α ∨β)→ (α ∨ β)]/1<¬>α ∨β/1<∨>¬(α ∨ β)/1<¬>

α/1<2>

♦¬(α ∨ β)/1<2>

¬(α ∨ β)/2<¬>α/2¬α/2×

β/1<2>

♦¬(α ∨ β)/1<2>

¬(α ∨ β)/2<¬>β/2¬α/2¬β/2×

[TD3] ♦(α ∧ β)→ (♦α ∧ ♦β)

¬[♦(α ∧ β)→ (♦α ∧ ♦β)]/1<¬>♦(α ∧ β)/1<2>

¬(♦α ∧ ♦β)/1<¬>α ∧ β/2<∧>

¬♦α/1<¬>α/2β/2

¬α/1<2>

¬α/2×

¬♦β/1<¬>α/2β/2

¬β/1<2>

¬β/2×

[TD4] (α ∧(α→ β))→ β15

¬[(α ∧(α→ β))→ β]/1<¬>α ∧(α→ β)/1<∧>

¬β/1<¬>α/1<2>

(α→ β)/1<2>

♦¬β/1<2>

¬β/2α/2

α→ β/2<→>

¬α/2×

¬β/2×

[TD5] (♦α ∧(α→ β))→ ♦β

¬[(♦α ∧(α→ β))→ ♦β]/1<¬>♦α ∧(α→ β)/1<∧>

¬♦β/1<¬>♦α/1<2>

(α→ β)/1<2>

¬β/1<2>

α/2α→ β/2<→>¬β/2

¬α/2×

β/2×

15Este teorema fue llamado por Von Wright ley de la obligación derivada. Da lugar alas conocidas paradojas de la obligación derivada, evidentemente emparentadas con lasparadojas de la implicación estricta:

1. ¬♦α→ (α→ β)

2. β → (α→ β)

Cfr. Åqvist, L.: Introduction to Deontic Logic and the Theory of Normative Systems, ca-pítulo II.

[TD6] (¬♦α ∧(β → α))→ ¬♦β

¬[(¬♦α ∧(β → α))→ ¬♦β]/1<¬>¬♦α ∧(β → α)/1<∧>

¬¬♦β/1<¬>¬♦α/1<¬>

(β → α)/1<2>

♦β/1<2>

¬α/1<2>

β/2β → α/2<→>¬α/2

¬β/2×

α/2×

[TD7] ((α→ (β ∨ γ)) ∧ ¬♦β ∧ ¬♦γ)→ ¬♦α

¬[((α→ (β ∨ γ)) ∧ ¬♦β ∧ ¬♦γ)→ ¬♦α]/1<¬>(α→ (β ∨ γ)) ∧ ¬♦β ∧ ¬♦γ/1<∧>

¬¬♦α/1<¬>(α→ (β ∨ γ)/1<2>

¬♦β/1<¬>¬♦γ/1<¬>♦α/1<2>

¬β/1<2>

¬γ/1<2>

α/2α→ (β ∨ γ)/2<→>

¬β/2¬γ/2

¬α/2×

β ∨ γ/2

β/2×

γ/2×

[TD8] ¬((α ∨ β) ∧ ¬♦α ∧ ¬♦β)

¬¬[(α ∨ β) ∧ ¬♦α ∧ ¬♦β]/1<¬>(α ∨ β) ∧ ¬♦α ∧ ¬♦β/1<∧>

(α ∨ β)/1<2>

¬♦α/1<¬>¬♦β/1<¬>¬α/1<2>

¬β/1<2>

(α ∨ β)/2<∨>¬α/2¬β/2

α/2×

β/2×

[TD9] (α ∧((α ∧ β)→ γ))→ (β → γ)

¬[(α ∧((α ∧ β)→ γ))→ (β → γ)]/1<¬>(α ∧((α ∧ β)→ γ))/1<∧>

¬(β → γ)/1<¬>α/1<2>

((α ∧ β)→ γ)/1<2>

♦¬(β → γ)/1<2>

¬(β → γ)/2<¬>α/2

((α ∧ β)→ γ)/2<→>β/2¬γ/2

¬(α ∧ β)/2<¬>

¬α/2×

¬β/2×

γ/2×

[TD10] (¬α→ α)→ α

¬[(¬α→ α)→ α]/1<¬>(¬α→ α)/1<2>

¬α/1<¬>♦¬α/1<2>

¬α/2(¬α→ α)/2<→>

¬¬α/2<¬>α/2×

α/2×

[TD11] α→ (α ∨ β)16

¬[α→ (α ∨ β)]/1<¬>α/1<2>

¬(α ∨ β)/1<¬>♦¬(α ∨ β)/1<2>

¬(α ∨ β)/2<¬>α/2¬α/2×

7.3. La reducción de la lógica deóntica a la ló-

gica modal alética. El sistema SK

Una vez analizados los D−modelos, merece la pena hacer algunas consi-deraciones sobre determinados aspectos relevantes relacionados con la lógicade las normas y la filosofía práctica.

16[TD11] es la conocida paradoja de Ross. Debe su nombre a Alf Ross, quien la enunciódiciendo que de este teorema se sigue, por ejemplo, que si es obligatorio poner una carta enel correo entonces también lo es ponerla en el correo o quemarla. Cfr. Ross, A.: “Imperativesand Logic” y también Directives and Norms, §33. Asimismo, cfr. Åqvist, L.: Introductionto Deontic Logic and the Theory of Normative Systems, capítulo II.


El filósofo Inmanuel Kant fue quien en primer lugar introdujo en el rue-do filosófico, en relación con sus disquisiciones acerca de la naturaleza de lalibertad humana, el problema de la obligatoriedad de hacer lo que no es posi-ble hacer17. Este principio, que declara que sólo puede ser obligatorio aquelloque es posible, recibe el nombre de principio sollen-können y ha sido amplia-mente estudiado desde una perspectiva lógica, por ejemplo, por Von Wrighten Norm and Action18. El estudio de este principio y su presencia en algunossistemas lógicos interesa en tanto que su tratamiento puede convertirse en lapuerta que introduzca en el ámbito de la lógica de las modalidades mixtas,deónticas y aléticas. Con este norte voy a realizar, en primera instancia, algu-nas consideraciones acerca de los intentos de reducción de la lógica deónticaa la lógica modal alética, centrando mi atención en las propuestas de A. R.Anderson, para esbozar posteriormente un sistema lógico mixto19.

La pretensión de reducir la lógica deóntica a la lógica de la necesidad y laposibilidad tiene un claro origen intuitivo en la proximidad que en las lenguasindoeuropeas existe entre los conceptos “se puede” y “está permitido”20. Noobstante, las propuestas que en este sentido han sido hechas por los lógicos,lejos de tener en cuenta el aspecto meramente lingüístico y, en última instan-cia, atávico de la relación entre ambas expresiones, se han decantado más porel establecimiento de sistemas en los que los operadores modales son interpre-tados como operadores aléticos. A. R. Anderson, cuyos sistemas expuestos en

17Para Kant, la libertad humana es la consecuencia de que sea posible para un hombreactuar como debe hacerlo, esto es: ateniéndose a los mandatos de las leyes morales puras,«que determinan a priori [...] lo que es preciso hacer o no hacer [...]. En efecto, comoella [la razón pura] proclama que estos actos deben tener lugar, es preciso también, porconsiguiente, que puedan tener lugar». Kant I.: Kritik der reinen Vernunft, A 807.

18Cfr, op. cit., capítulo VII.19En esta sección voy a distinguir entre el uso alético y el deóntico de los operadores

modales al escribirlos de distinta forma, evitando así confusiones innecesarias. De modoque los operadores aléticos correspondientes a y a ♦ van a ser N y M , en tanto que losdeónticos serán O y L, respectivamente.

20Quiero expresar aquí con estos giros la distinción que en inglés, por ejemplo, es másevidente entre los verbos can y may, ambos traducidos al español habitualmente por“poder”.


“The Formal Analysis of Normative Systems” y en “The Formal Analysis ofNormative Concepts” (este último artículo escrito en colaboración con O. K.Moore) voy a tomar aquí como modelo para analizar este tipo de reducciones,representa un caso característico y muy útil para mi argumentación21.

En “The Formal Analysis of Normative Systems”, sobre una base axiomá-tica de lógica proposicional más tres axiomas modales22, Anderson proponeañadir el axioma deóntico siguiente, al que llamaré Axioma de Anderson:

[AA] M¬S

donde S es una constante proposicional ya interpretada23, así como las si-guientes definiciones, con el objeto de obtener un sistema normativo:

Lα =def M(α ∧ ¬S)

Oα =def ¬L¬α

Estas definiciones son modificadas en “The Formal Analysis of NormativeConcepts” donde propone las alternativas:

21Lennart Åqvist en el capítulo IV de Introduction to Deontic Logic and the Theoryof Normative Systems ofrece diez sistemas diferentes de lógica modal alética con unaconstante proposicional como representación de los respectivos sistemas de lógica deónticamonádica.

22Estos axiomas son (i) α → Mα, (ii) M(α ∨ β) ↔ (Mα ∨Mβ) y (iii) ¬M(α ∧ ¬α).En realidad se trata del sistema M de Von Wright, el cual, con la debida modificación delaxioma (i), da lugar al sistema D, antes descrito.

23En efecto, la proposición S indica en el sistema de Anderson la existencia de unasanción. Así, dice en “The Formal Analysis of Normative Systems”: «Un estado de cosas pes obligatorio si la falsedad de p implica necesariamente la sanción S; p está prohibido sip implica necesariamente la sanción S; p está permitido si es posible que p sea verdaderosin que lo sea la sanción». Cfr. op. cit., página 170. Más tarde, en “The Formal Analysisof Normative Concepts”, Anderson define la proposición S en función de una constante Bno interpretada, pero que en palabras del propio autor indica oblicuamente un estado decosas malo. La definición en cuestión es S =def M¬B ∧B, lo que provoca la modificacióndel axioma de Anderson en los siguientes términos:

[AA∗] M¬(M¬B ∧B)


Lα =def M¬α ∧M(α ∧ ¬S)

Oα =def (Mα ∧M¬α) ∧ ¬M(¬α ∧ ¬S)

Si se analizan correctamente las dos nuevas definiciones de los operadoresdeónticos se comprueba que en ambas las modificaciones efectuadas suponenla asunción del principio sollen-können, que no era asumido por las anteriores.La primera de ambas definiciones establece que decir que está permitido α eslo mismo que decir que es posible que no sea el caso que α y que es posible quelo sea sin que haya sanción; la segunda establece que decir que es obligatorioα es lo mismo que afirmar que son posibles tanto α como ¬α, pero que esimposible que ¬α sea el caso sin que haya sanción.

La interpretación de las normas hecha por Anderson es, sin lugar a du-das, ingeniosa, pero depende del concepto de sanción, cuya adición en formade constante proposicional interpretada complica en exceso la elegante sim-plicidad de la lógica modal alética. La posterior sustitución de la constanteproposicional S por la constante proposicional B no simplifica para nadael sistema, sino todo lo contrario. Ahora bien, la velada interpretación queel propio Anderson hace al dejar entrever que la constante proposicional Bhace referencia a un estado de cosas malo recuerda mucho toda la discusiónmantenida en esta tesis acerca del carácter de los mundos posibles. De hecho,las intuiciones de Anderson son perfectamente asumibles por la semántica delos mundos posibles en un sistema en el que se tenga en cuenta el princi-pio sollen-können. Creo por tanto conveniente discutir un sistema deónticomixto obtenido sobre la base del sistema D mediante la adición del referidoprincipio. Para ello, es importante determinar en primer lugar cuál es la másconveniente formalización del principio sollen-können.

Atendiendo a la definición dada al comienzo de la sección, el principioestablece que sólo puede ser obligatorio aquello que es posible. Con ella sigode cerca el planteamiento de Von Wright en Norma y Acción cuando proponeexplícitamente la siguiente definición del principio:


«Que algo sea el contenido de una prescripción entraña que elsujeto de la prescripción pueda hacer dicho algo»24.

Posteriormente, después de haber apuntado la inconveniencia de los con-ceptos “entraña lógicamente” e “implica lógicamente” en este contexto, VonWright ofrece la redefinición siguiente:

«Que haya una prescripción que encarece o permite una deter-minada cosa presupone que el sujeto (sujetos) de la prescripciónpueda hacer lo que se encarece o permite»25.

De este análisis se desprende que la relación que se establece entre la obliga-toriedad y la posibilidad no es una relación de implicación lógica, sino másbien de presuposición deóntica. El principio sollen-können es un presupuestonormativo, lo que ha de quedar plasmado en su formalización.

Jaakko Hintikka también aborda esta discusión en términos similares.Frente a la formulación del principio mediante la fórmula

Oα→Mα

Hintikka propone un tipo de relación diferente entre la obligatoriedad deuna norma y la posibilidad de cumplirla. Prefiere tratar el principio sollen-können como una implicación deóntica y propone la siguiente fórmula:

[SK] O(Oα→Mα)26

Esta es la formulación del principio que voy a adoptar aquí, porque entiendoque es la más conveniente y adecuada a los análisis efectuados por el mismoVon Wright.

Añadido, por tanto, el axioma [SK] al sistema D se obtiene un sistemamixto, al que llamaré SK, cuyo SK −modelo se comportará en lo principal

24Cfr. op. cit., página 125.25Ibidem, página 126.26Cfr. Hintikka, J.: “Deontic Logic and its Philosophical Morals”, en Models for Modali-

ties, pp.: 196–199.

como un T −modelo para los operadores aléticos y un D −modelo para losoperadores deónticos. Las reglas de formación del árbol en SK no difieren endemasía de las propias de los T −modelos y de los D−modelos, excepto porla necesaria distinción en la secuencia entre índices T − relativos e índicesD − relativos, ya definidos27.

Las reglas de formación del árbol en el sistema SK son, por tanto,(RSK .M) = (RSK .L) = (R.♦), (RSK .N) = (RT .) y (RSK .O) = (RD.). Heaquí la prueba de validez de algunos teoremas de SK:

[SK] O(Oα→Mα)

¬O(Oα→Mα)/1<¬>L¬(Oα→Mα)/1<2>

¬(Oα→Mα)/2<¬>Oα/2<2>

¬Mα/2<¬>N¬α/2<2>

¬α/2α/2×

[TSK1] O(Nα→ Lα)

¬O(Nα→ Lα)/1<¬>L¬(Nα→ Lα)/1<2>

¬(Nα→ Lα)/2<¬>Nα/2<2>

¬Lα/2<¬>α/2

O¬α/2<2>

¬α/2×

27Cfr. definiciones 4.5(a) y 7.1.

[TSK2] NOα→ Oα

¬(NOα→ Oα)/1<¬>NOα/1<1>

¬Oα/1<¬>Oα/1<2>

L¬α/1<2>

¬α/2α/2×

[TSK3] Lα→MLα

¬(Lα→MLα)/1<¬>Lα/1<2>

¬MLα/1<¬>α/2

NO¬α/1<1>

O¬α/1<2>

¬α/2×

[TSK4] N(Oα→ Lα)

¬N(Oα→ Lα)/1<¬>M¬(Oα→ Lα)/1<2>

¬(Oα→ Lα)/2<¬>Oα/2<3>

¬Lα/2<¬>O¬α/2<3>

α/3¬α/3×

En este último árbol, la cuarta y sexta fórmulas se marcan con el índice3 por la misma razón dada anteriormente para [AD1]. No se marcan con elíndice 2 aparecido en la secuencia puesto que 1 ∼T 2, pero no 1 ∼D 2.

Capítulo 8

Corrección y completitud

8.1. El cálculo CD*

En la presente sección va a ser definido un cálculo deductivo que llamarécálculo CD∗1. Este cálculo tiene la ventaja sobre los denominados cálculosdeductivos naturales de que no sólo es útil para obtener resultados en losdiferentes sistemas normales de lógica modal sino también para obtener re-sultados acerca de dichos sistemas. Esto es, se va a utilizar el cálculo CD∗

en la obtención de determinados resultados metateóricos sobre los sistemasnormales de lógica modal2.

Definición 8.1. Una CD∗ − expresion es toda expresión que verifica losiguiente:

1. ⊥ es una CD∗ − expresion.

2. Si α es una sentencia e i es un índice cualquiera entonces α/i es unaCD∗ − expresion.

1El presente cálculo CD∗ para lógica modal está basado en el cálculo homónimo paralógica de predicados eneádicos desarrollado por E. Díaz Estévez, aún inédito.

2En cualquier caso, en el capítulo 10 se presenta también un cálculo deductivo naturalpara lógica modal.

129

CAPÍTULO 8. CORRECCIÓN Y COMPLETITUD 130

3. Si α/i es una CD∗ − expresion entonces:

a) −α/i (llamada hipótesis) es una CD∗ − expresion;

b) dα/i, | α/i y bα/i (llamadas expresiones canceladas) son CD∗ −expresiones;

c) −α− (llamada expresión tachada) es una CD∗ − expresion.

4. 4. Nada más es una CD∗ − expresion.

Definición 8.2. Una CD∗−secuencia Σ es una secuencia de CD∗−expresiones.

Definición 8.3. Una CD∗ − expresion α/i o bien dos CD∗ − expresionesconsecutivas α/i y β/j que ocurren en una dada CD∗ − secuencia Σ deCD∗− expresiones provienen en Σ de una dada CD∗− expresion γ/h ∈ Σanterior (o de un par de CD∗ − expresiones ϑ/h, ζ/h ∈ Σ anteriores) si ysólo si se verifica que:

1. α/i es ⊥ y ya γ/h es ¬(a = a)/i o −¬(a = a)/i, ya ϑ/h y ζ/h son δ/iy ¬δ/i o −δ/i y ¬δ/i, respectivamente.

2. α/i es δ/i y γ/h es ¬¬δ/i o −¬¬δ/i;

3. α/i y β/j son respectivamente δ/i y η/i, y γ/h es δ ∧ η/i o −δ ∧ η/i;

4. α/i y β/j son respectivamente ¬δ/i y ¬η/i, y γ/h es ¬(δ ∨ η)/i o−¬(δ ∨ η)/i;

5. α/i y β/j son respectivamente δ/i y ¬η/i, y γ/h es ¬(δ → η)/i o−¬(δ → η)/i;

6. α/i es −δ/i y γ/h es δ ∨ η/i o −δ ∨ η/i;

7. α/i es −¬δ/i y γ/h es ¬(δ ∧ η)/i o −¬(δ ∧ η)/i, o bien (δ → η)/i o−(δ → η)/i;


8. α/i es δ/i, donde i es el menor índice que no ocurre en ninguna CD∗−expresion de la CD∗ − secuencia Σ anterior a α/i, y γ/h es ♦δ/h o−♦δ/h;

9. α/i es ¬δ/i, donde i es el menor índice que no ocurre en ningunaCD∗ − expresion de la CD∗ − secuencia Σ anterior a α/i, y γ/h es¬δ/h o −¬δ/h;

10. α/i es δ/i, donde i es un índice que ocurre en alguna CD∗− expresionde la CD∗ − secuencia Σ anterior a α/i, y γ/h es δ/h o −δ/h;

11. α/i es ¬δ/i, donde i es un índice que ocurre en alguna CD∗−expresionde la CD∗ − secuencia Σ anterior a α/i, y γ/h es ¬♦δ/h o −¬♦δ/h;

12. α/i es δ(a)/i, donde a es el primer parámetro que no ocurre en ningunaCD∗ − expresion de la CD∗ − secuencia Σ anterior a α/i, y γ/h es∃xδ(x)/i o −∃xδ(x)/i;

13. α/i es ¬δ(a)/i, donde a es el primer parámetro que no ocurre en nin-guna CD∗− expresion de la CD∗− secuencia Σ anterior a α/i, y γ/hes ¬∀xδ(x)/i o −¬∀xδ(x)/i;

14. α/i es δ(a)/i, donde a es un parámetro que ocurre en alguna CD∗ −expresion de la CD∗ − secuencia Σ anterior a α/i (o el primer pará-metro si con anterioridad a α/i no ocurre ningún parámetro en Σ), yγ/h es ∀xδ(x)/i o −∀xδ(x)/i;

15. α/i es ¬δ(a)/i, donde a es un parámetro que ocurre en alguna CD∗ −expresion de la CD∗ − secuencia Σ anterior a α/i (o el primer pará-metro si con anterioridad a α/i no ocurre ningún parámetro en Σ), yγ/h es ¬∃xδ(x)/i o −¬∃xδ(x)/i.

Definición 8.4. Si Σ es una CD∗ − secuencia cualquiera, Γ es una CD∗ −secuencia de CD∗ − expresiones consecutivas dβ/i, | ϑ1/j, ... | ϑn/k, b⊥ >


tal que Γ ⊂ Σ y α/h es una CD∗ − expresion, se dice que α/h provienede la secuencia Γ en Σ syss α/h ocurre en Σ inmediatamente después de laúltima expresión de Γ y −β/i proviene en Σ de β ∨α/i o bien β/i es ¬δ/i y−β/i proviene de δ → α/i o de ¬(δ ∧ γ)/i, siendo α en este caso la fórmula¬γ.

Definición 8.5. Una CD∗ − expresion α/i ∈ Σ está usada si y sólo si conposterioridad a ella ocurren en Σ todas las CD∗−expresiones que provienende α/i en Σ.

Definición 8.6. Una CD∗ − secuencia Γ ⊂ Σ de CD∗ − expresiones con-secutivas canceladas tales que la primera es una hipótesis y la última es lafórmula ⊥ está usada en Σ syss la CD∗ − expresion γ/i que proviene de Γocurre en Σ inmediatamente después de la última de las CD∗− expresionesde Γ .

Definición 8.7. Una CD∗− secuencia de una sentencia α (abreviadamenteΣα) es cualquiera de las más pequeñas secuencias de CD∗−expresiones queverifican:

1. La primera CD∗ − expresion de Σα es α/1.

2. a) Si enΣα ocurre un par de CD∗−expresiones del tipo β/i y ¬β/i obien una CD∗−expresion de la forma ¬(a = a)/i no previamentecanceladas ni tachadas entonces ⊥ ocurre en Σα inmediatamentedespués.

b) Si ⊥ ocurre en Σα y anteriormente a ella no ocurre ninguna hi-pótesis no previamente cancelada entonces ⊥ es la última CD∗ −expresion de Σα y sólo en ese caso se dice que Σα es cerrada.


c) Si ⊥ ocurre en Σα posteriormente a una hipótesis no previamentecancelada, todas las CD∗ − expresiones de la subsecuencia quecomienza con la hipótesis no cancelada anterior a ⊥ y termina con⊥ están canceladas, ambas inclusive.

d) Si (a = b)/i3 ocurre no previamente cancelada ni tachada en Σα,siendo b y a parámetros diferentes de modo que b aparece en Σαcon posterioridad al parámetro a, entonces:

1) Todas las CD∗ − expresiones β(b)/i ∈ Σα no previamentecanceladas ni tachadas anteriores a (a = b)/i están tachadas.

2) Por cada CD∗ − expresion de la forma β(b)/i ∈ Σα queesté tachada ocurre después de (a = b)/i la CD∗− expresionβ(a)/i.

e) Si Σα no está cerrada entonces toda CD∗ − expresion de Σαque no está cancelada o tachada está usada y toda secuencia deCD∗ − expresiones consecutivas canceladas en Σα está usada.

Definición 8.8. Una CD∗ − demostracion de α en el sistema S (`S α) esla CD∗ − secuencia Σ¬α que es cerrada.

Definición 8.9. Una CD∗ − deduccion de α en el sistema modal S a partirdel conjunto de fórmulas Γ (Γ `S α) es una CD∗ − demostracion en elsistema S de ¬(γ ∧ α), donde γ es la conjunción de algún subconjunto finito(propio o impropio) de fórmulas del conjunto Γ .

Definición 8.10. El cálculo CD∗ es el conjunto de las sentencias α tales quela CD∗ − secuencia de ¬α es cerrada.

3O bien (b = a)/i.


El cálculo CD* de lógica modal de predicados de primer orden puedepresentarse también brevemente a través de los esquemas correspondientes asus reglas de inferencia4:

A) Reglas de eliminación del negador:

¬(β ∨ δ)/i¬β/i¬δ/i

¬(β ∧ δ)/i5

d¬β/i

| ...b ⊥¬δ/i

¬(β → δ)/i

β/i

¬δ/i

¬¬β/iβ/i

¬∃xβ(x)/i Donde ak, ...an son todos los parámetros aparecidos enla CD∗ − secuencia en CD∗ − expresiones notachadas asociadas a un índice cualquiera j tal quej ∼S i (o uno nuevo en su defecto).

¬β(ak)/i...

¬β(an)/i

¬∀xβ(x)/i Donde an es un parámetro no aparecido anteriormenteen la CD∗ − secuencia.¬β(an)/i

¬β/i Donde j es un índice no aparecido anteriormente en laCD∗ − secuencia. En este caso se dice que i ∼S j endicha CD∗ − secuencia.

¬β/j

4Si se prescinde de los índices y de las reglas propias de los operadores de modalidad,el cálculo CD∗ es equipotente con un cálculo deductivo natural tipo Gentzen de lógicade primer orden, lo que se puede demostrar derivando todas las reglas de CD∗ en CD yviceversa.

5Este esquema no puede ser considerado él mismo como una regla de inferencia, sinocomo la abreviatura de dos reglas de inferencia diferentes:

¬(β ∧ δ)/id¬β/i

¬(β ∧ δ)/id¬β/i

|...

b ⊥¬δ/i


¬♦β/i Donde j, ...k son todos los índices que aparecen en laCD∗ − secuencia asociados a cualesquieraCD∗ − expresiones no canceladas tales quei ∼S j, ...i ∼S k.

¬β/j...

¬β/k

B) Reglas de eliminación de los signos conectivos lógicos:

δ ∧ β/iδ/i

β/i

δ ∨ β/i6

dδ/i

| ...b ⊥β/i

δ → β/i7

d¬δ/i

| ...b ⊥β/i

C) Reglas de eliminación de los operadores lógicos:

∀xβ(x)/i Donde ak, ...an son todos los parámetros aparecidos enla CD∗ − secuencia en CD∗ − expresiones notachadas asociadas a un índice cualquiera j tal quej ∼S i (o uno nuevo en su defecto).

β(ak)/i...

β(an)/i

∃xβ(x)/i Donde an es un parámetro no aparecido anteriormenteen la CD∗ − secuencia.β(an)/i

6Como en el caso anterior, este esquema no puede ser considerado él mismo como unaregla de inferencia, sino como la abreviatura de dos reglas de inferencia diferentes:

β ∨ δ/idβ/i

β ∨ δ/idβ/i

|...b ⊥δ/i

7Tampoco este esquema puede ser considerado él mismo como una regla de inferencia,sino como la abreviatura de dos reglas de inferencia diferentes:

β → δ/i

d¬β/i

β → δ/i

d¬β/i

|...b ⊥δ/i


♦β/i Donde j es un índice no aparecido anteriormente en laCD∗ − secuencia. En este caso se dice que i ∼S j endicha CD∗ − secuencia.

β/j

β/i Donde j, ...k son todos los índices que aparecen en laCD∗ − secuencia asociados a cualesquieraCD∗ − expresiones no canceladas tales quei ∼S j, ...i ∼S k.

β/j...

β/k

D) Regla de sustitución de la identidad:

a = b/i

Donde δ1, ...δn son todas las fórmulas que aparecen enla CD ∗ −secuencia en las cuales se da la constanteindividual b, aparecida después de a.

δ1(b)/i...

δn(b)/i

δ1(a)/i...

δn(a)/i

E) Reglas de introducción de ⊥:

¬(a = a)/i

⊥

β/i

¬β/i⊥

8.2. Corrección y completitud

El cálculo CD∗ es un cálculo normalizado, ya que toda demostración enCD∗—y toda deducción en consecuencia, como se aprecia por las definiciones8.8 y 8.9— está ya en forma normal de suyo; esto es, solamente hay unaposible CD∗−secuencia construida a partir de una fórmula α cualquiera. Enrealidad, las reglas de CD∗ están emparentadas con las reglas de formacióndel árbol semántico, estando ⊥ por el aspa que en el árbol simboliza el cierre


de una secuencia. De este modo, una CD∗ − secuencia puede considerarsecomo una construcción a partir de un árbol semántico, estableciendo unaserie de CD∗ − expresiones mediante la unión de las series de las diferentessubramas que lo componen. Cuando se llega a la fórmula ⊥ se cancelantodas las fórmulas de la subrama y se coloca en la serie la primera de lasiguiente subrama. Si todas las ramas están canceladas al final entonces seha construido una demostración de la negación de la fórmula original.

Sea, por ejemplo, la CD∗ − demostracion `T (¬α→ α)→ α:

1. ¬((¬α→ α)→ α)/12. (¬α→ α)/13. ¬α/14. ♦¬α/15. ¬α/26. ¬α→ α/17. ¬α→ α/28. d¬¬α/29. | α/210. b⊥11. α/212. ⊥

El siguiente es otro ejemplo, esta vez en lógica de predicados de primerorden. Sea la CD∗ − demostracion `T ∀xα(x)→ ∀xα(x):

1. ¬(∀xα(x)→ ∀xα(x))/12. ∀xα(x)/13. ¬∀xα(x)/14. ∃x♦¬α(x)/15. ♦¬α(a)/16. ¬α(a)/27. ∀xα(x)/18. ∀xα(x)/29. α(a)/210. ⊥


En cambio, la CD∗− secuencia correspondiente a `T [FB] no es cerradapor las mismas causas que AT¬[FB] no se cerraba tampoco:

1. ¬(∀xα(x)→ ∀xα(x))/12. ∀xα(x)/13. ¬∀xα(x)/14. ♦∃x¬α(x)/15. ∃x¬α(x)/26. ¬α(a)/27. α(b)/18. α(b)/2

Todas las CD∗ − expresiones de Σ¬[FB] han sido usadas sin que apa-rezca ⊥. Por tanto, la CD∗ − secuencia anterior es una prueba contra lademostrabilidad de [FB] en el sistema T .

Una de las virtudes de este cálculo CD∗ es la facilidad que concede a lahora de obtener determinados resultados metateóricos como en el caso de laspruebas de corrección y de completitud.

Teorema 8.11. ASα es cerrado syss hay una CD∗ − secuencia Σα que escerrada.

Demostración. Es evidente por la misma definición del cálculo CD∗ (defini-ción 8.10) y de CD∗ − secuencia de una sentencia (definición 8.7), así comopor la definición de cierre de un árbol semántico (definición 4.6).

Del teorema anterior se sigue el siguiente corolario por la definición 8.8:

Corolario 8.12. ASα es cerrado syss `S ¬α.

Mediante este corolario y el teorema fundamental de los árboles semán-ticos se obtiene fácilmente la demostración del siguiente teorema:

Teorema 8.13. `S α syss |=S α.


Demostración. Por el corolario del teorema 8.11 se tiene que `S α syss AS¬αes cerrado. A la vez, por el corolario 4.13 se sabe que AS¬α es cerrado syss|=S α. Luego `S α syss |=S α.

De este modo, mediante una prueba basada en el teorema fundamental delos árboles semánticos, mucho más económica que las pruebas tipo Henkin,se logra demostrar la corrección y la completitud de los diferentes sistemasnormales de lógica modal estudiados.

Capítulo 9

Apéndice

9.1. Otros procedimientos semánticos de deci-

sión

El procedimiento de los árboles semánticos desarrollado en el cuerpo deesta tesis está concebido para obtener toda clase de resultados metateóricossobre los diferentes sistemas de lógica modal tratados. Es un procedimientoefectivo de decisión por lo que a los sistemas normales de lógica modal deproposiciones se refiere, pero, evidentemente, no es el único posible. Quierorevisar aquí brevemente otros procedimientos usados por diversos autoresespecialmente relevantes para la concepción del procedimiento expuesto.

En Symbolic Logic, Lewis y Langford utilizaron un procedimiento de de-cisión basado en matrices de valores proposicionales para los diferentes sis-temas. En los apéndices II y III de la edición de 1959 introducen bastantesde estas matrices para demostrar que ninguno de los cinco sistemas propues-tos es deductivamente equivalente a los demás. Para ello demuestran queel axioma característico de S2 no es un teorema de S1, ni el de S3 de S2,etcétera1.

1La matriz para la prueba de independencia de [S3.1] —cfr. capítulo uno— respecto deS2 es una matriz de ocho valores que no se debe a los propios Lewis y Langford, sino a

140

CAPÍTULO 9. APÉNDICE 141

A grandes rasgos, el procedimiento se desenvuelve de la siguiente manera.Para la demostración de que [S2.1]2 es independiente de la base axiomática deS1 se necesita una matriz de cuatro valores 1, 2, 3, 4. Los valores designadospara los teoremas de S1 son 1 y 2, de modo que basta con comprobar quetodos los axiomas de S1 tienen tales valores en sus matrices, en tanto que[S2.1] tiene también otros valores no designados; y todo ello con la ayuda delas siguientes matrices básicas:

p ∼ p ♦p

1 4 12 3 23 2 14 1 3

p q 1 2 3 4

1 1 2 3 42 2 2 4 43 3 4 3 44 4 4 4 4

De éstas se obtiene la matriz para el signo :

p q 1 2 3 4

1 2 4 3 42 2 2 3 33 2 4 2 44 2 2 2 2

De esta forma, cuando p = 2 y q = 4, [S2.1] = 4, que no es un valordesignado, lo que se demuestra del siguiente modo:

♦(p q) ♦p =⇒ ♦(2, 4) ♦2 =⇒ ♦4 ♦2 =⇒ 3 2 =⇒ 4

El procedimiento de matrices de Lewis y Langford es, evidentemente, bas-tante más complejo que el de árboles semánticos y muy poco atractivo desdeun punto de vista semántico. Más interesante sería si se pudiesen reducir lasmatrices a tablas de verdad. Esto es lo que hizo Von Wright en su Ensayo delógica modal. El procedimiento de Von Wright consiste en reducir la fórmula

Parry, quien la propuso dos años después de la primera edición de Symbolic Logic.2Cfr. capítulo uno.


de lógica modal de proposiciones que hay que evaluar a su forma normaldisyuntiva perfecta, a partir de lo cual se construye su tabla de verdad. Paraello, en su sistema M1 a los principios propios de la lógica de proposicio-nes Von Wright añade los siguientes principios modales (que yo transcribo,formalizándolos en la notación habitual en este trabajo):

Principio de M − distribucion: ` ♦(α ∨ β)⇒` ♦α ∨ ♦β

Principio de M − extensionalidad: ` α↔ β ⇒` ♦α↔ ♦β

Principio (restrictivo) de posibilidad: ` ♦α ∨ ♦¬α

Principio de M − tautologıa: ` α⇒` α

Valiéndose de estos principios, reduce toda fórmula a sus componentes míni-mos en forma normal disyuntiva perfecta para realizar sobre estos una tablade verdad. Por ejemplo3, sea la fórmula (♦α ∧ (α → β)) → ♦β. Por ladefinición de los operadores ♦ y , esta fórmula es equivalente a la fórmula(♦α ∧ ¬♦¬(α → β))→ ♦β. La forma normal disyuntiva de las subfórmulasmodalizadas son (α ∧ β) ∨ (α ∧ ¬β), α ∧ ¬β y (α ∧ β) ∨ (¬α ∧ β). Los cons-tituyentes mínimos de la forma normal disyuntiva perfecta de esta fórmulason, por tanto, ♦(α ∧ ¬β), ♦(α ∧ β) y ♦(¬α ∧ β).

♦(α ∧ ¬β) ♦(α ∧ β) ♦(¬α ∧ β) ♦α ¬♦(α ∧ ¬β) ♦β (♦α ∧(α→ β))→ ♦β

V V V V F V V

V V F V F V V

V F V V F V V

V F F V F F V

F V V V V V V

F V F V V V V

F F V F V V V

F F F F V F V

3El ejemplo está tomada del propio Von Wright. Cfr. Von Wright, G. H.: Ensayo delógica modal, pp.: 37–38.


El procedimiento de Von Wight, con ser más directo que el de Lewis yLangford, ya que evita las engorrosas matrices numéricas, puede convertirseen un procedimiento muy incómodo cuando se evalúan fórmulas del sistemaM1 con más subfórmulas atómicas constituyentes que en el ejemplo descritoo cuando se trabaja con sistemas que permiten lo que Von Wright llamamodalidades de orden superior, es decir: modalidades iteradas.

Saul Kripke sigue un procedimiento similar al de los árboles semánti-cos. De hecho, el procedimiento de tablas semánticas de Kripke, basado enel de Beth para lógica de predicados de primer orden, está en la base delprocedimiento expuesto en este trabajo, puesto que ambos se inspiran enprincipios idénticos. Cada tabla semántica está compuesta por dos secuen-cias de fórmulas obtenidas mediante la aplicación de reglas similares a las delprocedimiento de los árboles semánticos para lógica modal de proposicionessobre una primera fórmula α. En la secuencia de la izquierda se colocan lasfórmulas verdaderas que va generando la aplicación de las reglas, mientrasque en la secuencia de la derecha se colocan las fórmulas falsas. Por cadafórmula no atómica que aparezca en una de las dos secuencias de la tablase aplica una de las reglas dependiendo del signo principal de la fórmula.Cuando aparece una fórmula de la forma β ∨ γ o de la forma β → γ en lasecuencia izquierda, o bien una fórmula de la forma β ∧ γ en la secuenciaderecha, entonces cabe extender la tabla original de dos formas diferentes, loque origina dos tablas, cada una de ellas contemplando una de las alternati-vas (se tiene, por así decirlo, dos formas alternativas del mismo mundo). Deigual modo, si se tiene una fórmula de la forma ♦β en la secuencia de la iz-quierda o una fórmula de la forma β en la secuencia de la derecha se obtieneuna nueva tabla auxiliar donde aparece la fórmula β (lo que se correspondea un nuevo mundo posible relacionado con el primero). Si una fórmula y sucontraria aparecen en la misma secuencia de una tabla o una misma fórmulaaparece a izquierda y derecha en la misma tabla, ésta es cerrada y provee uncontraejemplo contra la fórmula inicial. Sea por ejemplo la siguiente tabla


S4 que comienza con (α ∧ β) a la izquierda y (α ∧β) a la derecha4:

(α ∧ β) (α ∧β)

(α ∧ β)

α

β −→t1

α ∧ β α ∧βα α

β

−→t2,2

(α ∧ β) α

(α)

(β)

t3

(α ∧ β) (α ∧β)

(α ∧ β)

α

β −→t1

α ∧ β α ∧βα β

β

−→t2,2

(α ∧ β) β

(α)

(β)

t3

Cada grupo de tres tablas muestra una alternativa de evaluación y enambos aparece en una de las tablas una misma fórmula a derecha e izquierda(α en el primer caso y β en el segundo, en las dos ocasiones en la tabla t3).La flecha indica la relación entre las tablas, que es reflexiva y transitiva enel caso de las tablas S4.

También similar en algunos aspectos relevantes al método de los árbolessemánticos es el utilizado por Hughes y Cresswell en An Introduction to ModalLogic. Hughes y Cresswell aúnan el procedimiento de las tablas de verdad (enuna versión simplificada a un caso relevante de las mismas) y de las tablassemánticas en su procedimiento de cajas semánticas. La fórmula que hayque evaluar se encierra en una caja mu1 y se la supone falsa. Se siguenlas consecuencias de esta hipótesis de modo que, cuando una subfórmulamodalizada de la fórmula inicial de la forma ♦α es verdadera entonces se abreuna nueva caja con la fórmula α marcada como verdadera, e igualmente encaso de que la subfórmula en cuestión sea de la forma α, pero marcada como

4Corresponde, por tanto, a la tabla de la fórmula (α ∧ β) → (α ∧ β). Cfr.Kripke, S.: “Semantical Analysis of Modal Logic II: Normal Modal Propositional Calculi”,pp.: 74–76.


falsa en este caso. De la caja inicial sale entonces una flecha hacia la nuevacaja y se las considera relacionadas. Cualquier contradicción a la que se lleguesupone, evidentemente, que la hipótesis inicial era falsa. Sea por ejemplo eldiagrama T de la fórmula (p→ ♦(q → r))→ ♦(q → (p→ ♦r))5:

mu1 ∗1(p1 →1 ♦∗1(q1 →0 r0))→0 ♦∗0(q1 →0 (∗1p1 →0 ♦∗0r0))

↓mu2 p1 →1 r0 p→1 ♦(q → r) q1 →0 (p→ ♦r) p1 r0

Los cuatro procedimientos descritos son cuatro formas diferentes de abor-dar el significado de las modalidades. Ninguno es apto para la lógica modalde predicados de primer orden, excepto el procedimiento de las tablas se-mánticas de Beth usado por Kripke, que, como queda dicho, responde a losmismos criterios que el procedimiento de los árboles semánticos, con la venta-ja de que este último, basado en la presentación de Smullyan en First-OrderLogic, al resumir todo el proceso en un único diagrama, es más simple yelegante. Lo mismo cabe decir con respecto al procedimiento de las cajassemánticas de Hughes y Cresswell, con la ventaja adicional sobre ambos deque el procedimiento de los árboles semánticos permite pruebas metateóricasimportantes mucho más simples que las habituales basadas en el concepto demundo posible.

9.2. Un cálculo deductivo natural modal

El siguiente cálculo para lógicas modales está basado en F. B. Fitch a par-tir de Melvin Fitting6. Como base se tienen las reglas de un cálculo deductivotipo Gentzen:

5Cfr. Hughes, G. E. & Cresswell, M. J.: Introducción a la lógica modal, página 80.6Cfr. Fitch, F. B.: Symbolic Logic, an Introduction, y Fitting, M.: Proof Methods for

Modal and Intuitionistic Logics, pp.: 153–190. Para el caso concreto de los cálculos delógica deóntica cfr. también Fitch, F. B.: “Natural Deduction Rules for Obligation”.


Absurdo

dα

| ...b⊥¬α

¬¬αDoble negación

α

Productoα

β

α ∧ β

α ∧ βSimplificación 1

α

Simplificación 2α ∧ ββ

αAdjunción 1

α ∨ β

Adjunción 2β

α ∨ β

α ∨ β

Casos

dα

| ...bγdβ

| ...bγγ

Teorema de la deducción

dα

| ...bγ

α→ γ

α→ γ

Modus Ponensα

γ

A estas reglas del cálculo deductivo de proposiciones hay que añadir las delcálculo modal. Siguiendo a Fitting voy a distinguir entre dos tipos diferentesde reglas:

1. Reglas de interpretación particularista de los mundos posi-bles (I-style rules). En este tipo de reglas, un subproceso estricto(marcado en la deducción por una doble raya para diferenciarlo de los


subprocesos deductivos habituales) sólo se abre cuando aparece unafórmula del tipo ♦α y se cancela con la regla (E.♦):

♦α

(E.♦)

Vα

‖ ...T⊥⊥

2. Reglas de interpretación genérica de los mundos posibles (A-style rules). Un subproceso estricto puede abrirse en cualquier mo-mento, cancelándose con la regla (I.):

Vα

(I.)‖ ...Tββ

Es necesario no confundir las reglas (E.♦) y (I.). Fitting proponeuna notación diferente para el subproceso si se van a utilizar conjun-tamente, pero considero que no es necesario si se las entiende comoreglas diferentes con sus procesos restringidos a determinado tipo deconclusiones7.

3. Regla de introducción de fórmulas en un subproceso estricto.Cuando hay abierto un subproceso estricto, el conjunto de las fórmu-las ϕ(Γ ) que puede añadirse a la deducción se obtiene aplicando lasiguiente regla8:

7Cfr. Fitting, M.: Proof Methods for Modal and Intuitionistic Logics, página 185.8Por supuesto, en el subproceso, además del conjunto de fórmulas ϕ(Γ ), aparecen tam-

bién todas aquellas fórmulas que se obtengan al aplicar algunas de las reglas del cálculodeductivo modal a una o más fórmulas incluidas en el subproceso estricto abierto.


Γ

V α

‖ ...‖ϕ(Γ )

‖ ...

El conjunto ϕ(Γ ) se define del siguiente modo para cada uno de losdiferentes sistemas normales:

K :

D :

T :

β ∈ ϕ(Γ ) syss β ∈ Γ

B: β ∈ ϕ(Γ ) syss β ∈ Γ y ♦β ∈ ϕ(Γ ) syss β ∈ Γ

S4: β ∈ ϕ(Γ ) syss β ∈ Γ

S5: β ∈ ϕ(Γ ) syss β ∈ Γ y ♦β ∈ ϕ(Γ ) syss ♦β ∈ Γ

4. Otras reglas de introducción y eliminación de operadores mo-dales.

α(E.)9

α

α(I.♦)

♦α

αP.D.

♦α

5. Reglas para cuantificadores.

Para un cálculo deductivo natural de lógica modal de predicados sonnecesarias algunas consideraciones semánticas previas relacionadas conlos planteamientos expuestos en los capítulos cinco y seis acerca de lasfunciones de individuación y los sistemas con dominios fijos y variables.

Definición 9.1. Una fórmula está en forma modal prenexa si y sólosi:

9Esta regla tiene la siguiente restricción para los sistemas deónticos (v.gr.: para elsistema D): solamente si α ocurre en un subproceso estricto abierto.


a) No hay en ella ninguna ocurrencia de operadores de modalidad yestá en forma prenexa10.

b) Sí hay ocurrencias de operadores de modalidad y:

los cuantificadores fuera del alcance de los operadores de mo-dalidad están todos a la izquierda de la fórmula;

las subfórmulas que ocurren en el ámbito de un operador mo-dal están en forma modal prenexa.

Con esta definición, en una fórmula modal prenexa los cuantificadorespermanecen bajo el alcance de los operadores de modalidad originales.Se pueden extraer los cuantificadores que ocurren bajo el alcance deoperadores de modalidad del modo que se describe a continuación:

Definición 9.2. Sea α una fórmula en forma modal prenexa en la queocurren cuantificadores bajo el alcance de algún operador de modali-dad. Se puede obtener una fórmula α′ en forma modal prenexa marcadaa partir de α colocando los cuantificadores a la izquierda de los ope-radores de modalidad y marcando las variables afectadas con tantosapóstrofos cuantos operadores de modalidad la tengan bajo su alcance.Ejemplo:

α : ∀x∀y((Py ∧Qxy)→ ∃zRxyz)

α′ : ∀x∀y∃z((Py′ ∧Qxy′)→ Rxy′z′′)

En realidad lo que se está haciendo con este método de marca de va-riables es determinar que las variables de una fórmula de la clase de α′

pertenecen a diferentes tipos, por lo que no se las puede tratar homogé-neamente desde el punto de vista de la individuación. Así, por ejemplo,

10Una fórmula α está en forma prenexa solamente en el caso de que sea de la formaΦ(β), donde Φ es una secuencia finita de operadores cuantificacionales y β es una fórmulaen la que no ocurre ningún operador cuantificacional.


en el caso de la fórmula α′ tenemos que los apóstrofos informan de quepara evaluarla hay que tener en cuenta que f(x) ∈ D(µ1), f(y) ∈ D(µ2)

y que f(z) ∈ D(µ3). En este caso se puede definir una función de uni-ficación ≈ tal que su rango es un tipo de variables, designado por ( ),(′), (′′), etcétera, del siguiente modo:

Definición 9.3. Sean x ∈ ( ) e y ∈ (′) dos variables cualesquiera de lafórmula modal prenexa marcada β y sea f(x) ∈ D(µ1) y f(y) ∈ D(µ2);entonces se dice que ( ) ≈ (′) syss D(µ1) ⊆ D(µ2).

Las reglas para los cuantificadores en un cálculo de lógica modal depredicados van a ser las habituales de la lógica clásica, aunque se vaa restringir su aplicación, y por tanto el cálculo deductivo, a aquellasfórmulas que se encuentren en forma modal prenexa marcada:

α(a)(I.∃)

∃xα(x)

∃xα(x)

(E.∃)11dα(a)

| ...b δ

δ

α(a)(I.∀)12

∀xα(x)

∀xα(x)(E.∀)

α(a)

α(a′)

Unificacion13

...Vβ(b)

‖ ...‖α(b)

11a no ocurre ni en la fórmula δ ni en ninguna hipótesis subsidiaria no cancelada.12a no ocurre libre en ninguna hipótesis previa ni subsidiaria que no esté cancelada.13Solamente en caso de que ( ) ≈ (′).

Ejemplo: Sea β la forma modal prenexa marcada de [FB′]:

β : ∃x∀y(α(x′)→ α(y))

Puede probarse que `S β, donde S es cualquier sistema al que convenga unasemántica de dominios anidados tal que si µ1<µ2 entonces D(µ1) ⊆ D(µ2):

1. d¬∃x∀y(α(x′)→ α(y))2. | ∀x∃y¬(α(x′)→ α(y)) de 1 por definición de ∃ y ∀3. | ∃y¬(α(a′)→ α(y)) de 2 por (E.∀)4. | d¬(α(a′)→ α(b))5. | | α(a′) de 4 por definición de →6. | | ¬α(b) de 4 por definición de →7. | | ♦¬α(b) de 6 por definición de y ♦8. | | V¬α(b)9. | | ‖α(b) de 5 por unificación10. | | T⊥ de 8 y 9 por producto11. | b⊥ de 7, 8–10 por (E.♦)12. b⊥ de 3, 4–11 por (E.∃)13. ∃x∀y(α(x′)→ α(y)) de 1–12 por absurdo

Sin embargo no puede probarse lo mismo de [FB] a menos que el sistemaS sea simétrico, es decir: que si µ1<µ2 entonces D(µ1) = D(µ2). La formamodal prenexa marcada de [FB] es la siguiente:

γ : ∃x∀y(α(x)→ α(y′))

Se comprueba que no `S γ en un sistema S con dominios anidados:


1. d¬∃x∀y(α(x)→ α(y′))2. | ∀x∃y¬(α(x)→ α(y′)) de 1 por definición de ∃ y ∀3. | ∃y¬(α(a)→ α(y′)) de 2 por (E.∀)4. | d¬(α(a)→ α(b′))5. | | α(a) de 4 por definición de →6. | | ¬α(b′) de 4 por definición de →7. | | ♦¬α(b′) de 6 por definición de y ♦8. | | V¬α(b′)9. | | ‖α(a) de 5 por (E.)

No puede cerrarse el subproceso estricto abierto a partir de la línea 7puesto que no hay unificación de las variables x e y′ a menos que se presu-ponga un sistema simétrico al que convenga una semántica de dominio fijo,según la definición dada de la función de unificación.

Bibliografía

[1] ABADI, M. & MANNA, Z.: “Model Theorem Proving”. Lecture Notesin Computer Science, 230 (1986), pp.: 172–189.

[2] ACERO, J. J.: “Significado, mundo y mente”. Diálogos Filosóficos, 14(1989), pp.: 226–261.

[3] ADDISON, J. W., HENKIN, L. & TARSKI, A.: The Theory of Models:Proceedings of the 1963 International Symposium at Berkeley. NorthHolland Publ. Co., Amsterdam, 1965.

[4] ALLWOOD, J., ANDERSON, L. G. & DAHL, O.: Lógica para lingüis-tas. Paraninfo, Madrid, 1981.

[5] ANDERSON, A. R.: “Improved Decision Procedures for Lewis’s Cal-culus S4 and Von Wright’s Calculus M”. Journal of Symbolic Logic, 19(1954), pp.: 201–214. Corrección ibidem, 20 (1955), p.: 150.

[6] ANDERSON, A. R.: “The Formal Analysis of Normative Systems”. EnRESCHER, N. (ed.): The Logic of Decision and Action.

[7] ANDERSON, A. R.: “The Logic of Norms”. Logique et Analyse, 1(1958), pp.: 84–91.

[8] ANDERSON, A. R.: “A Reduction of Deontic Logic to Alethic ModalLogic”. Mind, 67 (1958), pp.: 100–103.

153

BIBLIOGRAFÍA 154

[9] ANDERSON, A. R. & MOORE, O. K.: “The Formal Analysis of Nor-mative Concepts”. American Sociological Review, 22 (1957), pp.: 9–17.

[10] ANGELELLI, I.: “En torno a la silogística modal aristotélica”. Teorema,IX/2 (1979).

[11] ÅQVIST, L.: “Postulate Sets and Decision Procedures for Some Sys-tems of Deontic Logic”. Theoria, 29 (1963), pp.: 154–175.

[12] ÅQVIST, L.: “Results Concerning Some Modal Systems that ContainS2”. Journal of Symbolic Logic, 29 (1964), pp.: 79–87.

[13] ÅQVIST, L.: “«Next and Ought». Alternative Foundations for VonWright’s Tense-Logic with an aplication to Deontic Logic”. Logique etAnalyse, 9 (1966), pp.: 231–251.

[14] ÅQVIST, L.: Introduction to Deontic Logic and the Theory of Norma-tive Systems. Bibliopolis, Nápoles, 1987.

[15] ARISTÓTELES: Tratados de lógica (Órganon). Gredos, Madrid,1982–88, (2 tomos).

[16] BECKER, O. “Zur Logik der Modalitäten”. Jahrbuch für Philosophieund Phiánomenologische Forschung, 11 (1930), pp.: 497–548.

[17] BECKER, O. Untersuchungen über den Modalkalkül. Kulturverlag An-ton Hein, Meisenheim am Glan, 1952.

[18] BENTHEM, J. van: Modal Logic and Clasical Logic. Bibliopolis, Ná-poles, 1985.

[19] BERNARDO, G. di: Logica, norme, azione. Instituto Superiore diScienze Sociali, Trento, 1969.

[20] BLANCHÉ, R.: “Quantity, Modality and other Kindred Systems ofCategories”. Mind, 61 (1952), pp.: 369–375.

BIBLIOGRAFÍA 155

[21] BOCHEŃSKI, J.: Ancient Formal Logic. Notre Dame University Press,Indiana, 1961.

[22] BOCHEŃSKI, J.: Historia de la lógica formal, Gredos, Madrid, 1966.

[23] BOOLOS, G. S.: The Unprovability of Consistency: An Essay in Modallogic. Cambridge University Press, Cambridge, 1978.

[24] BOWEN, K.A.: Model Theory for Modal Logic. Kripke Models for Mo-dal Predicate Calculus. D. Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1979.

[25] BRUNSCHVICQ, L.: La modalité du jugement. Alcan, París, 1897.

[26] BURRIEZA, A.: “Árboles modales para KB, KE y S0.5”. Anales deFilosofía, III (1985), pp.: 17–26.

[27] BURRIEZA, A.: “Corrección a árboles modales para KE. Un procedi-miento de decisión”. Anales de Filosofía, IV (1986), pp.: 23–34.

[28] BURRIEZA, A.: “Un procedimiento de decisión para el sistema de «andnext»”. Filosofía Malacitana, 1 (1988), pp. 11–20.

[29] BURRIEZA, A. & LEÓN, J. C.: “Modal Trees: Correction to a DecisionProcedure for S5 (and T). Notre Dame Journal of Formal Logic, 28(1987), pp.: 385–391.

[30] CANTY, J. Th.: “On Symbolizing Singulary S5 Functions”. Notre DameJournal of Formal Logic, IX (1968), pp.: 340ss.

[31] CARNAP, R.: Der Logische Aufbau der Welt. Berlín, 1928.

[32] CARNAP, R.: “Testability and meaning”. Philosophy of Science, 3,(1936), pp.: 419–471; 4, (1937), pp.: 1–40.

[33] CARNAP, R.: “Modalities and Quantification”. Journal of SymbolicLogic, 11 (1946), pp.: 33–64.

BIBLIOGRAFÍA 156

[34] CARNAP, R.: Introduction to Semantics. Cambridge, Mass., 1946.

[35] CARNAP, R.: Meaning and Necessity. University of Chicago Press,Chicago, 1947. Segunda edición ampliada, 1956.

[36] CARNAP, R.: The Logical Structure of the World. California, 1967.

[37] CARNAP, R.: Fundamentación lógica de la física. Editorial Sudameri-cana, Buenos Aires, 1969.

[38] CARNAP, R.: Rudolf Carnap, Logical Empiricist. Materials and Pers-pectivs. D. Reidel, Dordrecht, 1975.

[39] CASTAÑEDA, H. N.: “La lógica general de las normas y la ética”.Universidad de San Carlos, Guatemala, 30 (1954), pp.: 129–196.

[40] CASTAÑEDA, H. N.: “A Theory of Morality”. Philosophy and Pheno-menological Research, 17 (1956–57), pp.: 339–352.

[41] CASTAÑEDA, H. N.: “Un sistema general de lógica normativa”. Dia-noia, 3 (1957), pp.: 303–333.

[42] CASTAÑEDA, H. N.: “On the Logic of Norms”. Methodos, 9 (1957),pp. 209–216.

[43] CASTAÑEDA, H. N.: “Obligation and Modal Logic”. Logique et Analy-se, 3 (1960), pp.: 40–48.

[44] CASTAÑEDA, H. N.: “Negaciones, imperativos, colores, existencia yla paradoja de Bertrand Russell”. Theoria, 1 (1985), pp.: 13-58.

[45] CASTAÑEDA, H. N.: “Practical Reason. Reasons for Doing and Inten-tional Action”. Theoria, 4 (1986–87), pp.: 69–96.

[46] CONTE, A. G.: “Un saggio filosofico sopra la logica deontica”. RivistaInternazionale di Filosofia del Diritto, 42 (1965), pp.: 564–577.

BIBLIOGRAFÍA 157

[47] COPELAND, B. J.: “Tense Trees: A tree System for Kt”. Notre DameJournal of Formal Logic, 24 (1983), pp.: 318–322.

[48] CRESSWELL, M. J.: “Some Further Semantics for Deontic Logic”. Lo-gique et Analyse, 10 (1967), pp.: 179–191.

[49] CRESSWELL, M. J.: “Some proofs on Relative Completeness in ModalLogic”. Notre Dame Journal of Formal Logic, 9 (1968), pp.: 62ss.

[50] CRESSWELL, M. J.: “Completeness without the Barcan Formula”. No-tre Dame Journal of Formal Logic, 9 (1968), pp.: 75ss.

[51] CRESSWELL, M. J.: “A Canonical Model for S2”. Logique et Analyse,97 (1982), pp.: 3–7.

[52] CUENA, J.: Lógica informática. Alianza informática, Madrid.

[53] CHANG, C. C. & KEISLER, H. J.: Model Theory, North Holland,Publ. Co., Amsterdam, 1973.

[54] CHELLAS, B. F.: “Imperatives”. Theoria, 37 (1971), pp.: 114–129.

[55] CHELLAS, B. F.: Modal Logic. An Introduction. Cambridge UniversityPress, 1988.

[56] CHISHOLM, R. M.: “The Logic of knowledge”. Journal of Philosophy,60 (1963), pp.: 773–795.

[57] CHISHOLM, R. M.: “Identity through Possible Worlds: Some Ques-tions”. Nous, 1 (1967), pp.: 1–8.

[58] DAVIDSON, B.: “Modal Trees for Modal Predicate Logics”. Logique etAnalyse, 25 (1982), pp.: 47–56.

[59] DAVIDSON, B., JACKSON, F. C. & PARGETER, R.: “Modal Treesfor T and S5”. Notre Dame Journal of Formal Logic, 18 (1977), pp.:602–606.

BIBLIOGRAFÍA 158

[60] DAVIDSON, D.: “The Logical form of action sentences”. En RESCHER(ed.): The Logic of Action and Preference, pp. 81–95.

[61] DAVIDSON, D.: “Truth and Meaning”. Synthese, 17 (1967), pp.:304–323.

[62] DAVIDSON, D.: Inquiries into Truth and Interpretation. Oxford U. P.,Oxford, 1984.

[63] DAVIS, J. W., HOCKNEY, D. J. & WILSON, W. K. (eds.): Philo-sophical Logic. D. Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1969.

[64] DAWSON, E.: “A Model for Deontic Logic”. Analysis, 19 (1959), pp.:73–78.

[65] DUBISLAV, W.: “Zur Unbegründbarkeit der forderungsätze”. Theoria,3 (1937), pp.: 330–342.

[66] EVANS, G. & MCDOWELL, J. (eds.): Truth and Meaning: Essays inSemantics. Oxford U. P., Oxford, 1976.

[67] FELDMAN, F.: Doing the Best we can. D. Reidel Publ. Co., Dordrecht,Holland, 1986.

[68] FEYS, R.: “Expression modale du ‘devoir étre’ ”. Journal of SymbolicLogic, 20 (1955), Abstract, pp.: 91–92.

[69] FEYS, R.: Modal Logics. Ed. Gauthier-Villars, París, 1965.

[70] FINE, K.: “The Logics Containing S4.3”. Zeitschrift für MathematischeLogik und Grundlagen der Mathematik, 17 (1971), pp.: 371–376.

[71] FINE, K.: “In So Many Possible Worlds”. Notre Dame Journal of For-mal Logic, 13 (1972), pp.: 516–520.

BIBLIOGRAFÍA 159

[72] FINE, K.: “For So Many Induviduals”. Notre Dame Journal of FormalLogic, 13 (1972), pp.: 569–572.

[73] FINE, K.: “Modal Frames in Modal Logic”. Notre Dame Journal ofFormal Logic, 16 (1975), pp.: 229–237.

[74] FINE, K.: “Model Theory for Modal Logic, part I: The de re / de dictoDistinction”. Journal of Philosophical Logic, 7 (1978), pp.: 125–156.

[75] FISHER, M.: “A three-valued Calculus for Deontic Logic". Theoria, 27(1961), pp.: 107–118.

[76] FITCH, F.B.: Symbolic Logic. An Introduction. The Ronald Press Co.,Nueva York, 1952.

[77] FITCH, F.B.: “Tree Proofs in Modal Logic”. Journal of Symbolic Logic,31 (1966), página 152.

[78] FITCH, F.B.: “Natural Deduction Rules for Obligation”. American Phi-losophical Quarterly, 3 (1966), pp.: 27–38.

[79] FITTING, M.: “Tableau Methods of Proof for Modal Logics”. NotreDame Journal of Formal Logic, XIII (1972), pp.: 237–247.

[80] FITTING, M.: Proof Methods for Modal and Intuitionistic Logics. D.Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1983.

[81] FØLLESDAL, D.: “Knowledge, Identity and Existence”. Theoria, 33(1967), pp.: 1–27.

[82] FØLLESDAL, D.: “Quine on Modality”. Synthese, 19 (1968), pp.:147–157.

[83] FREGE, G.: Escritos lógico-semánticos. Tecnos, Madrid, 1974.

[84] FREGE, G.: Investigaciones lógicas. Tecnos, Madrid, 1984.

BIBLIOGRAFÍA 160

[85] GABBAY, D. M.: Investigations in Modal and Tense Logics with Ap-plications to Problems in Philosophy and Linguistics. D. Reidel Publ.Co., Dordrecht, 1976.

[86] GABBAY, D. M. & GUENTHNER, F.: Handbook of Philosophical Lo-gic. D. Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1983–89, (4 volúmenes).

[87] GALTON, A.: The Logic of Aspect. An Axiomatic Approach. The Cla-rendon Press, Oxford, 1984.

[88] GALTON, A. (ed.): Temporal Logics and Their Applications. AcademicPress, Londres, 1987.

[89] GARCÍA MÁYNEZ, E.: Los principios de la ontologfa formal del de-recho y su expresión simbólica. Imprenta Universitaria, México, 1953.

[90] GARCÍA MÁYNEZ, E.: Ensayos filosófico-jurídicos. Universidad Ve-racruzana, Xalapa, 1959, pp.: 185–219.

[91] GOBLE, L. F.: “A System of Modality”. Notre Dame Journal of FormalLogic, XII (1971), pp.: 225ss.

[92] GÖDEL, K.: Obras completas. Alianza Editorial, Madrid, 1981.

[93] GOLDBLATT, R. I.: “Metamathematics of Modal Logic, part I”. Re-ports on Mathematical Logic, 6 (1976), pp.: 41–77.

[94] GOLDBLATT, R. I.: “Metamathematics of Modal Logic, part II”. Re-ports on Mathematical Logic, 7 (1976), pp.: 21–52.

[95] GOTLIEB, G.: The Logic of Choice. Allen 4 Unwin, Londres, 1968.

[96] HALLDÉN, S.: On the Logic of “Better”. Library of Theoria, Upsala,1957.

BIBLIOGRAFÍA 161

[97] HANSON, W. H.: “Semantics for Deontic Logic”. Logique et Analyse,8 (1965), pp.: 177–190.

[98] HARE, R. M.: “Imperative Sentences”. Mind, 58 (1949), pp.: 21–39.

[99] HARE, R. M.: The Language of Morals. The Clarendon Press, Oxford,1952.

[100] HEIJENOORT, J. van (ed.): From Frege to Gödel. Harvard UniversityPress, Cambridge, Mass., 1967.

[101] HENKIN, L.: “The Completeness of the First Order Functional Calcu-lus”. Journal of Symbolic Logic, 14 (1949), pp.: 159–166.

[102] HENKIN, L.: “Completeness of the Theory of Types”. Journal of Sym-bolic Logic, 15 (1950), pp.: 81–91.

[103] HIERRO SÁNCHEZ-PESCADOR, J.: Problemas del análisis del len-guaje moral. Tecnos, Madrid, 1971.

[104] HILPINEN, R. (ed.).: Deontic Logic: Introductory and SystematicReadings. D. Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1971.

[105] HILPINEN, R. (ed.).: Scientific Rationality: Studies in the Foundationsof Science and Ethics. D. Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1980.

[106] HILPINEN, R. (ed.).: New Studies in Deontic Logic: Norms, Actionsand the Foundations of Ethics. D. Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1981.

[107] HINTIKKA, J.: “Quantifiers in Deontic Logic”. Societas ScientarumFennica, Comentationes Humanarum Literarum, 23 (1957).

[108] HINTIKKA, J.: “Modality as Referential Multiplicity”. Eripainos Aja-tus, 20 (1957), pp.: 49–64.

BIBLIOGRAFÍA 162

[109] HINTIKKA, J.: “Existential Presuppositions and Existential Commit-ments”. Journal of Philosophy, 56 (1959), pp.: 125–137.

[110] HINTIKKA, J.: Knowledge and Belief. An Introduction to the Logic ofthe Two Notions. Cornell University Press, Ithaca, 1962. (Hay traduc-ción al español: Saber y creer. Una introducción a la lógica de las dosnociones. Tecnos, Madrid, 1979).

[111] HINTIKKA, J.: “Individuals, Possible Worlds and Epistemic Logic”.Nous, 1 (1967), pp.: 33–62.

[112] HINTIKKA, J.: Models for Modalities. D. Reidel Publ. Co., Dordrecht,1969.

[113] HINTIKKA, J.: Logic, Language-Games and Information. The Claren-don Press, Oxford, 1973. (Hay traducción al español: Lógica, juegos delenguaje e información. Tecnos, Madrid, 1976).

[114] HINTIKKA, J.: Knowledge and the Known: Historical Perspectives inEpistemology. D. Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1974.

[115] HINTIKKA, J.: The Intentions of Intentionality and Other New Modelsfor Modalities. D. Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1975.

[116] HINTIKKA, J.: “Situations, Possible Worlds and Attitudes”. Synthese,54 (1983), pp.: 153ss.

[117] HINTIKKA, J.: “Reasoning about Knowledge in Philosophy: The Pa-radigm of Epistemic Logic”. Borrador sin publicar, 1987.

[118] HINTIKKA, J. (ed.): The Philosophy of Mathematics. Oxford Univer-sity Press, Oxford, 1969.

[119] HOCUTT, M.O.: “Is Epistemic Logic Possible?”. Notre Dame Journalof Formal Logic, 13 (1972), pp.: 433–453.

BIBLIOGRAFÍA 163

[120] HOFSTADTER, A. & MCKINSEY, J. C. C.: “On the Logic of Impe-ratives”. Philosophy of Science, 6 (1939), pp.: 446–457.

[121] HUGHES, G. E. & CRESSWELL, M.: An Introduction to Modal Logic.Methuen and Co., Londres, 1968. (Hay traducción al español: Introduc-ción a la lógica modal. Tecnos, Madrid, 1973).

[122] HUGHES, G. E. & CRESSWELL, M.: A Companion to Modal Logic.Methuen and Co., Londres, 1984.

[123] HUMBERSTONE, I. L.: “Interval Semantics for Tense Logic”. Journalof Philosophical Logic, 8 (1979), pp.: 171–196.

[124] HUMBERSTONE, I. L.: “The Modal Logic of ‘all’ and ‘only’”. NotreDame Journal of Formal Logic, 28 (1987), pp.: 177–188.

[125] HUNTER, G.: Metalógica. Paraninfo, Madrid, 1981.

[126] JAGER, Th.: “An Actualistic Semantics for Quantified Modal Logic”.Notre Dame Journal of Formal Logic, 23 (1982), pp.: 335–349.

[127] JAGER, Th.: “De re and de dicto”. Notre Dame Journal of FormalLogic, 29 (1988), pp.: 81–90.

[128] JANSANA, R.: Una introducción a la lógica modal. Tecnos, Madrid,1990.

[129] JEFFREY, R. C.: The Logic of Decision. McGraw Hill, Nueva York,1965.

[130] JEFFREY, R. C.: Formal Logic: Its Scope and Limits. McGraw Hill,Nueva York, 1981. (Hay traducción al español: Lógica formal. Su al-cance y sus límites. EUNSA, Pamplona, 1986).

[131] JØRGENSEN, J.: “Imperatives and Logic”. Erkenntnis, 7 (1937–38),pp.: 288–296.

BIBLIOGRAFÍA 164

[132] KALINOWSKI, G.: “Théorie de propositions normatives”. Studia Lo-gica, I (1953), pp.: 147–182.

[133] KALINOWSKI, G.: Introduction á la logique juridique. L. G. D. J.,París, 1965.

[134] KALINOWSKI, G.: Le probléme de la verité en morale et en droit.Vitte, Lyon, 1967.

[135] KALINOWSKI, G.: Querelle de la science normative. L. G. D. J., París,1969.

[136] KALINOWSKI, G.: “Note critique sur la logique déontique d’Alf Ross”.Archiv für Recht und Sozialphilosophie, 55 (1969), pp.: 41–68.

[137] KALINOWSKI, G.: “L’intuitionnisme en logique déontique”.Rechtstheorie, 1 (1970), pp.: 157–182.

[138] KALINOWSKI, G.: “Norms and Logic”. The American Journal of Ju-risprudence, 1972.

[139] KALINOWSKI, G.: Etudes de logique déontique. L. G. D. J., París,1972.

[140] KALINOWSKI, G.: La logique des normes. Presses Universitaires deFrance, París, 1972. (Hay traducción española: Lógica del discurso nor-mativo. Tecnos, Madrid, 1975).

[141] KALINOWSKI, G.: “Sur les fondements des normes et des énoncés nor-matives: á propos des idées de Von Wright et de Castañeda”. Theoria,1 (1985), pp.: 59–86.

[142] KANGER, S.: “The Morning Star Paradox”. Theoria, 23 (1957), pp.:1-11.

BIBLIOGRAFÍA 165

[143] KANGER, S.: “A Note on Quantification and Modalities”. Theoria, 23(1957), pp.: 133–134.

[144] KANGER, S.: “On the Characterization of Modalities”. Theoria, 23(1957), pp.: 152–155.

[145] KANGER, S.: “New Foundations for Ethical Theory”. En HILPINEN,R.: Deontic Logic, pp.: 36–58.

[146] KLEENE, S. C.: Introducción a la metamatemática. Tecnos, Madrid,1974.

[147] KLINGER, R.: Basic Deontic Structures of Legal Systems. Universityof Sydney, Sydney, 1969.

[148] KNEALE, W. C.: “Modality de dicto and de re”. Methodology and Phi-losophy of Science, Stanford, 1962, pp.: 622–633.

[149] KNEALE, W. & KNEALE, M.: The Development of Logic. The Cla-rendon Press, Oxford, 1962. (Hay traducción al español: El desarrollode la lógica. Tecnos, Madrid, 1972).

[150] KRIPKE, S.: “A Completeness Theorem in Modal Logic”. Journal ofSymbolic Logic, 24 (1959), pp.: 1–14.

[151] KRIPKE, S.: “The Undecidability of Monadic Modal Quanti- fica-tion Theory”. Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen derMathematik, 8 (1962), pp.: 113–116.

[152] KRIPKE, S.: “Semantical Analysis of Modal Logic I: Normal ModalPropositional Calculi”. Zeitschrift für mathematische Logik und Grund-lagen der Mathematik, 9 (1963), pp.: 67–96.

[153] KRIPKE, S.: “Semantical Analysis of Modal Logic II: Non-Normal Mo-dal Propositional Calculi”. En ADDISON, HENKIN & TARSKI (eds.):The Theory of Models, pp.: 206–220.

BIBLIOGRAFÍA 166

[154] KRIPKE, S.: “Semantical Considerations on Modal Logic”. Acta Phi-losophica Fennica, 16 (1963), pp.: 83–94.

[155] KRIPKE, S.: “Identity and Necessity”. Journal of Philosophy, 69(1972).

[156] KRIPKE, S.: “Is There a Problem about Substitutional Quantifica-tion?”. Journal of Philosophy, 74 (1977), pp.: 325–419.

[157] KRIPKE, S.: Naming and Necessity. Basil Blackwell, Oxford, 1980.

[158] LEDENT, A.: “Le statut logique de proposisitions impératives”. Theo-ria, 8 (1942), pp.: 262–271.

[159] LEMMON, E. J.: “Is There only One Correct System of Modal Logic?”.Proceedings of the Aristotelian Society, XXXIII (1959), pp.: 23–40.

[160] LEMMON, E. J.: “Deontic Logic and the Logic of Imperatives”. Logiqueet Analyse, 8 (1965), pp.: 39–71.

[161] LEMMON, E. J.: “Algebraic Semantics for Modal Logics I”. Journal ofSymbolic Logic, 31 (1966), pp.: 46–65.

[162] LEMMON, E. J.: “Algebraic Semantics for Modal Logics II”. Journalof Symbolic Logic, 31 (1966), pp.: 191–218.

[163] LEWIS, C. I.: A survey of Symbolic Logic. Berkeley University of Ca-lifornia, 1918.

[164] LEWIS, C. I. & LANGFORD, C. H.: Symbolic Logic. Dover Publ., NewYork, 1932.

[165] LEWIS, D.: “Counterpart Theory and Quantified Modal Logic”. TheJournal of Philosophy, 65 (1958), pp.: 113–126.

[166] LEWIS, D.: General Semantics. Davidson and Hartman Editors, 1972.

BIBLIOGRAFÍA 167

[167] LEWIS, D.: Counterfactuals. Blackwell, Oxford, 1986.

[168] LINSKY, L. (ed.): Reference and Modality. Oxford University Press,Oxford, 1971.

[169] LOVELAND, D. W.: Automatic Theorem Proving: A Logical Basis.North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1978.

[170] LYONS, J.: Introduction to Theoretical Linguistics. Cambridge Univer-sity Press, Cambridge, 1968. (Hay traducción al español: Introducciónen la lingüística teórica, Teide, Barcelona, 1986).

[171] LYONS, J.: Semántica. Teide, Barcelona, 1980.

[172] MANZANO, M.: Teoría de Modelos. Alianza Editorial, Madrid, 1989.

[173] MAKINSON, D.: “A Normal Modal Calculus between T and S4 withoutthe Finite Model Property”. Journal of Symbolic Logic, 34 (1969), pp.:35–38.

[174] MAKINSON, D.: “Some Embeddings Theorems of Modal Logic”. NotreDame Journal of Formal Logic, XII (1971), pp.: 252ss.

[175] MARCUS, B.: “Modalities and Intensional Languages”. Synthese, 13(1961), pp.: 303–322.

[176] MASSEY, G. J.: “Normal Form Generation of S5 Functions via TruthFunctions”. Notre Dame Journal of Formal Logic, IX (1968), pp.: 8lss.

[177] MATES, B.: Lógica de los estoicos. Tecnos, Madrid, 1985.

[178] MATSUMOTO, K.: “Decision Procedure for Modal Sentential CalculusS3”. Osaka Mathematical Journal, 12 (1960), pp.: 167–175,

[179] McCALL, S.: Aristotle’s Modal Syllogisms. North Holland Publ. Co.,Amsterdam, 1963.

BIBLIOGRAFÍA 168

[180] McKINSEY, J. C. C.: “A Reduction in the Number of Postulates for C.ILewis’ System of Strict Implication”. Bulletin of the American Mathe-matical Society, 40 (1934), pp.: 425–427.

[181] McKINSEY, J. C. C.: “Proof that there are infinitely many modalitiesin Lewis’ system S2”. Journal of Symbolic Logic, 5 (1940), pp.: 110–112.

[182] McLAUGHLIN, R. N.: “Further Problems of Derived Obligation”.Mind, 64 (1955), pp.: 400–402.

[183] MEYER, J. I. Ch.: “A Different Approach to Deontic Logic: DeonticLogic Viewed as a Variant of Dynamic Logic”. Notre Dame Journal ofFormal Logic, 29 (1988), pp. 109–136.

[184] MONTAGUE, R.: “Syntactical Treatments of Modality with Corollariaon Reflexion Principle and Finite Axiomatizability”. Acta PhilosophicaFennica, 16 (1963), pp.: 153–167.

[185] MONTAGUE, R.: “Pragmatics and Intensional Logic”. Synthese, 22(1970-71), pp.: 68–94.

[186] MONTAGUE, R.: Formal Philosophy: Selected Papers of Richard Mon-tague. Yale University Press, New Haven, Conn., 1974. (Hay traducciónespañola parcial: Ensayos de filosofía formal, Alianza Universidad, Ma-drid, 1977.

[187] MUNITZ, M. K. & UNGER, P. K. (eds.): Semantics and Philosophy.New York University Press, Nueva York, 1974.

[188] NAESS, A.: “La validité des normes fondementales”. Logique et Analyse,1 (1958), pp.: 4–13.

[189] NAESS, A.: “DoWe Know that Basic Norms Cannot Be True or False?”.Theoria, 25 (1959), pp.: 31–53.

BIBLIOGRAFÍA 169

[190] NILSON, J.: Problem-Solving Methods in Artificial Intelligence. Mc-Graw Hill, Nueva York, 1971.

[191] OHLBACH, H. J.: “A Revolution Calculus for Modal Logic”. LectureNotes in Computer Science, Springer-Verlag, 1987.

[192] OHNISHI, M.: “Gentzen Decision Procedure for Lewis’ Systems S2 andS3”. Osaka Mathematical Journal, 13 (1961), pp.: 125–137.

[193] OHNISHI, M.: “Von Wright-Anderson’s Decision Procedure for Le-wis’ Systems S2 and S3”. Osaka Mathematical Journal, 13 (1961), pp.:139–142.

[194] OHNISHI, M. & MATSUMOTO, K.: “Gentzen Method in Modal Cal-culi I”. Osaka Mathematical Journal, 9 (1957), pp.: 113–130.

[195] OHNISHI, M. & MATSUMOTO, K.: “Gentzen Method in Modal Cal-culi II". Osaka Mathematical Journal, 11 (1959), pp.: 115–120.

[196] OPAŁEK, K.: “On the Logical Sematic Structures of Directives”. Logi-que et Analyse, 13 (1970).

[197] PARRY, W. T.: “The Postulates for ‘Strict Implication’”. Mind, 43(1934), pp.: 78–80.

[198] PARRY,W. T.: “Modalities in the Survey System of Strict Implication”.Journal of Symbolic Logic, 4 (1939), pp.: 131–154.

[199] PERELMAN, Ch.: Études de logique Juridique. E. Bruylant, Bruselas,1966-71, (4 tomos).

[200] PERRY, Th. D.: Moral Reasoning and Truth: An Essay in Philosophyand Jurisprudence. Oxford University Press, Oxford, 1976.

[201] PHILIPPS, L.: “Sinn und Struktur der Normlogik”. Achiv für Rechts-und Sozialphilosophie, 52 (1966), pp.: 195–219.

BIBLIOGRAFÍA 170

[202] PLANTINGA, A.: The Nature of Necessity. The Clarendon Press, Ox-ford, 1974,

[203] PLANTINGA, A.: “Actualism and Possible Worlds”. Papers on Logicand Language. University of Warwick, 1977.

[204] PRIOR, A. N.: “The Paradox of Derived Obligation”. Mind, 63 (1954),pp.: 64–65.

[205] PRIOR, A. N.: Formal Logic. The Clarendon Press, Oxford, 1955. Se-gunda edición de 1962.

[206] PRIOR, A. N.: Time and Modality. The Clarendon Press, Oxford, 1957.

[207] PRIOR, A. N.: Past, Present and Future. The Clarendon Press, Oxford,1967.

[208] QUESADA, D.: La lógica y su filosofía. Introducción a la lógica. Edi-torial Barcanova, Barcelona, 1985.

[209] QUINE, W. V. O.: Mathematical Logic. Harvard University Press,Cambridge, Mass., 1951. (Hay traducción al español: Lógica Matemá-tica, Revista de Occidente, Madrid, 1972).

[210] QUINE, W. V. O.: From a Logical Point of View. Harvard UniversityPress, Cambridge, Mass., 1953. (Hay traducción española: Desde unpunto de vista lógico, Ariel, Barcelona, 1962).

[211] QUINE, W. V. O.: “Quantifiers and Proppositional Attitudes”. Journalof Philosophy, 53 (1956), pp.: 177–187.

[212] QUINE, W. V. O.: Word and Object. M.I.T. Press, Cambridge, Mass.,1960. (Hay traducción española: Palabra y objeto, Labor, Barcelona,1968).

BIBLIOGRAFÍA 171

[213] QUINE, W. V. O.: Philosophy of Logic. Prentice Hall, Nueva Jersey,1970. (Hay traducción española: Filosofía de la lógica, Alianza Edito-rial, Madrid, 1981).

[214] QUINE, W. V. O.: Roots of Reference. Open Court, La Salle, Ill., 1974.(Hay traducción española: Las raíces de la referencia, Revista de Oc-cidente, Madrid, 1977).

[215] QUINE, W. V. O.: Theories and Things. The Belknap Press of HarvardUniversity Press, Cambridge, Mass., 1981.

[216] RAND, R.: “Logik der Forderungsätze”. Revue internationale de la théo-rie du droit / Internazionale Zeitschrift für die Theorie der Recht, 1(1939), pp.: 308–322.

[217] RAZ, J.: Practical Reasoning. Oxford University Press, Oxford, 1979.(Hay traducción española: Razonamiento práctico, Fondo de CulturaEconómica, México, 1986).

[218] RESCHER, N.: “An Axiom System for Deontic Logic”. PhilosophicalStudies, 9 (1958), pp.: 24–30.

[219] RESCHER, N.: “On Modal Renderings of Intuitionistic PropositionalLogic”. Notre Dame Journal of Formal Logic, 7 (1966), pp.: 277–280.

[220] RESCHER, N.: The Logic of Commands. Londres, 1966.

[221] RESCHER, N.: Topics in Philosophical Logic. D. Reidel Publ. Co.,Dordrecht, 1968.

[222] RESCHER, N.: La primacía de la práctica. Tecnos, Madrid, 1980.

[223] RESCHER, N. (ed.): The Logic of Action and Preference. PittsburghUniversity Press, Pittsburgh, 1967.

BIBLIOGRAFÍA 172

[224] RESCHER, N. (ed.): The Logic of Decision and Action. PittsburghUniversity Press, Pittsburgh, 1967.

[225] RESCHER, N. & URQUHART, A.: Temporal Logic. Springer-Verlag,Berlín, 1971.

[226] RICHARDS, B. & al.: Temporal Representation and Inference. Acade-mic Press, Londres, 1989.

[227] ROBINSON, A.: Introduction to Modal Theory and to the Metamathe-matics of Algebra. North Holland Publ. Co., Amsterdam, 1963.

[228] RODRÍGUEZ MARÍN, J.: “Lógica deóntica. Deducción natural y de-cisión mediante tablas semánticas”. Teorema, III/4 (1973), pp.: 511ss.

[229] RODRÍGUEZ MARÍN, J.: “La reducción de la lógica deóntica a lalógica modal (I)”. Teorema, VI/1 (1976), pp.: 99ss.

[230] RODRÍGUEZ MARÍN, J.: Lógica deóntica. Concepto y sistemas. Pu-blicaciones de la Universidad de Valencia, Valencia, 1978.

[231] ROSS, A.: “Imperatives and Logic”. Theoria, 7 (1941), pp.: 53–71.

[232] ROSS, A.: Directives and Norms. Routledge and Keagan Paul, Londres,1968. (Hay traducción española: Lógica de las normas, Tecnos, Madrid,1971).

[233] ROUTLEY, R.: “Conventionalist and Contingency-Oriented Modal Lo-gics”. Notre Dame Journal of Formal Logic, XII (1971), pp.: 131ss.

[234] RUSSELL, B.: Introducción a la filosofía matemática. Paidós, Barcelo-na, 1988.

[235] RUSSELL, B.: Principles of Mathematics. Allen & Unwin, Cambrid-ge, 1903. (Hay traducción española: Los principios de la matemática,Espasa Calpe, Madrid, 1967).

BIBLIOGRAFÍA 173

[236] RUSSELL, B.: Inquiries into Meaning and Truth. Norton, Nueva York,1940.

[237] RUSSELL, B.: Human Knowledge. Simon and Schuster, Nueva York,1948. (Hay traducción al español: El conocimiento humano, Taurus,Madrid, 1977).

[238] RUSSELL, B.: Logic and Knowledge. Allen & Unwin, Londres, 1956.

[239] RUSSELL, B. & WHITEHEAD, A. N.: Principia Mathematica. Cam-bridge University Press, Cambridge, 1910–13, (3 volúmenes). Segundaedición 1925–27.

[240] SAITO, S.: “On the Leinizian Modal System”. Notre Dame Journal ofFormal Logic, IX (1968), pp.: 92ss.

[241] SÁNCHEZ GARCÍA, D.: “Definición de la norma verdadera”. Theoria,2 (1985), pp.: 535–544.

[242] SÁNCHEZ-MAZAS, M.: “Calcul automatique des normes et proposi-tions juridiques”. Teorema, 6 (1972), pp.: 25–56.

[243] SÁNCHEZ-MAZAS, M.: El cálculo de las normas. Ariel, Barcelona,1973.

[244] SÁNCHEZ-MAZAS, M.: “Modelos aritméticos para la informática ju-rídica (introducción)”. Teorema, VIII/1 (1978).

[245] SÁNCHEZ-MAZAS, M.: “Le programme ‘Ars Judicandi’". Theoria, 3(1986), Pp.: 779–817.

[246] SÁNCHEZ-MAZAS, M.: “Un lenguaje aritmético como instrumento deanálisis y de decisión en lógica y en derecho”. Theoria, 5–6 (1988), pp.:503–566.

BIBLIOGRAFÍA 174

[247] SANMARTÍN, J.: Una introducción constructiva a la teoría de modelos.Tecnos, Madrid, 1983.

[248] SCHILPP, P. A. (ed.): The Philosophy of Rudolf Carnap. Open Court,La Salle, Ill., 1963.

[249] SCHUMM, G. F.: “T, S4 and Henkinesque Trees”. Journal of SymbolicLogic, 37 (1972), pp.: 446.

[250] SCHUMM, G. F.: “The Number of Non-Normal Extensions of S4”. No-tre Dame Journal of Formal Logic, 29 (1988), pp.: 106–108.

[251] SEGERBERG, K.: “Decidability of S4.1”. Theoria, 34 (1968), pp. 7–20.

[252] SEGERBERG, K.: “Decidability of Four Modal Logics”. Theoria, 34(1968), pp.: 21–25.

[253] SEGERBERG, K.: An Essay in Classical Modal Logic. Universidad deUpsala, Upsala, 1971, (3 volúmenes).

[254] SIMPSON, T. M. (ed.): Semántica filosófica: problemas y discusiones.Siglo XXI, Buenos Aires, 1973.

[255] SLAGHT, R. L.: “Modal Tree Constructions”. Notre Dame Journal ofFormal Logic, XVIII (1977), pp.: 517–526.

[256] SLEIGH, R. C.: “On a Proposed System of Epistemic Logic”. Nous, 2(1968), pp.: 391–398.

[257] SMORYŃSKI, C.: Self-Reference and Modal Logic. Springer-Verlag,Nueva York, 1985.

[258] SMORYŃSKI, C.: “Quantified Modal Logic and Self-Reference”. NotreDame Journal of Formal Logic, 28 (1987), pp.: 356–370.

BIBLIOGRAFÍA 175

[259] SMULLYAN, A. F.: “Modality and Description”. Journal of SymbolicLogic, 13 (1948), pp.: 31–37.

[260] SMULLYAN, R.: First-Order Logic. Springer-Verlag, Berlín-Heidelberg-Nueva York, 1968. (Hay traducción al español: Lógicade primer orden, Tecnos, Madrid).

[261] STEVENSON, Ch. L.: Ética y lenguaje. Paidós, Buenos Aires, 1971.

[262] TAPSCOTT, B. L.: “A Simplified Natural Deduction Approach to Cer-tain Modal Systems”. Notre Dame Journal of Formal Logic, 28 (1987),pp.: 371–384.

[263] TARSKI, A.: Logic, Semantics, Metamathematics. The ClarendonPress, Oxford, 1956.

[264] TARSKI, A.: “Der Wahrheitsbegriff in den Formalisierten Sprachen”.Studia Philosophica, 1 (1936), pp.: 261–405.

[265] TARSKI, A.: “The Semantic Conception of Truth and the Foundationsof Semantics”. Philosophy and Phenomenological Research, 4 (1943–44),pp.: 341–376. (Hay traducción española: La concepción semántica de laverdad y los fundamentos de la semántica, Ediciones Nueva Visión,Buenos Aires, 1972).

[266] THAYSE, A. & al.: Approche logique de 1’intelligence artificielle: 1.De la logique clasique á la programmation logique. Bordas, París, 1988.

[267] THAYSE, A. & al.: Approche logique de 1’intelligence artificielle: 2.De la logique modale á la logique de bases de données. Bordas, París,1989.

[268] THOMAS, I.: “Solutions of Five Modal Problems of Sobociński”. NotreDame Journal of Formal Logic, 3 (1962), pp.: 199–200.

BIBLIOGRAFÍA 176

[269] THOMAS, I.: “S1º and Brouwerian Axioms”. Notre Dame Journal ofFormal Logic, 4 (1963), pp.: 151–152.

[270] THOMAS, I.: “S1º and Generalized S5 Axioms”. Notre Dame Journalof Formal Logic, 4 (1963), pp.: 153–154.

[271] THOMAS, I.: “A Final Note on S1º and the Brouwerian Axioms”. NotreDame Journal of Formal Logic, 4 (1963), pp.: 231–232.

[272] THOMAS, I.: “Ten Modal Models”. Journal of Symbolic Logic, 29(1964), pp.: 125–128.

[273] THOMAS, I.: “Modal Systems in the Neighbourhood of T”. Notre DameJournal of Formal Logic, 5 (1964), pp.: 59–61.

[274] THOMASON, S. K.: “Semantic Analysis of Tense Logics”. Journal ofSymbolic Logic, 37 (1972), pp.: 150–158.

[275] THOMASON, S. K.: “Noncompacteness in Propositional Modal Logic”.Journal of Symbolic Logic, 37 (1972), pp.: 716–720.

[276] THOMASON, S. K.: “An Incompleteness Theorem in Modal Logic”.Theoria, 60 (1974), pp.: 30–34.

[277] TOMBERLIN, J. E.: “Identity, Intensionality and Intentionality”.Synthese, 61 (1984), pp.: 1l1ss.

[278] ULLMANN, S.: Semántica. Aguilar, Madrid, 1976.

[279] URMSON, J. O.: “Parenthetical Verbs”. Mind, 61 (1952), pp.: 480–496.

[280] URQUHART, A.: “Decidability and the Finite Model Property”. Jour-nal of Philosophical Logic, 10 (1981), pp.: 367–370.

[281] VON WRIGHT, G. H.: “Deontic Logic”. Mind, 60 (1951), pp.: 1–15.

BIBLIOGRAFÍA 177

[282] VON WRIGHT, G. H.: An Essay in Modal Logic. North Holland Publ.Co., Amsterdam, 1951. (Hay traducción al español: Ensayo de lógicamodal, Santiago Rueda editor, Buenos Aires, 1970)

[283] VON WRIGHT, G. H.: “A New System of Modal Logic”. Proceedingsof the XIth International Congress of Philosophy, Bruselas, 1953, tomoV, pp.: 59–63.

[284] VON WRIGHT, G. H.: “A Note on Deontic Logic and Derived Obli-gation”. Mind, 65 (1956), pp.: 507–509.

[285] VON WRIGHT, G. H.: Logical Studies. Routledge and Keagan Paul,Londres, 1957.

[286] VON WRIGHT, G. H.: The Logic of Preference. Edinburgh UniversityPress, Edinburgo, 1963. (Hay traducción al español: La lógica de lapreferencia, EUDEBA, Buenos Aires, 1967).

[287] VON WRIGHT, G. H.: Norm and Action. Routledge and Keagan Paul,Londres, 1963. (Hay traducción española: Norma y Acción. Una inves-tigación lógica, Tecnos, Madrid, 1979).

[288] VON WRIGHT, G. H.: The Varieties of Goodness. Routledge and Kea-gan Paul, Londres, 1963.

[289] VONWRIGHT, G. H.: “A New System of Deontic Logic”. Danish Year-book of Philosophy, 1 (1964), pp.: 173–182.

[290] VON WRIGHT, G. H.: “A Correction to a New System of deonticLogic”. Danish Yearbook of Philosophy, 2 (1965), pp.: 103–107.

[291] VON WRIGHT, G. H.: “And Next”. Acta Philosophica Fennica, 18(1965), pp.: 293–304,

[292] VON WRIGHT, G. H.: “Deontic Logics”. American Philosophical Qua-terly, 4 (1967), pp.: 1–8.

BIBLIOGRAFÍA 178

[293] VON WRIGHT, G. H.: “Deontic Logic and the theory of Conditions”.Critica, 2 (1968), pp.: 3–25.

[294] VON WRIGHT, G. H.: An Essay in Deontic Logic and the GeneralTheory of Action. Societas Philosophica Fennica, Helsinki, 1968. (Haytraducción al español: Un ensayo de lógica deóntica y la teoría generalde la acción, UNAM, México, 1976).

[295] VON WRIGHT, G. H.: “Modalidades diacrónicas y sincrónicas”. Teo-rema, IX/3-4 (1979).

[296] VON WRIGHT, G. H.: Philosophical Papers of G.H. Von Wright: Phi-losophical logic. Blackwell, Oxford, 1983.

[297] WEINGARTNER, P.: “Modal Logics with Two Kinds of Necessity andPossibility”. Notre Dame Journal of Formal Logic, IX (1968), pp.: 97ss.

[298] WIESENTHAL, L.: “Visual Space from the Perspective of PossibleWorld Semantics I”. Synthese, 56 (1983), pp.: 199ss.

[299] WIESENTHAL, L.: “Visual Space from the Perspective of PossibleWorld Semantics II". Synthese, 64 (1985), pp.: 241ss.

[300] WITTGENSTEIN, L.: Tractatus Logico-Philosophicus. Alianza Edito-rial, Madrid, 1980.

[301] WITTGENSTEIN, L.: Investigaciones filosóficas. UNAM-Crítica, Bar-celona, 1988.

[302] ZEMAN, J. J.: “The Proppositional Calculus MC and Its Modal Ana-logue”. Notre Dame Journal of Formal Logic, IX (1968), pp.: 294ss.

[303] ZEMAN, J. J.: Modal Logic: the Lewis’ Modal Systems. Oxford Uni-versity Press, Oxford, 1972.

BIBLIOGRAFÍA 179

[304] ZIEMBA, Z.: “Deontic Syllogistic”. Studia Logica, 28 (1971), pp.:139–159.

Árboles semánticos para lógica modal con algunos

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