4. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

INTRODUCCION

RAZÓN SIMPLE Y RAZÓN DOBLE DE PUNTOS ALINEADOS

En primer lugar definimos el concepto de segmentos orientados. Son positivos los segmentos cuya nomenclatura indica un sentido, siguiendo el orden alfabético y son negativos cuando indica el sentido contrario.

Por ejemplo: si AB es positivo, BA será negativo.

La razón simple y la razón doble operan con segmentos orientados.

RAZÓN SIMPLE:

Se llama razón simple de tres puntos alineados A, B y C y se nota (ABC) a la siguiente igualdad: (ABC) = AB/AC , siendo AB y AC segmentos orientados.

Para construir una razón simple aplicamos lo aprendido en proporcionalidad directa:

Ejemplo de razón positiva: Dado un segmento AB, hallar el punto C que cumpla: (ABC) = 3.

Dibujamos el segmento AB y trazamos por A una recta. Sobre ella situamos un punto X, tal que AX = 3 (unidades arbitrarias) y un punto Y tal que AY = 1 (la unidad considerada).

Se cumple que:

, luego

Ejemplo de razón negativa:

Dado un segmento AB, hallar el punto C que cumpla:

, siendo p y q segmentos dados.

Dibujamos el segmento AB y trazamos por A una recta. Sobre ella situamos un punto X, tal que AX = p y un punto Y tal que AY =q, teniendo en cuenta que AX y AY deben indicar sentidos contrarios para que la razón sea negativa.

Se cumple que:

, luego

RAZÓN DOBLE:

Se llama razón doble de cuatro puntos alineados A, B, C y D y se nota (ABCD) a la siguiente igualdad:

Siendo AC, AD, BC y BD segmentos orientados.

Para construir una razón doble aplicamos lo aprendido en proporcionalidad directa:

Ejemplo de razón positiva:

Dados los puntos alineados A, B y C, hallar el punto D que cumpla: (ABCD) =p/q, siendo p y q segmentos dados.

Para resolver gráficamente estos problemas debemos combinar haces de rectas con los vértices en C y en D como se ve a continuación.

Trazamos por B una recta. Sobre ella situamos un punto X, tal que BX = p y un punto Y tal que BY = q.

Dibujamos la recta CY y trazamos una paralela a BY por A. Estas rectas se cortan en Z.

AZ = n

Se cumple que:

Por otra parte, la recta ZX corta a la recta dato en D.

Se cumple que: , luego:

Ejemplo de razón negativa:

Dados los puntos alineados A, B y C, hallar el punto D que cumpla: , siendo p y q segmentos dados.

Trazamos por A una recta. Sobre ella situamos un punto X, tal que AX = p y un punto Y tal que AY = q, teniendo en cuenta que los sentidos de AX y AY sean contrarios.

Dibujamos la recta CX y trazamos una paralela a AX por B. Estas rectas se cortan en Z. BZ = n.

Se cumple que:

Por otra parte, la recta ZY corta a la recta dato en D.

Se cumple que: , luego:

CUATERNA ARMÓNICA:

Se llama cuaterna armónica a la razón doble de cuatro puntos alineados A, B, C y D que vale -1:

(ABCD) = -1

Ejemplo de cuaterna armónica:

Dados los puntos alineados A, B y C, hallar el punto D que cumpla:

ABCD) = -1

Trazamos por A una recta. Sobre ella situamos dos puntos X e Y, tal que AX = AY , teniendo en cuenta que los sentidos de AX y AY sean contrarios.

Dibujamos la recta CX y trazamos una paralela a AX por B. Estas rectas se cortan en Z.

BZ = n

Se cumple que:

Por otra parte, la recta ZY corta a la recta dato en D.

Se cumple que:

, luego: ,